JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चूंकि $PR$ व्यास है,इसलिए $\angle PQR = 90^\circ$ है। अतः,$PQ$ और $QR$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
$m_{QR} = \frac{4-10}{\alpha-9} = \frac{-6}{\alpha-9}$.
चूंकि $m_{PQ} \cdot m_{QR} = -1$,इसलिए $\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-6}{\alpha-9}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{-4}{\alpha-9} = -1$ $\Rightarrow \alpha-9 = 4$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
अतः,$R = (13, 4)$। वृत्त का केंद्र $O$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,$O = \left(\frac{-3+13}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (5, 3)$।
$Q(9, 10)$ पर स्पर्शरेखा त्रिज्या $OQ$ के लंबवत है। $m_{OQ} = \frac{10-3}{9-5} = \frac{7}{4}$।
स्पर्शरेखा $QS$ की प्रवणता $= -\frac{4}{7}$।
$QS$ का समीकरण: $y-10 = -\frac{4}{7}(x-9)$ $\Rightarrow 7y - 70 = -4x + 36$ $\Rightarrow 4x + 7y = 106 \quad (1)$।
$R(13, 4)$ पर स्पर्शरेखा त्रिज्या $OR$ के लंबवत है। $m_{OR} = \frac{4-3}{13-5} = \frac{1}{8}$।
स्पर्शरेखा $RS$ की प्रवणता $= -8$।
$RS$ का समीकरण: $y-4 = -8(x-13)$ $\Rightarrow y-4 = -8x + 104$ $\Rightarrow 8x + y = 108 \quad (2)$।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(2)$ से,$y = 108 - 8x$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4x + 7(108 - 8x) = 106$ $\Rightarrow 4x + 756 - 56x = 106$ $\Rightarrow 52x = 650$ $\Rightarrow x = \frac{650}{52} = 12.5 = \frac{25}{2}$।
$y = 108 - 8(\frac{25}{2}) = 108 - 100 = 8$।
$S = (12.5, 8)$। चूंकि $S$,$2x - ky = 1$ पर स्थित है:
$2(12.5) - k(8) = 1$ $\Rightarrow 25 - 8k = 1$ $\Rightarrow 8k = 24$ $\Rightarrow k = 3$.

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+60^{\frac{1}{4}} x+a=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -60^{\frac{1}{4}}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = a$ है।
हमें $\alpha^4+\beta^4 = -30$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2$ का उपयोग करते हुए:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 - 2a^2 = -30$.
चूंकि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-60^{\frac{1}{4}})^2 - 2a = 60^{\frac{1}{2}} - 2a$,इसलिए:
$(60^{\frac{1}{2}} - 2a)^2 - 2a^2 = -30$.
वर्ग का विस्तार करने पर:
$60 + 4a^2 - 4a(60^{\frac{1}{2}}) - 2a^2 = -30$.
समीकरण को सरल करने पर:
$2a^2 - 4\sqrt{60}a + 90 = 0$.
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है। मूलों का गुणनफल $a_1 a_2 = \frac{90}{2} = 45$ है।

(A) हमारे पास $7$ लाल सेब $(RA)$,$5$ सफेद सेब $(WA)$ और $8$ संतरे $(O)$ हैं। हमें $5$ फल इस प्रकार चुनने हैं कि उनमें कम से कम $2$ संतरे,कम से कम $1$ लाल सेब और कम से कम $1$ सफेद सेब हो।
संभावित संयोजन $(O, RA, WA)$ इस प्रकार हैं:
$1. (2, 1, 2) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 28 \times 7 \times 10 = 1960$
$2. (2, 2, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 21 \times 5 = 2940$
$3. (3, 1, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{3} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{1} = 56 \times 7 \times 5 = 1960$
कुल तरीकों की संख्या = $1960 + 2940 + 1960 = 6860$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = 2 \cos \frac{9 \theta}{2} \cos 3 \theta$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{5 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2}$.
$\cos \frac{15 \theta}{2} = \cos \frac{5 \theta}{2}$.
व्यापक हल: $\frac{15 \theta}{2} = 2 k \pi \pm \frac{5 \theta}{2}$.
स्थिति $1$: $\frac{15 \theta}{2} - \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 5 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{2 k \pi}{5}$.
स्थिति $2$: $\frac{15 \theta}{2} + \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 10 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{k \pi}{5}$.
दोनों को मिलाने पर,$\theta = \frac{k \pi}{5}$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$.
$[-\pi, \pi]$ में,$\theta \in \{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}, 0, \frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$.
धनात्मक मान $(m)$: $\{\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$,अतः $m = 5$.
ऋणात्मक मान $(n)$: $\{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}\}$,अतः $n = 5$.
इसलिए,$mn = 5 \times 5 = 25$.

(A) हमें $(2023)^{2023}$ को $35$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$2023 = 35 \times 57 + 28$,इसलिए $2023 \equiv 28 \equiv -7 \pmod{35}$।
अतः,$(2023)^{2023} \equiv (-7)^{2023} \pmod{35}$।
हम $(-7)^{2023} = -7 \times 7^{2022} = -7 \times (7^2)^{1011} = -7 \times (49)^{1011}$ लिख सकते हैं।
चूंकि $49 \equiv 14 \pmod{35}$,इसलिए $7^{2022} = (49)^{1011} \equiv 14^{1011} \pmod{35}$।
चूंकि $14^1 \equiv 14$,$14^2 \equiv 21$,$14^3 \equiv 14 \pmod{35}$,विषम घातों के लिए $14^n \equiv 14 \pmod{35}$।
अतः,$7^{2022} \equiv 14 \pmod{35}$।
इसलिए,$(2023)^{2023} \equiv -7 \times 14 = -98 \pmod{35}$।
चूंकि $-98 = -3 \times 35 + 7$,इसलिए $-98 \equiv 7 \pmod{35}$।
शेषफल $7$ है।

(A) त्रिभुज $x > 0$,$y > 0$ और $3x + 4y < 60$ द्वारा परिबद्ध है। चूँकि $b$,$a$ का गुणज है,मान लीजिए $b = ka$ जहाँ $k \ge 1$ एक पूर्णांक है।
निश्चित $x = a$ के लिए,$3a + 4y < 60$,इसलिए $y < 15 - 0.75a$.
चूँकि $y = ka$,इसलिए $ka < 15 - 0.75a$,जिसका अर्थ है $k < \frac{15}{a} - 0.75$.
$a=1$ के लिए: $k < 14.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 14\}$ ($14$ बिंदु)।
$a=2$ के लिए: $k < 6.75 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
$a=3$ के लिए: $k < 4.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ बिंदु)।
$a=4$ के लिए: $k < 3 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ बिंदु)।
$a=5$ के लिए: $k < 2.25 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ बिंदु)।
$a=6$ के लिए: $k < 1.75 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ बिंदु)।
$a=7$ के लिए: $k < 1.39 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ बिंदु)।
$a=8$ के लिए: $k < 1.125 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ बिंदु)।
$a \ge 9$ के लिए: $k < 0.91$,कोई धनात्मक पूर्णांक $k$ संभव नहीं है।
कुल बिंदु $= 14 + 6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 31$।

(B) मान लीजिए $z_1 = x_1 + i y_1$ और $z_2 = x_2 + i y_2$, जहाँ $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ है।
दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = x_1 + x_2 = 0$, जिसका अर्थ है $x_2 = -x_1$ है।
दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 z_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0$ है।
दूसरे समीकरण में $x_2 = -x_1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x_1(-x_1) - y_1 y_2 = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $-x_1^2 - y_1 y_2 = 0$ या $y_1 y_2 = -x_1^2$ हो जाता है।
चूंकि $z_1, z_2$ शून्येतर हैं, यदि $x_1 = 0$ है, तो $x_2 = 0$ होगा। परिणामस्वरूप, $y_1 y_2 = 0$ होगा। लेकिन $z_1, z_2 \neq 0$ होने के कारण, इसका अर्थ है $y_1 \neq 0$ और $y_2 \neq 0$, जो $y_1 y_2 = 0$ के साथ विरोधाभास करता है। अतः, $x_1 \neq 0$, जिसका अर्थ है $x_1^2 > 0$ है।
इसलिए, $y_1 y_2 = -x_1^2 < 0$ है।
यह इंगित करता है कि $y_1$ और $y_2$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
अतः, $\operatorname{Im}(z_1)$ और $\operatorname{Im}(z_2)$ के चिह्न विपरीत हैं, जो स्थितियों $(B)$ और $(C)$ के अनुरूप है।

(C) समीकरण $14 x^2-31 x+3 \lambda=0$ के लिए,$\alpha+\beta=\frac{31}{14}$ और $\alpha \beta=\frac{3 \lambda}{14}$ है।
समीकरण $35 x^2-53 x+4 \lambda=0$ के लिए,$\alpha+\gamma=\frac{53}{35}$ और $\alpha \gamma=\frac{4 \lambda}{35}$ है।
$\alpha$ के लिए दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha+\beta)-(\alpha+\gamma) = \frac{31}{14}-\frac{53}{35} \Rightarrow \beta-\gamma = \frac{7}{10}$ प्राप्त होता है।
$\alpha \beta = \frac{3 \lambda}{14}$ और $\alpha \gamma = \frac{4 \lambda}{35}$ से,$\frac{\beta}{\gamma} = \frac{15}{8}$,अतः $\beta = \frac{15}{8} \gamma$ है।
$\beta-\gamma = \frac{7}{10}$ में $\beta$ का मान रखने पर: $\frac{7}{8} \gamma = \frac{7}{10} \Rightarrow \gamma = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta = \frac{3}{2}$ और $\alpha = \frac{5}{7}$ है।
अब,$\lambda = 5$ है।
आवश्यक समीकरण के मूल $x_1 = \frac{10}{7}$ और $x_2 = \frac{25}{7}$ हैं।
मूलों का योग: $x_1+x_2 = 5$ है।
मूलों का गुणनफल: $x_1 x_2 = \frac{250}{49}$ है।
अतः,आवश्यक समीकरण $49 x^2 - 245 x + 250 = 0$ है।

(B) आपतित किरण मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसका समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ है।
रेखा $x + y = 1$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ प्राप्त करने के लिए $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ को $x + y = 1$ में रखने पर:
$x + \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$.
अतः,$P = \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}, \frac{1}{\sqrt{3} + 1}\right)$.
परावर्तित किरण का ढाल $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1})$ है।
$y = 0$ रखने पर,$x$-अंतःखंड $Q$ के लिए:
$\sqrt{3}x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \Rightarrow x = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$.

(C) मान लीजिए $B$ के निर्देशांक $(-t, t)$ और $C$ के निर्देशांक $(t, -t)$ हैं क्योंकि वे $y+x=0$ पर स्थित हैं और मूल बिंदु के सापेक्ष सममित हैं।
भुजा $BC$ की लंबाई $a = \sqrt{(t - (-t))^2 + (-t - t)^2} = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2} = \sqrt{8t^2} = 2\sqrt{2}|t|$ है।
$BC$ का मध्य बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है। $A$ से $BC$ पर डाला गया लंब उस रेखा पर स्थित है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है और $y+x=0$ के लंबवत है,जो कि $y=x$ है।
बिंदु $A$,$y=x$ और $y-2x=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y=x$ को $y-2x=2$ में रखने पर $x-2x=2$ प्राप्त होता है,जिससे $x=-2$ और $y=-2$ मिलता है। अतः,$A = (-2, -2)$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$,बिंदु $A(-2, -2)$ से रेखा $x+y=0$ की दूरी है,जो $h = \frac{|-2 + (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$,इसलिए $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3x + 10y - 15 = 0$ है।
बिंदु $A(4, -11)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $5x - 12y - 152 = 0$ है।
बिंदु $B(8, -5)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x = 8$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $C = (8, -\frac{28}{3})$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $3x - 2y - 34 = 0$ है।
केंद्र $C$ से रेखा $AB$ की लंबवत दूरी ही त्रिज्या $r$ है:
$r = \frac{|3(8) - 2(-\frac{28}{3}) - 34|}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$.

(C) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
मान लीजिए $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ और $B = ((\sim q) \vee r)$ है।
हमें वह स्थिति ज्ञात करनी है जहाँ $A = T$ और $B = F$ हो।
$B = ((\sim q) \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$(\sim q)$ और $r$ दोनों को असत्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $q = T$ और $r = F$ है।
अब,$q = T$ और $r = F$ को $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = (p \vee T) \wedge ((\sim p) \vee F)$
$A = T \wedge (\sim p)$
$A$ के सत्य होने के लिए,$(\sim p)$ को सत्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $p = F$ है।
अतः,संयोजन $p = F, q = T, r = F$ व्यंजक को असत्य बनाता है।

(C) मान लीजिए $GP$ $a, ar, ar^2, \ldots$ है।
दिया गया है $a_4 \cdot a_6 = 9$,इसलिए $(ar^3)(ar^5) = 9$,जिसका अर्थ है $a^2 r^8 = 9$,यानी $a_5^2 = 9$। चूंकि पद धनात्मक हैं,$a_5 = 3$।
दिया गया है $a_5 + a_7 = 24$,इसलिए $a_5 + a_5 r^2 = 24$।
$a_5 = 3$ रखने पर,हमें $3(1 + r^2) = 24$ प्राप्त होता है,इसलिए $1 + r^2 = 8$,जिससे $r^2 = 7$ मिलता है।
चूंकि $a_5 = ar^4 = 3$,हमारे पास $a(7^2) = 3$ है,इसलिए $a = \frac{3}{49}$।
अब,$a_1 a_9 + a_2 a_4 a_9 + a_5 + a_7$ का मान ज्ञात करें:
$a_1 a_9 = a(ar^8) = a^2 r^8 = (ar^4)^2 = a_5^2 = 3^2 = 9$।
$a_2 a_4 a_9 = (ar)(ar^3)(ar^8) = a^3 r^{12} = (ar^4)^3 = a_5^3 = 3^3 = 27$।
$a_5 + a_7 = 24$।
अतः,$9 + 27 + 24 = 60$।

(C) हम छह अंकों की ऐसी संख्याएँ $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6$ ढूँढ रहे हैं कि $1 \le x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 \le 9$ हो। ऐसी कुल संख्याएँ $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84$ हैं।
$72^{\text{th}}$ संख्या ज्ञात करने के लिए,हम विशिष्ट अंकों से शुरू होने वाली संख्याओं की गणना करते हैं:
- $1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $\binom{8}{5} = 56$ संख्याएँ।
- $23$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $\binom{6}{4} = 15$ संख्याएँ।
अब तक गिनी गई कुल संख्याएँ: $56 + 15 = 71$।
$71^{\text{st}}$ संख्या $23$ से शुरू होने वाली अंतिम संख्या है,जो $235678$ है।
$72^{\text{nd}}$ संख्या $24$ से शुरू होने वाली पहली संख्या है,जो $245678$ है।
अंकों का योग $2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 32$ है।

(C) प्रथम व्यंजक $(\alpha x^3 + \frac{1}{\beta x})^{11}$ के लिए,व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r \alpha^{11-r} \beta^{-r} x^{33-4r}$ है।
$x^9$ के लिए $33-4r = 9 \Rightarrow r = 6$। गुणांक ${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6}$ है।
दूसरे व्यंजक $(\alpha x - \frac{1}{\beta x^3})^{11}$ के लिए,व्यापक पद $T_{k+1} = {}^{11}C_k \alpha^{11-k} (-1)^k \beta^{-k} x^{11-4k}$ है।
$x^{-9}$ के लिए $11-4k = -9 \Rightarrow k = 5$। गुणांक $-{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर,${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6} = -{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$।
अतः $\alpha \beta = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $(\alpha \beta)^2 = 1$।

(C) मान लीजिए कि तीन क्रमागत पद $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ हैं। उनके गुणांक $^nC_{r-1} 2^{r-1}, ^nC_r 2^r, ^nC_{r+1} 2^{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^nC_{r-1} 2^{r-1} : ^nC_r 2^r : ^nC_{r+1} 2^{r+1} = 2 : 5 : 8$ है।
$\frac{^nC_{r-1} 2^{r-1}}{^nC_r 2^r} = \frac{2}{5}$ से,हमें $\frac{r}{n-r+1} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow 5r = 4n - 4r + 4$ $\Rightarrow 9r - 4n = 4$ (समीकरण $1$) प्राप्त होता है।
$\frac{^nC_r 2^r}{^nC_{r+1} 2^{r+1}} = \frac{5}{8}$ से,हमें $\frac{r+1}{n-r} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$ $\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4r + 4 = 5n - 5r$ $\Rightarrow 9r - 5n = -4$ (समीकरण $2$) प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ घटाने पर: $(9r - 4n) - (9r - 5n) = 4 - (-4) \Rightarrow n = 8$.
$n=8$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $9r - 32 = 4$ $\Rightarrow 9r = 36$ $\Rightarrow r = 4$.
मध्य पद का गुणांक $^nC_r 2^r = ^8C_4 2^4 = 70 \times 16 = 1120$ है।

(C) $5$ अंकों का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ बनाई जा सकने वाली $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $5^5 = 3125$ हैं।
चूंकि संख्याएँ अवरोही क्रम में व्यवस्थित हैं,इसलिए संख्या $N$ की क्रम संख्या $(N$ से बड़ी कुल संख्याएँ$) + 1$ द्वारा दी जाती है।
$7$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^4 = 625$.
$5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^4 = 625$.
$37$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^3 = 125$.
$357$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^2 = 25$.
$355$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^2 = 25$.
$3537$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^1 = 5$.
$3535$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^1 = 5$.
$35337$ से शुरू होने वाली संख्या: $1$ (स्वयं संख्या)।
$35337$ से बड़ी या उसके बराबर कुल संख्याएँ $625 + 625 + 125 + 25 + 25 + 5 + 5 + 1 = 1436$ हैं।
अतः,$35337$ की क्रम संख्या $1436$ है।

(C) दिया गया कथन $B \Rightarrow ((\sim A) \vee B)$ है।
तार्किक समतुल्यता $P \Rightarrow Q \equiv (\sim P) \vee Q$ का उपयोग करने पर:
$B \Rightarrow ((\sim A) \vee B) \equiv (\sim B) \vee ((\sim A) \vee B)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों का उपयोग करने पर:
$(\sim B) \vee B \vee (\sim A) \equiv T \vee (\sim A) \equiv T$
चूंकि यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है,हम विकल्पों की जांच करते हैं।
विकल्प $C$ है $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$ है।
अतः,यह कथन $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$ के समतुल्य है।

(C) $(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $K = 2^{99-1} = 2^{98}$ है।
$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद $a$,$101$ वाँ पद है:
$a = {}^{200}C_{100} (2)^{100} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{100} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{100} \cdot 2^{-50} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}$.
अब,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{{}^{200}C_{99} \cdot 2^{98}}{{}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}}$ पर विचार करें।
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = \frac{n-r+1}{r} {}^{n}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{{}^{200}C_{99}}{{}^{200}C_{100}} = \frac{100}{101}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{100}{101} \cdot 2^{48} = \frac{25 \cdot 2^2 \cdot 2^{48}}{101} = \frac{2^{50} \cdot 25}{101}$.
$\frac{2^{\ell} m}{n}$ के साथ तुलना करने पर,$\ell = 50$,$m = 25$,और $n = 101$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(\ell, n) = (50, 101)$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\lambda = \cos ^2 2x - 2 \sin ^4 x - 2 \cos ^2 x$
सभी पदों को $\cos x$ में बदलें:
$\lambda = (2 \cos ^2 x - 1)^2 - 2(1 - \cos ^2 x)^2 - 2 \cos ^2 x$
पदों का विस्तार करने पर:
$\lambda = (4 \cos ^4 x - 4 \cos ^2 x + 1) - 2(1 - 2 \cos ^2 x + \cos ^4 x) - 2 \cos ^2 x$
सरल करने पर:
$\lambda = 2 \cos ^4 x - 2 \cos ^2 x - 1$
मान लीजिए $t = \cos ^2 x$,जहाँ $t \in [0, 1]$:
$f(t) = 2t^2 - 2t - 1$
$t \in [0, 1]$ के लिए $f(t)$ का परिसर ज्ञात करें:
$f'(t) = 4t - 2$. $f'(t) = 0$ रखने पर $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$f(0) = -1$
$f(1) = -1$
$f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
अतः,$\lambda$ का परिसर $[-\frac{3}{2}, -1]$ है।

(A) $OUGHT$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $G, H, O, T, U$ है।
$G$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$O$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$TG$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$TH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$TO G$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$TO H$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$TO U G H$ से शुरू होने वाले शब्द: $1! = 1$
कुल क्रम $= 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89$.

(D) परवलय $y^2=3x$ के लिए,$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $2y \frac{dy}{dx} = 3$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$।
चूंकि स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=1$ (ढाल $= -1/2$) के समानांतर है,हमारे पास $\frac{3}{2y_1} = -1/2$ है,जिससे $y_1 = -3$ प्राप्त होता है। $y^2=3x$ में मान रखने पर,$x_1 = 3$ मिलता है। अतः,$P = (3, -3)$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ के लिए,$(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$ है।
$Q$ और $R$ पर स्पर्शरेखाएं रेखा $x-y=2$ (ढाल $= 1$) के लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल $-1$ है। अतः,$-\frac{x}{4y} = -1$,जिसका अर्थ है $x = 4y$।
$x=4y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(4y)^2}{4} + y^2 = 1 \Rightarrow 4y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 5y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$।
तब $x = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$। अतः $Q = (\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ और $R = (-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_P(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_P) + x_R(y_P - y_Q)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{1}{\sqrt{5}})) + \frac{4}{\sqrt{5}}(-\frac{1}{\sqrt{5}} - (-3)) + (-\frac{4}{\sqrt{5}})(-3 - \frac{1}{\sqrt{5}})| = 3\sqrt{5}$.

(B) $3$ अंकों की कुल संख्याएँ $900$ हैं।
$3$ से विभाज्य संख्याएँ $= 300$ हैं।
$4$ से विभाज्य संख्याएँ $= 225$ हैं।
$3$ और $4$ दोनों से विभाज्य (अर्थात $12$ से विभाज्य) संख्याएँ $= 75$ हैं।
$3$ या $4$ से विभाज्य संख्याएँ $= 300 + 225 - 75 = 450$ हैं।
अब,हमें $48$ से विभाज्य संख्याओं को हटाना होगा,जिनकी संख्या $18$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या $= 450 - 18 = 432$ है।

(A) माना $N$ एक $4$-अंकीय संख्या है। हमें दिया गया है कि $\gcd(N, 54) = 2$ है।
चूंकि $54 = 2 \times 3^3$,इसलिए $\gcd(N, 54) = 2$ का अर्थ है कि $N$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए लेकिन $3$ से नहीं।
$4$-अंकों की कुल संख्याएँ $1000$ से $9999$ तक हैं,यानी कुल $9000$ संख्याएँ हैं।
$2$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $\lfloor \frac{9999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{999}{2} \rfloor = 4500$ है।
$6$ से विभाज्य ($2$ और $3$ दोनों से विभाज्य) $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $\lfloor \frac{9999}{6} \rfloor - \lfloor \frac{999}{6} \rfloor = 1500$ है।
अतः,$2$ से विभाज्य लेकिन $3$ से विभाज्य न होने वाली $4$-अंकीय संख्याएँ $4500 - 1500 = 3000$ हैं।

(A) वक्र $S_1: y^2=2x$ और $S_2: x^2+y^2=4x$ हैं।
बिंदु $P(2,2)$ दोनों वक्रों पर स्थित है।
$S_1$ पर $P(2,2)$ पर स्पर्श रेखा $T_1: x-2y+2=0$ है।
$S_2$ पर $P(2,2)$ पर स्पर्श रेखा $T_2: y=2$ है।
तीसरी रेखा $L_3: x+y+2=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$T_1$ और $T_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $P(2,2)$.
$T_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $Q(-2,0)$.
$T_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $R(-4,2)$.
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{20}$,$QR = \sqrt{8}$,$RP = 6$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 6$.
परिवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{8} \cdot 6}{24} = \sqrt{10}$.
अतः,$r^2 = 10$.

(A) केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$ है,जो $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $x + y = 3$ बिंदु $S(\alpha, \beta)$ के सापेक्ष वृत्त की स्पर्श जीवा (chord of contact) है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ है: $x\alpha + y\beta - 2(x + \alpha) - 3(y + \beta) - 3 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\alpha - 2)x + (\beta - 3)y - (2\alpha + 3\beta + 3) = 0$.
इसे दी गई रेखा $x + y - 3 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{2\alpha + 3\beta + 3}{3}$.
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1}$ से हमें $\beta = \alpha + 1$ प्राप्त होता है।
$\beta = \alpha + 1$ को $\alpha - 2 = \frac{2\alpha + 3(\alpha + 1) + 3}{3}$ में रखने पर:
$3(\alpha - 2) = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow 3\alpha - 6 = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow -2\alpha = 12$ $\Rightarrow \alpha = -6$.
अतः $\beta = -5$.
इस प्रकार,$4\alpha - 7\beta = 4(-6) - 7(-5) = -24 + 35 = 11$.

(A) दिया गया है $a_1=b_1=1$,$a_n-a_{n-1}=n-1$ और $b_n-b_{n-1}=a_{n-1}$.
सबसे पहले,$a_n$ ज्ञात करें: $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2-n+2}{2}$.
$n=9$ के लिए,$a_9 = \frac{81-9+2}{2} = 37$.
इसके बाद,$b_n$ ज्ञात करें: $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^2-k+2}{2} = 1 + \frac{1}{2} [\frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)]$.
$n=10$ के लिए,$b_{10} = 1 + \sum_{k=1}^{9} a_k = 1 + (1+2+4+7+11+16+22+29+37) = 1 + 129 = 130$.
दिया गया है $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ और $T = \sum_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$.
$S$ के लिए अंतर की विधि का उपयोग करते हुए,हम प्राप्त करते हैं $2S = 2(a_1+b_1) - \frac{b_{10}+2a_9}{2^9} + T$.
अतः,$2S - T = 2(1+1) - \frac{130+2(37)}{512} = 4 - \frac{204}{512}$.
$2^7 = 128$ से गुणा करने पर: $128(4 - \frac{204}{512}) = 512 - \frac{204}{4} = 512 - 51 = 461$.

(A) दिया गया है कि $c_k = a_k + b_k$ है।
चूंकि $a_k$ और $b_k$ $G$.$P$. हैं जहाँ $a_1 = b_1 = 4$ है,इसलिए $a_k = 4r_1^{k-1}$ और $b_k = 4r_2^{k-1}$ है।
$c_2 = a_2 + b_2 = 4r_1 + 4r_2 = 5 \Rightarrow r_1 + r_2 = 5/4$.
$c_3 = a_3 + b_3 = 4r_1^2 + 4r_2^2 = 13/4 \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 = 13/16$.
$(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$ का उपयोग करने पर,$(5/4)^2 = 13/16 + 2r_1r_2$ $\Rightarrow 25/16 - 13/16 = 2r_1r_2$ $\Rightarrow r_1r_2 = 3/8$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $t^2 - (5/4)t + 3/8 = 0$ को हल करने पर $r_1 = 1/2$ और $r_2 = 3/4$ प्राप्त होता है ($r_1 < r_2$ के कारण)।
अब,$\sum_{k=1}^{\infty} c_k = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k = \frac{4}{1-1/2} + \frac{4}{1-3/4} = 8 + 16 = 24$ है।
साथ ही,$12a_6 + 8b_4 = 12(4(1/2)^5) + 8(4(3/4)^3) = 48/32 + 32(27/64) = 15$ है।
अतः,अभीष्ट मान $24 - 15 = 9$ है।

(A) समूह $X$ का माध्य $\bar{x} = \frac{11+41}{2} = 26$ (अवयवों की संख्या $n_1 = 31$ है)।
समूह $Y$ का माध्य $\bar{y} = \frac{61+91}{2} = 76$ (अवयवों की संख्या $n_2 = 31$ है)।
संयुक्त माध्य $\mu = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{31(26) + 31(76)}{62} = \frac{26+76}{2} = 51$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n_1+n_2} \left( \sum_{i=1}^{31} (x_i - \mu)^2 + \sum_{j=1}^{31} (y_j - \mu)^2 \right)$.
समूह $X$ के लिए,$\sum (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=11}^{41} (i - 51)^2 = 21855$.
इसी प्रकार,समूह $Y$ के लिए,$\sum (y_j - \mu)^2 = 21855$.
अतः,$\sigma^2 = \frac{21855 + 21855}{62} = 705$.
अंत में,$|\bar{x} + \bar{y} - \sigma^2| = |26 + 76 - 705| = 603$.

(A) दिया गया है $\alpha = 8 - 14i$. मान लीजिए $z = x + iy$. तब $\bar{z} = x - iy$.
समुच्चय $A$ के लिए समीकरण $\frac{\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z}}{z^2 - \bar{z}^2 - 112i} = 1$ है।
अंश: $\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z} = (8 - 14i)(x + iy) - (8 + 14i)(x - iy) = (8x + 14y + i(-14x + 8y)) - (8x + 14y + i(14x - 8y)) = 2i(-14x + 8y)$.
हर: $z^2 - \bar{z}^2 = (z - \bar{z})(z + \bar{z}) = (2iy)(2x) = 4ixy$.
अतः,$\frac{2i(-14x + 8y)}{4ixy - 112i} = 1 \implies \frac{2(-14x + 8y)}{4xy - 112} = 1 \implies -28x + 16y = 4xy - 112$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $4xy + 28x - 16y - 112 = 0 \implies 4x(y + 7) - 16(y + 7) = 0 \implies (4x - 16)(y + 7) = 0$.
इस प्रकार,$x = 4$ या $y = -7$.
समुच्चय $B$ के लिए,$|z + 3i| = 4 \implies x^2 + (y + 3)^2 = 16$.
स्थिति $1$: यदि $x = 4$,तो $16 + (y + 3)^2 = 16 \implies y = -3$. अतः $z_1 = 4 - 3i$.
स्थिति $2$: यदि $y = -7$,तो $x^2 + (-7 + 3)^2 = 16 \implies x^2 + 16 = 16 \implies x = 0$. अतः $z_2 = 0 - 7i$.
$A \cap B = \{4 - 3i, -7i\}$.
योग: $(\operatorname{Re}(z_1) - \operatorname{Im}(z_1)) + (\operatorname{Re}(z_2) - \operatorname{Im}(z_2)) = (4 - (-3)) + (0 - (-7)) = 7 + 7 = 14$.

(A) दिया गया समीकरण $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ है।
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$x(x^6+3x^4-13x^2-15)=0$ प्राप्त होता है।
माना $t = x^2$ है। समीकरण $t^3+3t^2-13t-15=0$ बन जाता है।
मानों की जाँच करने पर,$t=-1$ एक मूल है: $(-1)^3+3(-1)^2-13(-1)-15 = 0$।
$(t+1)$ से विभाजित करने पर,$(t+1)(t^2+2t-15)=0$ प्राप्त होता है,जिसका गुणनखंड $(t+1)(t+5)(t-3)=0$ है।
अतः,$x^2 = -1, -5, 3$ है।
मूल $x = 0, \pm i, \pm i\sqrt{5}, \pm \sqrt{3}$ हैं।
परिमाण $|0|=0, |\pm i|=1, |\pm i\sqrt{5}|=\sqrt{5}, |\pm \sqrt{3}|=\sqrt{3}$ हैं।
परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करने पर: $|\alpha_1| = |\alpha_2| = \sqrt{5}$,$|\alpha_3| = |\alpha_4| = \sqrt{3}$,$|\alpha_5| = |\alpha_6| = 1$,$|\alpha_7| = 0$ है।
माना $\alpha_1 = i\sqrt{5}, \alpha_2 = -i\sqrt{5}, \alpha_3 = \sqrt{3}, \alpha_4 = -\sqrt{3}, \alpha_5 = i, \alpha_6 = -i$ है।
तब $\alpha_1 \alpha_2 - \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_5 \alpha_6 = (i\sqrt{5})(-i\sqrt{5}) - (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (i)(-i) = 5 + 3 + 1 = 9$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\tan 15^{\circ} + \cot 75^{\circ} + \cot 105^{\circ} + \tan 195^{\circ} = 2a$.
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 75^{\circ} = \tan(90^{\circ}-75^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 105^{\circ} = \cot(180^{\circ}-75^{\circ}) = -\cot 75^{\circ} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.
$\tan 195^{\circ} = \tan(180^{\circ}+15^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$(2-\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-2) + (2-\sqrt{3}) = 2a$.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$2-\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} + \sqrt{3}-2 + 2-\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} = 2a$.
अतः,$a = 2-\sqrt{3}$.
अब,$a + \frac{1}{a}$ का मान ज्ञात करें:
$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$.
इसलिए,$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.

(C) दिया गया है $a_n = \frac{-2}{4n^2 - 16n + 15}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $4n^2 - 16n + 15 = (2n - 3)(2n - 5)$.
अतः,$a_n = \frac{-2}{(2n - 3)(2n - 5)} = \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n - 5}$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है।
योग $S_{25} = \sum_{n=1}^{25} \left( \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n - 5} \right) = \frac{1}{47} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{47} + \frac{1}{3} = \frac{50}{141}$.

(B) $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^3)^{15-r} (b^{-1}x^{-1/3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} b^{-r} x^{45-3r-r/3}$ है।
$x$ का घातांक $15$ रखने पर: $45 - \frac{10r}{3} = 15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 30$ $\Rightarrow r = 9$।
गुणांक ${}^{15}C_9 a^6 b^{-9}$ है।
$(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^{1/3})^{15-r} (-b^{-1}x^{-3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} (-1)^r b^{-r} x^{5-r/3-3r}$ है।
$x$ का घातांक $-15$ रखने पर: $5 - \frac{10r}{3} = -15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 20$ $\Rightarrow r = 6$।
गुणांक ${}^{15}C_6 a^9 (-1)^6 b^{-6} = {}^{15}C_6 a^9 b^{-6}$ है।
चूँकि ${}^{15}C_9 = {}^{15}C_6$,गुणांकों की तुलना करने पर: $a^6 b^{-9} = a^9 b^{-6}$।
दोनों पक्षों को $a^6 b^{-6}$ से विभाजित करने पर,हमें $b^{-3} = a^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^3 b^3 = 1$,इसलिए $ab = 1$।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x-y+2=0$,$L_2: 3x-4y+6=0$,और $L_3: 4x-3y+1=0$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(h, k)$ इन तीनों स्पर्श रेखाओं से समान दूरी पर है,इसलिए इसे रेखाओं के कोण समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
$L_2$ और $L_3$ के कोण समद्विभाजक $\frac{3x-4y+6}{5} = \pm \frac{4x-3y+1}{5}$ द्वारा दिए जाते हैं।
स्थिति $1$: $3x-4y+6 = 4x-3y+1 \Rightarrow x+y=5$.
स्थिति $2$: $3x-4y+6 = -(4x-3y+1)$ $\Rightarrow 7x-7y+7=0$ $\Rightarrow x-y+1=0$.
चूंकि वृत्त तीनों रेखाओं को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का अंतःकेंद्र है। समीकरण को हल करने पर,केंद्र $(h, k)$ रेखा $x+y=5$ पर स्थित है।
अतः,$h+k=5$.

(D) परवलय $x = 4y^2$ है,जिसे $y^2 = \frac{1}{4}x$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $4a = \frac{1}{4}$,इसलिए $a = \frac{1}{16}$ है।
परवलय पर कोई भी बिंदु $P(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{16}, \frac{t}{8})$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
चूंकि अभिलंब $Q(0, 33)$ से गुजरता है,इसलिए $33 = \frac{2t}{16} + \frac{t^3}{16}$ है।
$528 = 2t + t^3 \Rightarrow t^3 + 2t - 528 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$t = 8$ एक हल है: $512 + 16 - 528 = 0$।
अतः,$P = (\frac{8^2}{16}, \frac{8}{8}) = (4, 1)$ है।
दूसरा परवलय $y^2 - 4y = 4x \Rightarrow (y - 2)^2 = 4(x + 1)$ है।
यह $(-1, 2)$ शीर्ष वाला परवलय है और $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
नियता का समीकरण $X = -a$ है,जहाँ $X = x + 1$ है।
$x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$ है।
रेखा $x = -2$ से बिंदु $P(4, 1)$ की दूरी $|4 - (-2)| = 6$ है।

(A) रेखा का अंतःखंड रूप में समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $\alpha$ मूल बिंदु से डाले गए लंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ लंब $y$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है,इसलिए यह $x$-अक्ष के साथ $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाएगा।
अतः,समीकरण $x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = p$ होगा,जो $\frac{x}{2} + \frac{y \sqrt{3}}{2} = p$ या $\frac{x}{2p} + \frac{y}{2p/\sqrt{3}} = 1$ में बदल जाता है।
तुलना करने पर,$a = 2p$ और $b = \frac{2p}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab = \frac{98}{3} \sqrt{3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} (2p) \left( \frac{2p}{\sqrt{3}} \right) = \frac{98}{3} \sqrt{3} \implies \frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{98\sqrt{3}}{3} \implies 2p^2 = 98 \implies p^2 = 49$.
अब,$a^2 - b^2 = 4p^2 - \frac{4p^2}{3} = \frac{8p^2}{3}$.
$p^2 = 49$ रखने पर: $a^2 - b^2 = \frac{8 \cdot 49}{3} = \frac{392}{3}$.

(D) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।
श्रेणी का योग $S = a \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{500} \left[ \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{501}}{1 - \frac{x}{1+x}} \right]$ है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$S = (1+x)^{500} \left[ \frac{\frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} \right] = (1+x)^{500} \cdot \frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}} \cdot (1+x) = (1+x)^{501} - x^{501}$।
हमें $(1+x)^{501} - x^{501}$ में $x^{301}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x)^{501}$ में $x^{301}$ का गुणांक $^{501}C_{301}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$^{501}C_{301} = ^{501}C_{501-301} = ^{501}C_{200}$ प्राप्त होता है।

(B) यह जांचने के लिए कि क्या कोई कथन पुनरुक्ति है,हम सत्यता सारणी का उपयोग करते हैं।
$(S1)$ के लिए: यदि $p=F, q=T, r=F$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow r$ का मान $F$ है,जबकि $p \Rightarrow r$ का मान $T$ है। अतः,यह पुनरुक्ति नहीं है।
$(S2)$ के लिए: तार्किक तुल्यता का उपयोग करते हुए,$(p \vee q)$ $\Rightarrow r \equiv (p$ $\Rightarrow r) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$।
यह $(p$ $\Rightarrow r) \vee (q$ $\Rightarrow r)$ के तुल्य नहीं है,इसलिए $(S2)$ भी पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ एक पुनरुक्ति है।

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} \tan x=1$
माना $a = \ln \sin x$ और $b = \ln \cos x$ है। समीकरण $\frac{b-a}{b} + 4\frac{a-b}{a} = 1$ बन जाता है।
इसे सरल करने पर $t + \frac{4}{t} = 4$ प्राप्त होता है,जहाँ $t = \frac{a}{b}$ है।
अतः $(t-2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$ है।
इससे $\ln \sin x = 2 \ln \cos x \Rightarrow \sin x = \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $\alpha = -1$ और $\beta = 5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -1 + 5 = 4$।

(D) दिया है $z = 1 + i$,इसलिए $\overline{z} = 1 - i$ और $\frac{1}{z} = \frac{1 - i}{2}$.
$z_1$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$z_1 = \frac{1 + i(1 - i)}{(1 - i)(1 - (1 + i)) + \frac{1 - i}{2}}$
$z_1 = \frac{2 + i}{-i - 1 + \frac{1 - i}{2}} = \frac{2(2 + i)}{-1 - 3i} = -1 + i$.
अब,$z_1 = -1 + i$ के लिए $\arg(z_1)$ ज्ञात करने पर:
चूंकि $z_1$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\arg(z_1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अंत में,$\frac{12}{\pi} \arg(z_1) = \frac{12}{\pi} \times \frac{3\pi}{4} = 9$.

(D) माना $7$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_7$ हैं। दिया गया है $\bar{x} = 8$ और $\sigma^2 = 16$.
$\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i}{7} = 8 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i = 56$.
यदि एक प्रेक्षण $14$ को हटा दिया जाए,तो शेष $6$ प्रेक्षणों का योग $56 - 14 = 42$ होगा।
अतः,नया माध्य $a = \frac{42}{6} = 7$.
दिया गया है $\frac{\sum_{i=1}^{7} x_i^2}{7} - (8)^2 = 16 \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
इसलिए,$\sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 80 \times 7 = 560$.
शेष $6$ प्रेक्षणों के वर्गों का योग $560 - (14)^2 = 560 - 196 = 364$ होगा।
नया प्रसरण $b = \frac{\sum_{i=1}^{6} x_i^2}{6} - a^2 = \frac{364}{6} - (7)^2 = \frac{364}{6} - 49 = \frac{364 - 294}{6} = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}$.
अब,$a + 3b - 5 = 7 + 3 \times (\frac{35}{3}) - 5 = 7 + 35 - 5 = 37$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ है।
हम जानते हैं कि $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.
अतः,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.
दूसरे भाग के लिए,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
$e$ और $e^{-1}$ की श्रेणी का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ और $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
यहाँ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
अतः,योग $5e + \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e + e^{-1}}{2} = 5e - e^{-1}$ है।
$ae + be^{-1} + c$ के साथ तुलना करने पर,$a=5, b=-1, c=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a^2 - b + c = 5^2 - (-1) + 0 = 25 + 1 = 26$.

(D) किसी संख्या के $15$ से विभाज्य होने के लिए,उसे $3$ और $5$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि संख्या को $5$ से विभाज्य होना चाहिए,इसलिए अंतिम अंक $5$ होना चाहिए।
मान लीजिए $4$ अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 5$ है।
संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंकों का योग $(d_1 + d_2 + d_3 + 5)$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $(d_1 + d_2 + d_3 + 5) \equiv 0 \pmod{3}$,या $(d_1 + d_2 + d_3) \equiv 1 \pmod{3}$।
अंकों ${1, 2, 3, 5}$ का उपयोग करके $(d_1, d_2, d_3)$ के संभावित संयोजन जिनका योग $1 \pmod{3}$ है,इस प्रकार हैं:
$1. (1, 2, 1) \rightarrow 3$ क्रमचय
$2. (2, 2, 3) \rightarrow 3$ क्रमचय
$3. (3, 3, 1) \rightarrow 3$ क्रमचय
$4. (1, 1, 5) \rightarrow 3$ क्रमचय
$5. (2, 3, 5) \rightarrow 6$ क्रमचय
$6. (3, 5, 5) \rightarrow 3$ क्रमचय
कुल संख्याएँ $= 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3 = 21$।

(A) मान लीजिए कथन हैं:
$P$: मुझे बुखार है
$Q$: मैं दवा लूंगा
$R$: मैं आराम करूंगा
दिया गया कथन है: "यदि मुझे बुखार है,तो मैं दवा नहीं लूंगा और मैं आराम करूंगा".
इसे $P \rightarrow (\sim Q \wedge R)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तार्किक समतुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए:
$P \rightarrow (\sim Q \wedge R) \equiv \sim P \vee (\sim Q \wedge R)$.
वितरण नियम $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv (\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee R)$.

(D) परवलय $y^2 = 16x$ $(a=4)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{4}{m}$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ (त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$) की भी स्पर्श रेखा है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + \frac{4}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर है:
$\frac{|4/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{2} \implies \frac{16}{m^2(m^2+1)} = 8 \implies m^2(m^2+1) = 2$.
$m^2 = t$ लेने पर,$t^2 + t - 2 = 0 \implies (t+2)(t-1) = 0$. चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 1$,अतः $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ लेने पर,स्पर्श रेखा $y = x + 4$ प्राप्त होती है।
परवलय $y^2 = 16x$ पर स्पर्श बिंदु $R$ का मान $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}) = (4, 8)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ पर स्पर्श बिंदु $Q$ मूल बिंदु से रेखा $x - y + 4 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है,जो $(-2, 2)$ है।
अतः $(QR)^2 = (4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$।

(D) मान लीजिए $x = (8 \sqrt{3} + 13)^{13}$ और $x' = (8 \sqrt{3} - 13)^{13}$ है। चूंकि $0 < 8 \sqrt{3} - 13 < 1$,इसलिए $0 < x' < 1$ है।
$x + x' = (8 \sqrt{3} + 13)^{13} + (8 \sqrt{3} - 13)^{13} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots}^{12} \binom{13}{k} (8 \sqrt{3})^{13-k} (13)^k$ है।
यह एक सम पूर्णांक है। चूंकि $x + x' = I$ (एक सम पूर्णांक) और $0 < x' < 1$ है,इसलिए $x = I - x'$,जिसका अर्थ है कि $[x] = I - 1$ है। चूंकि $I$ सम है,इसलिए $I - 1$ विषम है। अतः,$[x]$ विषम है।
अब,मान लीजिए $y = (7 \sqrt{2} + 9)^9$ और $y' = (7 \sqrt{2} - 9)^9$ है। चूंकि $0 < 7 \sqrt{2} - 9 < 1$,इसलिए $0 < y' < 1$ है।
$y + y' = (7 \sqrt{2} + 9)^9 + (7 \sqrt{2} - 9)^9 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots}^{8} \binom{9}{k} (7 \sqrt{2})^{9-k} (9)^k$ है।
यह एक सम पूर्णांक है। चूंकि $y + y' = J$ (एक सम पूर्णांक) और $0 < y' < 1$ है,इसलिए $y = J - y'$,जिसका अर्थ है कि $[y] = J - 1$ है। चूंकि $J$ सम है,इसलिए $J - 1$ विषम है। अतः,$[y]$ विषम है।
इसलिए,$[x]$ और $[y]$ दोनों विषम हैं।

(C) दिया गया है $a \in \{2, 4, \ldots, 100\}$ और $b \in \{1, 3, \ldots, 99\}$.
माना $a = 2m$ जहाँ $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ और $b = 2n-1$ जहाँ $n \in \{1, 2, \ldots, 50\}$.
तब $a+b = 2m + 2n - 1 = 2(m+n) - 1$.
हम चाहते हैं कि $a+b \equiv 2 \pmod{23}$,इसलिए $2(m+n) - 1 = 23k + 2$,जिसका अर्थ है $2(m+n) = 23k + 3$.
चूंकि $2(m+n)$ एक सम संख्या है,इसलिए $23k+3$ भी सम होनी चाहिए,अतः $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए। माना $k = 2j-1$.
तब $2(m+n) = 23(2j-1) + 3 = 46j - 23 + 3 = 46j - 20$.
अतः $m+n = 23j - 10$.
चूंकि $1 \le m, n \le 50$,इसलिए $2 \le m+n \le 100$ है।
$j$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5$ हैं:
यदि $j=1$,$m+n = 13$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $12$ है।
यदि $j=2$,$m+n = 36$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $35$ है।
यदि $j=3$,$m+n = 59$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $42$ है।
यदि $j=4$,$m+n = 82$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $19$ है।
कुल तरीके $= 12 + 35 + 42 + 19 = 108$.

(C) दिए गए परवलय $ax^2 + 2bx + cy = 0$ और $dx^2 + 2ex + fy = 0$ रेखा $y = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$y = 1$ पर,समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ और $dx^2 + 2ex + f = 0$ बन जाते हैं।
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,हमारे पास $b^2 = ac$ है,इसलिए $b = \sqrt{ac}$।
पहला समीकरण $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ बन जाता है,जो $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ है।
अतः,$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$।
$x$ का यह मान दूसरे समीकरण $dx^2 + 2ex + f = 0$ में रखने पर:
$d(\frac{c}{a}) + 2e(-\sqrt{\frac{c}{a}}) + f = 0$।
$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2e\frac{1}{\sqrt{ac}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b = \sqrt{ac}$,यह $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ में सरल हो जाता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है कि $a^3, b^3, c^3$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $a^3 + c^3 = 2b^3$ $(1)$.
दिया गया है कि $\log_a b, \log_c a, \log_b c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(\log_c a)^2 = (\log_a b)(\log_b c)$.
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$(\frac{\ln a}{\ln c})^2 = (\frac{\ln b}{\ln a})(\frac{\ln c}{\ln b}) = \frac{\ln c}{\ln a}$.
अतः,$(\ln a)^3 = (\ln c)^3$,जिसका अर्थ है कि $a = c$.
$a = c$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $2a^3 = 2b^3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = b = c$.
$A.P.$ का पहला पद $T_1 = \frac{a+4a+a}{3} = 2a$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{a-8a+a}{10} = \frac{-6a}{10} = -\frac{3}{5}a$ है।
पहले $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2} [2(2a) + (20-1)(-\frac{3}{5}a)] = -444$ है।
$10 [4a - \frac{57}{5}a] = -444$.
$10 [\frac{20a - 57a}{5}] = -444$.
$2(-37a) = -444$ $\Rightarrow -74a = -444$ $\Rightarrow a = 6$.
चूंकि $a = b = c = 6$,इसलिए $abc = 6^3 = 216$.

(A) माना चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{c} = -2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$,और $\vec{d} = 5\hat{i} - 2\alpha\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (4-2\alpha)\hat{j} + 2\hat{k}$
समतलीयता के लिए शर्त यह है कि इन सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -2 & 6 & -3 \\ -5 & 3 & 1 \\ 2 & 4-2\alpha & 2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-2(6 - (4-2\alpha)) - 6(-10 - 2) - 3(-5(4-2\alpha) - 6) = 0$
$-2(2 + 2\alpha) + 72 - 3(-20 + 10\alpha - 6) = 0$
$-4 - 4\alpha + 72 - 30\alpha + 78 = 0$
$-34\alpha + 146 = 0$
$\alpha = \frac{146}{34} = \frac{73}{17}$

(D) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है,जिसका अर्थ है $AA^{T} = A^{T}A = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
इसके बाद,$B$ की घातों की गणना करें:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B^3 = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
गणितीय आगमन द्वारा,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & -ni \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
दिया गया है $M = A^{T}BA$,तो $M^{n} = (A^{T}BA)(A^{T}BA)...(A^{T}BA) = A^{T}B^{n}A$ होगा।
अतः,$M^{2023} = A^{T}B^{2023}A$।
अब,$AM^{2023}A^{T}$ की गणना करें:
$AM^{2023}A^{T} = A(A^{T}B^{2023}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2023}(AA^{T}) = I \cdot B^{2023} \cdot I = B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$B^{2023}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(D) संबंध $f(n) + \frac{1}{n} f(n+1) = 1$ दिया गया है,जिसे हम $f(n+1) = n(1 - f(n))$ लिख सकते हैं।
$n=3$ के लिए: $f(4) = 3(1 - f(3))$। चूंकि $f(4) \in \mathbb{Z}$ और $|f(4)| \leq 8$,इसलिए $f(4)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। $f(4)$ के संभावित मान $\{-6, -3, 0, 3, 6\}$ हैं।
$n=2$ के लिए: $f(3) = 2(1 - f(2))$। अतः $f(3)$ एक सम पूर्णांक होना चाहिए ताकि $|f(3)| \leq 8$ हो। $f(3)$ के संभावित मान $\{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ हैं।
$n=1$ के लिए: $f(2) = 1(1 - f(1)) = 1 - f(1)$। अतः $f(2)$ कोई भी पूर्णांक हो सकता है ताकि $|f(2)| \leq 8$ हो।
शर्तों की जाँच करने पर:
$1$. $f(4) = 3(1 - f(3)) \implies f(3) = 1 - \frac{f(4)}{3}$। $f(3)$ को सम पूर्णांक होने के लिए,$\frac{f(4)}{3}$ को विषम पूर्णांक होना चाहिए। अतः $f(4) \in \{-3, 3\}$।
$2$. यदि $f(4) = -3$,तो $f(3) = 1 - (-1) = 2$। तब $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 1 = 0$। तब $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 0 = 1$। सभी मान $[-8, 8]$ की सीमा में हैं।
$3$. यदि $f(4) = 3$,तो $f(3) = 1 - 1 = 0$। तब $f(2) = 1 - \frac{f(3)}{2} = 1 - 0 = 1$। तब $f(1) = 1 - f(2) = 1 - 1 = 0$। सभी मान $[-8, 8]$ की सीमा में हैं।
अतः,ऐसे $2$ फलन संभव हैं।

(A) हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \sin x - \cos x \leq \sqrt{2}$ होता है।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें $-2 \leq \sqrt{2}(\sin x - \cos x) \leq 2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $k = \sqrt{2}(\sin x - \cos x)$,इसलिए $-2 \leq k \leq 2$ है।
फलन $f(x) = \log_{\sqrt{m}}(k + m - 2)$ है।
दिया गया है कि $f$ का परिसर $[0, 2]$ है,इसलिए $0 \leq \log_{\sqrt{m}}(k + m - 2) \leq 2$ है।
इसका अर्थ है कि $(\sqrt{m})^0 \leq k + m - 2 \leq (\sqrt{m})^2$,जो सरल होकर $1 \leq k + m - 2 \leq m$ हो जाता है।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $3 - m \leq k \leq 2$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $-2 \leq k \leq 2$ से करने पर,हम निचली सीमाओं की तुलना करते हैं: $3 - m = -2$।
अतः,$m = 5$।

(A) दिया गया है,$A^T = A$,$B^T = -B$,$C^T = -C$.
$(S1)$ के लिए,मान लीजिए $M = A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}$.
तब,$M^T = (A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13})^T = (B^{26})^T (A^{13})^T - (A^{13})^T (B^{26})^T$.
चूंकि $B^T = -B$,$(B^T)^{26} = (-B)^{26} = B^{26}$.
अतः,$M^T = B^{26} A^{13} - A^{13} B^{26} = -(A^{13} B^{26} - B^{26} A^{13}) = -M$.
इस प्रकार,$M$ विषम-सममित है। $(S1)$ असत्य है।
$(S2)$ के लिए,मान लीजिए $N = A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26}$.
तब,$N^T = (A^{26} C^{13} - C^{13} A^{26})^T = (C^{13})^T (A^{26})^T - (A^{26})^T (C^{13})^T$.
चूंकि $C^T = -C$,$(C^T)^{13} = (-C)^{13} = -C^{13}$.
अतः,$N^T = (-C^{13}) A^{26} - A^{26} (-C^{13}) = -C^{13} A^{26} + A^{26} C^{13} = N$.
इस प्रकार,$N$ सममित है। $(S2)$ सत्य है।
इसलिए,केवल $S2$ सत्य है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(t) = \alpha$ और $Q(t) = \gamma e^{-\beta t}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \alpha dt} = e^{\alpha t}$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ है।
मान रखने पर,$y e^{\alpha t} = \int \gamma e^{-\beta t} \cdot e^{\alpha t} dt + C = \gamma \int e^{(\alpha - \beta)t} dt + C$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $\alpha \neq \beta$ है,तो $y e^{\alpha t} = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{(\alpha - \beta)t} + C$,जिसका अर्थ है $y(t) = \frac{\gamma}{\alpha - \beta} e^{-\beta t} + C e^{-\alpha t}$।
चूंकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए जैसे ही $t \rightarrow \infty$,$e^{-\beta t} \rightarrow 0$ और $e^{-\alpha t} \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0 + 0 = 0$ है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha = \beta$ है,तो $y e^{\alpha t} = \int \gamma dt + C = \gamma t + C$,जिसका अर्थ है $y(t) = \gamma t e^{-\alpha t} + C e^{-\alpha t}$।
$L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए,$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\gamma t}{e^{\alpha t}} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\gamma}{\alpha e^{\alpha t}} = 0$ है।
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में,$\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0$ है।

(A) सबसे पहले,रेखाओं को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में व्यक्त करें।
पहली रेखा के लिए: $x+1 = 2y = -12z \Rightarrow \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$. बिंदु $A = (-1, 0, 0)$,दिशा सदिश $\vec{p} = (1, 1/2, -1/12)$.
दूसरी रेखा के लिए: $x = y+2 = 6z-6 \Rightarrow \frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$. बिंदु $B = (0, -2, 1)$,दिशा सदिश $\vec{q} = (1, 1, 1/6)$.
सदिश $\vec{B}-\vec{A} = (0-(-1), -2-0, 1-0) = (1, -2, 1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{6}\hat{i} - \frac{1}{4}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
सदिश $\vec{p} \times \vec{q}$ को $12$ से गुणा करने पर,हमें $2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
न्यूनतम दूरी $\left| \frac{(\vec{B}-\vec{A}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1, -2, 1) \cdot (2, -3, 6)}{7} \right| = \left| \frac{2 + 6 + 6}{7} \right| = \frac{14}{7} = 2$.

(D) माना $I = 16 \int \limits_1^2 \frac{dx}{x^3(x^2+2)^2}$.
अंश और हर को $x^4$ से गुणा करने पर: $I = 16 \int \limits_1^2 \frac{dx}{x^7(1 + \frac{2}{x^2})^2}$.
माना $t = 1 + \frac{2}{x^2}$,तब $dt = -\frac{4}{x^3} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^3} = -\frac{dt}{4}$.
साथ ही,$x^2 = \frac{2}{t-1}$,इसलिए $x^4 = \frac{4}{(t-1)^2}$.
जब $x=1$,तब $t=3$. जब $x=2$,तब $t=1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 16 \int \limits_3^{3/2} \frac{1}{x^4(1 + \frac{2}{x^2})^2} \cdot \frac{dx}{x^3} = 16 \int \limits_3^{3/2} \frac{(t-1)^2}{4} \cdot \frac{1}{t^2} \cdot (-\frac{dt}{4}) = -\int \limits_3^{3/2} \frac{(t-1)^2}{t^2} dt$.
$I = \int \limits_{3/2}^3 (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) dt = [t - 2 \ln|t| - \frac{1}{t}]_{3/2}^3$.
$I = (3 - 2 \ln 3 - \frac{1}{3}) - (\frac{3}{2} - 2 \ln \frac{3}{2} - \frac{2}{3}) = (\frac{8}{3} - 2 \ln 3) - (\frac{5}{6} - 2 \ln \frac{3}{2})$.
$I = \frac{16-5}{6} - 2 \ln(\frac{3}{3/2}) = \frac{11}{6} - 2 \ln 2 = \frac{11}{6} - \ln 4$.

(B) सबसे पहले,अतिपरवलय समीकरण को मानक रूप में लिखें:
$16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - 64 - (y-2)^2 + 4 + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - (y-2)^2 = 16$
$\frac{(x+2)^2}{1} - \frac{(y-2)^2}{16} = 1$
यहाँ अनुप्रस्थ अक्ष $T$ रेखा $y = 2$ है और संयुग्मी अक्ष $C$ रेखा $x = -2$ है।
परवलय का समीकरण $y = x^2 - 4$ है।
यह क्षेत्र $y = 2$ (ऊपर),$y = x^2 - 4$ (नीचे),और $x = -2$ (बाईं ओर) से घिरा हुआ है।
$y = 2$ और $y = x^2 - 4$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$x^2 - 4 = 2$ रखें,जिससे $x^2 = 6$ प्राप्त होता है,अतः $x = \sqrt{6}$ (क्योंकि हम $x = -2$ के दाईं ओर हैं)।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (2 - (x^2 - 4)) dx$
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (6 - x^2) dx$
$A = [6x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{\sqrt{6}}$
$A = (6\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) - (-12 - \frac{-8}{3})$
$A = (6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) - (-12 + \frac{8}{3})$
$A = 4\sqrt{6} - (-\frac{28}{3}) = 4\sqrt{6} + \frac{28}{3}$

(B) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,और $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$ का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\hat{i} - \hat{j})$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$
यहाँ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{a} = 3$ है:
$1(\vec{a}) - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
अब,$3\vec{b} = \vec{a} - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$।
अतः,$6\vec{b} = -4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$।
अंत में,$\vec{a} - 6\vec{b} = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(C) माना रेखा $L: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{-1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda - 1, 5\lambda + 1, -\lambda - 1)$ है।
चूंकि $P$,बिंदु $A(2, 0, 5)$ से रेखा पर लंब का पाद है,इसलिए सदिश $\vec{AP}$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{AP} = (2\lambda - 3)\hat{i} + (5\lambda + 1)\hat{j} + (-\lambda - 6)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{AP} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए:
$2(2\lambda - 3) + 5(5\lambda + 1) - 1(-\lambda - 6) = 0$
$30\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{6}$.
$P$ के निर्देशांकों में $\lambda = -\frac{1}{6}$ रखने पर:
$\alpha = -\frac{4}{3}, \beta = \frac{1}{6}, \gamma = -\frac{5}{6}$.
विकल्पों की जांच करने पर:
$A) \frac{\alpha \beta}{\gamma} = \frac{4}{15}$ (सही)
$B) \frac{\alpha}{\beta} = -8$ (सही)
$C) \frac{\beta}{\gamma} = -\frac{1}{5}$ (गलत,क्योंकि $-5$ दिया गया है)
$D) \frac{\gamma}{\alpha} = \frac{5}{8}$ (सही)
अतः,विकल्प $C$ सही नहीं है।

(A) हम समाकलन $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ का मूल्यांकन करते हैं। चूँकि $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ के लिए $\log_e x < 0$ और $x \in [1, 3]$ के लिए $\log_e x \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$
सूत्र $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$
$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$
$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$
$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$
$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$
$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.
इसकी तुलना $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ से करने पर,हमें $m = 4$ और $n = 3$ प्राप्त होता है।
ये सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
अतः,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.

(A) बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{p} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है। इस रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
दूसरी रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k})$ है।
माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{q} = 2\hat{i} - \hat{j}$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
सदिश $\vec{b} - \vec{a} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -3\hat{j} - \hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $\alpha = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(0\hat{i} - 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (1\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})}{\sqrt{14}} \right| = \left| \frac{0 - 6 + 3}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
अतः,$28\alpha^2 = 28 \times \left( \frac{3}{\sqrt{14}} \right)^2 = 28 \times \frac{9}{14} = 2 \times 9 = 18$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है और $E_2$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान नहीं करने वाला है।
दिया गया है $P(E_1) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ और $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि किसी व्यक्ति को फेफड़ों के कैंसर का निदान किया गया है।
मान लीजिए $p$ धूम्रपान न करने वाले व्यक्ति को फेफड़ों का कैंसर होने की संभावना है। तो धूम्रपान करने वाले व्यक्ति को फेफड़ों का कैंसर होने की संभावना $27p$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की संभावना कि व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है,यदि उसे फेफड़ों का कैंसर है:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{4} \times 27p}{\frac{1}{4} \times 27p + \frac{3}{4} \times p} = \frac{27p}{27p + 3p} = \frac{27p}{30p} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10}$।
दिया गया है $P(E_1|E) = \frac{k}{10}$,इसलिए $\frac{k}{10} = \frac{9}{10}$,जिसका अर्थ है $k = 9$।

(B) $f(x) = \frac{\log_{(x+1)}(x-2)}{x^2 - 2x - 3}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
$2$. लघुगणक का आधार धनात्मक और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$ और $x + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x^2 - 2x - 3 \neq 0$.
हर का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 1) \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 3$ और $x \neq -1$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x > 2$ और $x \neq 3$.
अतः,प्रांत $(2, \infty) - \{3\}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) + 2x}{x^2+1} = 1 + \frac{2x}{x^2+1}$।
एक-एक या बहु-एक की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x}{x^2+1} \right) = \frac{(x^2+1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$।
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
$x \in (1, \infty)$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए फलन निरंतर ह्रासमान है और इस प्रकार $[1, \infty)$ में एक-एक है।
$x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
$x \in (-\infty, -1)$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए फलन निरंतर ह्रासमान है।
चूँकि फलन $(-\infty, -1)$ और $(1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है और $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है,यह इन अंतरालों में एक-एक है। हालाँकि,यह $(-\infty, \infty)$ में एक-एक नहीं है क्योंकि $f(x)$ अलग-अलग बिंदुओं पर समान मान लेता है (उदाहरण के लिए,$f(0) = 1$ और $f(\infty) = 1$)।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[1, \infty)$ में एक-एक है लेकिन $(-\infty, \infty)$ में नहीं।

(B) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & 1 \\ 2\alpha & 3 & 1 \\ 3 & \alpha & 2 \end{vmatrix} = \alpha^2 - 2\alpha - 3 = (\alpha - 3)(\alpha + 1)$ है।
$D = 0$ के लिए,$\alpha = 3$ या $\alpha = -1$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha = -1$ है,तो समीकरण $-x + 2y + z = 1$,$-2x + 3y + z = 1$,$3x - y + 2z = \beta$ बन जाते हैं। हल करने पर,यदि $\beta \neq 2$ है तो कोई हल नहीं है और यदि $\beta = 2$ है तो अनंत हल प्राप्त होते हैं।
यदि $\alpha = 3$ है,तो समीकरण $3x + 2y + z = 1$,$6x + 3y + z = 1$,$3x + 3y + 2z = \beta$ बन जाते हैं। हल करने पर,यदि $\beta \neq 2$ है तो कोई हल नहीं है।
विकल्प $B$ कहता है कि $\alpha = -1$ और सभी $\beta \in \mathbb{R}$ के लिए कोई हल नहीं है,जो गलत है क्योंकि $\beta = 2$ के लिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है कि $A^2 = 3A + \alpha I$ है।
$A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = 3A^2 + \alpha A$ प्राप्त होता है।
$A^3$ के व्यंजक में $A^2 = 3A + \alpha I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^3 = 3(3A + \alpha I) + \alpha A = 9A + 3\alpha I + \alpha A = (9 + \alpha)A + 3\alpha I$।
अब,$A^4$ ज्ञात करने के लिए पुनः $A$ से गुणा करने पर:
$A^4 = (9 + \alpha)A^2 + 3\alpha A$।
पुनः $A^2 = 3A + \alpha I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^4 = (9 + \alpha)(3A + \alpha I) + 3\alpha A$।
$A^4 = (27 + 3\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I + 3\alpha A$।
$A^4 = (27 + 6\alpha)A + (9\alpha + \alpha^2)I$।
इसे $A^4 = 21A + \beta I$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$27 + 6\alpha = 21 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$।
और $\beta = 9\alpha + \alpha^2 = 9(-1) + (-1)^2 = -9 + 1 = -8$।
अतः,$\alpha = -1$ और $\beta = -8$।

(C) दिया गया है कि $x=2$,$x^2+px+q=0$ का एक मूल है,इसलिए $4+2p+q=0$,अर्थात $q = -2p-4$।
कोसाइन के अंदर के व्यंजक में $q$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $x^2-4px+q^2+8q+16 = x^2-4px+(-2p-4)^2+8(-2p-4)+16 = x^2-4px+4p^2+16p+16-16p-32+16 = x^2-4px+4p^2 = (x-2p)^2$।
अतः,$x \neq 2p$ के लिए $f(x) = \frac{1-\cos((x-2p)^2)}{(x-2p)^4}$ है।
सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\lim_{x \to 2p} f(x) = \lim_{x \to 2p} \frac{1-\cos((x-2p)^2)}{((x-2p)^2)^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lim_{x \to 2p^+} f(x) = \frac{1}{2}$,इसलिए $2p$ के निकट $x$ के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[f(x)]$ (जहाँ $0 < f(x) < 1$) का मान $[f(x)] = 0$ है।

(B) दिया गया है $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=x+\sin x \int \limits_0^{\pi / 2} \cos y f(y) d y + \cos x \int \limits_0^{\pi / 2} \sin y f(y) d y$.
इसकी तुलना $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ से करने पर:
$\frac{a}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \cos y d y$ और $\frac{b}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \sin y d y$.
मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) (\sin y + \cos y) d y = \frac{a+b}{\pi^2-4}$.
गुणधर्म $\int_0^a g(y) dy = \int_0^a g(a-y) dy$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\sin(\frac{\pi}{2}-y) + \cos(\frac{\pi}{2}-y)) dy = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\cos y + \sin y) dy$.
चूंकि $f(x) = x + I(\sin x + \cos x)$,इसलिए $f(\frac{\pi}{2}-y) = \frac{\pi}{2} - y + I(\cos y + \sin y)$.
इसे $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y + I(\sin y + \cos y))(\sin y + \cos y) dy$.
$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy + I \int_0^{\pi/2} (\sin y + \cos y)^2 dy$.
समाकलन करने पर:
$\int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy = \frac{\pi}{2}$.
$\int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin y \cos y) dy = \frac{\pi}{2} + 1$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2} + I(\frac{\pi}{2} + 1) \Rightarrow I = -1$.
इस प्रकार,$a+b = -(\pi^2-4) = 4-\pi^2$. विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $-2\pi(\pi+2)$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
समुच्चय $A$ के लिए,क्षेत्र $y = 2x$ और वृत्त के ऊपरी चाप द्वारा घिरा हुआ है। $y = 2x$ और $(x-1)^2 + y^2 = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=2x$ प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: $(x-1)^2 + 4x^2 = 4 \implies 5x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (5x+3)(x-1) = 0$. चूंकि $y \geq 0$,हम $x=1$ लेते हैं,जो $y=2$ देता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है।
$A$ का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक वृत्तीय चाप के नीचे का क्षेत्रफल माइनस $(0,0), (1,0), (1,2)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$A$ का क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-1)^2} dx - \text{Area}(\triangle OAB) = \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) - \frac{1}{2}(1)(2) = \pi - 1$.
समुच्चय $B$ के लिए,क्षेत्र $x \in [0, 1]$ के लिए $y = 2x$ और $x > 1$ के लिए वृत्तीय चाप द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $(0,0), (1,0), (1,2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल और $x=1$ से $x=3$ तक वृत्तीय चाप के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।
$B$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(1)(2) + \int_{1}^{3} \sqrt{4-(x-1)^2} dx = 1 + \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) = 1 + \pi$.
$A$ और $B$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\pi-1}{\pi+1}$ है।

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 21$ और परवलय $y^2 = 4x$ द्वारा $x \geq 1$ के लिए घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2 + 4x - 21 = 0 \implies (x+7)(x-3) = 0$. चूँकि $x \geq 1$,इसलिए $x = 3$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\Delta$ दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = 2 \int_1^3 2\sqrt{x} \, dx + 2 \int_3^{\sqrt{21}} \sqrt{21-x^2} \, dx$
पहले भाग का मान: $4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^3 = \frac{8}{3} (3\sqrt{3} - 1) = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3}$.
दूसरे भाग का मान: $2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{21-x^2} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{21}} \right) \right]_3^{\sqrt{21}}$
$= 2 \left[ (0 + \frac{21}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{3}{2} \sqrt{12} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right)) \right]$
$= 21 \left( \frac{\pi}{2} \right) - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right) = \frac{21\pi}{2} - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right)$.
$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$.
अतः,$\frac{1}{2} \left( \Delta - 21 \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$.

(A) हमें $I = \int_0^2 \max \{x^2, 1 + [x]\} dx$ का मूल्यांकन करना है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 1\} = 1$ है।
$x \in [1, \sqrt{2})$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 2\} = 2$ है (क्योंकि $x < \sqrt{2}$ के लिए $x^2 < 2$ है)।
$x \in [\sqrt{2}, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = \max \{x^2, 2\} = x^2$ है (क्योंकि $x \geq \sqrt{2}$ के लिए $x^2 \geq 2$ है)।
$x=2$ पर,$f(2) = \max \{4, 1+2\} = 4$ है।
अतः,समाकल इस प्रकार है:
$I = \int_0^1 1 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 x^2 dx$
$I = [x]_0^1 + [2x]_1^{\sqrt{2}} + [\frac{x^3}{3}]_{\sqrt{2}}^2$
$I = (1 - 0) + (2\sqrt{2} - 2) + (\frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = 1 + 2\sqrt{2} - 2 + \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$I = (1 - 2 + \frac{8}{3}) + (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3})$
$I = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3}$.

(C) चूंकि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\begin{vmatrix} \lambda & \mu & 4 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $\lambda(4+6) - \mu(2+4) + 4(6-8) = 0 \Rightarrow 10\lambda - 6\mu - 8 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 3\mu = 4$.
सदिश $\vec{b}$ पर $\vec{a}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \sqrt{54}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+16+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\lambda + 4\mu - 8$.
अतः,$\frac{2\lambda + 4\mu - 8}{2\sqrt{6}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \Rightarrow 2\lambda + 4\mu - 8 = 36 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 44 \Rightarrow \lambda + 2\mu = 22$.
इन समीकरणों को हल करने पर,$\lambda+\mu$ के संभावित मानों का योग $24$ प्राप्त होता है।

(D) $15$ खिलाड़ियों को $15$ टी-शर्ट वितरित करने के कुल तरीके $15!$ हैं।
मान लीजिए $X$ उन खिलाड़ियों की संख्या है जो सही टी-शर्ट चुनते हैं। हमें $P(X \ge 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=k)$ वह प्रायिकता है कि ठीक $k$ खिलाड़ी सही टी-शर्ट चुनते हैं,जो $\frac{\binom{15}{k} D_{15-k}}{15!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D_n$ $n$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है।
$D_n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}$.
बड़े $n$ के लिए,$P(X=k) \approx \frac{e^{-1}}{k!}$.
अतः,$P(X \ge 3) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \frac{e^{-1}}{k!} = 1 - e^{-1} (1 + 1 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{2.5}{e} \approx 1 - \frac{2.5}{2.718} \approx 0.08$.

(B) दिया गया है $f(\theta)=3\left(\cos ^4 \theta+\sin ^4 \theta\right)-2 \cos ^2 2 \theta$.
$\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta = 1-2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta)=3\left(1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 \theta\right)-2 \cos ^2 2 \theta = 3-\frac{3}{2} \sin ^2 2 \theta-2 \cos ^2 2 \theta$.
चूंकि $\sin ^2 2 \theta = 1-\cos ^2 2 \theta$,हमारे पास है:
$f(\theta)=3-\frac{3}{2}(1-\cos ^2 2 \theta)-2 \cos ^2 2 \theta = \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \cos ^2 2 \theta$.
$\cos ^2 2 \theta = \frac{1+\cos 4 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos 4 \theta}{2}\right) = \frac{5}{4}-\frac{\cos 4 \theta}{4}$.
अब,$f^{\prime}(\theta) = \frac{d}{d \theta} \left(\frac{5}{4}-\frac{\cos 4 \theta}{4}\right) = \sin 4 \theta$.
दिया गया है $f^{\prime}(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin 4 \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,$4 \theta \in [0, 4 \pi]$.
$\sin 4 \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के हल $4 \theta = \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}$ हैं।
अतः,$\theta \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{12}\right\}$.
$S$ में $\theta$ का योग $4 \beta = \frac{\pi}{3}+\frac{5 \pi}{12}+\frac{5 \pi}{6}+\frac{11 \pi}{12} = \frac{4 \pi+5 \pi+10 \pi+11 \pi}{12} = \frac{30 \pi}{12} = \frac{5 \pi}{2}$.
इसलिए $\beta = \frac{5 \pi}{8}$.
$f(\beta) = \frac{5}{4}-\frac{\cos(4 \cdot \frac{5 \pi}{8})}{4} = \frac{5}{4}-\frac{\cos(5 \pi / 2)}{4} = \frac{5}{4}-0 = \frac{5}{4}$.

(A) कुल सेब = $3 + 7 = 10$। चार सेब बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। यादृच्छिक चर $X$ हाइपरजियोमेट्रिक वितरण का पालन करता है। प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $P(X)$ | $XP(X)$ | $X^2P(X)$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1/6$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1/2$ | $1/2$ | $1/2$ |
| $2$ | $3/10$ | $6/10$ | $12/10$ |
| $3$ | $1/30$ | $3/10$ | $9/30$ |
$E(X^2) = \sum x^2P(x) = 0 + 1/2 + 12/10 + 9/30 = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0$.
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\mu^2 + \sigma^2 = E(X^2)$।
अतः,$10(\mu^2 + \sigma^2) = 10 \times E(X^2) = 10 \times 2 = 20$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y(x+1) dx = x^2 dy$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{x+1}{x^2} dx = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{dy}{y}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|x| - \frac{1}{x} = \ln|y| + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(1)=e$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=e$ रखने पर: $\ln(1) - \frac{1}{1} = \ln(e) + C$.
$0 - 1 = 1 + C$,जिसका अर्थ है $C = -2$.
अतः,हल $\ln|y| = \ln|x| - \frac{1}{x} + 2$ है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $y = e^{\ln x - \frac{1}{x} + 2} = x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.
मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$. जब $x \rightarrow 0^{+}$,तब $t \rightarrow \infty$.
सीमा $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t+2}}{t} = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^2}{t e^t} = 0$ प्राप्त होती है।

(C) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 21$ द्वारा दिया जाता है।
आधार $BC = 2\sqrt{21}$ दिया गया है,इसलिए ऊंचाई $h$ ($A$ से रेखा की लंबवत दूरी) $\frac{2 \times 21}{2\sqrt{21}} = \sqrt{21}$ है।
रेखा $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ है। दिशा सदिश $\vec{v} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
रेखा पर एक बिंदु $P(-\alpha, 1, -4)$ है। सदिश $\vec{AP} = -\alpha\hat{i} - \hat{j} - (\alpha + 4)\hat{k}$ है।
लंबवत दूरी $h = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = (2\alpha + 5)\hat{i} - (2\alpha + 20)\hat{j} + (5 - 2\alpha)\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$|\vec{AP} \times \vec{v}|^2 = 12\alpha^2 + 80\alpha + 450$ है।
चूंकि $h^2 = 21$ और $|\vec{v}|^2 = 38$ है,इसलिए $\frac{12\alpha^2 + 80\alpha + 450}{38} = 21$ है।
$12\alpha^2 + 80\alpha - 348 = 0 \Rightarrow 3\alpha^2 + 20\alpha - 87 = 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ के लिए हल करने पर,$\alpha = 3$ मिलता है,इसलिए $\alpha^2 = 9$।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x+10}{1} = \frac{y-8}{-2} = \frac{z}{1}$ है। रेखा पर स्थित बिंदु $(-10, 8, 0)$ है और दिशा अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
चूंकि समतल $ax + by + 3z = 2(a+b)$ बिंदु $(-10, 8, 0)$ को समाहित करता है,इसलिए $a(-10) + b(8) + 3(0) = 2a + 2b$,जो सरल होकर $-10a + 8b = 2a + 2b$ अर्थात $6b = 12a$ या $b = 2a$ देता है।
समतल का अभिलंब $(a, b, 3)$ रेखा की दिशा $(1, -2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य है: $a(1) + b(-2) + 3(1) = 0$,अतः $a - 2b + 3 = 0$ है।
$b = 2a$ को $a - 2b + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$a - 2(2a) + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 1$ और $b = 2$ मिलता है।
समतल का समीकरण $x + 2y + 3z = 6$ या $x + 2y + 3z - 6 = 0$ है।
बिंदु $(1, 27, 7)$ से समतल की दूरी $c = \frac{|1(1) + 2(27) + 3(7) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 54 + 21 - 6|}{\sqrt{14}} = \frac{70}{\sqrt{14}} = 5\sqrt{14}$ है।
अतः,$c^2 = 25 \times 14 = 350$ है।
अंत में,$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 + 350 = 1 + 4 + 350 = 355$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह $\mathbb{N}$ पर कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(n) = cn$ है।
चूंकि $f(1) = \frac{1}{5}$,इसलिए $c(1) = \frac{1}{5}$,अतः $f(n) = \frac{n}{5}$ है।
अब,योग में $f(n) = \frac{n}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{n=1}^m \frac{n/5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$.
अतः,योग $\frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$ हो जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$\frac{1}{5} \left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}) \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m+2} \right)$.
चूंकि योग $\frac{1}{12}$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{1}{5} \left( \frac{m+2-2}{2(m+2)} \right) = \frac{1}{12} \implies \frac{m}{10(m+2)} = \frac{1}{12}$ है।
$12m = 10m + 20 \implies 2m = 20 \implies m = 10$.

(C) स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\vec{OA} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{OB} = \lambda \vec{a} - 3 \vec{b} + 4 \vec{c}$
$\vec{OC} = -\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}$
$\vec{OD} = 2 \vec{a} - 4 \vec{b} + 6 \vec{c}$
अब,सदिश $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\lambda - 1)\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{a} - 3\vec{b} + 5\vec{c}$
चूंकि $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \lambda - 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\lambda - 1)(15 - 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$(\lambda - 1)(3) + 2(-6) + 3(3) = 0$
$3\lambda - 3 - 12 + 9 = 0$
$3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y) - 1$ है।
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ और $y = 0$ रखें:
$f(0 + 0) = f(0) + f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 2f(0) - 1 \Rightarrow f(0) = 1$.
अब,अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
दिए गए संबंध $f(x + h) = f(x) + f(h) - 1$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) - 1 - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - 1}{h}$.
चूंकि $f(0) = 1$,हम $1 = f(0)$ लिख सकते हैं:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0)$.
दिया गया है कि $f'(0) = 2$,इसलिए $f'(x) = 2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = 2x + C$.
$f(0) = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2(0) + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = 2x + 1$.
अब,$f(-2)$ की गणना करें:
$f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
इसलिए,$|f(-2)| = |-3| = 3$.

(B) दी गई रेखाएं $\frac{x-1}{2}=\frac{y+8}{-7}=\frac{z-4}{5}$ और $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{-3}$ हैं।
पहली रेखा के लिए, बिंदु $\vec{a} = \hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}$ और दिशा सदिश $\vec{p} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
दूसरी रेखा के लिए, बिंदु $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और दिशा सदिश $\vec{q} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{p} \times \vec{q}$ इस प्रकार है:
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = 16\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16\sqrt{3}$ है।
सदिश $(\vec{a} - \vec{b}) = (1-1)\hat{i} + (-8-2)\hat{j} + (4-6)\hat{k} = -10\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \left| \frac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right|$ है।
$d = \left| \frac{(-10\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{16\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{16(0 - 10 - 2)}{16\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-12}{\sqrt{3}} \right| = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

(A) दिया गया है $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$.
इसे $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$.
अतः $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,इसलिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}$.
दिया गया है $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,इसलिए $(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
डॉट गुणन की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (7)(1) + (-3)(0) + (4)(2) = 7 + 0 + 8 = 15$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(2) = 1 + 0 + 2 = 3$.
इस प्रकार,$15 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -5$.
अब,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} - 5\overrightarrow{b} = (7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 8\hat{j} - \hat{k}$.
अंत में,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{c} = (2\hat{i} - 8\hat{j} - \hat{k}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) = (2)(7) + (-8)(-3) + (-1)(4) = 14 + 24 - 4 = 34$.

(B) माना $P(w_1) = \lambda$ है। तब $P(w_2) = \frac{\lambda}{2}, P(w_3) = \frac{\lambda}{4}, \ldots, P(w_n) = \frac{\lambda}{2^{n-1}}$ होगा।
चूँकि $\sum_{k=1}^{\infty} P(w_k) = 1$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda}{2^{k-1}} = 1$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\lambda}{1 - 1/2} = 1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(w_n) = \frac{1}{2^n}$ है।
समुच्चय $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$ है। चूँकि $k, \ell \geq 1$,सबसे छोटे मान इस प्रकार हैं:
$k=1, \ell=1$ के लिए $n=5$ है।
$k=2, \ell=1$ के लिए $n=7$ है।
$k=1, \ell=2$ के लिए $n=8$ है।
$k=3, \ell=1$ के लिए $n=9$ है।
$k=2, \ell=2$ के लिए $n=10$ है।
यह दिखाया जा सकता है कि $A = \mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3, 4, 6\}$ है।
इसलिए,$P(B) = 1 - [P(w_1) + P(w_2) + P(w_3) + P(w_4) + P(w_6)]$ होगा।
$P(B) = 1 - [\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6}] = 1 - [\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}]$ है।
$P(B) = 1 - [\frac{32 + 16 + 8 + 4 + 1}{64}] = 1 - \frac{61}{64} = \frac{3}{64}$।

(C) माना $I = \int \limits_1^2 \left(\frac{t^4+1}{t^6+1}\right) dt$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{t^4+1}{t^6+1} = \frac{(t^4-t^2+1) + t^2}{(t^2+1)(t^4-t^2+1)} = \frac{1}{t^2+1} + \frac{t^2}{t^6+1}$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \int \limits_1^2 \frac{1}{t^2+1} dt + \int \limits_1^2 \frac{t^2}{(t^3)^2+1} dt$.
दूसरे समाकलन के लिए,$u = t^3$ लें,तो $du = 3t^2 dt$,इसलिए $t^2 dt = \frac{1}{3} du$.
$I = [\tan^{-1}(t)]_1^2 + \frac{1}{3} [\tan^{-1}(t^3)]_1^2$.
सीमाओं का मूल्यांकन करने पर:
$I = (\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + \frac{1}{3} (\tan^{-1}(8) - \tan^{-1}(1))$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$:
$I = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{4\pi}{12}$.
$I = \tan^{-1}(2) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(8) - \frac{\pi}{3}$.

(A) दिया गया है $f^{\prime \prime}(x) - g^{\prime \prime}(x) = 6x$. एक बार समाकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) = 3x^2 + C_1$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1) - g^{\prime}(1) = 4 - 3 = 1$. अतः,$3(1)^2 + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = -2$.
इसलिए,$f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) = 3x^2 - 2$.
पुनः समाकलन करने पर,$f(x) - g(x) = x^3 - 2x + C_2$.
$x=2$ पर,$f(2) - g(2) = 12 - 4 = 8$. अतः,$(2)^3 - 2(2) + C_2 = 8 \Rightarrow 8 - 4 + C_2 = 8 \Rightarrow C_2 = 4$.
इसलिए,$f(x) - g(x) = x^3 - 2x + 4$.
विकल्प $A$ की जाँच करें: $g(-2) - f(-2) = -((-2)^3 - 2(-2) + 4) = -(-8 + 4 + 4) = 0$. अतः,$g(-2)-f(-2)=20$ असत्य कथन है।

(D) एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य न हो। मान लीजिए $A$ दिया गया आव्यूह है।
$|A| = \left|\begin{array}{ccc}e^t & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) & e^{-t}(-2 \sin t-\cos t) \\ e^t & e^{-t}(2 \sin t+\cos t) & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) \\ e^t & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ से $e^t$ और $C_2, C_3$ से $e^{-t}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}1 & \sin t -2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$|A| = e^{-t} \left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin t - 3\cos t & -3\sin t - 2\cos t \\ 0 & 2\sin t & -2\cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{array}\right|$
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = e^{-t} \cdot 1 \cdot [(-\sin t - 3\cos t)(-2\cos t) - (2\sin t)(-3\sin t - 2\cos t)]$
$|A| = e^{-t} [2\sin t \cos t + 6\cos^2 t + 6\sin^2 t + 4\sin t \cos t] = 6e^{-t}$.
चूँकि $6e^{-t} \neq 0$ सभी $t \in R$ के लिए,अतः आव्यूह सभी $t \in R$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(D) दिया गया क्षेत्र $|\cos x - \sin x| \leq y \leq \sin x$ है,जहाँ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ है।
सबसे पहले,$\cos x - \sin x = \sin x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$\Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}$.
माना $\psi = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ है। तब $\tan \psi = \frac{1}{2}$,$\sin \psi = \frac{1}{\sqrt{5}}$,और $\cos \psi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
क्षेत्रफल $\int_{\psi}^{\pi/2} (\sin x - |\cos x - \sin x|) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
हम समाकलन को $x = \frac{\pi}{4}$ पर विभाजित करते हैं:
$Area = \int_{\psi}^{\pi/4} (\sin x - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - (\sin x - \cos x)) dx$
$= \int_{\psi}^{\pi/4} (2\sin x - \cos x) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx$
$= [-2\cos x - \sin x]_{\psi}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$= (-2\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-2\cos \psi - \sin \psi) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$= -\frac{3}{\sqrt{2}} + 2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{5} - 2\sqrt{2} + 1$.

(A) दिए गए बिंदु $A(a, -2, 4)$ और $B(2, b, -3)$ हैं।
बिंदु $C$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक:
$C = \left( \frac{2(2) + 1(a)}{2+1}, \frac{2(b) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-3) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{a+4}{3}, \frac{2b-2}{3}, \frac{-2}{3} \right)$.
चूंकि $C$ समतल $2x - y + z = 4$ पर स्थित है:
$2\left( \frac{a+4}{3} \right) - \left( \frac{2b-2}{3} \right) + \left( \frac{-2}{3} \right) = 4$
$2a + 8 - 2b + 2 - 2 = 12 \Rightarrow 2a - 2b = 4 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = b + 2$.
मूल बिंदु से दूरी $OC = \sqrt{5}$ है,इसलिए $OC^2 = 5$:
$\left( \frac{a+4}{3} \right)^2 + \left( \frac{2b-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{-2}{3} \right)^2 = 5$
$(b+2+4)^2 + (2b-2)^2 + 4 = 45$
$(b+6)^2 + (2b-2)^2 = 41$
$5b^2 + 4b - 1 = 0 \Rightarrow (5b - 1)(b + 1) = 0$.
अतः,$b = -1$ या $b = 1/5$। यदि $ab < 0$ है,तो $b = -1$ लेने पर $a = 1$ प्राप्त होता है,जो शर्त को संतुष्ट करता है। $b = 1/5$ लेने पर $ab > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1, b = -1$.
$C = \left( \frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
$P = (1 - (-1), -1, 2(-1) - 1) = (2, -1, -3)$.
$CP^2 = \left( 2 - \frac{5}{3} \right)^2 + \left( -1 - (-\frac{4}{3}) \right)^2 + \left( -3 - (-\frac{2}{3}) \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{49}{9} = \frac{51}{9} = \frac{17}{3}$.

(A) दिया गया है $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-0) - \hat{j}(20-0) + \hat{k}(-16-9) = 15 \hat{i} - 20 \hat{j} - 25 \hat{k}$ की गणना करें।
मान लीजिए $\vec{c} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$।
$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + 25 = 0$ से,हमें $15x - 20y - 25z = -25$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x - 4y - 5z = -5$ हो जाता है।
$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ से,हमें $x + y + z = 4$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $1$ होने के कारण,$\frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 1 \Rightarrow \frac{4x + 3y}{5} = 1 \Rightarrow 4x + 3y = 5$।
समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$1) 3x - 4y - 5z = -5$
$2) x + y + z = 4 \Rightarrow 5x + 5y + 5z = 20$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $8x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - 8x$।
$4x + 3y = 5$ में मान रखने पर: $4x + 3(15 - 8x) = 5 \Rightarrow 4x + 45 - 24x = 5 \Rightarrow -20x = -40 \Rightarrow x = 2$।
तब $y = 15 - 8(2) = -1$,और $z = 4 - 2 - (-1) = 3$।
अतः,$\vec{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$।
$\vec{c}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2)(3) + (-1)(-4) + (3)(5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{6 + 4 + 15}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{25}{\sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।

(B) माना पहली रेखा $L_1$ पर बिंदु $(\lambda+1, 2\lambda+2, \lambda-3)$ है।
माना दूसरी रेखा $L_2$ पर बिंदु $(2\mu+a, 3\mu-2, \mu+3)$ है।
चूंकि रेखाएँ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए निर्देशांक समान होने चाहिए:
$1) \lambda+1 = 2\mu+a$
$2) 2\lambda+2 = 3\mu-2 \Rightarrow 2\lambda = 3\mu-4$
$3) \lambda-3 = \mu+3 \Rightarrow \lambda = \mu+6$
दूसरे समीकरण में $\lambda = \mu+6$ रखने पर:
$2(\mu+6) = 3\mu-4 \Rightarrow 2\mu+12 = 3\mu-4 \Rightarrow \mu = 16$.
अतः $\lambda = 16+6 = 22$.
अब पहले समीकरण का उपयोग करके $a$ ज्ञात करें:
$22+1 = 2(16)+a \Rightarrow 23 = 32+a \Rightarrow a = -9$.
बिंदु $P$ का मान $(23, 46, 19)$ है।
बिंदु $P(23, 46, 19)$ की समतल $z = -9$ से दूरी $|z_P - (-9)| = |19 + 9| = 28$ है।

(D) माना $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1/2, t = 2$ और जब $x = 2, t = 1/2$.
$I = \int \limits_2^{1 / 2} \frac{\tan ^{-1}(1/t)}{1/t} \cdot (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1}(1/t)}{t} dt$.
चूंकि $t > 0$ के लिए $\tan^{-1}(1/t) = \cot^{-1} t$,इसलिए $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} t}{t} dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{x} dx$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{x} dx = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\pi / 2}{x} dx$.
$2I = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2}^2 = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - \ln(1/2)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - (-\ln 2)) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2) = \pi \ln 2$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2} \ln 2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ है।
$x \ln x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \ln x = \int x \ln x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
अतः,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
चूँकि $y(2) = 2$ दिया गया है,$2 \ln 2 = \frac{4}{2} \ln 2 - \frac{4}{4} + C \Rightarrow 2 \ln 2 = 2 \ln 2 - 1 + C \Rightarrow C = 1$.
इस प्रकार,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 1$.
$x = e$ के लिए,$y \ln e = \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{e^2}{4} + 1$.
चूँकि $\ln e = 1$,$y(e) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2 + 4}{4}$.

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$2a + 3a = 5a$,जो $5$ का एक गुणज है। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $a R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $a R b$,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $2a + 3b = 5k$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $b R a$ सत्य है,अर्थात क्या $2b + 3a$,$5$ का गुणज है।
ध्यान दें कि $(2a + 3b) + (2b + 3a) = 5a + 5b = 5(a + b)$ है।
चूंकि $2a + 3b = 5k$,इसलिए $2b + 3a = 5(a + b) - 5k = 5(a + b - k)$ है।
चूंकि $a, b, k$ पूर्णांक हैं,$5(a + b - k)$ $5$ का एक गुणज है। अतः,$b R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a R b$ और $b R c$ है।
तो कुछ पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए $2a + 3b = 5k_1$ और $2b + 3c = 5k_2$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $a R c$ सत्य है,अर्थात क्या $2a + 3c$,$5$ का गुणज है।
$2a + 3b = 5k_1$ से,$2a = 5k_1 - 3b$ है।
$2b + 3c = 5k_2$ से,$3c = 5k_2 - 2b$ है।
इन दोनों को जोड़ने पर,$2a + 3c = 5k_1 + 5k_2 - 5b = 5(k_1 + k_2 - b)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k_1, k_2, b$ पूर्णांक हैं,$2a + 3c$ $5$ का एक गुणज है। अतः,$a R c$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) $x \geq 2$ के लिए दिया गया है,योग $S_x = \sum_{k=1}^{x} k f(k) = x(x+1) f(x)$.
$x+1$ के लिए,$S_{x+1} = S_x + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
समीकरण में $S_x = x(x+1) f(x)$ रखने पर:
$x(x+1) f(x) + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
$(x+1)$ से भाग देने पर (चूंकि $x \geq 2$):
$x f(x) + f(x+1) = (x+2) f(x+1)$.
$x f(x) = (x+1) f(x+1)$.
यह दर्शाता है कि $n \geq 2$ के लिए $n f(n)$ एक स्थिरांक है।
$x=2$ के लिए,$f(1) + 2 f(2) = 2(3) f(2) \Rightarrow 1 + 2 f(2) = 6 f(2) \Rightarrow 4 f(2) = 1 \Rightarrow f(2) = \frac{1}{4}$.
अतः,सभी $n \geq 2$ के लिए $n f(n) = 2 f(2) = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$n \geq 2$ के लिए $f(n) = \frac{1}{2n}$.
अतः,$f(2022) = \frac{1}{2 \times 2022} = \frac{1}{4044}$ और $f(2028) = \frac{1}{2 \times 2028} = \frac{1}{4056}$.
अंत में,$\frac{1}{f(2022)} + \frac{1}{f(2028)} = 4044 + 4056 = 8100$.

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{x-a}{(x+b)(x-2)}$ है।
चूँकि बिंदु $(1, -3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $-3 = \frac{1-a}{(1+b)(1-2)}$.
$-3 = \frac{1-a}{-(1+b)} \implies 3(1+b) = 1-a \implies 1-a = 3+3b \implies a+3b = -2$ $(1)$.
अभिलंब का समीकरण $x - 4y = 13$ है,जिसे $y = \frac{1}{4}x - \frac{13}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अभिलंब की ढाल $m_n = \frac{1}{4}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_n} = -4$ होगी।
अब,$y = \frac{x-a}{x^2 + (b-2)x - 2b}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + (b-2)x - 2b)(1) - (x-a)(2x + b-2)}{(x^2 + (b-2)x - 2b)^2}$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -4 = \frac{(1+b-2-2b) - (1-a)(2+b-2)}{(1+b-2-2b)^2} = \frac{-1-b - (1-a)b}{(-1-b)^2}$.
चूँकि $1-a = 3(1+b)$,मान रखने पर: $-4 = \frac{-(1+b) - 3(1+b)b}{(1+b)^2} = \frac{-(1+b)(1+3b)}{(1+b)^2} = \frac{-(1+3b)}{1+b}$.
$-4(1+b) = -1-3b \implies -4-4b = -1-3b \implies b = -3$.
$b = -3$ को $(1)$ में रखने पर: $a + 3(-3) = -2 \implies a - 9 = -2 \implies a = 7$.
अतः,$a+b = 7 + (-3) = 4$.

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ क्योंकि यह एक सममित आव्यूह है।
दिया गया है $|A| = ac - b^2 = 2$।
आव्यूह समीकरण $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$2a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - 2a$
$2b + c = 2 \Rightarrow c = 2 - 2b = 2 - 2(1 - 2a) = 4a$
$ac - b^2 = 2$ में $b$ और $c$ का मान रखने पर:
$a(4a) - (1 - 2a)^2 = 2$
$4a^2 - (1 - 4a + 4a^2) = 2$
$4a^2 - 1 + 4a - 4a^2 = 2$
$4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$
तब $b = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ और $c = 4(\frac{3}{4}) = 3$।
अब,$\alpha$ और $\beta$ की गणना करें:
$\alpha = 3a + \frac{3}{2}b = 3(\frac{3}{4}) + \frac{3}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\beta = 3b + \frac{3}{2}c = 3(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}(3) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} = 3$
विकर्ण तत्वों का योग $s = a + c = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$।
अंत में,$\frac{\beta s}{\alpha^2} = \frac{3 \times \frac{15}{4}}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{\frac{45}{4}}{\frac{9}{4}} = 5$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,जहाँ $d = |A| = mq - np \neq 0$ है।
$A$ का एड्जॉइंट $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है $|A - d(\operatorname{adj} A)| = 0$ है।
मैट्रिक्स को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix} - d \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n + nd \\ p + pd & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$|\begin{bmatrix} m - qd & n(1+d) \\ p(1+d) & q - md \end{bmatrix}| = 0$
$(m - qd)(q - md) - np(1+d)^2 = 0$
$mq - m^2d - q^2d + mqd^2 - np(1+d)^2 = 0$
$(mq - np) + d^2(mq - np) - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
चूँकि $d = mq - np$,हमारे पास है:
$d + d^3 - d(m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$d$ से विभाजित करने पर (चूँकि $d \neq 0$):
$1 + d^2 - (m^2 + q^2 + 2np) = 0$
$1 + d^2 = m^2 + q^2 + 2np$
चूँकि $(m+q)^2 = m^2 + q^2 + 2mq$,हम लिख सकते हैं $m^2 + q^2 = (m+q)^2 - 2mq$।
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2mq + 2np$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2(mq - np)$
$1 + d^2 = (m+q)^2 - 2d$
$1 + 2d + d^2 = (m+q)^2$
$(1+d)^2 = (m+q)^2$।