alpha, beta in R के लिए,मान लीजिए कि रैखिक सम | vedclass

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Question

(C) निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए: $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \ 2 & 2 & \alpha \ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} =

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$x^2-18x+56=0$

Vedclass · Answer

(C) निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए: $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \ 2 & 2 & \alpha \ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 0$ $1(8 + \alpha) - (-1)(8 - 3\alpha) + 1(-2 - 6) = 0$ $8 + \alpha + 8 - 3\alpha - 8 = 0$ $8 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = 4$. अब,$\alpha = 4$ को समीकरणों में रखने पर: $x - y + z = 5$ $2x + 2y + 4z = 8 \implies x + y + 2z = 4$ $3x - y + 4z = \beta$ पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y + z) + (x + y + 2z) = 5 + 4 \implies 2x + 3z = 9$. अनंत हलों के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। मान लीजिए $k_1(x - y + z) + k_2(x + y + 2z) = 3x - y + 4z$. गुणांकों की तुलना करने पर: $k_1 + k_2 = 3$,$-k_1 + k_2 = -1$,$k_1 + 2k_2 = 4$. $k_1 + k_2 = 3$ और $-k_1 + k_2 = -1$ को हल करने पर $2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$ और $k_1 = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta = 2(5) + 1(4) = 14$. मूल $\alpha = 4$ और $\beta = 14$ हैं। द्विघात समीकरण $(x - 4)(x - 14) = x^2 - 18x + 56 = 0$ है।

$\alpha, \beta \in R$ के लिए,मान लीजिए कि रैखिक समीकरण निकाय $x-y+z=5$,$2x+2y+\alpha z=8$,और $3x-y+4z=\beta$ के अनंत हल हैं। तो $\alpha$ और $\beta$ किसके मूल हैं?

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यदि समीकरण निकाय $x + 5y + 6z = 4$,$2x + 3y + 4z = 7$,और $x + 6y + az = b$ के अनंत हल हैं,तो बिंदु $(a, b)$ किस रेखा पर स्थित है?

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z = 5$,$x + 2y + 2z = 6$,और $x + 3y + \lambda z = \mu$ (जहाँ $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$) के अनंत हल हैं,तो $\lambda + \mu$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $A = \{X = (x, y, z)^{T} : PX = 0 \text{ और } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\}$ जहाँ $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & 9 & -1 \end{bmatrix}$,तो समुच्चय $A$:

$\alpha$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए समीकरण निकाय: $x+y+z=\alpha$,$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$,और $x+3 \alpha y+5 z=4$ असंगत है,है:

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