यदि सम्मिश्र संख्या (1-cos theta+2 i sin thet | vedclass

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Question

(D) माना $z = (1 - \cos 	heta + 2i \sin 	heta)^{-1} = \frac{1}{(1 - \cos 	heta) + 2i \sin 	heta}$.अंश और हर को संयुग्मी $((1 - \cos 	heta) - 2i \

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(D) माना $z = (1 - \cos 	heta + 2i \sin 	heta)^{-1} = \frac{1}{(1 - \cos 	heta) + 2i \sin 	heta}$.अंश और हर को संयुग्मी $((1 - \cos 	heta) - 2i \sin 	heta)$ से गुणा करने पर:$z = \frac{(1 - \cos 	heta) - 2i \sin 	heta}{(1 - \cos 	heta)^2 + 4 \sin^2 	heta}$.वास्तविक भाग $	ext{Re}(z) = \frac{1 - \cos 	heta}{(1 - \cos 	heta)^2 + 4 \sin^2 	heta} = \frac{1}{5}$.$1 - \cos 	heta = 2 \sin^2 \frac{	heta}{2}$ और $\sin 	heta = 2 \sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करने पर:$	ext{Re}(z) = \frac{2 \sin^2 \frac{	heta}{2}}{4 \sin^4 \frac{	heta}{2} + 16 \sin^2 \frac{	heta}{2} \cos^2 \frac{	heta}{2}} = \frac{1}{2(\sin^2 \frac{	heta}{2} + 4 \cos^2 \frac{	heta}{2})} = \frac{1}{5}$.अतः,$2(\sin^2 \frac{	heta}{2} + 4 \cos^2 \frac{	heta}{2}) = 5 \implies 2(1 + 3 \cos^2 \frac{	heta}{2}) = 5 \implies \cos^2 \frac{	heta}{2} = \frac{1}{2}$.चूंकि $	heta \in (0, \pi)$,इसलिए $	heta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।अंत में,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$.

यदि सम्मिश्र संख्या $(1-\cos \theta+2 i \sin \theta)^{-1}$ का वास्तविक भाग $\theta \in(0, \pi)$ के लिए $\frac{1}{5}$ है,तो समाकलन $\int_{0}^{\theta} \sin x \,dx$ का मान क्या होगा?

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