AP EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે પ્લેટની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. $R = 2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મૂળ પ્લેટ $B$ નું દળ $M_B = \sigma \pi (2r)^2 = 4 \sigma \pi r^2$ છે.
$r_A = 1.5r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી પ્લેટ $A$ નું દળ $M_A = \sigma \pi (1.5r)^2 = 2.25 \sigma \pi r^2$ છે.
મૂળ પ્લેટ $B$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર (ઉગમબિંદુ,$x_B = 0$) પર છે.
દૂર કરેલી પ્લેટ $A$ નું કેન્દ્ર પ્લેટ $B$ ના કેન્દ્રથી $d = R - r_A = 2r - 1.5r = 0.5r$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સૂત્ર:
$X_{cm} = \frac{M_B x_B - M_A x_A}{M_B - M_A}$
$X_{cm} = \frac{(4 \sigma \pi r^2)(0) - (2.25 \sigma \pi r^2)(0.5r)}{4 \sigma \pi r^2 - 2.25 \sigma \pi r^2}$
$X_{cm} = \frac{-1.125 \sigma \pi r^3}{1.75 \sigma \pi r^2} = -\frac{1.125}{1.75} r = -\frac{1125}{1750} r = -\frac{9}{14} r$.
અંતરનું મૂલ્ય $\frac{9r}{14}$ છે.

(A) ધારો કે $5 \,g$ ના કણનું સ્થાન $x_1 = 0 \,cm$ પર છે અને $3 \,g$ ના કણનું સ્થાન $x_2 = 40 \,cm$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{5 \times 0 + 3 \times 40}{5 + 3}$
$x_{cm} = \frac{120}{8} = 15 \,cm$
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $5 \,g$ ના કણથી $15 \,cm$ ના અંતરે અને $3 \,g$ ના કણથી $40 - 15 = 25 \,cm$ ના અંતરે આવેલું છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $5 \,g$ ના કણથી $15 \,cm$ ના અંતરે આવેલું છે.

(D) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(R_{cm})$ નું સ્થાન $R_{cm} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણો માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વધુ દળ ધરાવતા કણની નજીક હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$m_1$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} d$ અને $m_2$ થી અંતર $d_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} d$ છે,જ્યાં $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જો $m_1 > m_2$ હોય,તો $d_1 < d_2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટા દળની નજીક છે.
તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઓછા દળ ધરાવતા કણની નજીક હોય છે.

(C) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા પદાર્થનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ છે,જ્યાં $h_0 = 100 \ m$ છે.
અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_1 = e v_0 = e \sqrt{2gh_0}$ થાય છે.
અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(e \sqrt{2gh_0})^2}{2g} = e^2 h_0$ છે.
આપેલ છે કે $h_1 = 36 \ m$ અને $h_0 = 100 \ m$,તેથી $36 = e^2(100)$.
$e^2 = \frac{36}{100} = 0.36$.
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાનું દળ $m_1 = m$ અને બીજા દડાનું દળ $m_2 = 2m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 2 \,m/s$ અને $u_2 = 0 \,m/s$ છે.
પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e = 0.5$ છે.
અથડામણ પછી પ્રથમ દડાનો વેગ $v_1 = \frac{(m_1 - em_2)u_1 + (1 + e)m_2u_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_1 = \frac{(m - 0.5 \times 2m)(2) + (1 + 0.5)(2m)(0)}{m + 2m} = \frac{(m - m)(2) + 0}{3m} = 0 \,m/s$.
અથડામણ પછી બીજા દડાનો વેગ $v_2 = \frac{(m_2 - em_1)u_2 + (1 + e)m_1u_1}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_2 = \frac{(2m - 0.5 \times m)(0) + (1 + 0.5)(m)(2)}{m + 2m} = \frac{0 + (1.5)(2m)}{3m} = \frac{3m}{3m} = 1 \,m/s$.
આમ, અથડામણ પછી તેમના વેગ $0 \,m/s$ અને $1 \,m/s$ હશે.

(B) ધારો કે દરેક ટુકડાનું દળ $m$ છે. બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ અને $\vec{v}_3$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ અને $\vec{v}_2 = v \hat{j}$.
વેગમાન સંરક્ષણનું સમીકરણ: $m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 + m \vec{v}_3 = 0$.
$m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $v \hat{i} + v \hat{j} + \vec{v}_3 = 0$.
તેથી,$\vec{v}_3 = -v \hat{i} - v \hat{j}$.
ત્રીજા ટુકડાની ઝડપ એ $\vec{v}_3$ નું મૂલ્ય છે:
$|v_3| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \,m/s$ છે।
જ્યારે પદાર્થ મુક્ત પતન કરે છે, ત્યારે તેનો વેગ $v = 2 \,m/s$ છે।
હવે, પદાર્થ પર ઉપરની તરફ હવાનો અવરોધક બળ $F_{air} = mg$ લાગે છે।
જો હવાનો અવરોધ $2mg$ હોય (જેથી ચોખ્ખું બળ $mg$ ઉપરની તરફ લાગે), તો પ્રતિપ્રવેગ $a = F_{net}/m = (2mg - mg)/m = g = 10 \,m/s^2$ થાય।
સૂત્ર $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v = 0$, $u = 2 \,m/s$, અને $a = -10 \,m/s^2$:
$0 = (2)^2 + 2(-10)s$
$20s = 4$
$s = 4/20 = 0.2 \,m$.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 1 \,g$,$m_2 = 2 \,g$.
કણો એકબીજા તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે વિરુદ્ધ દિશાઓ લઈશું। ધારો કે $v_1 = 10 \,ms^{-1}$ અને $v_2 = -20 \,ms^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm}$ શોધવાનું સૂત્ર:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{cm} = \frac{(1 \times 10) + (2 \times -20)}{1 + 2}$
$V_{cm} = \frac{10 - 40}{3} = \frac{-30}{3} = -10 \,ms^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $10 \,ms^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ કણનો વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$ છે અને બીજા કણનો વેગ $\vec{v}_2 = 5 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$ છે.
દળ $m_1 = 10 \text{ g}$ અને $m_2 = 15 \text{ g}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{10(10 \hat{i}) + 15(5 \hat{j})}{10 + 15} = \frac{100 \hat{i} + 75 \hat{j}}{25} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ ms}^{-1}$.

(C) ધારો કે ટાવરની ટોચ એ $xy$-સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0, 25)$ છે. દળ $m_1 = 12 \,kg$ અને $m_2 = 6 \,kg$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 15 \hat{j} \,ms^{-1}$ અને $\vec{v}_2 = 20 \hat{i} \,ms^{-1}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_{cm,y} = \frac{m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}}{m_1 + m_2} = \frac{12(15) + 6(0)}{12 + 6} = \frac{180}{18} = 10 \,ms^{-1}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{cm,y} = -g = -10 \,ms^{-2}$ છે.
ટાવરની ટોચથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $y_{cm} = v_{cm,y} t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
ટોચથી મહત્તમ ઊંચાઈ ત્યારે મળે જ્યારે $v_{cm,y}(t) = 0$,એટલે કે $10 - 10t = 0 \implies t = 1 \,s$.
ટોચથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $y_{max} = 10(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$ છે.
જમીનથી કુલ ઊંચાઈ $H = 25 + 5 = 30 \,m$ છે.

(C) $\text{પૃથ્વીની સપાટીથી } h \text{ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ } g' \text{ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:}$
$g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\text{અહીં ઊંચાઈ } h = 4 R_E \text{ અને પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ } g = 10 \,ms^{-2} \text{ આપેલ છે.}$
$\text{સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:}$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{R_E + 4 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{5 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{1}{5} \right)^2$
$g' = 10 \times \frac{1}{25} = \frac{10}{25} = 0.4 \,ms^{-2}$

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી,તેની ત્રિજ્યા $R$ ધ્રુવો પર ન્યૂનતમ અને વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ હોય છે. $g \propto \frac{1}{R^2}$ હોવાથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.
જ્યારે આપણે સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g^{\prime} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ દ્વારા મળે છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ $g^{\prime}$ ઘટે છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વિધાનો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(A) ગોળાકાર પદાર્થની બહારના બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 2.5 a$ અંતરે આવેલું બિંદુ નક્કર ગોળા અને ગોળાકાર કવચ બંનેની બહાર છે,તેથી બંને કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + 0.5 M = 1.5 M$ છે.
$r = 2.5 a$ અંતરે એકમ દળ $(m = 1)$ ની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = V = -\frac{G M_{total}}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = -\frac{G(1.5 M)}{2.5 a} = -\frac{1.5}{2.5} \frac{GM}{a} = -\frac{3}{5} \frac{GM}{a} = -\frac{3 GM}{5 a}$.

(C) બિંદુવત દળોની સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ તમામ દળોની જોડીઓની સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે.
ત્રણ દળો $m_1, m_2, m_3$ માટે જે $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ અંતરે છે,કુલ સ્થિતિ ઊર્જા $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r_{12}} + \frac{m_2 m_3}{r_{23}} + \frac{m_3 m_1}{r_{31}} \right)$ છે.
અહીં,$m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$m_3 = 3m$,અને $r_{12} = r_{23} = r_{31} = a$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$U = -\frac{G}{a} [ (m)(2m) + (2m)(3m) + (3m)(m) ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 2m^2 + 6m^2 + 3m^2 ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 11m^2 ]$
$U = -11 \frac{Gm^2}{a}$.

(B) ગ્રહ $A$ ની સપાટી નજીક પદાર્થનો કક્ષીય વેગ $V_{A} = \sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}}$ છે.
ગ્રહ $B$ ની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{B} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_{A} = V_{B}$ છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$.
અહીં દળ સમાન હોવાથી $(M_{A} = M_{B} = M)$,આપણને મળે $\sqrt{\frac{GM}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{B}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{GM}{r_{A}} = \frac{2GM}{r_{B}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_{A}} = \frac{2}{r_{B}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_{A}}{r_{B}} = \frac{1}{2}$.

(B) જે ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ પૃથ્વીના પરિભ્રમણના આવર્તકાળ $(T = 24 \,h)$ જેટલો હોય તેને ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ કહેવાય છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \left( \frac{T^2 GM_e}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$ છે.
કિંમતો $T = 86,400 \,s$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2/kg^2$,અને $M_e = 5.97 \times 10^{24} \,kg$ મૂકતા,આપણને $r \approx 42,200 \,km$ મળે છે.
ઊંચાઈ $h$ એ $h = r - R_e$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R_e \approx 6,400 \,km$ છે.
આમ,$h = 42,200 \,km - 6,400 \,km = 35,800 \,km$.
તેથી,ઊંચાઈ આશરે $35,840 \,km$ છે.

(B) ધ્રુવીય ઉપગ્રહો પૃથ્વીની આસપાસ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે,જ્યારે પૃથ્વી તેમની નીચે ફરે છે. આ તેમને સમગ્ર પૃથ્વીનું સ્કેન કરવાની મંજૂરી આપે છે,જે તેમને રિમોટ સેન્સિંગ,હવામાનશાસ્ત્ર અને પર્યાવરણીય દેખરેખ માટે આદર્શ બનાવે છે.

$(A)$ આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 1000 \,km = 10^6 \,m$, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6.4 \times 10^6 \,m$, પૃથ્વીનું દળ $M = 6 \times 10^{24} \,kg$, ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 1.0 \times 10^6 = 7.4 \times 10^6 \,m$ છે.
ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{(7.4 \times 10^6)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{405.224 \times 10^{18}}{40.02 \times 10^{13}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{10.125 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{1012500} \approx 6.28 \times 1006.23 \approx 6319 \,s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $T = \frac{6319}{60} \approx 105.3 \,min$.
આમ, આવર્તકાળ આશરે $105 \,min$ છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનું અદિશ સ્વરૂપ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ છે.
આને સદિશ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે મૂલ્યને બળની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{r}$ વડે ગુણીએ છીએ: $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}$.
એકમ સદિશની વ્યાખ્યા $\hat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \left( \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right)$.
તેથી,સદિશ સ્વરૂપ $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^3} \overrightarrow{r}$ મળે છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય અણુ,જેમ કે હિલિયમ અથવા નિયોન,એક જ પરમાણુનો બનેલો હોય છે.
તે બિંદુવત દળ હોવાથી,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા નગણ્ય $(I \approx 0)$ હોય છે.
તેથી,તે ચાકગતિ ઉર્જા ધરાવી શકતું નથી.
પરિણામે,એક-પરમાણ્વીય અણુ માટે ચાકગતિની મુક્તિની માત્રા $0$ હોય છે.

(C) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_P = \frac{5}{2} R$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C_V = \frac{x}{100} \times C_P$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{3}{2} R = \frac{x}{100} \times \frac{5}{2} R$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} R$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે $3 = \frac{x}{100} \times 5$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $x = \frac{3 \times 100}{5} = 60$.

(D) હિલિયમનું દળ,$m_H = 16 \ g$. હિલિયમનું મોલર દળ,$M_H = 4 \ g/mol$. હિલિયમના મોલની સંખ્યા,$n_H = 16/4 = 4 \ mol$. હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી અચળ કદ પર તેની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v,H} = \frac{3}{2}R$ છે.
ઓક્સિજનનું દળ,$m_O = 16 \ g$. ઓક્સિજનનું મોલર દળ,$M_O = 32 \ g/mol$. ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા,$n_O = 16/32 = 0.5 \ mol$. ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી અચળ કદ પર તેની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v,O} = \frac{5}{2}R$ છે.
મિશ્રણની અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v,mix} = \frac{n_H C_{v,H} + n_O C_{v,O}}{n_H + n_O} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29R}{18}$ છે.
મિશ્રણની અચળ દબાણ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = \frac{29R}{18} + R = \frac{47R}{18}$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{47R/18}{29R/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ થાય.

(C) આપેલ છે કે પાત્રનું કદ અચળ છે, તેથી આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું, જે મુજબ નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે $P \propto T$ થાય છે।
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 20 \,atm$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$.
પાત્ર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ દબાણ $P_2 = 100 \,atm$.
સંબંધ $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે તાપમાન $T_2$ શોધીએ છીએ કે જેના પર પાત્ર ફાટી જશે:
$T_2 = \frac{P_2 \times T_1}{P_1} = \frac{100 \,atm \times 300 \,K}{20 \,atm} = 5 \times 300 \,K = 1500 \,K$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
અહીં કદ $V$ અચળ છે અને વાયુનો જથ્થો $n$ પણ અચળ છે,તેથી $\frac{P}{T} = \frac{nR}{V} = \text{અચળ}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto T$.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,જો દબાણ $2 \%$ વધે,તો પ્રમાણ જાળવી રાખવા માટે તાપમાન પણ $2 \%$ વધવું જોઈએ.

(B) દબાણ $P$,કદ $V$ અને કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$.
આપેલ છે:
કદ $V = 10 \text{ liters} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$.
કુલ ગતિઊર્જા $E = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{4.5 \times 10^5}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 4.5 \times 10^7$
$P = 3 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} = 30 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા (સાંદ્રતા) છે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ માટે સાંદ્રતા $n$ સમાન છે,તેથી સરેરાશ મુક્ત પથ એ વ્યાસના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$ થશે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,તેમના સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{3}{2} nRT$
$n = 1$ મોલ વાયુ માટે,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$E = \frac{3}{2} RT$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$. $n = 1$ માટે,આ સમીકરણ નીચે મુજબ થાય છે:
$PV = RT$
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $RT = PV$ મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} PV$
દબાણ $(P)$ ને કર્તા બનાવતા:
$P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે સંબંધ $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, બે અલગ-અલગ તાપમાને ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ થાય।
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$, $E_1 = 3.3 \times 10^{-20} \ J$, અને $T_2 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $E_2 = E_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{400}{300}$.
$E_2 = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{4}{3} = 1.1 \times 4 \times 10^{-20} = 4.4 \times 10^{-20} \ J$.

(C) તાપમાન,$T = 77^{\circ} C = 273 + 77 = 350 \,K$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક,$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \,J/K$.
એક પરમાણ્વીય વાયુના પરમાણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} K_{B} T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 350 \,J$.
ઊર્જાને જુલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ વડે ભાગાકાર કરો:
$E(eV) = \frac{1.5 \times 1.38 \times 350 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) = \frac{724.5 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) \approx 4.52 \times 10^{-2} \,eV$.

(A) અવાહક નળીમાં વાયુનો પ્રવાહ અચાનક અટકી જતો હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે.
વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}m(2V)^2 = 2mV^2$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,વાયુને દબાવવા માટે થયેલું કાર્ય આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $\Delta U = \frac{nR\Delta T}{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$\Delta U = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$ મળે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$2mV^2 = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{2MV^2(\gamma-1)}{R}$.

(A) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે હિલિયમ $(He)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ની $rms$ ઝડપ સમાન છે,તેથી $V_{rms, He} = V_{rms, O_2}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો $(3R)$ દૂર કરતા: $\frac{T_{He}}{M_{He}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{T_{He}}{T_{O_2}} = \frac{M_{He}}{M_{O_2}}$.
હિલિયમનું મોલર દળ $(M_{He})$ $4 \ g/mol$ છે અને ઓક્સિજનનું મોલર દળ $(M_{O_2})$ $32 \ g/mol$ છે.
તેથી,$\frac{T_{He}}{T_{O_2}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

(A) આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ,$m = 200 \, kg$
દોરડાનું બ્રેકિંગ ફોર્સ,$T = 50 \, kg\text{-wt} = 50 \times 10 \, N = 500 \, N$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \, ms^{-2}$
જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતારવામાં આવે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$
કિંમતો મૂકતા:
$(200 \times 10) - 500 = 200a$
$2000 - 500 = 200a$
$1500 = 200a$
$a = \frac{1500}{200} = 7.5 \, ms^{-2}$
આમ,મહત્તમ પ્રવેગ $7.5 \, ms^{-2}$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢાળવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો સમતલની દિશામાં ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma = -(mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta)$ થાય.
આમ,પ્રતિપ્રવેગ $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો $\theta = 30^{\circ}$ અને $\mu = 0.5$ મૂકતા:
$a = g(\sin 30^{\circ} + 0.5 \cos 30^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{2} + 0.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a = g\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
$a = g\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right)$.

(C) ઘર્ષણ એ ગતિનો વિરોધ કરતું બળ છે. ઘર્ષણ ઘટાડવાની પદ્ધતિઓમાં લ્યુબ્રિકન્ટ્સ (જેમ કે ગ્રીસ) નો ઉપયોગ,સરકતા ઘર્ષણને રોલિંગ ઘર્ષણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે બોલ બેરિંગનો ઉપયોગ અને સપાટીઓને અલગ કરવા માટે એર કુશનનો સમાવેશ થાય છે. પેઇન્ટ લગાવવો એ સુરક્ષા અથવા સૌંદર્ય માટેની સપાટીની સારવાર છે અને તે ગતિશીલ સપાટીઓ વચ્ચેના ઘર્ષણાંકને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડતું નથી.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \,ms^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$, સમય $t = 2 \,s$, અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ, ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રતિપ્રવેગ $a$ શોધો:
$0 = 4 + a(2) \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2 \,ms^{-2}$.
પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = 2 \,ms^{-2}$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f$ આ પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી $f = ma$.
વળી, ઘર્ષણ બળનું સૂત્ર $f = \mu N = \mu mg$ છે.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$ma = \mu mg \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{2}{10} = 0.2$.

(D) ગેલિલિયોના જડત્વના નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાં રહેલી વસ્તુ સીધી રેખામાં અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે. તેમણે તારણ કાઢ્યું કે જ્યારે કોઈ ઘર્ષણ બળ પદાર્થની ગતિનો વિરોધ ન કરતું હોય ત્યારે સમાન ગતિ શક્ય છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,ms^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu = 0.4$ અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
જ્યારે બળ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f_k}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 0.4 \times 10 = 4 \,ms^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u - at$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે):
$0 = 10 - 4t$
$4t = 10$
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \,s$.
આમ, પદાર્થ $2.5 \,s$ માં સ્થિર થશે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1000 \,kg$, બેંકિંગ ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$, ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
આકૃતિ મુજબ ઉર્ધ્વ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$N \cos \theta = mg + f \sin \theta$
જ્યાં $f = \mu N$ છે.
તેથી, $N \cos \theta = mg + \mu N \sin \theta$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$
$N = \frac{mg}{\cos \theta - \mu \sin \theta}$
કિંમતો મુકતા:
$N = \frac{1000 \times 10}{\cos 30^{\circ} - 0.2 \times \sin 30^{\circ}}$
$N = \frac{10000}{0.866 - 0.2 \times 0.5} = \frac{10000}{0.866 - 0.1} = \frac{10000}{0.766} \approx 13055 \,N$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$, ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$, લગાડેલ બળ $F = 50 \,N$, ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ, સીમાંત ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરીએ: $f_l = \mu mg = 0.3 \times 10 \times 10 = 30 \,N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 50 \,N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l = 30 \,N$ કરતા વધારે હોવાથી, પદાર્થ ગતિ કરશે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_l = 50 \,N - 30 \,N = 20 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{net} = ma$, તેથી $20 = 10 \times a$.
આમ, પદાર્થનો પ્રવેગ $a = 2 \,ms^{-2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ,$m = 2 \,kg$
ઢોળાવનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
ઘર્ષણાંક,$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$
પદાર્થને ઢોળાવવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f_r)$ બંનેને પાર કરવું આવશ્યક છે.
પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
મર્યાદિત ઘર્ષણ બળ $f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F$:
$F = mg \sin \theta + f_r$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$F = mg (\sin \theta + \mu \cos \theta)$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos 30^{\circ})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$F = 20 \times 1 = 20 \,N$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1500 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \,ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$,સમય $t = 5 \,s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma$.
પ્રથમ,પ્રવેગની ગણતરી કરો: $a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 20}{5} = -4 \,ms^{-2}$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ (retardation) સૂચવે છે.
હવે,પ્રતિરોધક બળની ગણતરી કરો: $F = m \times a = 1500 \,kg \times (-4 \,ms^{-2}) = -6000 \,N$.
આમ,પ્રતિરોધક બળનું મૂલ્ય $6000 \,N$ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,પદાર્થ પર લાગતું બાહ્ય બળ $F$ એ તેના રેખીય વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $F = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થયેલ પ્રવેગ છે. આમ,આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને બાહ્ય બળનું મૂલ્ય સીધી રીતે ગણી શકાય છે.

(C) ન્યુટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. આ નિયમ બળને બે પદાર્થો વચ્ચેની પરસ્પર આંતરક્રિયા તરીકે વર્ણવે છે,જેમાં એક પદાર્થ બીજા પદાર્થ પર બળ લગાડે છે અને બીજો પદાર્થ તે જ સમયે પહેલા પદાર્થ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 500 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0$,સ્થાનાંતર $s = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 - (500)^2 = 2 \times a \times 0.01$.
$-250000 = 0.02 \times a$.
$a = -\frac{250000}{0.02} = -1.25 \times 10^7 \,m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ અવરોધક બળ $F = ma$.
$F = 0.02 \,kg \times 1.25 \times 10^7 \,m/s^2 = 250 \times 10^3 \,N$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$,સમય $t = 10 \,s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = m \times a$,જ્યાં પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{0 - 10}{10} = -1 \,ms^{-2}$.
ઋણ નિશાની અવરોધક બળ સૂચવે છે.
બળનું મૂલ્ય $F = m \times |a| = 10 \,kg \times 1 \,ms^{-2} = 10 \,N$.

(B) આપેલ છે: ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.5$,વક્રતા ત્રિજ્યા,$r = 16.2 \,m$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
સપાટ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$f = \frac{mv^2}{r} \leq \mu N = \mu mg$
તેથી,મહત્તમ વેગ $v_{max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
$v_{max} = \sqrt{0.5 \times 16.2 \times 10}$
$v_{max} = \sqrt{81} = 9 \,ms^{-1}$
આને $kmh^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,$3.6$ વડે ગુણો:
$v_{max} = 9 \times 3.6 = 32.4 \,kmh^{-1}$
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $32.4 \,kmh^{-1}$ છે.

(B) વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = 50 \ m$ છે.
લોરીનો વેગ $V = 20 \ ms^{-1}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$ છે.
રસ્તાના બેંકિંગ ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{(20)^2}{50 \times 10} = \frac{400}{500} = \frac{4}{5}$.
તેથી,બેંકિંગ ખૂણો $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$ થશે.

(D) આપેલ છે:
ટ્રકનું દળ, $M = 2000 \,kg$
વક્રતા ત્રિજ્યા, $R = 10 \,m$
બેંકિંગ ખૂણો, $\theta = 39^{\circ}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,ms^{-2}$
$\tan 39^{\circ}$ નું મૂલ્ય $= 0.81$
બેંકિંગ કરેલા રસ્તા પર (ઘર્ષણ વગર) મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર:
$v = \sqrt{Rg \tan \theta}$
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{10 \times 10 \times 0.81}$
$v = \sqrt{100 \times 0.81}$
$v = \sqrt{81}$
$v = 9 \,ms^{-1}$
આમ, ટ્રકની મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $9 \,ms^{-1}$ છે।

(C) ધારો કે બે સદિશોના મૂલ્યો $A$ અને $B$ છે. આપેલ છે કે તેઓ સમાન મૂલ્યના છે,તેથી $A = B = x$ લો.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R$ એ સૂત્ર $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સદિશોના મૂલ્યોના ગુણાકારના બમણા એ પરિણામી સદિશના વર્ગ જેટલા છે: $2(AB) = R^2$.
$A = x$ અને $B = x$ મૂકતા,આપણને મળે છે $2(x \cdot x) = x^2 + x^2 + 2(x \cdot x) \cos \theta$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $2x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$ મળે છે.
બંને બાજુથી $2x^2$ બાદ કરતા,$0 = 2x^2 \cos \theta$ મળે.
અહીં $x \neq 0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$ થવું જોઈએ.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(C) ધારો કે બે બળો $F_1 = 5x$ અને $F_2 = 3x$ છે.
આપેલ છે કે પરિણામી બળ $R = 35 \ N$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
બે સદિશોના પરિણામી બળનું સૂત્ર $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $35 = \sqrt{(5x)^2 + (3x)^2 + 2(5x)(3x) \cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$,તેથી $35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 30x^2(0.5)}$.
$35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 15x^2} = \sqrt{49x^2} = 7x$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 35 / 7 = 5$.
તેથી,$F_1 = 5 \times 5 = 25 \ N$ અને $F_2 = 3 \times 5 = 15 \ N$.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\Delta\theta)$ નું સૂત્ર: $\Delta\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m$
$d = 250\, cm = 2.5\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta\theta = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = \frac{732 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = 292.8 \times 10^{-9}\, rad = 2.928 \times 10^{-7}\, rad$
આ મૂલ્ય $3.0 \times 10^{-7}\, rad$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) ટેલિસ્કોપની ટ્યુબની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ $(f_o)$ અને આઈપીસ $(f_e)$ ની કેન્દ્રલંબાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે: $L = f_o + f_e = 60 \; cm$.
ટેલિસ્કોપની મોટવણી $M$ એ કેન્દ્રલંબાઈના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = \frac{f_o}{f_e} = 5$.
આના પરથી,આપણને $f_o = 5 f_e$ મળે છે.
આ કિંમતને ટ્યુબની લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $5 f_e + f_e = 60 \; cm$,જેનું સાદું રૂપ $6 f_e = 60 \; cm$ થાય છે.
તેથી,આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e = 10 \; cm$ છે.

(B) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 16 \ \mu F = 16 \times 10^{-6} \ F$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{10}{\pi^2} \ mH = \frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3} \ H$.
રિએક્ટન્સ સમાન હોવા માટે,$X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટિવ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સના સૂત્રો મૂકતા: $L \omega = \frac{1}{C \omega}$.
$\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,$L(2 \pi f) = \frac{1}{C(2 \pi f)}$.
આવૃત્તિ $f$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{(\frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3}) \times (16 \times 10^{-6})}}$.
ગણતરી કરતા: $f = \frac{1}{2 \pi} \times \frac{\pi}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{8} = 1250 \ Hz = 1.25 \ kHz$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અનુનાદ આવૃત્તિ (resonant frequency) પર ન્યૂનતમ હોય છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે $(X_L = X_C)$.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $L = \frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \text{ H}$, $C = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \times 0.1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2.5}{\pi^2} \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-10}}} = \frac{\pi}{5 \times 10^{-5}} = \frac{\pi}{5} \times 10^5 \text{ rad/s}$.
કારણ કે $\omega = 2\pi f$, તેથી $2\pi f = \frac{\pi}{5} \times 10^5$.
$f = \frac{10^5}{10} = 10^4 \text{ Hz} = 10 \text{ kHz}$.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V(t) = 100 \sin(100 \pi t) \ V$ છે. મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 100 \ V$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$ થાય.
પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = 50 \ \Omega$ અને અવરોધ $R = 25 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાં રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100/\sqrt{2}}{50} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ A$ થાય.
$AC$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય $P = I_{rms}^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = (\sqrt{2})^2 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ W$ મળે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 40 \ \Omega$,$X_C = 20 \ \Omega$,$X_L = 50 \ \Omega$,અને $V = 100 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$Z = \sqrt{1600 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
પરિપથમાં પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$i = \frac{100 \ V}{50 \ \Omega} = 2 \ A$.

(B) માઇક્રોવેવ ઓવનમાં,માઇક્રોવેવની આવૃત્તિ પાણીના અણુઓની અનુનાદિત આવૃત્તિ (resonant frequency) જેટલી રાખવામાં આવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ પાણીના અણુઓની કુદરતી અનુનાદિત આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,ત્યારે અણુઓ ડાઇઇલેક્ટ્રિક હીટિંગની પ્રક્રિયા દ્વારા ઉર્જાનું કાર્યક્ષમ રીતે શોષણ કરે છે.
આ અનુનાદને કારણે પાણીના અણુઓ ઝડપથી ફરે છે અને ધ્રુજારી અનુભવે છે,જેનાથી ગરમી ઉત્પન્ન થાય છે અને ખોરાક રાંધવામાં આવે છે.

(C) $P$ પાવર ધરાવતા બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા અને rms વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\epsilon_0 c E_{rms}^2 = \frac{P}{4 \pi r^2}$.
$E_{rms}$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E_{rms} = \sqrt{\frac{P}{4 \pi r^2 \epsilon_0 c}}$.
અહીં $P = 1080 \,W$, $r = 3 \,m$, $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \,F/m$, અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{4 \times 3.14159 \times 3^2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{12.566 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 3}} = \sqrt{\frac{1080}{300.5}} \approx \sqrt{3594} \approx 59.95 \,Vm^{-1} \approx 60 \,Vm^{-1}$.

(A) આપેલ છે,વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin \omega t$,જ્યાં $V_0 = 10 \ V$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $L = 10 \ H$ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર માટે,પ્રેરિત $EMF$ $E = -L \frac{di}{dt}$ છે.
કિર્ચોફના લૂપના નિયમ મુજબ,$V + E = 0$,તેથી $V = L \frac{di}{dt}$.
પ્રવાહ $i$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{di}{dt} = \frac{V}{L} = \frac{V_0 \sin \omega t}{L}$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$i = \int \frac{V_0}{L} \sin \omega t \ dt = \frac{V_0}{L} \left( -\frac{\cos \omega t}{\omega} \right) = -\frac{V_0}{\omega L} \cos \omega t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $-\cos \theta = \sin \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$i = \frac{V_0}{\omega L} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$.
$V_0 = 10$ અને $L = 10$ કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{10}{\omega \times 10} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\omega} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$.

(A) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_{LR} = \frac{R}{Z_{LR}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $X_L = R$ આપેલ છે,તેથી $\cos \phi_{LR} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_{LCR} = \frac{R}{Z_{LCR}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $X_L = R$ અને $X_C = 2R$ આપેલ છે,તેથી $\cos \phi_{LCR} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (-R)^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$LR$ સર્કિટ અને $LCR$ સર્કિટના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 1:1$ થાય છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ અનુનાદ આવૃત્તિ અને પરિપથની બેન્ડવિડ્થનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે,તે સૂત્ર $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_0$ એ અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે,અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આ કિંમતને $Q$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{R} \cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot L$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L^2}{LC}}$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
$Q = \sqrt{\frac{L}{CR^2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક પાવર મીટરમાં રહેલી ચમકતી ધાતુની ડિસ્ક એડી પ્રવાહોને કારણે ફરે છે.
જ્યારે કોઈલ (coils) માંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધાતુની ડિસ્કમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે ડિસ્કમાં એડી પ્રવાહો ઉત્પન્ન કરે છે.
આ એડી પ્રવાહો ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે આંતરક્રિયા કરીને ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે ડિસ્ક ફરે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓને ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણના અંતિમ ઉર્જા સ્તર $n_f$ ના આધારે શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન ધરાસ્થિતિ $n_f = 1$ માં સંક્રમણ કરે છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_f = 1$ માં થતા સંક્રમણો ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન ઉત્પન્ન કરે છે જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના પારજાંબલી વિભાગમાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2 \rightarrow 1$ સંક્રમણ લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે અને તેથી તે પારજાંબલી વિભાગમાં ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે,ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H$ ...$(1)$
બામર શ્રેણી માટે,ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R_H}{4}$ ...$(2)$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R_H - \frac{R_H}{4} = \frac{3R_H}{4}$.
તેથી,$R_H = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = \frac{4(\lambda_2 - \lambda_1)}{3 \lambda_1 \lambda_2}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_1 = 2$ ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન $n_2 = n$ કક્ષામાંથી $n_1 = 2$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી રીડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right]$
$n$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{4} - \frac{R}{n^2}$
$\frac{R}{n^2} = \frac{R}{4} - \frac{1}{\lambda} = \frac{R \lambda - 4}{4 \lambda}$
વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{n^2}{R} = \frac{4 \lambda}{R \lambda - 4}$
$n^2 = \frac{4 \lambda R}{R \lambda - 4}$
$n = \sqrt{\frac{4 \lambda R}{R \lambda - 4}}$

(C) પર્યાપ્ત અંતરે,વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે. તેથી,$U_1 = 0$.
સ્થાન $(1)$ પર,ગતિ ઉર્જા $K_1 = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{P^2}{2m}$ છે.
નજીકના અભિગમના અંતર $(2)$ પર,ગતિ ઉર્જા $K_2 = 0$ છે.
$d_c$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_\alpha q_n}{d_c}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$U_1 + K_1 = U_2 + K_2$
$0 + \frac{P^2}{2m} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_\alpha q_n}{d_c} + 0$
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે નજીકના અભિગમનું અંતર $d_c \propto \frac{1}{P^2}$ છે.
તેથી,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_1^2}{P_2^2}$.
આપેલ છે કે $d_1 = d$,$P_1 = P$,અને $P_2 = 1.5 P = \frac{3}{2} P$:
$d_2 = d \times \frac{P^2}{(1.5 P)^2} = d \times \frac{P^2}{2.25 P^2} = d \times \frac{1}{2.25} = d \times \frac{4}{9} = \frac{4d}{9}$.

(D) ન્યૂનતમ અંતરે,આલ્ફા કણની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K.E. = U$
$K \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times Z \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{K \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$r = \frac{18 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \times Z}{K \times 10^6}$
$r = \frac{28.8 \times 10^{-10}}{K \times 10^6} Z$
$r = 28.8 \times 10^{-16} \frac{Z}{K} \text{ m}$

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા શોધવાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ અને $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે.
અહીં $A = 125$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (125)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (5^3)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times 5$
$R = 6 \times 10^{-15} \ m$.

(D) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ '$a$' નું સૂત્ર $a = \frac{v^2}{r}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ '$v$' એ $\frac{1}{n}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \frac{1}{n})$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા '$r$' એ $n^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે $(r \propto n^2)$.
આ સંબંધોને કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{v^2}{r} \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી,$a \propto \frac{1}{n^4}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$.
સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ એ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K.E. + P.E.$
સૂત્રો મૂકતા: $E = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ ના સૂત્રોની સરખામણી કરતા:
$E = \frac{P.E.}{2}$.
તેથી,$P.E. = 2E$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{-13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,ઊર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,ઊર્જા $E_2 = \frac{-13.6 \text{ eV}}{2^2} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
લઘુત્તમ ઉત્તેજિત ઊર્જા એટલે ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા.
$\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે. નાના ટીપાંની સંખ્યા $n = 8$ છે.
ટીપાંના જોડાણ દરમિયાન કદ સંરક્ષિત રહેતું હોવાથી:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$R = 2r$
ગોલીય વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 \times \text{ત્રિજ્યા}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $C'$ એ નાના ટીપાંનું કેપેસિટન્સ છે અને $C$ એ મોટા ટીપાંનું કેપેસિટન્સ છે.
$C' = 4 \pi \epsilon_0 r$
$C = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r)$
મોટા ટીપાંની કેપેસિટન્સ અને નાના ટીપાંની કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C}{C'} = \frac{4 \pi \epsilon_0 (2r)}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2}{1} = 2: 1$.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને $x$ ઊંડાઈ સુધી ઓઇલમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ $C$ એ હવાવાળા ભાગ અને ઓઇલવાળા ભાગના કેપેસિટન્સના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$C = \frac{\epsilon_0 (A - Ax)}{d} + \frac{K \epsilon_0 Ax}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d} [1 + (K - 1)x/L]$
અહીં બાજુ $L = 1 \,m$ છે, તેથી $A = L^2 = 1 \,m^2$. ઊંડાઈ $x$ સમય $t$ સાથે $x = vt$ મુજબ વધે છે, જ્યાં $v = 0.001 \,m/s$.
$C(t) = \frac{\epsilon_0}{d} [1 + (K - 1)vt]$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dC}{dt} = \frac{\epsilon_0}{d} (K - 1) v$
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$, $d = 0.01 \,m$, $K = 11$, $v = 0.001 \,m/s$:
$\frac{dC}{dt} = \frac{8.85 \times 10^{-12}}{0.01} \times (11 - 1) \times 0.001 = 8.85 \times 10^{-12} \times 10 \times 0.1 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/s$
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = V \frac{dC}{dt}$:
$I = 500 \times 8.85 \times 10^{-12} = 4.425 \times 10^{-9} \,A$.

(B) આપેલ છે: માઈકાની જાડાઈ $d_1 = 1 \times 10^{-3} \,m$, ફાઈબરની જાડાઈ $d_2 = 0.5 \times 10^{-3} \,m$. ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 8$ (માઈકા) અને $K_2 = 2.5$ (ફાઈબર). ફાઈબરનું બ્રેકડાઉન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = 6.4 \times 10^6 \,V/m$.
કેપેસિટરની પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી, વિદ્યુત સ્થાનાંતર ક્ષેત્ર $D = \epsilon_0 K E$ સમાન રહે છે, તેથી $K_1 E_1 = K_2 E_2$.
આમ, $E_1 = E_2 (K_2 / K_1) = (6.4 \times 10^6) \times (2.5 / 8) = 2.0 \times 10^6 \,V/m$.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{max} = E_1 d_1 + E_2 d_2$.
$V_{max} = (2.0 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-3}) + (6.4 \times 10^6 \times 0.5 \times 10^{-3})$.
$V_{max} = 2000 + 3200 = 5200 \,V$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 0.025 \mu F$ છે.
જ્યારે $t = d/3$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/3} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ થાય છે.
કેપેસિટર $100 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ અચળ રહે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ધાતુની પ્લેટ સાથે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} C) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$ છે.
પ્લેટને દૂર કરવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_i - U_f$ છે.
$W = \frac{1}{2} C V^2 - \frac{3}{4} C V^2 = -\frac{1}{4} C V^2$.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = \frac{1}{4} C V^2$ છે.
$|W| = \frac{1}{4} \times (0.025 \times 10^{-6} \ F) \times (100 \ V)^2 = 62.5 \mu J$.

(D) કિસ્સો $1$: બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$Q = Q_0 = C_0 V_0$
નવું અંતર $d' = 2d$. નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_0}{2}$ થાય.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0/2)} = C_0 V_0^2$ મળે.
કિસ્સો $2$: બેટરી જોડેલી રહે છે. સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
$V = V_0$
નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{C_0}{2}) \times V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ મળે.
ગુણોત્તર: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{4} C_0 V_0^2}{C_0 V_0^2} = 0.25$.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: કેપેસિટર $C$ અને $2C$ બેટરી $E$ સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ છે.
$2$. દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ છે.
$3$. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$.
$4$. અંતિમ સ્થિતિ: કેપેસિટરને અલગ કરીને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે ફરીથી જોડવામાં આવે છે. એકસાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q - q = 0$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
$5$. સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = 0$.
$6$. ગુમાવેલી ઉર્જા: $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3} - 0 = \frac{CE^2}{3}$.
$7$. આમ,$2C$ પરનો વિદ્યુતભાર $0$ છે અને ગુમાવેલી ઉર્જા $\frac{CE^2}{3}$ છે.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ હોય છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર્સ બેટરી $V$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય છે.
શરૂઆતમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિત વિદ્યુત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} CV^2 + \frac{1}{2} CV^2 = CV^2$ છે.
હવે,સ્વીચ $S$ ખોલવામાં આવે છે. કેપેસિટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલું રહે છે,તેથી તેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ રહે છે. કેપેસિટર $B$ અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે.
બંને કેપેસિટર્સમાં $K = 3$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી:
કેપેસિટર $A$ માટે,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_A = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ છે.
કેપેસિટર $B$ માટે,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ છે. વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{CV^2}{6}$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી કુલ ઉર્જા $U_2 = U_A + U_B = \frac{3}{2} CV^2 + \frac{1}{6} CV^2 = \left( \frac{9+1}{6} \right) CV^2 = \frac{10}{6} CV^2 = \frac{5}{3} CV^2$ છે.
પહેલા અને પછીની કુલ સ્થિત વિદ્યુત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{\frac{5}{3} CV^2} = \frac{3}{5}$ છે.

(B) આપેલ છે: $C_1 = 4 \mu F$,$C_2 = 6 \mu F$,અને $V = 500 \ V$.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4 \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{\text{eq}} V = 2.4 \mu F \times 500 \ V = 1200 \mu C$.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q = 1200 \mu C$.
$4 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{1200 \mu C}{4 \mu F} = 300 \ V$.

(D) આપેલ પરિપથ એક અનંત લેડર નેટવર્ક છે. પરિપથની સમપ્રમાણતાને કારણે,શિરોલંબ $1 \mu F$ કેપેસિટર્સ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે. તેથી,આ કેપેસિટર્સને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
શિરોલંબ કેપેસિટર્સને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં $1 \mu F, 3 \mu F, 9 \mu F, 27 \mu F, \dots$ મૂલ્યોના કેપેસિટર્સની અનંત શ્રેણી છે જે ભૌમિતિક શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે એક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ છે. એક શાખા માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત કેપેસિટર્સના વ્યસ્તના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
આ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C' = \frac{2}{3} \mu F$.
$A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી આવી બે શાખાઓ હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ છે:
$C_{AB} = C' + C' = 2 \times \frac{2}{3} \mu F = \frac{4}{3} \mu F$.

(D) ધારો કે દરેક પ્લેટોની જોડીનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
આકૃતિ મુજબ,આ તંત્રને શ્રેણીમાં રહેલા બે કેપેસીટર ($C_1$ અને $C_2$) તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જે ત્રીજા કેપેસીટર $(C_3)$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
અહીં,$C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ ના શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ થાય.
હવે,$C_{12}$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,કુલ કેપેસીટન્સ $C_T$ નીચે મુજબ મળે:
$C_T = C_{12} + C_3 = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે:
$C_T = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2 d}$.

(A) ઓપ્ટિકલ ફાઈબર સંદેશાવ્યવહાર માટે પ્રકાશના તરંગોનો ઉપયોગ કરે છે,જેની આવૃત્તિ ખૂબ જ ઊંચી ($THz$ ના ક્રમમાં) હોય છે. આ ઊંચી વાહક આવૃત્તિને કારણે,સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન માટે ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ અત્યંત વિશાળ હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $100 GHz$ થી વધુ હોય છે. આનાથી પરંપરાગત તાંબાના વાયરની તુલનામાં ખૂબ જ મોટા પ્રમાણમાં ડેટાનું ટ્રાન્સમિશન શક્ય બને છે.

(B) ડિજિટલ સિગ્નલ ડેટાને અલગ-અલગ મૂલ્યોના ક્રમ તરીકે રજૂ કરે છે,સામાન્ય રીતે $0$ અને $1$,જે બાઈનરી કોડ સિસ્ટમને અનુરૂપ છે. એનાલોગ સિગ્નલોથી વિપરીત જે સતત હોય છે (જેમ કે સાઇન અથવા કોસાઇન વેવ),ડિજિટલ સિગ્નલો અસતત હોય છે અને બાઈનરી લોજિક પર આધાર રાખે છે.

(C) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(A_m)$ અને કેરિયર વેવના પીક વોલ્ટેજ $(A_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $m = \frac{A_m}{A_c}$.
આપેલ છે કે, $A_c = 15 \,V$ અને $m = 60 \% = 0.60$.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $A_m = m \times A_c$.
$A_m = 0.60 \times 15 \,V = 9 \,V$.
તેથી, મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $9 \,V$ છે।

(A) આપેલ એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ $C_m = 10[1+0.6 \sin(40 \times 10^3 t)] \sin(4 \times 10^6 t) \text{ V}$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $C_m = A_c[1 + \mu \sin(\omega_m t)] \sin(\omega_c t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega_m = 40 \times 10^3 \text{ rad/s}$ અને $\omega_c = 4 \times 10^6 \text{ rad/s}$.
આવૃત્તિઓ $f_m = \frac{\omega_m}{2\pi}$ અને $f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}$ છે.
અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $f_{USB} = f_c + f_m$ અને લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $f_{LSB} = f_c - f_m$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{f_c + f_m}{f_c - f_m} = \frac{\omega_c + \omega_m}{\omega_c - \omega_m}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4 \times 10^6 + 40 \times 10^3}{4 \times 10^6 - 40 \times 10^3} = \frac{4000 \times 10^3 + 40 \times 10^3}{4000 \times 10^3 - 40 \times 10^3} = \frac{4040}{3960} = \frac{101}{99}$.

(D) રીસીવરના છેડે કેરિયર વેવમાંથી માહિતી મેળવવાની પ્રક્રિયાને ડીમોડ્યુલેશન કહેવામાં આવે છે.
મોડ્યુલેશન એ કેરિયર વેવ પર માહિતીને સુપરઇમ્પોઝ કરવાની પ્રક્રિયા છે.
એમ્પ્લીફિકેશન એ સિગ્નલની શક્તિ વધારવાની પ્રક્રિયા છે.
એટેન્યુએશન એ પ્રસારણ દરમિયાન સિગ્નલની શક્તિમાં થતો ઘટાડો છે.

(A) એન્ટેનાની ઊંચાઈ $H_r$ એ માળની સંખ્યા અને દરેક માળની ઊંચાઈના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$H_r = 20 \times 2 \,m = 40 \,m$.
રેડિયો ક્ષિતિજ અંતર $d_m$ માટેનું સૂત્ર છે:
$d_m = \sqrt{2 H_r R}$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે।
કિંમતો મૂકતા:
$d_m = \sqrt{2 \times 40 \times 6.4 \times 10^6} \,m$.
$d_m = \sqrt{512 \times 10^6} \,m = \sqrt{512} \times 10^3 \,m$.
$d_m \approx 22.627 \times 10^3 \,m = 22.6 \,km$.

(C) આપેલ છે કે,$V_{\max} = 12 \,V$ અને $V_{\min} = 3 \,V$.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{12 - 3}{12 + 3} = \frac{9}{15} = 0.6$
આમ,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.6$ છે.

(A) આપેલ છે:
મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_m = 14 kHz$
કેરિયર સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_c = 900 kHz$
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં સાઇડબેન્ડ્સની આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ મળે છે:
અપર સાઇડબેન્ડ $(USB)$ = $f_c + f_m = 900 kHz + 14 kHz = 914 kHz$
લોઅર સાઇડબેન્ડ $(LSB)$ = $f_c - f_m = 900 kHz - 14 kHz = 886 kHz$
આમ,સાઇડબેન્ડની આવૃત્તિઓ $914 kHz$ અને $886 kHz$ છે.

(C) આયનોસ્ફિયર એ પૃથ્વીના વાતાવરણનો ઉપરનો ભાગ છે,જેમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને આયનોની સાંદ્રતા ખૂબ વધારે હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તરંગનો ફેઝ વેગ (phase velocity) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ કરતા વધી જાય છે.
વક્રીભવનાંક $(n)$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં તરંગના ફેઝ વેગ $(v)$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $n = c/v$.
આયનોસ્ફિયરમાં $v > c$ હોવાથી,વક્રીભવનાંક $n$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા ઓછું હોય છે.

(A) $1$. $10 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = (10 \times 10) / (10 + 10) = 5 \Omega$ થાય.
$2$. આ $5 \Omega$ એ $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 5 + 3 = 8 \Omega$ થાય.
$3$. આ $8 \Omega$ ની શાખા $8 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે,તેથી $R_3 = (8 \times 8) / (8 + 8) = 4 \Omega$ થાય.
$4$. $6 \Omega$ અને $6 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $R_4 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3 \Omega$ થાય.
$5$. બાહ્ય પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_3 + R_4 = 4 + 3 = 7 \Omega$ થાય.
$6$. $5 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V = I \times R = 0.5 \text{ A} \times 5 \Omega = 2.5 \text{ V}$ છે. આ બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ છે.
$7$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = V / R_{eq} = 2.5 / 7 \approx 0.357 \text{ A}$ થાય.
$8$. $E = V + I_{total} \times r$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$E = 2.5 + (0.357 \times 2) = 2.5 + 0.714 = 3.214 \text{ V}$ મળે.
$9$. પરિપથનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા,$5 \Omega$ નો અવરોધ બાકીના નેટવર્ક સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ પ્રવાહ $I = 0.5 + 0.357 = 0.857 \text{ A}$ થાય. તેથી $E = 2.5 + 0.857 \times 2 = 2.5 + 1.714 = 4.214 \text{ V}$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $4 \text{ V}$ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,કેપેસિટર શાખા અને ઇન્ડક્ટર શાખા $10 \ V$ ના સોર્સ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
કેપેસિટર શાખા માટે,સમય $t$ પર કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = 10(1 - e^{-t/RC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $R = 4 \ \Omega$ અને $C = 0.5 \ F$ છે,તેથી $RC = 4 \times 0.5 = 2 \ s$. આમ,$V_C = 10(1 - e^{-t/2})$.
બિંદુ $a$ પરનો પોટેન્શિયલ $4 \ \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો છે. કેપેસિટર અને અવરોધ શ્રેણીમાં હોવાથી,પ્રવાહ $I_C = \frac{10}{4} e^{-t/2} = 2.5 e^{-t/2}$ છે. બિંદુ $a$ પરનો વોલ્ટેજ $V_a = 10 - V_C = 10 e^{-t/2}$ છે.
ઇન્ડક્ટર શાખા માટે,સમય $t$ પર પ્રવાહ $I_L = \frac{10}{2}(1 - e^{-Rt/L}) = 5(1 - e^{-2t/4}) = 5(1 - e^{-t/2})$ છે.
બિંદુ $b$ પરનો પોટેન્શિયલ ઇન્ડક્ટર પરના વોલ્ટેજ જેટલો છે,$V_b = 10 - I_L R_L = 10 - 5(1 - e^{-t/2}) \times 2 = 10 - 10 + 10 e^{-t/2} = 10 e^{-t/2}$.
પોટેન્શિયલની સરખામણી કરતા,$V_a = 10 e^{-t/2}$ અને $V_b = 10 e^{-t/2}$ મળે છે.
તેથી,દરેક સમયે $(V_a - V_b) = 10 e^{-t/2} - 10 e^{-t/2} = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $E$ એ કોષનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ છે અને $r$ એ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
જ્યારે અવરોધ $R_1$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I_1 = \frac{E}{R_1 + r}$ થાય છે.
જ્યારે અવરોધ $R_2$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I_2 = \frac{E}{R_2 + r}$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$.
$r$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$.
$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$.
તેથી,$r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના સ્થિતિમાન અનુક્રમે $V_A$ અને $V_B$ છે. ધારો કે $V_A - V_B = V$.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા,નોડમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$\frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} + \frac{V_A - V_B - E_2}{0} + \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = 0$.
$E_2$ ધરાવતી શાખામાં કોઈ અવરોધ ન હોવાથી,તેની વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = E_2 = 2 \text{ V}$ છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $(I_1)$ ગણો:
$I_1 = \frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $(I_3)$ ગણો:
$I_3 = \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$I_{E_2} + I_1 + I_3 = 0
\Rightarrow I_{E_2} + 0 + 0 = 0
\Rightarrow I_{E_2} = 0$.
આમ,$E_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(C) આપેલ છે: આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.3 \, m^2$, ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n = 2 \times 10^{25} \, m^{-3}$, વિદ્યુતભાર $q = (3t^2 + 5t + 2) \, C$, અને સમય $t = 2 \, s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{dq}{dt}$.
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \, s$ સમયે, $i = 6(2) + 5 = 17 \, A$.
ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $V_d = \frac{i}{neA}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$V_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \, m/s = 1.77 \times 10^{-5} \, m/s$.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ નું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{neA}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{V}{R}$ અને $R = \frac{\rho \ell}{A}$,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{d} = \frac{V}{neAR} = \frac{V}{neA (\frac{\rho \ell}{A})} = \frac{V}{ne \rho \ell}$.
અહીં,$V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\rho$ એ અવરોધકતા છે અને $\ell$ એ તારની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{d} \propto \frac{1}{\ell}$.
જો લંબાઈ $\ell$ બમણી કરવામાં આવે $(\ell' = 2\ell)$,તો નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}'$ નીચે મુજબ થશે:
$v_{d}' = \frac{V}{ne \rho (2\ell)} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{ne \rho \ell} \right) = \frac{V_{d}}{2}$.
નોંધો કે જ્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ અચળ રાખવામાં આવે ત્યારે ડ્રિફ્ટ વેગના સમીકરણમાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઉડી જાય છે.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે બધી દિશાઓમાં યાદચ્છિક રીતે ગતિ કરે છે. બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે,ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી તે અચળ વેગથી સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે: જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $F = -eE$ બળ અનુભવે છે. આ બળને કારણે અચળ સરેરાશ પ્રવેગ $a = -eE/m$ ઉદભવે છે. ડ્રિફ્ટ વેગને $v_d = a\tau$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ સરેરાશ રિલેક્સેશન સમય છે. આપેલ વાહક અને તાપમાન માટે $a$ અને $\tau$ અચળ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ સમયથી સ્વતંત્ર રહે છે.

(D) ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવતું હોવાથી, તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી।
તેથી, પરિપથ એક જ લૂપમાં ફેરવાય છે જેમાં $12 \, V$ ની બેટરી, $500 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $100 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે।
ધારો કે આ લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે। આ લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$12 - i(500 + 100) = 0$
$600i = 12$
$i = \frac{12}{600} = 0.02 \, A$
વોલ્ટેજ '$V$' એ $100 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલું છે કારણ કે ગેલ્વેનોમીટર શાખામાં કોઈ પ્રવાહ નથી।
$V = i \times 100$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \, V$

(A) બલ્બનું રેટિંગ $V_b = 1.5 \text{ V}$ અને $P = 0.45 \text{ W}$ છે.
બલ્બનો અવરોધ $R_b = \frac{V_b^2}{P} = \frac{(1.5)^2}{0.45} = \frac{2.25}{0.45} = 5 \Omega$ છે.
બલ્બ મહત્તમ તીવ્રતા સાથે પ્રકાશિત થાય તે માટે,તેણે તેના રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $1.5 \text{ V}$ પર કાર્ય કરવું જોઈએ.
બલ્બમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{P}{V_b} = \frac{0.45}{1.5} = 0.3 \text{ A}$ છે.
$3 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_{3\Omega} = 6 \text{ V} - 1.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V}$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V_{3\Omega}}{3 \Omega} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \text{ A}$ છે.
અવરોધ $R$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i - i_1 = 1.5 \text{ A} - 0.3 \text{ A} = 1.2 \text{ A}$ છે.
અવરોધ $R$ એ બલ્બ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,$R$ પરનો વોલ્ટેજ $1.5 \text{ V}$ છે.
તેથી,$R = \frac{1.5 \text{ V}}{1.2 \text{ A}} = 1.25 \Omega$.

(D) બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ આગળનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_{BA} = V_B - V_A)$ શોધવા માટે,આપણે પરિપથમાં $B$ થી $A$ તરફ જઈશું.
બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને,આપણે વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$ ની દિશામાં ગતિ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,આપણે $6 \text{ V}$ ની બેટરીમાંથી પસાર થઈએ છીએ. આપણે ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જઈ રહ્યા હોવાથી,$6 \text{ V}$ નો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો થાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે $2 \text{ } \Omega$ ના અવરોધમાંથી પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરીએ છીએ. અવરોધમાં સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_R = I \times R = 2 \text{ A} \times 2 \text{ } \Omega = 4 \text{ V}$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ:
$V_B - 6 \text{ V} - I \times R = V_A$
$V_B - 6 \text{ V} - 4 \text{ V} = V_A$
$V_B - V_A = 10 \text{ V}$.
જો બેટરીની ધ્રુવીયતા ઉલટી હોય,તો $V_B - V_A = -6 + 4 = -2 \text{ V}$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-2 \text{ V}$ છે.