मान लीजिए f : R rightarrow R एक अवकलनीय फलन ह | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ है,जहाँ $k = \int_0^2 f(t) dt$ एक स्थिरांक है।रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = k$ का सामान्य हल

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x)+f(x)=k$ है,जहाँ $k = \int_0^2 f(t) dt$ एक स्थिरांक है।रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = k$ का सामान्य हल समाकलन गुणक $e^{\int 1 dx} = e^x$ द्वारा प्राप्त होता है।समाकलन गुणक से गुणा करने पर: $e^x f(x) = \int k e^x dx = k e^x + c$.अतः,$f(x) = k + c e^{-x}$ है।प्रतिबंध $f(0) = e^{-2}$ का उपयोग करने पर,हमें $e^{-2} = k + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = e^{-2} - k$ है।$c$ का मान वापस रखने पर: $f(x) = k + (e^{-2} - k)e^{-x}$ है।अब,$k = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (k + (e^{-2} - k)e^{-t}) dt$ की गणना करें।$k = [kt - (e^{-2} - k)e^{-t}]_0^2 = (2k - (e^{-2} - k)e^{-2}) - (0 - (e^{-2} - k)) = 2k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} - k$.$k = k - (e^{-2} - k)e^{-2} + e^{-2} \implies (e^{-2} - k)e^{-2} = e^{-2}$.$e^{-2}$ से विभाजित करने पर (चूंकि $e^{-2} 
eq 0$): $e^{-2} - k = 1$,इसलिए $k = e^{-2} - 1$ है।अतः $f(x) = (e^{-2} - 1) + 1 \cdot e^{-x} = e^{-2} - 1 + e^{-x}$ है।$f(0) = e^{-2} - 1 + 1 = e^{-2}$ है।$f(2) = e^{-2} - 1 + e^{-2} = 2e^{-2} - 1$ है।$2f(0) - f(2) = 2(e^{-2}) - (2e^{-2} - 1) = 1$।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f^{\prime}(x)+f(x)=\int \limits_0^2 f(t) dt$ है। यदि $f(0)=e^{-2}$ है,तो $2f(0)-f(2)$ का मान $.........$ है।

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ एक . . . . . . अवकल समीकरण है।

$(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ के लिए) का हल वक्र है और $y(1) = 1$ है,तो $y(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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