समीकरण $x+y+z=21$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ है।

यदि $\frac{1}{{ }^{5}C_{r}} + \frac{1}{{ }^{6}C_{r}} = \frac{1}{{ }^{4}C_{r}},$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

$10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं के समूह से,$8$ सदस्यों की एक समिति बनाने के तरीकों की संख्या जिसमें $5$ से अधिक पुरुष न हों और $5$ से कम महिलाएं न हों,है

एक व्यक्ति के $10$ मित्र हैं। वह उनमें से एक या अधिक को पार्टी में कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है?

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं। यदि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $3$ प्रश्नों के उत्तर देने ही हैं,तो वह कितने तरीकों से उत्तर दे सकता है?

यदि $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।