JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $\left|\frac{1+ai}{b+i}\right| = 1$,अतः $|1+ai| = |b+i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1+a^2 = b^2+1$,जिसका अर्थ है $a^2 = b^2$,इसलिए $a = \pm b$.
चूंकि $ab < 0$,इसलिए $b = -a$ होगा।
$a+ib$ वृत्त $|z-1| = |2z|$ पर स्थित है,अतः $|(a-1)+ib| = 2|a+ib|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a-1)^2 + b^2 = 4(a^2 + b^2)$.
$b^2 = a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$(a-1)^2 + a^2 = 8a^2$.
$a^2 - 2a + 1 + a^2 = 8a^2 \Rightarrow 6a^2 + 2a - 1 = 0$.
$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{6}$.
यदि $a = \frac{\sqrt{7}-1}{6} \approx 0.27$ है,तो $[a] = 0$ और $b = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$.
अतः $\frac{1+[a]}{4b} = -\frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
यदि $a = \frac{-1-\sqrt{7}}{6} \approx -0.607$ है,तो $[a] = -1$ और $b = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$.
अतः $\frac{1+[a]}{4b} = 0$.

(B) पद $x_1, x_2, \ldots, x_7$ एक $A.P.$ में हैं जहाँ $x_1 = 9$ और सार्व अंतर $d > 0$ है।
इन्हें $9, 9+d, 9+2d, \ldots, 9+6d$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माध्य $\overline{x} = \frac{1}{7} \sum_{i=0}^{6} (9+id) = 9 + 3d$ है।
मानक विचलन $\sigma = 4$ है,इसलिए प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
$A.P.$ के लिए प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = d^2 \frac{n^2-1}{12}$ होता है।
यहाँ $n=7$ है,इसलिए $\sigma^2 = d^2 \frac{49-1}{12} = 4d^2$ है।
$4d^2 = 16$ से $d^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $d = 2$ है।
अब,$\overline{x} = 9 + 3(2) = 15$ है।
$x_6 = 9 + 5(2) = 19$ है।
अतः,$\overline{x} + x_6 = 15 + 19 = 34$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल रेखा $3x + 2y = 1$ की ढाल $(m = -\frac{3}{2})$ के बराबर होनी चाहिए।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{3x_0}{4y_0} = -\frac{3}{2} \implies x_0 = -2y_0$.
अतिपरवलय के समीकरण में मान रखने पर,$3(-2y_0)^2 - 4y_0^2 = 36 \implies 8y_0^2 = 36 \implies y_0 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$y_0 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ लेने पर,$x_0 = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\sqrt{2}(y_0 - x_0) = \sqrt{2}(-\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{2}}) = -9$.

(B) एक संख्या $6$ से विभाज्य है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है।
चूंकि अंक $4, 5, 9$ हैं,अंतिम अंक $4$ होना चाहिए।
अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए।
गणना करने पर कुल संख्या $81$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया समीकरण $x+y+z=21$ है,जहाँ $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ है।
माना $x' = x-1, y' = y-3, z' = z-4$,जहाँ $x', y', z' \geq 0$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(x'+1) + (y'+3) + (z'+4) = 21$.
$x' + y' + z' + 8 = 21$.
$x' + y' + z' = 13$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n=13$ और $r=3$ है।
हलों की संख्या = $\binom{13+3-1}{3-1} = \binom{15}{2}$.
$\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$.

(B) दी गई नियता $x = \frac{a}{e} = 8$ और नाभि $(ae, 0) = (2, 0)$ है।
इनसे,$ae = 2$ और $\frac{a}{e} = 8$ प्राप्त होता है।
गुणा करने पर $a^2 = 16$,अतः $a = 4$। तब $e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,अतः $b = 2\sqrt{3}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ है।
बिंदु $P(4\cos\theta, 2\sqrt{3}\sin\theta)$ पर स्पर्शरेखा $\frac{x\cos\theta}{4} + \frac{y\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$ है।
चूंकि यह $(0, 4\sqrt{3})$ से गुजरती है,$\frac{0}{4} + \frac{4\sqrt{3}\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$,जिससे $2\sin\theta = 1$,अर्थात $\sin\theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 30^\circ$। बिंदु $P$ का मान $(4\cos 30^\circ, 2\sqrt{3}\sin 30^\circ) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x\sqrt{3}}{8} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$ है।
$Q$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $\frac{x\sqrt{3}}{8} = 1 \Rightarrow x = \frac{8}{\sqrt{3}}$। अतः $Q = (\frac{8}{\sqrt{3}}, 0)$।
$PQ^2 = (2\sqrt{3} - \frac{8}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 = (\frac{6-8}{\sqrt{3}})^2 + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$।
$(3PQ)^2 = 9 \times PQ^2 = 9 \times \frac{13}{3} = 39$।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 8x + 4y + 4$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - 2)^2 = 8(x + 1)$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और नाभि $(1, 2)$ है।
नाभीय जीवा $(1, 2)$ से गुजरती है। यदि ढाल $m$ है,तो रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ है।
$x$-अंतःखंड $3$ है,इसलिए बिंदु $(3, 0)$ रेखा पर स्थित है।
मान रखने पर: $0 - 2 = m(3 - 1) \implies m = -1$.
नाभीय जीवा की लंबाई $4a(1 + \frac{1}{m^2}) = 4(2)(1 + 1) = 16$ है।

(B) विस्तार $\left((10-3^x)^{1/2} + (3^{x-2})^{1/5}\right)^m$ है। सामान्य पद $T_{r+1} = {^mC_r} (10-3^x)^{(m-r)/2} (3^{x-2})^{r/5}$ है।
$T_6 = 21$ दिया गया है,इसलिए $r=5$: ${^mC_5} (10-3^x)^{(m-5)/2} (3^{x-2}) = 21$.
${^mC_1}, {^mC_2}, {^mC_3}$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2({^mC_2}) = {^mC_1} + {^mC_3}$.
इस समीकरण को हल करने पर $m=7$ प्राप्त होता है।
$m=7$ को $T_6$ में रखने पर: ${^7C_5} (10-3^x)^{(7-5)/2} (3^{x-2}) = 21 \implies 21 (10-3^x) \cdot \frac{3^x}{9} = 21$.
$(10-3^x) \cdot 3^x = 9 \implies (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.
$3^x=9$ या $3^x=1 \implies x=2$ या $x=0$.
मानों के वर्गों का योग $0^2 + 2^2 = 4$ है।

(B) $(x^{\frac{2}{3}} + \alpha x^{-3})^{22}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot (x^{\frac{2}{3}})^{22-r} \cdot (\alpha x^{-3})^r$
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot \alpha^r \cdot x^{\frac{44-2r}{3} - 3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{44-2r}{3} - 3r = 0$
$44 - 2r - 9r = 0$
$11r = 44 \implies r = 4$
दिया गया है कि स्वतंत्र पद $7315$ है:
${}^{22}C_4 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\frac{22 \times 21 \times 20 \times 19}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \cdot \alpha^4 = 7315$
$7315 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\alpha^4 = 1 \implies |\alpha| = 1$

(B) माना तीन समांतर श्रेणियाँ $A_1, A_2, A_3$ हैं।
$A_1: 3, 7, 11, 15, \ldots, 399$ जहाँ सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
$A_2: 2, 5, 8, 11, \ldots, 359$ जहाँ सार्व अंतर $d_2 = 3$ है।
$A_3: 2, 7, 12, 17, \ldots, 197$ जहाँ सार्व अंतर $d_3 = 5$ है।
उभयनिष्ठ पदों की श्रेणी का सार्व अंतर $L = \operatorname{LCM}(4, 3, 5) = 60$ है।
प्रथम उभयनिष्ठ पद $47$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ पद $47, 107, 167$ हैं।
योग $= 47 + 107 + 167 = 321$।

(D) दिया गया है कि $\frac{{}^{2n}C_3}{{}^{n}C_3} = 10$.
सूत्र ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1}} = 10$
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{2(2n-1) \cdot 2(n-1)}{(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{4(2n-1)}{n-2} = 10$
$8n - 4 = 10n - 20$
$2n = 16 \Rightarrow n = 8$.
अब,$n = 8$ को अनुपात $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ में रखने पर:
$n^2 + 3n = 8^2 + 3(8) = 64 + 24 = 88$
$n^2 - 3n + 4 = 8^2 - 3(8) + 4 = 64 - 24 + 4 = 44$
अनुपात $= 88 : 44 = 2 : 1$.

(B) प्रारंभ से $5$-वां पद $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4 = {^nC_4} 2^{(n-4)/4} 3^{-1}$ है।
अंत से $5$-वां पद प्रारंभ से $(n-3)$-वां पद है,जो $T_{n-3} = {^nC_4} 2^1 3^{-(n-4)/4}$ है।
अनुपात लेने पर: $6^{(n-4)/4 - 1} = 6^{1/2}$।
अतः,$\frac{n-4}{4} - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 10$।
प्रारंभ से तीसरा पद $T_3 = {^{10}C_2} (2^{1/4})^8 (3^{-1/4})^2 = 45 \cdot 4 \cdot 3^{-1/2} = 60 \sqrt{3}$।

(C) रेखा $L$ का समीकरण $9x + 5y = 45$ है। इसके अंतःखंड $(5, 0)$ और $(0, 9)$ हैं।
रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती हैं और $(5, 0)$ तथा $(0, 9)$ के बीच के रेखाखंड को समत्रिभाजित करती हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,समत्रिभाजन बिंदु हैं:
$P_1 = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{3}, \frac{2(9) + 1(0)}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, 6 \right)$
$P_2 = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{3}, \frac{1(9) + 2(0)}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, 3 \right)$
ढाल $m_1 = \frac{6}{5/3} = \frac{18}{5}$ और $m_2 = \frac{3}{10/3} = \frac{9}{10}$ हैं।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = \frac{18}{5} + \frac{9}{10} = \frac{36+9}{10} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$ है।
रेखा $y = \frac{9}{2}x$ है,या $9x - 2y = 0$ है।
$L: 9x + 5y = 45$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को घटाने पर:
$(9x + 5y) - (9x - 2y) = 45 - 0 \implies 7y = 45 \implies y = \frac{45}{7}$.
तब $9x = 2y = \frac{90}{7} \implies x = \frac{10}{7}$ है।
बिंदु $(\frac{10}{7}, \frac{45}{7})$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$C: \frac{45}{7} - \frac{10}{7} = \frac{35}{7} = 5$। यह सही है।
अतः,बिंदु $y - x = 5$ पर स्थित है।

(A) माना $AB = 30 \ m$ और $BQ = x$ है। $\triangle ABQ$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BQ} = \frac{30}{x}$ है।
अतः,$x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \ m$ है। इस प्रकार,$BQ = 10\sqrt{3} \ m$ है।
चूँकि $BCPQ$ एक आयत है,$CP = BQ = 10\sqrt{3} \ m$ और $PQ = BC$ है।
$\triangle ACP$ में,$P$ का अवनमन कोण $15^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 15^{\circ} = \frac{AC}{CP} = \frac{AC}{10\sqrt{3}}$ है।
चूँकि $\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}$ है,इसलिए $AC = 10\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 20\sqrt{3} - 30$ है।
तब $BC = AB - AC = 30 - (20\sqrt{3} - 30) = 60 - 20\sqrt{3}$ है।
आयत $BCPQ$ का क्षेत्रफल $= BQ \times BC = (10\sqrt{3})(60 - 20\sqrt{3}) = 600\sqrt{3} - 600 = 600(\sqrt{3} - 1) \ m^2$ है।

(D) दी गई श्रेणी $5, 11, 19, 29, 41, \ldots$ है।
माना $n$-वाँ पद $T_n = an^2 + bn + c$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 5$.
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 11$.
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 19$.
समीकरणों को घटाने पर: $(T_2 - T_1) = 3a + b = 6$ और $(T_3 - T_2) = 5a + b = 8$.
इन्हें हल करने पर,$2a = 2 \implies a = 1$,$b = 3$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = n^2 + 3n + 1$.
योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (n^2 + 3n + 1) = \sum_{n=1}^{20} n^2 + 3 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 1$.
सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_{20} = \frac{20(21)(41)}{6} + 3 \times \frac{20(21)}{2} + 20 = 2870 + 630 + 20 = 3520$.

(D) माना दो समूह $S_1$ और $S_2$ हैं जहाँ $n_1 = 15, n_2 = 15$ है।
दिया गया है: $\bar{x}_1 = 12, \sigma_1^2 = 14$ और $\bar{x}_2 = 14, \sigma_2^2 = \sigma^2$।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2_{comb}$ का सूत्र:
$\sigma^2_{comb} = \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2 (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2}{(n_1 + n_2)^2}$
मान रखने पर:
$13 = \frac{15(14) + 15(\sigma^2)}{30} + \frac{15 \times 15 (12 - 14)^2}{30^2}$
$13 = \frac{14 + \sigma^2}{2} + 1$
$12 = \frac{14 + \sigma^2}{2}$
$24 = 14 + \sigma^2$
$\sigma^2 = 10$

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(P$ $\Rightarrow Q) \wedge (R$ $\Rightarrow Q)$
हम जानते हैं कि निहितार्थ $P \Rightarrow Q$,$\sim P \vee Q$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sim P \vee Q) \wedge (\sim R \vee Q)$
वितरण नियम का उपयोग करके,हम $Q$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(\sim P \wedge \sim R) \vee Q$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim P \wedge \sim R$,$\sim(P \vee R)$ के समतुल्य है:
$\sim(P \vee R) \vee Q$
निहितार्थ नियम $\sim A \vee B \equiv A \Rightarrow B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(P \vee R) \Rightarrow Q$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) दिया गया समीकरण $|x^2-8x+15|-2x+7=0$ है।
स्थिति $1$: $x^2-8x+15 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \leq 3$ या $x \geq 5$।
समीकरण $x^2-8x+15-2x+7=0$ हो जाता है,अतः $x^2-10x+22=0$।
मूल $x = \frac{10 \pm \sqrt{100-88}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $5+\sqrt{3} \geq 5$ और $5-\sqrt{3} \approx 3.268$ ($x \leq 3$ या $x \geq 5$ में नहीं है),इसलिए केवल $x = 5+\sqrt{3}$ एक मान्य मूल है।
स्थिति $2$: $x^2-8x+15 < 0$,जिसका अर्थ है $3 < x < 5$।
समीकरण $-(x^2-8x+15)-2x+7=0$ हो जाता है,अतः $-x^2+8x-15-2x+7=0$,जो $-x^2+6x-8=0$ या $x^2-6x+8=0$ में सरल होता है।
गुणनखंड करने पर $(x-2)(x-4)=0$ प्राप्त होता है,अतः $x=2$ या $x=4$।
चूंकि $3 < x < 5$,इसलिए केवल $x=4$ एक मान्य मूल है।
सभी मूलों का योग $(5+\sqrt{3}) + 4 = 9+\sqrt{3}$ है।

(A) मान लीजिए दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$ है।
प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$।
अतः,$S_n = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$।
सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{d}{n}} \cdot \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}}$ हो जाती है।
चूंकि $a_n = a_1 + (n-1)d$,जैसे $n \rightarrow \infty$,$a_n \approx nd$।
इसलिए,सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{nd} - \sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{\sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}} \right) = 1$ है।

(B) समुच्चय $A$ के लिए: $[x + 3] + [x + 4] \leq 3 \implies [x] + 3 + [x] + 4 \leq 3$.
$2[x] + 7 \leq 3 \implies 2[x] \leq -4 \implies [x] \leq -2$.
चूँकि $[x] \leq -2$,इसलिए $x < -1$,अतः $A = (-\infty, -1)$.
समुच्चय $B$ के लिए: योग एक गुणोत्तर श्रेणी है $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^n} = 3 \left( \frac{1/10}{1 - 1/10} \right) = 3 \left( \frac{1/10}{9/10} \right) = 3 \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{3} = 3^{-1}$.
असमिका $3^x (3^{-1})^{x-3} < 3^{-3x}$ बन जाती है।
$3^x \cdot 3^{-x+3} < 3^{-3x} \implies 3^3 < 3^{-3x}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $3 < -3x \implies x < -1$.
अतः,$B = (-\infty, -1)$.
इसलिए,$A = B$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।
चूँकि वृत्त बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरता है,इसलिए $(\alpha-a)^2 + (\beta-a)^2 = a^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$\alpha^2 - 2\alpha a + a^2 + \beta^2 - 2\beta a + a^2 = a^2$,जो सरल होकर $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अक्षों के साथ स्पर्श बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, a)$ हैं। रेखा $AB$ का समीकरण $x + y = a$ या $x + y - a = 0$ है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x + y - a = 0$ पर डाले गए लंब $PQ$ की लंबाई $PQ = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि $PQ = 11$,इसलिए $\frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}} = 11$,अर्थात $|\alpha + \beta - a| = 11\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha + \beta - a)^2 = 242$।
विस्तार करने पर,$\alpha^2 + \beta^2 + a^2 + 2\alpha\beta - 2a(\alpha + \beta) = 242$।
वृत्त के समीकरण से,हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) = -a^2$।
इस मान को वर्ग किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-a^2 + a^2 + 2\alpha\beta = 242$।
अतः,$2\alpha\beta = 242$,जिसका अर्थ है कि $\alpha\beta = 121$।

(A) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग समूहों में इस प्रकार बांटने के लिए कि कोई भी समूह खाली न रहे,हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 20$ और $k = 3$ है।
बिना किसी प्रतिबंध के $20$ अलग-अलग संतरों को $3$ बच्चों में बांटने के कुल तरीके $3^{20}$ हैं।
मान लीजिए $S$ सभी वितरणों का समुच्चय है,और $A_i$ वह स्थिति है कि बच्चे $i$ को कोई संतरा नहीं मिलता है।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ किसी भी बच्चे को शून्य संतरा न मिले,जो $|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ द्वारा दिया जाता है।
'Principle of Inclusion-Exclusion' के अनुसार,यह $3^{20} - \binom{3}{1} 2^{20} + \binom{3}{2} 1^{20} - \binom{3}{3} 0^{20}$ है।
$= 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3 \times 1 - 0 = 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3$.

(D) क्षेत्र $E$,$0 \leq x \leq 3$ के लिए $y \geq 3-x$ और $y \leq \sqrt{9-x^2}$ द्वारा परिबद्ध है।
बिंदु $(p, p+1)$ रेखा $y = x+1$ पर स्थित है।
$p$ की सीमा ज्ञात करने के लिए,हम $y = x+1$ का $E$ की सीमाओं के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1$. $y = 3-x$ के साथ प्रतिच्छेदन:
$x+1 = 3-x \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
अतः,$p = 1$ (यह $a$ है)।
$2$. $y = \sqrt{9-x^2}$ के साथ प्रतिच्छेदन:
$x+1 = \sqrt{9-x^2} \implies (x+1)^2 = 9-x^2 \implies x^2+2x+1 = 9-x^2 \implies 2x^2+2x-8 = 0 \implies x^2+x-4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
चूंकि $x \geq 0$,हम $x = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ लेते हैं।
अतः,$p = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ (यह $b$ है)।
इस प्रकार,$p \in \left(1, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$,जहाँ $a = 1$ और $b = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.
हमें $b^2+b-a^2$ की गणना करनी है:
चूंकि $b^2+b-4 = 0$,इसलिए $b^2+b = 4$ है।
अतः,$b^2+b-a^2 = 4 - (1)^2 = 4-1 = 3$.

(D) $(x^4-\frac{1}{x^3})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-\frac{1}{x^3})^r$ द्वारा दिया जाता है।
यह $T_{r+1} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r}$ में सरल हो जाता है।
$x^{18}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम घातांक $60-7r = 18$ रखते हैं।
$7r = 60 - 18 = 42$,जिससे $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{15}C_6 (-1)^6 = {}^{15}C_6 = 5005$ है।

(D) माना $x = a - b$ है। शर्त $2x^2 + 3x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
स्थिति $1$: $2x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(2x + 3) = 0$। चूँकि $a, b \in \{1, \ldots, 10\}$ है,$x$ एक पूर्णांक होना चाहिए। अतः,$x = 0$।
यदि $x = 0$ है,तो $a - b = 0 \Rightarrow a = b$। ऐसे $10$ युग्म हैं: $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$।
स्थिति $2$: $2x^2 + 3x = 1 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$। $x$ के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं है।
स्थिति $3$: $2x^2 + 3x = 2 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 2 = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x + 2) = 0$। पूर्णांक हल $x = -2$ है।
यदि $x = -2$ है,तो $a - b = -2 \Rightarrow b = a + 2$। संभावित युग्म: $(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (6,8), (7,9), (8,10)$। ऐसे $8$ युग्म हैं।
स्थिति $4$: $2x^2 + 3x = 3 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 3 = 0$। कोई पूर्णांक हल नहीं है।
स्थिति $5$: $2x^2 + 3x = 4 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 4 = 0$। कोई पूर्णांक हल नहीं है।
कुल अवयवों की संख्या $= 10 + 8 = 18$।

(D) वक्र का समीकरण $x^2+2x-4y+9=0$ है। $P(1,3)$ पर स्पर्श रेखा $x-y+2=0$ है।
$y$-अक्ष के लिए $x=0$ रखने पर,$y=2$ प्राप्त होता है,अतः $A = (0,2)$ है।
$P(1,3)$ से गुजरने वाली और $x-3y=6$ के समानांतर रेखा का समीकरण $x-3y+8=0$ है।
यह रेखा $y^2=4x$ को काटती है,जिससे $y^2-12y+32=0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $y=4$ और $y=8$ हैं।
बिंदु $(4,4)$ और $(16,8)$ प्राप्त होते हैं।
शर्त $2x-3y=8$ की जाँच करने पर,$B = (16,8)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(AB)^2 = (16-0)^2 + (8-2)^2 = 256 + 36 = 292$.

(A) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
तीनों पासों पर अलग-अलग संख्याएँ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
अलग-अलग संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ है।
दिया गया है कि $\frac{p}{q} = \frac{5}{9}$ जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p = 5$ और $q = 9$ है।
अतः,$q - p = 9 - 5 = 4$।

(C) $(S1)$ के लिए: मान लीजिए $a = 2023$ और $b = 1999$ है। ध्यान दें कि $a \equiv 7 \pmod{8}$ और $b \equiv 7 \pmod{8}$ है।
तब $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ और $b^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ होगा।
चूंकि $7 \equiv -1 \pmod{8}$,इसलिए $7^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$ है।
अतः,$2023^{2022} - 1999^{2022} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$ है। इसलिए,$(S1)$ सही है।
$(S2)$ के लिए: मान लीजिए $f(n) = 13(13^{n}) - 11n - 13 = 13^{n+1} - 11n - 13$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$13^{n+1} = (1 + 12)^{n+1} = 1 + (n+1)12 + \binom{n+1}{2}12^2 + \dots = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
अतः,$f(n) = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots - 11n - 13 = n + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
$f(n)$ के $144$ से विभाज्य होने के लिए,$n$ को $144$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि ऐसे अनंत $n \in N$ मौजूद हैं,इसलिए $(S2)$ सही है।

(D) माना $L_n = \prod_{k=1}^{n} \left(2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}}\right)$.
प्रत्येक $k \ge 1$ के लिए,$2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}} > 0$ है।
साथ ही,$2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2k+1}} < 2^{\frac{1}{2}} - 2^0 = \sqrt{2} - 1 < 1$ है।
अतः,$0 < L_n < (\sqrt{2} - 1)^n$ होगा।
जैसे ही $n \rightarrow \infty$,$(\sqrt{2} - 1)^n \rightarrow 0$ होगा क्योंकि $|\sqrt{2} - 1| < 1$ है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} L_n = 0$।

(C) दिया गया है कि $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ और $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा।
प्रतिबंध $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ से $a(x^2 - y^2) + bx = a$ $(1)$ प्राप्त होता है।
प्रतिबंध $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$ से $b(x^2 - y^2) + ax = b$ $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ को $b$ से और $(2)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$ab(x^2 - y^2) + b^2x = ab$ $(3)$
$ab(x^2 - y^2) + a^2x = ab$ $(4)$
समीकरण $(4)$ को $(3)$ से घटाने पर:
$(b^2 - a^2)x = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a \neq b$, यदि $a \neq -b$ है, तो $b^2 - a^2 \neq 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि $x = 0$ है।
$x = 0$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर $a(-y^2) = a$ प्राप्त होता है। चूँकि $a \neq 0$, हमें $y^2 = -1$ मिलता है, जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः, $a \neq \pm b$ के लिए, कोई हल नहीं है, इसलिए अवयवों की संख्या $0$ है।

(B) $PUBLIC$ शब्द के अक्षर $B, C, I, L, P, U$ हैं।
शब्दकोश के अनुसार गणना करने पर,$PUBLIC$ शब्द की क्रम संख्या $582$ प्राप्त होती है।

(B) विस्तार $\left(ax^2+\frac{1}{2bx}\right)^{11}$ के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax^2)^{11-r} (\frac{1}{2bx})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (\frac{1}{2b})^r x^{22-3r}$ है।
$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$,अतः $r = 5$। गुणांक ${}^{11}C_5 a^6 (\frac{1}{2b})^5 = \frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5}$ है।
विस्तार $\left(ax-\frac{1}{3bx^2}\right)^{11}$ के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{3bx^2})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (-\frac{1}{3b})^r x^{11-3r}$ है।
$11-3r = -7$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$। गुणांक ${}^{11}C_6 a^5 (-\frac{1}{3b})^6 = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5} = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$।
चूंकि ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$,इसलिए $\frac{a^6}{32b^5} = \frac{a^5}{729b^6}$।
$a^5$ से भाग देने और $b^6$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{ab}{32} = \frac{1}{729}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $729ab = 32$।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन सत्य हैं या नहीं,हम प्रत्येक के लिए सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $\sim p \wedge q$ | $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $F$ है,इसलिए $(S1)$ एक पुनरुक्ति नहीं है। अतः,$(S1)$ असत्य है।
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $q \Rightarrow p$ | $\sim p \wedge q$ | $(q \Rightarrow p) \Rightarrow (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों हैं,इसलिए $(S2)$ न तो पुनरुक्ति है और न ही व्याघात। अतः,$(S2)$ असत्य है।
इसलिए,न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ सत्य है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$ है।
केंद्र $C = (1, -\frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{5}{2}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{S_1} = \frac{5}{4}$ है।
केंद्र $C$ से बिंदु $R$ की दूरी $d = \frac{5\sqrt{5}}{4}$ है।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{r L^3}{r^2 + L^2} = \frac{(\frac{5}{2}) \cdot (\frac{5}{4})^3}{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{4})^2} = \frac{5}{8}$.

(B) दी गई व्यंजक $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ है।
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$S = (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + \ldots + (2021 - 2022)(2021 + 2022) + 2023^2$.
$S = -1(1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 2022) + 2023^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है,अतः:
$S = -\frac{2022 \times 2023}{2} + 2023^2$.
$S = -1011 \times 2023 + 2023^2$.
$S = 2023(2023 - 1011) = 2023 \times 1012$.
दिया गया है $1012 m^2 n = 2023 \times 1012$,जिससे $m^2 n = 2023$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2023 = 17^2 \times 7$,इसलिए $m = 17$ और $n = 7$ है।
अतः,$m^2 - n^2 = 17^2 - 7^2 = 289 - 49 = 240$.

(C) माना $p$ उन व्यक्तियों की संख्या है जो दोनों भाषाएं बोलते हैं।
दिया गया है:
$\alpha + p = 75$ (केवल अंग्रेजी)
$\beta + p = 40$ (केवल हिंदी)
$\alpha + \beta + p = 100$ (कुल व्यक्ति)
पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: $\alpha + \beta + 2p = 115$.
तीसरे समीकरण को घटाने पर: $p = 115 - 100 = 15$.
अतः,$\alpha = 75 - 15 = 60$ और $\beta = 40 - 15 = 25$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ है।
$25 \alpha^2 \beta^2$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = \frac{1}{25}$.
यह $\frac{x^2}{(\alpha/5)^2} + \frac{y^2}{(\beta/5)^2} = 1$ है।
यहाँ,$a = \frac{60}{5} = 12$ और $b = \frac{25}{5} = 5$.
चूँकि $a > b$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \tan 63^{\circ} + \tan 81^{\circ}$
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,$\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ और $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
$E = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1} = 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - \sqrt{5} + 1}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(C) माना $S = (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19}$ है।
$(20)^{19}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $k = 1 + 2(\frac{21}{20}) + 3(\frac{21}{20})^2 + \ldots + 20(\frac{21}{20})^{19}$।
माना $x = \frac{21}{20}$ है। अतः $k = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + 20x^{19}$।
$x$ से गुणा करने पर,$kx = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 20x^{20}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{19} - 20x^{20}$।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर: $k(1 - x) = \frac{1 - x^{20}}{1 - x} - 20x^{20}$।
यहाँ $1 - x = 1 - \frac{21}{20} = -\frac{1}{20}$ है,अतः $k(-\frac{1}{20}) = \frac{1 - x^{20}}{-1/20} - 20x^{20} = -20(1 - x^{20}) - 20x^{20}$।
$k(-\frac{1}{20}) = -20 + 20x^{20} - 20x^{20} = -20$।
अतः,$k = (-20) \times (-20) = 400$।

(C) $UNIVERSE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, E$.
भिन्न अक्षर $U, N, I, V, E, R, S$ हैं।
यहाँ $3$ स्वर $\{U, I, E\}$ और $4$ व्यंजन $\{N, V, R, S\}$ हैं।
$3$ में से $2$ स्वर और $4$ में से $2$ व्यंजन चुनने के तरीके = $\binom{3}{2} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18$.
प्रत्येक चयन में $4$ भिन्न अक्षर होते हैं,जिन्हें $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $18 \times 24 = 432$.

(C) दिया गया समीकरण $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ है।
सर्वसमिका $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2 = 2\lambda$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$ प्राप्त होता है।
यह वृत्त $|z - z_0|^2 = R^2$ का समीकरण है जहाँ $R^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$ है।
दी गई त्रिज्या $R = \sqrt{\lambda - 1}$ है,इसलिए $R^2 = \lambda - 1$ है।
$R^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = \lambda - 1$.
$-\frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = -1$.
$|\alpha - \beta|^2 = 4$.
$|\alpha - \beta| = 2$.

(C) अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1/2$ है।
उत्केन्द्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $e_E$,$e_H$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि दीर्घवृत्त और अतिपरवलय लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,वे सहनाभि (confocal) हैं।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त के लिए,$ae_E = 1$. $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होने के कारण,$a \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$,इसलिए $a = \sqrt{2}$.
$e_E^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^2}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $b^2 = 1$.
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
नाभिलंब की लंबाई का वर्ग $(\sqrt{2})^2 = 2$ है।

(C) दी गई आवृत्ति वितरण तालिका के लिए,कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 4 + 4 + \alpha + 15 + 8 + \beta + 4 + 5 = 40 + \alpha + \beta$.
योग $\sum f_i x_i = (2 \times 4) + (4 \times 4) + (6 \times \alpha) + (8 \times 15) + (10 \times 8) + (12 \times \beta) + (14 \times 4) + (16 \times 5) = 360 + 6\alpha + 12\beta$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 9$ $\Rightarrow 360 + 6\alpha + 12\beta = 9(40 + \alpha + \beta)$ $\Rightarrow 3\beta = 3\alpha$ $\Rightarrow \alpha = \beta$.
$N = 40 + 2\alpha$ प्राप्त होता है।
योग $\sum f_i x_i^2 = 3904 + 180\alpha$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 15.08$ $\Rightarrow \frac{3904 + 180\alpha}{40 + 2\alpha} - 81 = 15.08$ $\Rightarrow \alpha = 5$.
अतः $\beta = 5$.
$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 5^2 + 5^2 - (5 \times 5) = 25$.

(A) परवलय $y^2=20x$ है,इसलिए नाभि $R$ का मान $(5, 0)$ है।
मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ रेखा $y=mx+c$ और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
परवलय के समीकरण में $x = (y-c)/m$ रखने पर: $y^2 = 20(y-c)/m \Rightarrow my^2 - 20y + 20c = 0$।
द्विघात समीकरण से,$y_1+y_2 = 20/m$।
त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक $G(10, 10)$ है,इसलिए $(y_1+y_2+y_R)/3 = 10$। यहाँ $y_R = 0$ है,अतः $(y_1+y_2)/3 = 10 \Rightarrow y_1+y_2 = 30$।
इसलिए,$20/m = 30 \Rightarrow m = 2/3$।
चूंकि $c-m=6$ दिया गया है,$c = 6 + 2/3 = 20/3$।
$y$ के लिए द्विघात समीकरण $y^2 - 30y + 200 = 0 \Rightarrow (y-10)(y-20) = 0$ हो जाता है।
अतः $y_1=10$ और $y_2=20$। संगत $x$ मान $x_1 = 5$ और $x_2 = 20$ हैं।
इस प्रकार $P(5, 10)$ और $Q(20, 20)$ प्राप्त होते हैं।
$(PQ)^2 = (20-5)^2 + (20-10)^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325$।

(B) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए रेखाओं के समीकरणों को हल करें:
$1$. $4x + 3y = 69$ और $4y - 3x = 17$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(9, 11)$ है।
$2$. $4x + 3y = 69$ और $x + 7y = 61$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(12, 7)$ है।
$3$. $4y - 3x = 17$ और $x + 7y = 61$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(5, 8)$ है।
यहाँ $4x + 3y = 69$ और $4y - 3x = 17$ परस्पर लंबवत हैं,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है। कर्ण के अंतिम बिंदु $(12, 7)$ और $(5, 8)$ हैं।
परिकेंद्र $(\alpha, \beta) = \left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)$ है।
अतः,$(\alpha - \beta)^2 + \alpha + \beta = (1)^2 + 16 = 17$।

(C) दिया गया समीकरण $x^3+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दी गई शर्तों के अनुसार,$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(-1)^3 + b(-1) + c = 0$,जो $-1 - b + c = 0$ या $c - b = 1$ में सरल हो जाता है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -c$ होता है।
$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ रखने पर,हमें $(-1)(1) = -c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 1$ है।
$c = 1$ को $c - b = 1$ में रखने पर,हमें $1 - b = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 0$ है।
समीकरण $x^3 + 1 = 0$ बन जाता है।
$x^3 = -1$ के मूल $-1, -\omega, -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
मान लीजिए $\alpha = -1, \beta = -\omega, \gamma = -\omega^2$ है।
हमें $b^3 + 2c^3 - 3\alpha^3 - 6\beta^3 - 8\gamma^3$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $0^3 + 2(1)^3 - 3(-1)^3 - 6(-\omega)^3 - 8(-\omega^2)^3$.
$= 0 + 2 - 3(-1) - 6(-\omega^3) - 8(-\omega^6)$.
$= 2 + 3 + 6(1) + 8(1) = 2 + 3 + 6 + 8 = 19$.

(A) सबसे पहले,$7$ लड़कों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $7$ लड़कों को एक वृत्त में बैठाने के तरीकों की संख्या $(7-1)! = 6!$ है।
वृत्ताकार व्यवस्था में लड़कों के बीच $7$ स्थान (gaps) बनते हैं।
हमें $5$ लड़कियों को इन $7$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें। $7$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^7C_5$ है।
चुने गए $5$ स्थानों में $5$ लड़कियों को बैठाने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $6! \times ^7C_5 \times 5!$.
$= 720 \times 21 \times 120 = 1,814,400$.
विकल्प $A$ में दिए गए व्यंजक की गणना: $126 \times (120)^2 = 1,814,400$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
स्वर $I, E, E, E, E$ हैं (कुल $5$ स्वर)।
व्यंजन $N, N, N, D, D, P, C$ हैं (कुल $7$ व्यंजन)।
चूंकि सभी स्वर एक साथ आने चाहिए,हम $(IEEEE)$ समूह को एक इकाई मानेंगे।
अब,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ स्वर समूह = $8$ इकाइयां हैं।
इन $8$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके,जहाँ $N$ तीन बार और $D$ दो बार दोहराया गया है,$\frac{8!}{3!2!}$ हैं।
स्वर समूह $(IEEEE)$ के भीतर,$4$ $E$ समान हैं। स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{4!} = 5$ हैं।
कुल विन्यास = $\frac{8!}{3!2!} \times \frac{5!}{4!} = 16800$।

(A) माना तीन क्रमागत गुणांक ${}^nC_{r-1}, {}^nC_r, {}^nC_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात ${}^nC_{r-1} : {}^nC_r : {}^nC_{r+1} = 1 : 5 : 20$ है।
$\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{5}{1}$ से,$\frac{n-r+1}{r} = 5 \implies n = 6r-1 \dots(1)$.
$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{20}{5} = 4$ से,$\frac{n-r}{r+1} = 4 \implies n = 5r+4 \dots(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$6r-1 = 5r+4 \implies r = 5$.
$r=5$ को $(1)$ में रखने पर,$n = 6(5)-1 = 29$.
चौथे पद का गुणांक ${}^nC_3 = {}^{29}C_3$ है।
${}^{29}C_3 = \frac{29 \times 28 \times 27}{3 \times 2 \times 1} = 3654$.

(A) दिया गया है $S_{k} = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
अतः $S_{j}^2 = \frac{(j+1)^2}{4} = \frac{j^2 + 2j + 1}{4}$.
$j=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{j=1}^n j^2 + 2 \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n 1 \right]$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} + n \right]$
$= \frac{n}{4} \left[ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1) + 1 \right]$
$= \frac{n}{24} \left[ (2n^2 + 3n + 1) + 6n + 6 + 6 \right]$
$= \frac{n}{24} [2n^2 + 9n + 13]$.
$\frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$ के साथ तुलना करने पर,$A=24, B=2, C=9, D=13$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A+B = 26$,$D=13$,$26$,$13$ से विभाज्य है।
अतः विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $S = (p$ $\Rightarrow q)$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$ है।
सर्वसमिका $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p$ $\Rightarrow q) \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$S \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee (\sim q \vee p)$
$S \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim q \vee p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv (p \vee \sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim q \vee p)$
$S \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$ प्राप्त होता है।
अब,$S$ का निषेध $\sim (p \vee \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ या $q \wedge (\sim p)$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x+|x|}{2} = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$।
दिया गया है $g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x, & x < 0 \end{cases}$।
तब $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ 0, & g(x) < 0 \end{cases}$।
$x \geq 0$ के लिए,$g(x) = x^2 \geq 0$,इसलिए $f(g(x)) = x^2$।
$x < 0$ के लिए,$g(x) = x < 0$,इसलिए $f(g(x)) = 0$।
अतः,$y = (f \circ g)(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$।
रेखा $2y - x = 15$ है,या $y = \frac{x+15}{2}$।
$x \geq 0$ के लिए $y = x^2$ और $y = \frac{x+15}{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x^2 = \frac{x+15}{2} \implies 2x^2 - x - 15 = 0 \implies (2x+5)(x-3) = 0$। चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x = 3$।
क्षेत्रफल $y = 0$,$y = \frac{x+15}{2}$,और $y = x^2$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल = $\int_{-15}^{0} \frac{x+15}{2} dx + \int_{0}^{3} (\frac{x+15}{2} - x^2) dx$।
क्षेत्रफल = $[\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2}]_{-15}^{0} + [\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$।
क्षेत्रफल = $(0 - (\frac{225}{4} - \frac{225}{2})) + ((\frac{9}{4} + \frac{45}{2} - 9) - 0)$।
क्षेत्रफल = $\frac{225}{4} + \frac{9+90-36}{4} = \frac{225+63}{4} = \frac{288}{4} = 72$।

(C) दिया गया है $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{x}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{x} \phi(x) = \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$ प्राप्त होता है।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} \phi(x) + \sqrt{x} \phi^{\prime}(x) = 4 \sqrt{2} \sin x - 3 \phi^{\prime}(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\phi^{\prime}(x) (3 + \sqrt{x}) = 4 \sqrt{2} \sin x - \frac{\phi(x)}{2\sqrt{x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ और $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{8}{6+\sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए आव्यूह समीकरण $(\alpha \ \beta \ \gamma)\begin{bmatrix} 2 & 10 & 8 \\ 9 & 3 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \end{bmatrix} = (0 \ 0 \ 0)$ से,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$2\alpha + 9\beta + 8\gamma = 0 \quad (1)$
$10\alpha + 3\beta + 4\gamma = 0 \quad (2)$
$8\alpha + 8\beta + 8\gamma = 0 \quad (3)$
समीकरण $(3)$ से,$\alpha + \beta + \gamma = 0$,जिसका अर्थ है $\gamma = -\alpha - \beta$.
$\gamma$ का मान $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\alpha + 9\beta + 8(-\alpha - \beta) = 0 \implies -6\alpha + \beta = 0 \implies \beta = 6\alpha$.
अब,$\alpha$ के पदों में $\gamma$ ज्ञात करें:
$\gamma = -\alpha - 6\alpha = -7\alpha$.
बिंदु $P(\alpha, 6\alpha, -7\alpha)$ समतल $2x + 4y + 3z = 5$ पर स्थित है:
$2(\alpha) + 4(6\alpha) + 3(-7\alpha) = 5$
$2\alpha + 24\alpha - 21\alpha = 5$
$5\alpha = 5 \implies \alpha = 1$.
अतः,$\alpha = 1, \beta = 6, \gamma = -7$.
हमें $6\alpha + 9\beta + 7\gamma$ का मान ज्ञात करना है:
$6(1) + 9(6) + 7(-7) = 6 + 54 - 49 = 11$.

(D) दिया गया है $\sin^{-1}(\sin \theta) - \cos^{-1}(\sin \theta) > 0$.
$\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\sin^{-1}(\sin \theta) - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin \theta)) > 0$.
$2 \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\sin \theta > \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in (0, 2\pi)$ के लिए,$\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ अंतराल $\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ में सत्य है।
अतः,$(a, b) = (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$,जिससे $b - a = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
दिया गया है $\alpha - \beta = b - a = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \alpha - \frac{\pi}{2}$.
समीकरण $\alpha x^2 + \beta x + \sin^{-1}((x-3)^2 + 1) + \cos^{-1}((x-3)^2 + 1) = 0$ है।
चूंकि $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = (x-3)^2 + 1$ के लिए,$(x-3)^2 + 1 = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = 3$.
$x = 3$ को समीकरण में रखने पर: $\alpha(3)^2 + \beta(3) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$9\alpha + 3(\alpha - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$12\alpha - \pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{12}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y(5x^2-3y^2)}{2x(x^2-y^2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y=mx$ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{dy}{dx} = m + x\frac{dm}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $m + x\frac{dm}{dx} = \frac{m(5-3m^2)}{2(1-m^2)}$।
सरल करने पर: $x\frac{dm}{dx} = \frac{m(3-m^2)}{2(1-m^2)}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{2(1-m^2)}{m(3-m^2)} dm$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{dx}{x} = (\frac{2}{3m} + \frac{4m}{3(m^2-3)}) dm$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|x| = \frac{2}{3}\ln|m| + \frac{2}{3}\ln|m^2-3| + C$।
$y(1)=1$ के लिए $m=1$ और $x=1$ रखने पर,$C = -\frac{2}{3}\ln(2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^{3/2} = \frac{1}{2} |m(m^2-3)|$ प्राप्त होता है।
$x=2$ के लिए गणना करने पर,अंतिम उत्तर $|y^3-12y| = 32\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) संबंध $T = \{(a, b) : a^2 - b^2 \in Z\}$ के लिए:
यदि $(a, b) \in T$ है,तो $a^2 - b^2 = k$ किसी पूर्णांक $k \in Z$ के लिए।
तब $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -k$,जो भी एक पूर्णांक है।
अतः,$(b, a) \in T$,इसलिए $T$ सममित है।
संबंध $S = \{(a, b) : a, b \in R - \{0\}, 2 + \frac{a}{b} > 0\}$ के लिए:
यदि $(a, b) \in S$ है,तो $2 + \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > -2$।
सममितता के लिए,$(b, a) \in S$ होना चाहिए,अर्थात $2 + \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} > -2$।
यदि हम $a = 1, b = -0.4$ लेते हैं,तो $2 + \frac{1}{-0.4} = 2 - 2.5 = -0.5 < 0$,इसलिए $(1, -0.4) \notin S$।
अतः,$S$ सममित नहीं है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(A) मान लीजिए $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2-8x+12}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर:
$y(x^2-8x+12) = x^2+2x+1$
$x^2(y-1) - x(8y+2) + (12y-1) = 0$.
स्थिति $1$: यदि $y \neq 1$,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (-(8y+2))^2 - 4(y-1)(12y-1) \geq 0$
$16y^2 + 84y \geq 0$
$4y(4y + 21) \geq 0$.
इससे $y \in (-\infty, -\frac{21}{4}] \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $y = 1$,तो $x^2+2x+1 = x^2-8x+12$,जो $10x = 11$ अर्थात $x = \frac{11}{10}$ देता है।
चूंकि यह मान प्रांत (domain) में है,इसलिए $y=1$ परिसर में शामिल होगा।
अतः,परिसर $(-\infty, -\frac{21}{4}] \cup [0, \infty)$ है।

(C) बिंदुओं $(4, 1, -3)$ और $(2, 4, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = (2-4, 4-1, 3-(-3)) = (-2, 3, 6)$ है।
चूंकि समतल $P$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ होगा।
बिंदु $(1, -1, -5)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = (-2, 3, 6)$ वाले समतल का समीकरण:
$-2(x - 1) + 3(y + 1) + 6(z + 5) = 0$
$-2x + 2 + 3y + 3 + 6z + 30 = 0$
$-2x + 3y + 6z + 35 = 0$ या $2x - 3y - 6z = 35$ है।
बिंदु $(3, -2, 2)$ से समतल $2x - 3y - 6z - 35 = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|2(3) - 3(-2) - 6(2) - 35|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|6 + 6 - 12 - 35|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$d = \frac{|-35|}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5$.

(A) माना $g(x) = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
$x \in [-1, 2]$ के लिए,$g(x)$ का परिसर $[\frac{3}{4}, 3]$ है।
चूंकि $g(x) \ge \frac{3}{4}$,इसलिए $|g(x)| = g(x)$ होगा।
अतः,$f(x) = g(x) + [g(x)]$.
$f(x)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $[\frac{3}{4}, 3]$ परिसर में $g(x)$ के मानों पर विचार करते हैं।
यदि $\frac{3}{4} \le g(x) < 1$ है,तो $[g(x)] = 0$,इसलिए $f(x) = g(x) + 0 = g(x)$। इस उप-अंतराल में न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
यदि $1 \le g(x) < 2$ है,तो $[g(x)] = 1$,इसलिए $f(x) = g(x) + 1$। न्यूनतम मान $1 + 1 = 2$ है।
यदि $2 \le g(x) \le 3$ है,तो $[g(x)] = 2$,इसलिए $f(x) = g(x) + 2$। न्यूनतम मान $2 + 2 = 4$ है।
अतः,निरपेक्ष न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।

(A) दिया गया समतल $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ और रेखा $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ है।
चूंकि समतल $P$ रेखा $L$ के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत होगा।
अतः,$8(2) + \alpha_1(3) + \alpha_2(5) = 0 \Rightarrow 3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$.
समतल $P$ का $y$-अंतःखंड $1$ दिया गया है,इसलिए समतल के समीकरण में $x=0$ और $z=0$ रखने पर: $\alpha_1(1) + 12 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = -12$.
$\alpha_1 = -12$ को $3\alpha_1 + 5\alpha_2 = -16$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $3(-12) + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow -36 + 5\alpha_2 = -16 \Rightarrow 5\alpha_2 = 20 \Rightarrow \alpha_2 = 4$.
समतल $P$ का समीकरण $8x - 12y + 4z + 12 = 0$ है,जिसे सरल करने पर $2x - 3y + z + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ पर स्थित बिंदु $(-2, 3, -4)$ से समतल $P$ की दूरी $d = \frac{|2(-2) - 3(3) + 1(-4) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-4 - 9 - 4 + 3|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$.

(C) माना समतल $P$ का समीकरण $2x + ay + 4z = k$ है। मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $(2, a, 4)$ है,अतः समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $2(x - 2) + a(y - a) + 4(z - 4) = 0$ है,जो सरल करने पर $2x + ay + 4z = 20 + a^2$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड $A = (\frac{20 + a^2}{2}, 0, 0)$,$B = (0, \frac{20 + a^2}{a}, 0)$,और $C = (0, 0, \frac{20 + a^2}{4})$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \cdot \frac{(20 + a^2)^3}{8a} = 144$ है।
$(20 + a^2)^3 = 144 \times 48 \times a = 6912a$.
$a = 2$ रखने पर: $(20 + 4)^3 = 24^3 = 13824$ और $6912 \times 2 = 13824$। अतः,$a = 2$ है।
समतल का समीकरण $2x + 2y + 4z = 24$ या $x + y + 2z = 12$ है।
बिंदुओं की जाँच:
$A(2, 2, 4) \Rightarrow 2 + 2 + 2(4) = 12$ (समतल पर स्थित है)।
$B(0, 4, 4) \Rightarrow 0 + 4 + 2(4) = 12$ (समतल पर स्थित है)।
$C(3, 0, 4) \Rightarrow 3 + 0 + 2(4) = 11 \neq 12$ (समतल पर स्थित $\text{नहीं}$ है)।
$D(0, 6, 3) \Rightarrow 0 + 6 + 2(3) = 12$ (समतल पर स्थित है)।
अतः,बिंदु $(3, 0, 4)$ समतल पर स्थित नहीं है।

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\overrightarrow{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}$ से,$(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,इसलिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}$।
दिया गया है $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,इसलिए $(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$।
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (5)(1) + (-3)(2) + (3)(3) = 5 - 6 + 9 = 8$।
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (2)(3) = 1 - 2 + 6 = 5$।
अतः,$8 + 5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{8}{5}$।
अब,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} - \frac{8}{5}\overrightarrow{b} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}) - \frac{8}{5}(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{5}(25\hat{i} - 15\hat{j} + 15\hat{k} - 8\hat{i} + 8\hat{j} - 16\hat{k}) = \frac{1}{5}(17\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k})$।
$|\overrightarrow{r}|^2 = \frac{1}{25}(17^2 + (-7)^2 + (-1)^2) = \frac{1}{25}(289 + 49 + 1) = \frac{339}{25}$।
इसलिए,$25|\overrightarrow{r}|^2 = 339$।

(A) समाकल्य के हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{x}{\sqrt{x+\alpha}-\sqrt{x}} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{(x+\alpha)-x} = \frac{x(\sqrt{x+\alpha}+\sqrt{x})}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}(x(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2})$
हम $x(x+\alpha)^{1/2}$ को $((x+\alpha)-\alpha)(x+\alpha)^{1/2} = (x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{\alpha} \int_0^{\alpha} ((x+\alpha)^{3/2} - \alpha(x+\alpha)^{1/2} + x^{3/2}) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{2}{5}(x+\alpha)^{5/2} - \alpha \cdot \frac{2}{3}(x+\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^{\alpha}$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \left( \frac{2}{5}(2\alpha)^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}(2\alpha)^{3/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} \right) - \left( \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2\alpha}{3}\alpha^{3/2} + 0 \right) \right)$
$= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} \alpha^{5/2} - \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \alpha^{5/2} + \frac{2}{5}\alpha^{5/2} - \frac{2}{5}\alpha^{5/2} + \frac{2}{3}\alpha^{5/2} \right)$
$= \alpha^{3/2} \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 10}{15} \right) = \alpha^{3/2} \left( \frac{4\sqrt{2} + 10}{15} \right)$
दिया गया है कि $\alpha^{3/2} \left( \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} \right) = \frac{16 + 20\sqrt{2}}{15}$।
पदों की तुलना करने पर,यदि $\alpha = 2$ है,तो $\alpha^{3/2} = 2\sqrt{2}$।
$2\sqrt{2} \cdot \frac{10 + 4\sqrt{2}}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 8(2)}{15} = \frac{20\sqrt{2} + 16}{15}$।
अतः,$\alpha = 2$।

(D) क्षेत्र $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|x^2 - x| = x - x^2$ है,इसलिए असमिका $2|x - 1/2| \leq y \leq x - x^2$ है।
वक्र $y = |2x - 1|$ और $y = x - x^2$ जहाँ प्रतिच्छेद करते हैं,वहाँ $x - x^2 = |2x - 1|$ होता है।
$x \in [0, 1/2]$ के लिए,$x - x^2 = 1 - 2x \implies x^2 - 3x + 1 = 0$,जिससे $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ के सापेक्ष सममिति के कारण,क्षेत्रफल $A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} ((x - x^2) - (1 - 2x)) dx$ है।
$A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} (-x^2 + 3x - 1) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x \right]_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2}$.
समाकलन को हल करने पर,हमें $A = \frac{5\sqrt{5} - 11}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$6A + 11 = 5\sqrt{5}$।
इसलिए,$(6A + 11)^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125$।

(D) दिया गया है कि $2(\vec{a} \times \vec{b}) = 3(\vec{c} \times \vec{a})$।
इसे $\vec{a} \times (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{a} = \lambda(2\vec{b} + 3\vec{c})$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{31}$,$|\vec{b}| = 1/2$,और $|\vec{c}| = 2$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(2\pi/3) = (1/2)(2)(-1/2) = -1/2$ है।
अब,$|\vec{a}|^2 = \lambda^2 |2\vec{b} + 3\vec{c}|^2 = \lambda^2 (4|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 + 12\vec{b} \cdot \vec{c})$ है।
$31 = \lambda^2 (4(1/4) + 9(4) + 12(-1/2)) = \lambda^2 (1 + 36 - 6) = 31\lambda^2$ है।
अतः,$\lambda^2 = 1$,इसलिए $\lambda = \pm 1$ है।
तब $\vec{a} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c})$ है।
हमें $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{|\vec{a} \times \vec{c}|^2}{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ का मान ज्ञात करना है।
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \times \vec{c}|^2 = |2(\vec{b} \times \vec{c})|^2 = 4|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 4(|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{c})^2) = 4(1/4 \cdot 4 - (-1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 3$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \cdot \vec{b} = \pm(2|\vec{b}|^2 + 3\vec{b} \cdot \vec{c}) = \pm(2(1/4) + 3(-1/2)) = \pm(1/2 - 3/2) = \pm(-1) = \mp 1$ है।
इसलिए,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 1$ है।
अतः,$\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{3}{1} = 3$ है।

(D) मान लीजिए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ है।
हमें $a+b+c+d = S$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है,जहाँ $S \in \{3, 5, 7, 11\}$ है।
एक प्रविष्टि के लिए जनरेटिंग फलन $(1+x+x^2+x^3+x^4) = \frac{1-x^5}{1-x}$ है।
चार प्रविष्टियों के लिए,जनरेटिंग फलन $(1-x^5)^4(1-x)^{-4}$ है।
$S=3$ के लिए: $x^3$ का गुणांक $\binom{6}{3} = 20$ है।
$S=5$ के लिए: $x^5$ का गुणांक $\binom{8}{5} - 4 = 52$ है।
$S=7$ के लिए: $x^7$ का गुणांक $\binom{10}{7} - 4\binom{5}{2} = 80$ है।
$S=11$ के लिए: $x^{11}$ का गुणांक $\binom{14}{11} - 4\binom{9}{6} + 6\binom{4}{1} = 52$ है।
कुल आव्यूहों की संख्या $= 20 + 52 + 80 + 52 = 204$।

(D) दिया गया है कि $|A|=2$ और $|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = 2^{84}$ है।
गुणधर्म $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = |2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1})|^{n-1} = (2^n |\operatorname{Adj}(2A^{-1})|)^{n-1}$.
यहाँ $|\operatorname{Adj}(2A^{-1})| = |2A^{-1}|^{n-1} = (2^n |A|^{-1})^{n-1} = (2^n \cdot 2^{-1})^{n-1} = (2^{n-1})^{n-1} = 2^{(n-1)^2}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = (2^n \cdot 2^{(n-1)^2})^{n-1} = (2^{n + n^2 - 2n + 1})^{n-1} = (2^{n^2 - n + 1})^{n-1} = 2^{(n-1)(n^2 - n + 1)}$.
दिया गया है कि $2^{(n-1)(n^2 - n + 1)} = 2^{84}$,इसलिए $(n-1)(n^2 - n + 1) = 84$.
यदि $n=5$ रखें,तो $(5-1)(25-5+1) = 4 \times 21 = 84$.
अतः,$n=5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n+r}$ है।
हम इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n(1+\frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।
अतः,व्यंजक $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$ बन जाता है।
समाकल का मान ज्ञात करने पर: $[\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.

(B) द्विपद बंटन $B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि माध्य और प्रसरण का योग $5$ है: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$.
दिया गया है कि माध्य और प्रसरण का गुणनफल $6$ है: $np \cdot npq = 6 \Rightarrow n^2p^2q = 6$.
पहले समीकरण से,$np = \frac{5}{1+q}$। इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$(\frac{5}{1+q})^2 \cdot q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2$.
$25q = 6(1 + 2q + q^2) \Rightarrow 6q^2 + 12q + 6 = 25q$.
$6q^2 - 13q + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0$.
$(3q-2)(2q-3) = 0$। चूँकि $q < 1$,इसलिए $q = \frac{2}{3}$।
तब $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$np(1+q) = 5$ का उपयोग करने पर: $n(\frac{1}{3})(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{1}{3})(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{5}{9}) = 5 \Rightarrow n = 9$.
अंत में,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$.

(C) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{a_2}=\frac{z-z_1}{a_3}$ और $\frac{x-x_2}{b_1}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{b_3}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$
यहाँ, $\vec{r_1} = (5, 2, 4)$, $\vec{r_2} = (-3, -5, 1)$, $\vec{b_1} = (1, 2, -3)$, और $\vec{b_2} = (1, 4, -5)$ है।
सबसे पहले, $\vec{r_2} - \vec{r_1} = (-3-5, -5-2, 1-4) = (-8, -7, -3)$ की गणना करें।
इसके बाद, सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+3) + \hat{k}(4-2) = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-8)(2) + (-7)(2) + (-3)(2) = -16 - 14 - 6 = -36$ है।
अतः, $d = \frac{|-36|}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$।

(D) समीकरण निकाय असंगत होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य हो।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $D = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$ की गणना करने पर।
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 1$ या $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
यदि $\lambda = 1$ है,तो निकाय $x + y + z = 1$ बन जाता है,जिसके अनंत हल होते हैं (संगत)।
यदि $\lambda = -2$ है,तो निकाय $-2x + y + z = 1$,$x - 2y + z = 1$,और $x + y - 2z = 1$ बन जाता है। इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर $0 = 3$ प्राप्त होता है,जो एक विरोधाभास है,इसलिए निकाय असंगत है।
अतः,$S = \{-2\}$ है।
योग $\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|) = (|-2|^2 + |-2|) = 4 + 2 = 6$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos ^{-1}(2 x)-2 \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}=\pi$.
चूंकि $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$,मान लीजिए $x = \sin \theta$,जहाँ $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
तब $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$. चूंकि $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$,$\cos \theta \geq 0$,इसलिए $\cos^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \cos^{-1}(\cos \theta) = |\theta|$.
स्थिति $1$: $x \geq 0 \implies \theta \in [0, \frac{\pi}{6}]$. समीकरण $\cos^{-1}(2x) - 2\theta = \pi$ बन जाता है,जो संभव नहीं है.
स्थिति $2$: $x < 0 \implies \theta \in [-\frac{\pi}{6}, 0)$. समीकरण को हल करने पर $x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है.
$x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x^2 - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$2\sin^{-1}(x^2-1) = 2\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = x \sec x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \sec x = \int (x \sec x) \cdot \sec x dx = \int x \sec^2 x dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \sec^2 x dx = x \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - \ln|\sec x| + C$.
अतः,$y \sec x = x \tan x - \ln|\sec x| + C$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot \sec(0) = 0 \cdot \tan(0) - \ln|\sec(0)| + C \Rightarrow 1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$.
इस प्रकार,$y \sec x = x \tan x - \ln|\sec x| + 1$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 1$.
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 1 \right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $1 = \ln e$,इसलिए $y = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{e\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}\right)$.

(A) स्वतुल्यता के लिए जाँच:
किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$3a - 3a + \sqrt{7} = \sqrt{7}$। चूँकि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $(a, a) \in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए जाँच:
मान लीजिए $(a, b) \in R$। तो $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$,जहाँ $I_1$ एक अपरिमेय संख्या है।
सममितता के लिए,हमें $(b, a) \in R$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है कि $3b - 3a + \sqrt{7}$ अपरिमेय होना चाहिए।
ध्यान दें कि $3b - 3a + \sqrt{7} = -(3a - 3b - \sqrt{7}) = -(I_1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - I_1$।
यदि हम $a = \frac{\sqrt{7}}{3}$ और $b = 0$ लेते हैं,तो $3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(0) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ (अपरिमेय),इसलिए $(a, b) \in R$।
हालाँकि,$(b, a)$ के लिए,हमारे पास $3(0) - 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = 0$ है,जो परिमेय है। इसलिए,$(b, a) \notin R$। $R$ सममित नहीं है।
संक्रामकता के लिए जाँच:
मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तो $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$ और $3b - 3c + \sqrt{7} = I_2$,जहाँ $I_1, I_2$ अपरिमेय हैं।
संक्रामकता के लिए,$(a, c) \in R$ का अर्थ है कि $3a - 3c + \sqrt{7}$ अपरिमेय होना चाहिए।
दोनों संबंधों को जोड़ने पर: $(3a - 3b + \sqrt{7}) + (3b - 3c + \sqrt{7}) = 3a - 3c + 2\sqrt{7} = I_1 + I_2$।
अतः,$3a - 3c + \sqrt{7} = I_1 + I_2 - \sqrt{7}$।
यदि हम $a = \frac{\sqrt{7}}{3}, b = 1, c = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ लेते हैं,तो $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,लेकिन $3a - 3c + \sqrt{7} = 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(\frac{2\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$,जो परिमेय है। इसलिए,$(a, c) \notin R$। $R$ संक्रामक नहीं है।

(D) बिंदु $P(2, -1, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $x + 2y - z = 0$ के लंबवत रेखा $PM$ का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda + 2, 2\lambda - 1, -\lambda + 3)$ के रूप में होगा।
लंबपाद $M$ के लिए,यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(\lambda + 2) + 2(2\lambda - 1) - (-\lambda + 3) = 0$.
$\lambda + 2 + 4\lambda - 2 + \lambda - 3 = 0 \implies 6\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$M$ के निर्देशांक $(\frac{1}{2} + 2, 2(\frac{1}{2}) - 1, -\frac{1}{2} + 3) = (\frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2})$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\frac{\alpha + 2}{2} = \frac{5}{2}$,$\frac{\beta - 1}{2} = 0$,और $\frac{\gamma + 3}{2} = \frac{5}{2}$ होगा।
इन्हें हल करने पर,$\alpha = 3, \beta = 1, \gamma = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$Q = (3, 1, 2)$.
बिंदु $Q(3, 1, 2)$ से समतल $3x + 2y + z + 29 = 0$ की दूरी $d = \frac{|3(3) + 2(1) + 1(2) + 29|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|9 + 2 + 2 + 29|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{42}{\sqrt{14}} = 3 \sqrt{14}$.

(A) दिया गया है $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}2+\sin 2x & \cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 2+\sin 2x & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$C_1$ से $(2+\sin 2x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & 1+\cos^2 x & \sin 2x \\ 1 & \cos^2 x & 1+\sin 2x\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर:
$f(x)=(2+\sin 2x)\left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 x & \sin 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 2+\sin 2x$.
$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ के लिए,$2x \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ है।
अतः,$\sin 2x \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$ है।
इस प्रकार,$f(x) \in \left[2+\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right]$ है।
इसलिए,$\alpha = 3$ और $\beta = 2+\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4+\sqrt{3}}{2}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ और $g(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} + x)$ जहाँ $x \in [0, 3]$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 2 + \frac{1}{1+x^2}$
$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x \in [0, 3]$ के लिए:
$f'(x) \in [2 + \frac{1}{1+3^2}, 2 + \frac{1}{1+0^2}] = [2.1, 3]$.
$g'(x) \in [\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+0^2}}] = [\frac{1}{\sqrt{10}}, 1] \approx [0.316, 1]$.
चूंकि $f'(x) > g'(x)$ सभी $x \in [0, 3]$ के लिए है,विकल्प $A$ गलत है।
$f(x)$ और $g(x)$ दोनों $[0, 3]$ पर वर्धमान फलन हैं।
अतः,$\max f(x) = f(3) = 6 + \tan^{-1} 3$ और $\max g(x) = g(3) = \ln(3 + \sqrt{10})$.
चूंकि $6 + \tan^{-1} 3 > 6$ और $\ln(3 + \sqrt{10}) \approx \ln(6.16) < 2$,यह स्पष्ट है कि $f(3) > g(3)$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,जो $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^2}{2} + k$ देता है।
यह $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 2k$ में सरल हो जाता है। चूंकि क्षेत्रफल $4\pi$ है,त्रिज्या $r = 2$ है,इसलिए $2k = 4$,जिसका अर्थ है $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 4$।
$y(1) = 0$ का उपयोग करते हुए,$(1+a)^2 + (0-2)^2 = 4$,इसलिए $(1+a)^2 = 0$,जो $a = -1$ देता है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x=0$ रखें: $(0-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 3 \implies y = 2 \pm \sqrt{3}$।
अतः $P = (0, 2+\sqrt{3})$ और $Q = (0, 2-\sqrt{3})$ है।
वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है। $P$ तक त्रिज्या की ढाल $\frac{(2+\sqrt{3})-2}{0-1} = -\sqrt{3}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल त्रिज्या की ढाल के समान होती है,जो $-\sqrt{3}$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (2+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}(x-0) \implies y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}$ है।
$R$ के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3} \implies x_R = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$।
इसी प्रकार,$Q$ के लिए,त्रिज्या की ढाल $\frac{(2-\sqrt{3})-2}{0-1} = \sqrt{3}$ है।
$Q$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(x-0) \implies y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$ है।
$S$ के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3} \implies x_S = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$।
लंबाई $RS = |x_R - x_S| = |(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) - (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})| = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$।

(C) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 18$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 36$.
दिए गए शीर्ष: $A(2,6,2), B(-4,0,\lambda), C(2,3,-1), D(4,5,0)$.
सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} = (2-2)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (4-(-4))\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (0-\lambda)\hat{k} = 8\hat{i} + 5\hat{j} - \lambda\hat{k}$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -3 \\ 8 & 5 & -\lambda \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 15) - \hat{j}(0 - (-24)) + \hat{k}(0 - (-24)) = (3\lambda + 15)\hat{i} - 24\hat{j} + 24\hat{k}$.
इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(3\lambda + 15)^2 + (-24)^2 + (24)^2} = 36$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3\lambda + 15)^2 + 576 + 576 = 1296$.
$(3\lambda + 15)^2 = 1296 - 1152 = 144$.
$3\lambda + 15 = \pm 12$.
स्थिति $1$: $3\lambda + 15 = 12 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$.
स्थिति $2$: $3\lambda + 15 = -12 \Rightarrow 3\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -9$.
चूँकि $|\lambda| \leq 5$,हम $\lambda = -1$ चुनते हैं।
अंत में,$5 - 6\lambda = 5 - 6(-1) = 5 + 6 = 11$.

(C) माना $I = \int \limits_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx$.
$t = 2x^{21} + 3x^{14} + 6x^7$ लेने पर,
$dt = (42x^{20} + 42x^{13} + 42x^6) dx = 42x^6(x^{14} + x^7 + 1) dx$.
अतः,$\int_0^1 (x^{21}+x^{14}+x^7)(2x^{14}+3x^7+6)^{1/7} dx = \frac{1}{42} \int_0^{11} t^{1/7} dt = \frac{1}{42} [\frac{7}{8} t^{8/7}]_0^{11} = \frac{1}{48} (11)^{8/7}$.
यहाँ $l = 48, m = 8, n = 7$ है। चूँकि $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,$l+m+n = 48+8+7 = 63$.

(C) दिया गया है $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$।
तब $f^{\prime}(x)=2 x+g^{\prime}(1)$ और $f^{\prime \prime}(x)=2$ है।
दिया गया है $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$।
$f^{\prime}(x)$ और $f^{\prime \prime}(x)$ के मानों को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(x)=f(1) x^2+x(2 x+g^{\prime}(1))+2 = (f(1)+2) x^2+g^{\prime}(1) x+2$।
अब,$g^{\prime}(x)=2(f(1)+2) x+g^{\prime}(1)$ और $g^{\prime \prime}(x)=2(f(1)+2)$ है।
$f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ से,$f(1)=1+g^{\prime}(1)+g^{\prime \prime}(2)$ है।
चूंकि $g^{\prime \prime}(x)$ एक स्थिरांक है,$g^{\prime \prime}(2)=g^{\prime \prime}(x)=2(f(1)+2)$।
अतः,$f(1)=1+g^{\prime}(1)+2(f(1)+2) \implies f(1)=1+g^{\prime}(1)+2 f(1)+4 \implies f(1)+g^{\prime}(1)=-5$।
साथ ही,$g^{\prime}(1)=2(f(1)+2)(1)+g^{\prime}(1) \implies 0=2 f(1)+4 \implies f(1)=-2$।
$f(1)=-2$ को $f(1)+g^{\prime}(1)=-5$ में रखने पर,हमें $-2+g^{\prime}(1)=-5 \implies g^{\prime}(1)=-3$ प्राप्त होता है।
अब,$g^{\prime \prime}(2)=2(-2+2)=0$ है।
इस प्रकार,$f(x)=x^2-3 x+0=x^2-3 x$ है।
और $g(x)=(-2+2) x^2-3 x+2=-3 x+2$ है।
अंत में,$f(4)-g(4)=(4^2-3(4))-(-3(4)+2) = (16-12)-(-12+2) = 4-(-10) = 14$।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल का न्यूनतम मान $-|\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| = -\alpha \sqrt{3401}$ है।
दिया गया है $|\vec{u}| = \alpha$,इसलिए $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{3401}$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{w}$ की गणना करने पर:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -3 \\ 2\alpha & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 3) - \hat{j}(-\alpha + 6\alpha) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha) = \hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k}$.
अब,$|\vec{v} \times \vec{w}|^2 = 1^2 + (-5\alpha)^2 + (-3\alpha)^2 = 1 + 25\alpha^2 + 9\alpha^2 = 1 + 34\alpha^2$.
इसे $3401$ के बराबर रखने पर: $1 + 34\alpha^2 = 3401 \implies 34\alpha^2 = 3400 \implies \alpha^2 = 100 \implies \alpha = 10$.
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\vec{u}$,$\vec{v} \times \vec{w}$ की विपरीत दिशा में हो,इसलिए $\vec{u} = -k(\hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k})$ जहाँ $k > 0$.
$|\vec{u}| = k \sqrt{1 + 34\alpha^2} = k \sqrt{3401} = \alpha = 10 \implies k = \frac{10}{\sqrt{3401}}$.
अतः $\vec{u} = -\frac{10}{\sqrt{3401}}(\hat{i} - 50\hat{j} - 30\hat{k})$.
$|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2 = |-\frac{10}{\sqrt{3401}}|^2 = \frac{100}{3401}$.
इस प्रकार $m = 100$ और $n = 3401$ है। चूँकि $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,$m + n = 100 + 3401 = 3501$.

(C) फलन $y = x|x-3|$ है। अंतराल $[-1, 2]$ के लिए,$x-3$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $|x-3| = 3-x$.
अतः,$y = x(3-x) = 3x - x^2$.
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $3x - x^2$ ऋणात्मक है और $x \in [0, 2]$ के लिए धनात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार होगा:
$A = \int_{-1}^{0} -(3x - x^2) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (x^2 - 3x) dx + \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$
$A = [x^3/3 - 3x^2/2]_{-1}^{0} + [3x^2/2 - x^3/3]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-1/3 - 3/2)) + (6 - 8/3 - 0) = (11/6) + (10/3) = 31/6$.
इसलिए,$12A = 12 \times (31/6) = 62$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ है,जहाँ $k = \int_0^2 f(t) dt$ एक स्थिरांक है।
रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = k$ का सामान्य हल समाकलन गुणक $e^{\int 1 dx} = e^x$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक से गुणा करने पर: $e^x f(x) = \int k e^x dx = k e^x + c$.
अतः,$f(x) = k + c e^{-x}$ है।
प्रतिबंध $f(0) = e^{-2}$ का उपयोग करने पर,हमें $e^{-2} = k + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = e^{-2} - k$ है।
$c$ का मान वापस रखने पर: $f(x) = k + (e^{-2} - k)e^{-x}$ है।
अब,$k = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (k + (e^{-2} - k)e^{-t}) dt$ की गणना करें।
$k = [kt - (e^{-2} - k)e^{-t}]_0^2 = (2k - (e^{-2} - k)e^{-2}) - (0 - (e^{-2} - k)) = 2k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} - k$.
$k = k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} \implies (e^{-2} - k)e^{-2} = e^{-2}$.
$e^{-2}$ से विभाजित करने पर (चूंकि $e^{-2} \neq 0$): $e^{-2} - k = 1$,इसलिए $k = e^{-2} - 1$ है।
अतः $f(x) = (e^{-2} - 1) + 1 \cdot e^{-x} = e^{-2} - 1 + e^{-x}$ है।
$f(0) = e^{-2} - 1 + 1 = e^{-2}$ है।
$f(2) = e^{-2} - 1 + e^{-2} = 2e^{-2} - 1$ है।
$2f(0) - f(2) = 2(e^{-2}) - (2e^{-2} - 1) = 1$।

(C) दी गई शर्त $0 < x < 1$ है।
समीकरण $2 \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ है।
मान लीजिए $x = \tan \theta$ है। चूँकि $0 < x < 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = \tan \theta$ रखने पर:
$2 \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$.
सर्वसमिका $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta)) = \cos^{-1}(\cos 2\theta)$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \frac{\pi}{4} - \theta < \frac{\pi}{4}$ और $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2(\frac{\pi}{4} - \theta) = 2\theta$.
$\frac{\pi}{2} - 2\theta = 2\theta \implies 4\theta = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{8}$.
इसलिए $x = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ है।
चूँकि $0.414 < 0.5$,इसलिए $n(S) = 1$ और अवयव $\frac{1}{2}$ से कम है।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
शर्त $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ से,हमारे पास $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda\overrightarrow{a}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,इसलिए $(\overrightarrow{c} + \lambda\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(0) + (-3)(1) = 1 - 3 = -2$।
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(1) + (-7)(0) + (5)(1) = 2 + 5 = 7$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-2 + 7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{7}$।
अब,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \frac{2}{7}\overrightarrow{a} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + \frac{2}{7}(2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}) = \frac{11}{7}\hat{i} - \frac{11}{7}\hat{k}$।
अंत में,$|\overrightarrow{r}| = \sqrt{(\frac{11}{7})^2 + 0^2 + (-\frac{11}{7})^2} = \frac{11}{7}\sqrt{2}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos 60^{\circ} & \sin 60^{\circ} \\ -\sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{bmatrix}$.
माना $\alpha = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.
अतः $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & \sin(n\alpha) \\ -\sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$.
$A^{30}$ के लिए,$n = 30$,इसलिए $n\alpha = 30 \times \frac{\pi}{3} = 10\pi$.
$A^{30} = \begin{bmatrix} \cos(10\pi) & \sin(10\pi) \\ -\sin(10\pi) & \cos(10\pi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^{25}$ के लिए,$n = 25$,इसलिए $n\alpha = 25 \times \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$.
$A^{25} = \begin{bmatrix} \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) \\ -\sin(8\pi + \frac{\pi}{3}) & \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & \sin(\frac{\pi}{3}) \\ -\sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{bmatrix} = A$.
इस प्रकार,$A^{30} = I$ और $A^{25} = A$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $A^{30} + A^{25} - A = I + A - A = I$. अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया फलन समीकरण: $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1 + x$ $(1)$
$(1)$ में $x = 2$ रखने पर:
$f(2) + f\left(\frac{1}{1-2}\right) = 1 + 2$
$f(2) + f(-1) = 3$ $(2)$
$(1)$ में $x = -1$ रखने पर:
$f(-1) + f\left(\frac{1}{1-(-1)}\right) = 1 + (-1)$
$f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ $(3)$
$(1)$ में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{1-1/2}\right) = 1 + \frac{1}{2}$
$f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2) = \frac{3}{2}$ $(4)$
अब,$(2) + (4) - (3)$ करने पर:
$(f(2) + f(-1)) + (f\left(\frac{1}{2}\right) + f(2)) - (f(-1) + f\left(\frac{1}{2}\right)) = 3 + \frac{3}{2} - 0$
$2f(2) = \frac{9}{2}$
$f(2) = \frac{9}{4}$

(A) समतल $P_1: 2x + 3y - z - 2 = 0$ और $P_2: x + 2y + 3z - 6 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल $P$ का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x + 3y - z - 2) + \lambda(x + 2y + 3z - 6) = 0$
$(2 + \lambda)x + (3 + 2\lambda)y + (3\lambda - 1)z - (2 + 6\lambda) = 0$.
चूंकि $P$,समतल $2x + y - z + 1 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंबों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2 + \lambda) + 1(3 + 2\lambda) - 1(3\lambda - 1) = 0$
$4 + 2\lambda + 3 + 2\lambda - 3\lambda + 1 = 0$
$\lambda + 8 = 0 \implies \lambda = -8$.
$\lambda = -8$ को $P$ के समीकरण में रखने पर:
$(2 - 8)x + (3 - 16)y + (-24 - 1)z - (2 - 48) = 0$
$-6x - 13y - 25z + 46 = 0 \implies 6x + 13y + 25z - 46 = 0$.
बिंदु $(-7, 1, 1)$ से समतल $6x + 13y + 25z - 46 = 0$ की दूरी $d$:
$d = \frac{|6(-7) + 13(1) + 25(1) - 46|}{\sqrt{6^2 + 13^2 + 25^2}} = \frac{|-42 + 13 + 25 - 46|}{\sqrt{36 + 169 + 625}} = \frac{|-50|}{\sqrt{830}} = \frac{50}{\sqrt{830}}$.
अतः,$d^2 = \frac{50^2}{830} = \frac{2500}{830} = \frac{250}{83}$.

(A) दिया गया है $f(x) = |x^2 - 5x + 6| - 3x + 2$. $x^2 - 5x + 6 = 0$ के मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
$x \in [-1, 2]$ के लिए,$x^2 - 5x + 6 \ge 0$,इसलिए $f(x) = x^2 - 5x + 6 - 3x + 2 = x^2 - 8x + 8$।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$x^2 - 5x + 6 \le 0$,इसलिए $f(x) = -(x^2 - 5x + 6) - 3x + 2 = -x^2 + 2x - 4$।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं की जाँच करें:
$1$. $x \in [-1, 2]$ के लिए,$f'(x) = 2x - 8$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 4$ प्राप्त होता है,जो अंतराल के बाहर है। इसलिए,अंतिम बिंदुओं की जाँच करें: $f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 8 = 1 + 8 + 8 = 17$ और $f(2) = 2^2 - 8(2) + 8 = 4 - 16 + 8 = -4$।
$2$. $x \in [2, 3]$ के लिए,$f'(x) = -2x + 2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1$ प्राप्त होता है,जो अंतराल के बाहर है। इसलिए,अंतिम बिंदुओं की जाँच करें: $f(2) = -4$ और $f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 4 = -9 + 6 - 4 = -7$।
निरपेक्ष अधिकतम मान $17$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $-7$ है।
निरपेक्ष अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $17 + (-7) = 10$ है।

(A) संबंध $R_1$ के लिए: शर्त $(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) = \varnothing$ सममित अंतर $A \Delta B = \varnothing$ की परिभाषा है,जिसका अर्थ है $A = B$। चूंकि $A = B$ एक तुल्यता संबंध है (स्वतुल्य,सममित और संक्रामक),इसलिए $R_1$ एक तुल्यता संबंध है।
संबंध $R_2$ के लिए: शर्त $A \cup B^c = B \cup A^c$ का विश्लेषण समुच्चय गुणों का उपयोग करके किया जा सकता है।
$A \cup B^c = B \cup A^c \iff (A \cup B^c) \cap (A \cap B) = (B \cup A^c) \cap (A \cap B) \iff A = B$.
वेन आरेख के क्षेत्रों का उपयोग करते हुए जहाँ $a, b, c, d$ अलग-अलग क्षेत्रों को दर्शाते हैं: $A = a \cup c$ और $B = b \cup c$।
$A \cup B^c = (a \cup c) \cup (a \cup d) = a \cup c \cup d$।
$B \cup A^c = (b \cup c) \cup (b \cup d) = b \cup c \cup d$।
इन्हें बराबर करने पर $a \cup c \cup d = b \cup c \cup d$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$। चूंकि $a$ और $b$ क्रमशः $A$ और $B$ के लिए अद्वितीय क्षेत्र हैं,$a = b = \varnothing$ का अर्थ है $A = B$। इस प्रकार,$R_2$ भी एक तुल्यता संबंध है।
अतः,$R_1$ और $R_2$ दोनों तुल्यता संबंध हैं।

(B) यह क्षेत्र $y = 1$,$y = x^2$,और $xy = 8$ (या $y = 8/x$) द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 = 1 \implies x = 1$ ($x > 0$ के लिए)।
$x^2 = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$।
$8/x = 1 \implies x = 8$।
क्षेत्रफल दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx + \int \limits_2^8 (8/x - 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 + \left[ 8 \ln|x| - x \right]_2^8$
$= \left( (8/3 - 2) - (1/3 - 1) \right) + \left( (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) \right)$
$= (2/3 - (-2/3)) + (8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2)$
$= 4/3 + 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6$
$= 16 \ln 2 + 4/3 - 6$
$= 16 \ln 2 - 14/3$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.
मान लीजिए $y^2 = t$. तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 \frac{dt}{dx} + xt = 1$.
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dx} + \frac{1}{x} t = \frac{1}{x^2}$.
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
हल $t \cdot x = \int \frac{1}{x^2} \cdot x dx + C = \int \frac{1}{x} dx + C = \ln x + C$ है।
$t = y^2$ रखने पर,$xy^2 = \ln x + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y(2) = \sqrt{\ln 2}$,इसलिए $y^2(2) = \ln 2$. $x=2$ और $y^2=\ln 2$ रखने पर: $2(\ln 2) = \ln 2 + C$,जिससे $C = \ln 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy^2 = \ln x + \ln 2 = \ln(2x)$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $e^{xy^2} = 2x$,या $2x = \exp(x^1 y^2)$.
इसकी तुलना $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$,$\beta = 1$,और $\gamma = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta - \gamma = 2 + 1 - 2 = 1$.

(D) माना $I = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x$ $(1)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = 0$,हम $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2(-x)} d x = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(x+\frac{\pi}{4}) + (-x+\frac{\pi}{4})}{2-\cos 2 x} d x = \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{2}}{2-\cos 2 x} d x$
चूँकि फलन सम है,$2I = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x = \pi \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} dx$
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{4}, t=1$:
$I = \frac{\pi}{2} \int \limits_0^1 \frac{dt}{1+3t^2} = \frac{\pi}{2 \cdot 3} \int \limits_0^1 \frac{dt}{\frac{1}{3}+t^2} = \frac{\pi}{6} \cdot \sqrt{3} [\tan^{-1}(\sqrt{3}t)]_0^1 = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$

(A) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2-1) - 1(a-1) + 1(1-a) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)$ है।
जब $a=1$ होता है,तो समीकरण $x+y+z=1$,$x+y+z=1$,$x+y+z=\beta$ बन जाते हैं। यदि $\beta=1$ है,तो अनंत हल प्राप्त होते हैं। अतः,विकल्प $D$ सही है।
जब $a=-2$ होता है,तो $D=0$ होता है। $\beta=1$ के लिए संवर्धित आव्यूह $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ है। पंक्तियों को जोड़ने पर $0=3$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,कोई हल नहीं है। विकल्प $B$ सही है।
जब $a=2$ और $\beta=1$ होता है,तो $D = (2-1)^2(2+2) = 4 \neq 0$ होता है। निकाय का अद्वितीय हल है। क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर,$x=y=z = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है। अतः $x+y+z = \frac{3}{4}$ है। विकल्प $C$ सही है।
जब $a=2$ और $\beta=-1$ होता है,तो $D=4 \neq 0$ होने के कारण,निकाय का अद्वितीय हल होता है,न कि अनंत हल। अतः,विकल्प $A$ गलत है।

(D) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ दिया गया है।
डॉट गुणनफल: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(1) + (-1)(3) + (-3)(5) = 5 - 3 - 15 = -13$.
$\vec{b}$ का परिमाण: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
अतः,अदिश प्रक्षेप $\frac{-13}{\sqrt{35}}$ है।
चूंकि अदिश प्रक्षेप ऋणात्मक है,इसलिए प्रक्षेप सदिश की दिशा $\vec{b}$ की दिशा के विपरीत है। विकल्प $D$ सही है।

(C) दिया गया है $y(x) = x^x$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = x \ln x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} y^{\prime} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
अतः,$y^{\prime} = y(1 + \ln x) = x^x(1 + \ln x)$.
अब,गुणन नियम का उपयोग करके $y^{\prime}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}[x^x] \cdot (1 + \ln x) + x^x \cdot \frac{d}{dx}[1 + \ln x]$
$y^{\prime \prime} = x^x(1 + \ln x)(1 + \ln x) + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \ln x)^2 + x^{x-1}$.
$x = 2$ पर:
$y^{\prime}(2) = 2^2(1 + \ln 2) = 4(1 + \ln 2)$.
$y^{\prime \prime}(2) = 2^2(1 + \ln 2)^2 + 2^{2-1} = 4(1 + \ln 2)^2 + 2$.
अब $y^{\prime \prime}(2) - 2y^{\prime}(2)$ की गणना करने पर:
$= 4(1 + \ln 2)^2 + 2 - 2[4(1 + \ln 2)]$
$= 4(1 + 2\ln 2 + (\ln 2)^2) + 2 - 8 - 8\ln 2$
$= 4 + 8\ln 2 + 4(\ln 2)^2 + 2 - 8 - 8\ln 2$
$= 4(\ln 2)^2 - 2$.

(B) माना $I = \int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x)}{1+5^{\cos x}} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \limits_0^\pi \frac{5^{-\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x)}{1+5^{-\cos x}} dx$.
अंश और हर को $5^{\cos x}$ से गुणा करने पर,$I = \int \limits_0^\pi \frac{1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x}{1+5^{\cos x}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int \limits_0^\pi (1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx$.
चूंकि फलन $x = \pi/2$ के परितः सममित है,$2I = 2 \int \limits_0^{\pi/2} (1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx$.
$I = \int \limits_0^{\pi/2} (1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$I = \frac{13\pi}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 13$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$k=26$ सही विकल्प है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$(1, 2, 3)$ और $(-2, 3, 5)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश है।
$\vec{n} = (-2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = -3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(3, -2, 5)$ और अभिलंब सदिश $(-3, 1, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(x-3) + 1(y+2) + 2(z-5) = 0$.
$-3x + 9 + y + 2 + 2z - 10 = 0$.
$-3x + y + 2z = -1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ के रूप में लाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$3x - y - 2z = 1$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$,$\beta = -1$,और $\gamma = -2$ प्राप्त होता है।
गुणनफल $\alpha \beta \gamma = (3)(-1)(-2) = 6$।

(B) बिंदुओं $A(-3,-6,1)$ और $B(2,4,-3)$ से गुजरने वाली रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = (2 - (-3), 4 - (-6), -3 - 1) = (5, 10, -4)$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-2}{5} = \frac{y-4}{10} = \frac{z+3}{-4} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(5\lambda+2, 10\lambda+4, -4\lambda-3)$ है।
चूंकि $C$ समतल $8x+y+2z=0$ पर स्थित है,इसलिए $8(5\lambda+2) + (10\lambda+4) + 2(-4\lambda-3) = 0$ है।
$40\lambda + 16 + 10\lambda + 4 - 8\lambda - 6 = 0 \implies 42\lambda + 14 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$।
$\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर,$C = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3} = \mu$ है। $L$ पर कोई भी बिंदु $D(-\mu+1, 2\mu-4, 3\mu-2)$ है।
सदिश $\vec{CD} = (-\mu+\frac{2}{3}, 2\mu-\frac{14}{3}, 3\mu-\frac{1}{3})$ है।
चूंकि $CD \perp L$,इसलिए $\vec{CD}$ और $L$ के दिक सदिश $(-1, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल $0$ है।
$-1(-\mu+\frac{2}{3}) + 2(2\mu-\frac{14}{3}) + 3(3\mu-\frac{1}{3}) = 0$।
$\mu - \frac{2}{3} + 4\mu - \frac{28}{3} + 9\mu - 1 = 0 \implies 14\mu = 11 \implies \mu = \frac{11}{14}$।
$\mu = \frac{11}{14}$ रखने पर,$\vec{CD} = (-\frac{5}{42}, -\frac{70}{42}, \frac{85}{42})$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(1, 14, -17)$ हैं। $|a+b+c| = |1 + 14 - 17| = 2$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $10$ है।