यदि रेखाओं $\vec{r}_{1}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R, \alpha>0$ और $\vec{r}_{2}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}), \mu \in R$ के बीच की न्यूनतम दूरी $9$ है,तो $\alpha$ का मान $.....$ है।

मान लीजिए $Q$ वह घन है जिसके शीर्षों का समुच्चय $\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: x_1, x_2, x_3 \in \{0,1\}\}$ है। मान लीजिए $F$ घन $Q$ के छह फलकों के विकर्णों को समाहित करने वाली सभी बारह रेखाओं का समुच्चय है। मान लीजिए $S$ घन $Q$ के मुख्य विकर्णों को समाहित करने वाली सभी चार रेखाओं का समुच्चय है; उदाहरण के लिए,शीर्ष $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ से गुजरने वाली रेखा $S$ में है। रेखाओं $\ell_1$ और $\ell_2$ के लिए,मान लीजिए $d(\ell_1, \ell_2)$ उनके बीच की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है। तब $d(\ell_1, \ell_2)$ का अधिकतम मान,जैसे-जैसे $\ell_1$ समुच्चय $F$ पर और $\ell_2$ समुच्चय $S$ पर परिवर्तित होता है,क्या होगा?

रेखाओं $\bar{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\bar{r}=(p+1) \hat{i}+(2 p-1) \hat{j}+(2 p+1) \hat{k}$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

यदि रेखाएं $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - \lambda}{2}$ और $\frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{3\lambda} = \frac{2z - 7}{1}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ के मान(ओं) का योग ज्ञात कीजिए।

दो रेखाओं $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{2}$ और $\frac{x-5}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{6}$ के बीच का कोण $\qquad$ है।

$2, 1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा,रेखाओं $x = y + 2 = z$ और $x + 2 = 2y = 2z$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर मिलती है। यदि बिंदु $(1, 2, 12)$ से रेखा $PQ$ पर डाले गए लंब की लंबाई $l$ है,तो $l^2$ का मान ज्ञात कीजिए।