समीकरण $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=21$, जहाँ $\mathrm{x} \geq 1, \mathrm{y} \geq 3, \mathrm{z} \geq 4$ हैं, के पूर्णांकीय हलों की संख्या है___________.

यदि $x,\;y$ तथा $r$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तब $^x{C_r}{ + ^x}{C_{r - 1}}^y{C_1}{ + ^x}{C_{r - 2}}^y{C_2} + .......{ + ^y}{C_r} = $

यदि $^{{n^2} - n}{C_2}{ = ^{{n^2} - n}}{C_{10}}$, तो $n = $

यदि सभी छः अंकों की संख्या $\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2 \mathrm{x}_3 \mathrm{x}_4 \mathrm{x}_5 \mathrm{x}_6$ के साथ $0<\mathrm{x}_1 < \mathrm{x}_2 < \mathrm{x}_3 < \mathrm{x}_4 < \mathrm{x}_5 < \mathrm{x}_6$ को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो $72$ वीं संख्या में अंकों का योगफल है______________. 

किसी पार्टी में $15$ व्यक्ति हैं तथा प्रत्येक व्यक्ति एक दूसरे से हाथ मिलाता है, तब हस्त मिलनों की कुल संख्या होगी

एक इंजीनियर को हर महीने के पहले $15$ दिनों के दौरान चार दिनों के लिये एक कारखाने का दौरा करने की आवश्यकता है तथा यह अनिवार्य है कि लगातार दो दिन कोई भी यात्रा न करें। तब सभी संभव तरीकों की संख्या, जिसमें कारखाने में इस तरह के दौरे इंजीनियर द्वारा $1-15$ जून $2021$ के दौरान किये जा सकते है, होगी