माना y=y(x) अवकल समीकरण operatorname{cosec}^{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.$\operatorname{cosec}^{2} x \,

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$e^{-1}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.$\operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + 2 \sin^{2} x = 1 + y \cos 2x$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = 1 - 2 \sin^{2} x$.चूँकि $1 - 2 \sin^{2} x = \cos 2x$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = \cos 2x$.यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\cos 2x$ और $Q(x) = \cos 2x$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\cos 2x \, dx} = e^{-\frac{\sin 2x}{2}}$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) \, dx + C$ है।$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = \int \cos 2x \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} \, dx + C$.माना $u = -\frac{\sin 2x}{2}$,तो $du = -\cos 2x \, dx$.अतः,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -\int e^u \, du + C = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + C$.दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{4}) = 0$,इसलिए $0 = -e^{-\frac{\sin(\pi/2)}{2}} + C = -e^{-1/2} + C$,जिससे $C = e^{-1/2}$.इस प्रकार,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + e^{-1/2}$.$x = 0$ पर,$y \cdot e^0 = -e^0 + e^{-1/2}$,जिससे $y(0) = -1 + e^{-1/2}$ प्राप्त होता है।अतः,$(y(0) + 1)^{2} = (-1 + e^{-1/2} + 1)^{2} = (e^{-1/2})^{2} = e^{-1}$.

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ का हल है,जहाँ $y(\frac{\pi}{4})=0$ है। तो,$(y(0)+1)^{2}$ का मान क्या होगा?

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