मान लीजिए vec{a}, vec{b}, vec{c} तीन सदिश इस | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $2(\vec{a} 	imes \vec{b}) = 3(\vec{c} 	imes \vec{a})$।इसे $\vec{a} 	imes (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।इ

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$3$

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(D) दिया गया है कि $2(\vec{a} 	imes \vec{b}) = 3(\vec{c} 	imes \vec{a})$।इसे $\vec{a} 	imes (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।इसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{a} = \lambda(2\vec{b} + 3\vec{c})$ है।दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{31}$,$|\vec{b}| = 1/2$,और $|\vec{c}| = 2$ है।$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $	heta = \frac{2\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(2\pi/3) = (1/2)(2)(-1/2) = -1/2$ है।अब,$|\vec{a}|^2 = \lambda^2 |2\vec{b} + 3\vec{c}|^2 = \lambda^2 (4|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 + 12\vec{b} \cdot \vec{c})$ है।$31 = \lambda^2 (4(1/4) + 9(4) + 12(-1/2)) = \lambda^2 (1 + 36 - 6) = 31\lambda^2$ है।अतः,$\lambda^2 = 1$,इसलिए $\lambda = \pm 1$ है।तब $\vec{a} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c})$ है।हमें $\left(\frac{\vec{a} 	imes \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}ight)^2 = \frac{|\vec{a} 	imes \vec{c}|^2}{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ का मान ज्ञात करना है।$|\vec{a} 	imes \vec{c}|^2 = |\pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) 	imes \vec{c}|^2 = |2(\vec{b} 	imes \vec{c})|^2 = 4|\vec{b} 	imes \vec{c}|^2 = 4(|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{c})^2) = 4(1/4 \cdot 4 - (-1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 3$ है।$\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \cdot \vec{b} = \pm(2|\vec{b}|^2 + 3\vec{b} \cdot \vec{c}) = \pm(2(1/4) + 3(-1/2)) = \pm(1/2 - 3/2) = \pm(-1) = \mp 1$ है।इसलिए,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 1$ है।अतः,$\left(\frac{\vec{a} 	imes \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}ight)^2 = \frac{3}{1} = 3$ है।

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