मान लीजिए S = {x in R : 0

Question

(C) दी गई शर्त $0 < x < 1$ है।समीकरण $2 	an^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}ight) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)$ है।मान लीजिए $x = 	an 	he

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$n(S) = 1$ और $S$ में अवयव $\frac{1}{2}$ से कम है।

Vedclass · Answer

(C) दी गई शर्त $0 समीकरण $2 	an^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}ight) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)$ है।मान लीजिए $x = 	an 	heta$ है। चूँकि $0 समीकरण में $x = 	an 	heta$ रखने पर:$2 	an^{-1}\left(\frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}ight) = \cos^{-1}\left(\frac{1-	an^2 	heta}{1+	an^2 	heta}ight)$.सर्वसमिका $	an(\frac{\pi}{4} - 	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$ और $\cos 2	heta = \frac{1-	an^2 	heta}{1+	an^2 	heta}$ का उपयोग करने पर:$2 	an^{-1}(	an(\frac{\pi}{4} - 	heta)) = \cos^{-1}(\cos 2	heta)$.चूँकि $0 अतः,$2(\frac{\pi}{4} - 	heta) = 2	heta$.$\frac{\pi}{2} - 2	heta = 2	heta \implies 4	heta = \frac{\pi}{2} \implies 	heta = \frac{\pi}{8}$.इसलिए $x = 	an(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ है।चूँकि $0.414 < 0.5$,इसलिए $n(S) = 1$ और अवयव $\frac{1}{2}$ से कम है।

मान लीजिए $S = \{x \in R : 0 < x < 1 \text{ और } 2 \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\}$ है। यदि $n(S)$,$S$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है,तो:

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श्रेणी $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{9}\right) + \dots + \tan^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}\right) + \dots$ के अनंत पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $|x| < 1$ है,तो $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ के लिए $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right) \right)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

यदि $3{\sin ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 4{\cos ^{ - 1}}\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 2{\tan ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} = \frac{\pi }{3}$ है,तो $x$ =

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