मान लीजिए alpha x = exp(x^beta y^gamma) अवकल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.मान लीजिए $y^2 = t$. तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.मान लीजिए $y^2 = t$. तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 \frac{dt}{dx} + xt = 1$.$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dx} + \frac{1}{x} t = \frac{1}{x^2}$.समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.हल $t \cdot x = \int \frac{1}{x^2} \cdot x dx + C = \int \frac{1}{x} dx + C = \ln x + C$ है।$t = y^2$ रखने पर,$xy^2 = \ln x + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है $y(2) = \sqrt{\ln 2}$,इसलिए $y^2(2) = \ln 2$. $x=2$ और $y^2=\ln 2$ रखने पर: $2(\ln 2) = \ln 2 + C$,जिससे $C = \ln 2$ प्राप्त होता है।अतः,$xy^2 = \ln x + \ln 2 = \ln(2x)$.दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $e^{xy^2} = 2x$,या $2x = \exp(x^1 y^2)$.इसकी तुलना $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$,$\beta = 1$,और $\gamma = 2$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\alpha + \beta - \gamma = 2 + 1 - 2 = 1$.

मान लीजिए $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ अवकल समीकरण $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ का हल है,जहाँ $x > 0$ और $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ है। तो $\alpha + \beta - \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

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