प्रथम चतुर्थांश में बिंदु P(alpha, beta) से ग | vedclass

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Question

(D) माना वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।चूँकि वृत्त बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरता है,इसलिए $(\alpha-a

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$121$

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(D) माना वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।चूँकि वृत्त बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरता है,इसलिए $(\alpha-a)^2 + (\beta-a)^2 = a^2$ होगा।इसका विस्तार करने पर,$\alpha^2 - 2\alpha a + a^2 + \beta^2 - 2\beta a + a^2 = a^2$,जो सरल होकर $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।अक्षों के साथ स्पर्श बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, a)$ हैं। रेखा $AB$ का समीकरण $x + y = a$ या $x + y - a = 0$ है।बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x + y - a = 0$ पर डाले गए लंब $PQ$ की लंबाई $PQ = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}}$ है।दिया गया है कि $PQ = 11$,इसलिए $\frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}} = 11$,अर्थात $|\alpha + \beta - a| = 11\sqrt{2}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha + \beta - a)^2 = 242$।विस्तार करने पर,$\alpha^2 + \beta^2 + a^2 + 2\alpha\beta - 2a(\alpha + \beta) = 242$।वृत्त के समीकरण से,हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) = -a^2$।इस मान को वर्ग किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-a^2 + a^2 + 2\alpha\beta = 242$।अतः,$2\alpha\beta = 242$,जिसका अर्थ है कि $\alpha\beta = 121$।

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