JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है $\omega = z \bar{z} + k_1 z + k_2 i z + \lambda(1 + i)$. मान लीजिए $z = x + iy$.
तब $\omega = (x^2 + y^2) + k_1(x + iy) + k_2 i(x + iy) + \lambda + i\lambda = (x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda) + i(k_1 y + k_2 x + \lambda)$.
$\operatorname{Re}(\omega) = x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$.
वृत्त $C$ की त्रिज्या $1$ है,यह प्रथम चतुर्थांश में $y = 1$ और $y$-अक्ष $(x = 0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(1, 1)$ है।
$x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$ की तुलना $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$ से करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $k_1 = -2, k_2 = 2, \lambda = 1$.
$\operatorname{Im}(\omega) = k_1 y + k_2 x + \lambda = -2y + 2x + 1 = 0$,या $2x - 2y + 1 = 0$.
केंद्र $(1, 1)$ से रेखा $2x - 2y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(1) - 2(1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1^2 - \frac{1}{8}} = 2\sqrt{\frac{7}{8}} = 2\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ है।
$(AB)^2 = \frac{7}{2} = 3.5$.
$30(AB)^2 = 30 \times 3.5 = 105$.

(C) दी गई श्रेणी $2^2-3^2+4^2-5^2+6^2-\ldots$ के $20$ पद हैं।
इसे दो श्रेणियों के योग के रूप में लिखा जा सकता है: $S = (2^2+4^2+6^2+\ldots \text{ } 10 \text{ पदों तक}) - (3^2+5^2+7^2+\ldots \text{ } 10 \text{ पदों तक})$.
$S = \sum_{n=1}^{10} (2n)^2 - \sum_{n=1}^{10} (2n+1)^2$.
$S = \sum_{n=1}^{10} [ (2n)^2 - (2n+1)^2 ]$.
सर्वसमिका $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{n=1}^{10} (2n - 2n - 1)(2n + 2n + 1) = \sum_{n=1}^{10} (-1)(4n+1)$.
$S = -[ 4 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 1 ]$.
$S = -[ 4 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 ]$.
$S = -[ 220 + 10 ] = -230$.

(C) मान लीजिए कि सात अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं,जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 12$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 1$,जहाँ $y_i \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
$x_i = y_i + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + \dots + (y_7 + 1) = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 5$ हो जाता है।
इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+7-1}{7-1} = \binom{11}{6} = 462$ है।
हालाँकि,हमें $x_i \le 4$ की शर्त को पूरा करना होगा,जिसका अर्थ है $y_i \le 3$।
हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करके उन मामलों को घटाएंगे जहाँ कम से कम एक $y_i \ge 4$ है।
यदि एक $y_i \ge 4$ है,तो $y_i = z_i + 4$ लें। तब $z_i + 4 + \sum_{j \neq i} y_j = 5$,अर्थात $z_i + \sum_{j \neq i} y_j = 1$।
एक निश्चित $i$ के लिए हलों की संख्या $\binom{1+7-1}{7-1} = \binom{7}{6} = 7$ है।
चूँकि $i$ के लिए $7$ विकल्प हैं,हम $7 \times 7 = 49$ घटाएंगे।
अतः,कुल मान्य पूर्णांक संख्याएँ $462 - 49 = 413$ हैं।

(C) अतिपरवलय $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{25 - 16m^2}$ है।
बिंदु $P(4, 1)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा के लिए,$1 = 4m \pm \sqrt{25 - 16m^2}$।
इसे हल करने पर,$4m^2 - m - 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $m_1 = 1$ और $m_2 = -3/4$ हैं।
बिंदु $Q$ के लिए ढाल $|m_1| = 1$ और $|m_2| = 3/4$ हैं।
धनात्मक $x$-अंतःखंड के लिए स्पर्श रेखाएं $y = x - 3$ और $y = \frac{3}{4}x - 4$ हैं,जहाँ $\alpha = 16/3$ और $\beta = 3$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(-4, -7)$ है।
$PQ^2 = (4 - (-4))^2 + (1 - (-7))^2 = 128$।
अतः,$\frac{PQ^2}{\alpha \beta} = \frac{128}{16} = 8$।

(C) दिया गया माध्य $\bar{x} = 5$ है। आवृत्तियों का योग $\sum f_i = 4 + 24 + 28 + \alpha + 8 = 64 + \alpha$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{1(4) + 3(24) + 5(28) + 7(\alpha) + 9(8)}{64 + \alpha} = 5$ है।
$\frac{4 + 72 + 140 + 7\alpha + 72}{64 + \alpha} = 5 \Rightarrow 288 + 7\alpha = 320 + 5\alpha \Rightarrow 2\alpha = 32 \Rightarrow \alpha = 16$ है।
कुल आवृत्ति $N = 64 + 16 = 80$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{4|1-5| + 24|3-5| + 28|5-5| + 16|7-5| + 8|9-5|}{80} = \frac{128}{80} = 1.6$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{4(1-5)^2 + 24(3-5)^2 + 28(5-5)^2 + 16(7-5)^2 + 8(9-5)^2}{80} = \frac{352}{80} = 4.4$ है।
अतः,$\frac{3\alpha}{m + \sigma^2} = \frac{3(16)}{1.6 + 4.4} = \frac{48}{6} = 8$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-\sqrt{2} x+2=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-8}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{6}}{2}$ प्राप्त होता है।
मूलों को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $\alpha = \sqrt{2} e^{i\pi/3}$ और $\beta = \sqrt{2} e^{-i\pi/3}$।
अब,$\alpha^{14} + \beta^{14}$ की गणना करने पर:
$\alpha^{14} = 128 e^{i2\pi/3}$ और $\beta^{14} = 128 e^{-i2\pi/3}$।
$\alpha^{14} + \beta^{14} = 128 (e^{i2\pi/3} + e^{-i2\pi/3}) = 256 \cos(2\pi/3)$।
चूंकि $\cos(2\pi/3) = -1/2$,इसलिए $\alpha^{14} + \beta^{14} = 256 \times (-1/2) = -128$।

(D) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $a_6 + a_8 = 2 \implies ar^5 + ar^7 = 2 \implies ar^5(1 + r^2) = 2$।
दिया है $a_3 \times a_5 = \frac{1}{9} \implies (ar^2)(ar^4) = \frac{1}{9} \implies a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies ar^3 = \frac{1}{3}$ (चूंकि $a, r > 0$)।
पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करने पर: $\frac{ar^5(1 + r^2)}{ar^3} = \frac{2}{1/3} \implies r^2(1 + r^2) = 6 \implies r^4 + r^2 - 6 = 0$।
मान लीजिए $x = r^2$,तो $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0$। चूंकि $r^2 > 0$,इसलिए $r^2 = 2$।
तब $a(2)^{3/2} = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$।
हमें $6(a_2 + a_4)(a_4 + a_6) = 6(ar + ar^3)(ar^3 + ar^5) = 6(ar(1 + r^2))(ar^3(1 + r^2)) = 6a^2r^4(1 + r^2)^2$ का मान निकालना है।
$a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies a^2r^4 = \frac{1}{9r^2} = \frac{1}{18}$ रखने पर।
व्यंजक $= 6 \times \frac{1}{18} \times (1 + 2)^2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$।

(B) चरण $1$: रेखाओं के युग्मों को हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें।
$15x - y = 82$ और $6x - 5y = -4$ को हल करने पर: $A = (6, 8)$.
$6x - 5y = -4$ और $9x + 4y = 17$ को हल करने पर: $B = (1, 2)$.
$15x - y = 82$ और $9x + 4y = 17$ को हल करने पर: $C = (5, -7)$.
चरण $2$: केंद्रक $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करें।
$\alpha = \frac{6 + 1 + 5}{3} = 4$
$\beta = \frac{8 + 2 - 7}{3} = 1$
चरण $3$: द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें।
मूल $\alpha + 2\beta = 6$ और $2\alpha - \beta = 7$ हैं।
चरण $4$: समीकरण बनाएं।
समीकरण $(x - 6)(x - 7) = 0$ है,जो $x^2 - 13x + 42 = 0$ है।

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a x}-\cos (b x)-\frac{c x e^{-c x}}{2}}{1-\cos (2 x)}=17$.
$x \to 0$ के लिए $e^{ax}$,$\cos(bx)$,$e^{-cx}$ और $1 - \cos(2x)$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + ax + \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2}) - \frac{cx}{2}(1 - cx)}{2x^2} = 17$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a - \frac{c}{2})x + x^2(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2})}{2x^2} = 17$
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$a - \frac{c}{2} = 0 \implies c = 2a$
$c = 2a$ को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{(2a)^2}{2}}{2} = 17$
$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2}{4} = 17$
$5a^2 + b^2 = 68$

(A) केंद्र $(\alpha, \beta)$ अभिलंब रेखा $4x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $4\alpha + 3\beta = 1$,जिससे $\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(\alpha, \beta)$ से दो स्पर्श रेखाओं $3x + 4y - 24 = 0$ और $3x - 4y - 32 = 0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$r = \left| \frac{3\alpha + 4\beta - 24}{5} \right| = \left| \frac{3\alpha - 4\beta - 32}{5} \right|$.
$\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \left| \frac{3\alpha + 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 24}{5} \right| = \left| \frac{-7\alpha - 68}{15} \right|$.
$r = \left| \frac{3\alpha - 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 32}{5} \right| = \left| \frac{25\alpha - 100}{15} \right| = \left| \frac{5(\alpha - 4)}{3} \right|$.
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$|-7\alpha - 68| = |25\alpha - 100|$.
स्थिति $1$: $-7\alpha - 68 = 25\alpha - 100$ $\Rightarrow 32 = 32\alpha$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
तब $\beta = -1$ और त्रिज्या $r = 5$ है। चूँकि $r < 8$,यह मान्य है।
स्थिति $2$: $-7\alpha - 68 = -(25\alpha - 100) \Rightarrow \alpha = \frac{28}{3}$.
तब $r = \frac{80}{9} \approx 8.88$ है। चूँकि $r > 8$,यह अमान्य है।
अतः,$\alpha = 1, \beta = -1, r = 5$.
$\alpha - \beta + r = 1 - (-1) + 5 = 7$.

(A) $MONDAY$ शब्द के अक्षर $A, D, M, N, O, Y$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, D, M, N, O, Y$.
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$.
$D$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$.
$MA$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$.
$MD$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$.
$MN$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$.
$MOA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$.
$MOD$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$.
$MONA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$.
अगला शब्द $MONDAY$ है: $1$.
कुल क्रम = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 327$.

(A) दिया गया व्यंजक: $(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$
$(\sim p)$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (q \vee (\sim q)))$
चूंकि $(q \vee (\sim q)) = t$ (पुनरुक्ति):
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge t)$
$(p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$
वितरण नियम $(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C))$ का उपयोग करने पर:
$((\sim p) \vee p) \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
चूंकि $((\sim p) \vee p) = t$:
$t \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
$= (\sim p) \vee (\sim q)$

(B) मान लीजिए $z = x + iy$, जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\bar{z} = x - iy$ और $\operatorname{Re}(\bar{z}) = x$ होगा।
दिया गया समीकरण: $x - iy = i(x^2 - y^2 + 2ixy + x) = i(x^2 - y^2 + x) - 2xy$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = -2xy \implies x(1 + 2y) = 0$
$-y = x^2 - y^2 + x$
स्थिति $1$: $x = 0$। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-y = -y^2 \implies y^2 - y = 0 \implies y(y - 1) = 0$। अतः $y = 0$ या $y = 1$ है।
हल: $z_1 = 0 + 0i = 0$, $z_2 = 0 + i = i$ है।
स्थिति $2$: $y = -\frac{1}{2}$। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} = x^2 - \frac{1}{4} + x \implies x^2 + x - \frac{3}{4} = 0 \implies 4x^2 + 4x - 3 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(2x - 1)(2x + 3) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ या $x = -\frac{3}{2}$ है।
हल: $z_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$, $z_4 = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$ है।
प्रत्येक के लिए $|z|^2$ की गणना करने पर:
$|z_1|^2 = 0$, $|z_2|^2 = 1^2 = 1$, $|z_3|^2 = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$, $|z_4|^2 = (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ है।
योग $= 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 1 + 3 = 4$ है।

(B) दिया गया है $n = 10$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 12$.
अंकों का योग $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 50 = 500$.
सही योग $\sum x_{i, \text{correct}} = 500 - 45 - 50 + 20 + 25 = 450$.
सही माध्य $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{450}{10} = 45$.
प्रसरण $\sigma^2 = 144$,इसलिए $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 144$.
$\sum x_i^2 = 10 \times (144 + 50^2) = 10 \times (144 + 2500) = 26440$.
वर्गों का सही योग $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 26440 - 45^2 - 50^2 + 20^2 + 25^2 = 26440 - 2025 - 2500 + 400 + 625 = 22940$.
सही प्रसरण $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{22940}{10} - (45)^2 = 2294 - 2025 = 269$.

(B) एक संख्या $6$ से विभाज्य है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हो।
संख्या को $2$ से विभाज्य होना चाहिए,इसलिए इकाई का अंक $2$ या $4$ होना चाहिए।
संख्या को $3$ से विभाज्य होना चाहिए,इसलिए इसके अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई का अंक $2$ है। पहले दो अंकों का योग $3k - 2$ होना चाहिए।
इकाई का अंक $2$ वाली संख्याएँ: $132, 312, 222, 252, 522, 342, 432, 552$। (कुल $8$ संख्याएँ)।
स्थिति $2$: इकाई का अंक $4$ है। पहले दो अंकों का योग $3k - 4$ होना चाहिए।
इकाई का अंक $4$ वाली संख्याएँ: $114, 144, 414, 234, 324, 444, 534, 354$। (कुल $8$ संख्याएँ)।
कुल संख्याएँ = $8 + 8 = 16$।

(B) हमें $S = \sum_{n=1}^{120} [\sqrt{n}]$ की गणना करनी है।
किसी पूर्णांक $k$ के लिए,$[\sqrt{n}] = k$ तब होता है जब $k^2 \leq n < (k+1)^2$ हो।
ऐसे पूर्णांकों $n$ की संख्या $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$ है।
यहाँ $k=1, 2, \ldots, 10$ के लिए,$n$ का मान $1$ से $120$ तक है क्योंकि $10^2 = 100$ और $11^2 = 121$ है।
$k=1, 2, \ldots, 9$ के लिए,पदों की संख्या $2k+1$ है।
$k=10$ के लिए,सीमा $100 \leq n \leq 120$ है,जो $120 - 100 + 1 = 21$ पद देती है।
योग $S = \sum_{k=1}^{9} k(2k+1) + 10(21)$ है।
$S = \sum_{k=1}^{9} (2k^2 + k) + 210$.
$S = 2 \times \frac{9(10)(19)}{6} + \frac{9(10)}{2} + 210$.
$S = 570 + 45 + 210 = 825$.

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$,इसलिए $ae = 2$। $e = \frac{3}{2}$ के साथ,हमें $a = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$B^2 = A^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करते हुए,$B^2 = \frac{16}{9}(\frac{9}{4} - 1) = \frac{16}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{9}$।
रेखा $2x + 3y = 6$ की ढाल $-\frac{2}{3}$ है। इस रेखा के लंबवत स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{3}{2}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{A^2m^2 - B^2}$ है।
$y = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{4} - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{4 - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \frac{4}{3}$।
चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,हम अंतःखंड के लिए ऋणात्मक चिह्न चुनते हैं: $y = \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}$।
$x$-अंतःखंड $a$ के लिए,$y=0$ रखें: $0 = \frac{3}{2}a - \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{8}{9}$।
$y$-अंतःखंड $b$ के लिए,$x=0$ रखें: $b = -\frac{4}{3}$।
अतः,$|6a| + |5b| = |6(\frac{8}{9})| + |5(-\frac{4}{3})| = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12$।

(B) हमें $7^{103} \pmod{17}$ का शेषफल ज्ञात करना है।
फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार,यदि $p$ अभाज्य है और $p \nmid a$,तो $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ होता है।
यहाँ,$p=17$ और $a=7$ है,इसलिए $7^{16} \equiv 1 \pmod{17}$।
अब,$103 = 16 \times 6 + 7$ है।
अतः,$7^{103} = (7^{16})^6 \times 7^7 \equiv 1^6 \times 7^7 \pmod{17}$।
$7^2 = 49 \equiv 15 \equiv -2 \pmod{17}$।
$7^4 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{17}$।
$7^6 \equiv 4 \times (-2) = -8 \equiv 9 \pmod{17}$।
$7^7 = 7^6 \times 7 \equiv 9 \times 7 = 63 \pmod{17}$।
चूँकि $63 = 17 \times 3 + 12$ है,इसलिए $63 \equiv 12 \pmod{17}$।
अतः,शेषफल $12$ है।

(A) तीन अंकों की एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
माना अंक $d_1, d_2, d_3 \in \{1, 3, 5, 8\}$ हैं।
योग $S = d_1 + d_2 + d_3$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
अंकों को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल: $1 \equiv 1, 3 \equiv 0, 5 \equiv 2, 8 \equiv 2$ है।
इस प्रकार,ऐसी कुल $22$ संख्याएँ संभव हैं।

(B) दिया गया है $n = 10$,$\text{माध्य} (\bar{x}) = 20$,और $\text{मानक विचलन} (\sigma) = 2$.
सबसे पहले,प्रेक्षणों का योग ज्ञात करें: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 20 = 200$.
संशोधित प्रेक्षणों का योग: $\sum x_{i, \text{new}} = 200 - 50 + 40 = 190$.
संशोधित माध्य: $\bar{x}_{\text{new}} = \frac{190}{10} = 19$.
प्रसरण के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:
$2^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 20^2 \implies 4 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 400 \implies \sum x_i^2 = 4040$.
संशोधित वर्गों का योग: $\sum x_{i, \text{new}}^2 = 4040 - 50^2 + 40^2 = 4040 - 2500 + 1600 = 3140$.
संशोधित प्रसरण: $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{new}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{new}})^2 = \frac{3140}{10} - 19^2 = 314 - 361 = 13$ (गणना के अनुसार)।

(B) हम $x$ के विभिन्न अंतरालों पर विचार करके समीकरण $x|x| - 5|x + 2| + 6 = 0$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: $x \ge 0$.
समीकरण $x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ बन जाता है,जो $x^2 - 5x - 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल $x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$ हैं।
चूंकि $x \ge 0$,हम $x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$ स्वीकार करते हैं। ($1$ मूल)
स्थिति $2$: $-2 \le x < 0$.
समीकरण $-x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ बन जाता है,जो $x^2 + 5x + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x + 1)(x + 4) = 0$ मिलता है,इसलिए $x = -1$ या $x = -4$ है।
चूंकि $-2 \le x < 0$,हम $x = -1$ स्वीकार करते हैं। ($1$ मूल)
स्थिति $3$: $x < -2$.
समीकरण $-x^2 - 5(-(x + 2)) + 6 = 0$ बन जाता है,जो $x^2 - 5x - 16 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल $x = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}$ हैं।
चूंकि $x < -2$,हम $x = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$ स्वीकार करते हैं। ($1$ मूल)
कुल वास्तविक मूलों की संख्या $1 + 1 + 1 = 3$ है।

(B) दिया गया है $(a + bx + cx^2)^{10} = \sum_{i=0}^{20} p_i x^i$.
$x^1$ का गुणांक $p_1 = 10 \times a^9 \times b = 20$ है।
अतः,$a^9 b = 2$। चूँकि $a, b \in N$ है,इसलिए $a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
$x^2$ का गुणांक $p_2 = \binom{10}{1} a^9 c + \binom{10}{2} a^8 b^2 = 210$ है।
$a = 1$ और $b = 2$ रखने पर:
$10(1)^9 c + 45(1)^8 (2)^2 = 210$.
$10c + 45(4) = 210$.
$10c + 180 = 210$.
$10c = 30$,इसलिए $c = 3$।
अंत में,$2(a + b + c) = 2(1 + 2 + 3) = 2(6) = 12$।

(B) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$A_1, A_2$ समांतर माध्य हैं,इसलिए $a, A_1, A_2, b$ समांतर श्रेणी में हैं।
सार्व अंतर $d = \frac{b-a}{3}$.
$A_1 = \frac{2a+b}{3}$ और $A_2 = \frac{a+2b}{3}$.
अतः,$A_1 + A_2 = a + b$.
$G_1, G_2, G_3$ गुणोत्तर माध्य हैं,इसलिए $a, G_1, G_2, G_3, b$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
सार्व अनुपात $r = (b/a)^{1/4}$.
$G_1^4 = a^3b$,$G_2^4 = a^2b^2$,$G_3^4 = ab^3$.
$G_1^2 G_3^2 = a^2b^2$.
योग $= a^3b + a^2b^2 + ab^3 + a^2b^2 = ab(a+b)^2$.
चूंकि $G_1 G_3 = ab$,इसलिए व्यंजक $(A_1 + A_2)^2 G_1 G_3$ के बराबर है।

(D) माना $z = 3 + iy$,तो $\bar{z} = 3 - iy$.
व्यंजक में $z$ और $\bar{z}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$z - \bar{z} + z\bar{z} = (3 + iy) - (3 - iy) + (3 + iy)(3 - iy) = 2iy + (9 + y^2)$.
हर: $2 - 3(3 + iy) + 5(3 - iy) = 2 - 9 - 3iy + 15 - 5iy = 8 - 8iy = 8(1 - iy)$.
माना $w = \frac{9 + y^2 + 2iy}{8(1 - iy)}$.
$\operatorname{Re}(w)$ ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को $(1 + iy)$ से गुणा करने पर:
$w = \frac{(9 + y^2 + 2iy)(1 + iy)}{8(1 - iy)(1 + iy)} = \frac{9 + y^2 + i(9y + y^3) + 2iy - 2y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{9 - y^2 + i(11y + y^3)}{8(1 + y^2)}$.
$\operatorname{Re}(w) = \frac{9 - y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{1}{8} \left( \frac{10 - (1 + y^2)}{1 + y^2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{10}{1 + y^2} - 1 \right)$.
चूंकि $1 + y^2 \in [1, \infty)$,इसलिए $\frac{1}{1 + y^2} \in (0, 1]$.
अतः,$\frac{10}{1 + y^2} \in (0, 10]$,और $\frac{10}{1 + y^2} - 1 \in (-1, 9]$.
इसलिए,$\operatorname{Re}(w) \in \left( -\frac{1}{8}, \frac{9}{8} \right]$.
यहाँ $\alpha = -\frac{1}{8}$ और $\beta = \frac{9}{8}$.
$24(\beta - \alpha) = 24 \left( \frac{9}{8} - (-\frac{1}{8}) \right) = 24 \left( \frac{10}{8} \right) = 30$.

(A) प्रथम वृत्त $x^2+y^2-18x-15y+131=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (9, 7.5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{9^2 + 7.5^2 - 131} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-6x-6y-7=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - (-7)} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(9-3)^2 + (7.5-3)^2} = \sqrt{6^2 + 4.5^2} = \sqrt{56.25} = 7.5 = \frac{15}{2}$ है।
चूँकि $r_1 + r_2 = 2.5 + 5 = 7.5$,इसलिए $d = r_1 + r_2$ है।
अतः वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
इसलिए,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ है।

(D) हमें कथन $S = p \wedge (q \wedge \sim(p \wedge q))$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim S = \sim p \vee (\sim q \vee (p \wedge q))$।
वितरण नियम के अनुसार,$\sim q \vee (p \wedge q) = (\sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee q) = \sim q \vee p$।
अतः,$\sim S = \sim p \vee \sim q \vee p = T$ (पुनरुक्ति)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $D$ सबसे निकटतम तार्किक उत्तर है।

(B) माना $A = (3, -7)$,$B = (-1, 2)$,और $C = (4, 5)$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{5 - 2}{4 - (-1)} = \frac{3}{5}$ है।
$A$ से $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $BC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{5}{3}$ है।
$A$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - (-7) = -\frac{5}{3}(x - 3)$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 3y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
$AC$ की ढाल $= \frac{5 - (-7)}{4 - 3} = 12$ है।
$B$ से $AC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $AC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{12}$ है।
$B$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{12}(x - (-1))$ है,जिसे सरल करने पर $x + 12y = 23$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\alpha = -\frac{47}{19}$ और $\beta = \frac{121}{57}$ प्राप्त होता है।
$9\alpha - 6\beta + 60 = 9(-\frac{47}{19}) - 6(\frac{121}{57}) + 60 = -35 + 60 = 25$।

(C) माना $X$ पासे पर प्राप्त संख्या है। $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
यदि $X=k$ है,तो $6$ सफेद गेंदों में से $k$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $\binom{6}{k}$ हैं,और $10$ गेंदों में से $k$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $\binom{10}{k}$ हैं।
$X=k$ दिए जाने पर $k$ सफेद गेंदें चुनने की प्रायिकता $P(W|X=k) = \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$ है।
कुल प्रायिकता $P(W) = \sum_{k=1}^{6} P(X=k) \times P(W|X=k) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \frac{\binom{6}{k}}{\binom{10}{k}}$.
गणना करने पर: $\frac{1}{6} \left( \frac{6}{10} + \frac{15}{45} + \frac{20}{120} + \frac{15}{210} + \frac{6}{252} + \frac{1}{210} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{126+70+35+15+5+1}{210} \right) = \frac{1}{6} \times \frac{252}{210} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.

(A) दी गई श्रेणी का योग $P = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{2}$ है।
अतः $\alpha = 1$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
$\alpha + 3\beta = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$.

(A) माना कि $4-$अंकीय कोड $d_1 d_2 d_3 d_4$ है। सभी अंक भिन्न हैं,$d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$,और $\max(d_i) = 7$ है। साथ ही,$d_1 + d_2 = d_3 + d_4 = \alpha$ है।
हम योग $\alpha$ के आधार पर मामलों का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $I$: $\alpha = 7$ है। अंकों $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ का उपयोग करके $7$ योग देने वाले जोड़े $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4)$ हैं।
कुल प्रयासों की संख्या $24 + 16 + 16 + 8 + 8 = 72$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $4b^2 = a$ (समीकरण $1$)।
लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $(1, b)$ और $(1, -b)$ हैं,और नाभियाँ $(1 \pm ae, 0)$ हैं। लघु अक्ष द्वारा नाभि पर अंतरित कोण $60^{\circ}$ है।
नाभि $(1+ae, 0)$ और लघु अक्ष के अंतिम बिंदुओं $(1, b)$ और $(1, -b)$ द्वारा बने त्रिभुज को देखते हुए,नाभि पर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए आधा कोण $30^{\circ}$ है।
अतः,$\tan(30^{\circ}) = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $ae = b\sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 3b^2$। चूँकि $a^2e^2 = a^2 - b^2$,इसलिए $a^2 - b^2 = 3b^2$,यानी $a^2 = 4b^2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$b^2 = \frac{a}{4}$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर,$a^2 = 4(\frac{a}{4}) = a$।
चूँकि $a > 0$,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है। तब $b^2 = \frac{1}{4}$,यानी $b = \frac{1}{2}$।
मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 2(1) = 2$ है,और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$ है।
लंबाइयों के योग का वर्ग $(2a + 2b)^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$ है।

(A) हमें $n \in \mathbb{N}$ ज्ञात करना है ताकि $10 \leq n \leq 100$ और $3^n - 3 \equiv 0 \pmod{7}$ हो।
यह $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ के बराबर है।
$n=1$ के लिए,$3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$।
$n=2$ के लिए,$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$।
$n=3$ के लिए,$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$।
$n=4$ के लिए,$3^4 = 81 \equiv 4 \pmod{7}$।
$n=5$ के लिए,$3^5 = 243 \equiv 5 \pmod{7}$।
$n=6$ के लिए,$3^6 = 729 \equiv 1 \pmod{7}$।
$3 \pmod{7}$ की घातें $6$ के चक्र में दोहराती हैं: $(3, 2, 6, 4, 5, 1)$।
हमें $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ चाहिए,जो तब होता है जब $n \equiv 1 \pmod{6}$ हो।
अतः,$n$ को किसी पूर्णांक $k$ के लिए $6k + 1$ के रूप में होना चाहिए।
हमारे पास $10 \leq 6k + 1 \leq 100$ है।
$9 \leq 6k \leq 99$।
$1.5 \leq k \leq 16.5$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{2, 3, 4, \dots, 16\}$।
मानों की संख्या $16 - 2 + 1 = 15$ है।

(A) माना शीर्ष $A(2,1)$,$B(0,0)$ और $C(t,4)$ हैं,जहाँ $t \in [0,4]$ है। परिमाप $P(t) = AB + BC + AC$ है। चूँकि $AB = \sqrt{5}$ स्थिर है,हमें $f(t) = BC + AC = \sqrt{t^2 + 16} + \sqrt{(t-2)^2 + 9}$ का अधिकतम/न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
न्यूनतम मान के लिए,$B(0,0)$ का रेखा $y=4$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $B'(0,8)$ लें। न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $A, C, B'$ संरेख हों। रेखा $AB'$ का समीकरण $y = -\frac{7}{2}x + 8$ है। $y=4$ रखने पर,$t = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta = \frac{8}{7}$ है।
अधिकतम मान के लिए,अंतराल $[0,4]$ के अंत बिंदुओं की जाँच करने पर,$f(4)$ पर अधिकतम मान प्राप्त होता है। अतः,$\alpha = 4$ है।
इस प्रकार,$6\alpha + 21\beta = 6(4) + 21(\frac{8}{7}) = 24 + 24 = 48$।

(C) $\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ का सामान्य पद $T_{r+1} = { }^5 C_r (2 x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3 x^2})^r$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $T_{r+1} = { }^5 C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$।
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$15 - 5r = 5$ रखने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
$r = 2$ रखने पर,गुणांक $= { }^5 C_2 (2)^3 (-\frac{1}{3})^2 = 10 \times 8 \times \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$।

(B) दिया गया है कि $\alpha(m, n) = \int_0^2 t^m(1+3t)^n dt$ है।
हमें $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन $I = \int_0^2 t^{10}(1+3t)^6 dt$ पर विचार करें।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1+3t)^6$ और $dv = t^{10} dt$ लें।
तब $du = 6(1+3t)^5 \cdot 3 dt = 18(1+3t)^5 dt$ और $v = \frac{t^{11}}{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha(10, 6) = \left[ \frac{t^{11}}{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - \int_0^2 \frac{t^{11}}{11} \cdot 18(1+3t)^5 dt$ है।
दोनों पक्षों को $11$ से गुणा करने पर:
$11\alpha(10, 6) = \left[ t^{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - 18 \int_0^2 t^{11}(1+3t)^5 dt$ है।
$11\alpha(10, 6) = 2^{11}(1+3(2))^6 - 0 - 18\alpha(11, 5)$ है।
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^{11}(7)^6$ है।
$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 7^6 = 32 \cdot (2 \cdot 7)^6 = 32(14)^6$ है।
इसकी तुलना $p(14)^6$ से करने पर,हमें $p = 32$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $l$ का दिशा सदिश $l_1$ और $l_2$ के दिशा सदिशों के लंबवत है। मान लीजिए $\vec{v}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है। $l$ की दिशा $\vec{v} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ है। चूँकि $l$ मूल बिंदु से गुजरती है,इसका समीकरण $\vec{r} = \gamma(-4\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k})$ है।
बिंदु $P$ ($l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन) के लिए: $-4\gamma = 1 + \lambda$,$5\gamma = -11 + 2\lambda$,$-2\gamma = -7 + 3\lambda$। इन समीकरणों को हल करने पर $\gamma = -1$ प्राप्त होता है,अतः $P = (4, -5, 2)$ है।
रेखा $l_2$ पर बिंदु $Q$ के लिए,$Q = (-1 + 2\mu, 2\mu, 1 + \mu)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (-5 + 2\mu, 5 + 2\mu, -1 + \mu)$ है। चूँकि $\vec{PQ} \perp \vec{v}_2$,इसलिए $\vec{PQ} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$,जो हमें $2(-5 + 2\mu) + 2(5 + 2\mu) + 1(-1 + \mu) = 0 \implies 9\mu = 1 \implies \mu = 1/9$ देता है।
अतः,$Q = (-7/9, 2/9, 10/9)$ है।
तब $9(\alpha + \beta + \gamma) = 9(-7/9 + 2/9 + 10/9) = 9(5/9) = 5$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} a+2 & 2c & 3 \\ 3 & a+3c & 2a \\ ac & 1 & 2+3c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A$ की तुलना करने पर,$(1,1)$ अवयव के लिए: $2ac + 3 = 0 \implies ac = -\frac{3}{2}$.
$(1,2)$ अवयव के लिए: $a + 2 + 3c = 1 \implies a + 3c = -1$.
$c = -\frac{3}{2a}$ को $a + 3c = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 3(-\frac{3}{2a}) = -1 \implies a - \frac{9}{2a} = -1 \implies 2a^2 + 2a - 9 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{2}$.
चूंकि $a > 0$,हम $a = \frac{\sqrt{19} - 1}{2}$ लेते हैं।
चूंकि $4 < \sqrt{19} < 5$,इसलिए $3 < \sqrt{19} - 1 < 4$,अतः $1.5 < a < 2$.
इस प्रकार,$a \in (1, 2]$,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$ है।
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,हम $x=0$ रखकर इसे सरल बना सकते हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103(0)+81)$
विकर्ण आव्यूह का सारणिक ज्ञात करने पर:
$1 \times \lambda \times \lambda^2 = \frac{9}{8} \times 81$
$\lambda^3 = \frac{9^3}{2^3}$
$\lambda = \frac{9}{2}$.
अब,दूसरा मूल ज्ञात करें:
$\frac{\lambda}{3} = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण के मूल $\alpha = \frac{9}{2}$ और $\beta = \frac{3}{2}$ हैं।
समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x^2 - (\frac{9}{2} + \frac{3}{2})x + (\frac{9}{2} \times \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 - (\frac{12}{2})x + \frac{27}{4} = 0$
$x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर: $4x^2 - 24x + 27 = 0$.

(D) बिंदुओं $P(2, -1, 2)$ और $Q(5, 3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $R(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 2\lambda + 2)$ है।
चूंकि $R$ समतल $x - y + z = 4$ पर स्थित है,इसलिए $(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (2\lambda + 2) = 4$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda + 5 = 4 \implies \lambda = -1$।
अतः,$R = (-1, -5, 0)$।
हमें बिंदु $R(-1, -5, 0)$ की समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ से रेखा $\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{1}$ के समानांतर दूरी ज्ञात करनी है।
$R$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समानांतर रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 0}{1} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $T(2k - 1, 2k - 5, k)$ है।
चूंकि $T$ समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(2k - 1) + 2(2k - 5) + 3(k) + 2 = 0$।
$2k - 1 + 4k - 10 + 3k + 2 = 0 \implies 9k - 9 = 0 \implies k = 1$।
अतः,$T = (1, -3, 1)$।
दूरी $RT = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - (-5))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।

(C) $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ है,इसलिए $x - [x] = x$ होता है। $x \in [0, 1]$ के लिए $x^2 \le x$ होने के कारण,$\min \{x^2, x\} = x^2$ होता है। अतः $f(x) = e^{x^2}$।
$x \in [1, 2]$ के लिए,$x - \log_e x$ पर विचार करें। चूँकि $x \ge 1$,$\log_e x \ge 0$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$1 \le x - \log_e x < 2 - \log_e 2 \approx 1.307$ होता है। इसलिए $[x - \log_e x] = 1$। अतः $f(x) = e^1 = e$।
अब,समाकलन $\int_0^2 x f(x) dx = \int_0^1 x e^{x^2} dx + \int_1^2 x e dx$ है।
पहले भाग के लिए,$u = x^2$ लेने पर,$du = 2x dx$ मिलता है,इसलिए $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$।
दूसरे भाग के लिए,$\int_1^2 x e dx = e [\frac{x^2}{2}]_1^2 = e(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3e}{2}$।
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2}(e - 1) + \frac{3e}{2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3e}{2} = 2e - \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ और $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}{x^7}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{5}{x(x^5+1)} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
समाकलन को हल करने के लिए,अंश और हर को $x^{-6}$ से गुणा करें:
$I.F. = e^{\int \frac{5x^{-6}}{x^{-5}+1} dx}$.
मान लीजिए $t = x^{-5}+1$,तो $dt = -5x^{-6} dx$,इसलिए $-dt = 5x^{-6} dx$.
$I.F. = e^{\int \frac{-dt}{t}} = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{t} = \frac{1}{x^{-5}+1} = \frac{x^5}{x^5+1}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \int \frac{(x^5+1)^2}{x^7} \cdot \frac{x^5}{x^5+1} dx + C = \int \frac{x^5+1}{x^2} dx + C = \int (x^3 + x^{-2}) dx + C$.
$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + C$.
दिया गया है $y(1) = 2$,इसलिए $2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{4} - 1 + C \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4} + C \Rightarrow C = \frac{7}{4}$.
अतः,$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + \frac{7}{4}$.
$x=2$ के लिए,$y \cdot \frac{32}{33} = \frac{16}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = 4 - 0.5 + 1.75 = 5.25 = \frac{21}{4}$.
$y = \frac{21}{4} \cdot \frac{33}{32} = \frac{693}{128}$.

(D) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ स्थिति सदिश वाले चार बिंदु समतलीय हैं,इसलिए सदिश $(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}),$ और $(\vec{d}-\vec{a})$ समतलीय हैं।
अतः,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा: $[\vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}, \vec{d}-\vec{a}] = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$ प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,यह $[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] - [\vec{b} \vec{a} \vec{d}] - [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = 0$ में विस्तारित होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{d} \vec{a} \vec{c}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{a}]$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$.
प्रथम समाकल को $\frac{\pi}{4}$ पर विभाजित करें:
$I = \int \limits_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \int \limits_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$.
प्रथम समाकल में,गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करें:
$\int_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \sin(\frac{\pi}{4}-x) \, dx$.
द्वितीय समाकल में $x = \frac{\pi}{4} + t$ प्रतिस्थापन करने पर:
$\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2t) \sin(\frac{\pi}{4}+t) \, dt$.
इन दोनों को जोड़ने पर:
$\int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) [\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) + \alpha \cos x] \, dx = 0$.
सूत्र $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) = \sqrt{2} \cos x$.
अतः,$(\sqrt{2} + \alpha) \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$.
इस प्रकार,$\alpha = -\sqrt{2}$.

(A) दिए गए समीकरण:
$(i) 7x + 11y + \alpha z = 13$
$(ii) 5x + 4y + 7z = \beta$
$(iii) 175x + 194y + 57z = 361$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का रैखिक संयोजन होना चाहिए। मान लीजिए $(iii) = k_1(i) + k_2(ii)$.
$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$7k_1 + 5k_2 = 175$
$11k_1 + 4k_2 = 194$
इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर:
$28k_1 + 20k_2 = 700$
$55k_1 + 20k_2 = 970$
घटाने पर $27k_1 = 270$,अतः $k_1 = 10$.
$k_1 = 10$ को $7(10) + 5k_2 = 175$ में रखने पर,$5k_2 = 105$,अतः $k_2 = 21$.
अब,$z$ और अचर पद के लिए:
$10\alpha + 21(7) = 57 \implies 10\alpha + 147 = 57 \implies 10\alpha = -90 \implies \alpha = -9$.
$10(13) + 21\beta = 361 \implies 130 + 21\beta = 361 \implies 21\beta = 231 \implies \beta = 11$.
अतः,$\alpha + \beta + 2 = -9 + 11 + 2 = 4$.

(C) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - 3[x] - 10}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - 3[x] - 10 > 0$
माना $t = [x]$ है। तब $t^2 - 3t - 10 > 0$।
गुणनखंड करने पर: $(t - 5)(t + 2) > 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $t < -2$ या $t > 5$ हो।
चूँकि $t = [x]$ है,इसलिए $[x] < -2$ या $[x] > 5$।
यदि $[x] < -2$ है,तो $[x] \leq -3$,जिसका अर्थ है कि $x < -2$।
यदि $[x] > 5$ है,तो $[x] \geq 6$,जिसका अर्थ है कि $x \geq 6$।
अतः,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [6, \infty)$ है।

(B) समतल $P$ बिंदुओं $Q(5,3,0)$,$R(13,3,-2)$,और $S(1,6,2)$ से होकर गुजरता है।
समतल में सदिश $\vec{QR} = (8, 0, -2)$ और $\vec{QS} = (-4, 3, 2)$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{QR} \times \vec{QS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & 0 & -2 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 24\hat{k}$ है।
इसे $2$ से विभाजित करने पर,अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $3x - 4y + 12z = 3$ है।
बिंदु $A(3,4,\alpha)$ की समतल से दूरी $\frac{|3(3) - 4(4) + 12(\alpha) - 3|}{13} = 2$ है।
$|12\alpha - 10| = 26 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$ (चूंकि $\alpha \in N$ है)।
अब,बिंदु $B(2,3,a)$ की समतल से दूरी $\frac{|3(2) - 4(3) + 12(a) - 3|}{13} = 3$ है।
$|12a - 9| = 39 \implies 12a - 9 = 39 \implies 12a = 48 \implies a = 4$।

(B) संबंध $R$,समुच्चय $A \times B$ पर परिभाषित है। $A \times B$ में कुल अवयवों की संख्या $|A| \times |B| = 5 \times 5 = 25$ है।
$R$ का एक अवयव $A \times B$ से लिए गए अवयवों का एक क्रमित युग्म है,जैसे कि $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$,ताकि $a_1 \leq b_2$ और $b_1 \leq a_2$ हो।
मान लीजिए $S_1 = \{(a_1, b_2) \in A \times B : a_1 \leq b_2\}$।
$a_1 = 1$ के लिए,$b_2 \in \{2, 4, 5, 8, 10\}$ ($5$ विकल्प)।
$a_1 = 3$ के लिए,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ विकल्प)।
$a_1 = 4$ के लिए,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ विकल्प)।
$a_1 = 6$ के लिए,$b_2 \in \{8, 10\}$ ($2$ विकल्प)।
$a_1 = 9$ के लिए,$b_2 \in \{10\}$ ($1$ विकल्प)।
$a_1 \leq b_2$ के लिए कुल तरीके $5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 16$ हैं।
मान लीजिए $S_2 = \{(b_1, a_2) \in B \times A : b_1 \leq a_2\}$।
$b_1 = 2$ के लिए,$a_2 \in \{3, 4, 6, 9\}$ ($4$ विकल्प)।
$b_1 = 4$ के लिए,$a_2 \in \{4, 6, 9\}$ ($3$ विकल्प)।
$b_1 = 5$ के लिए,$a_2 \in \{6, 9\}$ ($2$ विकल्प)।
$b_1 = 8$ के लिए,$a_2 \in \{9\}$ ($1$ विकल्प)।
$b_1 = 10$ के लिए,$a_2 \in \emptyset$ ($0$ विकल्प)।
$b_1 \leq a_2$ के लिए कुल तरीके $4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$ हैं।
$R$ में अवयवों की संख्या प्रत्येक शर्त को पूरा करने के तरीकों का गुणनफल है: $16 \times 10 = 160$।

(B) सबसे पहले, हम $f(x)$ को $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 1-x, & 0 \leq x < 1 \\ x-1, & x \geq 1 \end{cases}$ के रूप में सरल करते हैं।
अब, हम $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करते हैं।
यदि $f(x) < 0$ है, तो $x+1 < 0 \implies x < -1$। इस स्थिति में, $g(f(x)) = f(x) + 1 = (x+1) + 1 = x+2$।
यदि $f(x) \geq 0$ है, तो $x \geq -1$। इस स्थिति में, $g(f(x)) = 1$।
अतः, $(g \circ f)(x) = \begin{cases} x+2, & x < -1 \\ 1, & x \geq -1 \end{cases}$।
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to -1^-} (x+2) = 1$ और $\lim_{x \to -1^+} (1) = 1$। चूँकि सीमाएँ $g(f(-1)) = 1$ के बराबर हैं, फलन हर जगह सतत है।
$x = -1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर: बाएँ पक्ष का अवकलज $\frac{d}{dx}(x+2) = 1$ है, और दाएँ पक्ष का अवकलज $\frac{d}{dx}(1) = 0$ है। चूँकि $1 \neq 0$, इसलिए यह $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) वक्र जहाँ $x$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 0$ रखते हैं।
$e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1 = 0$.
माना $t = e^{2x}$। चूँकि $x \in R$,इसलिए $t > 0$ होगा।
समीकरण $t^4 - t^3 - 3t^2 - t + 1 = 0$ बन जाता है।
$t^2$ से भाग देने पर $(t \neq 0)$:
$t^2 - t - 3 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$.
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) - (t + \frac{1}{t}) - 3 = 0$.
माना $u = t + \frac{1}{t}$। तब $u^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$,अतः $t^2 + \frac{1}{t^2} = u^2 - 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(u^2 - 2) - u - 3 = 0 \Rightarrow u^2 - u - 5 = 0$.
हल $u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $t > 0$,इसलिए $u = t + \frac{1}{t} \geq 2$ होगा।
हम $u$ के मानों की जाँच करते हैं:
$u_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \approx 2.79 > 2$.
$u_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \approx -1.79 < 2$.
$u_1 = t + \frac{1}{t}$ के लिए,समीकरण $t^2 - u_1 t + 1 = 0$ का विविक्तकर $D = u_1^2 - 4 > 0$ है,जो $t$ के दो भिन्न धनात्मक मान देता है।
$u_2 = t + \frac{1}{t}$ के लिए,समीकरण $t^2 - u_2 t + 1 = 0$ का विविक्तकर $D = u_2^2 - 4 < 0$ है,जो $t$ का कोई वास्तविक मान नहीं देता है।
चूँकि $t = e^{2x}$,प्रत्येक धनात्मक $t$ के लिए $x$ का एक वास्तविक मान प्राप्त होता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $2$ बिंदुओं पर काटता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ है।
समीकरण का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (5N)^2 - 4(64)(1) < 0$
$25N^2 - 256 < 0$
$N^2 < \frac{256}{25} \Rightarrow N < \frac{16}{5} = 3.2$.
चूँकि $N$ उछालों की संख्या है,$N$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $N \in \{1, 2, 3\}$।
चित आने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{4}$ है और पट (tail) आने की प्रायिकता $P(T) = \frac{3}{4}$ है।
$N$-वें उछाल पर पहला चित आने की प्रायिकता $P(N) = (\frac{3}{4})^{N-1} \times \frac{1}{4}$ है।
$N=1$ के लिए: $P(1) = \frac{1}{4}$।
$N=2$ के लिए: $P(2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$।
$N=3$ के लिए: $P(3) = (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$।
कुल प्रायिकता $P(N \in \{1, 2, 3\}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} = \frac{16 + 12 + 9}{64} = \frac{37}{64}$।
यहाँ,$p = 37$ और $q = 64$ है।
अतः,$q - p = 64 - 37 = 27$।

(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 1 + 2 - 3 = 0$,अतः $\vec{a} \perp \vec{b}$।
साथ ही,$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 27$। यह अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = 27$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम का उपयोग करते हुए $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$।
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{a} = 0$,इसलिए $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -\sqrt{3}|\vec{b}| = -\sqrt{3}(\sqrt{3}) = -3$।
अतः,$\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = -3\vec{a}$।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\vec{b}| |\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta = |-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{a} \times \vec{c}$ के बीच का कोण है।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$।
अतः,$\sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta = 3\sqrt{14}$।
साथ ही,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = |\vec{b}| |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = 27$।
$\sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = 27 \implies |\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$।
वर्ग करके जोड़ने पर: $(|\vec{a} \times \vec{c}| \sin \theta)^2 + (|\vec{a} \times \vec{c}| \cos \theta)^2 = (\frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{3}})^2 + (9\sqrt{3})^2$।
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = 3(14) + 81(3) = 42 + 243 = 285$।

(A) दी गई शर्त $f(1) + f(2) = f(4) - 1$ को $f(1) + f(2) + 1 = f(4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सह-प्रांत $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $f(4)$ का अधिकतम मान $6$ है।
अतः,$f(1) + f(2) + 1 \leq 6$,जिसका अर्थ है $f(1) + f(2) \leq 5$।
हम $f(1)$ और $f(2)$ के लिए संभावित मानों का विश्लेषण करते हैं जहाँ $f(1), f(2) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$:
स्थिति $(i)$: यदि $f(1) = 1$,तो $f(2) \in \{1, 2, 3, 4\}$,कुल $4$ जोड़े।
स्थिति $(ii)$: यदि $f(1) = 2$,तो $f(2) \in \{1, 2, 3\}$,कुल $3$ जोड़े।
स्थिति $(iii)$: यदि $f(1) = 3$,तो $f(2) \in \{1, 2\}$,कुल $2$ जोड़े।
स्थिति $(iv)$: यदि $f(1) = 4$,तो $f(2) = 1$,कुल $1$ जोड़ा।
$(f(1), f(2))$ के लिए कुल जोड़े $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,$f(4)$ का मान $f(1) + f(2) + 1$ के रूप में अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।
चूंकि $f(3)$ और $f(5)$ $B$ से कोई भी मान ले सकते हैं ($6$ तत्व),इसलिए $f(3)$ और $f(5)$ को चुनने के $6 \times 6 = 36$ तरीके हैं।
फलनों की कुल संख्या $= 10 \times 6 \times 6 = 360$।

(A) रेखा $\ell$ को $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $\ell$ के दिक अनुपात $(1, 2, \lambda)$ हैं।
समतल $P: x + 2y + 3z = 4$ के अभिलंब सदिश के दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ $\vec{v} = (1, 2, \lambda)$ है।
दिया गया है $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
$\frac{|1(1) + 2(2) + 3(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \Rightarrow |5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2) \Rightarrow 25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2 \Rightarrow 30\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(t, 2t + 1, \frac{2}{3}t + 3)$ है। चूंकि यह समतल $x + 2y + 3z = 4$ पर स्थित है:
$t + 2(2t + 1) + 3(\frac{2}{3}t + 3) = 4 \Rightarrow t + 4t + 2 + 2t + 9 = 4 \Rightarrow 7t = -7 \Rightarrow t = -1$।
बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (-1, -1, \frac{7}{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta + 6\gamma = -1 + 2(-1) + 6(\frac{7}{3}) = -1 - 2 + 14 = 11$।

(A) वक्र $y = 2x^2 + 1$ है। बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 4x$. $x = 1$ पर ढाल $4$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = 4(x - 1)$ अर्थात $y = 4x - 1$ है।
स्पर्श रेखा $y = 4x - 1$ और रेखा $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y$ का मान रखने पर: $x + (4x - 1) = 1 \implies 5x = 2 \implies x = 2/5$. अतः $y = 3/5$. प्रतिच्छेदन बिंदु $S$ $(2/5, 3/5)$ है।
क्षेत्रफल $A$ वक्र $y = 2x^2 + 1$,स्पर्श रेखा $y = 4x - 1$ और रेखा $y = 1 - x$ द्वारा घिरा हुआ है। यह क्षेत्र $x = 0$ से $x = 1$ के बीच है।
$A = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + 1 - (1 - x)) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 + 1 - (4x - 1)) dx = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + x) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 - 4x + 2) dx$.
$= [\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2}]_{0}^{2/5} + [\frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 2x]_{2/5}^{1} = \frac{4}{15}$.
$60A = 60 \times \frac{4}{15} = 16$.

(C) रेखा $l_2$ दो समतलों के प्रतिच्छेदन से बनी है: $3x+2y+z-2=0$ और $x-3y+2z-13=0$। $l_2$ का दिशा सदिश $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
चूंकि रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ समतलीय हैं,इसलिए रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा। $\alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $\alpha = 7$ प्राप्त होता है।
अब,$l_1$ है $\frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$। अतः,$l_1$ पर कोई भी बिंदु $P(3\lambda-5, \lambda-4, -2\lambda+7)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3\lambda-5 - (-4), \lambda-4 - (-3), -2\lambda+7 - 2) = (3\lambda-1, \lambda-1, -2\lambda+5)$ है।
चूंकि $PQ \perp l_1$,इसलिए $\vec{PQ}$ और $l_1$ के दिशा सदिश $(3, 1, -2)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda-1) + 1(\lambda-1) - 2(-2\lambda+5) = 0 \Rightarrow 9\lambda - 3 + \lambda - 1 + 4\lambda - 10 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$।
$\lambda=1$ रखने पर,हमें $P(-2, -3, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,$|a|+|b|+|c| = |-2| + |-3| + |5| = 2+3+5 = 10$।

(A) चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ का उपयोग करने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) + (1-a)(1-b) = 0$
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (ध्यान दें कि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$
चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(C) माना $y=\left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)^{\sin ^2 x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin^2 x \cdot \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) + \sin^2 x \cdot \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{2} \cdot (-\csc x \cot x)$.
अवकलन को सरल करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cos x \left[ 2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) - 1 \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2 \ln \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \sin x}\right) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln \left(\frac{3 e}{4 \sin^2 x}\right) = 1$.
अतः,$\frac{3 e}{4 \sin^2 x} = e$,जिससे $\sin^2 x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
स्थानीय अधिकतम मान $f(x) = \left(\frac{\sqrt{3 e}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{3/4} = (\sqrt{e})^{3/4} = e^{3/8}$ है।
दिया गया है कि $e^{3/8} = \frac{k}{e}$,इसलिए $k = e^{1 + 3/8} = e^{11/8}$.
अतः $k^8 = (e^{11/8})^8 = e^{11}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{k}{e}\right)^8 + \frac{k^8}{e^5} + k^8 = (e^{3/8})^8 + \frac{e^{11}}{e^5} + e^{11} = e^3 + e^6 + e^{11}$.

(B) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$\sin^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए और लघुगणक का आधार धनात्मक और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$\frac{6+2 \log_3 x}{-5x} > 0$ और $x > 0, x \neq \frac{1}{3}$. चूँकि $x > 0$,हमें $6+2 \log_3 x < 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $\log_3 x < -3$,जिसका अर्थ है $x < 3^{-3} = \frac{1}{27}$. अतः,$x \in (0, \frac{1}{27})$.
इसके बाद,$-1 \leq \log_{3x} \left(\frac{6+2 \log_3 x}{-5x}\right) \leq 1$. चूँकि $x < \frac{1}{27}$,$3x < \frac{1}{9} < 1$,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका उलट जाएगी: $(3x)^1 \leq \frac{6+2 \log_3 x}{-5x} \leq (3x)^{-1}$.
$15x^2 + 6 + 2 \log_3 x \geq 0$ और $6 + 2 \log_3 x + \frac{5}{3} \geq 0$ को हल करने पर $x \in [3^{-23/6}, \frac{1}{27})$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $D = [3^{-23/6}, \frac{1}{27})$.
चूँकि $3^{-23/6} < x < \frac{1}{27}$,इसलिए $[x] = 0$,अतः $g(x) = x$. परिसर $(\alpha, \beta) = (3^{-23/6}, \frac{1}{27})$ है।
तब $\alpha = 3^{-23/6}$ और $\beta = \frac{1}{27}$.
$\alpha^2 + \frac{5}{\beta} = (3^{-23/6})^2 + 5(27) = 3^{-23/3} + 135$. चूँकि $3^{-23/3}$ बहुत छोटा मान है,इसलिए उत्तर लगभग $135$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.
$(1+x^2) dx$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}{1+x^2}y^2$.
यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = -\frac{1}{1+x^2}y^2$.
$y^2$ से भाग देने पर: $y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y^{-1} = -\frac{1}{1+x^2}$.
मान लीजिए $t = y^{-1}$,तो $\frac{dt}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{dt}{dx} - \frac{x}{1+x^2}t = -\frac{1}{1+x^2} \implies \frac{dt}{dx} + \frac{x}{1+x^2}t = \frac{1}{1+x^2}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{x}{1+x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.
हल $t \cdot \sqrt{1+x^2} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.
चूंकि $t = \frac{1}{y}$,हमारे पास $\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$ है।
$y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{1}}{1} = \ln(0+1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C=1$.
अतः,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + 1 = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \ln e = \ln(e(x + \sqrt{1+x^2}))$.
$x = 2\sqrt{2}$ के लिए,$y = \beta$: $\frac{\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}}{\beta} = \ln(e(2\sqrt{2} + \sqrt{1+8})) = \ln(e(2\sqrt{2} + 3))$.
$\frac{3}{\beta} = \ln(e(3+2\sqrt{2})) \implies e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$.

(B) दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \times \vec{c} = \vec{0}$ है।
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,यह समीकरण $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(\vec{a} + \vec{b})$ के समांतर है। मान लीजिए $\vec{c} = \alpha(\vec{a} + \vec{b})$ किसी अदिश $\alpha$ के लिए।
$\vec{a} + \vec{b} = (\lambda + 3)\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{c} = \alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}$ है।
दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -20 \Rightarrow (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -20$ है।
$3\alpha(\lambda + 3) + 2\alpha = -20 \Rightarrow \alpha(3\lambda + 11) = -20$ है।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = -17 \Rightarrow (\lambda\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -17$ है।
$\alpha\lambda(\lambda + 3) - \alpha = -17 \Rightarrow \alpha(\lambda^2 + 3\lambda - 1) = -17$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3\lambda + 11}{\lambda^2 + 3\lambda - 1} = \frac{20}{17}$ प्राप्त होता है।
$17(3\lambda + 11) = 20(\lambda^2 + 3\lambda - 1) \Rightarrow 51\lambda + 187 = 20\lambda^2 + 60\lambda - 20$ है।
$20\lambda^2 + 9\lambda - 207 = 0$ है। $\lambda \in \mathbb{Z}$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 3$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 3$ को $\alpha(3(3) + 11) = -20$ में रखने पर,$20\alpha = -20 \Rightarrow \alpha = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\vec{c} = -1(6\hat{i} + \hat{k}) = -6\hat{i} - \hat{k}$ है।
हमें $|\vec{c} \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|^2$ का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{c} \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-6\hat{i} - \hat{k}) \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
$|\vec{v}|^2 = 1^2 + 3^2 + (-6)^2 = 1 + 9 + 36 = 46$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^3$ है। अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है।
बिंदु $(-1, -1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = 3(-1)^2 = 3$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-1) = 3(x - (-1))$ है,जो सरल होकर $y = 3x + 2$ हो जाता है।
वक्र $y = x^3$ और स्पर्शरेखा $y = 3x + 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^3 = 3x + 2$ रखते हैं,जिससे $x^3 - 3x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x + 1)^2(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{2} ((3x + 2) - x^3) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = [\frac{3x^2}{2} + 2x - \frac{x^4}{4}]_{-1}^{2}$.
$A = (\frac{3(4)}{2} + 2(2) - \frac{16}{4}) - (\frac{3(1)}{2} + 2(-1) - \frac{1}{4})$.
$A = (6 + 4 - 4) - (\frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{4}) = 6 - (\frac{6 - 8 - 1}{4}) = 6 - (-\frac{3}{4}) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

(A) मान लीजिए $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $CD = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ है।
चूँकि $B = CAD$ है,इसलिए $B^n = (CAD)(CAD)...(CAD) = CA^n D$ होगा।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत से $A^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,$B^n = C A^n D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ होगा।
$B^n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{n}{51} + 2 \\ -1 & -\frac{n}{51} - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{n}{51} + 1 & \frac{n}{51} \\ -\frac{n}{51} & 1 - \frac{n}{51} \end{bmatrix}$ होगा।
$n=1$ से $50$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} \sum_{n=1}^{50} (\frac{n}{51} + 1) & \sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} \\ \sum_{n=1}^{50} (-\frac{n}{51}) & \sum_{n=1}^{50} (1 - \frac{n}{51}) \end{bmatrix}$ होगा।
$\sum_{n=1}^{50} n = \frac{50 \times 51}{2} = 1275$ का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{50} \frac{n}{51} = \frac{1275}{51} = 25$ प्राप्त होता है।
$\sum_{n=1}^{50} B^n = \begin{bmatrix} 25 + 50 & 25 \\ -25 & 50 - 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 75 & 25 \\ -25 & 25 \end{bmatrix}$ होगा।
सभी अवयवों का योग $75 + 25 - 25 + 25 = 100$ है।

(D) समतल $P_1: 4x - y + z - 10 = 0$ और $P_2: x + y - z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(4x - y + z - 10) + \lambda(x + y - z - 4) = 0$ है,जो सरल होकर $(4 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (1 - \lambda)z - (10 + 4\lambda) = 0$ हो जाता है।
मूल समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (4, -1, 1)$ है और नए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = (4 + \lambda, -1 + \lambda, 1 - \lambda)$ है।
चूंकि समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं,अतः $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$4(4 + \lambda) - 1(-1 + \lambda) + 1(1 - \lambda) = 0 \Rightarrow 16 + 4\lambda + 1 - \lambda + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + 18 = 0 \Rightarrow \lambda = -9$.
$\lambda = -9$ को परिवार के समीकरण में रखने पर: $(4 - 9)x + (-1 - 9)y + (1 - (-9))z - (10 + 4(-9)) = 0 \Rightarrow -5x - 10y + 10z + 26 = 0$,या $5x + 10y - 10z - 26 = 0$.
बिंदु $(2, 3, -4)$ की इस समतल से दूरी $\alpha = \frac{|5(2) + 10(3) - 10(-4) - 26|}{\sqrt{5^2 + 10^2 + (-10)^2}} = \frac{|10 + 30 + 40 - 26|}{\sqrt{25 + 100 + 100}} = \frac{54}{\sqrt{225}} = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}$ है।
अतः,$35\alpha = 35 \times \frac{18}{5} = 7 \times 18 = 126$.

(D) मान लीजिए $X$ आवश्यक उछालों की संख्या है। एक उछाल में $n$ से छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{n-1}{n}$ है।
एक उछाल में संख्या $n$ प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{n}$ है।
यादृच्छिक चर $X$ एक ज्यामितीय वितरण का पालन करता है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{n-1}{n}$ है।
ज्यामितीय वितरण का माध्य $E[X] = \frac{1}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि माध्य $\frac{n}{9}$ है,इसलिए $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$।
$p = \frac{n-1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{(n-1)/n} = \frac{n}{9}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ हो जाता है।
चूंकि $n > 1$,हम दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n - 1 = 9$,जिसका अर्थ है कि $n = 10$।

(D) फलन $f(x) = |[x]| + \sqrt{x - [x]}$ के रूप में परिभाषित है।
अंतराल $(-2, 1)$ में असंततता के बिंदुओं की जाँच करते हैं। $[x]$ फलन सभी पूर्णांकों पर असतत होता है। दिए गए अंतराल में पूर्णांक $-1$ और $0$ हैं।
स्थिति $1$: $x = -1$ पर:
$f(-1) = |[-1]| + \sqrt{-1 - [-1]} = |-1| + \sqrt{0} = 1$.
$f(-1^+) = \lim_{h \to 0^+} (|[ -1 + h ]| + \sqrt{-1 + h - [-1 + h]}) = |-1| + \sqrt{0} = 1$.
$f(-1^-) = \lim_{h \to 0^+} (|[ -1 - h ]| + \sqrt{-1 - h - [-1 - h]}) = |-2| + \sqrt{-1 - h - (-2)} = 2 + \sqrt{1 - h} = 2 + 1 = 3$.
चूँकि $f(-1^+) \neq f(-1^-)$,फलन $x = -1$ पर असतत है।
स्थिति $2$: $x = 0$ पर:
$f(0) = |[0]| + \sqrt{0 - [0]} = 0 + 0 = 0$.
$f(0^+) = \lim_{h \to 0^+} (|[ 0 + h ]| + \sqrt{0 + h - [0 + h]}) = |0| + \sqrt{0} = 0$.
$f(0^-) = \lim_{h \to 0^+} (|[ 0 - h ]| + \sqrt{0 - h - [0 - h]}) = |-1| + \sqrt{-h - (-1)} = 1 + \sqrt{1 - h} = 1 + 1 = 2$.
चूँकि $f(0^+) \neq f(0^-)$,फलन $x = 0$ पर असतत है।
अतः,फलन $x = -1$ और $x = 0$ पर असतत है। बिंदुओं की कुल संख्या $2$ है।

(D) समतल का समीकरण $x+3y-2z+6=0$ है। दो निर्देशांकों को शून्य रखने पर,हमें अंतःखंड प्राप्त होते हैं:
$A(-6, 0, 0)$,$B(0, -2, 0)$,$C(0, 0, 3)$.
माना $H(\alpha, \beta, \frac{6}{7})$ लंबकेंद्र है।
चूंकि $H$ समतल $ABC$ पर स्थित है,$\alpha + 3\beta - 2(\frac{6}{7}) + 6 = 0 \implies \alpha + 3\beta = -6 + \frac{12}{7} = -\frac{30}{7}$.
साथ ही,$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
$\overrightarrow{AH} = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7}-0) = (\alpha+6, \beta, \frac{6}{7})$.
$\overrightarrow{BC} = (0, 2, 3)$.
$(\alpha+6)(0) + \beta(2) + \frac{6}{7}(3) = 0 \implies 2\beta + \frac{18}{7} = 0 \implies \beta = -\frac{9}{7}$.
$\beta$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर: $\alpha + 3(-\frac{9}{7}) = -\frac{30}{7} \implies \alpha - \frac{27}{7} = -\frac{30}{7} \implies \alpha = -\frac{3}{7}$.
अब,$98(\alpha+\beta)^2 = 98(-\frac{3}{7} - \frac{9}{7})^2 = 98(-\frac{12}{7})^2 = 98 \times \frac{144}{49} = 2 \times 144 = 288$.

(D) मान लीजिए $I(x) = \int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \, dx$ है।
$x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन $\int \sqrt{\frac{t^2+7}{t^2}} \cdot 2t \, dt = 2 \int \sqrt{t^2+7} \, dt$ हो जाता है।
सूत्र $\int \sqrt{t^2+a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+a^2}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I(t) = 2 \left[ \frac{t}{2} \sqrt{t^2+7} + \frac{7}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+7}| \right] + C = t \sqrt{t^2+7} + 7 \ln|t + \sqrt{t^2+7}| + C$.
$t = \sqrt{x}$ रखने पर,$I(x) = \sqrt{x} \sqrt{x+7} + 7 \ln|\sqrt{x} + \sqrt{x+7}| + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $I(9) = 12 + 7 \ln 7$.
$I(9) = \sqrt{9} \sqrt{9+7} + 7 \ln|\sqrt{9} + \sqrt{9+7}| + C = 3 \cdot 4 + 7 \ln(3+4) + C = 12 + 7 \ln 7 + C$.
तुलना करने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(x) = \sqrt{x(x+7)} + 7 \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+7})$.
अब,$I(1) = \sqrt{1(1+7)} + 7 \ln(\sqrt{1} + \sqrt{1+7}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + \sqrt{8}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$.
दिया गया है $I(1) = \alpha + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$,इसलिए $\alpha = \sqrt{8}$.
अतः,$\alpha^4 = (\sqrt{8})^4 = 8^2 = 64$.

(D) दिया गया है $D_{k} = \begin{vmatrix} 1 & 2k & 2k-1 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix}$।
हमें $\sum_{k=1}^{n} D_{k} = 96$ दिया गया है। चूँकि योग केवल पहली पंक्ति को प्रभावित करता है,इसलिए:
$\sum_{k=1}^{n} D_{k} = \begin{vmatrix} \sum_{k=1}^{n} 1 & \sum_{k=1}^{n} 2k & \sum_{k=1}^{n} (2k-1) \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$,$\sum_{k=1}^{n} 2k = n^2+n$,और $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$ का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ n & n^2+n+2 & n^2 \\ n & n^2+n & n^2+n+2 \end{vmatrix} = 96$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} n & n^2+n & n^2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & n+2 \end{vmatrix} = 96$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$n \cdot [2(n+2) - 0] = 96 \Rightarrow 2n(n+2) = 96 \Rightarrow n(n+2) = 48$.
$n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 6$ प्राप्त होता है।

(B) माना समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है।
एक संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,इसमें $(1,1), (2,2), (3,3)$ का होना आवश्यक है।
दिया गया है कि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R$,इसलिए $R$ के संक्रामक होने के लिए,इसमें $(1,3)$ होना चाहिए क्योंकि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R \implies (1,3) \in R$।
अतः,इन तत्वों को शामिल करने वाला न्यूनतम संबंध $R_0 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)\}$ है।
यह संबंध $R_0$ स्वतुल्य और संक्रामक है। यह सममित नहीं है क्योंकि $(1,2) \in R_0$ लेकिन $(2,1) \notin R_0$।
यदि हम $R_0$ में कोई अन्य तत्व जोड़ते हैं,जैसे कि $(2,1)$,तो संबंध $(1,2)$ और $(2,1)$ के संबंध में सममित हो जाता है। यदि हम $(3,2)$ जोड़ते हैं,तो यह $(2,3)$ और $(3,2)$ के संबंध में सममित हो जाता है।
इसलिए,ऐसा केवल $1$ ही संबंध संभव है,जो स्वयं $R_0$ है।

(D) चूंकि फलन $f(x) = |100x^2 - 1|$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-0.15}^{0.15} |100x^2 - 1| dx = 2 \int_{0}^{0.15} |100x^2 - 1| dx$ होगा।
क्रांतिक बिंदु $100x^2 - 1 = 0$ लेने पर,$x^2 = \frac{1}{100}$,अतः $x = 0.1$ (जो अंतराल $[0, 0.15]$ में है)।
अतः,$I = 2 \left[ \int_{0}^{0.1} (1 - 100x^2) dx + \int_{0.1}^{0.15} (100x^2 - 1) dx \right]$.
समाकलन करने पर:
$I = 2 \left[ x - \frac{100x^3}{3} \right]_0^{0.1} + 2 \left[ \frac{100x^3}{3} - x \right]_{0.1}^{0.15}$.
$I = 2 \left( 0.1 - \frac{0.1}{3} \right) + 2 \left( 0.1125 - 0.15 - \frac{0.1}{3} + 0.1 \right)$.
$I = 2 \left( \frac{0.2}{3} \right) + 2 \left( 0.0625 - \frac{0.1}{3} \right) = \frac{0.2}{3} + 0.125$.
$I = \frac{0.575}{3} = \frac{575}{3000}$.
$\frac{k}{3000}$ से तुलना करने पर,$k = 575$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \limits_0^{\infty} \frac{6}{(e^x+1)(e^x+2)(e^x+3)} dx$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$\frac{6}{(e^x+1)(e^x+2)(e^x+3)} = \frac{3}{e^x+1} - \frac{6}{e^x+2} + \frac{3}{e^x+3}$.
$u = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = e^x dx$,अतः $dx = \frac{du}{u}$.
$I = \int_1^{\infty} \frac{6}{u(u+1)(u+2)(u+3)} du$.
समाकल्य के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर:
$\frac{6}{u(u+1)(u+2)(u+3)} = \frac{1}{u} - \frac{3}{u+1} + \frac{3}{u+2} - \frac{1}{u+3}$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ \ln|u| - 3\ln|u+1| + 3\ln|u+2| - \ln|u+3| \right]_1^{\infty}$.
$I = \left[ \ln \left| \frac{u(u+2)^3}{(u+1)^3(u+3)} \right| \right]_1^{\infty}$.
जैसे $u \to \infty$,लघुगणक का तर्क $\ln(1) = 0$ की ओर जाता है।
$u = 1$ पर,मान $\ln \left( \frac{1(3)^3}{(2)^3(4)} \right) = \ln \left( \frac{27}{32} \right)$ है।
अतः,$I = 0 - \ln \left( \frac{27}{32} \right) = \ln \left( \frac{32}{27} \right)$.

(A) माना $f(x) = x - 2 \sin x \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x = x - \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 - 2 \cos 2x + \cos 3x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 - 2(2 \cos^2 x - 1) + (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 0$
$4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 3 \cos x + 3 = 0$
$(4 \cos^2 x - 3)(\cos x - 1) = 0$.
इससे $\cos x = 1$ या $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi$.
इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 0$.
$f(\pi) = \pi$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi + 2 - 3\sqrt{3}}{6}$.
$f(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi + 3\sqrt{3} + 2}{6}$.
मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $\frac{5\pi + 2 + 3\sqrt{3}}{6}$ है।

(B) माना $f(x) = x|x-1| + |x+2|$ है। समीकरण $f(x) = -a$ है।
हम अंतरालों पर विचार करके फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: $x < -2$ के लिए,$f(x) = -x^2 - 2$ है। जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$ है। $x = -2$ पर,$f(-2) = -6$ है।
स्थिति $2$: $-2 \le x < 1$ के लिए,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ है। $x = -2$ पर,$f(-2) = -6$ है। $x = 1$ पर,$f(1) = 3$ है।
स्थिति $3$: $x \ge 1$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2$ है। $x = 1$ पर,$f(1) = 3$ है। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ है।
फलन $f(x)$ अपने डोमेन पर निरंतर वर्धमान है। $f(x)$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है।
समीकरण $f(x) = -a$ का ठीक एक वास्तविक मूल होने के लिए,$-a$ कोई भी वास्तविक मान हो सकता है। अतः,$a \in (-\infty, \infty)$।

(C) मान लीजिए रेखाएँ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ हैं।
न्यूनतम दूरी की रेखा की दिशा का सदिश $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = (2\hat{i} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
बिंदु $P(-1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $\vec{n}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{-2} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(r-1, 2-r, 3-2r)$ है।
समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखते हैं:
$(r-1) - 2(2-r) + 3(3-2r) = 10$
$r - 1 - 4 + 2r + 9 - 6r = 10$
$-3r + 4 = 10 \Rightarrow -3r = 6 \Rightarrow r = -2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(-3, 4, 7)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(A) दिया गया है कि हेड की प्रायिकता $P(H) = 3P(T)$ है। चूंकि $P(H) + P(T) = 1$,इसलिए $4P(T) = 1$,जिससे $P(T) = \frac{1}{4}$ और $P(H) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक हेड या तीन टेल न आ जाएं। $X$ के संभावित मान $1, 2, 3$ हैं।
$X=1$ के लिए: परिणाम $H$ है। $P(X=1) = P(H) = \frac{3}{4}$।
$X=2$ के लिए: परिणाम $TH$ है। $P(X=2) = P(T) \times P(H) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$।
$X=3$ के लिए: परिणाम $TTH$ या $TTT$ हैं। $P(X=3) = P(T)^2 \times P(H) + P(T)^3 = (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} + (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} + \frac{1}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4} + \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} + \frac{9}{16} = \frac{21}{16}$।

(A) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2a \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = 2(4 + 15) - 4(2 - 6) + 2a(-5 - 4) = 2(19) - 4(-4) + 2a(-9) = 38 + 16 - 18a = 54 - 18a = 18(3 - a)$.
अद्वितीय हल के लिए,हमें $\Delta \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $18(3 - a) \neq 0$,इसलिए $a \neq 3$.
यदि $a \neq 3$ है,तो निकाय का $b$ के किसी भी मान के लिए अद्वितीय हल होता है।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं क्योंकि $a=6 \neq 3$ और $a=8 \neq 3$.
अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = 0$ और $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ की आवश्यकता है।
$\Delta = 0$ रखने पर $a = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 2a \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$a = 3$ के लिए,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix} = b(4 + 15) - 4(8 - 24) + 6(-20 - 16) = 19b - 4(-16) + 6(-36) = 19b + 64 - 216 = 19b - 152$.
$\Delta_x = 0$ के लिए,$19b = 152$,जिससे $b = 8$ प्राप्त होता है।
इसलिए,यदि $a = 3$ और $b = 8$ है तो निकाय के अनंत हल हैं।
यह विकल्प $D$ को सही बनाता है।
परिणामस्वरूप,विकल्प $A$ सही नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण: $3 f(x) + 2 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - 10$ (समीकरण $1$)
$x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) + 2 f(x) = x - 10$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x} - 30$
$4 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x - 20$
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$5 f(x) = \frac{3}{x} - 2x - 10$
$f(x) = \frac{3}{5x} - \frac{2x}{5} - 2$
अब,$f(3)$ ज्ञात करें:
$f(3) = \frac{3}{5(3)} - \frac{2(3)}{5} - 2 = \frac{1}{5} - \frac{6}{5} - 2 = -1 - 2 = -3$
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = -\frac{3}{5x^2} - \frac{2}{5}$
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)$ की गणना करें:
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{5(1/16)} - \frac{2}{5} = -\frac{48}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{50}{5} = -10$
अंत में,$\left|f(3) + f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)\right|$ की गणना करें:
$|-3 + (-10)| = |-13| = 13$

(A) फलन $f(x) = \max \{\sin x, \cos x\}$ है,जहाँ $x \in [-\pi, \pi]$ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $\sin x = \cos x$ कहाँ होता है,जो $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = -\frac{3\pi}{4}$ पर होता है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन को अधिकतम मान के आधार पर विभाजित करने पर:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx$.
समाकलन का मान:
$1. \int_{-\pi}^{-3\pi/4} \sin x dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2. \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx = \sqrt{2}$.
$3. \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x dx = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
कुल क्षेत्रफल: $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{2} + (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.

(D) $3 \times 3$ क्रम का एक सममित आव्यूह $A$,$A = A^T$ के रूप में परिभाषित होता है।
$3 \times 3$ आव्यूह के लिए,यह इस प्रकार दिखता है:
$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix}$
यहाँ,स्वतंत्र अवयव $a, b, c, d, e,$ और $f$ हैं।
आव्यूह में $6$ स्वतंत्र स्थान हैं जिन्हें भरा जा सकता है।
इनमें से प्रत्येक $6$ स्थानों को समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के किन्हीं भी $10$ अंकों द्वारा भरा जा सकता है।
अतः,ऐसे सममित आव्यूहों की कुल संख्या $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6$ है।

(A) $(S1)$ के लिए: प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $2(1+2+3+\ldots+n) = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ है।
अतः,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{n^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+n}{n^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$. इसलिए,$(S1)$ सत्य है।
$(S2)$ के लिए: हम योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
यहाँ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}} \sum_{r=1}^{n} r^{15} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^{15} = \int_{0}^{1} x^{15} dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int_{0}^{1} x^{15} dx = [\frac{x^{16}}{16}]_{0}^{1} = \frac{1}{16}$. इसलिए,$(S2)$ सत्य है।

(C) दिया गया है $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x + 3 - \sqrt{x}$ दिया गया है।
मान लीजिए $u = g(x) = \sqrt{x} + 1$.
तब $\sqrt{x} = u - 1$.
इस मान को $(f \circ g)(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(u) = (u - 1)^2 + 3 - (u - 1)$.
$f(u) = (u^2 - 2u + 1) + 3 - u + 1$.
$f(u) = u^2 - 3u + 5$.
अतः,$f(x) = x^2 - 3x + 5$.
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = (0)^2 - 3(0) + 5 = 5$.

(A) दिया गया है कि $\vec{d} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$.
इसका अर्थ है कि $(\vec{d} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$.
अतः,$\vec{d} - \vec{c} = \lambda \vec{b}$,या $\vec{d} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है कि $\vec{d} \cdot \vec{a} = 24$,इस समीकरण में $\vec{d} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ रखने पर:
$(\vec{c} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 24 \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 24$.
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (4)(-1) + (2)(4) = 2 - 4 + 8 = 6$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (4)(-2) + (2)(7) = 3 - 8 + 14 = 9$.
इन मानों को रखने पर: $6 + \lambda(9) = 24 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$\vec{d} = \vec{c} + 2\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + 2(3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = (2+6)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (4+14)\hat{k} = 8\hat{i} - 5\hat{j} + 18\hat{k}$.
अंत में,$|\vec{d}|^2 = 8^2 + (-5)^2 + 18^2 = 64 + 25 + 324 = 413$.

(C) दिया गया है $B = \text{adj}(A)$। हम जानते हैं कि $|B| = |\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$। यहाँ $n=3$ और $|A|=2$ है,इसलिए $|B| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$।
$B$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|B| = 1(8 - 3\alpha) - 3(4 - 3\alpha) + \alpha(\alpha - 2\alpha) = 4$
$8 - 3\alpha - 12 + 9\alpha - \alpha^2 = 4$
$-\alpha^2 + 6\alpha - 4 = 4$
$\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$
$(\alpha - 2)(\alpha - 4) = 0$
चूंकि $\alpha > 2$,इसलिए $\alpha = 4$ है।
अब,$\alpha = 4$ को व्यंजक में रखने पर:
$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix}$
व्यंजक $X^T B X$ है जहाँ $X = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$ है।
$X^T B X = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 12 & 12 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{bmatrix} = 48 - 96 - 32 = -80$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = 7$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = 7$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot e^{-x} = \int 7 e^{-x} dx + C = -7e^{-x} + C$ है।
अतः,$y = Ce^x - 7$।
$y_1(0) = 0$ के लिए: $0 = C_1(1) - 7 \Rightarrow C_1 = 7$। अतः,$y_1(x) = 7e^x - 7$।
$y_2(0) = 1$ के लिए: $1 = C_2(1) - 7 \Rightarrow C_2 = 8$। अतः,$y_2(x) = 8e^x - 7$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y_1(x) = y_2(x)$ रखें:
$7e^x - 7 = 8e^x - 7$।
$7e^x = 8e^x \Rightarrow e^x = 0$।
चूंकि $e^x$ का मान किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $0$ नहीं होता है,इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।