यदि [t] महत्तम पूर्णांक leq t को दर्शाता है,त | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ है। $1 \leq x \leq 2$ के लिए,$[x] = 1$ होता है।अतः,$I = \int \limits_1^2 x^2 e^{1+[x^3

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$e^8-e$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ है। $1 \leq x \leq 2$ के लिए,$[x] = 1$ होता है।अतः,$I = \int \limits_1^2 x^2 e^{1+[x^3]} dx = e \int \limits_1^2 x^2 e^{[x^3]} dx$.माना $x^3 = t$,तो $3x^2 dx = dt$,अर्थात $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.जब $x=1, t=1$ और जब $x=2, t=8$.अतः,$I = \frac{e}{3} \int \limits_1^8 e^{[t]} dt$.समाकलन का विस्तार करने पर: $I = \frac{e}{3} \left( \int \limits_1^2 e^1 dt + \int \limits_2^3 e^2 dt + \dots + \int \limits_7^8 e^7 dt \right)$.$I = \frac{e}{3} (e^1 + e^2 + e^3 + e^4 + e^5 + e^6 + e^7) = \frac{e^2(e^7-1)}{3(e-1)}$.दिया गया पद $\frac{3(e-1)}{e} \cdot I = \frac{3(e-1)}{e} \cdot \frac{e^2(e^7-1)}{3(e-1)} = e(e^7-1) = e^8-e$.

यदि $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है,तो $\frac{3(e-1)^2}{e} \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ का मान क्या है?

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