माना T दीर्घवृत्त E: x^{2}+4 y^{2}=5 के बिंदु | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ है। बिंदु $P(1,1)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का समीकरण $x(1)+4y(1)=5$ अर्थात $x+4y=5$ या $y = \frac{5-x}{4}$ है।

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$1.25$

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(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ है। बिंदु $P(1,1)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का समीकरण $x(1)+4y(1)=5$ अर्थात $x+4y=5$ या $y = \frac{5-x}{4}$ है।स्पर्शरेखा $T$,दीर्घवृत्त $E$ और रेखाओं $x=1$ तथा $x=\sqrt{5}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$A = \int_{1}^{\sqrt{5}} \left( \frac{5-x}{4} - \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{2} \right) dx$समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} \sqrt{5-x^{2}} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$$x=\sqrt{5}$ पर: $\frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{8} - 0 - \frac{5}{4} \sin^{-1}(1) = \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8}$$x=1$ पर: $\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \sqrt{4} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{10-1-4}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$$\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ प्राप्त होता है।$A = \left( \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8} \right) - \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right) \right)$$A = \frac{10\sqrt{5}-10}{8} - \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$इसे $\alpha \sqrt{5} + \beta + \gamma \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = \frac{5}{4}$,$\beta = -\frac{5}{4}$,$\gamma = -\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।$|\alpha + \beta + \gamma| = |\frac{5}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4}| = |-\frac{5}{4}| = 1.25$.

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