જો  $\mathrm{e}_{1}$ અને  $\mathrm{e}_{2}$ એ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{18}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ ની  ઉકેન્દ્રીતા હોય  અને બિંદુ $\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right)$ એ ઉપવલય $15 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}=\mathrm{k},$ પર હોય તો  $\mathrm{k}$ મેળવો.

ધારોકે $A$ એ $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે. $A$ પરથી વક્રી $x^2+y^2=0$ અને $y^2=16 x$ પર સામાન્ય સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો આમાનો એક સ્પર્શક બને વક્રોને $Q$ અને $R$ માં સ્પર્શે, તો $(Q R)^2=.........$

ધારો કે  $\mathrm{S}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1$ ની ધન $x$-અક્ષ પર આવેલ નાભિ છે. ધારો કે $\mathrm{C}$ એ કેન્દ્ર $\mathrm{A}(\sqrt{6}, \sqrt{5})$ અને બિંદુ $S$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ છે.જો $\mathrm{O}$ ઊગમબિંદૂ હોય અને $SAB$ એ $C$ નો વ્યાસ હોય, તો ત્રિકોણ $OSB$ ના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ ............. છે. 

કોઈ એક અતિવલય, એ ઉપવલય $\frac{ x ^{2}}{25}+\frac{ y ^{2}}{16}=1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થાય છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષ અનુક્રમે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ સાથે એકાકાર છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર એક હોય, તો તે અતિવલયનું સમીકરણ ....... થશે.

બિંદુ $\left( {a\,\,\sec \,\theta ,\,\,b\,\,\tan \,\,\theta } \right)$ આગળ અતિવલય  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$  ના અભિલંબનું સમીકરણ મેળવો.

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_1$ છે અને ઉપવલય $\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_2$ છે, ને અતિવલયની નાભીઓમાંથી પસાર થાય છે. તે  $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$ હોય, તો $x$-અક્ષને સમાંતર તથા $(0,2)$ માંથી પસાર થતી ઉપવલયની જીવાની લંબાઈ.................... છે.