JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $AB = x$. चित्र से,$AC = x \tan \theta_1$ और $CD = x$. साथ ही,$BD = AC = x \tan \theta_1$ और $DE = CD \tan \theta_2 = x \tan \theta_2$.
दिया है $\sqrt{3}(BE) = 4(AB)$,इसलिए $\sqrt{3}(BD + DE) = 4x$.
$\sqrt{3}(x \tan \theta_1 + x \tan \theta_2) = 4x \implies \sqrt{3}(\tan \theta_1 + \cot \theta_1) = 4$ (चूंकि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}, \tan \theta_2 = \cot \theta_1$).
$\sqrt{3}(\tan \theta_1 + \frac{1}{\tan \theta_1}) = 4 \implies 3 \tan^2 \theta_1 - 4\sqrt{3} \tan \theta_1 + 3 = 0$.
$\tan \theta_1$ के लिए हल करने पर,हमें $\tan \theta_1 = \sqrt{3}$ या $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
यदि $\tan \theta_1 = \sqrt{3}$,तो $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ और $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$. तब $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{1}{2}$.
यदि $\tan \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$,तो $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ और $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$. तब $\frac{\theta_2}{\theta_1} = 2$.
चूंकि $\frac{\theta_2}{\theta_1}$ अधिकतम है,हम $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ लेते हैं।
$\triangle CAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times x \times (x \tan \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} x^2 \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2 = 2\sqrt{3}(2\sqrt{3}-3) = 12 - 6\sqrt{3} = (3-\sqrt{3})^2 \implies x = 3-\sqrt{3}$.
$\triangle CED$ का परिमाप $= CD + DE + CE = x + x \tan \theta_2 + \sqrt{x^2 + (x \tan \theta_2)^2} = x(1 + \tan \frac{\pi}{3} + \sec \frac{\pi}{3}) = x(1 + \sqrt{3} + 2) = x(3+\sqrt{3})$.
परिमाप $= (3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 9 - 3 = 6$.

(B) आयत $R$ का क्षेत्रफल $2 \times 5 = 10$ वर्ग इकाई है।
रेखाखंड $AB$ आयत से एक त्रिभुज $OAB$ काटता है,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \alpha \times \beta = \frac{\alpha \beta}{2}$ है।
रेखाखंड $AB$ आयत को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। त्रिभुज $OAB$ छोटा भाग है,इसलिए इसका क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{5}$ होना चाहिए।
$\frac{\text{Area}(OAB)}{\text{Area}(R)} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta / 2}{10} = \frac{1}{5} \implies \frac{\alpha \beta}{20} = \frac{1}{5} \implies \alpha \beta = 4$.
मान लीजिए $M(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{\alpha}{2}$ और $k = \frac{\beta}{2}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2h$ और $\beta = 2k$.
इन्हें $\alpha \beta = 4$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2h)(2k) = 4 \implies 4hk = 4 \implies hk = 1$ प्राप्त होता है।
मध्य-बिंदु $M(x, y)$ का बिंदुपथ $xy = 1$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$ और $B = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\}$ है।
दिया है,$\overline{A} = 5 \implies \sum a_i = 25$ और $\overline{B} = 8 \implies \sum b_i = 40$ है।
प्रसरण $\sigma_A^2 = 12 \implies \frac{\sum a_i^2}{5} - 5^2 = 12 \implies \sum a_i^2 = 5(37) = 185$ है।
प्रसरण $\sigma_B^2 = 20 \implies \frac{\sum b_i^2}{5} - 8^2 = 20 \implies \sum b_i^2 = 5(84) = 420$ है।
समुच्चय $C$ में $i=1$ से $5$ के लिए $a_i - 3$ और $b_i + 2$ तत्व हैं।
$C$ का माध्य,$\overline{C} = \frac{\sum (a_i - 3) + \sum (b_i + 2)}{10} = \frac{(25 - 15) + (40 + 10)}{10} = \frac{60}{10} = 6$ है।
$C$ का प्रसरण,$\sigma_C^2 = \frac{\sum (a_i - 3)^2 + \sum (b_i + 2)^2}{10} - (\overline{C})^2$ है।
$\sum (a_i - 3)^2 = \sum a_i^2 - 6\sum a_i + 45 = 185 - 6(25) + 45 = 80$ है।
$\sum (b_i + 2)^2 = \sum b_i^2 + 4\sum b_i + 20 = 420 + 4(40) + 20 = 600$ है।
$\sigma_C^2 = \frac{80 + 600}{10} - 6^2 = 68 - 36 = 32$ है।
माध्य और प्रसरण का योग $= 6 + 32 = 38$ है।

(B) $x+y+z=15$ के कुल अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2} = 136$ है।
उन हलों की संख्या ज्ञात करें जहाँ कम से कम दो चर समान हैं:
यदि $x=y$,तो $2x+z=15$। $x$ के लिए $0$ से $7$ तक $8$ मान संभव हैं।
इसी प्रकार $y=z$ और $x=z$ के लिए भी $8-8$ हल हैं।
कुल हल जहाँ कम से कम दो चर समान हैं = $8+8+8 - 2(1) = 22$ (क्योंकि $(5,5,5)$ तीनों स्थितियों में गिना गया है)।
भिन्न हलों की संख्या = $136 - 22 = 114$।

(D) एक सम्मिश्र संख्या $z$ को वामावर्त दिशा में $90^{\circ}$ $(+\pi/2)$ घुमाना $i$ से गुणा करने के बराबर है।
$w_1 = z_1 \times i = (5+4i)i = 5i + 4i^2 = -4+5i$.
एक सम्मिश्र संख्या $z$ को दक्षिणावर्त दिशा में $90^{\circ}$ $(-\pi/2)$ घुमाना $-i$ से गुणा करने के बराबर है।
$w_2 = z_2 \times (-i) = (3+5i)(-i) = -3i - 5i^2 = 5-3i$.
अब,$w_1 - w_2 = (-4+5i) - (5-3i) = -9+8i$.
सम्मिश्र संख्या $z = -9+8i$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में $z = x+iy$ का मुख्य कोणांक $\pi - \tan^{-1}|y/x|$ होता है।
$\text{Arg}(w_1-w_2) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{8}{-9}\right| = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(C) माना $|A|=48$,$|B|=25$,और $|C|=18$ है।
कम से कम एक पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की कुल संख्या $|A \cup B \cup C|=60$ है।
तीनों इवेंट में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की संख्या $|A \cap B \cap C|=5$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|A \cup B \cup C| = (|A| |B| |C|) - (|A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|) |A \cap B \cap C|$.
$S_1 = |A| |B| |C| = 48 25 18 = 91$।
$S_2 = |A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|$।
$60 = 91 - S_2 5$।
$S_2 = 91 5 - 60 = 36$।
ठीक दो इवेंट में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की संख्या:
$N({\text{ठीक दो}}) = S_2 - 3|A \cap B \cap C|$।
$N({\text{ठीक दो}}) = 36 - 3(5) = 36 - 15 = 21$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अक्षों पर अंतिम बिंदु $(\pm 1/\sqrt{k}, 0)$ और $(0, \pm 1/k)$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में $(1/\sqrt{k}, 0)$ और $(0, 1/k)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{1/\sqrt{k}} + \frac{y}{1/k} = 1$ है,जो $\sqrt{k}x + ky = 1$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $C_{k}$ की त्रिज्या $r_{k}$ मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी है:
$r_{k} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{(\sqrt{k})^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{k + k^{2}}}$.
अतः,$\frac{1}{r_{k}^{2}} = k + k^{2}$.
हमें $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{20} (k + k^{2}) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} k^{2}$ की गणना करनी है।
$n=20$ के लिए योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
$\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
इस प्रकार,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = 210 + 2870 = 3080$.

(A) दी गई असमिका $\log _{x+\frac{7}{2}}\left(\frac{x-7}{2 x-3}\right)^2 \geq 0$ है।
संभव क्षेत्र:
$1) \ x+\frac{7}{2} > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{2}$
$2) \ x+\frac{7}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2}$
$3) \ \frac{x-7}{2x-3} \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$
$4) \ 2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$
प्रतिच्छेदन: $x \in \left(-\frac{7}{2}, \infty\right) \setminus \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 7\right\}$।
स्थिति $I$: $x+\frac{7}{2} > 1$ और $\left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 \geq 1$
$x > -\frac{5}{2}$ और $(2x-3)^2 - (x-7)^2 \leq 0$
$(x+4)(3x-10) \leq 0 \Rightarrow x \in [-4, \frac{10}{3}]$
$x > -\frac{5}{2}$ के साथ प्रतिच्छेदन $x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]$ देता है।
स्थिति $II$: $0 < x+\frac{7}{2} < 1$ और $0 < \left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 < 1$
इस स्थिति में कोई सामान्य हल नहीं है।
अतः,$x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right] \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$।
पूर्णांक मान $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
कुल पूर्णांक हलों की संख्या $6$ है।

(NONE) दिया गया समीकरण: $3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 = 0$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2(1 - \cos^2 \theta) + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 + 2 \cos^2 \theta + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$
$3 \cos^2 \theta (\cos^2 \theta - 1) = 0$
$3 \cos^2 \theta (-\sin^2 \theta) = 0$
$-3 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos^2 \theta = 0$ या $\sin^2 \theta = 0$.
स्थिति $1$: $\cos^2 \theta = 0 \implies \cos \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
स्थिति $2$: $\sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ में,$\theta = 0, \pi, 2\pi$.
समुच्चय $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}$.
अवयवों की संख्या $5$ है।

(C) $100$ पदों का माध्य $200$ है,इसलिए योग $S_{100} = 100 \times 200 = 20000$ है।
योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ का उपयोग करने पर,$\frac{100}{2}(2(2) + 99d) = 20000$.
$50(4 + 99d) = 20000$ $\Rightarrow 4 + 99d = 400$ $\Rightarrow 99d = 396$ $\Rightarrow d = 4$.
$i$-वाँ पद $x_i = a + (i-1)d = 2 + (i-1)4 = 4i - 2$ है।
$y_i = i(x_i - i) = i(4i - 2 - i) = i(3i - 2) = 3i^2 - 2i$.
$y_i$ का माध्य $\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} (3i^2 - 2i)$ है।
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \sum_{i=1}^{100} i^2 - 2 \sum_{i=1}^{100} i \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ 3 \frac{100(101)(201)}{6} - 2 \frac{100(101)}{2} \right]$.
$= \frac{1}{100} \left[ \frac{100(101)(201)}{2} - 100(101) \right] = \frac{101(201)}{2} - 101 = 101(100.5 - 1) = 101 \times 99.5 = 10049.50$.

(B) द्विपद विस्तार $(2+x)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} \cdot x^r$ है।
$x^r$ का गुणांक $T_r = {^9C_r} \cdot 2^{9-r}$ है।
हमें $x, x^2, \ldots, x^7$ के गुणांकों का माध्य ज्ञात करना है,जो $S = \frac{1}{7} \sum_{r=1}^{7} {^9C_r} \cdot 2^{9-r}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{9} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} = (2+1)^9 = 3^9 = 19683$ है।
अतः,$\sum_{r=1}^{7} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} = 3^9 - ({^9C_0} \cdot 2^9 + {^9C_8} \cdot 2^1 + {^9C_9} \cdot 2^0)$।
पदों की गणना: ${^9C_0} \cdot 2^9 = 512$,${^9C_8} \cdot 2^1 = 18$,और ${^9C_9} \cdot 2^0 = 1$ है।
योग $= 19683 - (512 + 18 + 1) = 19683 - 531 = 19152$ है।
माध्य $= \frac{19152}{7} = 2736$ है।

(B) दिया गया है $S = 109 + \frac{108}{5} + \frac{107}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}$.
$\frac{1}{5}$ से गुणा करने पर: $\frac{S}{5} = \frac{109}{5} + \frac{108}{5^2} + \ldots + \frac{2}{5^{108}} + \frac{1}{5^{109}}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{4S}{5} = 109 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$\frac{4S}{5} = 109 - \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$S = \frac{5}{4} [109 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^{108}} - \frac{1}{5^{109}}]$.
$16S = 2180 - 5 + \frac{1}{5^{108}}$.
चूंकि $(25)^{-54} = \frac{1}{5^{108}}$,
$16S - (25)^{-54} = 2175$.

(B) उन तरीकों की संख्या जिनमें $n$ छात्रों में से कोई भी अपनी आवंटित सीट पर नहीं बैठता है,उसे डिरेंजमेंट सूत्र $D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ के लिए:
$D_5 = 5! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right)$
$D_5 = 120 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 120 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 60 - 20 + 5 - 1$
$D_5 = 44$.

(B) $(3^{1/2} + 5^{1/4})^{680}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{680}C_r (3^{1/2})^{680-r} (5^{1/4})^r$ है।
यह $T_{r+1} = {}^{680}C_r \cdot 3^{(680-r)/2} \cdot 5^{r/4}$ के रूप में सरल होता है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,दोनों घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$1$) $r/4$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए। अतः,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$।
$2$) $(680-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $680-r$ सम संख्या होनी चाहिए। चूंकि $680$ सम है,इसलिए $r$ भी सम होना चाहिए।
चूंकि $4$ के सभी गुणज सम होते हैं,इसलिए $r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$ दोनों शर्तों को पूरा करता है।
ऐसे पदों की संख्या $0, 4, 8, \dots, 680$ अनुक्रम में पदों की संख्या के बराबर है।
समांतर श्रेणी के पदों की संख्या के सूत्र का उपयोग करते हुए,$n = \frac{680 - 0}{4} + 1 = 170 + 1 = 171$।

(B) कथन $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ के सत्य होने के लिए क्रमित त्रिकों $(p, q, r)$ की संख्या ज्ञात करने हेतु,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \vee q$ | $p \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ | $q \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
उन पंक्तियों की गणना करने पर जहाँ अंतिम कॉलम $T$ है,हमें $7$ स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।
अतः,क्रमित त्रिकों की कुल संख्या $7$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $H_{n} \Rightarrow \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3+n}{1+n}} = \sqrt{\frac{2n+4}{n+1}}$ है।
$e$ के परिमेय होने के लिए,$\frac{2n+4}{n+1}$ को एक परिमेय संख्या का वर्ग होना चाहिए।
$n=48$ रखने पर,$e = \sqrt{\frac{2(48)+4}{48+1}} = \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{10}{7}$,जो कि परिमेय है।
अतः,$k = 48$ है। नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(48+3)}{\sqrt{48+1}} = \frac{102}{7}$ है।
इसलिए,$21l = 21 \times \frac{102}{7} = 306$।

(B) माना $S_n = a^n + b^n$ है। चूँकि $a$ और $b$ समीकरण $x^2-7x-1=0$ के मूल हैं,न्यूटन के योग नियम के अनुसार,$S_{n+2} - 7S_{n+1} - S_n = 0$,जिसका अर्थ है $S_{n+2} = 7S_{n+1} + S_n$.
हमें $\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}}$ का मान ज्ञात करना है।
पुनरावृत्ति संबंध से,$S_{21} = 7S_{20} + S_{19}$ है।
साथ ही,$S_{19} = 7S_{18} + S_{17}$,जिसका अर्थ है $S_{17} = S_{19} - 7S_{18}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + S_{19} + S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + 2S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}}$.
चूँकि $S_{20} = 7S_{19} + S_{18}$ है,इसलिए $S_{20} - S_{18} = 7S_{19}$ है।
अंश में यह मान रखने पर:
$\frac{7(S_{20} - S_{18}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{7(7S_{19}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{49S_{19} + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{51S_{19}}{S_{19}} = 51$.

(C) प्रारंभ से $1011$ वाँ पद $T_{1011} = {}^{2022}C_{1010} (\frac{4x}{5})^{1012} (-\frac{5}{2x})^{1010}$ है।
अंत से $1011$ वाँ पद,प्रारंभ से $1012$ वाँ पद है।
दी गई शर्त के अनुसार,$|x| = \frac{5}{16}$ प्राप्त होता है।

(B) एक सशर्त कथन $P \Rightarrow Q$ का विलोम $Q \Rightarrow P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $((\sim p) \wedge q) \Rightarrow r$ है,जहाँ $P = ((\sim p) \wedge q)$ और $Q = r$ है।
अतः,इसका विलोम $Q \Rightarrow P$ होगा,जो कि $r \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h = 5 \text{ m}$ है। मीनार का आधार $O$ है। पहले व्यक्ति की स्थिति $A$ (दक्षिण) और दूसरे व्यक्ति की स्थिति $B$ (पश्चिम) है।
$\triangle POA$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{PO}{OA} \implies 1 = \frac{5}{OA} \implies OA = 5 \text{ m}$.
$\triangle POB$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{PO}{OB} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{OB} \implies OB = 5\sqrt{3} \text{ m}$.
चूँकि दक्षिण और पश्चिम दिशाएँ परस्पर लंबवत हैं,$\triangle AOB$ बिंदु $O$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
दोनों व्यक्तियों के बीच की दूरी $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}$ है।

(A) भारित समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$-$GM$) का उपयोग करने पर:
$\frac{5(\frac{a}{5}) + 3(\frac{b}{3}) + 2(\frac{c}{2}) + 1(d)}{11} \geq ((\frac{a}{5})^5 (\frac{b}{3})^3 (\frac{c}{2})^2 (d)^1)^{1/11}$
$a+b+c+d = 11$ होने के कारण:
$1 \geq (\frac{a^5 b^3 c^2 d}{5^5 3^3 2^2})^{1/11}$
$a^5 b^3 c^2 d$ का अधिकतम मान $5^5 \times 3^3 \times 2^2 = 337500$ है।
$3750 \beta = 337500$ रखने पर,$\beta = 90$ प्राप्त होता है।

(C) केंद्र $(2,0)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = r^2$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 4y^2 = 36$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{36-x^2}{4}$।
$y^2$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x-2)^2 + \frac{36-x^2}{4} = r^2$
$4(x^2 - 4x + 4) + 36 - x^2 = 4r^2$
$4x^2 - 16x + 16 + 36 - x^2 = 4r^2$
$3x^2 - 16x + 52 - 4r^2 = 0$।
वृत्त के अंतर्निहित होने के लिए,स्पर्शरेखा के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$D = (-16)^2 - 4(3)(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 12(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 624 + 48r^2 = 0$
$48r^2 = 368$
$12r^2 = \frac{368}{4} = 92$।

(D) दिए गए प्रेक्षण $1, 2, 4, 5, x, y$ हैं। माध्य $\overline{x} = 5$ है।
$\frac{1+2+4+5+x+y}{6} = 5 \implies 12+x+y = 30 \implies x+y = 18$ $(i)$.
प्रसरण $\sigma^2 = 10 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2$.
$10 = \frac{1^2+2^2+4^2+5^2+x^2+y^2}{6} - 25$.
$35 = \frac{1+4+16+25+x^2+y^2}{6} \implies 210 = 46 + x^2+y^2 \implies x^2+y^2 = 164$ (ii).
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ से,$18^2 = 164 + 2xy \implies 324 - 164 = 2xy \implies 2xy = 160 \implies xy = 80$.
$x+y=18$ और $xy=80$ को हल करने पर,$x=8, y=10$ प्राप्त होता है।
प्रेक्षण $1, 2, 4, 5, 8, 10$ हैं।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\text{M.D.}(\overline{x}) = \frac{\sum |x_i - 5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{|1-5| + |2-5| + |4-5| + |5-5| + |8-5| + |10-5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{4+3+1+0+3+5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

(B) माना तीन क्रमागत गुणांक $^{n+2}C_{r-1}$,$^{n+2}C_{r}$,और $^{n+2}C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^{n+2}C_{r-1} : ^{n+2}C_{r} : ^{n+2}C_{r+1} = 1 : 3 : 5$ है।
$\frac{^{n+2}C_{r-1}}{^{n+2}C_{r}} = \frac{1}{3}$ से,$\frac{r}{n-r+3} = \frac{1}{3} \implies n = 4r-3$ $(i)$।
$\frac{^{n+2}C_{r}}{^{n+2}C_{r+1}} = \frac{3}{5}$ से,$\frac{r+1}{n-r+2} = \frac{3}{5} \implies 3n = 8r-1$ $(ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(4r-3) = 8r-1 \implies r = 2$ और $n = 5$।
गुणांक $^{7}C_{1}, ^{7}C_{2}, ^{7}C_{3}$ हैं,जो $7, 21, 35$ हैं।
योग $7 + 21 + 35 = 63$ है।

(A) $MATHS$ शब्द के अक्षर $A, H, M, S, T$ हैं। कुल अक्षर $= 5$ हैं।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$M$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$S$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$T$ से शुरू होने वाले शब्दों से पहले कुल शब्द $24 \times 4 = 96$ हैं।
अब,$T$ से शुरू होने वाले शब्द:
$TA...$: $3! = 6$।
$THAMS$:
$THA...$: $2! = 2$।
$THAM...$: $1! = 1$।
$THAMS$: $1$।
क्रम संख्या $= 96 + 6 + 1 = 103$।

(B) मान लीजिए $a = x_1 + i y_1$ और $z = x + i y$, जहाँ $x, y, x_1, y_1 \in \mathbb{R}$ है।
समुच्चय $A$ के लिए, शर्त $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) > \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ है।
$\operatorname{Re}(x_1 + i y_1 + x - i y) > \operatorname{Im}(x_1 - i y_1 + x + i y)$
$x_1 + x > -y_1 + y \implies y < x + x_1 + y_1$.
यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है, तो $y = 0$ होगा। शर्त $0 < x + x_1 + y_1$ हो जाती है, जिसका अर्थ है $x > -(x_1 + y_1)$। यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, $x$ का बहुत छोटा मान लें)। अतः, $(S1)$ असत्य है।
समुच्चय $B$ के लिए, शर्त $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ है।
$x_1 + x < -y_1 + y \implies y > x + x_1 + y_1$.
यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है, तो $y = 0$ होगा। शर्त $0 > x + x_1 + y_1$ हो जाती है, जिसका अर्थ है $x < -(x_1 + y_1)$। यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, $x$ का बहुत बड़ा मान लें)। अतः, $(S2)$ असत्य है।
इसलिए, दोनों कथन असत्य हैं।

(A) दिया गया व्यंजक $f(z) = \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R}$ है।
बहुपद विभाजन करने पर: $f(z) = 1 + \frac{11iz - 13}{z^2 - 3iz - 2}$ प्राप्त होता है।
$f(z)$ के वास्तविक होने के लिए,व्यंजक का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
माना $z = \alpha - \frac{13}{11}i$ है,जहाँ $x = \alpha$ और $y = -\frac{13}{11}$ है।
हर $D = z^2 - 3iz - 2 = (x^2 - y^2 + 3y - 2) + i(2xy - 3x)$ है।
अंश $N = 11iz - 13 = (-11y - 13) + i(11x)$ है।
$\frac{N}{D} \in \mathbb{R}$ के लिए,$\text{Re}(N)\text{Im}(D) = \text{Im}(N)\text{Re}(D)$ होना चाहिए।
चूंकि $y = -\frac{13}{11}$ है,इसलिए $\text{Re}(N) = 0$ है।
अतः,$\text{Re}(D) = x^2 - y^2 + 3y - 2 = 0$ लेने पर:
$\alpha^2 = y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$ प्राप्त होता है।
$y = -\frac{13}{11}$ रखने पर:
$\alpha^2 = (-\frac{24}{11})(-\frac{35}{11}) = \frac{840}{121}$ प्राप्त होता है।
अतः,$242\alpha^2 = 242 \times \frac{840}{121} = 1680$ है।

(A) माना $S = 1 + \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 10$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$\frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
माना $S_1 = \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
तब $\frac{S_1}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{8}{k^3} + \frac{13}{k^4} + \ldots$.
इन्हें घटाने पर: $S_1(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots = 9(1 - \frac{1}{k})$.
माना $S_2 = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots$.
तब $\frac{S_2}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{4}{k^3} + \frac{5}{k^4} + \ldots$.
इन्हें घटाने पर: $S_2(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^3} + \frac{1}{k^4} + \ldots = \frac{4}{k} + \frac{1/k^3}{1 - 1/k} = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$S_2 = 9(1 - \frac{1}{k})$ प्रतिस्थापित करने पर,$9(1 - \frac{1}{k})^2 = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$9(\frac{k-1}{k})^2 = \frac{4k(k-1) + 1}{k^2(k-1)}$.
$9(k-1)^3 = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2$.
$k=2$ जाँचने पर: $9(2-1)^3 = 9(1) = 9$,और $(2(2)-1)^2 = 3^2 = 9$.
अतः,$k=2$ सही उत्तर है।

(A) चूंकि बिंदु $P(3, \alpha)$ परवलय $y^2=12x$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha^2 = 12(3) = 36$,जिससे $\alpha = \pm 6$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$ है। बिंदु $(3, \alpha)$ पर ढाल $m_1 = \frac{6}{\alpha}$ है।
रेखा $2x+2y=3$ की ढाल $m_2 = -1$ है। स्पर्शरेखा लंबवत है,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$,जिससे $\alpha = 6$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ है।
बिंदु $Q$ का मान $(5, 8)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{9x}{5} + \frac{36y}{8} = 45$ अर्थात $2x + 5y - 50 = 0$ है।
बिंदु $(6, -4)$ से रेखा की दूरी $d = \frac{|2(6) + 5(-4) - 50|}{\sqrt{29}} = \frac{58}{\sqrt{29}}$ है।
दूरी का वर्ग $d^2 = \frac{3364}{29} = 116$ है।

(A) रेखा $l_1: 3y - 2x = 3$ और $l_2: x - y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(0, 1)$ है।
यह बिंदु $l_3: \alpha x + \beta y + 17 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = -17$ प्राप्त होता है।
रेखा $l_2$ पर एक बिंदु $Q(-1, 0)$ लें। रेखा $l_1$ के सापेक्ष $Q$ का प्रतिबिंब $Q'(-\frac{17}{13}, \frac{6}{13})$ प्राप्त होता है।
यह बिंदु $l_3$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha(-\frac{17}{13}) - 17(\frac{6}{13}) + 17 = 0$ से $\alpha = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha - \beta = 7^2 + (-17)^2 - 7 - (-17) = 49 + 289 - 7 + 17 = 348$.

(A) पाँच अंकों की संख्या $40000$ से बड़ी होती है यदि पहला अंक $5, 7$ या $9$ हो।
संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम अंक $0$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $5$ है। अंतिम अंक $0$ होना चाहिए। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों $(1, 3, 7, 9)$ द्वारा $^4P_3 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: पहला अंक $7$ है। अंतिम अंक $0$ या $5$ हो सकता है।
- यदि अंतिम अंक $0$ है,तो तरीके $= 24$।
- यदि अंतिम अंक $5$ है,तो तरीके $= 24$।
कुल तरीके $= 24 + 24 = 48$।
स्थिति $3$: पहला अंक $9$ है। अंतिम अंक $0$ या $5$ हो सकता है।
- यदि अंतिम अंक $0$ है,तो तरीके $= 24$।
- यदि अंतिम अंक $5$ है,तो तरीके $= 24$।
कुल तरीके $= 24 + 24 = 48$।
कुल संख्याएँ $= 24 + 48 + 48 = 120$।

(C) समीकरण $x^2+\sqrt{6}x+3=0$ के मूल $\alpha, \beta = \sqrt{3} e^{\pm i \frac{3\pi}{4}}$ हैं।
$\alpha^n + \beta^n = 2(\sqrt{3})^n \cos\left(\frac{3n\pi}{4}\right)$ का उपयोग करने पर,
अंश और हर के मानों की गणना करने पर,अंतिम उत्तर $81$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $S_n = \frac{n^2+3n}{(n+1)(n+2)}$।
$n=1$ के लिए,$a_1 = S_1 = \frac{2}{3}$।
$n > 1$ के लिए,$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{4}{n(n+1)(n+2)}$।
अतः,$\frac{1}{a_k} = \frac{k(k+1)(k+2)}{4}$।
अब,$28 \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = 28 \sum_{k=1}^{10} \frac{k(k+1)(k+2)}{4} = 7 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)(k+2)$।
सूत्र $\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ का उपयोग करने पर:
$7 \times \frac{10 \times 11 \times 12 \times 13}{4} = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13$।
यह प्रथम $6$ अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।
अतः,$m = 6$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
चूंकि $PQ$ और $RS$ मूल बिंदु से गुजरने वाली जीवाएं हैं,$O, PQ$ और $RS$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$PQ = 2OP$ और $RS = 2OR$।
$\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{1}{4(OP)^2} + \frac{1}{4(OR)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(OP)^2} + \frac{1}{(OR)^2} \right)$।
माना $P = (2 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ और $R = (2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$।
$OP \perp OR$ होने के कारण,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है: $\left( \frac{3 \sin \alpha}{2 \cos \alpha} \right) \left( \frac{3 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right) = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha \tan \theta = -\frac{4}{9}$।
$P = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}} \right)$ दिया गया है,अतः $\tan \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः $\tan \theta = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}$।
$(OP)^2 = \frac{48}{7}$ और $(OR)^2 = \frac{144}{31}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{4} \left( \frac{7}{48} + \frac{31}{144} \right) = \frac{13}{144}$।
अतः $p=13, q=144$,इसलिए $p+q = 157$।

(D) $(S1): (p \Rightarrow q) \wedge (q \wedge (\sim q))$ के लिए
चूंकि $(q \wedge (\sim q))$ हमेशा असत्य $(F)$ है,इसलिए पूरा व्यंजक $(p \Rightarrow q) \wedge F$ हमेशा असत्य है। अतः,$(S1)$ एक व्याघात है।
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ के लिए
हम वितरण नियमों का उपयोग करके इसे सरल बना सकते हैं:
$= [q \wedge (p \vee (\sim p))] \vee [(\sim q) \wedge (p \vee (\sim p))]$
$= [q \wedge T] \vee [(\sim q) \wedge T]$
$= q \vee (\sim q) = T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य $(T)$ है,इसलिए $(S2)$ एक पुनरुक्ति है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।

(C) द्विपद विस्तार $(1-x)^{100} = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + C_{100}x^{100}$ है।
माना $S = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots - C_{49}$ है।
हम जानते हैं कि $(1-x)^{100}$ में सभी गुणांकों का योग $(1-1)^{100} = 0$ होता है।
अतः,$(C_0 - C_1 + C_2 - \dots + C_{50} - \dots + C_{100}) = 0$ है।
गुणधर्म $C_r = C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,$C_{100} = C_0, C_{99} = C_1, \dots, C_{51} = C_{49}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2(C_0 - C_1 + C_2 - \dots - C_{49}) + C_{50} = 0$ है।
$2S + C_{50} = 0 \implies S = -\frac{1}{2} C_{50}$ है।
$S = -\frac{1}{2} \binom{100}{50} = -\frac{1}{2} \times \frac{100}{50} \binom{99}{49} = -\binom{99}{49}$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{1023}{10}$ है।
सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^{n} {}^{n+1}C_{r+1}$.
माना $k = r+1$,तो योग $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k}$ हो जाता है।
चूंकि $\sum_{k=0}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1}$,इसलिए $\sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1} - {}^{n+1}C_{0} = 2^{n+1} - 1$ है।
अतः,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$।
हर की तुलना करने पर,$n+1 = 10$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
अंश की जाँच करने पर: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$। यह दिए गए मान से मेल खाता है।

(B) दिया गया है $z_0 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$ और $z_1 = 1 + i$.
$|z_1 - z_0| = |(1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{3}{2})i| = |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ की गणना करें।
दिया गया है $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} |z_2 - z_0| = 1$,जिसका अर्थ है $|z_2 - z_0| = \sqrt{2}$।
चूंकि $z_0, z_1, z_2$ संरेख हैं,$z_2$ उस रेखा पर स्थित है जो $z_0$ और $z_1$ से होकर गुजरती है। इस रेखा की दिशा कोण $\theta$ द्वारा दी जाती है जहाँ $\tan \theta = \frac{-1/2}{1/2} = -1$,इसलिए $\theta = 135^{\circ}$ या $315^{\circ}$ है।
अतः,$z_2 = z_0 + \sqrt{2} e^{i \theta} = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i) + \sqrt{2} (\cos \theta + i \sin \theta)$।
$\theta = 135^{\circ}$ के लिए,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{2} - 1) + i(\frac{3}{2} + 1) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$।
तब $|z_2|^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$।
$\theta = 315^{\circ}$ के लिए,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = (\frac{1}{2} + 1) + i(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$।
तब $|z_2|^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$।
$|z_2|^2$ का छोटा मान $\frac{5}{2}$ है।

(A) रेखा का समीकरण $x \cos \theta + y \sin \theta = 7$ है।
$x$-अंतःखंड $x = \frac{7}{\cos \theta}$ है,अतः बिंदु $A = \left(\frac{7}{\cos \theta}, 0\right)$ है।
$y$-अंतःखंड $y = \frac{7}{\sin \theta}$ है,अतः बिंदु $B = \left(0, \frac{7}{\sin \theta}\right)$ है।
माना $M(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है।
$h = \frac{7}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{7}{2 \sin \theta}$ है।
बिंदु $\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $k = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$ है।
$\frac{7}{2 \sin \theta} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\alpha = \frac{7}{2 \cos(\pi/3)} = \frac{7}{2(1/2)} = 7$ है।

(B) मान लीजिए $X = \alpha - \beta$ है। $X$ के संभावित मान $-5$ से $5$ तक हैं।
चूँकि $\alpha$ और $\beta$ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित असतत समान चर हैं,$\alpha$ का प्रसरण $\text{Var}(\alpha) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{36 - 1}{12} = \frac{35}{12}$ है।
इसी प्रकार,$\text{Var}(\beta) = \frac{35}{12}$ है।
चूँकि $\alpha$ और $\beta$ स्वतंत्र हैं,$\text{Var}(\alpha - \beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(-\beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(\beta)$ होगा।
$\text{Var}(\alpha - \beta) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$ है।
यहाँ,$p = 35$ और $q = 6$ है। चूँकि $35$ और $6$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p = 35$ है।
$p$ का अभाज्य गुणनखंडन $35 = 5^1 \times 7^1$ है।
$p$ के धनात्मक भाजकों का योग $(5^0 + 5^1)(7^0 + 7^1) = (1 + 5)(1 + 7) = 6 \times 8 = 48$ है।

(C) दिया गया है $\cos A + \cos C = 2(1 - \cos B)$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{A+C}{2} = \sin \frac{B}{2}$,इसलिए $2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$,जो सरल होकर $\cos \frac{A-C}{2} = 2 \sin \frac{B}{2}$ देता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A + \sin C = 2 \sin B$,जिसका अर्थ है $a + c = 2b$।
$a = 3$ और $c = 7$ दिए गए हैं,इसलिए $3 + 7 = 2b$,जिससे $b = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos A - \cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
मान रखने पर: $\cos A - \cos C = \frac{25 + 49 - 9}{2(5)(7)} - \frac{9 + 25 - 49}{2(3)(5)}$।
$= \frac{65}{70} - \frac{-15}{30} = \frac{13}{14} + \frac{1}{2} = \frac{13 + 7}{14} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$।

(D) अंकों $a, a, a, b, b, b, c, c, c$ के विन्यासों की कुल संख्या $\frac{9!}{3!3!3!} = 1680$ है।
हमें उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ कम से कम एक लगातार त्रिक $A.P.$ बनाता है।
चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $A.P.$ में संभावित त्रिक $(a, b, c)$ और $(c, b, a)$ हैं।
ऐसी नौ अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $1260$ है।

(D) पदों को $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ मानिए।
माध्य $\frac{31}{10}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 5 \times \frac{31}{10} = \frac{31}{2}$।
व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{31}{40}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 5 \times \frac{31}{40} = \frac{31}{8}$।
पहले समीकरण को दूसरे से भाग देने पर,$a^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$।
$a=2$ रखने पर,$r=2$ प्राप्त होता है। पद $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ हैं।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{186}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः $m=186, n=25$ और $m+n = 211$।

(D) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में हैं और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $(r, r)$ हैं और उनके समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ हैं।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $x+y-2=0$ द्वारा काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ केंद्र $(r, r)$ से रेखा $x+y-2=0$ तक की लंबवत दूरी है।
अतः,$\sqrt{r^2 - d^2} = 1$,जिसका अर्थ है $r^2 - d^2 = 1$.
दूरी $d = \frac{|r+r-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2r-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}|r-1|$ है।
$d^2 = 2(r-1)^2$ को समीकरण $r^2 - d^2 = 1$ में रखने पर,हमें $r^2 - 2(r-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$r^2 - 2(r^2 - 2r + 1) = 1$ $\Rightarrow r^2 - 2r^2 + 4r - 2 = 1$ $\Rightarrow -r^2 + 4r - 3 = 0$.
अतः,$r^2 - 4r + 3 = 0$। इस द्विघात समीकरण के मूल $r_1$ और $r_2$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$r_1 + r_2 = 4$ और $r_1 r_2 = 3$ है।
हमें $r_1^2 + r_2^2 - r_1 r_2 = (r_1 + r_2)^2 - 3r_1 r_2$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर,हमें $4^2 - 3(3) = 16 - 9 = 7$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $p = (( A \wedge ( B \vee C ))$ $\Rightarrow ( A \vee B ))$ $\Rightarrow A$ है।
निहितार्थ नियम $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \vee Y$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv \sim (( A \wedge ( B \vee C )) \Rightarrow ( A \vee B )) \vee A$.
निषेध नियम $\sim (X \Rightarrow Y) \equiv X \wedge \sim Y$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge \sim ( A \vee B )) \vee A$.
डी मॉर्गन के नियम $\sim ( A \vee B ) \equiv \sim A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge ( \sim A \wedge \sim B )) \vee A$.
चूंकि $( A \wedge \sim A ) \equiv F$ (असत्य) है,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$p \equiv ( F \wedge ( B \vee C ) \wedge \sim B ) \vee A \equiv F \vee A \equiv A$.
अतः,कथन का निषेध $\sim p \equiv \sim A$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। बिंदु $(3 \sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(3 \sqrt{3})}{36} + \frac{y(1)}{4} = 1$ अर्थात $\frac{x \sqrt{3}}{12} + \frac{y}{4} = 1$ है।
$y$-अक्ष के लिए $x=0$ रखने पर,$y=4$ प्राप्त होता है। अतः $A=(0, 4)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-1 = \sqrt{3}(x-3 \sqrt{3})$ अर्थात $y = x \sqrt{3} - 8$ है।
$y$-अक्ष के लिए $x=0$ रखने पर,$y=-8$ प्राप्त होता है। अतः $B=(0, -8)$ है।
वृत्त का केंद्र $(0, -2)$ और त्रिज्या $6$ है। समीकरण $x^2 + (y+2)^2 = 36$ है।
$x = 2 \sqrt{5}$ रखने पर,$y^2 + 4y - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $y=2$ और $y=-6$ हैं।
स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ के लिए,$\alpha = \frac{18}{\sqrt{5}}$ और $\beta = -2$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha^2 - \beta^2 = \frac{324}{5} - 4 = \frac{304}{5}$.

(A) परवलय $y^2=4ax$ के लिए,यहाँ $4a=36$,अतः $a=9$ है। प्राचल $t$ वाली नाभीय जीवा की लंबाई $a(t+1/t)^2 = 100$ होती है।
$9(t+1/t)^2 = 100 \implies (t+1/t)^2 = 100/9 \implies t+1/t = 10/3$ (चूंकि कोण न्यून है,$t>0$)।
$3t^2 - 10t + 3 = 0$ को हल करने पर,$(3t-1)(t-3)=0$ मिलता है,अतः $t=3$ या $t=1/3$ है।
$P$ की कोटि धनात्मक है,इसलिए $P$ का मान $t=3$ के लिए $P = (81, 54)$ है।
अतः $Q$ का मान $t=1/3$ के लिए $Q = (1, 6)$ है।
बिंदु $M$,$PQ$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अतः $M = (21, 18)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = 3/5$ है।
$PQ$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_{\perp} = -5/3$ है।
$M(21, 18)$ से गुजरने वाली और $-5/3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $5x+3y = 159$ है।

(B) हमें $\frac{4^{2022}}{15}$ का भिन्नात्मक भाग ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $4^{2022} = (4^2)^{1011} = 16^{1011}$ है।
हम $16$ को $(15 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$16^{1011} = (15 + 1)^{1011}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(15 + 1)^{1011} = 15K + 1$,जहाँ $K$ एक पूर्णांक है।
इसलिए,$\frac{4^{2022}}{15} = \frac{15K + 1}{15} = K + \frac{1}{15}$ है।
अतः,भिन्नात्मक भाग $\frac{1}{15}$ है।

(D) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$k$-वीं समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k - 1$ है।
यहाँ $n = 12$ दिया गया है,अतः $s_k$:
$s_k = \frac{12}{2} [2(k) + (12-1)(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 11(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 22k - 11] = 6 [24k - 11] = 144k - 66$.
अब,$\sum_{i=1}^{10} s_i$ की गणना करते हैं:
$\sum_{i=1}^{10} (144i - 66) = 144 \sum_{i=1}^{10} i - \sum_{i=1}^{10} 66$
$= 144 \times \frac{10 \times 11}{2} - 660$
$= 144 \times 55 - 660$
$= 7920 - 660 = 7260$.

(C) सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} (x^{1/2})^{n-k} (-6 x^{-3/2})^k = {^nC_k} (-6)^k x^{(n-4k)/2}$ है।
अचर पद के लिए,$n-4k = 0$,इसलिए $n = 4k$। चूँकि $n \leq 15$,$k$ का मान $1, 2, 3$ हो सकता है।
सभी गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1-6)^n = (-5)^n$ है।
शेष पदों का योग $(-5)^n - \alpha = 649$ है।
यदि $k=1, n=4$ लें: $(-5)^4 - {^4C_1}(-6)^1 = 625 + 24 = 649$। यह सत्य है।
अतः,$n=4$ और $\alpha = {^4C_1}(-6)^1 = -24$।
$x^{-n} = x^{-4}$ का गुणांक तब प्राप्त होता है जब $(n-4k)/2 = -4$,अर्थात $4-4k = -8$,$4k = 12$,$k=3$।
गुणांक ${^4C_3}(-6)^3 = 4 \times (-216) = -864$ है।
इस प्रकार,$-864 = \lambda(-24)$,इसलिए $\lambda = \frac{-864}{-24} = 36$।

(D) केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण $|A - xI| = 0$ को संतुष्ट करता है।
$|A - xI| = \begin{vmatrix} 1 - x & 5 \\ \lambda & 10 - x \end{vmatrix} = (1 - x)(10 - x) - 5\lambda = x^2 - 11x + 10 - 5\lambda = 0$.
अतः,$A^2 - 11A + (10 - 5\lambda)I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A - 11I + (10 - 5\lambda)A^{-1} = 0$.
$(10 - 5\lambda)A^{-1} = -A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{-1}{10 - 5\lambda}A + \frac{11}{10 - 5\lambda}I$.
इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha A + \beta I$ से करने पर,$\alpha = \frac{-1}{10 - 5\lambda}$ और $\beta = \frac{11}{10 - 5\lambda}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = -2$,इसलिए $\frac{-1 + 11}{10 - 5\lambda} = -2 \Rightarrow \frac{10}{10 - 5\lambda} = -2$.
$10 = -20 + 10\lambda \Rightarrow 10\lambda = 30 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः $\alpha = \frac{-1}{10 - 15} = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{11}{10 - 15} = -\frac{11}{5}$.
अंत में,$4\alpha^2 + \beta^2 + \lambda^2 = 4(\frac{1}{25}) + (\frac{121}{25}) + 3^2 = \frac{125}{25} + 9 = 5 + 9 = 14$.

(D) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ और $R = \{(x, y) \in A \times A : x + y = 7\}$.
$R$ के अवयवों को सूचीबद्ध करने पर: $R = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$.
$1$. स्वतुल्य: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(1, 1) \notin R$,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(1, 6) \in R$ और $(6, 1) \in R$ है,$(2, 5) \in R$ और $(5, 2) \in R$ है,आदि,इसलिए $R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 6) \in R$ और $(6, 1) \in R$ है,लेकिन $(1, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R$ सममित है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक।

(A) हम $[x^2]$ के मानों के आधार पर अंतराल को विभाजित करके समाकलन $\int_0^{2.4} [x^2] dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx + \int_2^{\sqrt{5}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} [x^2] dx$
$= \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx + \int_2^{\sqrt{5}} 4 dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} 5 dx$
$= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3}) + 4(\sqrt{5} - 2) + 5(2.4 - \sqrt{5})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - 8 + 12 - 5\sqrt{5}$
$= ( -1 + 6 - 8 + 12 ) + (1 - 2)\sqrt{2} + (2 - 3)\sqrt{3} + (4 - 5)\sqrt{5}$
$= 9 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}$
इसकी तुलना $\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ से करने पर,हमें $\alpha = 9$,$\beta = -1$,$\gamma = -1$,और $\delta = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 9 - 1 - 1 - 1 = 6$.

(A) चूंकि $f(x)$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$.
$3(1)^2 + k\sqrt{1+1} = m(1)^2 + k^2 \implies 3 + k\sqrt{2} = m + k^2 \quad \dots(1)$
साथ ही,$f'(x)$ को $x = 1$ पर सतत होना चाहिए,इसलिए $f'_-(1) = f'_+(1)$.
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = 6x + \frac{k}{2\sqrt{x+1}}$.
$x > 1$ के लिए,$f'(x) = 2mx$.
$x = 1$ पर,$6(1) + \frac{k}{2\sqrt{2}} = 2m(1) \implies 2m = 6 + \frac{k}{2\sqrt{2}} \implies m = 3 + \frac{k}{4\sqrt{2}} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 + k\sqrt{2} = (3 + \frac{k}{4\sqrt{2}}) + k^2$
$k^2 + k(\frac{1}{4\sqrt{2}} - \sqrt{2}) = 0$
$k^2 - \frac{7k}{4\sqrt{2}} = 0$.
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = \frac{7}{4\sqrt{2}}$.
तब $m = 3 + \frac{7/4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 3 + \frac{7}{32} = \frac{103}{32}$.
अब,$f'(8) = 2m(8) = 16m = 16(\frac{103}{32}) = \frac{103}{2}$.
और $f'(\frac{1}{8}) = 6(\frac{1}{8}) + \frac{k}{2\sqrt{1/8+1}} = \frac{3}{4} + \frac{7/4\sqrt{2}}{2(3/2\sqrt{2})} = \frac{3}{4} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
अतः,$\frac{8f'(8)}{f'(1/8)} = \frac{8(103/2)}{4/3} = 309$.

(A) फलन को परिभाषित होने के लिए,दोनों भागों का मान्य होना आवश्यक है।
$1$. $\log_e\left(\frac{6x^2+5x+1}{2x-1}\right)$ के लिए,$\frac{6x^2+5x+1}{2x-1} > 0$ होना चाहिए।
$\frac{(3x+1)(2x+1)}{2x-1} > 0$।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = -1/2, -1/3, 1/2$ हैं।
असमिका $x \in (-1/2, -1/3) \cup (1/2, \infty) \dots (A)$ के लिए सत्य है।
$2$. $\cos^{-1}\left(\frac{2x^2-3x+4}{3x-5}\right)$ के लिए,$-1 \le \frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \le 1$ और $3x-5 \neq 0$ होना चाहिए।
$\frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \le 1$ को हल करने पर $\implies \frac{2x^2-6x+9}{3x-5} \le 0$। चूंकि $2x^2-6x+9$ के लिए $D < 0$ है,यह हमेशा धनात्मक है। अतः,$3x-5 < 0 \implies x < 5/3 \dots (B)$।
$\frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \ge -1$ को हल करने पर $\implies \frac{2x^2-1}{3x-5} \ge 0$।
क्रांतिक बिंदु $x = -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 5/3$ हैं।
असमिका $x \in [-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] \cup (5/3, \infty) \dots (C)$ के लिए सत्य है।
सर्वनिष्ठ (Intersection) $A \cap B \cap C = (-1/2, -1/3) \cup (1/2, 1/\sqrt{2}]$।
यहाँ $\alpha = -1/2, \beta = -1/3, \gamma = 1/2, \delta = 1/\sqrt{2}$।
$18(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2) = 18(1/4 + 1/9 + 1/4 + 1/2) = 18(1/2 + 1/9 + 1/2) = 18(1 + 1/9) = 18 + 2 = 20$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\ln(\cos y))^2 \cos y dx = (1+3x \ln(\cos y)) \sin y dy$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{(1+3x \ln(\cos y)) \sin y}{(\ln(\cos y))^2 \cos y} = \tan y \left( \frac{3x}{\ln(\cos y)} + \frac{1}{(\ln(\cos y))^2} \right)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{3 \tan y}{\ln(\cos y)}$ और $Q(y) = \frac{\tan y}{(\ln(\cos y))^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{3 \tan y}{\ln(\cos y)} dy}$ है।
माना $t = \ln(\cos y)$,तो $dt = -\tan y dy$। अतः,$IF = e^{\int \frac{3}{t} dt} = e^{3 \ln t} = t^3 = (\ln(\cos y))^3$।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x (\ln(\cos y))^3 = \int \frac{\tan y}{(\ln(\cos y))^2} \cdot (\ln(\cos y))^3 dy + C = \int \tan y \ln(\cos y) dy + C$।
$t = \ln(\cos y)$ का उपयोग करने पर,$\int t (-dt) = -\frac{t^2}{2} + C$।
अतः,$x (\ln(\cos y))^3 = -\frac{(\ln(\cos y))^2}{2} + C$।
$x(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2 \ln 2}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\ln(\cos(\frac{\pi}{3})) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2 \ln 2} (-\ln 2)^3 = -\frac{(-\ln 2)^2}{2} + C \implies -\frac{(\ln 2)^2}{2} = -\frac{(\ln 2)^2}{2} + C \implies C = 0$।
इस प्रकार,$x = -\frac{1}{2 \ln(\cos y)}$।
$y = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $x = -\frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = -\frac{1}{2 (\frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2)} = \frac{1}{\ln 4 - \ln 3} = \frac{1}{\ln(\frac{4}{3})}$।
$\frac{1}{\ln m - \ln n}$ से तुलना करने पर,हमें $m=4, n=3$ प्राप्त होता है। चूँकि $4$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,$mn = 12$।

(A) बिंदुओं $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,और $(5, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल $P_2$ का समीकरण सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-1 \\ -3 & -1 & -2 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0 \implies x-y-z = 3$.
समतल $P_1: 3x - y - 7z = 11$ और $P_2: x - y - z = 3$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक-अनुपात उनके अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -7 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$,जिसे $(3, 2, 1)$ के रूप में लिया जा सकता है।
रेखा पर स्थित एक बिंदु $(4, 1, 0)$ है। अतः रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} = r$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(3r+4, 2r+1, r)$ है।
बिंदु $(7, 4, -1)$ से इस बिंदु तक का सदिश $(3r-3, 2r-3, r+1)$ है।
चूंकि यह सदिश रेखा की दिशा $(3, 2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3r-3) + 2(2r-3) + 1(r+1) = 0 \implies 14r - 14 = 0 \implies r=1$.
लंब का पाद $(7, 3, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 7+3+1 = 11$.

(A) $n=5$ अवयवों वाले समुच्चय से $m=4$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल आच्छादक फलनों की संख्या $m! \times S_2(n, m)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_2(n, m)$ द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्या है।
कुल आच्छादक फलन = $4! \times S_2(5, 4) = 24 \times \binom{5}{2} = 24 \times 10 = 240$.
अब,हम उन आच्छादक फलनों की संख्या की गणना करते हैं जहाँ $f(a) = 1$ है। यदि $f(a) = 1$ है,तो शेष $4$ अवयव ${b, c, d, e}$ को ${1, 2, 3, 4}$ पर इस प्रकार प्रतिचित्रित होना चाहिए कि फलन आच्छादक बना रहे।
स्थिति $1$: $f(a)=1$ और परिसर ${1, 2, 3, 4}$ है। शेष $4$ अवयवों का ${1, 2, 3, 4}$ पर आच्छादक फलन बनाने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।
स्थिति $2$: $f(a)=1$ और परिसर ${2, 3, 4}$ है। शेष $4$ अवयवों का ${2, 3, 4}$ पर आच्छादक फलन बनाने के तरीकों की संख्या $3! \times S_2(4, 3) = 6 \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$ है।
$f(a) = 1$ वाले कुल फलनों की संख्या $24 + 36 = 60$ है।
अतः,$f(a) \neq 1$ वाले आच्छादक फलनों की संख्या $240 - 60 = 180$ है।

(A) फलन $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1 + [x]\right\}$ के रूप में परिभाषित है।
$0 \leq x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1\right\}$.
$x^2 + \frac{3}{4} = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$.
अतः,$0 \leq x < \frac{1}{2}$ के लिए $f(x) = x^2 + \frac{3}{4}$ और $\frac{1}{2} \leq x < 1$ के लिए $f(x) = 1$ है।
क्षेत्रफल $A$,$x=0, y=0, x+y=2$ और $f(x)$ द्वारा घिरा हुआ है।
$A = \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{3}{4}) dx + \int_{1/2}^1 (1) dx + \int_1^2 (2-x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x}{4} \right]_0^{1/2} + [x]_{1/2}^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$.
$A = (\frac{1}{24} + \frac{3}{8}) + (1 - \frac{1}{2}) + ((4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}))$.
$A = \frac{10}{24} + \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{5}{12} + \frac{6}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12}$.
इसलिए,$12A = 17$.

(A) दिया गया है $\overline{OP} = -\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\overline{AB} = \overline{OB} - \overline{OA} = (2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = 4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$.
$\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA} = (-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = -2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
$\overline{AB}$ और $\overline{AC}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{n} = \overline{AB} \times \overline{AC}$ है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(8+2) + \hat{k}(4+6) = 5\hat{i}-10\hat{j}+10\hat{k}$.
$\vec{n}$ पर $\overline{OP}$ का प्रक्षेप $\frac{|\overline{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overline{OP} \cdot \vec{n} = (-1)(5) + (-2)(-10) + (3)(10) = -5 + 20 + 30 = 45$.
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15$.
प्रक्षेप $= \frac{|45|}{15} = 3$.

(B) माना $f(x) = \frac{Ax + B}{Cx - A}$,जहाँ $A = \tan 1^{\circ}$,$B = \log_{e}(123)$,और $C = \log_{e}(1234)$ है।
सबसे पहले,हम $f(f(x))$ की गणना करते हैं:
$f(f(x)) = \frac{A(\frac{Ax + B}{Cx - A}) + B}{C(\frac{Ax + B}{Cx - A}) - A} = \frac{A(Ax + B) + B(Cx - A)}{C(Ax + B) - A(Cx - A)} = \frac{A^2x + AB + BCx - AB}{ACx + BC - ACx + A^2} = \frac{x(A^2 + BC)}{A^2 + BC} = x$.
चूँकि $f(f(x)) = x$ डोमेन के सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f(f(x)) = x$ और $f(f(4/x)) = 4/x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(f(x)) + f(f(4/x)) = x + \frac{4}{x}$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करते हुए,$x > 0$ के लिए:
$x + \frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2 \sqrt{4} = 4$.
न्यूनतम मान $4$ है।

(C) माना प्रत्येक कोने से काटे गए वर्ग की भुजा $x\,cm$ है।
परिणामी बॉक्स के आयाम लंबाई $= (30-2x)\,cm$,चौड़ाई $= (30-2x)\,cm$ और ऊँचाई $= x\,cm$ होंगे।
बॉक्स का आयतन $V = x(30-2x)^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$V = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 240x + 900$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर:
$12(x^2 - 20x + 75) = 0$
$12(x-5)(x-15) = 0$.
अतः,$x = 5$ या $x = 15$। चूँकि $x=15$ लेने पर भुजा की लंबाई $0$ हो जाएगी,इसलिए हम $x = 5\,cm$ लेते हैं।
खुले बॉक्स का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ मूल वर्ग के क्षेत्रफल में से चार कटे हुए वर्गों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$S = (30)^2 - 4x^2 = 900 - 4(5)^2 = 900 - 100 = 800\,cm^2$.

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x f(x) + x^2 f'(x) - 1 = 4x f(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 f'(x) - 2x f(x) = 1$.
$x^2$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = \frac{1}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.
$x^2$ से गुणा करने पर:
$f(x) = -\frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = \frac{2}{3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = x^2 - \frac{1}{3x}$.
$18 f(3)$ की गणना करने पर:
$f(3) = (3)^2 - \frac{1}{3(3)} = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$.
$18 f(3) = 18 \times \frac{80}{9} = 2 \times 80 = 160$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ और $|A|=2$ है।
सबसे पहले,$|3A|$ की गणना करें। चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$|3A| = 3^3 |A| = 27 \times 2 = 54$।
अब,हमें $|3 \operatorname{adj}(|3A|A^2)| = |3 \operatorname{adj}(54A^2)|$ ज्ञात करना है।
एक $n \times n$ आव्यूह $M$ के लिए $|kM| = k^n |M|$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|3 \operatorname{adj}(54A^2)| = 3^3 |\operatorname{adj}(54A^2)| = 27 |\operatorname{adj}(54A^2)|$।
$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $27 |54A^2|^{3-1} = 27 |54A^2|^2$।
चूंकि $|54A^2| = 54^3 |A^2| = 54^3 |A|^2 = 54^3 \times 2^2 = 54^3 \times 4$।
इस मान को वापस रखने पर: $27 \times (54^3 \times 4)^2 = 27 \times 54^6 \times 16 = (3^3) \times (2 \times 3^3)^6 \times 2^4 = 3^3 \times 2^6 \times 3^{18} \times 2^4 = 3^{21} \times 2^{10} = 3^{11} \times 3^{10} \times 2^{10} = 3^{11} \times (3 \times 2)^{10} = 3^{11} \times 6^{10}$।

(B) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+(y/x)^2}{2(y/x)}$ प्राप्त होता है।
माना $y = tx$,तब $\frac{dy}{dx} = t + x\frac{dt}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $t + x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t}$।
$x\frac{dt}{dx} = \frac{1+t^2}{2t} - t = \frac{1-t^2}{2t}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2t}{1-t^2} dt = \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-t^2| = \ln|x| + C$,जिसका अर्थ है $\ln|1-t^2|^{-1} = \ln|cx|$।
अतः,$\frac{1}{1-t^2} = cx$,या $1-t^2 = \frac{1}{cx}$।
$t = y/x$ रखने पर: $1 - \frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2} = \frac{1}{cx} \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{x}{c}$।
दिया है $y(2) = 0$,अतः $2^2 - 0^2 = \frac{2}{c} \Rightarrow 4 = \frac{2}{c} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$।
समीकरण $x^2 - y^2 = 2x$ बन जाता है।
$x = 8$ पर: $8^2 - y^2 = 2(8) \Rightarrow 64 - y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 48$।
अतः,$y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$।

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 7(\alpha + 5)$ है।
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha \neq -5$। अतः,जब $\alpha \neq -5$ है,तो किसी भी $\beta$ के लिए प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है।
अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ की आवश्यकता है।
$\Delta = 0$ रखने पर $\alpha = -5$ प्राप्त होता है।
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & \beta \end{vmatrix} = 7(\beta - 9)$ की गणना करने पर।
$\Delta_3 = 0$ रखने पर $\beta = 9$ प्राप्त होता है।
जब $\alpha = -5$ और $\beta = 9$ होते हैं,तो $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ होता है,इसलिए प्रणाली के अनंत हल होते हैं।
विकल्प $C$ कहता है कि $\alpha = -6$ और $\beta = 9$ के लिए प्रणाली के अनंत हल हैं,जो गलत है क्योंकि $\alpha = -6$ होने पर $\Delta \neq 0$ होता है।

(A) रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{-2} = \lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P$ $(3\lambda - 3, \lambda - 2, 1 - 2\lambda)$ के रूप में है।
चूंकि $P$ समतल $x + y + z = 2$ पर स्थित है,निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(3\lambda - 3) + (\lambda - 2) + (1 - 2\lambda) = 2$.
$2\lambda - 4 = 2 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(6, 1, -5)$ हैं।
बिंदु $P(6, 1, -5)$ की समतल $3x - 4y + 12z - 32 = 0$ से दूरी $q$ इस प्रकार है:
$q = \left| \frac{3(6) - 4(1) + 12(-5) - 32}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{18 - 4 - 60 - 32}{\sqrt{9 + 16 + 144}} \right| = \left| \frac{-78}{13} \right| = 6$.
अतः,$q = 6$ और $2q = 12$.
$6$ और $12$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $(x - 6)(x - 12) = 0$ है,जो $x^2 - 18x + 72 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(2,4,6)$,$B(0,-2,-5)$ और $C(x,y,z)$ हैं।
केंद्रक $G(2,1,-1)$ दिया गया है,इसलिए केंद्रक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$.
$\frac{2+0+x}{3} = 2 \Rightarrow 2+x = 6 \Rightarrow x = 4$.
$\frac{4-2+y}{3} = 1 \Rightarrow 2+y = 3 \Rightarrow y = 1$.
$\frac{6-5+z}{3} = -1 \Rightarrow 1+z = -3 \Rightarrow z = -4$.
अतः,तीसरा शीर्ष $C(4,1,-4)$ है।
अब,समतल $x+2y+4z-11=0$ में बिंदु $C(4,1,-4)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ ज्ञात करें।
समतल $ax+by+cz+d=0$ में बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ के प्रतिबिंब का सूत्र $\frac{\alpha-x_0}{a} = \frac{\beta-y_0}{b} = \frac{\gamma-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\alpha-4}{1} = \frac{\beta-1}{2} = \frac{\gamma+4}{4} = -2 \frac{4+2(1)+4(-4)-11}{1^2+2^2+4^2} = -2 \frac{4+2-16-11}{1+4+16} = -2 \frac{-21}{21} = 2$.
इस प्रकार,$\alpha-4 = 2 \Rightarrow \alpha = 6$; $\beta-1 = 4 \Rightarrow \beta = 5$; $\gamma+4 = 8 \Rightarrow \gamma = 4$.
प्रतिबिंब $(6,5,4)$ है।
अंत में,$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = (6)(5) + (5)(4) + (4)(6) = 30 + 20 + 24 = 74$.

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x+2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-5}{2}$ और $L_2: \frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{0}$ हैं।
$L_1$ से,बिंदु $P_1 = (-2, 0, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$L_2$ से,बिंदु $P_2 = (4, 1, -3)$ और दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{P_1P_2} = (4 - (-2))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-3 - 5)\hat{k} = 6\hat{i} + \hat{j} - 8\hat{k}$ है।
क्रॉस गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|-24 + 2 - 32|}{6} = \frac{54}{6} = 9$ है।

(C) दिया गया है $I(x) = \int e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x) dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I(x) = \int e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos^2 x - \sin x) dx$.
यहाँ,$\frac{d}{dx} (e^{\sin^2 x} \cos x) = e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos x) \cos x + e^{\sin^2 x} (-\sin x) = e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos^2 x - \sin x) = e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x)$ होता है।
अतः,$I(x) = e^{\sin^2 x} \cos x + C$.
चूँकि $I(0) = 1$,इसलिए $1 = e^{\sin^2 0} \cos 0 + C \Rightarrow 1 = 1 \cdot 1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$I(x) = e^{\sin^2 x} \cos x$.
इसलिए $I\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{\sin^2(\pi/3)} \cos(\pi/3) = e^{3/4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{4}}$.

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। तब $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{OQ}| = r$ है।
चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ और $R$ चाप $PQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\angle POR = \angle ROQ = 45^{\circ}$ है।
दिया है $\vec{OQ} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$।
$\vec{u}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\vec{u} \cdot \vec{OQ} = \alpha |\vec{u}|^2 + \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$
चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{OQ} = 0$ है। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{v} = r^2 \cos 45^{\circ} = \frac{r^2}{\sqrt{2}}$ है।
$0 = \alpha r^2 + \beta \frac{r^2}{\sqrt{2}} \implies \alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}} \implies \alpha^2 = \frac{\beta^2}{2}$।
अब,$|\vec{OQ}|^2 = r^2 = |\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}|^2 = \alpha^2 r^2 + \beta^2 r^2 + 2\alpha \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$।
$1 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha \beta \frac{1}{\sqrt{2}} = \alpha^2 + \beta^2 + \sqrt{2} \alpha \beta$।
$\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = \frac{\beta^2}{2} + \beta^2 + \sqrt{2} (-\frac{\beta}{\sqrt{2}}) \beta = \frac{3\beta^2}{2} - \beta^2 = \frac{\beta^2}{2} \implies \beta^2 = 2$।
तब $\alpha^2 = \frac{2}{2} = 1$,अतः $\alpha = -1$ (क्योंकि $\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ और $\beta = \sqrt{2}$)।
मूल $\alpha = -1$ और $\beta^2 = 2$ हैं।
द्विघात समीकरण $(x - (-1))(x - 2) = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2 = 0$ है।

(D) फलन $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।
$-2 < x < -1$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $f(x) = -2x$ है।
$-1 \leq x < 0$ के लिए,$[x] = -1$,अतः $f(x) = -x$ है।
$0 \leq x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,अतः $f(x) = 0$ है।
$1 \leq x < 2$ के लिए,$[x] = 1$,अतः $f(x) = x-1$ है।
अब $g(x) = |f(x)|$ पर विचार करें:
$g(x) = \begin{cases} |-2x| = -2x & , -2 < x < -1 \\ |-x| = -x & , -1 \leq x < 0 \\ |0| = 0 & , 0 \leq x < 1 \\ |x-1| = x-1 & , 1 \leq x < 2 \end{cases}$.
सांतत्य की जाँच:
$x = -1$ पर: $LHL = \lim_{x \to -1^-} (-2x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to -1^+} (-x) = 1$. $x = -1$ पर असंतत है।
$x = 0$ पर: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = f(0) = 0$. $x = 0$ पर संतत है।
$x = 1$ पर: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (0) = 0$,$RHL = f(1) = 1-1 = 0$. $x = 1$ पर संतत है।
अतः,$m = 1$ (असंतत बिंदु $x = -1$ है)।
अवकलनीयता की जाँच:
$x = -1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$,$RHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$. अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $LHD = \frac{d}{dx}(0) = 0$,$RHD = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$. अवकलनीय नहीं है।
अतः,$n = 3$ (अवकलनीय न होने वाले बिंदु $x = -1, 0, 1$ हैं)।
इसलिए,$m + n = 1 + 3 = 4$.

(D) परवलय $y=p(x)$ बिंदुओं $(-1,0), (0,1), (1,0)$ से गुजरता है। मान लीजिए $p(x) = ax^2+bx+c$.
बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर: $c=1$,$a-b+1=0$,$a+b+1=0$. हल करने पर $a=-1, b=0, c=1$ प्राप्त होता है। अतः,$p(x) = 1-x^2$.
क्षेत्र $(x+1)^2+(y-1)^2 \leq 1$ (केंद्र $(-1, 1)$ और त्रिज्या $1$ वाला वृत्त) और $y \leq 1-x^2$ द्वारा परिभाषित है।
$X = x+1$ लेने पर,$x = X-1$. परवलय $y = 1-(X-1)^2 = 2X-X^2$ हो जाता है।
वृत्त $X^2+(y-1)^2 = 1$ है,अतः $y = 1 \pm \sqrt{1-X^2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $X=0$ और $X=1$ हैं।
गणना करने पर क्षेत्रफल $A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$12(\pi - 4A) = 12(\pi - 4(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3})) = 12(\pi - \pi + \frac{4}{3}) = 16$.

(A) दिया गया समीकरण $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dt} \left( \int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} t^3 \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए: $(f(t^2) + (t^2)^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = 4t^2$.
$(f(t^2) + t^4) \cdot 2t = 4t^2$.
चूंकि $t > 0$,हम $2t$ से विभाजित कर सकते हैं:
$f(t^2) + t^4 = 2t$.
$f(t^2) = 2t - t^4$.
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$t^2 = \frac{\pi^2}{4}$ रखने पर,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{2}$ ($t > 0$ होने के कारण)।
$t = \frac{\pi}{2}$ को $f(t^2)$ के समीकरण में रखने पर:
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^4$.
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi - \frac{\pi^4}{16}$.
$\pi$ को कॉमन लेने पर:
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$.

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ है।
ध्यान दें कि $\left( \frac{x}{e} \right)^{2x} = e^{2x \ln(x/e)} = e^{2x(\ln x - 1)} = e^{2(x \ln x - x)}$.
इसी प्रकार,$\left( \frac{e}{x} \right)^{2x} = e^{-2(x \ln x - x)}$.
माना $t = x \ln x - x$. तब $dt = (\ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1) \, dx = \ln x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int (e^{2t} + e^{-2t}) \, dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{-2t}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t = x \ln x - x$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} + C$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 2, \beta = 2, \gamma = 2, \delta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta + 3\gamma - 4\delta = 2 + 2(2) + 3(2) - 4(2) = 2 + 4 + 6 - 8 = 4$.

(A) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{AB} = (0, 2, 1)$ और $\vec{AC} = (-1, 3, 1)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
समतल का समीकरण: $-1(x-1) - 1(y-2) + 2(z-0) = 0$,जो $x + y - 2z - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
बिंदु $P(1, 2, 6)$ के प्रतिबिंब $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए सूत्र: $\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = \frac{\gamma - 6}{-2} = -2 \frac{1(1) + 1(2) - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 4$.
अतः,$\alpha = 5$,$\beta = 6$,$\gamma = -2$.
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 25 + 36 + 4 = 65$.

(A) हमें $A = \{2, 3, 4\}$ और $B = \{8, 9, 12\}$ दिया गया है।
हमें उन युग्मों $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $a_1, b_2$ को विभाजित करता है और $a_2, b_1$ को विभाजित करता है,जहाँ $a_1, a_2 \in A$ और $b_1, b_2 \in B$ हैं।
मान लीजिए $S, A \times B$ के उन युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a, b$ को विभाजित करता है।
$a = 2$ के लिए,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ युग्म: $(2, 8), (2, 12)$)।
$a = 3$ के लिए,$b \in \{9, 12\}$ ($2$ युग्म: $(3, 9), (3, 12)$)।
$a = 4$ के लिए,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ युग्म: $(4, 8), (4, 12)$)।
इस प्रकार,$S$ में कुल $2 + 2 + 2 = 6$ ऐसे युग्म हैं।
संबंध $R$ उन युग्मों $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ का समुच्चय है जहाँ $(a_1, b_2) \in S$ और $(a_2, b_1) \in S$ है।
चूंकि युग्म $(a_1, b_2)$ के लिए $6$ विकल्प हैं और युग्म $(a_2, b_1)$ के लिए भी $6$ विकल्प हैं,इसलिए $R$ में अवयवों की कुल संख्या $6 \times 6 = 36$ है।

(D) दिया गया है $A = \frac{1}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 5! & 6! & 7! \\ 6! & 7! & 8! \\ 7! & 8! & 9! \end{bmatrix}$.
प्रत्येक पंक्ति से $5!, 6!, 7!$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$A = \frac{5! 6! 7!}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 1 & 6 & 6 \times 7 \\ 1 & 7 & 7 \times 8 \\ 1 & 8 & 8 \times 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 42 \\ 1 & 7 & 56 \\ 1 & 8 & 72 \end{bmatrix}$.
$|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 1(7 \times 72 - 8 \times 56) - 6(1 \times 72 - 1 \times 56) + 42(1 \times 8 - 1 \times 7)$
$|A| = 1(504 - 448) - 6(16) + 42(1) = 56 - 96 + 42 = 2$.
हमें $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))| = |M|^{(n-1)^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n=3$ आव्यूह $A$ की कोटि है:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = |2A|^{(3-1)^2} = |2A|^4$.
चूंकि $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 2 = 16 = 2^4$:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = (2^4)^4 = 2^{16}$.

(D) माना विषम संख्या आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया है कि $P(\text{विषम } 7 \text{ बार}) = P(\text{विषम } 9 \text{ बार})$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करने पर:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^7 (\frac{1}{2})^{n-7} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^9 (\frac{1}{2})^{n-9}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
अतः $n = 7+9 = 16$.
अब,$16$ बार पासा उछालने पर सम संख्या दो बार आने की प्रायिकता:
$P(\text{सम } 2 \text{ बार}) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}} = \frac{60}{2^{15}}$.
अतः $k = 60$.

(B) दिया गया है $g(x) = f(x) + f(1-x)$.
अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(x) - f'(1-x)$.
चूंकि $g$ अंतराल $(0, \alpha)$ में ह्रासमान है और $(\alpha, 1)$ में वर्धमान है,इसलिए $x = \alpha$ पर $g'(x) = 0$ होगा।
अतः,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$.
चूंकि $f''(x) > 0$,$f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$ का अर्थ है $\alpha = 1-\alpha$,जिससे $\alpha = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha = \frac{1}{2}$ पर $\tan^{-1}(2\alpha) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\alpha}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\alpha = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\tan^{-1}(2 \cdot \frac{1}{2}) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{1/2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1/2+1}{1/2}\right)$
$= \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3)$ के लिए,चूंकि $2 \cdot 3 > 1$,हम सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हैं।
$\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अतः,कुल योग $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ है।

(C) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+7 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{k}$,और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$।
चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 7 & -1 \\ 3 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k}$।
अतः,$\vec{d} = \lambda(35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k})$।
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 12$ दिया गया है,इसलिए $\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) \cdot (35\hat{i} - 13\hat{j} - 21\hat{k}) = 12$।
$\lambda(35 + 13 - 42) = 12 \implies 6\lambda = 12 \implies \lambda = 2$।
इस प्रकार,$\vec{d} = 70\hat{i} - 26\hat{j} - 42\hat{k}$।
अब,$(-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 70 & -26 & -42 \end{vmatrix} = 44$।

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $P$ पर स्थित है। तो $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है,जहाँ $R$ परित्रिज्या है।
लंबकेंद्र $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \vec{0}$ है।
हमें $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$ ज्ञात करना है।
यह $(\vec{a} - \vec{p}) + (\vec{b} - \vec{p}) + (\vec{c} - \vec{p}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{p}$ के बराबर है।
चूंकि $\vec{p} = \vec{0}$,इसलिए यह $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ और $\vec{p} = \vec{0}$,इसलिए हमारे पास $\vec{q} - \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
अतः,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ}$ है।

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-6}{-2} = \frac{z+8}{5} = \lambda$
$L_2: \frac{x-5}{4} = \frac{y-7}{3} = \frac{z+2}{1} = \mu$
$L_3: \frac{x+3}{6} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z-6}{1} = \gamma$
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ के लिए:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (4\mu+5, 3\mu+7, \mu-2)$
इन्हें हल करने पर,हमें $\lambda=1$ और $\mu=-1$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (1, 4, -3)$.
$L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ के लिए:
$(\lambda, -2\lambda+6, 5\lambda-8) = (6\gamma-3, -3\gamma+3, \gamma+6)$
इन्हें हल करने पर,हमें $\lambda=3$ और $\gamma=1$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (3, 0, 7)$.
$AB$ का मध्य-बिंदु $M$ है $(\frac{1+3}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{-3+7}{2}) = (2, 2, 2)$.
$M(2, 2, 2)$ की समतल $2x-2y+z-14=0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(2) - 2(2) + 1(2) - 14|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 4 + 2 - 14|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-12|}{3} = 4$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 6 \lambda & -3 & 3 \\ 2 & 6 \lambda & 4 \\ 3 & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 6 \lambda (18 \lambda^2 - 8) + 3 (6 \lambda - 12) + 3 (4 - 18 \lambda) = 0$
$108 \lambda^3 - 48 \lambda + 18 \lambda - 36 + 12 - 54 \lambda = 0$
$108 \lambda^3 - 84 \lambda - 24 = 0$
$12$ से विभाजित करने पर: $9 \lambda^3 - 7 \lambda - 2 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$\lambda = 1$ एक मूल है। सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर,$( \lambda - 1 )( 9 \lambda^2 + 9 \lambda + 2 ) = 0$.
$( \lambda - 1 )( 3 \lambda + 1 )( 3 \lambda + 2 ) = 0$.
अतः,$\lambda \in \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
इन मानों के लिए,हम जाँचते हैं कि $\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 \lambda^2 & -3 & 3 \\ 1 & 6 \lambda & 4 \\ \lambda & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} \neq 0$.
$\lambda = 1$ के लिए,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 3 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4(18-8) + 3(3-4) + 3(2-6) = 40 - 3 - 12 = 25 \neq 0$.
$\lambda = -1/3$ और $\lambda = -2/3$ के लिए भी $\Delta_1 \neq 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$S = \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
$12 \sum_{\lambda \in S} |\lambda| = 12 ( |1| + |-1/3| + |-2/3| ) = 12 ( 1 + 1/3 + 2/3 ) = 12 ( 2 ) = 24$.

(C) बिंदु $A(4, 3, 1)$ से समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर लंब $AN$ की लंबाई $AN = \frac{|4 - 3 + 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ है।
$N$ के निर्देशांक $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-1}{2} = -\frac{4-3+2+3}{6} = -1$ द्वारा प्राप्त होते हैं। अतः,$x=3, y=4, z=-1$,यानी $N(3, 4, -1)$ है।
चूंकि बिंदु $B(5, \alpha, \beta)$ समतल $x - y + 2z + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $5 - \alpha + 2\beta + 3 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2\beta + 8$.
$\Delta ABN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AN \times BN = 3\sqrt{2}$. $AN = \sqrt{6}$ रखने पर,$\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times BN = 3\sqrt{2}$,अतः $BN = 2\sqrt{3}$ है।
$BN^2 = (5-3)^2 + (\alpha-4)^2 + (\beta+1)^2 = 4 + (2\beta+4)^2 + (\beta+1)^2 = 12$.
$4 + 4\beta^2 + 16\beta + 16 + \beta^2 + 2\beta + 1 = 12 \implies 5\beta^2 + 18\beta + 9 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(5\beta + 3)(\beta + 3) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\beta \in \mathbb{Z}$,इसलिए $\beta = -3$. तब $\alpha = 2(-3) + 8 = 2$.
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = (2)^2 + (-3)^2 + (2)(-3) = 4 + 9 - 6 = 7$.

(C) मान लीजिए द्विघात वक्र $f(x) = A(x+1)(x-k)$ है। चूँकि यह $(1, 1)$ पर $y=x$ को स्पर्श करता है,$f(1)=1$ और $f'(1)=1$.
$f(1) = A(2)(1-k) = 1 \Rightarrow 2A(1-k) = 1$.
$f'(x) = A(x-k) + A(x+1) = A(2x+1-k)$.
$f'(1) = A(2+1-k) = A(3-k) = 1$.
$2A(1-k) = 1$ और $A(3-k) = 1$ से,हमें मिलता है $2A(1-k) = A(3-k) \Rightarrow 2-2k = 3-k \Rightarrow k = -1$.
तब $A(3 - (-1)) = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2$.
दिया गया है कि बिंदु $(\alpha, \alpha+1)$ वक्र पर स्थित है: $\alpha+1 = \frac{1}{4}(\alpha+1)^2$.
चूँकि $\alpha > -1$,$\alpha+1 = 4 \Rightarrow \alpha = 3$.
बिंदु $(3, 4)$ है।
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)$,इसलिए $f'(3) = \frac{1}{2}(3+1) = 2$.
$(3, 4)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -1/2$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 3)$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए,$y=0$ रखें: $-4 = -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow 8 = x - 3 \Rightarrow x = 11$.

(A) मान लीजिए $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\alpha, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, \beta)$ पर काटती है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$A$ के लिए,$Y = 0 \implies -y = \frac{dy}{dx}(\alpha - x) \implies \alpha = x - y \frac{dx}{dy}$.
$B$ के लिए,$X = 0 \implies Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
दिया है $PA: PB = 1: k$,विभाजन सूत्र के अनुसार,$x = \frac{k \cdot \alpha + 1 \cdot 0}{k + 1} = \frac{k \alpha}{k + 1} \implies \alpha = \frac{k + 1}{k} x$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $\frac{k + 1}{k} x = x - y \frac{dx}{dy} \implies \frac{x}{k} = -y \frac{dx}{dy} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{ky}{x}$.
समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = -k \int \frac{dx}{x} \implies \ln y = -k \ln x + C \implies y x^k = C$.
$(1, 1)$ से गुजरने पर $C = 1$. $(\frac{1}{10}, 100)$ से गुजरने पर $100 \cdot (\frac{1}{10})^k = 1 \implies 10^2 \cdot 10^{-k} = 10^0 \implies 2 - k = 0 \implies k = 2$.
अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1 \implies \frac{dy}{dx} = \ln(2x + 1)$ है।
समाकलन करने पर: $y = \int \ln(2x + 1) dx = \frac{1}{2} (2x + 1) \ln(2x + 1) - x + C$.
$y(0) = 2$ का उपयोग करने पर: $2 = \frac{1}{2}(1)(0) - 0 + C \implies C = 2$.
अतः,$y(x) = \frac{2x + 1}{2} \ln(2x + 1) - x + 2$.
$y(1) = \frac{3}{2} \ln 3 - 1 + 2 = \frac{3}{2} \ln 3 + 1$.
$4y(1) - 5 \ln 3 = 4(\frac{3}{2} \ln 3 + 1) - 5 \ln 3 = 6 \ln 3 + 4 - 5 \ln 3 = \ln 3 + 4$.

(C) फलन $f(x) = \sec^{-1}\left(\frac{2x}{5x+3}\right)$ तब परिभाषित होता है जब $\left|\frac{2x}{5x+3}\right| \geq 1$ और $5x+3 \neq 0$ हो।
इसका अर्थ है $\left|\frac{2x}{5x+3}\right| \geq 1$,जिसका मतलब है $(2x)^2 \geq (5x+3)^2$.
$(2x)^2 - (5x+3)^2 \geq 0$
$(2x - 5x - 3)(2x + 5x + 3) \geq 0$
$(-3x - 3)(7x + 3) \geq 0$
$-(3x + 3)(7x + 3) \geq 0 \Rightarrow (x + 1)(7x + 3) \leq 0$.
इस असमिका का हल $x \in [-1, -3/7]$ है।
इसके अतिरिक्त,हर $5x+3 \neq 0$ होने के कारण $x \neq -3/5$ है।
अतः,प्रांत $[-1, -3/5) \cup (-3/5, -3/7]$ है।
इसकी तुलना $[\alpha, \beta) \cup (\gamma, \delta]$ से करने पर,$\alpha = -1, \beta = -3/5, \gamma = -3/5, \delta = -3/7$ प्राप्त होता है।
अब,$|3\alpha + 10(\beta + \gamma) + 21\delta| = |3(-1) + 10(-3/5 - 3/5) + 21(-3/7)|$ की गणना करने पर।
$= |-3 + 10(-6/5) + 3(-3)| = |-3 - 12 - 9| = |-24| = 24$.

(C) क्षेत्र $|x^2-2| \leq y \leq x$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$y = x^2-2$ और $y = x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2-x-2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$,अतः $x=2$ या $x=-1$.
साथ ही,$y = |x^2-2|$,$y=x$ को तब काटता है जब $x^2-2 = x$ ($x^2 \geq 2$ के लिए,अर्थात $x \geq \sqrt{2}$) या $2-x^2 = x$ ($x^2 < 2$ के लिए,अर्थात $x < \sqrt{2}$).
$x^2 < 2$ के लिए,$x^2+x-2=0 \implies (x+2)(x-1)=0$,अतः $x=1$ ($x>0$ होने के कारण)।
$x^2 \geq 2$ के लिए,$x^2-x-2=0 \implies x=2$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x - (2-x^2)) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x - (x^2-2)) dx$
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2+x-2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (-x^2+x+2) dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{1}^{\sqrt{2}} + [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{\sqrt{2}}^{2}$
$A = ((\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 - 2\sqrt{2}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)) + ((-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 + 2\sqrt{2}))$
$A = (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1 + \frac{5}{6}) + (\frac{10}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1)$
$A = (-\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{6}) + (\frac{7}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{13}{6} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$
अतः $6A = 13 - 16\sqrt{2}$.
इसलिए,$6A + 16\sqrt{2} = 13 + 14 = 27$.

(D) माना $I = \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$.
$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x dx = dt$ प्राप्त होता है। जब $x = -\ln 2$,तब $t = 1/2$ और जब $x = \ln 2$,तब $t = 2$.
$I = \int \limits_{1/2}^{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$. $u = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$ और $dv = dt$ लेने पर.
$du = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ प्राप्त होता है।
$I = [t \ln(t+\sqrt{1+t^2})]_{1/2}^{2} - \int \limits_{1/2}^{2} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
$I = [2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})] - [\sqrt{1+t^2}]_{1/2}^{2}$.
$I = 2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - (\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2})$.
$I = \ln \left( \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(D) बिंदु $(-2, 3, 5)$ से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $2x + 4y + 5z = 8$ और $3x - 2y + 3z = 5$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, 4, 5)$ और $\vec{n_2} = (3, -2, 3)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,अभिलंब सदिश $(a, b, c)$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के समानुपाती है:
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-10)) - \hat{j}(6 - 15) + \hat{k}(-4 - 12) = 22\hat{i} + 9\hat{j} - 16\hat{k}$.
इस प्रकार,$a = 22, b = 9, c = -16$ है।
समतल का समीकरण $22(x + 2) + 9(y - 3) - 16(z - 5) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$22x + 44 + 9y - 27 - 16z + 80 = 0$,जो सरल होकर $22x + 9y - 16z + 97 = 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 97 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 22, \beta = 9, \gamma = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 22 + 9 - 16 = 15$।

(D) दिया गया है $f(x) = [x^2 - x] + |-x + [x]|$.
हम जानते हैं कि $-x + [x] = -\{x\}$,जहाँ $\{x\}$,$x$ का भिन्नात्मक भाग है।
अतः,$f(x) = [x^2 - x] + |-\{x\}| = [x^2 - x] + \{x\}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(0) = [0^2 - 0] + \{0\} = 0 + 0 = 0$.
$f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} [h^2 - h] + \{h\} = [-0.0001] + 0 = -1 + 0 = -1$.
चूँकि $f(0) \neq f(0^+)$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर असतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(1) = [1^2 - 1] + \{1\} = 0 + 0 = 0$.
$f(1^+) = \lim_{h \to 0^+} [(1+h)^2 - (1+h)] + \{1+h\} = [1 + 2h + h^2 - 1 - h] + h = [h + h^2] + h = 0 + 0 = 0$.
$f(1^-) = \lim_{h \to 0^+} [(1-h)^2 - (1-h)] + \{1-h\} = [1 - 2h + h^2 - 1 + h] + (1-h) = [-h + h^2] + 1 - h = -1 + 1 - 0 = 0$.
चूँकि $f(1) = f(1^+) = f(1^-) = 0$,इसलिए $f$,$x = 1$ पर सतत है।
अतः,$f$,$x = 1$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर सतत नहीं है।

(D) सामान्यतः,मान लीजिए कि $|a_1| \leq |a_2| \leq |a_3|$ है।
कथन $(A)$ के लिए:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \geq |a_3|^2$.
वर्गमूल लेने पर,$|\vec{a}| \geq |a_3| = \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
अतः,$(A)$ सत्य है।
कथन $(B)$ के लिए:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \leq |a_3|^2 + |a_3|^2 + |a_3|^2 = 3|a_3|^2$.
वर्गमूल लेने पर,$|\vec{a}| \leq \sqrt{3} |a_3| = \sqrt{3} \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
चूंकि $\sqrt{3} < 3$,इसलिए $|\vec{a}| \leq 3 \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$ सत्य है।
अतः,$(B)$ भी सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं।

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1, 2\}$ है।
कुल आव्यूहों की संख्या $n(S) = 3^4 = 81$ है।
$M$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि $\det(M) = ad - bc \neq 0$ हो।
यहाँ $P(A) = \frac{50}{81}$ प्राप्त होता है।

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (केंद्र $(0, 2)$,त्रिज्या $2$) और परवलय $x^2 = 2y$ (शीर्ष $(0, 0)$) द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 2y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$2y + (y-2)^2 = 4$
$2y + y^2 - 4y + 4 = 4$
$y^2 - 2y = 0 \implies y(y-2) = 0$
अतः,$y = 0$ या $y = 2$.
$y = 2$ के लिए,$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $x = -2$ से $x = 2$ के बीच ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{2} [(\sqrt{4 - x^2} + 2) - \frac{x^2}{2}] dx$
$= 2 \int_{0}^{2} (\sqrt{2^2 - x^2} + 2 - \frac{x^2}{2}) dx$
$= 2 [(\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2})) + 2x - \frac{x^3}{6}]_0^2$
$= 2 [(0 + 2\sin^{-1}(1)) + 4 - \frac{8}{6}]$
$= 2 [2(\frac{\pi}{2}) + 4 - \frac{4}{3}]$
$= 2 [\pi + \frac{8}{3}] = 2\pi + \frac{16}{3}$.

(C) दी गई असमिका: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$ है।
इसे $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$ है। तब $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$ है।
अतः,$g(x)$ अंतराल $[2,4]$ पर एक वर्धमान फलन है।
अंत बिंदुओं पर मान:
$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$ है।
$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$ है।
चूंकि $g(x)$ वर्धमान है,इसलिए $x \in [2,4]$ के लिए $g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ होगा।
$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$ है।
$x$ जोड़ने और $x \ln x$ से भाग देने पर:
$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$ प्राप्त होता है।
$x \in [2,4]$ के लिए,ऊपरी सीमा $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} < 1$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$x \in [2,4]$ के लिए,निचली सीमा $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ है।
हम जानते हैं कि $d(xy) = y dx + x dy$ होता है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dx = \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$।
सूत्र $\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + C$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+xy}{1-xy} \right| + C$ प्राप्त होता है।
$y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर $1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2}{1-2} \right| + C$,जिससे $1 = \frac{1}{2} \ln 3 + C$,जिसका अर्थ है $C = 1 - \frac{1}{2} \ln 3$।
अब,$x=2$ और $y=\alpha$ के लिए,$2 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right| + 1 - \frac{1}{2} \ln 3$।
$1 + \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$,जो सरल होकर $2 + \ln 3 = \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$3e^2 = \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$।
स्थिति $1$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = 3e^2 \implies 1+2\alpha = 3e^2 - 6e^2\alpha \implies \alpha(2+6e^2) = 3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2-1}{2(3e^2+1)}$।
स्थिति $2$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = -3e^2 \implies 1+2\alpha = -3e^2 + 6e^2\alpha \implies \alpha(2-6e^2) = -3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2+1}{2(3e^2-1)}$।

(C) दिया गया है $A^{T} = \alpha A + I$। दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$A = \alpha A^{T} + I$।
दूसरे समीकरण में $A^{T}$ का मान रखने पर: $A = \alpha(\alpha A + I) + I = \alpha^2 A + (\alpha + 1)I$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $A(1 - \alpha^2) = (\alpha + 1)I$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha \neq -1$,$(1 + \alpha)$ से विभाजित करने पर $A(1 - \alpha) = I$ मिलता है,इसलिए $A = \frac{1}{1 - \alpha}I$।
अतः $\det(A) = \frac{1}{(1 - \alpha)^2}$।
साथ ही,$A - I = \frac{1}{1 - \alpha}I - I = \frac{1 - (1 - \alpha)}{1 - \alpha}I = \frac{\alpha}{1 - \alpha}I$।
अतः $\det(A - I) = \left(\frac{\alpha}{1 - \alpha}\right)^2$।
दिया गया है $\det(A^2 - A) = \det(A)\det(A - I) = 4$।
मान रखने पर: $\frac{1}{(1 - \alpha)^2} \cdot \frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^2} = 4$।
$\frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^4} = 4 \Rightarrow \left(\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2}\right)^2 = 2^2$।
इसका अर्थ है $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = 2$ या $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = -2$।
स्थिति $1$: $\alpha = 2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 5\alpha + 2 = 0$। हल $\alpha = 2$ और $\alpha = 1/2$ हैं।
स्थिति $2$: $\alpha = -2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0$। विविक्तकर $D = 9 - 16 = -7 < 0$,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
$\alpha$ के संभावित मान $2$ और $1/2$ हैं।
योग $2 + 1/2 = 5/2$ है।

(A) समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2} \right)$
यहाँ बिंदु $P(2, 3, 5)$ और समतल $2x + y - 3z - 6 = 0$ दिया गया है,इसलिए $a=2, b=1, c=-3, d=-6$:
$\frac{\alpha - 2}{2} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{\gamma - 5}{-3} = -2 \left( \frac{2(2) + 1(3) - 3(5) - 6}{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \right)$
कोष्ठक के अंदर के मान की गणना करने पर:
$\frac{4 + 3 - 15 - 6}{4 + 1 + 9} = \frac{-14}{14} = -1$
अतः,अनुपात $-2(-1) = 2$ प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha - 2}{2} = 2 \implies \alpha - 2 = 4 \implies \alpha = 6$
$\frac{\beta - 3}{1} = 2 \implies \beta - 3 = 2 \implies \beta = 5$
$\frac{\gamma - 5}{-3} = 2 \implies \gamma - 5 = -6 \implies \gamma = -1$
इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 5 - 1 = 10$.

(D) दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $\vec{a}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,$\vec{a} = \lambda(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)$.
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
अतः,$\vec{a} = \lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k})$.
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$,जहाँ $\vec{b} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
$\lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = \lambda(0 + 4 + 2) = 6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
इस प्रकार,$\vec{a} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.
सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (8)(9) - 6^2 = 72 - 36 = 36$ का उपयोग करते हुए।
इसलिए,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 6$.
क्रमित युग्म $(\frac{\pi}{4}, 6)$ है।