माना P एक समतल है जो बिंदुओं (1,0,1), (1,-2,1 | vedclass

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Question

(A) समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_P$ समतल में स्थित दो सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है। माना $A=(1,0,1), B=(1,-2,1), C=(0,1,-2)$.$\ve

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$81$

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(A) समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_P$ समतल में स्थित दो सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है। माना $A=(1,0,1), B=(1,-2,1), C=(0,1,-2)$.$\vec{AB} = (0, -2, 0)$$\vec{AC} = (-1, 1, -3)$$\vec{n}_P = \vec{AB} 	imes \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & -2 & 0 \ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 2\hat{k} = 2(3\hat{i} - \hat{k})$.चूंकि $\vec{a}$,समतल $P$ के समांतर है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{n}_P$ के लंबवत है। साथ ही,$\vec{a}$,$\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के भी लंबवत है।अतः,$\vec{a} = k(\vec{n}_P 	imes \vec{v}) = k \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 0 & -1 \ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = k(2\hat{i} - 10\hat{j} + 6\hat{k})$.दिया है कि $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2$,इसलिए $k(2 - 10 + 12) = 2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 1/2$.इस प्रकार,$\vec{a} = \hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.यहाँ $\alpha = 1, \beta = -5, \gamma = 3$.अतः $(\alpha - \beta + \gamma)^2 = (1 - (-5) + 3)^2 = 9^2 = 81$.

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