मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = 3(1 - \frac{|x|}{2})$ जब $|x| \leq 2$ और अन्यथा $0$ है।$f(x+2) = 3(1 - \frac{|x+2|}{2})$ जब $|x+2| \leq 2$ (अर्थात $-4 \leq x

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$4$

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(A) दिया गया है $f(x) = 3(1 - \frac{|x|}{2})$ जब $|x| \leq 2$ और अन्यथा $0$ है।$f(x+2) = 3(1 - \frac{|x+2|}{2})$ जब $|x+2| \leq 2$ (अर्थात $-4 \leq x \leq 0$) और अन्यथा $0$ है।$f(x-2) = 3(1 - \frac{|x-2|}{2})$ जब $|x-2| \leq 2$ (अर्थात $0 \leq x \leq 4$) और अन्यथा $0$ है।अतः,$g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ इस प्रकार परिभाषित है:$g(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x+2|}{2}) & -4 \leq x $g(x)$ का सरलीकरण:$g(x) = \begin{cases} \frac{3x}{2} + 6 & -4 \leq x \leq -2 \ -\frac{3x}{2} & -2 सांतत्य की जाँच: फलन $g(x)$ हर जगह संतत है क्योंकि $x = -4, -2, 2, 4$ पर सीमाएँ फलन के मानों से मेल खाती हैं (सभी सीमाओं पर $0$ है)।अतः,$n = 0$.अवकलनीयता की जाँच: फलन $g(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ ढाल अचानक बदलती है: $x = -4, -2, 2, 4$.अतः,$m = 4$.इसलिए,$n + m = 0 + 4 = 4$.

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

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