चार पासों को एक साथ फेंका जाता है और इन पासों पर दिखाई देने वाली संख्याओं को $2 \times 2$ आव्यूहों में दर्ज किया जाता है। इस प्रकार बने आव्यूहों के सभी प्रविष्टियाँ अलग-अलग होने और उनके व्युत्क्रमणीय (nonsingular) होने की प्रायिकता क्या है?

क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) और सममित (symmetric) आव्यूह है,है

मान लीजिए $\alpha$ समीकरण $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ का एक मूल है,जहाँ $a, b, c$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं और आव्यूह $\begin{bmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है। तो $\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)} + \frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)} + \frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\Delta ABC$ में,यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & c & a \\ 1 & b & c \end{array} \right| = 0$ है,तो $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = $

यदि $\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right]$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ b & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b & c \\ c & b\end{array}\right]=$