જો સંકલન int_{0}^{1/2} frac{x^{2}}{(1-x^{2})^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. અંશને $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{3}-\pi$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. અંશને $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. $I = -\int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{1/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. પ્રથમ સંકલન માટે,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(x)$. $0$ થી $1/2$ સુધી મૂલ્ય લેતા,આપણને $-[\sin^{-1}(1/2) - \sin^{-1}(0)] = -\pi/6$ મળે છે. બીજા સંકલન માટે,$x = \sin(	heta)$ લો,તો $dx = \cos(	heta) d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=1/2, 	heta=\pi/6$. $\int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos(	heta)}{\cos^{3}(	heta)} d	heta = \int_{0}^{\pi/6} \sec^{2}(	heta) d	heta = [	an(	heta)]_{0}^{\pi/6} = 	an(\pi/6) - 	an(0) = 1/\sqrt{3}$. આમ,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{6}$. આને $\frac{k}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2\sqrt{3}-\pi$ મળે છે.

જો સંકલન $\int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$ નું મૂલ્ય $\frac{k}{6}$ હોય,તો $k$ બરાબર શું થાય?

Similar Questions

$[0, \pi]$ પર $y = \sin x$ નો સરેરાશ ઓર્ડિનેટ (average ordinate) કેટલો થાય?

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{1}^{e} (x+1) e^{x} \ln x \, dx$

સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi \,d \phi$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module