JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए $100$ क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $a_1, a_1+1, a_1+2, \ldots, a_1+99$ हैं।
माध्य $\bar{x} = a_1 + 49.5$ प्राप्त होता है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{100} \sum_{i=0}^{99} |i - 49.5| = 25$ होता है।
यह मान $a_1$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह सभी प्राकृतिक संख्याओं $a_1 \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।
अतः,$S = \mathbb{N}$.

(B) दिया गया है $x = 12^{50}$ और $y = 18^{50}$।
$(12^{50} + 18^{50})$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
$12^{50} = 144^{25} = (150 - 6)^{25} = 25M + (-6)^{25}$।
$18^{50} = 324^{25} = (325 - 1)^{25} = 25N - 1$।
$x + y = 25(M+N) - (6^{25} + 1)$।
$6^{25} = (6^2)^{12} \cdot 6 = 36^{12} \cdot 6 = (25 + 11)^{12} \cdot 6 = (25P + 11^{12}) \cdot 6$।
$11^{12} = (121)^6 = (125 - 4)^6 = 25Q + (-4)^6 = 25Q + 4096 = 25R + 21$।
अतः,$6^{25} = (25R + 21) \cdot 6 = 150R + 126 = 25(6R + 5) + 1$।
$x + y = 25(M+N) - (25(6R+5) + 1 + 1) = 25S - 2$।
शेषफल $25 - 2 = 23$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का केंद्र $C(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ है। दूरी $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$ है।
चूँकि $OC \perp CP$,त्रिभुज $OCP$ बिंदु $C$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle OCP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OC \times CP = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
$OC = \sqrt{5}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times CP = \frac{\sqrt{35}}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $CP = \sqrt{7}$.
चूँकि $P$ और $Q$ केंद्र $C$ और त्रिज्या $R = CP = \sqrt{7}$ वाले वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $(a_1 - \sqrt{2})^2 + (b_1 - \sqrt{3})^2 = 7$ और $(a_2 - \sqrt{2})^2 + (b_2 - \sqrt{3})^2 = 7$ है।
इनका विस्तार करने पर,$a_1^2 + b_1^2 - 2\sqrt{2}a_1 - 2\sqrt{3}b_1 + 5 = 7 \implies a_1^2 + b_1^2 = 2 + 2\sqrt{2}a_1 + 2\sqrt{3}b_1$.
इसी प्रकार,$a_2^2 + b_2^2 = 2 + 2\sqrt{2}a_2 + 2\sqrt{3}b_2$.
चूँकि $OC \perp CP$ और $OC \perp CQ$,सदिश $\vec{CP}$ और $\vec{CQ}$ सदिश $\vec{OC} = (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर लंब हैं।
अतः,$\sqrt{2}(a_1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3}(b_1 - \sqrt{3}) = 0 \implies \sqrt{2}a_1 + \sqrt{3}b_1 = 5$.
इसी प्रकार,$\sqrt{2}a_2 + \sqrt{3}b_2 = 5$.
अतः $a_1^2 + b_1^2 = 2 + 2(5) = 12$ और $a_2^2 + b_2^2 = 12$.
इस प्रकार,$a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 12 + 12 = 24$.

(B) श्रेणी $S_1$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 3$ और सार्व अंतर $d_1 = 4$ है। इसका सामान्य पद $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ है।
श्रेणी $S_2$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = 1$ और सार्व अंतर $d_2 = 5$ है। इसका सामान्य पद $T_m = 1 + (m-1)5 = 5m - 4$ है।
सामान्य पद के लिए,$4n - 1 = 5m - 4$,जिसका अर्थ है $4n + 3 = 5m$।
प्रथम सामान्य पद $11$ है ($n=3, m=3$ के लिए)।
सामान्य पदों द्वारा बनी नई श्रेणी का सार्व अंतर $d_1$ और $d_2$ का लघुत्तम समापवर्त्य है,जो $\text{lcm}(4, 5) = 20$ है।
$k^{\text{th}}$ सामान्य पद $T_k = 11 + (k-1)20$ द्वारा दिया जाता है।
$k=8$ के लिए,$T_8 = 11 + (8-1) \times 20 = 11 + 7 \times 20 = 11 + 140 = 151$।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - 5ax + 1 = 0$ और $x^2 - ax - 5 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः $\alpha^2 - 5a\alpha + 1 = 0$ और $\alpha^2 - a\alpha - 5 = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 - 5a\alpha + 1) - (\alpha^2 - a\alpha - 5) = 0$.
$-4a\alpha + 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{6}{4a} = \frac{3}{2a}$.
$\alpha = \frac{3}{2a}$ को $x^2 - ax - 5 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3}{2a})^2 - a(\frac{3}{2a}) - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} - \frac{3}{2} - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} = \frac{13}{2}$.
$a^2 = \frac{9 \times 2}{4 \times 13} = \frac{9}{26}$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{3}{\sqrt{26}}$.
दिया गया है कि $a = \frac{3}{\sqrt{2\beta}}$,अतः $\sqrt{2\beta} = \sqrt{26}$,जिसका अर्थ है $2\beta = 26$,अर्थात $\beta = 13$.

(B) दिए गए अंक $1, 2, 2, 2, 3, 3, 5$ हैं। कुल अंक $= 7$ हैं।
संख्या के विषम होने के लिए,इकाई का अंक $1, 3,$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई का अंक $5$ है।
शेष अंक $1, 2, 2, 2, 3, 3$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ है।
स्थिति $2$: इकाई का अंक $3$ है।
शेष अंक $1, 2, 2, 2, 3, 5$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ है।
स्थिति $3$: इकाई का अंक $1$ है।
शेष अंक $2, 2, 2, 3, 3, 5$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ है।
कुल विषम संख्याएँ $= 60 + 120 + 60 = 240$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $2x \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = 4 - b^2$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|4 - b^2|}{\sqrt{4 \sec^2 \theta + b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta}}$ है।
$d$ को अधिकतम करने के लिए,हर (denominator) को न्यूनतम करना होगा।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर,न्यूनतम मान $(2 + b)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$d_{max} = \frac{4 - b^2}{2 + b} = 2 - b$।
दिया गया है कि $d_{max} = 1$,इसलिए $2 - b = 1 \Rightarrow b = 1$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) माना $z = 4e^{i\theta}$ है। तब $w = z + \frac{1}{z} = 4e^{i\theta} + \frac{1}{4}e^{-i\theta}$ है।
$w = 4(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{4}(\cos \theta - i \sin \theta) = \left(4 + \frac{1}{4}\right) \cos \theta + i \left(4 - \frac{1}{4}\right) \sin \theta$ है।
$w = \frac{17}{4} \cos \theta + i \frac{15}{4} \sin \theta$ है।
माना $w = x + iy$ है। तब $x = \frac{17}{4} \cos \theta$ और $y = \frac{15}{4} \sin \theta$ है।
$w$ का बिंदुपथ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{(17/4)^2} + \frac{y^2}{(15/4)^2} = 1$ है।
वक्र $C_1$ एक वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है।
चूंकि अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 17/4 = 4.25 > 4$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = 15/4 = 3.75 < 4$ है,इसलिए दीर्घवृत्त वृत्त को $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(A) परवलय की नाभि $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ और नियता $y = -\frac{1}{2}$ है।
परवलय की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$(x, y)$ से नाभि की दूरी नियता से दूरी के बराबर है:
$\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = \left|y + \frac{1}{2}\right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = y^2 + y + \frac{1}{4}$
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = y + \frac{1}{4} \Rightarrow y = x^2 + x = f(x)$.
हमें $\tan^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\right) + \sin^{-1}\left(\sqrt{f(x)+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है।
मान लीजिए $u = \sqrt{f(x)}$। तब $\tan^{-1}(u) + \sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2}$.
इसका अर्थ है $\sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(u) = \cot^{-1}(u) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\right)$.
अतः,$\sqrt{u^2+1} = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ $\Rightarrow u^2+1 = 1$ $\Rightarrow u^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) = 0$.
चूंकि $f(x) = x^2+x$,हमारे पास $x^2+x = 0$ है,जो $x(x+1) = 0$ देता है।
अतः,$x = 0$ या $x = -1$.
समुच्चय $S = \{0, -1\}$ में ठीक दो अवयव हैं।

(A) माना $G.P.$ के चार धनात्मक क्रमागत पद $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ हैं,जहाँ सार्व अनुपात $R = r^2$ है।
दिया गया गुणनफल: $\frac{a}{r^3} \times \frac{a}{r} \times ar \times ar^3 = a^4 = 1296 \implies a = 6$.
दिया गया योग: $\frac{a}{r^3} + \frac{a}{r} + ar + ar^3 = 126$.
$a=6$ रखने पर: $\frac{6}{r^3} + \frac{6}{r} + 6r + 6r^3 = 126 \implies (r^3 + \frac{1}{r^3}) + (r + \frac{1}{r}) = 21$.
माना $x = r + \frac{1}{r}$. तब $r^3 + \frac{1}{r^3} = x^3 - 3x$.
अतः,$(x^3 - 3x) + x = 21 \implies x^3 - 2x - 21 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=3$ एक मूल है: $27 - 6 - 21 = 0$.
इस प्रकार,$r + \frac{1}{r} = 3 \implies r^2 - 3r + 1 = 0$.
सार्व अनुपात $R = r^2$ है। $r^2 - 3r + 1 = 0$ से,$r^2 + 1 = 3r$.
$r$ से भाग देने पर,$r + \frac{1}{r} = 3$. वर्ग करने पर $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 = 9 \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = 7$.
दो संभावित सार्व अनुपात $t^2 - 7t + 1 = 0$ के मूल हैं (क्योंकि $R + \frac{1}{R} = 7$)।
सार्व अनुपातों का योग $7$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{(x-1)(x-3)} + \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{(x-3)(4x-2)}$ है।
स्थिति $1$: $\sqrt{x-3} = 0 \implies x = 3$.
डोमेन की जाँच: $\sqrt{x^2-9}$ के लिए,$x^2-9 \ge 0$ होना चाहिए,अतः $x \ge 3$ या $x \le -3$. $x=3$ के लिए,$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$,जो सत्य है। अतः,$x=3$ एक मूल है।
स्थिति $2$: $\sqrt{x-3} \neq 0$. $\sqrt{x-3}$ से विभाजित करने पर ($x > 3$ मानते हुए):
$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{4x-2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4x-2$.
$2x + 2 + 2\sqrt{x^2+2x-3} = 4x-2$.
$2\sqrt{x^2+2x-3} = 2x-4$.
$\sqrt{x^2+2x-3} = x-2$.
पुनः वर्ग करने पर:
$x^2+2x-3 = x^2-4x+4$.
$6x = 7 \implies x = 7/6$.
चूंकि $x=7/6$ शर्त $x \ge 3$ को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए इसे अस्वीकार कर दिया गया है।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ है। इसका केंद्र $C(2,3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+3^2-11} = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $(3,2)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का समीकरण $(3-2)(x-2)+(2-3)(y-3)=2$,अर्थात $x-y-1=0$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m=1$ है। स्पर्शरेखा की दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ है।
वृत्त को स्पर्शरेखा पर $4$ इकाई लुढ़काने पर केंद्र $C(2,3)$ में $4 \times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ का विस्थापन होता है।
अतः,$C_1$ का केंद्र $A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ है।
$C_2$,$T$ में $C_1$ का प्रतिबिंब है। केंद्र $B$,रेखा $x-y-1=0$ में $A$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{x_B-x_A}{1} = \frac{y_B-y_A}{-1} = -2 \frac{x_A-y_A-1}{1^2+(-1)^2} = 2$.
अतः,$x_B = 2+2\sqrt{2}+2 = 4+2\sqrt{2}$ और $y_B = 3+2\sqrt{2}-2 = 1+2\sqrt{2}$.
$A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ और $B = (4+2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2})$.
$M$ और $N$ के निर्देशांक $(2+2\sqrt{2}, 0)$ और $(4+2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
समलंब चतुर्भुज $AMNB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (AM+BN) \times MN = \frac{1}{2} \times (3+2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}) \times 2 = 4+4\sqrt{2} = 4(1+\sqrt{2})$.

(D) यह जांचने के लिए कि क्या $(S1)$ एक पुनरुक्ति है,हम $(p \Rightarrow q) \vee (p \wedge (\sim q))$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं।
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(S1)$ एक पुनरुक्ति है।
यह जांचने के लिए कि क्या $(S2)$ एक व्याघात है,हम $((\sim p) \Rightarrow (\sim q)) \wedge ((\sim p) \vee q)$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं।
चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों शामिल हैं,इसलिए यह एक आकस्मिक कथन है,व्याघात नहीं।
इसलिए,केवल $(S1)$ सही है।

(A) उपलब्ध अंक $S = \{0, 2, 3, 4, 7, 9\}$ हैं। कुल अंकों की संख्या $6$ है।
चूँकि संख्याएँ $5$ अंकों की हैं,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। संभावित पहले अंक $\{2, 3, 4, 7, 9\}$ हैं।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$।
$40$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$।
$420$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$422$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$423$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$424$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$427$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$4290$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 6 = 6$।
अब,$4292$ से शुरू होने वाली संख्याओं की गणना करते हैं:
$42920$ पहली संख्या है।
$42922$ दूसरी संख्या है।
$42923$ तीसरी संख्या है।
कुल क्रम संख्या = $1296 + 1296 + 216 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 6 + 3 = 2997$।

(A) माना प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है $a_5 = 2a_3$ और $a_{11} = 18$,जिससे $a_1 = -72$ और $d = 9$ प्राप्त होता है।
$a_{10} = a_1 + 9d = 9$ और $a_{18} = a_1 + 17d = 81$ है।
योग $S = \frac{12}{d} (\sqrt{a_{18}} - \sqrt{a_{10}}) = \frac{12}{9} (\sqrt{81} - \sqrt{9}) = \frac{12}{9} (9 - 3) = 8$.

(A) $(x^{2/3} + 2x^{-3})^{30}$ के विस्तार में सामान्य पद:
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} (x^{2/3})^{30-r} (2x^{-3})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{(60-11r)/3}$
यहाँ पद $\beta x^{-\alpha}$ है,इसलिए $-\alpha = \frac{60-11r}{3}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{11r-60}{3}$.
$\alpha > 0$ होने के लिए,$11r > 60$,अर्थात $r > 5.45$.
चूँकि $r$ एक पूर्णांक है,$r$ का न्यूनतम मान $6$ है।
$r = 6$ के लिए,$\alpha = \frac{11(6)-60}{3} = 2$.
अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(A) फर्मा के छोटे प्रमेय के अनुसार,चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 11) = 1$,इसलिए $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ होता है।
$5^{99} = 5^{90} \cdot 5^9 = (5^{10})^9 \cdot 5^9$.
चूँकि $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$,इसलिए $(5^{10})^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{11}$ होगा।
अब,$5^9 \pmod{11}$ की गणना करते हैं:
$5^2 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$.
$5^4 = (5^2)^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv -2 \pmod{11}$.
$5^8 = (5^4)^2 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{11}$.
$5^9 = 5^8 \cdot 5^1 \equiv 4 \cdot 5 = 20 \equiv 9 \pmod{11}$.
अतः,$5^{99} \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{11}$।
शेषफल $9$ है।

(A) माना $A = 5$ है। हम $d_i = x_i - A$ और आवश्यक योग की गणना करते हैं:
(तालिका ऊपर दी गई है)
कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 45 + \alpha$.
योग $\sum f_i d_i = 0$.
योग $\sum f_i d_i^2 = 150$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2 = 3$.
$\frac{150}{45 + \alpha} - 0 = 3$.
$150 = 3(45 + \alpha) \Rightarrow 150 = 135 + 3\alpha$.
$3\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = 5$.

(A) हमें $1000 \le x \le 2800$ के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो $3$ या $11$ से विभाज्य हों।
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ सूत्र का उपयोग करते हुए।
$3$ से विभाज्य संख्याएँ $(A)$: $1002$ से $2799$ तक,$n = 600$.
$11$ से विभाज्य संख्याएँ $(B)$: $1000$ से $2800$ तक,$254 - 90 = 164$.
$33$ से विभाज्य संख्याएँ $(A \cap B)$: $1000$ से $2800$ तक,$84 - 30 = 54$.
कुल संख्या = $600 + 164 - 54 = 710$.

(A) दिया गया है $a_7 = a + 6d = 3$,अतः $a = 3 - 6d$।
गुणनफल $P = a_1 a_4 = a(a + 3d) = (3 - 6d)(3 - 3d) = 18d^2 - 27d + 9$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $d$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dP}{dd} = 36d - 27 = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{4}$।
$d = \frac{3}{4}$ को $a = 3 - 6d$ में रखने पर,हमें $a = 3 - 6(\frac{3}{4}) = 3 - \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 0$ है।
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $2(-\frac{3}{2}) + (n - 1)(\frac{3}{4}) = 0 \Rightarrow -3 + \frac{3(n - 1)}{4} = 0 \Rightarrow \frac{3(n - 1)}{4} = 3 \Rightarrow n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5$।
हमें $n! - 4 a_{n(n+2)} = 5! - 4 a_{5(7)} = 120 - 4 a_{35}$ की गणना करनी है।
$a_{35} = a + 34d = -\frac{3}{2} + 34(\frac{3}{4}) = -\frac{3}{2} + \frac{51}{2} = \frac{48}{2} = 24$।
अतः,$120 - 4(24) = 120 - 96 = 24$।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - \frac{1+a}{2}x - \frac{1-a}{2}y = 0$ है।
केंद्र $C\left(\frac{1+a}{4}, \frac{1-a}{4}\right) = (h, k)$ है।
बिंदु $P = (2h, 2k)$ है।
जीवा का मध्यबिंदु $M(t, -t)$ रेखा $x+y=0$ पर स्थित है।
$CM$ जीवा पर लंब है,इसलिए $CM$ की ढाल $1$ है।
गणना करने पर $a^2 > 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0$
माना $e^x = t$. चूंकि $x \in R$,इसलिए $t > 0$ है।
समीकरण $t^4 + 8t^3 + 13t^2 - 8t + 1 = 0$ हो जाता है।
$t^2$ से विभाजित करने पर $(t \neq 0)$:
$t^2 + 8t + 13 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 8(t - \frac{1}{t}) + 13 = 0$
माना $z = t - \frac{1}{t}$. तब $z^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$,इसलिए $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 + 2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$(z^2 + 2) + 8z + 13 = 0$
$z^2 + 8z + 15 = 0$
$(z + 3)(z + 5) = 0$
अतः,$z = -3$ या $z = -5$ है।
स्थिति $1$: $t - \frac{1}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 1 = 0$. हल $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$ हैं। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$ है।
स्थिति $2$: $t - \frac{1}{t} = -5 \implies t^2 + 5t - 1 = 0$. हल $t = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$ हैं। चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$ है।
दोनों स्थितियों में $t < 1$ है,इसलिए $x = \ln(t) < 0$ है।
अतः,दो हल हैं और दोनों ऋणात्मक हैं।

(B) माना दिया गया व्यंजक $S = ((p \wedge q)$ $\Rightarrow (r \vee q)) \wedge ((p \wedge r)$ $\Rightarrow q)$ है।
सर्वसमिका $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S = (\sim(p \wedge q) \vee (r \vee q)) \wedge (\sim(p \wedge r) \vee q)$
$S = (\sim p \vee \sim q \vee r \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q)$
चूंकि $\sim q \vee q = T$ (पुनरुक्ति),पहला भाग $\sim p \vee r \vee T = T$ हो जाता है।
अतः,$S = T \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q) = \sim p \vee \sim r \vee q$.
$S$ के पुनरुक्ति होने के लिए,$\sim p \vee \sim r \vee q$ को हमेशा सत्य होना चाहिए।
स्थिति $1$: $r = p$. तब $\sim p \vee \sim p \vee q = \sim p \vee q$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
स्थिति $2$: $r = q$. तब $\sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$. (मान्य)
स्थिति $3$: $r = \sim p$. तब $\sim p \vee \sim(\sim p) \vee q = \sim p \vee p \vee q = T \vee q = T$. (मान्य)
स्थिति $4$: $r = \sim q$. तब $\sim p \vee \sim(\sim q) \vee q = \sim p \vee q \vee q = \sim p \vee q$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,$r$ के $2$ मानों के लिए व्यंजक एक पुनरुक्ति है।

(B) मान लीजिए कि दिया गया व्यंजक $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{3 x+1}+\sqrt{3 x-1})^6+(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1})^6}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^6+\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^6} x^3$ है।
जैसे $x \rightarrow \infty$,हम कोष्ठक के अंदर के पदों से $x$ को बाहर निकाल सकते हैं:
अंश: $(\sqrt{3x+1} \pm \sqrt{3x-1})^6 = x^3 (\sqrt{3+1/x} \pm \sqrt{3-1/x})^6$.
हर: $(x \pm \sqrt{x^2-1})^6 = x^6 (1 \pm \sqrt{1-1/x^2})^6$.
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x^3 \cdot \frac{x^3 [(\sqrt{3+1/x} + \sqrt{3-1/x})^6 + (\sqrt{3+1/x} - \sqrt{3-1/x})^6]}{x^6 [(1 + \sqrt{1-1/x^2})^6 + (1 - \sqrt{1-1/x^2})^6]}$.
जैसे $x \rightarrow \infty$,$1/x \rightarrow 0$ और $1/x^2 \rightarrow 0$ होता है।
$L = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{3})^6 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^6}{(1 + 1)^6 + (1 - 1)^6} = \frac{(2\sqrt{3})^6 + 0}{2^6 + 0} = \frac{64 \cdot 27}{64} = 27$.

(A) कक्षा $A$ के लिए: $n_1 = 100, \overline{x}_1 = 40, \sigma_1 = \alpha$. प्रसरण $\sigma_1^2 = \alpha^2$.
कक्षा $B$ के लिए: $n_2 = n, \overline{x}_2 = 55, \sigma_2 = 30-\alpha$. प्रसरण $\sigma_2^2 = (30-\alpha)^2$.
संयुक्त माध्य $\overline{x} = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1+n_2} = 50$.
$\frac{100(40) + n(55)}{100+n} = 50 \implies 4000 + 55n = 5000 + 50n \implies 5n = 1000 \implies n = 200$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1+n_2}$,जहाँ $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x} = -10$ और $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x} = 5$.
$350 = \frac{100(\alpha^2 + 100) + 200((30-\alpha)^2 + 25)}{300}$.
$1050 = \alpha^2 + 100 + 2(925 - 60\alpha + \alpha^2) = 3\alpha^2 - 120\alpha + 1950$.
$3\alpha^2 - 120\alpha + 900 = 0 \implies \alpha^2 - 40\alpha + 300 = 0$.
$\alpha = 10$ या $\alpha = 30$. $\alpha = 10$ लेने पर,$\sigma_1^2 + \sigma_2^2 = 100 + 400 = 500$.

(A) नाभियाँ $(h \pm ae, k) = (1 \pm \sqrt{2}, 0)$ द्वारा दी गई हैं।
तुलना करने पर,हमें केंद्र $(h, k) = (1, 0)$ और $ae = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है,इसलिए $a(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $a = 1$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 1^2((\sqrt{2})^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1$।
अतः,$b = 1$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{1} = 2$ है।

(A) दिया गया है $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,हर $e^{i\pi/3}$ है।
अतः,$z = (i-1) e^{-i\pi/3}$.
हम जानते हैं कि $i-1 = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4}$.
इसलिए,$z = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4} \cdot e^{-i\pi/3} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4 - \pi/3)} = \sqrt{2} e^{i(9\pi/12 - 4\pi/12)} = \sqrt{2} e^{i 5\pi/12}$.
ध्रुवीय रूप में,यह $\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$ है।

(D) $\left(\frac{4x}{5} + \frac{5}{2x^2}\right)^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^9C_r \left(\frac{4x}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2x^2}\right)^r$
$= {}^9C_r \left(\frac{4}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2}\right)^r x^{9-3r}$
$x^{-6}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $-6$ के बराबर रखें:
$9 - 3r = -6$
$3r = 15 \Rightarrow r = 5$
$r = 5$ रखने पर,गुणांक:
गुणांक $= {}^9C_5 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{5}{2}\right)^5$
$= 126 \times \frac{256}{625} \times \frac{3125}{32} = 5040$

(D) दिया गया अनुपात: $\frac{{}^{2n+1}P_{n-1}}{{}^{2n-1}P_n} = \frac{11}{21}$
सूत्र ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \times \frac{(n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{11}{21}$
फैक्टोरियल का विस्तार करने पर:
$\frac{(2n+1)(2n)}{(n+2)(n+1)n} = \frac{11}{21}$
$\frac{2(2n+1)}{(n+2)(n+1)} = \frac{11}{21}$
$84n + 42 = 11n^2 + 33n + 22$
$11n^2 - 51n - 20 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर $n = 5$ प्राप्त होता है।
$n^2 + n + 15$ का मान:
$5^2 + 5 + 15 = 45$.

(D) $\left(\frac{x^{5/2}}{2} - \frac{4}{x^{\ell}}\right)^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left(\frac{x^{5/2}}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{4}{x^{\ell}}\right)^r$ है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए: $\frac{45-5r}{2} - r\ell = 0 \implies r(5+2\ell) = 45$.
अचर पद $-84$ दिया गया है,इसलिए $(-1)^r \binom{9}{r} 2^{3r-9} = -84$। $r=3$ लेने पर,$\binom{9}{3} = 84$,जो शर्त को संतुष्ट करता है।
$r=3$ रखने पर,$3(5+2\ell) = 45 \implies \ell = 5$.
$x^{-3\ell} = x^{-15}$ के गुणांक के लिए,$\frac{45-5r}{2} - 5r = -15 \implies r=5$.
गुणांक $(-1)^5 \binom{9}{5} \frac{4^5}{2^4} = -126 \times 2^6 = -63 \times 2^7$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 7$ और $\beta = -63$.
$|\alpha\ell - \beta| = |7(5) - (-63)| = 98$.

(D) चूँकि $P(b, c)$ परवलय $y^2 = 2ax$ पर स्थित है,इसलिए $c^2 = 2ab$ है।
परवलय $y^2 = 2ax$ के बिंदु $(b, c)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yc = a(x + b)$ है।
$x$-अक्ष $(y = 0)$ के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखने पर $x = -b$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के शीर्ष $P(b, c)$,$(b, 0)$ और $(-b, 0)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2b) \times c = bc = 16$।
$b, c \in \mathbb{N}$ होने के कारण,संभावित युग्म $(b, c) = (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1)$ हैं।
$a = \frac{c^2}{2b}$ का उपयोग करने पर:
$(b, c) = (1, 16)$ के लिए $a = 128$,
$(b, c) = (2, 8)$ के लिए $a = 16$,
$(b, c) = (4, 4)$ के लिए $a = 2$।
अन्य मानों के लिए $a$ एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
अतः,$S = \{128, 16, 2\}$ और उनका योग $128 + 16 + 2 = 146$ है।

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{8} (-1)^{n-1} n (2n-1)^2$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $S = 1 \cdot 1^2 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 5^2 - 4 \cdot 7^2 + 5 \cdot 9^2 - 6 \cdot 11^2 + 7 \cdot 13^2 - 8 \cdot 15^2 + 9 \cdot 17^2 - 10 \cdot 19^2 + 11 \cdot 21^2 - 12 \cdot 23^2 + 13 \cdot 25^2 - 14 \cdot 27^2 + 15 \cdot 29^2$।
धनात्मक और ऋणात्मक पदों को समूहित करने पर:
$S = (1 \cdot 1^2 + 3 \cdot 5^2 + 5 \cdot 9^2 + 7 \cdot 13^2 + 9 \cdot 17^2 + 11 \cdot 21^2 + 13 \cdot 25^2 + 15 \cdot 29^2) - (2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 7^2 + 6 \cdot 11^2 + 8 \cdot 15^2 + 10 \cdot 19^2 + 12 \cdot 23^2 + 14 \cdot 27^2)$।
धनात्मक पदों का योग: $1 + 75 + 405 + 1183 + 2601 + 4851 + 8125 + 12615 = 29856$।
ऋणात्मक पदों का योग: $18 + 196 + 726 + 1800 + 3610 + 6348 + 10206 = 22904$।
$S = 29856 - 22904 = 6952$।

(D) माना दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $0 \le x, y \le 60$ है। प्रतिदर्श समष्टि का कुल क्षेत्रफल $60 \times 60 = 3600$ है।
प्रतिबंध $|x - y| \le a$ है,जिसका अर्थ है $-a \le x - y \le a$.
वह क्षेत्र जहाँ $|x - y| > a$ है,दो समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल है जिनकी भुजाएँ $(60 - a)$ हैं।
$|x - y| > a$ वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(60 - a)^2 + \frac{1}{2}(60 - a)^2 = (60 - a)^2$.
अतः,वह क्षेत्र जहाँ $|x - y| \le a$ है,उसका क्षेत्रफल $3600 - (60 - a)^2$ है।
दिया गया है $P(A) = \frac{3600 - (60 - a)^2}{3600} = \frac{11}{36}$.
$3600$ से गुणा करने पर,हमें $3600 - (60 - a)^2 = 1100$ प्राप्त होता है।
$(60 - a)^2 = 3600 - 1100 = 2500$.
$60 - a = 50 \Rightarrow a = 10$.

(A) हमें व्यंजक $q \vee ((\sim q) \wedge p)$ का निषेध ज्ञात करना है।
माना $E = q \vee ((\sim q) \wedge p)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge \sim((\sim q) \wedge p)$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge (q \vee \sim p)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$:
$\sim E = (\sim q \wedge q) \vee (\sim q \wedge \sim p)$
चूंकि $(\sim q \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction,$F$) है:
$\sim E = F \vee (\sim q \wedge \sim p)$
चूंकि $F \vee X = X$:
$\sim E = (\sim q \wedge \sim p)$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r}{1+r^2+r^4}$ है।
हम जानते हैं कि $1+r^2+r^4 = (1+r^2)^2 - r^2 = (1+r^2-r)(1+r^2+r)$।
अतः,$T_r = \frac{r}{(r^2-r+1)(r^2+r+1)}$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right]$।
माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$। तब $T_r = \frac{1}{2} [f(r) - f(r+1)]$।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)]$ है।
$f(1) = \frac{1}{1^2-1+1} = 1$।
$f(11) = \frac{1}{11^2-11+1} = \frac{1}{121-11+1} = \frac{1}{111}$।
इसलिए,$S_{10} = \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{111}] = \frac{1}{2} [\frac{110}{111}] = \frac{55}{111}$।

(B) दी गई व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{26} \frac{1}{(2r-1)! (51-(2r-1))!}$ है।
$51!$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} \frac{51!}{(2r-1)! (52-2r)!} = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} {}^{51}C_{2r-1}$.
यह योग $(1+x)^{51}$ के विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग दर्शाता है:
$S = \frac{1}{51!} ({}^{51}C_1 + {}^{51}C_3 + \dots + {}^{51}C_{51})$.
हम जानते हैं कि विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग $2^{n-1}$ होता है। यहाँ $n=51$ है,इसलिए योग $2^{51-1} = 2^{50}$ होगा।
अतः,$S = \frac{2^{50}}{51!}$।

(D) माना शीर्ष $A(1,2), B(2,3)$ और $C(3,1)$ हैं।
माना लंबकेंद्र $H(\alpha, \beta)$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{1-2}{3-1} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $m_{BH} = 2$ है। अतः,$\frac{\beta-3}{\alpha-2} = 2$ $\Rightarrow \beta-3 = 2\alpha-4$ $\Rightarrow \beta = 2\alpha-1$।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ है।
चूंकि $CH \perp AB$,$CH$ की ढाल $m_{CH} = -1$ है। अतः,$\frac{\beta-1}{\alpha-3} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -\alpha+3$ $\Rightarrow \beta = -\alpha+4$।
$\beta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2\alpha-1 = -\alpha+4$ $\Rightarrow 3\alpha = 5$ $\Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$।
तब $\beta = 2(\frac{5}{3})-1 = \frac{7}{3}$।
द्विघात समीकरण के मूल $p = \alpha+4\beta = \frac{5}{3} + \frac{28}{3} = 11$ और $q = 4\alpha+\beta = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$ हैं।
द्विघात समीकरण $(x-p)(x-q) = 0$ $\Rightarrow (x-11)(x-9) = 0$ $\Rightarrow x^2-20x+99 = 0$ है।

(D) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ का मान तब न्यूनतम होता है जब $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज हो,अर्थात $A = B = C = 60^{\circ}$।
अंतःत्रिज्या $r = 3$ दी गई है। समबाहु त्रिभुज के लिए,$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$,अतः $a = 6\sqrt{3}$।
परिमाप $= 3a = 18\sqrt{3}$। (विकल्प $A$ सही है)।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 27\sqrt{3}$। (विकल्प $D$ गलत है)।
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ और $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$,अतः विकल्प $B$ सही है।
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -2r^2 = -18$। (विकल्प $C$ सही है)।

(D) समघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$
$2x^2+xy-3y^2=0$ की तुलना $ax^2+2hxy+by^2=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2$,$2h=1 \implies h=1/2$,और $b=-3$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2-y^2}{2-(-3)} = \frac{xy}{1/2}$
$\frac{x^2-y^2}{5} = 2xy$
$x^2-y^2 = 10xy$
$x^2-y^2-10xy=0$

(B) मान लीजिए $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x^2 - 4}$.
चूंकि $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$,इसलिए $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
अतः,समीकरण $t + \frac{1}{t} = 10$ बन जाता है।
$t^2 - 10t + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$t = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
$5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ और $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$.
स्थिति $1$: $x^2 - 4 = 2 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$.
स्थिति $2$: $x^2 - 4 = -2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
अतः,$S = \{ \sqrt{6}, -\sqrt{6}, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \}$.
इसलिए $n(S) = 4$.

(D) माना $z = x + iy$. दिया गया समीकरण $\left|\frac{x+iy-2}{x+iy-3}\right|=2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(x-2)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}=4$ प्राप्त होता है।
$(x-2)^2+y^2 = 4((x-3)^2+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4x^2-24x+36+4y^2$.
$3x^2+3y^2-20x+32=0$.
$3$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-\frac{20}{3}x+\frac{32}{3}=0$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-\frac{10}{3}$ और $f=0$ है।
केंद्र $(\alpha, \beta) = (-g, -f) = \left(\frac{10}{3}, 0\right)$ है।
त्रिज्या $\gamma = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$3(\alpha+\beta+\gamma) = 3\left(\frac{10}{3} + 0 + \frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{12}{3}\right) = 12$।

(A) माना पाँच प्रेक्षण $1, 3, 5, a, b$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 5$ है,अतः $\frac{1+3+5+a+b}{5} = 5$.
$9 + a + b = 25 \implies a + b = 16$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 8$ है,अतः $\frac{1^2+3^2+5^2+a^2+b^2}{5} - (5)^2 = 8$.
$\frac{1+9+25+a^2+b^2}{5} = 33$.
$35 + a^2 + b^2 = 165 \implies a^2 + b^2 = 130$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,$16^2 = 130 + 2ab$.
$256 = 130 + 2ab \implies 2ab = 126 \implies ab = 63$.
$a$ और $b$ समीकरण $x^2 - 16x + 63 = 0$ के मूल हैं।
$(x-7)(x-9) = 0$,अतः शेष प्रेक्षण $7$ और $9$ हैं।
घनों का योग $7^3 + 9^3 = 343 + 729 = 1072$ है।

(C) प्रथम पद $a_1 = 8$ और पहले चार पदों का योग $S_4 = 50$ दिया गया है।
$A.P.$ के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_4 = \frac{4}{2}(2a_1 + 3d) = 50$.
$2(16 + 3d) = 50$ $\Rightarrow 16 + 3d = 25$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3$.
अब,अंतिम चार पदों का योग $a_{n-3} + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = 170$ है।
इसे $(a_1 + (n-4)d) + (a_1 + (n-3)d) + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d) = 170$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$4a_1 + (4n - 10)d = 170$.
$4(8) + (4n - 10)(3) = 170 \Rightarrow 32 + 12n - 30 = 170$.
$12n + 2 = 170$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14$.
$n=14$ वाली $A.P.$ के मध्य के दो पद $a_7$ और $a_8$ हैं।
$a_7 = a_1 + 6d = 8 + 6(3) = 8 + 18 = 26$.
$a_8 = a_1 + 7d = 8 + 7(3) = 8 + 21 = 29$.
मध्य के दो पदों का गुणनफल $a_7 \times a_8 = 26 \times 29 = 754$ है।

(C) माना $S$,$3$-अंकों की संख्याओं का समुच्चय है,$|S| = 900$.
$A$,$2$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,$|A| = 450$.
$B$,$3$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,$|B| = 300$.
$C$,$7$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,$|C| = 128$.
$|A \cap B| = 150$,$|A \cap C| = 64$,$|B \cap C| = 43$,$|A \cap B \cap C| = 21$.
हमें $|(A \cup B) \setminus C|$ ज्ञात करना है।
$|A \cup B| = 450 + 300 - 150 = 600$.
$|(A \cup B) \cap C| = 64 + 43 - 21 = 86$.
परिणाम $= 600 - 86 = 514$.

(C) जब $19^{200} + 23^{200}$ को $49$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $29$ प्राप्त होता है।

(C) $ASSASSINATION$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
स्वर हैं: $A, A, A, I, I, O$ (कुल $6$ स्वर)।
व्यंजन हैं: $S, S, S, S, N, N, T$ (कुल $7$ व्यंजन)।
$6$ स्वरों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ इकाई = $8$ वस्तुएं हैं।
इन $8$ वस्तुओं की व्यवस्था (जहाँ $S$ चार बार और $N$ दो बार दोहराया गया है) = $\frac{8!}{4!2!} = 840$।
अब,इकाई के भीतर $6$ स्वरों की व्यवस्था (जहाँ $A$ तीन बार और $I$ दो बार दोहराया गया है) = $\frac{6!}{3!2!} = 60$।
कुल शब्दों की संख्या = $840 \times 60 = 50400$।

(B) यहाँ $S = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+3n+4}{(2n)!}$ है।
अंश को $2n(2n-1)$ के रूप में लिखने पर:
$2n^2+3n+4 = \frac{1}{2}(2n)(2n-1) + 2(2n) + 4$.
अतः,$S = \frac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + 2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} + 4 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2}(\frac{e+e^{-1}}{2}) + 2(\frac{e-e^{-1}}{2}) + 4(\frac{e+e^{-1}-2}{2})$
$S = \frac{13}{4}e + \frac{5}{4e} - 4$.

(A) मान लीजिए दो पांसों के परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
घटना $A$: $x < y$। परिणामों की संख्या $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ है।
घटना $B$: $x \in \{2, 4, 6\}$ और $y \in \{1, 3, 5\}$। परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
घटना $C$: $x \in \{1, 3, 5\}$ और $y \in \{2, 4, 6\}$। परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
अब,$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ है।
$B \cap C$: $x$ सम और विषम दोनों हो,जो असंभव है,इसलिए $B \cap C = \emptyset$ है।
$A \cap C$: $x < y$ और $x \in \{1, 3, 5\}, y \in \{2, 4, 6\}$।
यदि $x=1$,$y \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ स्थितियाँ)।
यदि $x=3$,$y \in \{4, 6\}$ ($2$ स्थितियाँ)।
यदि $x=5$,$y \in \{6\}$ ($1$ स्थिति)।
$A \cap C$ के लिए कुल स्थितियाँ $3 + 2 + 1 = 6$ हैं।
अतः,$(A \cup B) \cap C$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $6 + 0 = 6$ है।

(B) यदि किसी कथन का सत्यता मान उसके सभी घटकों के लिए हमेशा सत्य (True) रहता है,तो उसे टॉटोलॉजी (पुनरुक्ति) कहा जाता है।
$(B)$ विकल्प $(p \land q)$ $\rightarrow (\sim p$ $\rightarrow q)$ के लिए:
$\sim(p \land q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor p) \lor (\sim q \lor q) \equiv T \lor T \equiv T$.
अतः,यह एक टॉटोलॉजी है।

(C) माना $f(x) = 2x^2 - 8x + k$ है।
एक मूल के $(1,2)$ में और दूसरे के $(2,3)$ में स्थित होने के लिए,$x=2$ पर द्विघात का मान ऋणात्मक होना चाहिए और $x=1$ तथा $x=3$ पर मान धनात्मक होना चाहिए।
$f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(3) = 2(3)^2 - 8(3) + k = 18 - 24 + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + k = 8 - 16 + k = k - 8 < 0 \implies k < 8$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $6 < k < 8$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में $k$ का एकमात्र पूर्णांक मान $k = 7$ है।

(C) रेखा $l_1$ बिंदु $A(2, 6, 2)$ से गुजरती है और समतल $2x + y - 2z = 10$ के लंबवत है। समतल का दिशा सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है। अतः,रेखा $l_1$ का समीकरण $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 6}{1} = \frac{z - 2}{-2}$ है।
दूसरी रेखा $l_2: \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 4}{-3} = \frac{z}{2}$ है,जो बिंदु $B(-1, -4, 0)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{b_2} - \vec{b_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
$\vec{b_2} - \vec{b_1} = (-1 - 2)\hat{i} + (-4 - 6)\hat{j} + (0 - 2)\hat{k} = -3\hat{i} - 10\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(4 - (-4)) + \hat{k}(-6 - 2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} - 8\hat{k}$ है।
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12$ है।
$d = \left| \frac{(-3\hat{i} - 10\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - 8\hat{j} - 8\hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{12 + 80 + 16}{12} \right| = \frac{108}{12} = 9$.

(B) पासे के फलक $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं। गुणनफल धनात्मक तभी होगा जब कोई भी परिणाम $0$ न हो और ऋणात्मक परिणामों की संख्या सम हो।
$P(\text{धनात्मक}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(\text{ऋणात्मक}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,$P(0) = \frac{1}{6}$.
स्थिति $1$: $0$ ऋणात्मक,$5$ धनात्मक: $\binom{5}{0} (\frac{1}{2})^5 = \frac{81}{2592}$.
स्थिति $2$: $2$ ऋणात्मक,$3$ धनात्मक: $\binom{5}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{360}{2592}$.
स्थिति $3$: $4$ ऋणात्मक,$1$ धनात्मक: $\binom{5}{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{1}{2})^1 = \frac{80}{2592}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{81 + 360 + 80}{2592} = \frac{521}{2592}$.

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & k \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & 2\end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(3 \times 2 - (-1) \times 4) - 1(2 \times 2 - (-1) \times 3) + k(2 \times 4 - 3 \times 3) = 0$
$1(6 + 4) - 1(4 + 3) + k(8 - 9) = 0$
$10 - 7 - k = 0$
$3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$
अब,$k = 3$ को दूसरे समीकरण निकाय में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3+1)x + (2 \times 3 - 1)y = 7 \Rightarrow 4x + 5y = 7 \dots (1)$
$(2 \times 3 + 1)x + (3+5)y = 10 \Rightarrow 7x + 8y = 10 \dots (2)$
हल की प्रकृति की जांच करने के लिए,इस निकाय के गुणांक आव्यूह का सारणिक ज्ञात करें:
$D = \left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 7 & 8\end{array}\right| = 32 - 35 = -3 \neq 0$
चूंकि $D \neq 0$,निकाय का एक अद्वितीय हल है।
समीकरणों को हल करने पर:
$(2) - (1) \Rightarrow (7x + 8y) - (4x + 5y) = 10 - 7$
$3x + 3y = 3 \Rightarrow x + y = 1$
अतः,निकाय का एक अद्वितीय हल है जो $x+y=1$ को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया फलन समीकरण $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ है।
$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$5f(0) = f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूँकि सह-प्रांत $(0, \infty)$ है,इसलिए $f(0) \neq 0$,अतः $f(0) = 5$ है।
$y = 1$ रखने पर,$5f(x + 1) = f(x) \cdot f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{f(x + 1)}{f(x)} = \frac{f(1)}{5}$।
यह दर्शाता है कि $f(n)$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r = \frac{f(1)}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $f(3) = f(0) \cdot r^3 = 5 \cdot r^3 = 320$ है।
अतः,$r^3 = 64$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(n) = f(0) \cdot r^n = 5 \cdot 4^n$ है।
योगफल $\sum_{n=0}^5 f(n) = \sum_{n=0}^5 5 \cdot 4^n = 5(1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5)$ होगा।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर,$5 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1} = 5 \cdot \frac{4096 - 1}{3} = 5 \cdot \frac{4095}{3} = 5 \cdot 1365 = 6825$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\hat{n} \perp \vec{c}$,अतः $\hat{n} \cdot \vec{c} = 0$.
दिया गया है कि $\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$.
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (\alpha \vec{b} - \hat{n}) \cdot \vec{c} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\hat{n} \cdot \vec{c}) = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - 0 = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$.
$\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$ और $\vec{c} \cdot \vec{a} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) (\alpha \vec{b} - \hat{n}) - (\alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})) \vec{b}$.
$= \alpha(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n} - \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$= -(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}$.
परिमाण लेने पर:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}| = |\vec{c} \cdot \vec{b}| |\hat{n}|$.
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 12$ और $|\hat{n}| = 1$:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |12| \times 1 = 12$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण $x+90y+2=0$ है,जिसे $y=-\frac{1}{90}x-\frac{2}{90}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m=-\frac{1}{90}$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल $(m_N)$ $-\frac{1}{90}$ होनी चाहिए।
स्पर्शरेखा की ढाल $(m_T)$ अभिलंब की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,इसलिए $m_T = -\frac{1}{m_N} = -\frac{1}{-1/90} = 90$।
वक्र $y=54x^5-135x^4-70x^3+180x^2+210x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210$।
अवकलन को स्पर्शरेखा की ढाल $(90)$ के बराबर रखने पर:
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210 = 90$
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 120 = 0$
$30$ से भाग देने पर:
$9x^4 - 18x^3 - 7x^2 + 12x + 4 = 0$।
इस समीकरण के मूल $x=1, x=2, x=-\frac{2}{3}, x=-\frac{1}{3}$ हैं।
अतः,$x$ के $4$ अलग-अलग मान होने के कारण,वक्र पर ऐसे $4$ बिंदु हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ और $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.
माना $t = x^3$,तो $dt = 3x^2 dx$। समाकलन $\int -\frac{t \tan^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ बन जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I.F. = \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right)$।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right) \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) dx + C$.
$y \cdot \exp \left( \frac{\tan^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} \right) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.
चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$।
$x = 1$ पर,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - \tan^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} \right) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} \right) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$।

(A) बिंदुओं $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ और $C(1, 5, 7)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $(x-1)(4-3) - (y-2)(4-0) + (z-3)(3-0) = 0$
$\Rightarrow (x-1) - 4(y-2) + 3(z-3) = 0$
$\Rightarrow x - 4y + 3z = 2$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, -4, 3 \rangle$ है। इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\langle 1, -4, 3 \rangle}{\sqrt{26}}$ है।
चूंकि $\hat{OP}$ समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है,$\hat{OP} = \pm \langle \frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{-4}{\sqrt{26}}, \frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
दिक् कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं। $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ दिया गया है,इसलिए $\cos \beta > 0$ होना चाहिए।
अतः,$\cos \beta = \frac{4}{\sqrt{26}}$। इसका अर्थ है कि $\hat{OP} = \langle -\frac{1}{\sqrt{26}}, \frac{4}{\sqrt{26}}, -\frac{3}{\sqrt{26}} \rangle$.
इस प्रकार,$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ और $\cos \gamma = -\frac{3}{\sqrt{26}} < 0 \Rightarrow \gamma \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ है। $1 \leq x \leq 2$ के लिए,$[x] = 1$ होता है।
अतः,$I = \int \limits_1^2 x^2 e^{1+[x^3]} dx = e \int \limits_1^2 x^2 e^{[x^3]} dx$.
माना $x^3 = t$,तो $3x^2 dx = dt$,अर्थात $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
जब $x=1, t=1$ और जब $x=2, t=8$.
अतः,$I = \frac{e}{3} \int \limits_1^8 e^{[t]} dt$.
समाकलन का विस्तार करने पर: $I = \frac{e}{3} \left( \int \limits_1^2 e^1 dt + \int \limits_2^3 e^2 dt + \dots + \int \limits_7^8 e^7 dt \right)$.
$I = \frac{e}{3} (e^1 + e^2 + e^3 + e^4 + e^5 + e^6 + e^7) = \frac{e^2(e^7-1)}{3(e-1)}$.
दिया गया पद $\frac{3(e-1)}{e} \cdot I = \frac{3(e-1)}{e} \cdot \frac{e^2(e^7-1)}{3(e-1)} = e(e^7-1) = e^8-e$.

(B) दिया गया है $R = \{(a, b), (b, c)\}$ समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर।
$R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए।
सममितता के लिए जोड़े जाने वाले तत्व:
चूंकि $(a, b) \in R$,हमें $(b, a)$ जोड़ना होगा।
चूंकि $(b, c) \in R$,हमें $(c, b)$ जोड़ना होगा।
अब $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)\}$।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए।
$(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ का उपयोग करके,हमें $(a, c)$ जोड़ना होगा।
चूंकि $(a, c) \in R$,सममितता के लिए हमें $(c, a)$ जोड़ना होगा।
अब $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)\}$।
संक्रामकता की पुनः जाँच करने पर:
$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R \Rightarrow (a, a) \in R$।
$(b, c) \in R$ और $(c, b) \in R \Rightarrow (b, b) \in R$।
$(a, c) \in R$ और $(c, a) \in R \Rightarrow (c, c) \in R$।
इन्हें जोड़ने पर,$R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)\}$।
जोड़े गए तत्व $(b, a), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)$ हैं।
कुल जोड़े गए तत्वों की संख्या $= 7$।

(D) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। हम ऐसे एकैकी फलनों $f: S \rightarrow P(S)$ की संख्या ज्ञात कर रहे हैं कि $f(1) \subset f(2) \subset f(3) \subset f(4) \subset f(5) \subset f(6)$ हो।
यह $S$ के $6$ भिन्न उपसमुच्चयों की एक श्रृंखला चुनने के समान है,जहाँ $A_i = f(i)$ है।
चूँकि $S$ में $6$ अवयव हैं,$6$ भिन्न उपसमुच्चयों की श्रृंखला प्राप्त करने का एकमात्र तरीका यह है कि उपसमुच्चयों का आकार $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हो।
हमें $7$ संभावित आकारों में से $6$ आकार चुनने हैं। आकारों के संभावित क्रम इस प्रकार हैं:
$1$. $(0, 1, 2, 3, 4, 5)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 720$ तरीके।
$2$. $(0, 1, 2, 3, 4, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 360$ तरीके।
$3$. $(0, 1, 2, 3, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$4$. $(0, 1, 2, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$5$. $(0, 1, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$6$. $(0, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ तरीके।
$7$. $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 720$ तरीके।
कुल $= 720 + 360 + 360 + 360 + 360 + 360 + 720 = 3240$।

(D) वक्र $y^2 = 8x$ और $y = x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $y = x$ को $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $x^2 = 8x$ मिलता है,अतः $x(x - 8) = 0$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(8, 8)$ हैं।
हमें प्रथम चतुर्थांश में $y^2 = 8x$,$y = x$ और रेखा $x = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
$x = 2$ पर,वक्र $y^2 = 8x$ का मान $y = \sqrt{16} = 4$ है (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है),और रेखा $y = x$ का मान $y = 2$ है।
क्षेत्रफल $\alpha$ का मान $x = 2$ से $x = 8$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$\alpha = \int_{2}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx$
$\alpha = \int_{2}^{8} (2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - x) \, dx$
$\alpha = \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (2)^{3/2} - \frac{2^2}{2} \right)$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - 2 \right)$
$\alpha = \left( \frac{128}{3} - 32 \right) - \left( \frac{16}{3} - 2 \right)$
$\alpha = \frac{128}{3} - 32 - \frac{16}{3} + 2 = \frac{112}{3} - 30 = \frac{112 - 90}{3} = \frac{22}{3}$
अतः,$3\alpha = 3 \cdot \frac{22}{3} = 22$।

(D) समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ हैं।
दिया गया कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$,इसलिए $\sin \theta = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{24}{25}} = \frac{1}{5}$.
दो समतलों के बीच का कोण $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{\lambda^2 + 10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{|3\lambda - 8|}{\sqrt{35} \sqrt{\lambda^2 + 10}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{25} = \frac{(3\lambda - 8)^2}{35(\lambda^2 + 10)} \Rightarrow 38\lambda^2 - 240\lambda + 250 = 0 \Rightarrow 19\lambda^2 - 120\lambda + 125 = 0$.
$(19\lambda - 25)(\lambda - 5) = 0$,इसलिए $\lambda_1 = \frac{25}{19}$ और $\lambda_2 = 5$.
बिंदु $(38 \times \frac{25}{19}, 10 \times 5, 2) = (50, 50, 2)$ है।
समतल $P_1$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|3(50) - 5(50) + 1(2) - 7|}{\sqrt{35}} = \frac{105}{\sqrt{35}}$.
दूरी का वर्ग $\left(\frac{105}{\sqrt{35}}\right)^2 = \frac{11025}{35} = 315$.

(D) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ है।
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
$L'\text{Hospital}$ नियम लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^4)}$.
$\text{Leibniz}$ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int _{0}^{x} f(t) dt = f(x)$:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{x^6+1}}{4x^3}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4x^3(x^6+1)} = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{4(x^6+1)}$.
$x \rightarrow 0$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$L = \frac{48}{4(0^6+1)} = \frac{48}{4} = 12$.

(D) समतल,समतलों $x - 3y + 2z - 1 = 0$ और $4x - y + z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है। इस रेखा का दिशा सदिश दोनों समतलों के अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{n}_1 = (1, -3, 2)$ और $\vec{n}_2 = (4, -1, 1)$।
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 + 2) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-1 + 12) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 11\hat{k}$।
अतः,अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-1, 7, 11)$ है।
बिंदु $(1, 1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(-1, 7, 11)$ वाले समतल का समीकरण:
$-1(x - 1) + 7(y - 1) + 11(z - 2) = 0$
$-x + 1 + 7y - 7 + 11z - 22 = 0$
$-x + 7y + 11z = 28$।
$Ax + By + Cz = 1$ के रूप में प्राप्त करने के लिए $28$ से भाग देने पर:
$-\frac{1}{28}x + \frac{7}{28}y + \frac{11}{28}z = 1$।
$Ax + By + Cz = 1$ से तुलना करने पर,$A = -\frac{1}{28}$,$B = \frac{7}{28}$,और $C = \frac{11}{28}$ प्राप्त होता है।
अब,$140(C - B + A)$ की गणना करने पर:
$140 \left( \frac{11}{28} - \frac{7}{28} - \frac{1}{28} \right) = 140 \left( \frac{3}{28} \right) = 5 \times 3 = 15$।

(D) दिया गया है $f^1(x) = \frac{3x + 2}{2x + 3}$।
$f^2(x) = f^1(f^1(x)) = \frac{3(\frac{3x+2}{2x+3}) + 2}{2(\frac{3x+2}{2x+3}) + 3} = \frac{13x + 12}{12x + 13}$ ज्ञात करें।
$f^3(x) = f^1(f^2(x)) = \frac{63x + 62}{62x + 63}$ ज्ञात करें।
यहाँ पैटर्न का अवलोकन करें: $f^n(x) = \frac{A_n x + B_n}{B_n x + A_n}$ के रूप में है।
पुनरावृत्ति संबंध $A_n = 3A_{n-1} + 2B_{n-1}$ और $B_n = 2A_{n-1} + 3B_{n-1}$ है।
दोनों को जोड़ने पर: $A_n + B_n = 5(A_{n-1} + B_{n-1})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A_1 + B_1 = 3 + 2 = 5$ है,इसलिए $A_n + B_n = 5^n$ होगा।
अतः,$n=5$ के लिए,$A_5 + B_5 = 5^5 = 3125$।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 - px + \frac{5}{4}p = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = (-p)^2 - 4(1)(\frac{5}{4}p) = p^2 - 5p$.
यहाँ $p \in [0, 10]$ और $p$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $p^2 - 5p = k^2$,जहाँ $k$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है।
$[0, 10]$ में $p$ के पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $p=0, D=0$ (पूर्ण वर्ग)।
यदि $p=5, D=0$ (पूर्ण वर्ग)।
यदि $p=9, D=81 - 45 = 36 = 6^2$ (पूर्ण वर्ग)।
अतः,$p$ का अधिकतम पूर्णांक मान $q = 9$ है।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{0}^{9} (x - 9)^2 dx$ द्वारा दिया गया है।
मान लीजिए $u = x - 9$,तो $du = dx$। जब $x=0, u=-9$; जब $x=9, u=0$।
क्षेत्रफल $= \int_{-9}^{0} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-9}^{0} = 0 - (\frac{-729}{3}) = 243$।

(D) किसी फलन का चरम बिंदु होने के लिए,उस बिंदु पर उसका अवकलज शून्य होना चाहिए।
$f'(x) = x^2 + ax + 2b$
$g'(x) = x^2 + 2bx + a$
मान लीजिए $x_0$ उभयनिष्ठ चरम बिंदु है। अतः $f'(x_0) = 0$ और $g'(x_0) = 0$.
$x_0^2 + ax_0 + 2b = 0$ ---$(1)$
$x_0^2 + 2bx_0 + a = 0$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(a - 2b)x_0 + (2b - a) = 0$
$(a - 2b)x_0 - (a - 2b) = 0$
$(a - 2b)(x_0 - 1) = 0$
चूंकि $a \neq 2b$,इसलिए $x_0 - 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x_0 = 1$.
$x_0 = 1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1^2 + a(1) + 2b = 0$
$1 + a + 2b = 0$
$a + 2b = -1$
हमें $a + 2b + 7$ का मान ज्ञात करना है।
$a + 2b = -1$ को व्यंजक में रखने पर:
$-1 + 7 = 6$.

(A) माना $y = \sqrt{3-x} + \sqrt{2+x}$। प्रांत $-2 \le x \le 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = 5 + 2\sqrt{6+x-x^2}$ प्राप्त होता है।
$g(x) = 6+x-x^2$ का अधिकतम मान $x = 1/2$ पर $25/4$ है और न्यूनतम मान $0$ है।
अतः,$5 \le y^2 \le 10$।
इस प्रकार,परिसर $[\sqrt{5}, \sqrt{10}]$ है।

(C) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}$ है।
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
$v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2} - v = -\frac{1+3v^2+3v+v^3}{3+v^2} = -\frac{(v+1)^3}{3+v^2}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} = \frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}$.
समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}\right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln|v+1| + \frac{2}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} = -\ln|x| + C$.
$\ln|x(v+1)| + \frac{2v}{(v+1)^2} = C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,$\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = C$.
चूँकि $y(1)=0$,अतः $\ln|1+0| + 0 = C \implies C=0$.
अतः,हल $\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = 0$ है।

(C) माना इकाई सदिश $\hat{v} = \cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ है।
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \gamma = 1$ होगा।
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\gamma$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ है।
$(\sqrt{2}, -1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\frac{1}{2}(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y + 1) + \frac{1}{2}(z - 1) = 0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$(x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(y + 1) + (z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow x - \sqrt{2} + \sqrt{2} y + \sqrt{2} + z - 1 = 0$.
$\Rightarrow x + \sqrt{2} y + z = 1$.
चूंकि बिंदु $(a, b, c)$ समतल पर स्थित है,इसलिए $a + \sqrt{2} b + c = 1$ होगा।

(A) हमें $\lim_{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $t = x-1$ है। जैसे ही $x \rightarrow 1$,$t \rightarrow 0$ होता है। अतः,हम $\lim_{t \rightarrow 0} g(h(t))$ का मूल्यांकन करेंगे।
$h(t) = 2[t] - f(t)$.
$t \rightarrow 0^-$ के लिए,$[t] = -1$ और $f(t) = \frac{t}{|t|} = -1$ है। अतः,$h(t) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$ है।
तब,$\lim_{t \rightarrow 0^-} g(h(t)) = g(-1) = 1$ है।
$t \rightarrow 0^+$ के लिए,$[t] = 0$ और $f(t) = \frac{t}{|t|} = 1$ है। अतः,$h(t) = 2(0) - 1 = -1$ है।
तब,$\lim_{t \rightarrow 0^+} g(h(t)) = g(-1) = 1$ है।
चूँकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान हैं,इसलिए सीमा का मान $1$ है।

(D) दिया गया है $P^{T} = aP + (a - 1)I$.
दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$(P^{T})^{T} = (aP + (a - 1)I)^{T}$.
$P = aP^{T} + (a - 1)I$.
समीकरण में $P^{T} = aP + (a - 1)I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = a(aP + (a - 1)I) + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + a(a - 1)I + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - a + a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - 1)I$.
$(1 - a^{2})P = (a^{2} - 1)I$.
चूँकि $a > 1$,$a^{2} - 1 \neq 0$,इसलिए $-(a^{2} - 1)P = (a^{2} - 1)I$.
$P = -I$.
अब,$|P| = |-I| = (-1)^{3} |I| = -1$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} P| = |P|^{n-1}$,जहाँ $n = 3$.
$|\operatorname{Adj} P| = (-1)^{3-1} = (-1)^{2} = 1$.

(A) दिया गया व्यंजक $((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ है।
सदिश त्रिक गुणन नियम $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$,और $\vec{w} = \vec{a} - \vec{b}$ है।
यहाँ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = (\lambda^2 + 4 + 9) - (1 + \lambda^2 + 4) = 8$ है,इसलिए व्यंजक $8(\vec{a} \times \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ में बदल जाता है।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \lambda & 2 & -3 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{vmatrix} = (4 - 3\lambda)\hat{i} - (2\lambda + 3)\hat{j} + (-\lambda^2 - 2)\hat{k}$ की गणना करने पर।
तुलना करने पर: $4 - 3\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1$। जाँच: $-(2(1) + 3) = -5$ और $-(1^2 + 2) = -3$। जो सही है।
$\lambda = 1$ के लिए,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
अतः $\vec{a} + \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{a} - \vec{b} = 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{vmatrix} = (-5 + 3)\hat{i} - (-10 - 0)\hat{j} + (6 - 0)\hat{k} = -2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
चूँकि $\lambda = 1$ है,हमें $|1(-2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k})|^2 = (-2)^2 + 10^2 + 6^2 = 4 + 100 + 36 = 140$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\vec{c} = (2 \vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}$.
हमें $\vec{b} \cdot \vec{c}$ का मान ज्ञात करना है।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot ((2 \vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b})$.
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b} \cdot \vec{b}$.
चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ होता है क्योंकि सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत होता है,इसलिए पहला पद $0$ हो जाता है।
अतः,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3 |\vec{b}|^2$.
दिया गया है कि $|\vec{b}| = 4$,इसलिए $|\vec{b}|^2 = 16$.
अतः,$\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \times 16 = -48$.

(C) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $a_{k+1} - a_k = 1$ सभी $k \ge 1$ के लिए।
चूंकि $a_1 = 1$,इसलिए $a_2 = 2, a_3 = 3, \ldots, a_{2022} = 2022$ है।
श्रेणी का सामान्य पद $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ है।
चूंकि $a_{k+1} - a_k = 1$,हम पद को $\tan ^{-1}\left(\frac{a_{k+1} - a_k}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी इस प्रकार हो जाती है:
$\sum_{k=1}^{2021} (\tan ^{-1} a_{k+1} - \tan ^{-1} a_k) = (\tan ^{-1} a_2 - \tan ^{-1} a_1) + (\tan ^{-1} a_3 - \tan ^{-1} a_2) + \ldots + (\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_{2021})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर $\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_1$ बन जाती है।
$a_{2022} = 2022$ और $a_1 = 1$ मान रखने पर,हमें $\tan ^{-1}(2022) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(2022) - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ है।
रेखा के समीकरण को फिर से लिखने पर: $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1/2}{1} = \frac{z+1}{-1}$।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
माना बिंदु $A(-1, k, 0), B(2, k, -1), C(1, 1, 2)$ हैं।
समतल में सदिश $\vec{CA} = -2\hat{i} + (k-1)\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{CB} = \hat{i} + (k-1)\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & k-1 & -2 \\ 1 & k-1 & -3 \end{vmatrix}$ है।
$\vec{n} = -(k-1)\hat{i} - 8\hat{j} - 3(k-1)\hat{k}$।
चूंकि समतल रेखा के समानांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1(-(k-1)) + 1(-8) - 1(-3(k-1)) = 0$।
$-k + 1 - 8 + 3k - 3 = 0 \Rightarrow 2k - 10 = 0 \Rightarrow k = 5$।
व्यंजक में $k=5$ रखने पर: $\frac{k^2+1}{(k-1)(k-2)} = \frac{5^2+1}{(5-1)(5-2)} = \frac{26}{4 \times 3} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum _{r=0}^{n-1} \left( 2 + \frac{r}{n} \right)^2$ है।
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum _{r=0}^{n-1} f\left( \frac{r}{n} \right) = \int _0^1 f(x) dx$ होता है।
यहाँ,इस अभिव्यक्ति को $3 \int _0^1 (2+x)^2 dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $u = 2+x$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=0, u=2$ और जब $x=1, u=3$ होगा।
अतः,$3 \int _2^3 u^2 du = 3 \left[ \frac{u^3}{3} \right] _2^3 = [u^3] _2^3 = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$.

(C) निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & \alpha \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$1(8 + \alpha) - (-1)(8 - 3\alpha) + 1(-2 - 6) = 0$
$8 + \alpha + 8 - 3\alpha - 8 = 0$
$8 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = 4$.
अब,$\alpha = 4$ को समीकरणों में रखने पर:
$x - y + z = 5$
$2x + 2y + 4z = 8 \implies x + y + 2z = 4$
$3x - y + 4z = \beta$
पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y + z) + (x + y + 2z) = 5 + 4 \implies 2x + 3z = 9$.
अनंत हलों के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। मान लीजिए $k_1(x - y + z) + k_2(x + y + 2z) = 3x - y + 4z$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $k_1 + k_2 = 3$,$-k_1 + k_2 = -1$,$k_1 + 2k_2 = 4$.
$k_1 + k_2 = 3$ और $-k_1 + k_2 = -1$ को हल करने पर $2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$ और $k_1 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = 2(5) + 1(4) = 14$.
मूल $\alpha = 4$ और $\beta = 14$ हैं।
द्विघात समीकरण $(x - 4)(x - 14) = x^2 - 18x + 56 = 0$ है।

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$। शर्त है $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ जब $m, n, m \cdot n \in A$ हो।
$1$. $m=1, n=1$ के लिए: $f(1) = f(1) \cdot f(1) \implies f(1) = 1$ (चूंकि $f(1) \in A$ और $f(1) \neq 0$)।
$2$. $m=3, n=3$ के लिए: $f(9) = f(3) \cdot f(3) = (f(3))^2$। चूंकि $f(9) \in A$,$(f(3))^2$ को $A$ में होना चाहिए। $f(3)$ के लिए संभावित मान $1$ (चूंकि $1^2=1 \in A$) या $3$ (चूंकि $3^2=9 \in A$) हैं।
$3$. $f(2), f(5), f(8)$ के लिए कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है,इसलिए वे $A$ के किसी भी $6$ तत्वों को ले सकते हैं।
कुल फलन = ($f(3)$ के लिए विकल्प) $\times$ ($f(2)$ के लिए विकल्प) $\times$ ($f(5)$ के लिए विकल्प) $\times$ ($f(8)$ के लिए विकल्प)
$= 2 \times 6 \times 6 \times 6 = 432$।

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों $x + 3y - 2z - 2 = 0$ और $x - y + 2z = 0$ के अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-1 - 3) = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = (1, -1, -1)$ ले सकते हैं।
बिंदु $P(2, 3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 1}{-1} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $R$,$(k + 2, -k + 3, -k + 1)$ है।
मान लीजिए $Q = (5, 3, 8)$ है। सदिश $\vec{QR} = (k + 2 - 5, -k + 3 - 3, -k + 1 - 8) = (k - 3, -k, -k - 7)$ है।
चूंकि $\vec{QR}$ रेखा की दिशा $(1, -1, -1)$ के लंबवत है,इसलिए:
$1(k - 3) - 1(-k) - 1(-k - 7) = 0 \Rightarrow k - 3 + k + k + 7 = 0 \Rightarrow 3k + 4 = 0 \Rightarrow k = -\frac{4}{3}$.
सदिश $\vec{QR} = (-\frac{4}{3} - 3, -(-\frac{4}{3}), -(-\frac{4}{3}) - 7) = (-\frac{13}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{17}{3})$ है।
दूरी $\alpha = |\vec{QR}| = \sqrt{(-\frac{13}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{17}{3})^2} = \sqrt{\frac{169 + 16 + 289}{9}} = \sqrt{\frac{474}{9}}$.
अतः,$\alpha^2 = \frac{474}{9}$.
इसलिए,$3\alpha^2 = 3 \times \frac{474}{9} = \frac{474}{3} = 158$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\cos 2x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}} \, dx$ है।
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x \, dx = dt$ होगा।
$I = -\sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{2t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1/2}}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}|$ का उपयोग करने पर,$I = -\ln |\cos x + \sqrt{\cos^2 x - 1/2}| + C = -\ln |\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\cos 2x}| + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$I = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x + 1/2 + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos 2x)}| + C$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$\alpha = -1/2$ और $\beta = 1/2$ है।
अतः,$\beta - \alpha = 1/2 - (-1/2) = 1$।

(B) कुल गेंदें = $6$। चूंकि गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,$k$ गेंदों को निकालने के लिए कुल परिणाम $6^k$ हैं।
$p$ के लिए: दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों एक ही रंग की हैं। रंग के लिए $6$ विकल्प हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है। अतः,$p = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$q$ के लिए: चार गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक तीन गेंदें एक ही रंग की हैं।
चरण $1$: वह रंग चुनें जो $3$ बार आता है ($6$ तरीके)।
चरण $2$: $4$ प्रयासों में इन $3$ गेंदों का स्थान चुनें ($^4C_3 = 4$ तरीके)।
चरण $3$: शेष $1$ गेंद का रंग चुनें ($5$ तरीके)।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $6 \times 4 \times 5 = 120$।
अतः,$q = \frac{120}{6^4} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$।
अनुपात $p : q = \frac{1}{6} : \frac{5}{54} = \frac{9}{54} : \frac{5}{54} = 9 : 5$।
यहाँ $m = 9$ और $n = 5$ हैं,जो सह-अभाज्य हैं।
इसलिए,$m + n = 9 + 5 = 14$।

(B) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = (1-x)^2$,और $y = 2x(1-x)$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 = 2x(1-x) \Rightarrow x^2 = 2x - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2) = 0$. अतः $x = 0$ या $x = 2/3$.
$(1-x)^2 = 2x(1-x) \Rightarrow 1-2x+x^2 = 2x-2x^2 \Rightarrow 3x^2-4x+1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x-1) = 0$. अतः $x = 1/3$ या $x = 1$.
$x^2 = (1-x)^2 \Rightarrow x^2 = 1-2x+x^2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$.
यह क्षेत्र $x = 1/2$ के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (2x(1-x) - (1-x)^2) dx$
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (-3x^2 + 4x - 1) dx$
$A = 2 [-x^3 + 2x^2 - x]_{1/3}^{1/2}$
गणना करने पर,$A = 5/108$ प्राप्त होता है।
अतः,$540A = 540 \times (5 / 108) = 25$.

(A) दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $\ell_1 + \ell_2 = 20$ है।
$\ell_1$ द्वारा बने वर्ग की भुजा $s = \frac{\ell_1}{4}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_1 = (\frac{\ell_1}{4})^2 = \frac{\ell_1^2}{16}$ है।
$\ell_2$ द्वारा बने वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\ell_2}{2\pi}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_2 = \pi(\frac{\ell_2}{2\pi})^2 = \frac{\ell_2^2}{4\pi}$ है।
माना $S = 2A_1 + 3A_2 = 2(\frac{\ell_1^2}{16}) + 3(\frac{\ell_2^2}{4\pi}) = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3\ell_2^2}{4\pi}$ है।
$\ell_2 = 20 - \ell_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$S = \frac{\ell_1^2}{8} + \frac{3(20 - \ell_1)^2}{4\pi}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\ell_1$ के सापेक्ष अवकलन करके शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{dS}{d\ell_1} = \frac{2\ell_1}{8} + \frac{6(20 - \ell_1)(-1)}{4\pi} = 0$.
$\frac{\ell_1}{4} = \frac{6(20 - \ell_1)}{4\pi} = \frac{6\ell_2}{4\pi}$.
$\frac{\pi \ell_1}{4} = \frac{6\ell_2}{4} \Rightarrow \frac{\pi \ell_1}{\ell_2} = 6$.

(D) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$x+y+z=6$ $(1)$
$\alpha x+\beta y+7z=3$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
समीकरण $(3)$ से $(1)$ घटाने पर,$y+2z=8$,इसलिए $y=8-2z$। इसे $(1)$ में रखने पर,$x+(8-2z)+z=6 \Rightarrow x=z-2$।
$x=z-2$ और $y=8-2z$ को $(2)$ में रखने पर:
$\alpha(z-2)+\beta(8-2z)+7z=3$
$(\alpha-2\beta+7)z = 2\alpha-8\beta+3$।
अद्वितीय हल के लिए,$z$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए: $\alpha-2\beta+7 \neq 0$।
अनंत हलों के लिए,दोनों पक्ष शून्य होने चाहिए: $\alpha-2\beta+7=0$ और $2\alpha-8\beta+3=0$।
इन्हें हल करने पर: $2\alpha-4\beta+14=0$ और $2\alpha-8\beta+3=0$। घटाने पर $4\beta+11=0 \Rightarrow \beta=-11/4$,और $\alpha=-25/2$। यह एक अद्वितीय बिंदु है,जो रेखा $x-2y+7=0$ पर स्थित नहीं है।
अतः,विकल्प $D$ सत्य $\text{नहीं}$ है।

(A) रेखा $L$ बिंदु $(5, \lambda, -\lambda)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_1} = (-2, 0, 1)$ है।
रेखा $L_1$ को $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-4}{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $(-1, 1, 4)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_2} = (1, 1, -1)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$.
यहाँ $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, 1-\lambda, 4+\lambda)$.
$d = \frac{|6 - 1 + \lambda - 8 - 2\lambda|}{\sqrt{6}} = \frac{|-\lambda - 3|}{\sqrt{6}}$.
चूंकि $d = 2\sqrt{6}$,इसलिए $|\lambda+3| = 12$. $\lambda \geq 0$ होने के कारण,$\lambda = 9$.
$L$ के लिए,$(\alpha, \beta, \gamma) = (5-2k, 9, k-9)$.
अतः $\alpha = 5-2k$ और $\gamma = k-9$,जिसका अर्थ है $k = \gamma+9$.
$\alpha = 5-2(\gamma+9) = -2\gamma-13$,यानी $\alpha+2\gamma = -13$.
अतः,$\alpha+2\gamma=24$ संभव नहीं है।

(C) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = A$.
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होगा।
$(A + I)^{11}$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(A + I)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} A^k I^{11-k} = \binom{11}{0} I + \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} A^k$.
चूंकि $k \geq 1$ के लिए $A^k = A$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(A + I)^{11} = I + A \left( \sum_{k=1}^{11} \binom{11}{k} \right) = I + A (2^{11} - 1) = I + 2047A$.
$(A + I)^{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 2047 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2048 & 0 & 0 \\ 0 & 8189 & -2047 \\ 0 & 24564 & -6140 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का योग (ट्रेस) $2048 + 8189 - 6140 = 4097$ है।

(D) संबंध $(a, b) R (c, d) \iff ad(b-c) = bc(a-d)$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्य: $(a, b) R (a, b)$ के लिए,$ab(b-a) = ba(a-b)$ होना चाहिए। यह $ab(b-a) = -ab(b-a)$ में बदल जाता है,जो केवल $ab(b-a) = 0$ होने पर ही सत्य है। चूंकि $a, b \in N$,यह सभी $(a, b)$ के लिए सत्य नहीं है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: यदि $(a, b) R (c, d)$,तो $ad(b-c) = bc(a-d) \Rightarrow \frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$। यह शर्त सममित है क्योंकि $(a, b)$ और $(c, d)$ को बदलने पर समान परिणाम मिलता है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: शर्त $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \frac{1}{d} - \frac{1}{a}$ संक्रामकता को दर्शाती है। इस प्रकार,$R$ सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है।

(B) दिया गया है $y = \sin^3\left(\frac{\pi}{3} \cos(g(x))\right)$ जहाँ $g(x) = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(-4x^3 + 5x^2 + 1)^{3/2}$.
$x=1$ पर,$g(1) = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(-4+5+1)^{3/2} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(2)^{3/2} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}(2\sqrt{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
$y(1) = \sin^3\left(\frac{\pi}{3} \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \sin^3\left(\frac{\pi}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin^3\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$.
अब,$y' = 3\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\cos(g(x))\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\cos(g(x))\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\sin(g(x))\right) \cdot g'(x)$.
$g'(x) = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{2}(-4x^3 + 5x^2 + 1)^{1/2} \cdot (-12x^2 + 10x) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \sqrt{-4x^3 + 5x^2 + 1} (-12x^2 + 10x)$.
$g'(1) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot (-2) = -\pi$.
$y'$ में $x=1$ रखने पर:
$y'(1) = 3\sin^2(-\pi/6) \cdot \cos(-\pi/6) \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\sin(2\pi/3)\right) \cdot (-\pi) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-\pi) = \frac{3\pi^2}{16}$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $2y'(1) + 3\pi^2 y(1) = 2\left(\frac{3\pi^2}{16}\right) + 3\pi^2\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{3\pi^2}{8} - \frac{3\pi^2}{8} = 0$.

(C) दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$f'(x) + \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ होगा।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(x f(x)) = \frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x f(x) = \int \frac{x}{2\sqrt{x+1}} dx$.
मान लीजिए $t = \sqrt{x+1}$,तो $t^2 = x+1$,इसलिए $x = t^2-1$ और $dx = 2t dt$.
$x f(x) = \int \frac{t^2-1}{2t} (2t dt) = \int (t^2-1) dt = \frac{t^3}{3} - t + C$.
$t = \sqrt{x+1}$ वापस रखने पर: $x f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{x+1} + C$.
$x=3$ के लिए,मूल समीकरण से $f(3) + 0 = \sqrt{3+1} = 2$,इसलिए $f(3) = 2$.
$x=3$ को $x f(x)$ के समीकरण में रखने पर: $3(2) = \frac{4^{3/2}}{3} - \sqrt{4} + C \Rightarrow 6 = \frac{8}{3} - 2 + C \Rightarrow C = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.
अतः,$f(x) = \frac{(x+1)^{3/2}}{3x} - \frac{\sqrt{x+1}}{x} + \frac{16}{3x}$.
$x=8$ के लिए: $f(8) = \frac{9^{3/2}}{3(8)} - \frac{\sqrt{9}}{8} + \frac{16}{3(8)} = \frac{27}{24} - \frac{3}{8} + \frac{16}{24} = \frac{27 - 9 + 16}{24} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12}$.
इसलिए,$12 f(8) = 17$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{[x]}{1+x^2}$,जहाँ $x \in (2, 6)$ है।
अंतराल $[2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,अतः $f(x) = \frac{2}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$।
अंतराल $[3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,अतः $f(x) = \frac{3}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{3}{17}, \frac{3}{10}]$।
अंतराल $[4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$,अतः $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{2}{13}, \frac{4}{17}]$।
अंतराल $[5, 6)$ के लिए,$[x] = 5$,अतः $f(x) = \frac{5}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{5}{37}, \frac{5}{26}]$।
इन सभी अंतरालों का संघ $(\frac{5}{37}, \frac{2}{5}]$ है।

(C) दिया गया है कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$ गुणधर्म का उपयोग करके करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
यह सरल होकर $4(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ हो जाता है।
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
कथन $(B)$ कहता है कि $\vec{a}$ और $\overrightarrow{c}$ समांतर हैं,लेकिन $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ का अर्थ है कि वे लंबवत हैं (क्योंकि $\vec{c} \neq 0$)। अतः,$(B)$ गलत है।
कथन $(A)$ के लिए,$|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 + 2\lambda(\vec{a} \cdot \vec{c})$ पर विचार करें।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,यह $|\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2$ बन जाता है।
चूंकि सभी $\lambda \in R$ के लिए $\lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 \geq 0$,इसलिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 \geq |\overrightarrow{a}|^2$ होता है,जिसका अर्थ है कि $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
अतः,$(A)$ सही है।

(B) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ का मान ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $\frac{t^{50}}{1-t} = \frac{t^{50}-1+1}{1-t} = \frac{-(1-t^{50})}{1-t} + \frac{1}{1-t} = -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) + \frac{1}{1-t}$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int_{0}^{\alpha} -(1 + t + t^2 + \dots + t^{49}) dt + \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{1-t} dt$.
$I = -\left[ t + \frac{t^2}{2} + \dots + \frac{t^{50}}{50} \right]_{0}^{\alpha} + \left[ -\ln(1-t) \right]_{0}^{\alpha}$.
$I = -P_{50}(\alpha) - \ln(1-\alpha)$.
दिया गया है कि $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$,इसलिए $I = -P_{50}(\alpha) - \beta = -(\beta + P_{50}(\alpha))$.

(A) दिया गया है कि $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17} = \tan ^{-1} \frac{77}{36} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{77}{36} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{77}{36} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \frac{8}{15} = \sin ^{-1} \frac{8}{17}$.
अतः,$\alpha = 8$.
अब,$\sin ^{-1}(\sin 8) + \cos ^{-1}(\cos 8)$ का मान ज्ञात करने पर:
$\sin ^{-1}(\sin 8) = 3\pi - 8$ और $\cos ^{-1}(\cos 8) = 8 - 2\pi$.
योग = $(3\pi - 8) + (8 - 2\pi) = \pi$.

(C) माना $I = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{2+3 \sin x}{\sin x(1+\cos x)} d x = 2 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)} + 3 \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x}$.
सबसे पहले,$I_1 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\cos x} = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} d x = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x \operatorname{cosec} x) d x$ का मूल्यांकन करें।
$I_1 = [-\cot x + \operatorname{cosec} x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} = (0 + 1) - (-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसके बाद,$I_2 = \int \limits_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{d x}{\sin x(1+\cos x)}$ का मूल्यांकन करें। $t = \tan(x/2)$ लेने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$I_2 = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} (1 + \frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{1+t^2}{2t} dt = \frac{1}{2} [\ln|t| + \frac{t^2}{2}]_{1/\sqrt{3}}^{1}$.
$I_2 = \frac{1}{2} [(\ln 1 + \frac{1}{2}) - (\ln \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6})] = \frac{1}{2} [\frac{1}{3} + \ln \sqrt{3}] = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}$.
अतः,$I = 2 I_2 + 3 I_1 = 2(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \ln \sqrt{3}) + 3(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3} + \ln \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = \frac{10}{3} - \sqrt{3} + \ln \sqrt{3}$.

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाली गई दो गेंदें काली हैं। मान लीजिए $H_i$ वह परिकल्पना है कि थैले में $i$ काली गेंदें हैं,जहाँ $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
यह मानते हुए कि प्रत्येक परिकल्पना समान रूप से संभावित है,$P(H_i) = \frac{1}{5}$ है।
$i$ काली गेंदें होने पर $2$ काली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(E|H_i) = \frac{{}^i C_2}{{}^6 C_2} = \frac{{}^i C_2}{15}$ है।
हमें $P(H_5 \cup H_6 | E) = \frac{P(E|H_5)P(H_5) + P(E|H_6)P(H_6)}{\sum_{i=2}^6 P(E|H_i)P(H_i)}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(H_i)$ स्थिर है,यह $\frac{{}^5 C_2 + {}^6 C_2}{{}^2 C_2 + {}^3 C_2 + {}^4 C_2 + {}^5 C_2 + {}^6 C_2}$ में सरल हो जाता है।
संयोजनों की गणना करने पर: ${}^2 C_2 = 1, {}^3 C_2 = 3, {}^4 C_2 = 6, {}^5 C_2 = 10, {}^6 C_2 = 15$ है।
योग $= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$ है।
अंश $= 10 + 15 = 25$ है।
प्रायिकता $= \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ है।

(A) समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n}_1 = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
मान लीजिए $L$ एक रेखा है जो $P_2$ के अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा $L$ और समतल $P_2$ के बीच का कोण $\alpha$,रेखा और अभिलंब के बीच के कोण $\theta$ से $\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$ के रूप में संबंधित है।
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$.
हमें $(\tan^2 \theta)(\cot^2 \alpha)$ की गणना करनी है।
$(\tan^2 \frac{\pi}{3})(\cot^2 \frac{\pi}{6}) = ((\sqrt{3})^2)((\sqrt{3})^2) = (3)(3) = 9$.

(A) दिया गया है: $|\vec{a}|=\sqrt{14}$,$|\vec{b}|=\sqrt{6}$,और $|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{48}$।
हम सदिशों के लिए लैग्रेंज सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$।
दिए गए मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{48})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (\sqrt{14})^2 \times (\sqrt{6})^2$।
$48 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 14 \times 6$।
$48 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 84$।
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 84 - 48$।
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 36$।

(A) रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, -\lambda-1, \lambda+3)$ के रूप में होता है।
इसे समतल के समीकरण $2x+y+3z=16$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(2\lambda+1) + (-\lambda-1) + 3(\lambda+3) = 16$
$4\lambda + 2 - \lambda - 1 + 3\lambda + 9 = 16$
$6\lambda + 10 = 16 \Rightarrow 6\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,बिंदु $P = (3, -2, 4)$.
बिंदु $R(1, -1, -3)$ से रेखा $L$ पर लंब के पाद $Q$ के लिए,माना $Q = (2\mu+1, -\mu-1, \mu+3)$.
सदिश $\vec{RQ} = (2\mu, -\mu, \mu+6)$ है। चूंकि $\vec{RQ}$ रेखा $L$ की दिशा $\vec{v} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ के लंबवत है:
$2(2\mu) - 1(-\mu) + 1(\mu+6) = 0$
$4\mu + \mu + \mu + 6 = 0 \Rightarrow 6\mu = -6 \Rightarrow \mu = -1$.
अतः,$Q = (-1, 0, 2)$.
अब,$\vec{QR} = R - Q = (1 - (-1), -1 - 0, -3 - 2) = (2, -1, -5)$.
और $\vec{QP} = P - Q = (3 - (-1), -2 - 0, 4 - 2) = (4, -2, 2)$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{QR} \times \vec{QP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -5 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-10) - \hat{j}(4+20) + \hat{k}(-4+4) = -12\hat{i} - 24\hat{j}$.
क्षेत्रफल $\alpha = \frac{1}{2} |\vec{QR} \times \vec{QP}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576} = \frac{1}{2} \sqrt{720}$.
इसलिए,$\alpha^2 = \frac{1}{4} \times 720 = 180$.