मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।

मान लीजिए कि $(x+3)^{n-1}+(x+3)^{n-2}(x+2)+(x+3)^{n-3}(x+2)^2+\ldots+(x+2)^{n-1}$ के विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक $\alpha_{r}$ है। यदि $\sum_{r=0}^{n-1} \alpha_{r}=\beta^{n}-\gamma^{n}$,जहाँ $\beta, \gamma \in N$,तो $\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ और $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ जहाँ $q$ एक वास्तविक संख्या है और $q \ne 1$ है। यदि $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[1005, 2010]$ में उन प्राकृतिक संख्याओं $n$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए बहुपद $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$,बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ को विभाजित करता है।

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ के गुणनफल में $a^{4}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

$x > 1$ के लिए $(x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$ के विस्तार में $x$ के सभी सम घात वाले पदों के गुणांकों का योग क्या है?