$A (2,6,2), B (-4,0, \lambda), C (2,3,-1)$ और $D (4,5,0)$,जहाँ $|\lambda| \leq 5$,एक चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं। यदि इसका क्षेत्रफल $18$ वर्ग इकाई है,तो $5-6 \lambda$ का मान $.........$ है।

यदि $|\vec{a}|=10, |\vec{b}|=2$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{u}| = 8$ और $|\bar{v}| = 12$ है और उनके बीच का कोण $150^{\circ}$ है,तो $|\bar{u} \times \bar{v}|$ ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a} = \bar{i} - 2\bar{j} - 2\bar{k}$ और $\bar{b} = 2\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$ दो सदिश हैं,तो $(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b}) = $

यदि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ है,तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।