AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-4y+8=0$ માટે બિંદુ $P(h, k)$ ની સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $xh+yk-2(x+h)-2(y+k)+8=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(h-2)x + (k-2)y - 2h - 2k + 8 = 0$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{h-2}{k-2}$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $X$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $1$ છે.
આમ,$-\frac{h-2}{k-2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $h+k=4$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 0$ છે.
તેથી,$(2, 2)$ બિંદુ માટે સંપર્ક જીવા વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી $(2, 2)$ શક્ય નથી.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે ...$(i)$.
રેખા $x+y=k$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(i)$ ને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.
$2k^2-6k+4 = 0$.
$k^2-3k+2 = 0$.
$(k-2)(k-1) = 0$.
તેથી,$k=2$ અથવા $k=1$.
$k>1$ આપેલ હોવાથી,$k=2$ મળે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+ky+4=0$ $(i)$ છે.
વર્તુળ $(i)$ નું કેન્દ્ર $C \equiv (1, -k/2)$ છે.
વર્તુળ $S$ એ વર્તુળ $(i)$ સાથે સમકેન્દ્રી હોવાથી,$S$ નું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y+k/2)^2 = r^2$ $(ii)$ થાય.
કેન્દ્ર $(1, -k/2)$ એ વ્યાસની રેખા $3x-2y+4=0$ પર આવેલું છે.
રેખાના સમીકરણમાં કેન્દ્રના યામ મૂકતા: $3(1) - 2(-k/2) + 4 = 0$ $\Rightarrow 3 + k + 4 = 0$ $\Rightarrow k = -7$.
$k = -7$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $(x-1)^2 + (y-7/2)^2 = r^2$ $(iii)$ મળે છે.
વર્તુળ $S$ બિંદુ $(3, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આ યામોને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$(3-1)^2 + (-2-7/2)^2 = r^2$
$2^2 + (-11/2)^2 = r^2$
$4 + 121/4 = r^2$
$r^2 = (16+121)/4 = 137/4$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{137}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{137}$ થાય.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે,જેને $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. કેન્દ્ર $O(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $P(2, 3)$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ છે. પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q$ એ રેખા $OP$ પર આવેલું છે જેથી $OP \times OQ = r^2$.
$OP$ નો ઢાળ $\frac{3-1}{2-1} = 2$ છે. રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y-1 = 2(x-1)$ છે,જે $2x-y-1=0$ માં પરિણમે છે.
$OP = \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
કારણ કે $OP \times OQ = r^2 = 1$,તેથી $OQ = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
ધારો કે $Q$ એ $(h, k)$ છે. $Q$ એ $2x-y-1=0$ પર હોવાથી,$k = 2h-1$. ઉપરાંત,અંતર $OQ = \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$k-1 = 2h-2$ મૂકતા,આપણને મળે $\sqrt{(h-1)^2+(2h-2)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \sqrt{5(h-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow 5(h-1)^2 = 1$ $\Rightarrow (h-1)^2 = \frac{1}{5}$.
$h-1 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow h = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$h = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}$ માટે,$k = 2(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}) - 1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$.
આમ $Q = (1 + \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$.
$PQ$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)(x-(1+\frac{1}{\sqrt{5}})) + (y-3)(y-(1+\frac{2}{\sqrt{5}})) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $5x^2+5y^2-16x-22y+33=0$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે ... $(i)$
$X$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2-c} = \frac{2\sqrt{13}}{3} \Rightarrow g^2-c = \frac{13}{9}$ ... $(ii)$
$Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2-c} = \frac{2\sqrt{22}}{3} \Rightarrow f^2-c = \frac{22}{9}$ ... $(iii)$
ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{38}}{3}$ હોવાથી,$r^2 = g^2+f^2-c = \frac{38}{9}$ ... $(iv)$
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$g^2 = c + \frac{13}{9}$ અને $f^2 = c + \frac{22}{9}$.
$(iv)$ માં કિંમત મૂકતા: $(c + \frac{13}{9}) + (c + \frac{22}{9}) - c = \frac{38}{9}$
$c + \frac{35}{9} = \frac{38}{9} \Rightarrow c = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
હવે,$g^2 = \frac{1}{3} + \frac{13}{9} = \frac{16}{9} \Rightarrow g = \pm \frac{4}{3}$
અને $f^2 = \frac{1}{3} + \frac{22}{9} = \frac{25}{9} \Rightarrow f = \pm \frac{5}{3}$
કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$g$ ધન અને $f$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આમ,$C = (-\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x+10y+5=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(4, -5)$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ છે. $P$ એ રેખા $2x+y+2=0$ પર હોવાથી,$2h+k+2=0$ ... $(i)$.
રેખાખંડ $CP$ એ જીવાને લંબ છે. જીવાનો ઢાળ $-2$ છે,તેથી $CP$ નો ઢાળ $\frac{1}{2}$ થાય.
$CP$ નો ઢાળ $\frac{k+5}{h-4} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k+10 = h-4$ $\Rightarrow h-2k=14$ ... (ii).
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,$h=2$ અને $k=-6$ મળે છે.
તેથી,$k+4h = -6+4(2) = 2$.

(D) ધારો કે વર્તુળો $S=0$ અને $S'=0$ ના કેન્દ્રો અનુક્રમે $C$ અને $C'$ છે.
$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C = (3, -k)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+(-k)^2-1} = \sqrt{8+k^2}$.
$S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ માટે,કેન્દ્ર $C' = (-k, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{(-k)^2+3^2-(-7)} = \sqrt{k^2+16}$.
$S=0$ ને $P$ આગળનો સ્પર્શક $C'$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $CP \perp C'P$. તેવી જ રીતે,$S'=0$ ને $P$ આગળનો સ્પર્શક $C$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C'P \perp CP$.
આમ,$\triangle CPC'$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જ્યાં $CP = r$ અને $C'P = r'$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$CP^2 + C'P^2 = CC'^2$.
$r^2 + r'^2 = (3 - (-k))^2 + (-k - 3)^2$.
$(8+k^2) + (k^2+16) = (3+k)^2 + (-(k+3))^2$.
$2k^2 + 24 = 2(k+3)^2 = 2(k^2+6k+9) = 2k^2+12k+18$.
$24 = 12k + 18$ $\Rightarrow 12k = 6$ $\Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$S'=0$ ની ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{k^2+16} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+16} = \sqrt{\frac{1}{4}+16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$.

(C) $Y$-અક્ષને $(0,3)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-3)^2 = a^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + 9 = 0$ થાય છે.
$X$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $8$ એકમ હોવાથી,$2\sqrt{g^2 - c} = 8$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g = -a$ અને $c = 9$.
$2\sqrt{(-a)^2 - 9} = 8$ $\Rightarrow \sqrt{a^2 - 9} = 4$ $\Rightarrow a^2 - 9 = 16$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = \pm 5$.
કેન્દ્ર $C(a, 3)$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$a$ ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $a = -5$.
આમ,કેન્દ્ર $C(-5, 3)$ છે.
બિંદુ $(-2, -1)$ થી $C(-5, 3)$ નું અંતર $\sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ થાય.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ છે,જેને $x^2+y^2=2^2$ તરીકે લખી શકાય.
આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા $r=2$ ધરાવતું વર્તુળ છે.
આકૃતિ પરથી,ઉગમબિંદુને રેખા $L$ અને વર્તુળના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓ યામ અક્ષો છે.
છેદબિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(0,2)$ છે.
$(2,0)$ અને $(0,2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ છે.
$a=2$ અને $b=2$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y=2$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $h^2 + hk + k^2 = 37$ ... $(i)$
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$.
વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 10$ છે ... $(ii)$
બિંદુ $(1, 2)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = 10$.
વિસ્તરણ કરતા,$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 10$,જે $h^2 + k^2 - 2h - 4k = 5$ માં પરિણમે છે.
$(i)$ માંથી $h^2 + k^2 = 37 - hk$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$37 - hk - 2h - 4k = 5 \Rightarrow hk + 2h + 4k = 32$ ... $(iii)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી સ્પર્શક રેખા $3x + y - 5 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{10}$ જેટલું થાય:
$\frac{|3h + k - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \sqrt{10} \Rightarrow |3h + k - 5| = 10$.
ધારો કે $3h + k - 5 = 10$,તેથી $3h + k = 15 \Rightarrow k = 15 - 3h$.
$k = 15 - 3h$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$h(15 - 3h) + 2h + 4(15 - 3h) = 32$
$15h - 3h^2 + 2h + 60 - 12h = 32$
$-3h^2 + 5h + 28 = 0 \Rightarrow 3h^2 - 5h - 28 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(3h + 7)(h - 4) = 0$ ઉકેલતા,$h = 4$ અથવા $h = -7/3$ મળે.
જો $h = 4$ હોય,તો $k = 15 - 3(4) = 3$.
આમ,$k = 3$.

(A) આપેલ વર્તુળો $x^2+y^2+6x-8y+16=0$ અને $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા $(x+3)^2+(y-4)^2=3^2$ અને $(x-1)^2+(y-1)^2=1^2$ મળે છે.
તેથી,$C_1=(-3,4), r_1=3$ અને $C_2=(1,1), r_2=1$.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ $C_1C_2$ ને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$P = \left(0, \frac{7}{4}\right)$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $Q$ એ $C_1C_2$ ને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજિત કરે છે:
$Q = \left(3, -\frac{1}{2}\right)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-0)^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{7}{4})^2} = \sqrt{9 + \frac{81}{16}} = \frac{15}{4}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ છે.
વર્તુળ $(2,0)$,$(1,-2)$ અને $(-1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણને મળે:
$(2-a)^2+b^2=r^2$
$(1-a)^2+(-2-b)^2=r^2$
$(-1-a)^2+(1-b)^2=r^2$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a=\frac{3}{14}$,$b=-\frac{5}{14}$ અને $r^2=\frac{325}{98}$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $\left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2=\frac{325}{98}$ છે.
ધારો કે $S(x,y) = \left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98}$.
બિંદુ $(1,2)$ માટે,$S(1,2) = \left(1-\frac{3}{14}\right)^2+\left(2+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98} = \frac{121}{196}+\frac{1089}{196}-\frac{650}{196} = \frac{560}{196} > 0$.
$S(1,2) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(1,2)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x-12y-132=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x+1)^2+(y-6)^2 = 169 = 13^2$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $(-1, 6)$ અને ત્રિજ્યા $r = 13$ છે.
રેખા $12x+5y+k=0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{12}{5}$ છે.
આ રેખાને લંબ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5}{12}$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x-12y+c = 0$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
કેન્દ્ર $(-1, 6)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $13$ જેટલું હોય:
$\frac{|5(-1)-12(6)+c|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}} = 13$
$\frac{|-5-72+c|}{13} = 13$
$|c-77| = 169$
$c-77 = 169 \Rightarrow c = 246$ અથવા $c-77 = -169 \Rightarrow c = -92$.
તેથી,સ્પર્શકોના સમીકરણો $5x-12y+246=0$ અને $5x-12y-92=0$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+10x+8y-23=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ એ $(-5, -4)$ છે.
$M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,રેખા $OM$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે.
$OM$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-4 - (-5/2)}{-5 - (-7/2)} = \frac{-4 + 2.5}{-5 + 3.5} = \frac{-1.5}{-1.5} = 1$ છે.
$OM \perp AB$ હોવાથી,જીવા $AB$ નો ઢાળ $m_2 = -1/m_1 = -1$ થાય.
બિંદુ $M\left(\frac{-7}{2}, \frac{-5}{2}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$y - (-5/2) = -1(x - (-7/2))$
$y + 5/2 = -x - 7/2$
$x + y + 6 = 0$
$ax + by + 1 = 0$ સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,આપણે $-6$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}y + 1 = 0$ મળે.
આને $ax + by + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1/6$ અને $b = 1/6$ મળે.
તેથી,$3a + 3b = 3(1/6) + 3(1/6) = 1/2 + 1/2 = 1$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $O = (-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ સહાયક વર્તુળ (director circle) છે.
સહાયક વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5\sqrt{2}$ છે.
તેથી,વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $(x+3)^2+(y-2)^2 = 50$ છે.
રેખા $6x-4y+k=0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x+3y+C'=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
કેન્દ્ર $(-3, 2)$ થી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા $5\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|2(-3)+3(2)+C'|}{\sqrt{2^2+3^2}} = 5\sqrt{2} \Rightarrow |C'| = 5\sqrt{26}$.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x+3y \pm 5\sqrt{26}=0$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા $2x - y + 3 = 0$ માટે $l = 2, m = -1, n = 3$ છે.
છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર: $x_1 = h - \frac{r^2 l}{lh + mk + n}$ અને $y_1 = k - \frac{r^2 m}{lh + mk + n}$.
અહીં છેદ $D = 2(2) - 1(3) + 3 = 4$ છે.
$x_1 = 2 - \frac{9(2)}{4} = -\frac{5}{2}$ અને $y_1 = 3 - \frac{9(-1)}{4} = \frac{21}{4}$.
તેથી,છેદબિંદુ $\left(-\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $S = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ અને બિંદુ $(1, 1)$ છે.
$S_1 = 1^2 + 1^2 + 2(1) + 2(1) + 1 = 7$.
$T = x(1) + y(1) + (x + 1) + (y + 1) + 1 = 2x + 2y + 3$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$7(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1) = (2x + 2y + 3)^2$.
$7x^2 + 7y^2 + 14x + 14y + 7 = 4x^2 + 4y^2 + 9 + 8xy + 12x + 12y$.
પદોને ગોઠવતા:
$3x^2 - 8xy + 3y^2 + 2x + 2y - 2 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-2)^2+(y+3)^2 = 25 = 5^2$ મળે.
તેથી કેન્દ્ર $(2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
પેરામેટ્રિક યામ $x = 2 + 5\cos\theta$ અને $y = -3 + 5\sin\theta$ છે.
બિંદુ $P$ માટે $\theta = \frac{\pi}{3}$,$P = (\frac{9}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$.
બિંદુ $Q$ માટે $\theta = \frac{2\pi}{3}$,$Q = (-\frac{1}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{9}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + 0^2} = 5$.

(A) આપેલ રેખા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \Rightarrow \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
આપેલ વર્તુળ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ છીએ:
$x^2 + y^2 - 2(ax + by)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b}) + (a^2 + b^2 - r^2)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b})^2 = 0$.
રેખાઓ કાટખૂણે હોય તે માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ શરત લાગુ પાડતા: $a^2 + b^2 - r^2 = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 = r^2$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-4x-8y+4=0$ છે. કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+4^2-4} = \sqrt{16} = 4$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી કેન્દ્ર $(2,4)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તેથી,ઉગમબિંદુ અને કેન્દ્રને જોડતી રેખા તથા એક સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha/2$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin(\alpha/2) = r/d = 4/(2\sqrt{5}) = 2/\sqrt{5}$.
તેથી,$\cos(\alpha/2) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha/2)} = \sqrt{1 - 4/5} = 1/\sqrt{5}$.
આમ,$\tan(\alpha/2) = \sin(\alpha/2) / \cos(\alpha/2) = (2/\sqrt{5}) / (1/\sqrt{5}) = 2$.
સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan \alpha = \frac{2(2)}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -4/3$.
$\alpha$ લઘુકોણ હોવાથી,આપણે તેનું મૂલ્ય લઈએ,તેથી $\tan \alpha = 4/3$.

(D) ધારો કે $O(h, k)$ એ $A(2,3)$,$B(3,-1)$ અને $C(-3,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર હોવાથી,$OA = OB = OC$ (વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h+3)^2 + (k-2)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 + 6h + 9 + k^2 - 4k + 4$
$-4h - 6k = 6h - 4k$
$10h + 2k = 0 \Rightarrow k = -5h \quad ... (i)$
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-3)^2 + (k+1)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 6h + 9 + k^2 + 2k + 1$
$-4h - 6k + 13 = -6h + 2k + 10$
$2h - 8k = -3 \quad ... (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2h - 8(-5h) = -3$
$2h + 40h = -3$ $\Rightarrow 42h = -3$ $\Rightarrow h = -\frac{1}{14}$
$k = -5h = -5(-\frac{1}{14}) = \frac{5}{14}$
હવે,$2k - 4h$ ની ગણતરી કરતા:
$2(\frac{5}{14}) - 4(-\frac{1}{14}) = \frac{10}{14} + \frac{4}{14} = \frac{14}{14} = 1$

(D) ધારો કે $PQ$ ઉગમબિંદુ પર $\theta$ ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\angle POQ = \theta$.
રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
$(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = m(x - 1)$ છે.
તેથી,$\frac{mx - y}{m + 2} = 1$ ...$(i)$
આપેલ વક્ર $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ છે ...(ii)
વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા:
$3x^2 - y^2 - 2x(1) + 4y(1) = 0$
$1 = \frac{mx - y}{m + 2}$ મૂકતા:
$3x^2 - y^2 - 2x\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) + 4y\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) = 0$
$(m + 2)$ વડે ગુણતા:
$(m + 6)x^2 + (4m + 2)xy - (m + 6)y^2 = 0$
ઉગમબિંદુ પર આંતરાતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
$x^2$ નો સહગુણક + $y^2$ નો સહગુણક = $(m + 6) - (m + 6) = 0$.
તેથી,ઉગમબિંદુ પર $PQ$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $S = x^2 + y^2 + 4x + 6y - 3 = 0$ છે. કેન્દ્ર $O(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(1, 1)$ માટે,અંતર $OP = 5$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{OP^2 - r^2} = 3$.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{r \cdot PA^3}{r^2 + PA^2} = \frac{4 \cdot 3^3}{4^2 + 3^2} = \frac{108}{25}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C=(3,4)$ અને ત્રિજ્યા $R=\sqrt{3^2+4^2-9}=\sqrt{9+16-9}=\sqrt{16}=4$ છે.
ધારો કે $AB$ એ $2\sqrt{3}$ લંબાઈની જીવા છે. કેન્દ્ર $C(3,4)$ થી જીવા $2x+3y+k=0$ પરના લંબ અંતર $CM$ નું સૂત્ર $CM = \frac{|2(3)+3(4)+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|6+12+k|}{\sqrt{4+9}} = \frac{|18+k|}{\sqrt{13}}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ACM$ માં,$AC^2 = CM^2 + AM^2$,જ્યાં $AM = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4^2 = \left(\frac{|18+k|}{\sqrt{13}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2$.
$16 = \frac{(18+k)^2}{13} + 3$.
$13 = \frac{(18+k)^2}{13} \Rightarrow (18+k)^2 = 169$.
વર્ગમૂળ લેતા,$18+k = \pm 13$.
કિસ્સો $1$: $18+k = 13 \Rightarrow k = -5$.
કિસ્સો $2$: $18+k = -13 \Rightarrow k = -31$.
આમ,$k$ ની એક કિંમત $-5$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. $C$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$h < 0$ અને $k < 0$ છે.
રેખા $AB$ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AB$ નું સમીકરણ $x + y - 3 = 0$ છે.
$C(h, k)$ નું $AB$ થી અંતર $\frac{|h + k - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$ છે.
$C$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$h + k - 3 < 0$ છે,તેથી $-(h + k - 3) = 7 \Rightarrow h + k = -4$.
$C$ એ $A(1, 2)$ અને $B(2, 1)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$CA^2 = CB^2 \Rightarrow (h-1)^2 + (k-2)^2 = (h-2)^2 + (k-1)^2$.
આનાથી $h = k$ મળે છે.
$h = k$ ને $h + k = -4$ માં મૂકતા,$2h = -4 \Rightarrow h = -2, k = -2$ મળે છે. તેથી $C = (-2, -2)$.
ત્રિજ્યા $R = CA = \sqrt{(-2-1)^2 + (-2-2)^2} = 5$ છે.
$P(1, -2)$ નું $C(-2, -2)$ થી અંતર $\sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = 3$ છે.
$3 < 5$ હોવાથી,બિંદુ $P(1, -2)$ વર્તુળ $S$ ની અંદર આવેલું છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. $L_1$ સ્પર્શક હોવાથી,$(h, k)$ થી $3x - 4y - 8 = 0$ નું લંબ અંતર $r$ છે.
$\frac{|3h - 4k - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r \Rightarrow |3h - 4k - 8| = 5r$. $L_1$ સ્પર્શક હોવાથી,$r = 2$,તેથી $|3h - 4k - 8| = 10$.
વળી,$(h, k)$ થી $L_2 \equiv x + y - 1 = 0$ નું અંતર $\sqrt{2}$ છે.
$\frac{|h + k - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2} \Rightarrow |h + k - 1| = 2$.
આપેલ છે કે $h^2 + k^2 = 13$. આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $(h, k) = (3, 2)$ અથવા $(-2, 3)$ મળે છે.
$(h, k) = (3, 2)$ માટે,જીવા $L_2$ નું મધ્યબિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ કેન્દ્ર $(3, 2)$ નો $x + y - 1 = 0$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
$\frac{\alpha - 3}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{3 + 2 - 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{4}{2} = -2$.
$\alpha = 3 - 2 = 1, \beta = 2 - 2 = 0$. તેથી,$\alpha + \beta = 1$.
$r = 2$ આપેલ હોવાથી,$\alpha + \beta + r = 1 + 2 = 3$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (-2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $(2,1)$ માટે સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $2x + y + 3 = 0$ મળે છે.
કેન્દ્રથી જીવા પરના લંબનું માપ $CM = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
જીવાની અડધી લંબાઈ $PM = \sqrt{r^2 - CM^2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,જીવાની કુલ લંબાઈ $PQ = 2 \times PM = \frac{8}{\sqrt{5}}$ થાય.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+8y+4=0$ નું કેન્દ્ર $P(2, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x=0$ નું કેન્દ્ર $Q(-1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી સ્પર્શબિંદુ $O(a, b)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $r_1 : r_2 = 4 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$O(a, b) = \left( \frac{4(-1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(0)+1(-4)}{4+1} \right)$.
$O(a, b) = \left( -\frac{2}{5}, -\frac{4}{5} \right)$.
આમ,$a = -\frac{2}{5}$ અને $b = -\frac{4}{5}$.
તેથી,$a+2b = -\frac{2}{5} + 2\left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{10}{5} = -2$.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ માટે,$g_2=-1, f_2=1, c_2=-2$. શરત મુજબ: $2g(-1)+2f(1)=c-2 \Rightarrow -2g+2f=c-2$ (સમીકરણ $1$).
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ માટે,$g_3=2, f_3=-3, c_3=9$. શરત મુજબ: $2g(2)+2f(-3)=c+9 \Rightarrow 4g-6f=c+9$ (સમીકરણ $2$).
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ એ $2x+3y-2=0$ પર હોવાથી,$2(-g)+3(-f)-2=0 \Rightarrow -2g-3f=2$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $f=-1, g=1/2, c=-1$ મળે છે.
તેથી $2g+f = 2(1/2)+(-1) = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $c-f = -1-(-1) = 0$. તેથી,$2g+f = c-f$.

(A) ધારો કે $C_1 = A(1, 2)$ અને $r_1 = 3$. ધારો કે $C_2 = B(-1, -1)$ અને $r_2 = r$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,જ્યાં $d^2 = (1 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2 r_1 r_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{13 - 3^2 - r^2}{2 \times 3 \times r}$.
$\frac{1}{2} = \frac{13 - 9 - r^2}{6r} = \frac{4 - r^2}{6r}$.
$3r = 4 - r^2 \Rightarrow r^2 + 3r - 4 = 0$.
$(r + 4)(r - 1) = 0$.
ત્રિજ્યા $r > 0$ હોવાથી,$r = 1$.
આમ,$r$ માટે માત્ર $1$ શક્ય મૂલ્ય છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ માટે,$g_1=1, f_1=-2, c_1=1$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ માટે,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=c$ છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos(\theta) = \frac{c_1+c_2-2(g_1g_2+f_1f_2)}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2((1)(-2)+(-2)(-1))}{2\sqrt{1^2+(-2)^2-1}\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-c}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2(-2+2)}{2\sqrt{4}\sqrt{5-c}} = \frac{1+c}{4\sqrt{5-c}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{(1+c)^2}{16(5-c)}$.
$8(5-c) = (1+c)^2 \Rightarrow 40-8c = 1+2c+c^2$.
$c^2+10c-39=0$.
$(c+13)(c-3)=0$.
આમ,$c=3$ અથવા $c=-13$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x+2fy+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2gx-4y-1=0$ છે.
$x^2+y^2+2g_ix+2f_iy+c_i=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$g_1=-2, f_1=f, c_1=1$
$g_2=g, f_2=-2, c_2=-1$
વર્તુળો લંબ છેદતા હોવાથી,શરત $2(g_1g_2+f_1f_2)=c_1+c_2$ છે.
$2((-2)(g) + (f)(-2)) = 1 + (-1)$
$2(-2g-2f) = 0 \implies g+f=0 \implies f=-g$.
ત્રિજ્યાના વર્ગ $r_1^2 = g_1^2+f_1^2-c_1 = (-2)^2+f^2-1 = 3+f^2$ અને $r_2^2 = g_2^2+f_2^2-c_2 = g^2+(-2)^2-(-1) = g^2+5$ છે.
$r_1^2+r_2^2 = 3+f^2+g^2+5 = 8+f^2+g^2$.
$f=-g$ હોવાથી,$f^2=g^2$,તેથી $r_1^2+r_2^2 = 8+2g^2$.
આમ,$r_1^2+r_2^2-8 = 2g^2$.

(C) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-4x+6y-3=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણો:
$S_1: (x-2)^2+(y+3)^2 = 16 = 4^2$. કેન્દ્ર $C_1 = (2, -3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 4$.
$S_2: (x+1)^2+(y-1)^2 = 4 = 2^2$. કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 2$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ છે. ધારો કે સામાન્ય જીવા $C_1C_2$ ને $M$ માં છેદે છે. $AM = h$ અને $C_1M = x$ લેતા,$C_2M = 5-x$.
$\triangle AC_1M$ માં,$h^2 + x^2 = 16$.
$\triangle AC_2M$ માં,$h^2 + (5-x)^2 = 4$.
બાદબાકી કરતા: $x^2 - (5-x)^2 = 12$ $\Rightarrow 10x = 37$ $\Rightarrow x = 3.7$.
$h^2 = 16 - (3.7)^2 = 2.31 = \frac{231}{100}$.
$h = \frac{\sqrt{231}}{10}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $AB = 2h = \frac{\sqrt{231}}{5}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-2x+4y+c=0$ ...$(i)$
$x^2+y^2+2x-4y+c=0$ ...(ii)
વર્તુળ $(i)$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5-c}$.
વર્તુળ (ii) માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{5-c}$.
બે વર્તુળોને ચાર સામાન્ય સ્પર્શકો હોય જો તેઓ અલગ હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોય: $d(C_1, C_2) > r_1 + r_2$.
કેન્દ્રો $C_1(1, -2)$ અને $C_2(-1, 2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
તેથી,$2\sqrt{5} > 2\sqrt{5-c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$5 > 5-c$,જેનો અર્થ છે $c > 0$.
વળી,ત્રિજ્યા વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,$5-c > 0$,તેથી $c < 5$.
આમ,$0 < c < 5$.

(D) ધારો કે $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$. કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
ધારો કે $S_2: x^2+y^2-2x+2y+1=0$. કેન્દ્ર $C_2 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $P$ માં છેદે છે જે કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$P$ ના યામ $(3, -3)$ મળે છે.
$P(3, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $mx - y - 3m - 3 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C_2(1, -1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r_2=1$ જેટલું હોય.
$\left| \frac{-2m - 2}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 1 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{3}{3} = 1$ થાય.

(A) $S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_2 - S_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $S_1: x^2+y^2+kx-ky+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-kx+ky-2=0$.
$S_2 - S_1 = -2kx + 2ky - 3 = 0$.
તેથી,સમીકરણ $x^2+y^2+kx-ky+1 + \lambda(-2kx+2ky-3) = 0$ છે.
$x^2+y^2 + k(1-2\lambda)x - k(1-2\lambda)y + (1-3\lambda) = 0$.
આને આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$ સાથે સરખાવતા:
$k(1-2\lambda) = -4$ અને $1-3\lambda = -\frac{7}{2}$.
$1-3\lambda = -\frac{7}{2}$ પરથી,$3\lambda = \frac{9}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$ મળે.
$\lambda = \frac{3}{2}$ ને $k(1-2\lambda) = -4$ માં મૂકતા:
$k(1-2(\frac{3}{2})) = -4$ $\Rightarrow k(1-3) = -4$ $\Rightarrow -2k = -4$ $\Rightarrow k = 2$.
બિંદુ $(k, k) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(2, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+(-2)^2 - (-\frac{7}{2})} = \sqrt{4+4+\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{23}{2}}$.
$(2, 2)$ માંથી $S$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(2, 2)} = \sqrt{2^2+2^2-4(2)+4(2)-\frac{7}{2}} = \sqrt{4+4-8+8-\frac{7}{2}} = \sqrt{8-\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) રેખા $x+y+2=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$x^2+y^2+(4+\lambda)x+(\lambda-4)y+(2\lambda-4)=0$ મળે.
આને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 4+\lambda$,$2f = \lambda-4$,અને $c = 2\lambda-4$ મળે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(-\frac{4+\lambda}{2}, -\frac{\lambda-4}{2}\right)$ છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ નું રેખા $x+y+2=0$ થી અંતર $\sqrt{2}$ આપેલું છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\left|\frac{-g-f+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \sqrt{2}$ મળે.
આથી $|-g-f+2| = 2$,એટલે કે $-g-f+2 = 2$ અથવા $-g-f+2 = -2$.
કિસ્સો $1$: $g+f = 0$. $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
જો $\lambda=0$ હોય,તો તે મૂળ વર્તુળ જ રહે,પરંતુ પ્રશ્નમાં $S$ અલગ વર્તુળ છે.
કિસ્સો $2$: $g+f = 4$. $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 4 \Rightarrow \lambda = 4$.
$\lambda=4$ માટે,$g = 4$,$f = 0$,અને $c = 4$ મળે.
આમ,$g+f+c = 4+0+4 = 8$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x+12y-3=0$ છે.
સરખામણી કરતા $g=-5, f=6, c=-3$ મળે.
કેન્દ્ર $(5, -6)$ અને ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
રેખા $Ax+By+C=0$ એ બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખા છે જો $\frac{x_1+g}{A} = \frac{y_1+f}{B} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-C}$ થાય.
વિકલ્પ $(d)$ $6x-8y+15=0$ માટે ચકાસતા,કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર $d = 9.3$ મળે છે.
અહીં $d > r$ હોવાથી,આ રેખા વર્તુળની બહારની રેખા છે જે વર્તુળની અંદરના બિંદુ માટે ધ્રુવીય રેખા હોઈ શકે છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2fy-1=0$ છે. $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2$,$f'=f$,અને $c=-1$ મળે છે. ત્રિજ્યા $R$ માટે $R^2 = g^2+f'^2-c = (-2)^2+f^2-(-1) = f^2+5$ થાય.
બે રેખાઓ $l_1x+m_1y+n_1=0$ અને $l_2x+m_2y+n_2=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તો શરત $R^2(l_1l_2+m_1m_2) = (l_1g+m_1f'-n_1)(l_2g+m_2f'-n_2)$ છે.
અહીં,$l_1=1, m_1=1, n_1=-1$ અને $l_2=2, m_2=-1, n_2=1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(f^2+5)(1(2)+1(-1)) = (1(-2)+1(f)-(-1))(2(-2)+(-1)(f)-1)$
$(f^2+5)(1) = (f-1)(-f-5)$
$f^2+5 = -f^2-4f+5$
$2f^2+4f = 0$
$2f(f+2) = 0$
તેથી,$f=0$ અથવા $f=-2$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નું વર્તુળની સાપેક્ષમાં વ્યસ્ત બિંદુ $(l, m)$ માટે:
$l = h + \frac{r^2(\alpha-h)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$ અને $m = k + \frac{r^2(\beta-k)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$.
અહીં $(\alpha, \beta) = (3, 2)$,$(h, k) = (1, -2)$ અને $r^2 = 9$ છે.
છેદની કિંમત: $(\alpha-h)^2 + (\beta-k)^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
તેથી,$l = 1 + \frac{9}{20}(2) = 1 + \frac{18}{20} = \frac{38}{20}$.
$m = -2 + \frac{9}{20}(4) = -2 + \frac{36}{20} = -\frac{4}{20}$.
હવે,$2l + 19m = 2(\frac{38}{20}) + 19(-\frac{4}{20}) = \frac{76}{20} - \frac{76}{20} = 0$.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1+x_2) + f(y_1+y_2) + c = 0$ થાય.
આપેલ $P(2,3)$ અને $Q(-1,2)$ તથા વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+3y-2=0$ માટે,$f = \frac{3}{2}$ અને $c = -2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2)(-1) + (3)(2) + g(2-1) + \frac{3}{2}(3+2) - 2 = 0$.
$-2 + 6 + g + \frac{15}{2} - 2 = 0$.
$2 + g + 7.5 = 0 \Rightarrow g = -9.5 = -\frac{19}{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{19}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - (-2)}$.
$r = \sqrt{\frac{361}{4} + \frac{9}{4} + 2} = \sqrt{\frac{370}{4} + \frac{8}{4}} = \sqrt{\frac{378}{4}} = \sqrt{\frac{189}{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 21}{2}} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વર્તુળ $3x^2+3y^2+x+y-1=0$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = h^2+k^2-c = \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ થાય.
બિંદુ $(2,-2)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L$ માટે $L^2 = x_1^2+y_1^2+\frac{1}{3}x_1+\frac{1}{3}y_1-\frac{1}{3}$ થાય.
$L^2 = (2)^2+(-2)^2+\frac{1}{3}(2)+\frac{1}{3}(-2)-\frac{1}{3} = 4+4+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} = 8-\frac{1}{3} = \frac{23}{3}$.
વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $L$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો વર્ગ $R^2 = \frac{23}{3}$ થાય.
વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $(x+\frac{1}{6})^2+(y+\frac{1}{6})^2 = \frac{23}{3}$ છે.
બિંદુ $(2,1)$ ની વર્તુળ $S$ ની સાપેક્ષ પાવર $(x_1+\frac{1}{6})^2+(y_1+\frac{1}{6})^2 - R^2$ થાય.
$= (2+\frac{1}{6})^2+(1+\frac{1}{6})^2 - \frac{23}{3} = (\frac{13}{6})^2+(\frac{7}{6})^2 - \frac{23}{3} = \frac{169}{36}+\frac{49}{36} - \frac{276}{36} = \frac{218-276}{36} = -\frac{58}{36} = -\frac{29}{18}$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ બિંદુ છે. આપેલ છે $A(4, 0)$ અને $B(-4, 0)$.
શરત $PA - PB = 4$ મુજબ.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} - \sqrt{(x+4)^2 + y^2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $3x^2 - y^2 = 12$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ છે. કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે.
આપેલ છે કે $CP \cdot CQ = r^2 = 4$.
વ્યસ્ત બિંદુઓ માટે $\vec{CQ} = \frac{r^2}{CP^2} \vec{CP}$ થાય.
અહીં $CP^2 = (1-2)^2 + (2-3)^2 = 2$.
તેથી $\vec{CQ} = \frac{4}{2} \vec{CP} = 2 \vec{CP}$.
$\vec{CP} = (1-2, 2-3) = (-1, -1)$.
તેથી $\vec{CQ} = 2(-1, -1) = (-2, -2)$.
$Q = C + (-2, -2) = (2-2, 3-2) = (0, 1)$.
આમ,$a=0$ અને $b=1$.
તેથી $2a = 2(0) = 0$.

(A) ધારો કે ધ્રુવ $P(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો ધ્રુવીય રેખાખંડ $xx_1+yy_1=4$ છે.
આ ધ્રુવીય રેખાખંડ એ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ નો સ્પર્શક હોવાથી,આ વર્તુળના કેન્દ્ર $(1, -1)$ થી રેખા $xx_1+yy_1-4=0$ નું લંબ અંતર તેની ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+(-1)^2-(-2)} = \sqrt{4} = 2$ છે.
લંબ અંતર $d = \frac{|1(x_1) + (-1)(y_1) - 4|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = 2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(x_1-y_1-4)^2}{x_1^2+y_1^2} = 4$
$(x_1-y_1-4)^2 = 4(x_1^2+y_1^2)$
$x_1^2+y_1^2+16-2x_1y_1-8x_1+8y_1 = 4x_1^2+4y_1^2$
$3x_1^2+3y_1^2+2x_1y_1+8x_1-8y_1-16=0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x^2+3y^2+2xy+8x-8y-16=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-8x-10y-8=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{16+25+8} = 7$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1+1+2} = 2$.
બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર $Q$ એ $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$Q = \left( \frac{7(-1) - 2(4)}{7-2}, \frac{7(1) - 2(5)}{7-2} \right) = \left( -3, -\frac{3}{5} \right)$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $Q$ નું અંતર $D = \sqrt{(-3)^2 + (-3/5)^2} = \sqrt{9 + 9/25} = \frac{3\sqrt{26}}{5}$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ છે. $A$ એ $CP$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$A$ ના યામ $\left(\frac{2h+3}{5}, \frac{2k+6}{5}\right)$ થાય.
$A$ એ વર્તુળ પર હોવાથી,આ કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2h+3}{5}\right)^2 + \left(\frac{2k+6}{5}\right)^2 - 2\left(\frac{2h+3}{5}\right) - 4\left(\frac{2k+6}{5}\right) - 20 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા: $4h^2 + 4k^2 - 8h - 16k - 605 = 0$.
તેથી $P$ નો બિંદુપથ $4x^2+4y^2-8x-16y-605=0$ છે.

(C) આપેલ શિરોબિંદુ $O = (2,3)$ અને નાભિ $S = (3,2)$ છે.
ધારો કે નિયામિકા અક્ષને બિંદુ $A = (x_1, y_1)$ પર છેદે છે. શિરોબિંદુ $O$ એ $AS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1+3}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 1$
$\frac{y_1+2}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 4$
તેથી,$A = (1,4)$.
અક્ષ $AS$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2-3}{3-2} = -1$ છે.
નિયામિકા અક્ષને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(1,4)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી નિયામિકાનું સમીકરણ:
$y-4 = 1(x-1) \Rightarrow y-x-3 = 0$.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x,y)$ માટે,નાભિથી અંતર = નિયામિકાથી અંતર:
$PS^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right)^2$
$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = \frac{(x-y+3)^2}{2}$
$2(x^2+y^2-6x-4y+13) = x^2+y^2+9-2xy+6x-6y$
$x^2+2xy+y^2-18x-2y+17 = 0$.

(A) પરવલયની ધરી $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ સ્વરૂપનું છે $(i)$.
આપેલ બિંદુઓ $(0, -1)$,$(6, 1)$ અને $(-2, -3)$ પરવલય પર હોવાથી:
$0 = a - b + c$ $(ii)$
$6 = a + b + c$ $(iii)$
$-2 = 9a - 3b + c$ $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2b = 6$ મળે,તેથી $b = 3$.
$b = 3$ ને $(ii)$ અને $(iii)$ માં મૂકતા,$a + c = 3$ મળે.
$b = 3$ ને $(iv)$ માં મૂકતા,$-2 = 9a - 9 + c$,તેથી $9a + c = 7$.
$a + c = 3$ અને $9a + c = 7$ ઉકેલતા,$8a = 4$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
તેથી $c = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
સમીકરણ $x = \frac{1}{2}y^2 + 3y + \frac{5}{2}$ છે.
$X$-અક્ષ પર છેદતું બિંદુ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા:
$x = \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9y^2+12y+9x-14=0$
$(y + \frac{2}{3})^2 = -(x - 2)$
શિરોબિંદુ $(h', k') = (2, -2/3)$ અને $a = 1/4$ મળે છે.
નિયામિકા $l$ નું સમીકરણ $x = 2 + 1/4 = 9/4$ છે.
રેખા $l_1$ એ $(2, -2/3)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -1/3$ છે.
$l_1$ નું સમીકરણ: $y = -x/3$.
$l$ $(x = 9/4)$ અને $l_1$ $(y = -x/3)$ નું છેદબિંદુ:
$h = 9/4$,$k = -3/4$.
તેથી,$h+k = 9/4 - 3/4 = 3/2$.

(D) વક્રો $y=4|\cos x|$ અને $y=-|\cos x|$ આપેલા છે.
બધા $x$ માટે $|\cos x| \ge 0$ હોવાથી,ઉપરનો વક્ર $y=4|\cos x|$ છે અને નીચેનો વક્ર $y=-|\cos x|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [4|\cos x| - (-|\cos x|)] dx$.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 5|\cos x| dx$.
$x \in [-\pi/2, \pi/2]$ માટે $\cos x \ge 0$ હોવાથી,$|\cos x| = \cos x$ થાય.
$A = 5 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx$.
યુગ્મ વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$A = 5 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$.
$A = 10 [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 10(1 - 0) = 10$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્રો $y = \cos x + 1$ અને $y = \sin x$ છે. આપણે $x=0$ અને $x=\pi$ વચ્ચે આ વક્રો અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આલેખ પરથી,$0 \le x \le \pi/2$ માટે,પ્રદેશ ઉપરની તરફ $y = \sin x$ અને નીચેની તરફ $X$-અક્ષ દ્વારા સીમિત છે.
$\pi/2 \le x \le \pi$ માટે,પ્રદેશ ઉપરની તરફ $y = \cos x + 1$ અને નીચેની તરફ $X$-અક્ષ દ્વારા સીમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos x + 1) \, dx$
$= [-\cos x]_0^{\pi/2} + [\sin x + x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (-\cos(\pi/2) - (-\cos 0)) + ((\sin \pi + \pi) - (\sin(\pi/2) + \pi/2))$
$= (0 + 1) + (0 + \pi - 1 - \pi/2)$
$= 1 + \pi - 1 - \pi/2 = \pi/2$.

(D) આપેલ વક્ર $x = \log |y|$ છે.
આને $|y| = e^x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \pm e^x$.
વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
વક્ર અને રેખાઓ $x = -1$ તથા $x = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $-1$ થી $0$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે.
વક્ર સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{-1}^{0} |y| \, dx = 2 \int_{-1}^{0} e^x \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ e^x \right]_{-1}^{0}$
$= 2 (e^0 - e^{-1})$
$= 2 (1 - e^{-1})$
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $2(1 - e^{-1})$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્રો $y=x^2$ અને $y=6-|x|$ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા ક્ષેત્રફળના $2$ ગણું છે.
પ્રથમ ચરણમાં $(x \ge 0)$,વક્રો $y=x^2$ અને $y=6-x$ છે.
છેદબિંદુ $A$ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = 6-x$ લઈએ,જે $x^2+x-6=0$ આપે છે.
આને ઉકેલતા,$(x+3)(x-2)=0$ મળે છે. $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2$ મળે છે.
$x=2$ પર,$y=2^2=4$. તેથી,છેદબિંદુ $A(2, 4)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=2$ ની વચ્ચે વક્રો $y=6-x$ અને $y=x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^2 ((6-x) - x^2) dx = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$= (12 - 2 - \frac{8}{3}) - 0 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \frac{22}{3} = \frac{44}{3}$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે વક્રો $y = \frac{8}{x}$ અને $y = 2x$ ના છેદબિંદુ શોધીએ.
$\frac{8}{x} = 2x$ લેતા,આપણને $x^2 = 4$ મળે છે,તેથી $x = 2$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x > 0$ છે).
આ પ્રદેશ $x = 2$ થી $x = 4$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
આ અંતરાલમાં,$2x \geq \frac{8}{x}$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_2^4 \left( 2x - \frac{8}{x} \right) dx$
$= \left[ x^2 - 8 \log |x| \right]_2^4$
$= (4^2 - 8 \log 4) - (2^2 - 8 \log 2)$
$= (16 - 8 \log 4) - (4 - 8 \log 2)$
$= 12 - 8 \log 4 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log (2^2) + 8 \log 2$
$= 12 - 16 \log 2 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log 2$

(C) આપેલા સમીકરણો $y = 1 - |x|$ અને $y = |x| - 1$ છે.
આ સમીકરણો $A(0, 1)$,$C(1, 0)$,$B(0, -1)$,અને $D(-1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ દર્શાવે છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ચોરસ $ACBD$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
$(0, 1)$,$(1, 0)$,$(0, -1)$,અને $(-1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેને ચાર સમાન કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે,જેમાં દરેકનો પાયો $1$ અને વેધ $1$ છે.
એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (દા.ત.,$\triangle AOC$) $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \triangle AOC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
આમ,જરૂરી ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}} = 2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે વિકલિતોના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકોને દૂર કરવા પડશે.
ઘાતાંકો $\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{4}$ છે. છેદ $2$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $4$ છે.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા,આપણને મળે છે:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^4 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,સૌથી મોટું વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
રેડિકલ દૂર કર્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $3$ અને ઘાત $2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = e^{\left(\frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}\right)}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(y) = \frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}$
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $\alpha = 2$.
સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $\beta = 1$.
આપણે સરવાળો $S = \alpha + \alpha^\beta + \alpha^{2\beta} + \ldots + \alpha^{2023\beta}$ શોધવાનો છે.
$\alpha = 2$ અને $\beta = 1$ મૂકતા: $S = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2023}$.
આ $2024$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ અને પદોની સંખ્યા $n = 2024$ છે.
સરવાળો $S = 2 + (2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2023}) = 2 + \frac{2(2^{2023} - 1)}{2 - 1} = 2 + 2^{2024} - 2 = 2^{2024}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y=c_1 e^x+c_2 e^{\log _{e} x}+c_3 \sin ^2 x-c_4\left(\cos ^2 x-1\right)$
$e^{\log _{e} x} = x$ અને $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાદું રૂપ આપીએ:
$y = c_1 e^x + c_2 x + c_3 \sin^2 x - c_4(-\sin^2 x)$
$y = c_1 e^x + c_2 x + (c_3 + c_4) \sin^2 x$
ધારો કે $C = c_3 + c_4$. તો સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$y = c_1 e^x + c_2 x + C \sin^2 x$
આ સમીકરણમાં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો $(c_1, c_2, C)$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)+\cos (x y)=0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત જેટલો હોય છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે.
અહીં પદ $\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ માં વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,તેને વિકલિતોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = (2x + 3\frac{dy}{dx})^2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોવું જોઈએ.
અહીં,પદ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right)$ એ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આથી,આ સમીકરણને $\frac{dy}{dx}$ માં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(B) આપેલ ઉકેલ $y = a e^{2x} + b x e^{2x} + C$ છે ...$(i)$
અહીં,$a$ અને $b$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે,જ્યારે $C$ એ નિશ્ચિત અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં બે સ્વૈચ્છિક અચળાંકો ($a$ અને $b$) હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
ચકાસણી માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$y_1 = 2a e^{2x} + b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (2a + b)e^{2x} + 2bx e^{2x}$ ...(ii)
$y_2 = 2(2a + b)e^{2x} + 2b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (4a + 4b)e^{2x} + 4bx e^{2x}$ ...(iii)
આ સમીકરણોમાંથી $a$ અને $b$ નો લોપ કરતા,આપણને દ્વિતીય ક્રમનું વિકલ સમીકરણ મળે છે.

(C) આપેલ છે $y=x \log \left(\frac{1}{a x}+\frac{1}{a}\right) = x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right)$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) + x \cdot \frac{ax}{1+x} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1+x}{ax}\right)$
$= \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) + \frac{ax^2}{1+x} \cdot \left(\frac{ax - a(1+x)}{(ax)^2}\right)$
$= \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) + \frac{ax^2}{1+x} \cdot \left(\frac{-a}{a^2x^2}\right) = \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{1}{1+x}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{1}{1+x}\right)$
$= \frac{ax}{1+x} \cdot \left(\frac{-1}{ax^2}\right) + \frac{1}{(1+x)^2} = -\frac{1}{x(1+x)} + \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{-(1+x) + x}{x(1+x)^2} = \frac{-1}{x(1+x)^2}$.
આ કિંમતોને $x(x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-y$ માં મૂકતા:
$= x(x+1) \left(\frac{-1}{x(1+x)^2}\right) + x \left(\log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{1}{1+x}\right) - x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right)$
$= -\frac{1}{1+x} + x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{x}{1+x} - x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right)$
$= -\left(\frac{1+x}{1+x}\right) = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
પ્રથમ વિકલન લેતા: $y' = a e^x - b e^{-x} - c \sin x + d \cos x$
બીજું વિકલન લેતા: $y'' = a e^x + b e^{-x} - c \cos x - d \sin x$
ત્રીજું વિકલન લેતા: $y''' = a e^x - b e^{-x} + c \sin x - d \cos x$
ચોથું વિકલન લેતા: $y^{(4)} = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
ચોથા વિકલનની મૂળ સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $y^{(4)} = y$ મળે છે,જેને $y^{(4)} - y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y=(a+b) e^{cx+d}$ છે.
ધારો કે $A = (a+b)e^d$. તેથી સમીકરણ $y = A e^{cx}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
અહીં,$A$ અને $c$ એ માત્ર બે જ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{(1)} = A c e^{cx} = c y$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{(2)} = c y^{(1)}$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,આપણને $c = \frac{y^{(1)}}{y}$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{(2)} = \left(\frac{y^{(1)}}{y}\right) y^{(1)}$.
$y y^{(2)} = (y^{(1)})^2$.
$y y^{(2)} - (y^{(1)})^2 = 0$.

(B) આપેલ ઉકેલ $y=e^{2 x}(c \cosh \sqrt{2} x+d \sinh \sqrt{2} x)$ છે.
આ $y=e^{\alpha x}(c \cosh \beta x+d \sinh \beta x)$ સ્વરૂપનું છે,જે સહાયક સમીકરણના બીજ $m = \alpha \pm \beta$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં,$\alpha = 2$ અને $\beta = \sqrt{2}$ છે.
તેથી બીજ $m = 2 \pm \sqrt{2}$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $(m - (2 + \sqrt{2}))(m - (2 - \sqrt{2})) = 0$ છે.
$(m - 2 - \sqrt{2})(m - 2 + \sqrt{2}) = 0$.
$(m - 2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$.
$m^2 - 4m + 4 - 2 = 0$.
$m^2 - 4m + 2 = 0$.
$m^2$ ને $y^{\prime \prime}$ અને $m$ ને $y^{\prime}$ વડે બદલતા,આપણને વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 2y = 0$ મળે છે.

(C) $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ સ્વરૂપના વિકલ સમીકરણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે જો વિધેય $f(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સુરેખ વિધેય હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેય $f(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સુરેખ વિધેય છે જો $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$ થાય.
આવા વિધેયને હંમેશા $f(x, y) = \phi\left(\frac{y}{x}\right)$ અથવા $f(x, y) = \psi\left(\frac{x}{y}\right)$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
તેથી,સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ માટે $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $\phi\left(\frac{y}{x}\right)$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^3 \sin y \frac{d y}{d x}=2$.
ચલને અલગ કરતા: $\sin y \, dy = \frac{2}{x^3} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin y \, dy = \int 2x^{-3} \, dx$.
આથી મળે: $-\cos y = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\cos y = \frac{1}{x^2} - C$ ... $(i)$.
શરત $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x) = \frac{\pi}{2}$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $(i)$ માં $x \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \cos y = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{x^2} - C \right)$.
$\cos$ એ સતત વિધેય હોવાથી,$\cos(\lim _{x \rightarrow \infty} y) = 0 - C$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = -C \Rightarrow 0 = -C \Rightarrow C = 0$.
$C = 0$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $\cos y = \frac{1}{x^2}$.

(A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x - (-\frac{1}{x}) + C$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,અચળાંક $C$ શોધવા માટે $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 1 + \frac{1}{1} + C$
$2 = 1 + 1 + C$
$2 = 2 + C$
$C = 0$
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = x + \frac{1}{x}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=a \cos x+b \sin x$ ... $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (a \cos x + b \sin x) dx = a \sin x - b \cos x + C$ ... $(ii)$
આપેલ છે $f^{\prime}(0) = 4$:
$f^{\prime}(0) = a \cos(0) + b \sin(0) = a(1) + b(0) = a = 4$.
આપેલ છે $f(0) = 3$:
$f(0) = a \sin(0) - b \cos(0) + C = 0 - b(1) + C = -b + C = 3$.
આપેલ છે $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5$:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - b \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = a(1) - b(0) + C = a + C = 5$.
$a = 4$ હોવાથી,$4 + C = 5 \Rightarrow C = 1$ મળે.
$C = 1$ ને $-b + C = 3$ માં મૂકતા:
$-b + 1 = 3 \Rightarrow -b = 2 \Rightarrow b = -2$.
$a = 4, b = -2, C = 1$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$f(x) = 4 \sin x - (-2) \cos x + 1 = 4 \sin x + 2 \cos x + 1$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) dx - xy dy = 0$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{y}{1+y^2} dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y}{1+y^2} dy$
$\ln |x| = \frac{1}{2} \ln(1+y^2) + C$
$2$ વડે ગુણતા: $2 \ln |x| = \ln(1+y^2) + 2C$
$\ln(x^2) - \ln(1+y^2) = C'$ (જ્યાં $C' = 2C$)
$\ln \left( \frac{x^2}{1+y^2} \right) = C'$
$\frac{x^2}{1+y^2} = e^{C'} = k$
શરત $y(1) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x=1$ અને $y=0$ મૂકતા: $\frac{1^2}{1+0^2} = k \Rightarrow k = 1$
આમ,$\frac{x^2}{1+y^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1+y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 = 1$
આ સમીકરણ અતિવલય (hyperbola) દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(x-y-1)$ $(i)$
ધારો કે $x-y-1 = p$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dp}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1 - \frac{dp}{dx} = \cos^2 p$
$\frac{dp}{dx} = 1 - \cos^2 p = \sin^2 p$
$\frac{dp}{\sin^2 p} = dx$
$\operatorname{cosec}^2 p \, dp = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \operatorname{cosec}^2 p \, dp = \int dx$
$-\cot p = x + C'$
$x = -C' - \cot p$
ધારો કે $C = -C'$,તો $x = C - \cot(x-y-1)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y(1 + y \cot y)}{x \log(x^2 e)}$.
પદોને ગોઠવતા: $x \log(x^2 e) dx = (\sin y + y \cos y) dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int x \log(x^2 e) dx = \int (\sin y + y \cos y) dy$.
ડાબી બાજુ માટે,ધારો કે $t = x^2 e$,તો $dt = 2x e dx$,તેથી $x dx = \frac{dt}{2e}$.
$\int \log(t) \frac{dt}{2e} = \frac{1}{2e} (t \log t - t) = \frac{x^2 e}{2e} (\log(x^2 e) - 1) = \frac{x^2}{2} (\log x^2 + \log e - 1) = \frac{x^2}{2} (2 \log x + 1 - 1) = x^2 \log x$.
જમણી બાજુ માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (\sin y + y \cos y) dy = y \sin y - \int \sin y dy + \int \sin y dy = y \sin y + C$.
આમ,$x^2 \log x = y \sin y + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $1^2 \log(1) = 0 \cdot \sin(0) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2 \log x = y \sin y$ છે.

(D) આદેશ $x=vy$ નો ઉપયોગ $\frac{dx}{dy} = f(\frac{x}{y})$ અથવા $\frac{dy}{dx} = g(\frac{x}{y})$ સ્વરૂપના સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણો ઉકેલવા માટે થાય છે.
આદેશ $x=vy$ (જેનો અર્થ છે $\frac{x}{y}=v$) માટે,વિકલ સમીકરણ $x$ અને $y$ માં સમપરિમાણીય હોવું જોઈએ જેથી $\frac{dy}{dx}$ ને $\frac{x}{y}$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય.
વિકલ્પ $(d)$ તપાસતા:
$(1+2e^{\frac{x}{y}}) + 2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+2e^{\frac{x}{y}}}{2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}$
જમણી બાજુ $\frac{x}{y}$ નું વિધેય હોવાથી,આ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે,જે $x=vy$ આદેશ લેવાથી ચલ વિભાજનની રીત દ્વારા ઉકેલી શકાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^\alpha \frac{dy}{dx} = y^\beta(\gamma \log x + \delta \log y + 1)$ છે.
સમીકરણ સમપરિમાણીય હોવા માટે,અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવી જોઈએ,અથવા વિધેય $\frac{y}{x}$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય તેવું હોવું જોઈએ.
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^\beta}{x^\alpha} (\gamma \log x + \delta \log y + 1)$.
સમપરિમાણીયતા માટે,$x$ અને $y$ ની ઘાત એવી રીતે સંતુલિત હોવી જોઈએ કે જેથી પદ માત્ર $\frac{y}{x}$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે.
આ માટે $\alpha = \beta$ હોવું જરૂરી છે.
$\alpha = \beta$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + 1) = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + \delta \log x - \delta \log x + 1)$.
પદ $\frac{y}{x}$ નું વિધેય બને તે માટે,$\log x$ વાળા પદો દૂર થવા જોઈએ,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\gamma + \delta = 0$,એટલે કે $\gamma = -\delta$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\tan x \tan y \, dx + \cos^2 x \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$
આખા સમીકરણને $\cos^2 x \tan y$ વડે ભાગતા:
$\frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx + \frac{\operatorname{cosec}^2 y}{\tan y} \, dy = 0$
$\tan x \sec^2 x \, dx + \cot y \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \tan x \sec^2 x \, dx + \int \cot y \operatorname{cosec}^2 y \, dy = C_1$
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x \, dx$. ધારો કે $v = \cot y$,તેથી $dv = -\operatorname{cosec}^2 y \, dy$.
$\int u \, du - \int v \, dv = C_1$
$\frac{u^2}{2} - \frac{v^2}{2} = C_1$
$\tan^2 x - \cot^2 y = 2C_1 = C$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\tan^2 x - \cot^2 y = C$ છે.

(C) $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ સ્વરૂપનું વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય કહેવાય જો $F(x, y)$ એ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય. સમાન રીતે,$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ સમીકરણ માટે,તે સમપરિમાણીય છે જો $M(x, y)$ અને $N(x, y)$ બંને સમાન ઘાતના સમપરિમાણીય વિધેયો હોય.
વિકલ્પ $C$ માં,આપણી પાસે $(x^2 + y^2)dx = 2xy dy$ છે.
અહીં,$M(x, y) = x^2 + y^2$,જે $2$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
અને $N(x, y) = 2xy$,જે પણ $2$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
આમ,$M$ અને $N$ બંને સમાન ઘાતના સમપરિમાણીય વિધેયો હોવાથી,આ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3y - 7}{3x + 2y - 8}$ ... $(i)$
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $x = X - h$ અને $y = Y - k$ આદેશ લઈએ છીએ.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{dY}{dX} = \frac{2(X - h) + 3(Y - k) - 7}{3(X - h) + 2(Y - k) - 8} = \frac{2X + 3Y - (2h + 3k + 7)}{3X + 2Y - (3h + 2k + 8)}$.
સમીકરણ સુરેખ બને તે માટે,અંશ અને છેદમાં અચળ પદો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2h + 3k - 7 = 0$ ... (ii)
$3h + 2k - 8 = 0$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) ને $3$ વડે અને (iii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6h + 9k - 21 = 0$
$6h + 4k - 16 = 0$
બાદબાકી કરતા: $5k - 5 = 0 \Rightarrow k = 1$.
$k = 1$ ને (ii) માં મૂકતા: $2h + 3(1) - 7 = 0 \Rightarrow 2h - 4 = 0 \Rightarrow h = 2$.
આમ,$(h, k) = (2, 1)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)y = \frac{x}{1+\sin x}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ અને $Q(x) = \frac{x}{1+\sin x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx} = e^{\ln(1+\sin x)} = 1+\sin x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(x)(I.F.) dx + C$ છે.
$y(1+\sin x) = \int \frac{x}{1+\sin x} (1+\sin x) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
શરત $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{8}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\pi^2}{8}(1+\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{(\pi/2)^2}{2} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{8}(2) = \frac{\pi^2}{8} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{8} = C \Rightarrow C = \frac{\pi^2}{8}$.
આમ,$y(1+\sin x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$.
$x = \pi$ માટે,$y(1+\sin \pi) = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$.
કારણ કે $\sin \pi = 0$,તેથી $y(1) = \frac{4\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{8}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x + 3y}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = 4x + 3y$ મળે છે.
આ સમીકરણને રેખીય વિકલ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ માં ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} - 4x = 3y$ મળે છે.
અહીં,$P(y) = -4$ છે.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -4 dy} = e^{-4y}$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
આ એક સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{d v}{d x} = v + e^{-v}$.
$x \frac{d v}{d x} = e^{-v} \Rightarrow e^v d v = \frac{d x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^v d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow e^v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $e^{\frac{y}{x}} = \log |x| + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = \log e = 1$,તેથી $x=1, y=1$ માટે: $e^{\frac{1}{1}} = \log(1) + C \Rightarrow e = 0 + C \Rightarrow C = e$.
આમ,ઉકેલ $e^{\frac{y}{x}} = \log x + e$ છે.
$y(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકો: $e^{\frac{y(e)}{e}} = \log e + e = 1 + e$.
બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\frac{y(e)}{e} = \log(1+e) \Rightarrow y(e) = e \log(1+e)$.

(D) સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ અથવા $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ માત્ર સ્વતંત્ર ચલના વિધેયો છે.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસીએ:
$x^2 d y + x y d x - 1 = 0$
$d x$ વડે ભાગતા:
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y - 1 = 0$
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y = 1$
$x^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ એ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.

(D) રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $IF = \log y$,તેથી:
$e^{\int P(y) dy} = \log y$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\int P(y) dy = \log(\log y)$
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy} \left( \int P(y) dy \right) = \frac{d}{dy} (\log(\log y))$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{d}{dy}(\log y)$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y}$
$P(y) = \frac{1}{y \log y}$

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$.
$\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^2} y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1-x^2}$ અને $Q(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx} = e^{-\ln(1-x^2)} = \frac{1}{1-x^2}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{1}{1-x^2} dx + C = \int x(1-x^2)^{-3/2} dx + C$.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = -\frac{1}{2} \int u^{-3/2} du + C = -\frac{1}{2} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = u^{-1/2} + C = (1-x^2)^{-1/2} + C$.
આમ,$y = (1-x^2)^{1/2} + C(1-x^2)$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = (1-0)^{1/2} + C(1-0) \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y = \sqrt{1-x^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (2xy - 1) dy = 0$ છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2xy - 1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2x}{y} - \frac{1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{y}\right)x = \frac{1}{y^2}$
આ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2}{y}$ અને $Q = \frac{1}{y^2}$ એ માત્ર $y$ ના વિધેયો છે.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે.

(A) મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\overrightarrow{OG} = \frac{(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}) + (-3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{3} = \frac{0\hat{i}-6\hat{j}+0\hat{k}}{3} = -2\hat{j}$.
તેથી,$|\overrightarrow{OG}|^2 = (-2)^2 = 4$.
હવે,બાજુઓ માટે સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
$BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = 16 + 25 + 25 = 66$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$.
$CA^2 = |\overrightarrow{CA}|^2 = 25 + 16 + 1 = 42$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
$AB^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = 1 + 1 + 16 = 18$.
અંતે,પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$BC^2 + CA^2 + AB^2 + 9(OG)^2 = 66 + 42 + 18 + 9(4) = 126 + 36 = 162$.

(C) ધારો કે $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ એ શિરોબિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ છે.
ધારો કે $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3} = -\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$ એ ત્રિકોણ $BCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ ના મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\vec{G} = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}$
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3(\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3})] = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3 \vec{G}_{BCD}]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [(7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}) + 3(-\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k} - 3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 9 \hat{k}]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [4 \hat{i} + 8 \hat{j} - 4 \hat{k}]$
$\vec{G} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$

(D) બિંદુ $\vec{a}$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{m} = d$ થી અંતર $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{m} - d|}{|\vec{m}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}) = -1$ માટે,$\vec{m} = 2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}$ અને $d = -1$ છે.
$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11$.
બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ માટે,અંતર $p$:
$p = \frac{|(1)(2) + (2)(6) + (3)(-9) - (-1)|}{11} = \frac{|2 + 12 - 27 + 1|}{11} = \frac{|-12|}{11} = \frac{12}{11}$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ નું સમતલથી અંતર $q$:
$q = \frac{|0 - (-1)|}{11} = \frac{1}{11}$.
તેથી,$p - q = \frac{12}{11} - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

(A) ધારો કે $\vec{r}$ એ બિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ છે.
બિંદુ $C$ એ $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું $m:n = 2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} = \frac{2(3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})}{2+3}$
$= \frac{(6 \hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) + (6 \hat{i}-9 \hat{j}+6 \hat{k})}{5} = \frac{12 \hat{i}-11 \hat{j}+2 \hat{k}}{5} = \frac{12}{5} \hat{i}-\frac{11}{5} \hat{j}+\frac{2}{5} \hat{k}$.
હવે,બિંદુ $P$ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે,તેનાથી $C$ નું અંતર $|\vec{r} - \vec{p}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} - \vec{p} = (\frac{12}{5}-2) \hat{i} + (-\frac{11}{5}+1) \hat{j} + (\frac{2}{5}-1) \hat{k} = \frac{2}{5} \hat{i} - \frac{6}{5} \hat{j} - \frac{3}{5} \hat{k}$.
અંતર $D = |\vec{r} - \vec{p}| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{6}{5})^2 + (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{36}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5}$.

(D) આપેલ છે: $\vec{a}=(2x+y)\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k}$ અને $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-(x-y)\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ સદિશો છે,તેથી તેમના ઘટકો પ્રમાણસર છે:
$\frac{2x+y}{2} = \frac{3}{1} = \frac{9}{-(x-y)}$.
$\frac{2x+y}{2} = 3$ પરથી,આપણને $2x+y=6$ મળે છે $(i)$.
$\frac{3}{1} = \frac{9}{y-x}$ પરથી,આપણને $y-x=3$ અથવા $y=x+3$ મળે છે $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$2x+(x+3)=6 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$.
તેથી $y=1+3=4$.
અંતે,$x^3+27y^3 = (1)^3 + 27(4)^3 = 1 + 27(64) = 1 + 1728 = 1729$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{c}=p \hat{i}+q \hat{j}$ અને $\vec{d}=p \hat{j}-q \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-0) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(2-0) = -6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
હવે,શરત $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 3$ નો ઉપયોગ કરો:
$(-6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (p \hat{i} + q \hat{j}) = 3 \implies -6p - 3q = 3 \implies -2p - q = 1$ (સમીકરણ $1$).
આગળ,શરત $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = 3$ નો ઉપયોગ કરો:
$(-6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (p \hat{j} - q \hat{k}) = 3 \implies -3p - 2q = 3$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $-4p - 2q = 2$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(-4p - 2q) - (-3p - 2q) = 2 - 3 \implies -p = -1 \implies p = 1$.
$p=1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $-2(1) - q = 1 \implies -2 - q = 1 \implies q = -3$.
અંતે,$3p + q = 3(1) + (-3) = 3 - 3 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{v} = 3 \vec{a}-2 \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = 3(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-2(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = (6-2) \hat{i} + (3-6) \hat{j} + (-3+10) \hat{k} = 4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{v}$ સદિશની દિશામાં છે,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{r} = x \vec{v} = x(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k})$ કોઈ અદિશ $x$ માટે.
આપેલ છે કે $|\vec{r}| = \sqrt{74}$,તેથી $|x| \sqrt{4^2+(-3)^2+7^2} = \sqrt{74}$.
$|x| \sqrt{16+9+49} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| \sqrt{74} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| = 1$.
કારણ કે $\vec{r}$ ની દિશા $\vec{v}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે,તેથી $x = -1$ લેવું પડે.
તેથી,$\vec{r} = -1(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) = -4 \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યકેન્દ્ર $G = \hat{i} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$,જ્યાં $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$3(1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) + (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$.
$3\hat{i} = (4+x)\hat{i} + (5+y)\hat{j} + (-3+z)\hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $4+x = 3 \Rightarrow x = -1$; $5+y = 0 \Rightarrow y = -5$; $-3+z = 0 \Rightarrow z = 3$.
આમ,$\vec{C} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,$AG^2 = |\vec{G} - \vec{A}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (0-1)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 1\hat{j} - 1\hat{k}|^2 = 1+1+1 = 3$.
$BG^2 = |\vec{G} - \vec{B}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-4)\hat{j} + (0+4)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 1+16+16 = 33$.
$CG^2 = |\vec{G} - \vec{C}|^2 = |(1+1)\hat{i} + (0+5)\hat{j} + (0-3)\hat{k}|^2 = |2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}|^2 = 4+25+9 = 38$.
તેથી,$AG^2 + BG^2 + CG^2 = 3 + 33 + 38 = 74$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}=-2 \hat{i}+9 \hat{j}-6 \hat{k}$ અને $\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો શોધો: $\vec{a}+\vec{b} = (-2+t) \hat{i} + (9-2) \hat{j} + (-6+6) \hat{k} = (t-2) \hat{i} + 7 \hat{j} + 0 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}|=25$,તેથી $\sqrt{(t-2)^2 + 7^2 + 0^2} = 25$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(t-2)^2 + 49 = 625$.
$(t-2)^2 = 625 - 49 = 576$.
વર્ગમૂળ લેતા,$t-2 = \pm 24$.
કિસ્સો $1$: $t-2 = 24 \Rightarrow t = 26$.
કિસ્સો $2$: $t-2 = -24 \Rightarrow t = -22$.
$t$ ની કિંમતોનો સરવાળો $26 + (-22) = 4$ થાય છે.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\vec{p} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (3)(-4) + (13)(3) = 2 - 12 + 39 = 29$ ગણો.
ત્યારબાદ,માનનો વર્ગ $|\vec{b}|^2 = (2)^2 + (-4)^2 + (3)^2 = 4 + 16 + 9 = 29$ ગણો.
તેથી,$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\vec{p} = \left( \frac{29}{29} \right) \vec{b} = \vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ થાય.
$\vec{b}$ ને લંબ $\vec{a}$ નો ઘટક $\vec{x} = \vec{a} - \vec{p} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
$\vec{x} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 13\hat{k}) - (2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (1-2)\hat{i} + (3+4)\hat{j} + (13-3)\hat{k} = -\hat{i} + 7\hat{j} + 10\hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m \vec{d} \quad (i)$
અને $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d} \Rightarrow \vec{d}=n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c} \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m(n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=mn \vec{a}-m \vec{b}-m \vec{c}$
$\Rightarrow (1-mn) \vec{a}+(1+m) \vec{b}+(1+m) \vec{c}=\vec{0}$
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1-mn=0 \Rightarrow mn=1$ અને $1+m=0 \Rightarrow m=-1$.
$m=-1$ ને $mn=1$ માં મૂકતા,આપણને $n=-1$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(-1) \vec{d} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$.
હવે,$3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d} = \vec{a} + 2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \vec{d} = \vec{a} + 2(-\vec{d}) + \vec{d} = \vec{a}-\vec{d}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$,અને $\overrightarrow{OC} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{53}$.
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{66}$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{59}$.
અહીં $|\overrightarrow{AB}| \neq |\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{CA}|$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ અલગ છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{OB} = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = -\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ મેળવીએ.
ત્યારબાદ,સદિશ $\overrightarrow{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (2-1)\hat{i} + (3-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મેળવીએ.
$\overrightarrow{BA}$ નું માન $|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ છે.
$\overrightarrow{BA}$ ની દિશામાં અને $\overrightarrow{AB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{BA}|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{26}}$ છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = -3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
$L$ એ $OA$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$L$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OL} = \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})$ છે.
$M$ એ $OB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OM} = \frac{3}{5} \vec{b} = \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$ છે.
$LP \parallel OB$ અને $PM \parallel OA$ હોવાથી,$OMPL$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OP} = \vec{OL} + \vec{OM}$ થાય.
$\vec{OP} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(-6 \hat{i}-6 \hat{j}+8 \hat{k} + 12 \hat{i}-12 \hat{j}-9 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(6 \hat{i}-18 \hat{j}-\hat{k})$.
$O$ થી $P$ નું અંતર $|\vec{OP}| = \frac{1}{5} \sqrt{6^2 + (-18)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{5} \sqrt{36 + 324 + 1} = \frac{\sqrt{361}}{5} = \frac{19}{5}$ થાય.

(D) આપેલા સદિશો $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=-5 \hat{i}+7 \hat{j}$,અને $\vec{c}=3 \hat{i}+y \hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} = (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+7 \hat{j}) + (3 \hat{i}+y \hat{j})$
$= (3+5+3) \hat{i} + (1-7+y) \hat{j} - 2 \hat{k}$
$= 11 \hat{i} + (y-6) \hat{j} - 2 \hat{k}$.
હવે,માન $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{11^2 + (y-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + (y-6)^2 + 4} = \sqrt{125 + (y-6)^2}$ શોધો.
આપેલ છે કે $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{141}$,તેથી:
$\sqrt{125 + (y-6)^2} = \sqrt{141}$
$125 + (y-6)^2 = 141$
$(y-6)^2 = 141 - 125 = 16$
$y-6 = \pm 4$.
આમ,$y_1 = 6+4 = 10$ અને $y_2 = 6-4 = 2$.
$|y_1-y_2| = |10-2| = 8$ થાય.