मान लीजिए g(t) = int_{-pi/2}^{pi/2} cos left( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया है $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$। ध्यान दें कि $f(-x) = \log_e \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \log_e \left(\frac{1}

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{2} g(1) = g(0)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$। ध्यान दें कि $f(-x) = \log_e \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\right) = -f(x)$। अतः,$f(x)$ एक विषम फलन है।$g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \cos(f(x)) - \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \right] \, dx$.चूंकि $f(x)$ विषम है,$\cos(f(x))$ एक सम फलन है और $\sin(f(x))$ एक विषम फलन है।इसलिए,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \, dx = 0$.अतः,$g(t) = \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$.मान लीजिए $C = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$। तब $g(t) = C \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right)$।$g(1) = C \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{C}{\sqrt{2}}$ और $g(0) = C \cos(0) = C$.इस प्रकार,$g(1) = \frac{g(0)}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{2} g(1) = g(0)$।

मान लीजिए $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,जहाँ $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

Similar Questions

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$

$\int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx =$

$\int_{0}^{\infty} \log \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{1 + x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module