मान लीजिए $A = [a_{ij}]$,जहाँ $a_{ij} \in \mathbb{Z} \cap [0, 4]$ और $1 \leq i, j \leq 2$ है। ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका योग एक अभाज्य संख्या $p \in (2, 13)$ है $........$.

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $|M|$ एक वर्ग आव्यूह $M$ के सारणिक को दर्शाता है। मान लीजिए $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ वह फलन है जो $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$ है। मान लीजिए $p(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल फलन $g(\theta)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,और $p(2)=2-\sqrt{2}$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से $TRUE$ है/हैं?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित करें और सही विकल्प चुनें:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ यदि $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है और $|A|=a$,तो $|\text{adj}(A)|=$	$(I)$ शून्य आव्यूह
$(B)$ $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और $B$ कोटि $3$ का कोई ऐसा आव्यूह है कि $AB=O$,तो $B$ है	$(II)$ $a^2$
$(C)$ $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$ किस पर निर्भर नहीं करता है	$(III)$ $b$
$(D)$ $A$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है और $B=A-A^T$,तो $B$ है	$(IV)$ $a$
	$(V)$ $0$

यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = A$ और $BA = B$,और आव्यूह $X$ और $Y$ को $X = A^4 + B^4$ और $Y = A^{10} + B^{10}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो आव्यूह $X - Y$ है:

मान लीजिए $B=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ और $C=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि एक आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि $BAC=I$,तो $A^{-1}=$