JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि $n(A) = 5$ और $n(B) = 2$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 2 = 10$ है।
हमें $A \times B$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ और अधिक से अधिक $6$ अवयव हों।
यह संचय के योग की गणना करने के बराबर है: ${}^{10}C_3 + {}^{10}C_4 + {}^{10}C_5 + {}^{10}C_6$।
प्रत्येक पद की गणना:
${}^{10}C_3 = 120$
${}^{10}C_4 = 210$
${}^{10}C_5 = 252$
${}^{10}C_6 = 210$
इन मानों का योग: $120 + 210 + 252 + 210 = 792$।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1-\cos ^2(3 x)}{\cos ^3(4 x)} \cdot \frac{\sin ^3(4 x)}{(\ln(1+2 x))^5} \right)$.
सर्वसमिका $1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(3x)}{\cos^3(4x)} \cdot \frac{\sin^3(4x)}{(\ln(1+2x))^5}$.
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot (3x)^2 \right) \cdot \frac{1}{\cos^3(4x)} \cdot \left( \frac{\sin^3(4x)}{(4x)^3} \cdot (4x)^3 \right) \cdot \left( \frac{2x}{\ln(1+2x)} \right)^5 \cdot \frac{1}{(2x)^5}$.
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( 1^2 \cdot 9x^2 \right) \cdot \frac{1}{1} \cdot \left( 1^3 \cdot 64x^3 \right) \cdot 1^5 \cdot \frac{1}{32x^5}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \cdot 64 \cdot x^5}{32 \cdot x^5} = \frac{576}{32} = 18$.

(B) दिया गया है $|z+2|=z+4(1+i)$,जहाँ $z=\alpha+i\beta$.
$|\alpha+i\beta+2| = \alpha+i\beta+4+4i$.
$|(\alpha+2)+i\beta| = (\alpha+4)+i(\beta+4)$.
चूँकि मापांक एक वास्तविक संख्या है,दाहिने पक्ष का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\beta+4=0 \implies \beta=-4$.
अब,वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2} = \alpha+4$.
$\beta=-4$ रखने पर:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+(-4)^2} = \alpha+4$.
$(\alpha+2)^2+16 = (\alpha+4)^2$.
$\alpha^2+4\alpha+4+16 = \alpha^2+8\alpha+16$.
$4\alpha = 4 \implies \alpha=1$.
अतः,$\alpha=1$ और $\beta=-4$.
मूलों का योग: $\alpha+\beta = 1-4 = -3$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = 1(-4) = -4$.
मूल $S = -3$ और $P = -4$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।
$x^2 - (-3)x + (-4) = 0 \implies x^2+3x-4=0$.

(B) $\left(3x^2 - \frac{1}{2x^5}\right)^7$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^7C_r (3x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{2x^5}\right)^r$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,$T_{r+1} = {}^7C_r \cdot 3^{7-r} \cdot (-1/2)^r \cdot x^{14-7r}$ प्राप्त होता है।
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए,अतः $14 - 7r = 0$,जिससे $r = 2$ प्राप्त होता है।
$r = 2$ रखने पर,$\alpha = {}^7C_2 \cdot 3^5 \cdot (-1/2)^2 = 21 \cdot 243 \cdot \frac{1}{4} = 1275.75$.
अतः,$[\alpha] = [1275.75] = 1275$.

(B) $n!$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $p$ की सबसे बड़ी घात ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
यहाँ,$n = 66$ और $p = 3$ है।
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{3^2} \right] + \left[ \frac{66}{3^3} \right]$
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{9} \right] + \left[ \frac{66}{27} \right]$
$E_3(66!) = 22 + 7 + 2 = 31$.
अतः,सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या $n$,$31$ है।

(B) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2-4x-2y+5-\alpha=0$ है।
केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{\alpha}$ है।
परावर्तन की रेखा $2x-y+1=0$ है।
$C_2$ का केंद्र $(f, g)$ है। $(2, 1)$ का $2x-y+1=0$ में प्रतिबिंब $\frac{f-2}{2} = \frac{g-1}{-1} = \frac{-2(2(2)-1+1)}{5} = -\frac{8}{5}$ है।
अतः,$f = -\frac{6}{5}$ और $g = \frac{13}{5}$ है।
$C_2$ की त्रिज्या $r = \sqrt{f^2+g^2-\frac{36}{5}} = 1$ है।
परावर्तन त्रिज्या को संरक्षित करता है,इसलिए $r = r_1 = \sqrt{\alpha} = 1$,अर्थात $\alpha = 1$ है।
अतः,$\alpha+r = 1+1 = 2$.

(B) $8$ संख्याओं का माध्य $9$ दिया गया है:
$\frac{x + y + 52}{8} = 9 \Rightarrow x + y = 20$
प्रसरण $9.25$ दिया गया है:
$\frac{x^2 + y^2 + 504}{8} - 81 = 9.25 \Rightarrow x^2 + y^2 = 218$
$y = 20 - x$ रखने पर:
$x^2 + (20 - x)^2 = 218 \Rightarrow x^2 - 20x + 91 = 0$
$(x - 13)(x - 7) = 0$
चूँकि $x > y$,इसलिए $x = 13$ और $y = 7$ है।
अतः,$3x - 2y = 3(13) - 2(7) = 25$.

(C) दिया गया है $n = 12$,$\bar{x} = \frac{9}{2}$,और $\sigma^2 = 4$.
$\sum x = n \times \bar{x} = 12 \times \frac{9}{2} = 54$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 \implies 4 = \frac{\sum x^2}{12} - (\frac{9}{2})^2$.
$\frac{\sum x^2}{12} = 4 + \frac{81}{4} = \frac{16 + 81}{4} = \frac{97}{4}$.
$\sum x^2 = 12 \times \frac{97}{4} = 3 \times 97 = 291$.
सही योग $\sum x_{\text{new}} = 54 - (9 + 10) + (7 + 14) = 54 - 19 + 21 = 56$.
वर्गों का सही योग $\sum x_{\text{new}}^2 = 291 - (9^2 + 10^2) + (7^2 + 14^2) = 291 - (81 + 100) + (49 + 196) = 291 - 181 + 245 = 355$.
सही प्रसरण $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{\text{new}}^2}{n} - (\frac{\sum x_{\text{new}}}{n})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{56}{12})^2 = \frac{355}{12} - (\frac{14}{3})^2 = \frac{355}{12} - \frac{196}{9}$.
$\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{355 \times 3 - 196 \times 4}{36} = \frac{1065 - 784}{36} = \frac{281}{36}$.
चूँकि $m = 281$ और $n = 36$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $m + n = 281 + 36 = 317$.

(C) श्रेणी $5, 8, 14, 23, 35, 50, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $d_n = a_{n+1} - a_n$ है।
अंतर $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ $n^{\text{th}}$ अंतर $3n$ है।
अतः,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 5 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 10}{2}$.
$n=40$ के लिए,$a_{40} = \frac{3(40)^2 - 3(40) + 10}{2} = 2345$.
अब,$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2 - 3k + 10}{2} = \frac{3}{2} \sum k^2 - \frac{3}{2} \sum k + 5 \sum 1$.
$S_{30} = \frac{3}{2} \left( \frac{30(31)(61)}{6} \right) - \frac{3}{2} \left( \frac{30(31)}{2} \right) + 5(30) = 13635$.
अंत में,$S_{30} - a_{40} = 13635 - 2345 = 11290$.

(C) मान लीजिए $z = \frac{1+2i \sin \theta}{1-i \sin \theta}$।
$z$ को शुद्ध काल्पनिक बनाने के लिए, इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+2i \sin \theta)(1+i \sin \theta)}{(1-i \sin \theta)(1+i \sin \theta)} = \frac{1 + i \sin \theta + 2i \sin \theta + 2i^2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = \frac{(1 - 2 \sin^2 \theta) + i(3 \sin \theta)}{1 + \sin^2 \theta}$।
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, $\operatorname{Re}(z) = 0$, इसलिए $\frac{1 - 2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = 0$।
इसका अर्थ है $1 - 2 \sin^2 \theta = 0$, या $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$, जिसका अर्थ है $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में, $\theta$ के लिए हल $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इन अवयवों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ है।

(A) $\left(2x^2+\frac{1}{2x}\right)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{11}C_r (2x^2)^{11-r} \left(\frac{1}{2x}\right)^r = {}^{11}C_r \cdot 2^{11-2r} \cdot x^{22-3r}$
$x^{10}$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 10 \implies r = 4$.
गुणांक $= {}^{11}C_4 \cdot 2^3 = 330 \cdot 8 = 2640$.
$x^7$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 7 \implies r = 5$.
गुणांक $= {}^{11}C_5 \cdot 2^1 = 462 \cdot 2 = 924$.
अंतर $= 2640 - 924 = 1716$.
$12^3 - 12 = 1728 - 12 = 1716$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
कुल व्यवस्थाएं = $\frac{11!}{2! 2! 2!} = 4989600$.
$C$ और $S$ के एक साथ आने वाली व्यवस्थाओं को खोजने के लिए,$(CS)$ को एक इकाई मानें। अब हमारे पास $10$ इकाइयां हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, (CS)$.
$C$ और $S$ के एक साथ आने वाली व्यवस्थाएं = $\frac{10!}{2! 2! 2!} \times 2! = 907200$.
उन शब्दों की संख्या जिनमें $C$ और $S$ एक साथ नहीं आते हैं = $4989600 - 907200 = 4082400$.
हमें दिया गया है कि यह $(6!) k = 720k$ है।
$720k = 4082400$.
$k = 5670$.

(D) सर्वसमिका $4 \cos^2 \theta - 1 = \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,हम गुणनफल के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$36 \times \left( \frac{\sin 27^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 81^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 243^{\circ}}{\sin 81^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 243^{\circ}} \right)$
अंश और हर में समान पदों को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$36 \times \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 9^{\circ}}$
चूंकि $\sin 729^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 9^{\circ}) = \sin 9^{\circ}$,इसलिए व्यंजक सरल होकर हो जाता है:
$36 \times \frac{\sin 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} = 36$

(A) माना $E = 25^{190} - 19^{190} - 8^{190} + 2^{190}$.
हम इसे $E = (25^{190} - 8^{190}) - (19^{190} - 2^{190})$ के रूप में लिख सकते हैं।
किसी भी सम संख्या $n$ के लिए $a^n - b^n$,$a - b$ से विभाज्य होता है,इसलिए:
$25^{190} - 8^{190}$,$25 - 8 = 17$ से विभाज्य है।
$19^{190} - 2^{190}$,$19 - 2 = 17$ से विभाज्य है।
अतः,$E$,$17$ से विभाज्य है।
साथ ही,$E = (25^{190} - 19^{190}) - (8^{190} - 2^{190})$।
$25^{190} - 19^{190}$,$25 - 19 = 6$ से विभाज्य है।
$8^{190} - 2^{190}$,$8 - 2 = 6$ से विभाज्य है।
अतः,$E$,$6$ से विभाज्य है।
चूंकि $E$,$17$ और $6$ से विभाज्य है,और $\text{gcd}(17, 6) = 1$,इसलिए $E$,$17 \times 2 = 34$ से विभाज्य है।
$14$ के लिए जाँच करने पर: $E \equiv 3 \pmod{7}$,इसलिए यह $14$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,यह $34$ से विभाज्य है लेकिन $14$ से नहीं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+8=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(3, -2)$ है।
चूँकि $OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $\angle OPO = 90^\circ$ और $\angle OQO = 90^\circ$ है।
अतः,$OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O$ और केंद्र $C(3, -2)$ पर समकोण बनाते हैं।
$OC$ को व्यास मानकर बनाया गया वृत्त $\triangle OPQ$ का परिवृत्त है।
$O(0, 0)$ और $C(3, -2)$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण:
$(x-0)(x-3) + (y-0)(y+2) = 0$
$x^2 - 3x + y^2 + 2y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0$
यह वृत्त $(\alpha, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$\alpha^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3\alpha + 2(\frac{1}{2}) = 0$
$\alpha^2 + \frac{1}{4} - 3\alpha + 1 = 0$
$\alpha^2 - 3\alpha + \frac{5}{4} = 0$
$4\alpha^2 - 12\alpha + 5 = 0$
$(2\alpha - 1)(2\alpha - 5) = 0$
अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$ या $\alpha = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $S = (p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$S = (p \vee (\sim p)) \wedge ((\sim q) \vee (\sim p))$
चूंकि $(p \vee (\sim p))$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है,इसलिए:
$S = T \wedge ((\sim q) \vee (\sim p)) = (\sim q) \vee (\sim p)$
अब,हमें $S$ का निषेध ज्ञात करना है:
$\sim S = \sim ((\sim q) \vee (\sim p))$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim S = (\sim (\sim q)) \wedge (\sim (\sim p))$
$\sim S = q \wedge p = p \wedge q$
अतः,निषेध $p \wedge q$ के समतुल्य है।

(B) दिया गया है कि $ax^2 + bx + 1 = a(x - \alpha)(x - \beta)$,इसलिए $\alpha\beta = \frac{1}{a}$.
साथ ही,$x^2 + bx + a = a(1 - \alpha x)(1 - \beta x)$.
सीमा (limit) की गणना करने पर,हमें $L = \frac{1}{2\alpha} (\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{k} = \frac{1}{2\alpha}$,जिसका अर्थ है कि $k = 2\alpha$।

(B) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु $A(0,1)$,$B(1,1)$,और $C(1,0)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $P(0,0)$,$Q(0,2)$,और $R(2,0)$ प्राप्त होते हैं।
भुजाओं की लंबाई $PQ = 2$,$QR = 2\sqrt{2}$,और $RP = 2$ है।
अंतःकेंद्र $D = (2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$,$D$ से गुजरता है,इसलिए $(2-\sqrt{2})^2 = 4a(2-\sqrt{2})$।
अतः $4a = 2-\sqrt{2}$,अर्थात $a = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}$।
नाभि $(a, 0) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}, 0)$ है।
इसलिए $\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = -\frac{1}{4}$।
$\frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{1/2}{1/16} = 8$।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$।
दिया गया है कि $x, \sqrt{2}y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $(\sqrt{2}y)^2 = xz$,जिसका अर्थ है $2y^2 = xz$।
पहले समीकरण में $xz = 2y^2$ रखने पर: $\frac{2}{y} = \frac{x+z}{xz} = \frac{x+z}{2y^2}$,जो सरल होकर $x+z = 4y$ हो जाता है।
दिए गए समीकरण $xy + yz + zx = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ को $y(x+z) + xz = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x+z = 4y$ और $xz = 2y^2$ रखने पर: $y(4y) + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} y(2y^2)$।
$4y^2 + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} (2y^3) \implies 6y^2 = 3\sqrt{2} y^3$।
चूंकि $y > 0$,$3y^2$ से विभाजित करने पर: $2 = \sqrt{2}y$,इसलिए $y = \sqrt{2}$।
तब $x+z = 4y = 4\sqrt{2}$,इसलिए $x+y+z = 5y = 5\sqrt{2}$।
अंत में,$3(x+y+z)^2 = 3(5\sqrt{2})^2 = 3(25 \times 2) = 3(50) = 150$।

(A) प्रथम समीकरण के लिए: $x^2-12x+[x]+31=0$.
कोई वास्तविक हल नहीं है,इसलिए $m=0$.
दूसरे समीकरण के लिए: $x^2-5|x+2|-4=0$.
$x \geq -2$ के लिए,$x^2-5x-14=0 \implies x=7, -2$.
$x < -2$ के लिए,$x^2+5x+6=0 \implies x=-3, -2$.
मूलों की संख्या $n=3$ है।
अतः $m^2+mn+n^2 = 0^2+0(3)+3^2 = 9$.

(A) परवलय की नाभि $(3,0)$ और नियता $x = -3$ है। शीर्ष $(0,0)$ है और $a = 3$ है। परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है।
माना बिंदु $P(3t_1^2, 6t_1)$ और $Q(3t_2^2, 6t_2)$ हैं।
कोटि का अनुपात $3:1$ है,इसलिए $6t_1 / 6t_2 = 3/1$,जिसका अर्थ है $t_1 = 3t_2$।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(\alpha, \beta)$,$\alpha = at_1t_2 = 9t_2^2$ और $\beta = a(t_1 + t_2) = 12t_2$ द्वारा प्राप्त होता है।
अब,$\frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{(12t_2)^2}{9t_2^2} = \frac{144t_2^2}{9t_2^2} = 16$।

(C) दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। धनात्मक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
$E$ का दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है जिसकी लंबाई $2a = 6$ है। अतः,दीर्घ अक्ष को व्यास मानकर वृत्त $C$ का केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है। वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है।
$A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ अर्थात $x + 3y = 3$ है। वृत्त के समीकरण में $x = 3 - 3y$ रखने पर:
$(3 - 3y)^2 + y^2 = 9$
$9 - 18y + 9y^2 + y^2 = 9$
$10y^2 - 18y = 0$
$2y(5y - 9) = 0$
अतः,$y = 0$ (जो बिंदु $A$ है) या $y = \frac{9}{5}$.
यदि $y = \frac{9}{5}$ है,तो $x = 3 - 3(\frac{9}{5}) = 3 - \frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$. इस प्रकार,$P = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$.
त्रिभुज $OAP$ का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(3, 0)$,और $P(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ हैं,$\frac{1}{2} |x_O(y_A - y_P) + x_A(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_A)| = \frac{1}{2} |0 + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$ है।
यहाँ $m = 27$ और $n = 10$ हैं,जो सह-अभाज्य हैं। इसलिए,$m - n = 27 - 10 = 17$.

(D) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $B$ के $(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि $A$ और $B$ मूल बिंदु पर केंद्रित $\lambda$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित हैं,$x_1^2 + y_1^2 = \lambda^2$ और $x_2^2 + y_2^2 = \lambda^2$ है।
$AB = \lambda$ लंबाई दी गई है,दूरी सूत्र से $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = \lambda^2$,जो $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$ में सरल होता है।
वृत्त के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,$2\lambda^2 - 2(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda^2$,इसलिए $x_1x_2 + y_1y_2 = \frac{\lambda^2}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $P(h, k)$ वह बिंदु है जो $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र से,$h = \frac{2x_2 + 3x_1}{5}$ और $k = \frac{2y_2 + 3y_1}{5}$ है।
तब $25(h^2 + k^2) = (2x_2 + 3x_1)^2 + (2y_2 + 3y_1)^2 = 4(x_2^2 + y_2^2) + 9(x_1^2 + y_1^2) + 12(x_1x_2 + y_1y_2)$ होता है।
ज्ञात मानों को रखने पर: $25(h^2 + k^2) = 4\lambda^2 + 9\lambda^2 + 12(\frac{\lambda^2}{2}) = 13\lambda^2 + 6\lambda^2 = 19\lambda^2$।
अतः,$h^2 + k^2 = \frac{19}{25}\lambda^2$,जो $\frac{\sqrt{19}}{5}\lambda$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(D) माना $z = x + iy$ है। व्यंजक $\frac{2z - 3i}{2z + i}$ शुद्ध काल्पनिक है,अतः इसका वास्तविक भाग $0$ है।
$w = \frac{2(x + iy) - 3i}{2(x + iy) + i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{2x + i(2y + 1)}$.
हर के संयुग्मी $2x - i(2y + 1)$ से गुणा करने पर:
वास्तविक भाग $\frac{4x^2 + (2y - 3)(2y + 1)}{4x^2 + (2y + 1)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$4x^2 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
दिया गया है कि $x + y^2 = 0$,इसलिए $x = -y^2$.
$x^2 = y^4$ को समीकरण में रखने पर: $4y^4 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
इससे $4(y^4 + y^2 - y) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^4 + y^2 - y = \frac{3}{4}$.

(A) माना $P = 96 \cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2 \pi}{33} \cos \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{8 \pi}{33} \cos \frac{16 \pi}{33}$ है।
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=5$ और $\theta = \frac{\pi}{33}$ है।
$P = 96 \times \frac{\sin(2^5 \times \frac{\pi}{33})}{2^5 \sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 96 \times \frac{\sin \frac{32 \pi}{33}}{32 \sin \frac{\pi}{33}}$
चूँकि $\sin \frac{32 \pi}{33} = \sin(\pi - \frac{\pi}{33}) = \sin \frac{\pi}{33}$ है,इसलिए:
$P = \frac{96}{32} \times \frac{\sin \frac{\pi}{33}}{\sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 3 \times 1 = 3$.

(A) मान लीजिए $N$ दो पासों पर संख्याओं का योग है। $N$ के संभावित मान $2, 3, 4, \dots, 12$ हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसके लिए $2^{N} < N!$ हो।
प्रत्येक $N$ के लिए शर्त $2^{N} < N!$ की जाँच करते हैं:
$N=2$ के लिए: $2^2 = 4, 2! = 2$. $4 < 2$ असत्य है।
$N=3$ के लिए: $2^3 = 8, 3! = 6$. $8 < 6$ असत्य है।
$N=4$ के लिए: $2^4 = 16, 4! = 24$. $16 < 24$ सत्य है।
$N=5$ के लिए: $2^5 = 32, 5! = 120$. $32 < 120$ सत्य है।
$N \geq 4$ के लिए,शर्त $2^N < N!$ सत्य है।
अतः,हमें $N \geq 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$P(N \geq 4) = 1 - P(N < 4) = 1 - (P(N=2) + P(N=3))$.
कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$P(N=2) = \frac{1}{36}$ (परिणाम: $(1,1)$)।
$P(N=3) = \frac{2}{36}$ (परिणाम: $(1,2), (2,1)$)।
$P(N < 4) = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$।
इसलिए,$P(N \geq 4) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$।
यहाँ,$m = 11$ और $n = 12$ है। चूँकि $11$ और $12$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $4m - 3n = 4(11) - 3(12) = 44 - 36 = 8$।

(A) माना कथन $S = (p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))$ है।
$S$ का निषेध $\sim S = \sim [(p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))]$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim S = \sim (p \vee q) \vee \sim (q \vee (\sim r))$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर,$\sim (p \vee q) = (\sim p \wedge \sim q)$ और $\sim (q \vee (\sim r)) = (\sim q \wedge r)$:
$\sim S = (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \wedge r)$.

(B) $(ax - \frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} (-b^{-1})^r x^{13-3r}$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$13-3r = 7$ रखने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^7$ का गुणांक ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2}$ है।
$(ax + \frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} b^{-r} x^{13-3r}$ है।
$x^{-5}$ के गुणांक के लिए,$13-3r = -5$ रखने पर,$r = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^{-5}$ का गुणांक ${}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$ है।
दोनों गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2} = {}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$।
दोनों पक्षों को $a^7 b^{-6}$ से विभाजित करने पर,$a^4 b^4 = \frac{{}^{13}C_6}{{}^{13}C_2}$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: ${}^{13}C_6 = 1716$ और ${}^{13}C_2 = 78$।
अतः,$a^4 b^4 = \frac{1716}{78} = 22$।

(A) गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पद $a, ar, ar^2$ हैं।
उनके वर्गों का योग $33033$ दिया गया है:
$a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 33033$
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 33033$
$33033$ का अभाज्य गुणनखंडन $3 \times 7 \times 11^2 \times 13 = 121 \times 273$ है।
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 121 \times 273$ की तुलना करने पर,$a^2 = 121 \Rightarrow a = 11$ और $1 + r^2 + r^4 = 273$ प्राप्त होता है।
$r^4 + r^2 - 272 = 0$
मान लीजिए $x = r^2$,तो $x^2 + x - 272 = 0$.
$(x + 17)(x - 16) = 0$.
चूंकि $r$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$r^2 = 16 \Rightarrow r = 4$.
प्रथम तीन पदों का योग $a + ar + ar^2 = 11 + 11(4) + 11(4^2) = 11 + 44 + 176 = 231$ है।

(A) $(1-x+2x^3)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (-1)^{r_2} (2)^{r_3} x^{r_2+3r_3}$ है।
यहाँ $r_1+r_2+r_3=10$ और $r_2+3r_3=7$ होना चाहिए।
संभावित हल $(r_1, r_2, r_3)$:
$1$. $r_3=0 \Rightarrow r_2=7, r_1=3$.
$2$. $r_3=1 \Rightarrow r_2=4, r_1=5$.
$3$. $r_3=2 \Rightarrow r_2=1, r_1=7$.
गुणांकों का योग:
स्थिति $1$: $\frac{10!}{3! 7! 0!} (-1)^7 (2)^0 = -120$.
स्थिति $2$: $\frac{10!}{5! 4! 1!} (-1)^4 (2)^1 = 2520$.
स्थिति $3$: $\frac{10!}{7! 1! 2!} (-1)^1 (2)^2 = -1440$.
कुल योग: $-120 + 2520 - 1440 = 960$.

(D) दी गई समांतर श्रेणी $3, 8, 13, \ldots, 373$ है।
यहाँ,$a = 3$,$d = 5$ है। $n$-वाँ पद $a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)5 = 373$ है।
$5(n-1) = 370 \implies n-1 = 74 \implies n = 75$ है।
कुल योग $S_{75} = \frac{75}{2}(3 + 373) = \frac{75}{2}(376) = 75 \times 188 = 14100$ है।
$3$ से विभाज्य पद $3, 18, 33, \ldots, 363$ हैं।
इस श्रेणी में पदों की संख्या $25$ है।
$3$ से विभाज्य पदों का योग $S' = \frac{25}{2}(3 + 363) = \frac{25}{2}(366) = 25 \times 183 = 4575$ है।
अभीष्ट योग $= 14100 - 4575 = 9525$ है।

(D) वृत्त $(x-4)^2+y^2=16$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का सामान्य समीकरण $y=m(x-4) \pm 4\sqrt{1+m^2}$ है।
परवलय $y^2=4x$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का सामान्य समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लिए,अचर पद समान होने चाहिए: $\frac{1}{m} = -4m \pm 4\sqrt{1+m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{1}{m} + 4m)^2 = 16(1+m^2) \implies \frac{1}{m^2} + 16m^2 + 8 = 16 + 16m^2$.
इससे $\frac{1}{m^2} = 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $m^2 = \frac{1}{8}$,जिसका अर्थ है $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
परवलय $y^2=4x$ पर स्पर्श बिंदु $P$ $(\frac{1}{m^2}, \frac{2}{m}) = (8, \pm 4\sqrt{2})$ है।
परवलय पर स्पर्श बिंदु $P$ और वृत्त पर स्पर्श बिंदु $Q$ के बीच स्पर्श रेखा खंड $PQ$ की लंबाई $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई के बराबर होती है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ और वृत्त $(x-4)^2+y^2-16=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{(x_1-4)^2 + y_1^2 - 16}$ है।
$P(8, 4\sqrt{2})$ रखने पर: $PQ = \sqrt{(8-4)^2 + (4\sqrt{2})^2 - 16} = \sqrt{16 + 32 - 16} = \sqrt{32}$.
अतः,$(PQ)^2 = 32$.

(D) $7$ भिन्न अंकों के कुल क्रमचय $7! = 5040$ हैं।
मान लीजिए $A$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $153$ स्ट्रिंग है। $153$ को एक ब्लॉक के रूप में लेने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ वस्तुएं हैं: ${153, 2, 4, 6, 7}$। अतः,$n(A) = 5! = 120$।
मान लीजिए $B$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $2467$ स्ट्रिंग है। $2467$ को एक ब्लॉक के रूप में लेने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ वस्तुएं हैं: ${2467, 1, 3, 5}$। अतः,$n(B) = 4! = 24$।
मान लीजिए $A \cap B$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $153$ और $2467$ दोनों स्ट्रिंग हैं। इन दो ब्लॉकों को लेने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $2$ वस्तुएं हैं: ${153, 2467}$। अतः,$n(A \cap B) = 2! = 2$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कम से कम एक स्ट्रिंग वाले क्रमचयों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 120 + 24 - 2 = 142$ है।
किसी भी स्ट्रिंग को न रखने वाले क्रमचयों की संख्या $Total - n(A \cup B) = 5040 - 142 = 4898$ है।

(A) दिए गए समीकरण $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ और $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ हैं।
पहले समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln a (\ln 2 + \ln a) = \ln b (\ln b + \ln c)$.
दूसरे समीकरण से: $\ln 2 \cdot \ln b = \ln c \cdot \ln a \implies \ln c = \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a}$.
पहले समीकरण में $\ln c$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 + \ln b \left( \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 \left( \frac{\ln a + \ln 2}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 (\ln a + \ln 2) = (\ln b)^2 (\ln a + \ln 2)$.
चूँकि $a, b, c$ भिन्न हैं,$\ln a + \ln 2 \neq 0$,इसलिए $(\ln a)^2 = (\ln b)^2$,जिसका अर्थ है $\ln a = -\ln b$ (क्योंकि $a \neq b$ है)।
अतः $b = 1/a$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1/a)^{\ln 2} = a^{\ln c} \implies a^{-\ln 2} = a^{\ln c} \implies \ln c = -\ln 2 \implies c = 1/2$.
पहले समीकरण में $b = 1/a$ और $c = 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर: $(2a)^{\ln a} = (a/2)^{\ln(1/a)} = (a/2)^{-\ln a} = (2/a)^{\ln a}$.
चूँकि $(2a)^{\ln a} = (2/a)^{\ln a}$,हमारे पास $2a = 2/a \implies a^2 = 1$ है। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 1$ है। यदि $a=1$ है,तो $b=1$ होगा,जो इस तथ्य का खंडन करता है कि $a, b, c$ भिन्न हैं। प्रश्न का कथन गणितीय रूप से असंगत है।

(D) वर्ग चिह्न $(x_i)$ क्रमशः $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 28$ दिया गया है।
$\frac{2(5) + 3(15) + x(25) + 5(35) + 4(45)}{2 + 3 + x + 5 + 4} = 28$
$\frac{410 + 25x}{14 + x} = 28 \implies 410 + 25x = 392 + 28x \implies 3x = 18 \implies x = 6$.
कुल आवृत्ति $N = 20$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{18700}{20} - 28^2 = 935 - 784 = 151$.

(D) माना जोड़ों की संख्या $n$ है। व्यक्तियों की कुल संख्या $2n$ है।
मैच बनाने के लिए,हम $n$ में से $2$ जोड़ों को ${}^nC_2$ तरीकों से चुनते हैं।
प्रत्येक चुने गए $2$ जोड़ों में से,हम विपरीत लिंग के $1$ व्यक्ति को $2 \times 2 = 4$ तरीकों से चुनते हैं।
अतः,मैचों की संख्या ${}^nC_2 \times 4 = 840$ है।
${}^nC_2 = \frac{840}{4} = 210$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n-1) = 420$.
चूंकि $21 \times 20 = 420$,इसलिए $n = 21$ है।
कुल व्यक्ति $= 2n = 2 \times 21 = 42$.

(D) दी गई असमिका $|n^2 - 10n + 19| < 6$ है।
यह $-6 < n^2 - 10n + 19 < 6$ के समतुल्य है।
स्थिति $1$: $n^2 - 10n + 19 < 6 \Rightarrow n^2 - 10n + 13 < 0$।
$n^2 - 10n + 13 = 0$ के मूल $n = 5 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $2\sqrt{3} \approx 3.46$,इसलिए सीमा $n \in (1.54, 8.46)$ है।
स्थिति $2$: $n^2 - 10n + 19 > -6 \Rightarrow (n - 5)^2 > 0$।
यह $n = 5$ को छोड़कर सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है।
दोनों को मिलाने पर,$n \in \{2, 3, 4, 6, 7, 8\}$ प्राप्त होता है।
ऐसे अवयवों की कुल संख्या $6$ है।

(B) $8$ व्यक्तियों को $3$ कारों में ले जाने के लिए,जिनमें से प्रत्येक की अधिकतम क्षमता $3$ व्यक्तियों की है,व्यक्तियों का वितरण $(3, 3, 2)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $8$ व्यक्तियों को $3, 3,$ और $2$ के समूहों में विभाजित करते हैं:
$\text{समूह बनाने के तरीके} = \frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{2!}$
चूंकि कारें अलग-अलग मेक (make) की हैं,इसलिए समूहों का क्रम मायने रखता है,इसलिए हम $3!$ से गुणा करते हैं:
$\text{कुल तरीके} = \left( \frac{8!}{3!3!2! \times 2!} \right) \times 3!$
$= \frac{40320}{6 \times 6 \times 2 \times 2} \times 6$
$= \frac{40320}{144} \times 6 = 280 \times 6 = 1680$.

(D) मान लीजिए $B = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(h, k)$,$AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{3(4 \cos \theta) + 2(1)}{3 + 2} = \frac{12 \cos \theta + 2}{5} \Rightarrow 12 \cos \theta = 5h - 2$
$k = \frac{3(4 \sin \theta) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{12 \sin \theta + 4}{5} \Rightarrow 12 \sin \theta = 5k - 4$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(12 \cos \theta)^2 + (12 \sin \theta)^2 = (5h - 2)^2 + (5k - 4)^2$
$144 = 25(h - \frac{2}{5})^2 + 25(k - \frac{4}{5})^2$
$(h - \frac{2}{5})^2 + (k - \frac{4}{5})^2 = \frac{144}{25} = (\frac{12}{5})^2$
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(\alpha, \beta) = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ है।
$AC$ की लंबाई $A(1, 2)$ और $C(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ के बीच की दूरी है:
$AC = \sqrt{(1 - \frac{2}{5})^2 + (2 - \frac{4}{5})^2} = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{19} + \frac{y^2}{15} = 1$ है।
प्रवणता $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{19m^2 + 15}$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ की स्पर्श रेखा भी है,अतः केंद्र $(0,0)$ से इसकी लंबवत दूरी $4$ है।
$\left| \frac{\pm \sqrt{19m^2 + 15}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$19m^2 + 15 = 16m^2 + 16$,जिससे $3m^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाती है।
दीर्घवृत्त का लघु अक्ष $y$-अक्ष है,अतः स्पर्श रेखा लघु अक्ष के साथ $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है।

(C) अनुक्रम $4, 11, 21, 34, 50, \ldots$ है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $7, 10, 13, 16, \ldots$ है,जो $3$ के सार्व अंतर के साथ एक $A.P.$ बनाता है।
माना $n$ वां पद $T_{n} = an^2 + bn + c$ है।
$n=1, 2, 3$ के लिए:
$a + b + c = 4$
$4a + 2b + c = 11$
$9a + 3b + c = 21$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a = \frac{3}{2}, b = \frac{5}{2}, c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_{n} = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = \frac{n(3n+5)}{2}$.
$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \frac{n(n+1)(n+3)}{2}$.
अब,$S_{29} = \frac{29 \times 30 \times 32}{2} = 13920$.
$S_{9} = \frac{9 \times 10 \times 12}{2} = 540$.
$\frac{1}{60}(S_{29} - S_{9}) = \frac{1}{60}(13920 - 540) = \frac{13380}{60} = 223$.

(D) दिया गया कथन: $\sim[p \vee (\sim(p \wedge q))]$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \wedge \sim(\sim(p \wedge q))$
द्वि-निषेध के नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \wedge (p \wedge q)$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge p) \wedge q$
चूंकि $(\sim p \wedge p)$ एक व्याघात $(F)$ है,इसलिए: $F \wedge q = F$
विकल्पों की जांच करने पर,विकल्प $D$ है $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$,जो $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ के समतुल्य है।
अतः,यह कथन $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ के समतुल्य है.

(A) मान लीजिए $9^{\tan^2 x} = P$.
दिया गया समीकरण: $\frac{9}{P} + P = 10$.
$P^2 - 10P + 9 = 0$.
$(P - 9)(P - 1) = 0$.
अतः,$P = 1$ या $P = 9$.
स्थिति $1$: $9^{\tan^2 x} = 1 \implies \tan^2 x = 0 \implies x = 0$.
स्थिति $2$: $9^{\tan^2 x} = 9 \implies \tan^2 x = 1 \implies x = \pm \frac{\pi}{4}$.
इस प्रकार,$S = \{0, \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\}$.
$\beta = \tan^2(0) + \tan^2\left(\frac{\pi}{12}\right) + \tan^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 0 + 2\tan^2(15^{\circ})$.
चूंकि $\tan(15^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए $\tan^2(15^{\circ}) = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$.
$\beta = 2(7 - 4\sqrt{3}) = 14 - 8\sqrt{3}$.
तब $\frac{1}{6}(\beta - 14)^2 = \frac{1}{6}(14 - 8\sqrt{3} - 14)^2 = \frac{1}{6}(-8\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6}(64 \times 3) = \frac{192}{6} = 32$.

(A) विस्तार $(1+x)^p(1-x)^q = (1+px+\frac{p(p-1)}{2}x^2+\dots)(1-qx+\frac{q(q-1)}{2}x^2-\dots)$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ का गुणांक $p-q=4$ है,इसलिए $p=q+4$ है।
$x^2$ का गुणांक $\frac{p(p-1)}{2} + \frac{q(q-1)}{2} - pq = -5$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $p^2-p+q^2-q-2pq = -10$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(p-q)^2 - (p+q) = -10$ हो जाता है।
$p-q=4$ रखने पर,हमें $4^2 - (p+q) = -10$ प्राप्त होता है,इसलिए $16 - (p+q) = -10$,जिससे $p+q = 26$ मिलता है।
$p-q=4$ और $p+q=26$ को हल करने पर,दोनों को जोड़ने पर $2p=30$ मिलता है,इसलिए $p=15$ है।
तब $q = 26-15 = 11$ है।
अंत में,$2p+3q = 2(15)+3(11) = 30+33 = 63$।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$। व्यंजक $\frac{2(x + iy) - 3i}{4(x + iy) + 2i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{4x + i(4y + 2)}$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $\frac{a + ib}{c + id}$ वास्तविक होती है यदि उसका काल्पनिक भाग शून्य हो।
अतः $2x(4y + 2) - 4x(2y - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $16x = 0$ अर्थात $x = 0$ मिलता है।
हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $4y + 2 \neq 0$ अर्थात $y \neq -\frac{1}{2}$।
अतः,बिंदु $(0, -\frac{1}{2})$ समुच्चय $S$ में नहीं है। इसलिए विकल्प $C$ सही नहीं है।

(B) मान लीजिए $N = (22)^{2022} + (2022)^{22}$ है।
$3$ से विभाजन के लिए:
$22 \equiv 1 \pmod{3}$,इसलिए $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{3}$।
$2022$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $(2022)^{22} \equiv 0^{22} \equiv 0 \pmod{3}$।
अतः,$N \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$।
$7$ से विभाजन के लिए:
$22 \equiv 1 \pmod{7}$,इसलिए $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{7}$।
$2022 = 7 \times 288 + 6$,इसलिए $2022 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$।
$(2022)^{22} \equiv (-1)^{22} \equiv 1 \pmod{7}$।
अतः,$N \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $\beta = 2$।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$।

(B) दिया गया है $\sum f_i = 62$।
गणना करने पर $k=4$ प्राप्त होता है।
$\mu = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{148}{62}$।
$\sum f_i x_i^2 = 468$।
$\mu^2 + \sigma^2 = E[X^2] = \frac{468}{62} \approx 7.548$।
अतः,$[\mu^2 + \sigma^2] = 7$।

(C) शीर्ष $A$,$2x - 3y = -23$ और $3x + 7y = 23$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन्हें हल करने पर,हमें $A = (-4, 5)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $C$,$5x + 4y = 23$ और $3x + 7y = 23$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन्हें हल करने पर,हमें $C = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{-4+3}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए दूसरा विकर्ण $BD$,$M$ से होकर गुजरता है और अन्य दो भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ ($2x - 3y = -23$ और $5x + 4y = 23$ का प्रतिच्छेदन),जो $B = (-1, 7)$ है,से होकर गुजरता है।
$BD$ की ढाल $m = \frac{7 - 7/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{7/2}{-1/2} = -7$ है।
विकर्ण $BD$ का समीकरण $y - 7 = -7(x + 1)$ है,जो सरल होकर $7x + y = 0$ हो जाता है।
बिंदु $A(-4, 5)$ की रेखा $7x + y = 0$ से दूरी $d = \frac{|7(-4) + 5|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{|-28 + 5|}{\sqrt{50}} = \frac{23}{\sqrt{50}}$ है।
अतः,$50d^2 = 50 \times \left(\frac{23}{\sqrt{50}}\right)^2 = 50 \times \frac{529}{50} = 529$।

(C) अंकगणितीय-ज्यामितीय प्रगति के पद $(a+nd)r^n$ के रूप में हैं। $a=2$ और $d=1$ लेने पर,पद $\frac{0}{4}, \frac{1}{2}, 2, 6, 16$ प्राप्त होते हैं। अतः $a_4$ (जो श्रेणी का $5$वां पद है) $16$ है।

(C) दिए गए अंक $1, 2, 2, 3$ हैं। कुल चार अंकों की संख्याएँ जो बनाई जा सकती हैं,वे $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर अंकों का योग ज्ञात करने के लिए:
किसी भी विशिष्ट स्थान के लिए,प्रत्येक अंक की आवृत्ति:
- अंक $1$: $3$ बार।
- अंक $2$: $6$ बार।
- अंक $3$: $3$ बार।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 24$.
सभी ऐसी संख्याओं का योग $= 24 \times 1000 + 24 \times 100 + 24 \times 10 + 24 \times 1 = 24 \times 1111 = 26664$.

(A) दिया गया समीकरण: $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$ $(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4 f(x)=x+3$ $(2)$
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ को हटाने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$25 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{5}{x}+15$
$16 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+12$
पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$9 f(x) = \frac{5}{x} - 4x + 3$
$f(x) = \frac{1}{9} \left( \frac{5}{x} - 4x + 3 \right)$
अब,समाकलन $I = 18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ की गणना करने पर:
$I = 18 \int \limits_1^2 \frac{1}{9} \left( \frac{5}{x} - 4x + 3 \right) \, dx$
$I = 2 \int \limits_1^2 \left( \frac{5}{x} - 4x + 3 \right) \, dx$
$I = 2 \left[ 5 \ln|x| - 2x^2 + 3x \right]_1^2$
$I = 2 \left[ (5 \ln 2 - 2(4) + 3(2)) - (5 \ln 1 - 2(1) + 3(1)) \right]$
$I = 2 \left[ (5 \ln 2 - 8 + 6) - (0 - 2 + 3) \right]$
$I = 2 \left[ 5 \ln 2 - 2 - 1 \right]$
$I = 2 \left[ 5 \ln 2 - 3 \right] = 10 \ln 2 - 6$

(B) दो पासों को फेंकने पर कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।
योग $5$ प्राप्त करने वाले परिणाम $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ हैं,जो कि $4$ परिणाम हैं।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 5$ है।
$P(\text{कम से कम } 4 \text{ सफलताएँ}) = P(X = 4) + P(X = 5)$।
$P(X = 4) = {}^5C_4 \times (\frac{1}{9})^4 \times (\frac{8}{9})^1 = 5 \times \frac{1}{9^4} \times \frac{8}{9} = \frac{40}{9^5} = \frac{40}{3^{10}}$।
$P(X = 5) = {}^5C_5 \times (\frac{1}{9})^5 \times (\frac{8}{9})^0 = 1 \times \frac{1}{9^5} = \frac{1}{3^{10}}$।
कुल प्रायिकता $= \frac{40}{3^{10}} + \frac{1}{3^{10}} = \frac{41}{3^{10}} = \frac{41 \times 3}{3^{11}} = \frac{123}{3^{11}}$।
इसे $\frac{k}{3^{11}}$ के साथ तुलना करने पर,$k = 123$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $\vec{d}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{d}$ को $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
माना $\vec{d} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ है।
सबसे पहले,$\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-8)) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(8 - 2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{d} = \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k})$ है।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 18$ है:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = 18$
$\lambda(4 - 12 + 24) = 18 \implies 16\lambda = 18 \implies \lambda = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$ है।
इस प्रकार,$\vec{d} = \frac{9}{8}(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{9}{4}\hat{i} - \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{27}{4}\hat{k}$ है।
अब,$\vec{a} \times \vec{d} = \vec{a} \times (\lambda(\vec{b} \times \vec{c})) = \lambda(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}))$ की गणना करें।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(-1) + (3)(4) + (4)(3) = -2 + 12 + 12 = 22$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (3)(-2) + (4)(-2) = 4 - 6 - 8 = -10$ है।
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 22(2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) - (-10)(-\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (44\hat{i} - 44\hat{j} - 44\hat{k}) - (10\hat{i} - 40\hat{j} - 30\hat{k}) = 34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{d} = \frac{9}{8}(34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}) = \frac{9}{4}(17\hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k})$ है।
$|\vec{a} \times \vec{d}|^2 = (\frac{9}{4})^2 (17^2 + (-2)^2 + (-7)^2) = \frac{81}{16} (289 + 4 + 49) = \frac{81}{16} (342) = \frac{81 \times 171}{8} = 1732.875$ है।

(D) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A^2 = I$,अतः:
$\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p^2 + qr & pq + qs \\ pr + rs & rq + s^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
विकर्ण के अलावा अन्य तत्वों से,$q(p + s) = 0$ और $r(p + s) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $a_{ij} \neq 0$,इसलिए $q \neq 0$ और $r \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $p + s = 0$.
विकर्ण तत्वों का योग $a = p + s = 0$.
साथ ही,$p^2 + qr = 1$ और $s^2 + qr = 1$ है। चूँकि $p + s = 0$,$s = -p$,इसलिए $p^2 = s^2$,जो सुसंगत है।
सारणिक $b = |A| = ps - qr$.
चूँकि $s = -p$,$b = -p^2 - qr = -(p^2 + qr) = -1$.
हमें $3a^2 + 4b^2$ की गणना करनी है।
$a = 0$ और $b = -1$ रखने पर:
$3(0)^2 + 4(-1)^2 = 3(0) + 4(1) = 4$.

(C) हमें दिया गया है $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ लें।
चूंकि $(x \tan x + 1)$ का अवकलन $(x \sec^2 x + \tan x)$ है,इसलिए $v = -\frac{1}{x \tan x + 1}$ होगा।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I(x) = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
चूंकि $(x \sin x + \cos x)$ का अवकलन $x \cos x$ है,इसलिए समाकलन $2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$ होगा।
$I(x) = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$।
$I(0) = 0$ रखने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$I(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{4(\pi+4)} + \ln \frac{(\pi+4)^2}{32}$।

(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x(2 + 4\lambda) + y(-1 - 3\lambda) + z(1 + 5\lambda) + (-3 + 9\lambda) = 0$.
चूंकि यह समतल रेखा $(-2, 4, 5)$ के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के लंबवत होना चाहिए। अतः,अभिलंब सदिश $(2 + 4\lambda, -1 - 3\lambda, 1 + 5\lambda)$ और दिशा सदिश $(-2, 4, 5)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$-2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.
$-4 - 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$5\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{5}$.
$\lambda = \frac{3}{5}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(2x - y + z - 3) + \frac{3}{5}(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$5(2x - y + z - 3) + 3(4x - 3y + 5z + 9) = 0$.
$10x - 5y + 5z - 15 + 12x - 9y + 15z + 27 = 0$.
$22x - 14y + 20z + 12 = 0$.
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $11x - 7y + 10z + 6 = 0$.
$ax + by + cz + 6 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 11, b = -7, c = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = 11 - 7 + 10 = 14$.

(A) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15-4) - 1(6-2) + a(4-5) = 11 - 4 - a = 7 - a$.
$\Delta = 0$ रखने पर,$7 - a = 0$,अतः $a = 7$.
अब,अनंत हलों के लिए $\Delta_x = 0$ लें:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 1 & 7 \\ 6 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = b(15-4) - 1(18-6) + 7(12-15) = 11b - 12 - 21 = 11b - 33$.
$\Delta_x = 0$ रखने पर,$11b = 33$,अतः $b = 3$.
अंत में,$2a + 3b$ का मान ज्ञात करें:
$2a + 3b = 2(7) + 3(3) = 14 + 9 = 23$.

(B) दिया गया समीकरण $2x^y + 3y^x = 20$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^y) + \frac{d}{dx}(3y^x) = 0$.
$\frac{d}{dx}(a^b) = a^b \frac{d}{dx}(b \ln a)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$2x^y \left(\frac{y}{x} + \ln x \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3y^x \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln y\right) = 0$.
बिंदु $(2, 2)$ पर,$x=2$ और $y=2$ रखने पर:
$2(2^2) \left(\frac{2}{2} + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3(2^2) \left(\frac{2}{2} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln 2\right) = 0$.
$8(1 + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}) + 12(\frac{dy}{dx} + \ln 2) = 0$.
$8 + 8 \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} + 12 \frac{dy}{dx} + 12 \ln 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx} (12 + 8 \ln 2) = -(8 + 12 \ln 2)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{8 + 12 \ln 2}{12 + 8 \ln 2} = -\frac{2 + 3 \ln 2}{3 + 2 \ln 2}$.
चूँकि $3 \ln 2 = \ln 8$ और $2 \ln 2 = \ln 4$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{2 + \log_e 8}{3 + \log_e 4}\right)$.

(D) विकर्ण $OP$,$(0, 0, 0)$ और $(3, 4, 5)$ से होकर गुजरता है। इसका दिशा सदिश $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है। $OP$ का समीकरण $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ है।
$z$-अक्ष के समानांतर एक किनारा जो $O(0, 0, 0)$ या $P(3, 4, 5)$ से होकर नहीं गुजरता है,उसे शीर्ष $(3, 0, 0)$ या $(0, 4, 0)$ से होकर गुजरना चाहिए। मान लीजिए हम $(3, 0, 0)$ से गुजरने वाले किनारे पर विचार करते हैं। इसका दिशा सदिश $\vec{b}_2 = \hat{k} = (0, 0, 1)$ है।
दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = (0, 0, 0)$,$\vec{a}_2 = (3, 0, 0)$,$\vec{b}_1 = (3, 4, 5)$,और $\vec{b}_2 = (0, 0, 1)$ है।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (3, 0, 0) \cdot (4, -3, 0) = 12$.
अतः,$d = \frac{|12|}{5} = \frac{12}{5}$.

(A) बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}$
$\vec{AC} = -7\hat{i} + (\lambda-5)\hat{j} + (4-2\lambda)\hat{k}$
$\vec{AD} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + (6-2\lambda)\hat{k}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} -4 & -3 & 3-2\lambda \\ -7 & \lambda-5 & 4-2\lambda \\ -6 & 0 & 6-2\lambda \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-6[(-3)(4-2\lambda) - (3-2\lambda)(\lambda-5)] + (6-2\lambda)[(-4)(\lambda-5) - (-3)(-7)] = 0$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 2, 3$ अर्थात $S = \{2, 3\}$.
योगफल की गणना करने पर: $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2 = (2+2)^2 + (3+2)^2 = 16 + 25 = 41$.

(D) फलन $f(x) = [a + 13 \sin x]$ है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक है,हम $f(x) = a + [13 \sin x]$ लिख सकते हैं।
फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन का तर्क,$13 \sin x$,एक पूर्णांक है।
$x \in (0, \pi)$ के लिए,$13 \sin x$ का परिसर $(0, 13]$ है।
$13 \sin x$ का मान $1, 2, 3, \dots, 13$ होने पर यह पूर्णांक बनता है।
प्रत्येक पूर्णांक $k \in \{1, 2, \dots, 12\}$ के लिए,$(0, \pi)$ में $x$ के $2$ मान हैं जिनके लिए $13 \sin x = k$ होता है।
$k = 13$ के लिए,$(0, \pi)$ में $x$ का केवल $1$ मान है,जो $x = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,उन बिंदुओं की कुल संख्या जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है,$2 \times 12 + 1 = 25$ है।

(D) क्षेत्र $S$ को असमिकाओं $x^2 \leq 2y$,$x^2 \geq 2y - y^2$,और $x \geq y$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
पहला,$x^2 \leq 2y$ परवलय $x^2 = 2y$ के अंदर के क्षेत्र को दर्शाता है।
दूसरा,$x^2 + y^2 - 2y \geq 0$ वृत्त $x^2 + (y-1)^2 = 1$ के बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है।
तीसरा,$x \geq y$ रेखा $y = x$ के नीचे का क्षेत्र है।
$x^2 = 2y$ और $x = y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल वक्रों के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
$x^2 = 2y$ और $y = x$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_0^2 (x - \frac{x^2}{2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^2 = 2 - \frac{8}{6} = \frac{2}{3}$ है।
हालाँकि,हमें परवलय के अंदर रेखा $x=y$ द्वारा काटे गए वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल घटाना होगा।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3} - \frac{\pi}{4}$ है।
इसे $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n-1 = 4 \Rightarrow n = 5$ प्राप्त होता है।
पहले पद की जाँच करने पर: $\frac{5+2}{5+1} = \frac{7}{6}$।
अतः,$n = 5$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ है।
$dx$ से विभाजित करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \cos x) \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ प्राप्त होता है।
$x \cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + (\tan x + \frac{1}{x}) y = \frac{1}{x \cos x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x \cos x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\tan x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln x} = x \sec x$ है।
हल $y(x \sec x) = \int (x \sec x) \frac{1}{x \cos x} dx + C = \int \sec^2 x dx + C = \tan x + C$ है।
दिया है $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$\frac{3\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \tan(\frac{\pi}{3}) + C \implies 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + C \implies C = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{\tan x + \sqrt{3}}{x \sec x} = \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर $y'$ और $y''$ की गणना करने पर,$|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ का मान $2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x - y + z = 9$ के सापेक्ष $P(1, 2, 3)$ का प्रतिबिंब है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{\alpha - 1}{2} = \frac{\beta - 2}{-1} = \frac{\gamma - 3}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(2) + 1(3) - 9}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{2 - 2 + 3 - 9}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{-6}{6} = 2$.
अतः,$\alpha - 1 = 4 \Rightarrow \alpha = 5$,$\beta - 2 = -2 \Rightarrow \beta = 0$,और $\gamma - 3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
इसलिए,$Q = (5, 0, 5)$.
अब,हम सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{PQ} = (5-1, 0-2, 5-3) = (4, -2, 2)$.
$\vec{PR} = (6-1, 10-2, 7-3) = (5, 8, 4)$.
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ है।
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -2 & 2 \\ 5 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 16) - \hat{j}(16 - 10) + \hat{k}(32 + 10) = -24\hat{i} - 6\hat{j} + 42\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-24)^2 + (-6)^2 + (42)^2} = \sqrt{576 + 36 + 1764} = \sqrt{2376}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{2376} = \sqrt{\frac{2376}{4}} = \sqrt{594}$.
क्षेत्रफल का वर्ग $594$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\lceil x \rceil - x}}$ द्वारा दिया गया है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $\lceil x \rceil - x > 0$,जिसका अर्थ है $\lceil x \rceil > x$.
यह असमिका सभी $x \notin \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है। यदि $x \in \mathbb{Z}$ है,तो $\lceil x \rceil = x$,इसलिए $\lceil x \rceil - x = 0$,जो हर (denominator) को शून्य बना देता है।
अतः,प्रांत $A = \mathbb{R} - \mathbb{Z}$.
$x \notin \mathbb{Z}$ के लिए,हम जानते हैं कि $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$. इसलिए,$\lceil x \rceil - x = \lfloor x \rfloor + 1 - x = 1 - (x - \lfloor x \rfloor) = 1 - \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
चूंकि $x \notin \mathbb{Z}$,$0 < \{x\} < 1$,जिसका अर्थ है $0 < 1 - \{x\} < 1$.
तब,$0 < \sqrt{1 - \{x\}} < 1$,और परिणामस्वरूप $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \{x\}}} > 1$.
अतः,परिसर $B = (1, \infty)$.
अब,$A \cap B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cap (1, \infty) = (1, \infty) - \mathbb{Z}$. चूंकि $(1, \infty)$ के साथ प्रतिच्छेदन में केवल धनात्मक पूर्णांक शामिल हैं,इसलिए $(1, \infty) - \mathbb{Z} = (1, \infty) - \mathbb{N}$. अतः,$(S1)$ सत्य है।
$A \cup B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cup (1, \infty) = \mathbb{R} - \{0, -1, -2, \dots\}$. यह $(1, \infty)$ के बराबर नहीं है। इसलिए,$(S2)$ असत्य है।
अतः,केवल $(S1)$ सत्य है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+\ln x) \frac{dx}{dy} - x \ln x = e^y$.
माना $t = x \ln x$. तब $\frac{dt}{dy} = (1 + \ln x) \frac{dx}{dy}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dy} - t = e^y$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
समीकरण को $e^{-y}$ से गुणा करने पर: $e^{-y} \frac{dt}{dy} - e^{-y} t = 1$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d}{dy}(t e^{-y}) dy = \int 1 dy$.
$t e^{-y} = y + c$.
$t = x \ln x$ रखने पर: $x \ln x e^{-y} = y + c$,या $x \ln x = (y + c) e^y$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $1 \ln 1 = (0 + c) e^0$,जिसका अर्थ है $c = 0$.
अतः,हल $x \ln x = y e^y$ है।
बिंदु $(\alpha, 2)$ के लिए,$\alpha \ln \alpha = 2 e^2$.
इसे $\ln(\alpha^\alpha) = 2 e^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$\alpha^\alpha = e^{2e^2}$.

(D) माना कि दिए गए बिंदु $P, Q, R,$ और $S$ हैं जिनके स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$\vec{q} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$
$\vec{r} = (\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$
$\vec{s} = 9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{PQ}, \vec{PR},$ और $\vec{PS}$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \alpha\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = 8\hat{i} + (\alpha-6)\hat{j} + 3\hat{k}$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ \alpha & 2 & -1 \\ 8 & \alpha-6 & 3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(6 + \alpha - 6) + 1(3\alpha + 8) + (\alpha^2 - 6\alpha - 16) = 0$
$\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 2) = 0$
अतः,$\alpha$ के मान $4$ और $-2$ हैं।
इन मानों का योग $4 + (-2) = 2$ है।

(A) समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$x+y+z=6$
$x+2y+\alpha z=10$
$x+3y+5z=\beta$
गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(10-3\alpha) - 1(5-\alpha) + 1(3-2) = 6-2\alpha$.
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha \neq 3$.
यदि $\alpha=3$ है,तो $D=0$. प्रणाली इस प्रकार हो जाती है:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+3y+5z=\beta$
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर: $y+2z=4$.
दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाने पर: $y+2z=\beta-10$.
प्रणाली का हल होने के लिए,$4 = \beta-10$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\beta=14$. यदि $\beta=14$ है,तो अनंत हल हैं। यदि $\beta \neq 14$ है,तो कोई हल नहीं है।
विकल्प $A$ कहता है कि $\alpha=3$ के लिए प्रणाली का एक अद्वितीय हल है,जो गलत है क्योंकि $\alpha=3$ होने पर $D=0$ हो जाता है।

(B) फलन $y = |x-1| + |x-2|$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$y = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x+3, & \text{यदि } x < 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & \text{यदि } 1 \le x \le 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x-3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$
$y=3$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$x < 1$ के लिए: $-2x+3 = 3 \implies x=0$.
$x > 2$ के लिए: $2x-3 = 3 \implies x=3$.
यह क्षेत्र $x=0$ से $x=3$ तक का एक समलंब है जिसकी ऊँचाई $h=3-1=2$ है (क्योंकि वक्र का न्यूनतम मान $x \in [1, 2]$ के लिए $1$ है)।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} 3 \, dx - \int_{0}^{3} (|x-1| + |x-2|) \, dx = 9 - [\int_{0}^{1} (-2x+3) \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} (2x-3) \, dx] = 9 - [2 + 1 + 2] = 9 - 5 = 4$.

(C) दिया गया है $P^2 = I - P$.
हम $P$ की घातों की गणना करते हैं:
$P^3 = P(I - P) = P - P^2 = P - (I - P) = 2P - I$.
$P^4 = P(2P - I) = 2P^2 - P = 2(I - P) - P = 2I - 3P$.
$P^5 = P(2I - 3P) = 2P - 3P^2 = 2P - 3(I - P) = 5P - 3I$.
$P^6 = P(5P - 3I) = 5P^2 - 3P = 5(I - P) - 3P = 5I - 8P$.
$P^7 = P(5I - 8P) = 5P - 8P^2 = 5P - 8(I - P) = 13P - 8I$.
$P^8 = P(13P - 8I) = 13P^2 - 8P = 13(I - P) - 8P = 13I - 21P$.
अब,$P^8 + P^6 = (13I - 21P) + (5I - 8P) = 18I - 29P$.
$P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29P$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 8, \beta = 6, \gamma = 18$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$P^8 - P^6 = (13I - 21P) - (5I - 8P) = 8I - 13P$.
$P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13P$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\delta = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma - \delta = 8 + 6 + 18 - 8 = 24$.

(D) माना रेखा $L$ बिंदु $A(0,1,2)$ से गुजरती है और रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ को बिंदु $B(1+2\lambda, 2+3\lambda, 3+4\lambda)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{AB} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि $L$ समतल $2x+y-3z=4$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{v}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1+2\lambda) + 1(1+3\lambda) - 3(1+4\lambda) = 0$.
$2 + 4\lambda + 1 + 3\lambda - 3 - 12\lambda = 0 \Rightarrow -5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
अतः,बिंदु $B$ $(1, 2, 3)$ है और दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
माना $Q$,$P(1,-9,2)$ का रेखा $L$ पर प्रक्षेप है। $Q = (t, 1+t, 2+t)$.
$\vec{PQ} = (t-1)\hat{i} + (10+t)\hat{j} + t\hat{k}$.
चूंकि $\vec{PQ} \perp \vec{v}$,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (t-1) + (10+t) + t = 0 \Rightarrow 3t = -9 \Rightarrow t = -3$.
$Q = (-3, -2, -1)$.
दूरी $PQ = \sqrt{(-3-1)^2 + (-2 - (-9))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}$.

(B) दो दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+y+z-6) + \lambda(2x+3y+4z+5) = 0$ है।
चूंकि समतल $P$ बिंदु $(0, 2, -2)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0+2-2-6) + \lambda(2(0)+3(2)+4(-2)+5) = 0$
$-6 + \lambda(6-8+5) = 0$
$-6 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को परिवार के समीकरण में रखने पर:
$(x+y+z-6) + 2(2x+3y+4z+5) = 0$
$x+y+z-6 + 4x+6y+8z+10 = 0$
$5x+7y+9z+4 = 0$.
बिंदु $(12, 12, 18)$ की समतल $5x+7y+9z+4 = 0$ से दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|5(12) + 7(12) + 9(18) + 4|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2}}$
$d = \frac{|60 + 84 + 162 + 4|}{\sqrt{25 + 49 + 81}}$
$d = \frac{310}{\sqrt{155}}$.
दूरी का वर्ग $d^2 = \frac{310^2}{155} = \frac{96100}{155} = 620$ है।

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin x \, dx$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} [f(x) + f(\pi - x)] \sin x \, dx$
दिया गया है कि $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2$,इसलिए:
$2I = \int_{0}^{\pi} \pi^2 \sin x \, dx$
$2I = \pi^2 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$
$2I = \pi^2 [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$2I = \pi^2 [-(\cos \pi - \cos 0)]$
$2I = \pi^2 [-(-1 - 1)]$
$2I = \pi^2 [2]$
$2I = 2\pi^2$
$I = \pi^2$

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = V$ द्वारा दिया जाता है।
नए समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}]$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,हम इसे सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों के सारणिक (determinant) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:
$[\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
सारणिक की गणना करने पर:
$1(1 \times 3 - 1 \times 2) - 0 + 0 = 1(3 - 2) = 1$.
अतः,आयतन $1 \times V = V$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.
हम संयोजन के लिए पैटर्न देखते हैं:
$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+(f(x))^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.
गणितीय आगमन द्वारा,$f^n(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.
हमें $I = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^{n-2} \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}} dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} dx$ का मूल्यांकन करना है।
मान लीजिए $t = 1 + nx^n$,तो $dt = n^2 x^{n-1} dx$,इसलिए $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n^2}$.
जब $x \to 0, t \to 1$ और जब $x \to 1, t \to 1+n$.
$I = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \int_1^{1+n} t^{-1/n} dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{1-1/n}}{1-1/n} \right]_1^{1+n}$.
$I = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \frac{n}{n-1} ((1+n)^{(n-1)/n} - 1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n-1)} ((1+n)^{1-1/n} - 1)$.
चूंकि $(1+n)^{1-1/n} \approx n$,इसलिए व्यंजक $\frac{n}{n^2}$ जैसा व्यवहार करता है,जो $n \to \infty$ होने पर $0$ की ओर जाता है।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{\alpha}$ और $\frac{x-4}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{\beta}$ हैं।
पहली रेखा पर बिंदु $P_1(1, 2, 3)$ है और दूसरी रेखा पर बिंदु $P_2(4, 1, 0)$ है।
इन बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{P_1P_2} = (4-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \beta\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,सदिश $\vec{P_1P_2}$,$\vec{v_1}$,और $\vec{v_2}$ समतलीय होने चाहिए,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -3 \\ 2 & 3 & \alpha \\ 5 & 2 & \beta \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(3\beta - 2\alpha) + 1(2\beta - 5\alpha) - 3(4 - 15) = 0$
$9\beta - 6\alpha + 2\beta - 5\alpha + 33 = 0$
$-11\alpha + 11\beta + 33 = 0$
$\alpha - \beta = 3 \Rightarrow \alpha = \beta + 3$.
हमें $8\alpha\beta = 8(\beta + 3)\beta = 8(\beta^2 + 3\beta)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $8(\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 8(\beta + \frac{3}{2})^2 - 18$.
न्यूनतम मान $-18$ है। न्यूनतम मान का परिमाण $|-18| = 18$ है।

(C) माना $f(x) = x^5-20x^3+50x+2$ है।
वक्र $x$-अक्ष को कहाँ काटता है,यह ज्ञात करने के लिए हम अवकलन का उपयोग करके स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं:
$f'(x) = 5x^4-60x^2+50 = 5(x^4-12x^2+10)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x^4-12x^2+10 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x^2 = \frac{12 \pm \sqrt{144-40}}{2} = 6 \pm \sqrt{26} \approx 6 \pm 5.1$।
अतः,$x^2 \approx 11.1$ या $x^2 \approx 0.9$।
इससे $x \approx \pm 3.3$ और $x \approx \pm 0.95$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं पर फलन का मान जाँचने पर:
$f(-3.3) \approx -100 < 0$
$f(-0.95) \approx -28 < 0$
$f(0.95) \approx 32 > 0$
$f(3.3) \approx 104 > 0$
साथ ही,$f(-4) < 0$,$f(-2) > 0$,$f(0) = 2$,$f(2) = -14$,$f(4) > 0$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,फलन $(-4, -2)$,$(-2, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, 4)$ के बीच अपना चिह्न बदलता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $5$ बिंदुओं पर काटता है।

(C) $R(b, f(b))$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$y - f(b) = f'(b)(x - b)$
चूंकि यह स्पर्श रेखा $S(0, c)$ से होकर गुजरती है,इसलिए:
$c - f(b) = f'(b)(0 - b)$
$c - f(b) = -b f'(b)$
दिया गया है $bc = 3$,इसलिए $c = \frac{3}{b}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{b} - f(b) = -b f'(b)$
$b f'(b) - f(b) = -\frac{3}{b}$
दोनों पक्षों को $b^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{b f'(b) - f(b)}{b^2} = -\frac{3}{b^3}$
यह $\frac{f(b)}{b}$ का $b$ के सापेक्ष अवकलन है:
$\frac{d}{db} \left( \frac{f(b)}{b} \right) = -\frac{3}{b^3}$
दोनों पक्षों का $b$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{f(b)}{b} = \int -3b^{-3} db = \frac{3}{2b^2} + \lambda$
$f(b) = \frac{3}{2b} + \lambda b$
चूंकि वक्र $P(1, 3/2)$ से होकर गुजरता है:
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2(1)} + \lambda(1) \Rightarrow \lambda = 0$
अतः,$f(x) = \frac{3}{2x}$.
चूंकि वक्र $Q(a, 1/2)$ से होकर गुजरता है:
$f(a) = \frac{3}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 3$
अतः,$Q$ बिंदु $(3, 1/2)$ है।
दूरी $PQ$ का वर्ग है:
$PQ^2 = (3 - 1)^2 + (1/2 - 3/2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(D) दिया गया है $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$.
मान लीजिए $u = x e^x$,तो $du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I(x) = \int \frac{du}{u(1+u)^2}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{u(1+u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u} + \frac{C}{(1+u)^2}$.
$1 = A(1+u)^2 + Bu(1+u) + Cu$.
$u=0$ के लिए,$A=1$. $u=-1$ के लिए,$C=-1$.
$u^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B=0 \implies B=-1$.
अतः,$I(x) = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2}) du = \log|u| - \log|1+u| + \frac{1}{1+u} + C$.
$I(x) = \log|\frac{u}{1+u}| + \frac{1}{1+u} + C = \log|\frac{x e^x}{1+x e^x}| + \frac{1}{1+x e^x} + C$.
जब $x \rightarrow \infty$,तब $\frac{x e^x}{1+x e^x} \rightarrow 1$,इसलिए $\log(1) = 0$ और $\frac{1}{1+x e^x} \rightarrow 0$.
इस प्रकार,$\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0 + 0 + C = 0 \implies C = 0$.
$I(1) = \log(\frac{e}{1+e}) + \frac{1}{1+e} = \log(e) - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = 1 - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = \frac{1+e+1}{1+e} - \log(1+e) = \frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$.

(C) रेखा दो समतलों $P_1: x+2y+3z-4=0$ और $P_2: 2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन से बनी है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ है,जहाँ $\vec{n}_1 = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
दूसरा समतल $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{w}$ रूप में है,जहाँ $\vec{u} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{w} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ है। इस समतल का अभिलंब $\vec{n}_3 = \vec{u} \times \vec{w} = 5\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल रेखा को समाहित करता है और दूसरे समतल के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{N} = \vec{v} \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 7 & -3 \\ 5 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -27\hat{i}-30\hat{j}-25\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $27x+30y+25z=4$ प्राप्त होता है। अतः $a=27, b=30, c=25$ है। इसलिए,$a-b+c = 27-30+25 = 22$.

(B) दिया गया है $Q = PAP^{T}$।
हमें $P^{T}Q^{2007}P$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $Q = PAP^{T}$,तो $Q^{2007} = (PAP^{T})(PAP^{T})\dots(PAP^{T})$ ($2007$ बार)।
$Q^{2007} = PA(P^{T}P)A(P^{T}P)A\dots A P^{T}$।
चूंकि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $P^{T}P = I$ होता है।
अतः,$Q^{2007} = PA^{2007}P^{T}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$P^{T}(PA^{2007}P^{T})P = (P^{T}P)A^{2007}(P^{T}P) = I \cdot A^{2007} \cdot I = A^{2007}$ प्राप्त होता है।
$A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ के लिए,$A^{n} = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ होता है।
इसलिए,$A^{2007} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2007 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$।
इससे $a=1, b=2007, c=0, d=1$ प्राप्त होता है।
अब $2a+b-3c-4d = 2(1) + 2007 - 3(0) - 4(1) = 2 + 2007 - 4 = 2005$।

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि बोल्ट क्रमशः मशीन $A, B$ और $C$ द्वारा निर्मित हैं,और $D$ वह घटना है कि बोल्ट दोषपूर्ण है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(E_1) = 0.20 = \frac{20}{100}$,$P(E_2) = 0.30 = \frac{30}{100}$,$P(E_3) = 0.50 = \frac{50}{100}$
दोषपूर्ण बोल्ट की सशर्त प्रायिकताएँ:
$P(D|E_1) = \frac{3}{100}$,$P(D|E_2) = \frac{4}{100}$,$P(D|E_3) = \frac{2}{100}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दोषपूर्ण बोल्ट के मशीन $C$ द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता:
$P(E_3|D) = \frac{P(E_3) \times P(D|E_3)}{P(E_1) \times P(D|E_1) + P(E_2) \times P(D|E_2) + P(E_3) \times P(D|E_3)}$
$P(E_3|D) = \frac{\frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}{\frac{20}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{4}{100} + \frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}$
$P(E_3|D) = \frac{100}{60 + 120 + 100} = \frac{100}{280} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin x + \cos x - \sqrt{2}}{\sin x - \cos x}$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,$f(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x} = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1}{\sin(x - \frac{\pi}{4})}$.
$\sin \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करके,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$x = \frac{7\pi}{12}$ के लिए,$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
$f(\frac{7\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$f''(\frac{7\pi}{12}) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$.
इसलिए,$f(\frac{7\pi}{12}) f''(\frac{7\pi}{12}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{2}{3\sqrt{3}}) = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.

(A) माना बिंदु $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$,और $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = (6 - \alpha) \hat{i} + (11 - 10) \hat{j} + (11 - 13) \hat{k} = (6 - \alpha) \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2} - 6) \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} + (-8 - 11) \hat{k} = -\frac{3}{2} \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} - 19 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = k \vec{BC}$,हमारे पास है:
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta - 11} = \frac{-2}{-19} = \frac{2}{19}$.
$\frac{1}{\beta - 11} = \frac{2}{19}$ से,$2(\beta - 11) = 19 \implies 2\beta - 22 = 19 \implies 2\beta = 41$.
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ से,$6 - \alpha = \frac{2}{19} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{19} \implies \alpha = 6 + \frac{3}{19} = \frac{117}{19}$.
अब,$(19 \alpha - 6 \beta)^2 = (19 \times \frac{117}{19} - 3 \times 2\beta)^2 = (117 - 3 \times 41)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 2(4 - 1) - 1(2 - 0) + 0 = 2(3) - 2 = 4$.
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,किसी भी आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{3-1} = |M|^2$ होता है।
इसलिए,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))| = |2A|^{(3-1)^3} = |2A|^{2^3} = |2A|^8$.
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|kA| = k^n|A|$ होता है,इसलिए $|2A| = 2^3|A| = 8 \times 4 = 32 = 2^5$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$|2A|^8 = (2^5)^8 = 2^{40}$.
हमें दिया गया है कि यह $(16)^n = (2^4)^n = 2^{4n}$ के बराबर है।
घातांकों की तुलना करने पर: $4n = 40 \Rightarrow n = 10$।

(A) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{n}_1$ और $\vec{r} = \vec{b} + \mu \vec{n}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $S_d$ का सूत्र है:
$S_d = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|} \right|$
दिए गए समीकरणों से:
$\vec{a} = (4, -2, -3)$,$\vec{b} = (1, 3, 4)$
$\vec{n}_1 = (4, 5, 3)$,$\vec{n}_2 = (3, 4, 2)$
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ ज्ञात करें:
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-12) - \hat{j}(8-9) + \hat{k}(16-15) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = (-2, 1, 1)$
इसका परिमाण $|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
अब,$\vec{b} - \vec{a} = (1-4, 3-(-2), 4-(-3)) = (-3, 5, 7)$
अदिश गुणनफल $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = (-3, 5, 7) \cdot (-2, 1, 1) = 6 + 5 + 7 = 18$
अतः,$S_d = \left| \frac{18}{\sqrt{6}} \right| = \frac{18}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

(D) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = 8 - x^2$,और $y = 7$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = \pm 2$ पर,$y = 4$ है।
साथ ही,$x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7}$ और $8 - x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{\sqrt{7}} (\text{ऊपरी वक्र} - \text{निचला वक्र}) dx$ है।
विशेष रूप से,ऊपरी सीमा $x \in [0, 1]$ के लिए $y = 7$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $y = 8 - x^2$ है। निचली सीमा $x \in [0, 2]$ के लिए $y = x^2$ है।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} (7 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (8 - 2x^2) dx \right]$
$= 2 \left[ (7x - \frac{x^3}{3})_{0}^{1} + (8x - \frac{2x^3}{3})_{1}^{2} \right]$
$= 2 \left[ (7 - \frac{1}{3}) + ((16 - \frac{16}{3}) - (8 - \frac{2}{3})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{20}{3} + (\frac{32}{3} - \frac{22}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{20}{3} + \frac{10}{3} \right] = 2 \left[ \frac{30}{3} \right] = 20$.

(B) मान लीजिए $I = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ है।
सबसे पहले,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\operatorname{cosec} x] \, dx$ पर विचार करें।
अंतराल $[\pi/6, 5\pi/6]$ में,$\operatorname{cosec} x \in [1, 2]$ होता है। विशेष रूप से,$x \in [\pi/6, 5\pi/6]$ के लिए $[\operatorname{cosec} x] = 1$ है।
अतः,$I_1 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} 1 \, dx = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$।
अब,$I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\cot x] \, dx$ पर विचार करें।
गुणधर्म $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,$I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [\cot(\pi-x)] \, dx = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} [-\cot x] \, dx$ प्राप्त होता है।
$I_2$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} ([\cot x] + [-\cot x]) \, dx$।
गुणधर्म $[t] + [-t] = -1$ (यदि $t \notin \mathbb{Z}$) का उपयोग करते हुए,$[\cot x] + [-\cot x] = -1$ प्राप्त होता है।
$2I_2 = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (-1) \, dx = -(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -\frac{2\pi}{3}$।
अतः,$I_2 = -\frac{\pi}{3}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{2}{\pi} (8 \cdot I_1 - 5 \cdot I_2) = \frac{2}{\pi} (8 \cdot \frac{2\pi}{3} - 5 \cdot (-\frac{\pi}{3})) = \frac{2}{\pi} (\frac{16\pi}{3} + \frac{5\pi}{3}) = \frac{2}{\pi} (\frac{21\pi}{3}) = 14$।

(B) दिया गया है $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$,अतः $\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{0}$ है।
इसका अर्थ है कि $(\vec{c} - \vec{b})$,$\vec{a}$ के समांतर है।
अतः,$\vec{c} - \vec{b} = k \vec{a}$ किसी अदिश $k$ के लिए,या $\vec{c} = \vec{b} + k \vec{a}$ है।
$\vec{c} = (\alpha + 6k) \hat{i} + (11 + 9k) \hat{j} + (-2 + 12k) \hat{k}$ को $\vec{a} \cdot \vec{c} = -12$ में रखने पर:
$6(\alpha + 6k) + 9(11 + 9k) + 12(-2 + 12k) = -12$.
$6\alpha + 36k + 99 + 81k - 24 + 144k = -12 \Rightarrow 6\alpha + 261k = -87$.
$\vec{c} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 5$ का उपयोग करने पर:
$(\alpha + 6k) - 2(11 + 9k) + (-2 + 12k) = 5$.
$\alpha + 6k - 22 - 18k - 2 + 12k = 5 \Rightarrow \alpha = 29$.
$\alpha = 29$ को $6(29) + 261k = -87$ में रखने पर:
$174 + 261k = -87 \Rightarrow 261k = -261 \Rightarrow k = -1$.
अतः,$\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (29-6)\hat{i} + (11-9)\hat{j} + (-2-12)\hat{k} = 23\hat{i} + 2\hat{j} - 14\hat{k}$.
अंत में,$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 23 + 2 - 14 = 11$.

(B) माना $f(x) = \frac{x^3}{x^4+147}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^4+147)(3x^2) - (x^3)(4x^3)}{(x^4+147)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^6 + 441x^2 - 4x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{441x^2 - x^6}{(x^4+147)^2} = \frac{x^2(441 - x^4)}{(x^4+147)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x^2 = 0$ या $x^4 = 441$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 21$ (चूंकि $x > 0$),इसलिए $x = \sqrt{21} \approx 4.58$.
चूंकि $f(x)$,$x < \sqrt{21}$ के लिए बढ़ता है और $x > \sqrt{21}$ के लिए घटता है,इसलिए अनुक्रम $a_n$ का सबसे बड़ा पद $\sqrt{21}$ के निकटतम $n$ के मान पर होगा।
हम $a_4$ और $a_5$ की तुलना करते हैं:
$a_4 = \frac{4^3}{4^4+147} = \frac{64}{256+147} = \frac{64}{403} \approx 0.1588$.
$a_5 = \frac{5^3}{5^4+147} = \frac{125}{625+147} = \frac{125}{772} \approx 0.1619$.
चूंकि $a_5 > a_4$,इसलिए सबसे बड़ा पद $n = 5$ पर है।

(B) समुच्चय $A = \{0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है। विषम संख्याओं की संख्या $3$ $(\{3, 7, 9\})$ है और सम संख्याओं की संख्या $5$ $(\{0, 4, 6, 8, 10\})$ है।
संबंध $R$ में वे युग्म $(x, y)$ हैं जहाँ $x - y$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है या $x - y = 2$ है।
$1$. वे युग्म जहाँ $x - y$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है: चूँकि $x - y$ विषम है,एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए। ऐसे $3 \times 5 = 15$ युग्म हैं जहाँ $x > y$ है।
$2$. वे युग्म जहाँ $x - y = 2$ है: ये युग्म $(6, 4), (8, 6), (10, 8), (9, 7)$ हैं। ऐसे $4$ युग्म हैं जहाँ $x > y$ है।
$R$ में $x > y$ वाले कुल युग्म $15 + 4 = 19$ हैं।
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए। चूँकि सभी $19$ युग्म वर्तमान में $x > y$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए उनके सममित युग्म $(y, x)$ जहाँ $y < x$ है,वर्तमान में $R$ में नहीं हैं।
अतः,$R$ को सममित बनाने के लिए हमें $19$ अवयव जोड़ने होंगे।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ प्राप्त होता है।
$dx$ और $(2x \ln x)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{y}{2x \ln x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{2x \ln x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{2x \ln x} dx}$ है।
माना $\ln x = t$,तो $\frac{1}{x} dx = dt$. अतः,$I$.$F$. $= e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t} = \sqrt{\ln x}$।
व्यापक हल $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx + C$ है।
$y \sqrt{\ln x} = \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} dx$.
माना $\ln x = u^2$,तो $\frac{1}{x} dx = 2u du$. समाकलन $\int u \cdot 2u du = 2 \int u^2 du = \frac{2}{3} u^3 + C = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + C$ बन जाता है।
बिंदु $(e, \frac{4}{3})$ का उपयोग करने पर,$\frac{4}{3} \sqrt{\ln e} = \frac{2}{3} (\ln e)^{3/2} + C \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$।
अतः,$y \sqrt{\ln x} = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + \frac{2}{3}$।
बिंदु $(e^4, \alpha)$ के लिए,$\alpha \sqrt{\ln e^4} = \frac{2}{3} (\ln e^4)^{3/2} + \frac{2}{3}$।
$\alpha \sqrt{4} = \frac{2}{3} (4)^{3/2} + \frac{2}{3} \Rightarrow 2\alpha = \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} = \frac{16+2}{3} = 6$।
अतः,$\alpha = 3$।

(B) एक बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)$ और समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ के लिए:
$d_1 = \frac{|2(\frac{5}{2}) + 3(1) - 6(\lambda) + 7|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|5 + 3 - 6\lambda + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|15 - 6\lambda|}{7}$.
बिंदु $(-2, 0, 1)$ और समतल $2x + 3y - 6z + 7 = 0$ के लिए:
$d_2 = \frac{|2(-2) + 3(0) - 6(1) + 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{|-4 - 6 + 7|}{7} = \frac{|-3|}{7} = \frac{3}{7}$.
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|15 - 6\lambda|}{7} = \frac{3}{7}$,जिसका अर्थ है $|15 - 6\lambda| = 3$.
इसके दो मामले हैं:
$15 - 6\lambda = 3 \Rightarrow 6\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 2$.
$15 - 6\lambda = -3 \Rightarrow 6\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 3$.
चूंकि $\lambda_1 > \lambda_2$,इसलिए $\lambda_1 = 3$ और $\lambda_2 = 2$.
बिंदु $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_2, \lambda_1) = (3 - 2, 2, 3) = (1, 2, 3)$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3)$ की रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 7}{2}$ से दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है,जहाँ $A(5, 1, -7)$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{v} = (1, 2, 2)$ दिशा सदिश है।
$\vec{AP} = (1 - 5, 2 - 1, 3 - (-7)) = (-4, 1, 10)$.
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -18\hat{i} + 18\hat{j} - 9\hat{k}$.
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-18)^2 + 18^2 + (-9)^2} = 27$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
$d = \frac{27}{3} = 9$.

(D) रेखा बिंदु $A(1, 2, -5)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = \langle 1, -3, 7 \rangle$ है। समतल बिंदु $B(2, 4, -3)$ से भी गुजरता है।
सदिश $\vec{AB} = \langle 2-1, 4-2, -3-(-5) \rangle = \langle 1, 2, 2 \rangle$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -20\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \langle 4, -1, -1 \rangle$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $4(x-1) - 1(y-2) - 1(z+5) = 0$ है,जो सरल होकर $4x - y - z = 7$ बनता है।
मान लीजिए बिंदु $Q(-1, 3, 4)$ है। प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए,$\frac{\alpha+1}{4} = \frac{\beta-3}{-1} = \frac{\gamma-4}{-1} = -2 \frac{4(-1)-3-4-7}{16+1+1} = -2 \frac{-18}{18} = 2$.
अतः,$\alpha+1 = 8 \implies \alpha = 7$,$\beta-3 = -2 \implies \beta = 1$,$\gamma-4 = -2 \implies \gamma = 2$.
$\alpha+\beta+\gamma = 7+1+2 = 10$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \sqrt{3} \\ -1 & \tan \theta & \sqrt{7} \\ 1 & 1 & \tan \theta \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(\tan^2 \theta - \sqrt{7}) - 1(-\tan \theta - \sqrt{7}) + \sqrt{3}(-1 - \tan \theta) = 0$
$\tan^2 \theta - \sqrt{7} + \tan \theta + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan^2 \theta + (1 - \sqrt{3}) \tan \theta - \sqrt{3} = 0$
$(\tan \theta - \sqrt{3})(\tan \theta + 1) = 0$
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$ या $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ और $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$.
$\tan \theta = -1$ और $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}$.
$S$ में सभी मानों का योग $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta = \frac{120}{\pi} \times \frac{\pi}{6} = 20$.

(A) सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए: $\sum_{x=0}^{\infty} P(X = x) = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x} = 1$.
मान लीजिए $S = 1 + 2(3^{-1}) + 3(3^{-2}) + 4(3^{-3}) + \ldots = \sum_{x=0}^{\infty} (x + 1)3^{-x}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$
$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$
दोनों को घटाने पर: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
चूंकि $kS = 1$,इसलिए $k = \frac{4}{9}$.
हमें $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = k(0 + 1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X = 1) = k(1 + 1)3^{-1} = 2k \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27}) = 1 - (\frac{12 + 8}{27}) = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}$.

(A) माना $I = \int \left( \left(\frac{x}{2}\right)^x + \left(\frac{2}{x}\right)^x \right) \log_2 x \, dx$.
हम जानते हैं कि $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$.
माना $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x$. तब $\ln f(x) = x \ln \left(\frac{x}{2}\right) = x(\ln x - \ln 2)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot (\ln x - \ln 2) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x - \ln 2 + 1$.
अतः $f'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x (\ln x - \ln 2 + 1)$.
इस समाकलन का हल $\left(\frac{x}{2}\right)^x + C$ प्राप्त होता है।

(B) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$.
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{BD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AC} = C - A = (-2-2, -3-1, 5-1) = (-4, -4, 4) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = D - B = (1-1, -6-2, -7-5) = (0, -8, -12) = 0\hat{i} - 8\hat{j} - 12\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 0 & -8 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-12) - (4)(-8)) - \hat{j}((-4)(-12) - (4)(0)) + \hat{k}((-4)(-8) - (-4)(0))$
$= \hat{i}(48 + 32) - \hat{j}(48 - 0) + \hat{k}(32 - 0)$
$= 80\hat{i} - 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{80^2 + (-48)^2 + 32^2} = \sqrt{6400 + 2304 + 1024} = \sqrt{9728}$.
$\sqrt{9728} = \sqrt{256 \times 38} = 16\sqrt{38}$.
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{38} = 8\sqrt{38}$ है।

(D) समतल $P: ax + y - z - b = 0$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
रेखा $l$ की दिशा $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ होता है।
$\cos \theta = \frac{1}{3}$ होने के कारण,$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ होगा।
$\frac{|a - 2|}{\sqrt{3} \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ को हल करने पर $5a^2 + 12a + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $a = -2$ ($a \in \mathbb{Z}$ के कारण)।
बिंदु $(6, -6, 4)$ से समतल की दूरी $3\sqrt{6}$ है,अतः $\frac{|-22 - b|}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
$|-22 - b| = 18$ से $b = -4$ या $b = -40$ मिलता है।
$|a - b| \leq 10$ शर्त के अनुसार $b = -4$ सही है।
अतः $a^4 + b^2 = (-2)^4 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$।

(C) चूंकि $\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{u}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\left[\overrightarrow{u}_1 \overrightarrow{u}_2 \overrightarrow{u}_3\right] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ c & 1 & 1 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(b-1) - 1(1-c) + a(1-bc) = 0$
$b - 1 - 1 + c + a - abc = 0 \Rightarrow abc = a + b + c - 2$ $(1)$
चूंकि $\overrightarrow{v}_1, \overrightarrow{v}_2, \overrightarrow{v}_3$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\left[\overrightarrow{v}_1 \overrightarrow{v}_2 \overrightarrow{v}_3\right] = \left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \\ a & b+c & a \\ b & b & c+a \end{array}\right| = 0$
$R_3 \rightarrow R_3 - (R_1 + R_2)$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} a+b & c & c \\ a & b+c & a \\ -2a & -2c & 0 \end{array}\right| = 0$
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2a(ac - c(b+c)) + 2c(a(b+c) - ac) = 0$
$-2a(ac - bc - c^2) + 2c(ab + ac - ac) = 0$
$-2a^2c + 2abc + 2ac^2 + 2abc = 0$
$4abc - 2a^2c + 2ac^2 = 0 \Rightarrow 2abc - a^2c + ac^2 = 0$
इस समीकरण से $abc = 0$ प्राप्त होता है।
$abc = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $0 = a + b + c - 2 \Rightarrow a + b + c = 2$
अतः,$6(a + b + c) = 6(2) = 12$.