समाकलन $\int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$ का मान किसके बराबर है?

$\int_{-7}^{7} \frac{5^x}{5^{[x]}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

समाकलन $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ का मान है

माना $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right)\right) d x$. दिया गया है कि $\int \frac{d x}{1+k x^2}=\frac{1}{\sqrt{k}} \tan ^{-1}(\sqrt{k} x)+c, \tan ^{-1}(0)=0$ और $\tan ^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$. तो $3 I^2=$

निश्चित समाकलन $\int_0^{\pi /2} \log(\tan x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $T > 0$ एक निश्चित संख्या है। मान लीजिए $f$ एक सतत फलन है ताकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x + T) = f(x)$ हो। यदि $I = \int_{0}^{T} f(x) dx$ है,तो $\int_{3}^{3 + 3T} f(2x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।