मान लीजिए R परवलय y^2=20x की नाभि है और रेखा | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2=20x$ है,इसलिए नाभि $R$ का मान $(5, 0)$ है।मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ रेखा $y=mx+c$ और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।परवल

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$325$

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(A) परवलय $y^2=20x$ है,इसलिए नाभि $R$ का मान $(5, 0)$ है।मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ रेखा $y=mx+c$ और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।परवलय के समीकरण में $x = (y-c)/m$ रखने पर: $y^2 = 20(y-c)/m \Rightarrow my^2 - 20y + 20c = 0$।द्विघात समीकरण से,$y_1+y_2 = 20/m$।त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक $G(10, 10)$ है,इसलिए $(y_1+y_2+y_R)/3 = 10$। यहाँ $y_R = 0$ है,अतः $(y_1+y_2)/3 = 10 \Rightarrow y_1+y_2 = 30$।इसलिए,$20/m = 30 \Rightarrow m = 2/3$।चूंकि $c-m=6$ दिया गया है,$c = 6 + 2/3 = 20/3$।$y$ के लिए द्विघात समीकरण $y^2 - 30y + 200 = 0 \Rightarrow (y-10)(y-20) = 0$ हो जाता है।अतः $y_1=10$ और $y_2=20$। संगत $x$ मान $x_1 = 5$ और $x_2 = 20$ हैं।इस प्रकार $P(5, 10)$ और $Q(20, 20)$ प्राप्त होते हैं।$(PQ)^2 = (20-5)^2 + (20-10)^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325$।

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