જો વક્રો $x^{2}-6x+y^{2}+8=0$ અને $x^{2}-8y+y^{2}+16-k=0$ $(k>0)$ એકબીજાને એક બિંદુએ સ્પર્શતા હોય,તો $k$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

વિધાન $(A) :$ જો બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y = 0$ એકબીજાને સ્પર્શે,તો $f'g = fg'$.
કારણ $(R) :$ જો તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા બધા જ શક્ય સામાન્ય સ્પર્શકોને લંબ હોય,તો બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે.

બિંદુ $(1, 1)$ માંથી અને વર્તુળો $x^2 + y^2 = 6$ અને $x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

$(1, 2)$ અને $(-2, 1)$ સીમિત બિંદુઓ ધરાવતી વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલીની રેડિકલ ધરી (radical axis) કઈ છે?

એક વર્તુળ $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 9$ ને સ્પર્શે છે,તો વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે $A(1, 2)$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે અને $3$ તેની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $B(-1, -1)$ એ બીજા વર્તુળ $S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે. જો વર્તુળો $S$ અને $S^{\prime}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $r$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?