मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।

अऋण पूर्णांकों $s$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{यदि } r \leq s \\ 0 & \text{यदि } r > s \end{cases}$. धनात्मक पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए,मान लीजिए $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,जहाँ किसी भी अऋण पूर्णांक $p$ के लिए,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए

मान लीजिए $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$ है। जब $P(x^{12})$ को $P(x)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

यदि $C_r$ द्विपद गुणांक ${ }^{n} C_r$ को दर्शाता है,तो $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

गुणनफल $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) \ldots (1-2^{15}x)$ में $x^{15}$ का गुणांक क्या है?