$5^{99}$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग,जिसमें $1$ की वृद्धि की गई है,किससे विभाज्य है?

मान लीजिए कि $a, b, c, d$ धनात्मक पूर्णांक हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. यदि $9$,$a^3+b^3+c^3$ को विभाजित करता है,तो $3$,$abc$ को विभाजित करता है।
$II$. यदि $9$,$a^3+b^3+c^3+d^3$ को विभाजित करता है,तो $3$,$abcd$ को विभाजित करता है।

दर्शाइए कि $9^{n+1}-8n-9$ संख्या $64$ से विभाज्य है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

जब $7^{103}$ को $23$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

प्रत्येक $n \in N$ के लिए,$2^{3n}-1$ किससे विभाज्य है,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है?