AP EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना प्लेट का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। $R = 2r$ त्रिज्या वाली मूल प्लेट $B$ का द्रव्यमान $M_B = \sigma \pi (2r)^2 = 4 \sigma \pi r^2$ है।
$r_A = 1.5r$ त्रिज्या वाली हटाई गई प्लेट $A$ का द्रव्यमान $M_A = \sigma \pi (1.5r)^2 = 2.25 \sigma \pi r^2$ है।
मूल प्लेट $B$ का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र (मूल बिंदु,$x_B = 0$) पर है।
हटाई गई प्लेट $A$ का केंद्र,प्लेट $B$ के केंद्र से $d = R - r_A = 2r - 1.5r = 0.5r$ की दूरी पर है।
शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र:
$X_{cm} = \frac{M_B x_B - M_A x_A}{M_B - M_A}$
$X_{cm} = \frac{(4 \sigma \pi r^2)(0) - (2.25 \sigma \pi r^2)(0.5r)}{4 \sigma \pi r^2 - 2.25 \sigma \pi r^2}$
$X_{cm} = \frac{-1.125 \sigma \pi r^3}{1.75 \sigma \pi r^2} = -\frac{1.125}{1.75} r = -\frac{1125}{1750} r = -\frac{9}{14} r$.
दूरी का परिमाण $\frac{9r}{14}$ है।

(A) मान लीजिए कि $5 \,g$ के कण की स्थिति $x_1 = 0 \,cm$ पर है और $3 \,g$ के कण की स्थिति $x_2 = 40 \,cm$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$x_{cm} = \frac{5 \times 0 + 3 \times 40}{5 + 3}$
$x_{cm} = \frac{120}{8} = 15 \,cm$
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र $5 \,g$ के कण से $15 \,cm$ की दूरी पर और $3 \,g$ के कण से $40 - 15 = 25 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र $5 \,g$ के कण से $15 \,cm$ की दूरी पर स्थित है।

(D) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र $(R_{cm})$ की स्थिति $R_{cm} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$ द्वारा दी जाती है।
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो कणों के लिए,द्रव्यमान केंद्र भारी द्रव्यमान के करीब होता है।
विशेष रूप से,$m_1$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} d$ है और $m_2$ से दूरी $d_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} d$ है,जहाँ $d$ उनके बीच की दूरी है।
यदि $m_1 > m_2$ है,तो $d_1 < d_2$ होगा,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र बड़े द्रव्यमान के करीब है।
इसलिए,कथन $(d)$ गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि द्रव्यमान केंद्र कम द्रव्यमान वाले कण के करीब होता है।

(C) जमीन से टकराने से ठीक पहले पिंड का वेग $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ है,जहाँ $h_0 = 100 \ m$ है।
टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_1 = e v_0 = e \sqrt{2gh_0}$ है।
उछाल के बाद प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(e \sqrt{2gh_0})^2}{2g} = e^2 h_0$ है।
दिया गया है कि $h_1 = 36 \ m$ और $h_0 = 100 \ m$,इसलिए $36 = e^2(100)$ है।
$e^2 = \frac{36}{100} = 0.36$।
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$।

(A) माना पहली गेंद का द्रव्यमान $m_1 = m$ और दूसरी गेंद का द्रव्यमान $m_2 = 2m$ है।
प्रारंभिक वेग $u_1 = 2 \,m/s$ और $u_2 = 0 \,m/s$ हैं।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.5$ है।
टक्कर के बाद पहली गेंद का वेग $v_1 = \frac{(m_1 - em_2)u_1 + (1 + e)m_2u_2}{m_1 + m_2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_1 = \frac{(m - 0.5 \times 2m)(2) + (1 + 0.5)(2m)(0)}{m + 2m} = \frac{(m - m)(2) + 0}{3m} = 0 \,m/s$.
टक्कर के बाद दूसरी गेंद का वेग $v_2 = \frac{(m_2 - em_1)u_2 + (1 + e)m_1u_1}{m_1 + m_2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_2 = \frac{(2m - 0.5 \times m)(0) + (1 + 0.5)(m)(2)}{m + 2m} = \frac{0 + (1.5)(2m)}{3m} = \frac{3m}{3m} = 1 \,m/s$.
अतः, टक्कर के बाद उनके वेग $0 \,m/s$ और $1 \,m/s$ होंगे।

(B) माना प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
माना तीनों टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ और $\vec{v}_3$ हैं।
दिया गया है कि $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ और $\vec{v}_2 = v \hat{j}$।
संवेग संरक्षण का समीकरण है: $m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 + m \vec{v}_3 = 0$।
$m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$।
मान रखने पर: $v \hat{i} + v \hat{j} + \vec{v}_3 = 0$।
अतः,$\vec{v}_3 = -v \hat{i} - v \hat{j}$।
तीसरे टुकड़े की चाल $\vec{v}_3$ का परिमाण है:
$|v_3| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v \sqrt{2}$।

(A) माना वस्तु का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक वेग $u = 2 \,m/s$ है।
जब वस्तु मुक्त रूप से गिरती है, तो उसका वेग $v = 2 \,m/s$ होता है।
अब, वस्तु पर ऊपर की ओर वायु प्रतिरोध बल $F_{air} = mg$ कार्य करता है।
यदि वायु प्रतिरोध $2mg$ है (जिससे कुल बल $mg$ ऊपर की ओर लगे), तो मंदन $a = F_{net}/m = (2mg - mg)/m = g = 10 \,m/s^2$ होगा।
सूत्र $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर, जहाँ $v = 0$, $u = 2 \,m/s$, और $a = -10 \,m/s^2$:
$0 = (2)^2 + 2(-10)s$
$20s = 4$
$s = 4/20 = 0.2 \,m$.

(B) दिया गया है: $m_1 = 1 \,g$,$m_2 = 2 \,g$.
चूंकि कण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए हम विपरीत दिशाएं लेंगे। मान लीजिए $v_1 = 10 \,ms^{-1}$ और $v_2 = -20 \,ms^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm}$ का सूत्र है:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$V_{cm} = \frac{(1 \times 10) + (2 \times -20)}{1 + 2}$
$V_{cm} = \frac{10 - 40}{3} = \frac{-30}{3} = -10 \,ms^{-1}$.
वेग का परिमाण $10 \,ms^{-1}$ है।

(A) माना कि पहले कण का वेग $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$ है और दूसरे कण का वेग $\vec{v}_2 = 5 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$ है।
द्रव्यमान $m_1 = 10 \text{ g}$ और $m_2 = 15 \text{ g}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{10(10 \hat{i}) + 15(5 \hat{j})}{10 + 15} = \frac{100 \hat{i} + 75 \hat{j}}{25} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण है:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ ms}^{-1}$.

(C) मान लीजिए कि टॉवर का शीर्ष $xy$-समतल में मूल बिंदु $(0, 25)$ है। द्रव्यमान $m_1 = 12 \,kg$ और $m_2 = 6 \,kg$ हैं।
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 15 \hat{j} \,ms^{-1}$ और $\vec{v}_2 = 20 \hat{i} \,ms^{-1}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_{cm,y} = \frac{m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}}{m_1 + m_2} = \frac{12(15) + 6(0)}{12 + 6} = \frac{180}{18} = 10 \,ms^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{cm,y} = -g = -10 \,ms^{-2}$ है।
टॉवर के शीर्ष से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $y_{cm} = v_{cm,y} t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
शीर्ष से अधिकतम ऊँचाई तब प्राप्त होती है जब $v_{cm,y}(t) = 0$,अर्थात $10 - 10t = 0 \implies t = 1 \,s$।
शीर्ष से अधिकतम विस्थापन $y_{max} = 10(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$ है।
जमीन से कुल ऊँचाई $H = 25 + 5 = 30 \,m$ है।

(C) $\text{पृथ्वी की सतह से } h \text{ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण } g' \text{ का सूत्र इस प्रकार है:}$
$g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\text{यहाँ ऊँचाई } h = 4 R_E \text{ और पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,ms^{-2} \text{ दिया गया है।}$
$\text{सूत्र में मान रखने पर:}$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{R_E + 4 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{5 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{1}{5} \right)^2$
$g' = 10 \times \frac{1}{25} = \frac{10}{25} = 0.4 \,ms^{-2}$

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है,इसकी त्रिज्या $R$ ध्रुवों पर न्यूनतम और भूमध्य रेखा पर अधिकतम होती है। चूँकि $g \propto \frac{1}{R^2}$,इसलिए ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक होता है।
जब हम सतह से $h$ ऊँचाई पर जाते हैं,तो गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,$g^{\prime}$ का मान घटता जाता है।
पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण शून्य होता है।
अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं।

(A) गोलाकार पिंड के बाहर किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r = 2.5 a$ की दूरी पर स्थित बिंदु ठोस गोले और गोलाकार खोल दोनों के बाहर है,इसलिए दोनों केंद्र पर बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य करते हैं।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + 0.5 M = 1.5 M$ है।
$r = 2.5 a$ की दूरी पर इकाई द्रव्यमान $(m = 1)$ की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = V = -\frac{G M_{total}}{r}$ है।
मान रखने पर: $U = -\frac{G(1.5 M)}{2.5 a} = -\frac{1.5}{2.5} \frac{GM}{a} = -\frac{3}{5} \frac{GM}{a} = -\frac{3 GM}{5 a}$.

(C) बिंदु द्रव्यमानों के निकाय की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी द्रव्यमान युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग होती है।
तीन द्रव्यमानों $m_1, m_2, m_3$ के लिए जो $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ दूरी पर हैं,कुल स्थितिज ऊर्जा $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r_{12}} + \frac{m_2 m_3}{r_{23}} + \frac{m_3 m_1}{r_{31}} \right)$ है।
यहाँ,$m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$m_3 = 3m$,और $r_{12} = r_{23} = r_{31} = a$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$U = -\frac{G}{a} [ (m)(2m) + (2m)(3m) + (3m)(m) ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 2m^2 + 6m^2 + 3m^2 ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 11m^2 ]$
$U = -11 \frac{Gm^2}{a}$.

(B) ग्रह $A$ की सतह के निकट किसी पिंड का कक्षीय वेग $V_{A} = \sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}}$ है।
ग्रह $B$ की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $V_{B} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$V_{A} = V_{B}$ है।
अतः,$\sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$.
चूंकि द्रव्यमान समान हैं $(M_{A} = M_{B} = M)$,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{GM}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{B}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{GM}{r_{A}} = \frac{2GM}{r_{B}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_{A}} = \frac{2}{r_{B}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_{A}}{r_{B}} = \frac{1}{2}$।

(B) जिस उपग्रह का आवर्तकाल पृथ्वी के घूर्णन काल $(T = 24 \,h)$ के बराबर होता है,उसे भूस्थिर उपग्रह कहा जाता है।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \left( \frac{T^2 GM_e}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$ है।
मान $T = 86,400 \,s$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2/kg^2$,और $M_e = 5.97 \times 10^{24} \,kg$ रखने पर,हमें $r \approx 42,200 \,km$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h$ का मान $h = r - R_e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e \approx 6,400 \,km$ है।
अतः,$h = 42,200 \,km - 6,400 \,km = 35,800 \,km$।
इसलिए,ऊँचाई लगभग $35,840 \,km$ है।

(B) ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर उत्तर-दक्षिण दिशा में परिक्रमा करते हैं,जबकि पृथ्वी उनके नीचे घूमती है। यह उन्हें पूरी पृथ्वी को स्कैन करने की अनुमति देता है,जो उन्हें रिमोट सेंसिंग,मौसम विज्ञान और पर्यावरणीय निगरानी के लिए आदर्श बनाता है।

$(A)$ दिया गया है: ऊँचाई $h = 1000 \,km = 10^6 \,m$, पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6.4 \times 10^6 \,m$, पृथ्वी का द्रव्यमान $M = 6 \times 10^{24} \,kg$, गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$।
कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 1.0 \times 10^6 = 7.4 \times 10^6 \,m$ है।
उपग्रह का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है।
मान रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{(7.4 \times 10^6)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{405.224 \times 10^{18}}{40.02 \times 10^{13}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{10.125 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{1012500} \approx 6.28 \times 1006.23 \approx 6319 \,s$.
मिनटों में बदलने पर: $T = \frac{6319}{60} \approx 105.3 \,min$.
अतः, आवर्तकाल लगभग $105 \,min$ है।

(D) गुरुत्वाकर्षण के नियम का अदिश रूप $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ है।
इसे सदिश रूप में व्यक्त करने के लिए,हम परिमाण को बल की दिशा में इकाई सदिश $\hat{r}$ से गुणा करते हैं: $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}$।
चूंकि इकाई सदिश को $\hat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \left( \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right)$।
अतः,सदिश रूप $\overrightarrow{F} = G \frac{m_1 m_2}{r^3} \overrightarrow{r}$ है।

(C) एक-परमाणुक अणु,जैसे हीलियम या नियॉन,एक ही परमाणु से बना होता है।
चूंकि यह एक बिंदु द्रव्यमान है,इसलिए इसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली किसी भी अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण नगण्य $(I \approx 0)$ होता है।
इसलिए,यह घूर्णन गतिज ऊर्जा नहीं रख सकता है।
परिणामस्वरूप,एक-परमाणुक अणु के लिए घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $0$ होती है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2} R$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,$C_V = \frac{x}{100} \times C_P$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{3}{2} R = \frac{x}{100} \times \frac{5}{2} R$।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} R$ को हटाने पर,हमें मिलता है $3 = \frac{x}{100} \times 5$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = \frac{3 \times 100}{5} = 60$।

(D) हीलियम का द्रव्यमान,$m_H = 16 \ g$। हीलियम का मोलर द्रव्यमान,$M_H = 4 \ g/mol$। हीलियम के मोलों की संख्या,$n_H = 16/4 = 4 \ mol$। हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v,H} = \frac{3}{2}R$ है।
ऑक्सीजन का द्रव्यमान,$m_O = 16 \ g$। ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान,$M_O = 32 \ g/mol$। ऑक्सीजन के मोलों की संख्या,$n_O = 16/32 = 0.5 \ mol$। ऑक्सीजन एक द्विपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v,O} = \frac{5}{2}R$ है।
मिश्रण की स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{v,mix} = \frac{n_H C_{v,H} + n_O C_{v,O}}{n_H + n_O} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29R}{18}$ है।
मिश्रण की स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = \frac{29R/18} + R = \frac{47R}{18}$ है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{47R/18}{29R/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ है।

(C) यह दिया गया है कि पात्र का आयतन स्थिर है, इसलिए हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार गैस की निश्चित मात्रा के लिए $P \propto T$ होता है।
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 20 \,atm$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$.
पात्र द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम दबाव $P_2 = 100 \,atm$.
संबंध $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ का उपयोग करके, हम वह तापमान $T_2$ ज्ञात करते हैं जिस पर पात्र फट जाएगा:
$T_2 = \frac{P_2 \times T_1}{P_1} = \frac{100 \,atm \times 300 \,K}{20 \,atm} = 5 \times 300 \,K = 1500 \,K$.

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर है और गैस की मात्रा $n$ भी स्थिर है,इसलिए $\frac{P}{T} = \frac{nR}{V} = \text{स्थिरांक}$ होगा।
इसका अर्थ है कि दाब $P$,तापमान $T$ के सीधे समानुपाती है,अर्थात $P \propto T$।
प्रतिशत में छोटे परिवर्तनों के लिए,यदि दाब $2 \%$ बढ़ता है,तो समानुपातिकता बनाए रखने के लिए तापमान भी $2 \%$ बढ़ना चाहिए।

(B) दाब $P$,आयतन $V$ और कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$.
दिया गया है:
आयतन $V = 10 \text{ liters} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$.
कुल गतिज ऊर्जा $E = 4.5 \times 10^5 \text{ J}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{4.5 \times 10^5}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 4.5 \times 10^7$
$P = 3 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} = 30 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$,सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ अणुओं का संख्या घनत्व (सांद्रता) है।
यह दिया गया है कि दोनों गैसों के लिए सांद्रता $n$ समान है,इसलिए माध्य मुक्त पथ व्यास के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$।
अतः,माध्य मुक्त पथ का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$ होगा।
व्यासों का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{d_2}{d_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस मान को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = \frac{4}{1}$।
इस प्रकार,उनके माध्य मुक्त पथ का अनुपात $4: 1$ है।

(D) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{3}{2} nRT$
$n = 1$ मोल गैस के लिए,समीकरण इस प्रकार बनता है:
$E = \frac{3}{2} RT$
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है। $n = 1$ के लिए,यह सरल होकर हो जाता है:
$PV = RT$
गतिज ऊर्जा के समीकरण में $RT = PV$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{3}{2} PV$
दाब $(P)$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$

(C) गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है, जिसे संबंध $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, दो अलग-अलग तापमानों पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ होता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$, $E_1 = 3.3 \times 10^{-20} \ J$, और $T_2 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$।
मान रखने पर: $E_2 = E_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{400}{300}$।
$E_2 = 3.3 \times 10^{-20} \times \frac{4}{3} = 1.1 \times 4 \times 10^{-20} = 4.4 \times 10^{-20} \ J$।

(C) तापमान,$T = 77^{\circ} C = 273 + 77 = 350 \,K$.
बोल्ट्ज़मैन नियतांक,$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \,J/K$.
एकल-परमाणुक गैस के परमाणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} K_{B} T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$E = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 350 \,J$.
ऊर्जा को जूल से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ से विभाजित करें:
$E(eV) = \frac{1.5 \times 1.38 \times 350 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) = \frac{724.5 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV$.
$E(eV) \approx 4.52 \times 10^{-2} \,eV$.

(A) चूंकि गैस का प्रवाह एक अछूता नली में अचानक रुक जाता है,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) है।
गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}m(2V)^2 = 2mV^2$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,गैस को संपीड़ित करने के लिए किया गया कार्य आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $\Delta U = \frac{nR\Delta T}{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है,इसलिए $\Delta U = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$ होगा।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$2mV^2 = \frac{mR\Delta T}{M(\gamma-1)}$.
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{2MV^2(\gamma-1)}{R}$.

(A) गैस की $rms$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि हीलियम $(He)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ की $rms$ चाल समान है,इसलिए $V_{rms, He} = V_{rms, O_2}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और उभयनिष्ठ पदों $(3R)$ को हटाने पर: $\frac{T_{He}}{M_{He}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$।
तापमान के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T_{He}}{T_{O_2}} = \frac{M_{He}}{M_{O_2}}$।
हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M_{He})$ $4 \ g/mol$ है और ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $(M_{O_2})$ $32 \ g/mol$ है।
अतः,$\frac{T_{He}}{T_{O_2}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(A) दिया गया है:
वस्तु का द्रव्यमान,$m = 200 \, kg$
रस्सी का ब्रेकिंग बल,$T = 50 \, kg\text{-wt} = 50 \times 10 \, N = 500 \, N$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, ms^{-2}$
जब वस्तु को $a$ त्वरण के साथ नीचे उतारा जाता है,तो गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$
मान रखने पर:
$(200 \times 10) - 500 = 200a$
$2000 - 500 = 200a$
$1500 = 200a$
$a = \frac{1500}{200} = 7.5 \, ms^{-2}$
अतः,अधिकतम त्वरण $7.5 \, ms^{-2}$ है।

(A) जब कोई पिंड नत समतल पर ऊपर की ओर गति करता है,तो गति के विपरीत कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का समतल के अनुदिश घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ होते हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma = -(mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta)$ होता है।
अतः,मंदन $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों $\theta = 30^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = g(\sin 30^{\circ} + 0.5 \cos 30^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{2} + 0.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a = g\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
$a = g\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right)$.

(C) घर्षण वह बल है जो गति का विरोध करता है। घर्षण को कम करने की विधियों में स्नेहक (जैसे ग्रीस) का उपयोग करना,सर्पी घर्षण को लोटनिक घर्षण में बदलने के लिए बॉल बेयरिंग का उपयोग करना,और सतहों को अलग करने के लिए एयर कुशन बनाना शामिल है। पेंट लगाना सुरक्षा या सौंदर्य के लिए एक सतही उपचार है और यह गतिशील सतहों के बीच घर्षण गुणांक को महत्वपूर्ण रूप से कम नहीं करता है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 4 \,ms^{-1}$, अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$, समय $t = 2 \,s$, और $g = 10 \,ms^{-2}$।
सबसे पहले, गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके मंदन $a$ की गणना करें:
$0 = 4 + a(2) \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2 \,ms^{-2}$।
मंदन का परिमाण $|a| = 2 \,ms^{-2}$ है।
घर्षण बल $f$ यह मंदन प्रदान करता है, इसलिए $f = ma$।
साथ ही, घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
$f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$ma = \mu mg \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$।
मान रखने पर:
$\mu = \frac{2}{10} = 0.2$।

(D) गैलीलियो के जड़त्व के नियम के अनुसार,गति में कोई वस्तु तब तक एक सीधी रेखा में निरंतर वेग के साथ चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल कार्य न करे। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एकसमान गति तब संभव है जब कोई घर्षण बल वस्तु की गति का विरोध न करे।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 10 \,ms^{-1}$, अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$, गतिज घर्षण गुणांक $\mu = 0.4$ और $g = 10 \,ms^{-2}$।
जब बल को हटा दिया जाता है, तो पिंड पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, मंदन $a = \frac{f_k}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ है।
मान रखने पर: $a = 0.4 \times 10 = 4 \,ms^{-2}$।
गति के पहले समीकरण $v = u - at$ का उपयोग करने पर (जहाँ $a$ मंदन है):
$0 = 10 - 4t$
$4t = 10$
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \,s$।
अतः, पिंड $2.5 \,s$ में विरामावस्था में आ जाएगा।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \,kg$, बैंकिंग कोण $\theta = 30^{\circ}$, घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$।
चित्र के अनुसार ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन लेने पर:
$N \cos \theta = mg + f \sin \theta$
जहाँ $f = \mu N$ है।
अतः, $N \cos \theta = mg + \mu N \sin \theta$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$
$N = \frac{mg}{\cos \theta - \mu \sin \theta}$
मान रखने पर:
$N = \frac{1000 \times 10}{\cos 30^{\circ} - 0.2 \times \sin 30^{\circ}}$
$N = \frac{10000}{0.866 - 0.2 \times 0.5} = \frac{10000}{0.866 - 0.1} = \frac{10000}{0.766} \approx 13055 \,N$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$, घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$, आरोपित बल $F = 50 \,N$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
सबसे पहले, सीमांत घर्षण बल की गणना करें: $f_l = \mu mg = 0.3 \times 10 \times 10 = 30 \,N$।
चूंकि आरोपित बल $F = 50 \,N$, सीमांत घर्षण बल $f_l = 30 \,N$ से अधिक है, इसलिए वस्तु गति करेगी।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_l = 50 \,N - 30 \,N = 20 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F_{net} = ma$, हमें प्राप्त होता है $20 = 10 \times a$।
अतः, वस्तु का त्वरण $a = 2 \,ms^{-2}$ है।

(C) दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान,$m = 2 \,kg$
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$
घर्षण गुणांक,$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$
पिंड को नत समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए,लगाए गए बल $F$ को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f_r)$ दोनों को पार करना होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
सीमान्त घर्षण बल $f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
आवश्यक न्यूनतम बल $F$:
$F = mg \sin \theta + f_r$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$F = mg (\sin \theta + \mu \cos \theta)$
मान रखने पर:
$F = 2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos 30^{\circ})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$F = 20 \times 1 = 20 \,N$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1500 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \,ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$,समय $t = 5 \,s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,बल $F = ma$।
सबसे पहले,त्वरण की गणना करें: $a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 20}{5} = -4 \,ms^{-2}$।
ऋणात्मक चिह्न मंदन (retardation) को दर्शाता है।
अब,मंदक बल की गणना करें: $F = m \times a = 1500 \,kg \times (-4 \,ms^{-2}) = -6000 \,N$।
अतः,मंदक बल का परिमाण $6000 \,N$ है।

(C) न्यूटन के गति के द्वितीय नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बाह्य बल $F$ उसके रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जिसे $F = ma$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ पिंड में उत्पन्न त्वरण है। इस प्रकार,इस नियम का उपयोग करके बाह्य बल के परिमाण की गणना सीधे की जा सकती है।

(C) न्यूटन का गति का तृतीय नियम बताता है कि प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। यह नियम बल को दो निकायों के बीच एक पारस्परिक अन्योन्यक्रिया के रूप में वर्णित करता है,जहाँ एक निकाय दूसरे पर बल लगाता है,और दूसरा निकाय साथ ही साथ पहले निकाय पर समान और विपरीत बल लगाता है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 500 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0$,विस्थापन $s = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2as$.
मान रखने पर: $0^2 - (500)^2 = 2 \times a \times 0.01$.
$-250000 = 0.02 \times a$.
$a = -\frac{250000}{0.02} = -1.25 \times 10^7 \,m/s^2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार मंदक बल $F = ma$.
$F = 0.02 \,kg \times 1.25 \times 10^7 \,m/s^2 = 250 \times 10^3 \,N$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \,ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$,समय $t = 10 \,s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = m \times a$,जहाँ त्वरण $a = \frac{v - u}{t}$ है।
मान रखने पर: $a = \frac{0 - 10}{10} = -1 \,ms^{-2}$।
ऋणात्मक चिह्न मंदक बल को दर्शाता है।
बल का परिमाण $F = m \times |a| = 10 \,kg \times 1 \,ms^{-2} = 10 \,N$।

(B) दिया गया है: घर्षण गुणांक,$\mu = 0.5$,वक्रता त्रिज्या,$r = 16.2 \,m$,गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$।
समतल वृत्ताकार पथ पर गति करती कार के लिए,अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच के स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f = \frac{mv^2}{r} \leq \mu N = \mu mg$
अतः,अधिकतम वेग $v_{max}$ इस प्रकार है:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
$v_{max} = \sqrt{0.5 \times 16.2 \times 10}$
$v_{max} = \sqrt{81} = 9 \,ms^{-1}$
इसे $kmh^{-1}$ में बदलने के लिए,$3.6$ से गुणा करें:
$v_{max} = 9 \times 3.6 = 32.4 \,kmh^{-1}$
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $32.4 \,kmh^{-1}$ है।

(B) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = 50 \ m$ है।
लॉरी का वेग $V = 20 \ ms^{-1}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$ है।
सड़क के बैंकिंग कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ होता है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(20)^2}{50 \times 10} = \frac{400}{500} = \frac{4}{5}$.
अतः,बैंकिंग कोण $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$ है।

(D) दिया गया है:
ट्रक का द्रव्यमान, $M = 2000 \,kg$
वक्रता त्रिज्या, $R = 10 \,m$
बैंकिंग कोण, $\theta = 39^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,ms^{-2}$
$\tan 39^{\circ}$ का मान $= 0.81$
बैंकिंग सड़क पर (घर्षण के बिना) अधिकतम अनुमेय गति $v$ का सूत्र है:
$v = \sqrt{Rg \tan \theta}$
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{10 \times 10 \times 0.81}$
$v = \sqrt{100 \times 0.81}$
$v = \sqrt{81}$
$v = 9 \,ms^{-1}$
अतः, ट्रक की अधिकतम अनुमेय गति $9 \,ms^{-1}$ है।

(C) माना कि दो सदिशों का परिमाण $A$ और $B$ है। दिया गया है कि उनका परिमाण समान है,इसलिए $A = B = x$ मान लें।
परिणामी सदिश का परिमाण $R$,सूत्र $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
प्रश्न के अनुसार,सदिशों के परिमाणों के गुणनफल का दोगुना परिणामी सदिश के वर्ग के बराबर है: $2(AB) = R^2$।
$A = x$ और $B = x$ रखने पर,हमें मिलता है $2(x \cdot x) = x^2 + x^2 + 2(x \cdot x) \cos \theta$।
इसे सरल करने पर $2x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2x^2$ घटाने पर,$0 = 2x^2 \cos \theta$ मिलता है।
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(C) माना कि दो बल $F_1 = 5x$ और $F_2 = 3x$ हैं।
दिया गया है कि परिणामी बल $R = 35 \ N$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
दो सदिशों के परिणामी बल का सूत्र $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ है।
मान रखने पर: $35 = \sqrt{(5x)^2 + (3x)^2 + 2(5x)(3x) \cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$,इसलिए $35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 30x^2(0.5)}$.
$35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 15x^2} = \sqrt{49x^2} = 7x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 35 / 7 = 5$.
अतः,$F_1 = 5 \times 5 = 25 \ N$ और $F_2 = 3 \times 5 = 15 \ N$.

(C) दूरबीन की विभेदन सीमा $(\Delta\theta)$ का सूत्र है: $\Delta\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
दिया गया है:
$\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m$
$d = 250\, cm = 2.5\, m$
मान रखने पर:
$\Delta\theta = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = \frac{732 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = 292.8 \times 10^{-9}\, rad = 2.928 \times 10^{-7}\, rad$
यह मान $3.0 \times 10^{-7}\, rad$ के सबसे निकट है।

(D) टेलीस्कोप की ट्यूब की लंबाई $L$,अभिदृश्यक लेंस $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है: $L = f_o + f_e = 60 \; cm$.
टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $M$ फोकस दूरियों के अनुपात द्वारा दी जाती है: $M = \frac{f_o}{f_e} = 5$.
इससे हमें $f_o = 5 f_e$ प्राप्त होता है।
इस मान को ट्यूब की लंबाई के समीकरण में रखने पर: $5 f_e + f_e = 60 \; cm$,जो सरल होकर $6 f_e = 60 \; cm$ हो जाता है।
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 10 \; cm$ है।

(B) दिया गया है: धारिता $C = 16 \ \mu F = 16 \times 10^{-6} \ F$.
प्रेरकत्व $L = \frac{10}{\pi^2} \ mH = \frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3} \ H$.
प्रतिघात समान होने के लिए,$X_L = X_C$.
प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात के सूत्रों को रखने पर: $L \omega = \frac{1}{C \omega}$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $L(2 \pi f) = \frac{1}{C(2 \pi f)}$.
आवृत्ति $f$ के लिए सूत्र: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
मान रखने पर: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{(\frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3}) \times (16 \times 10^{-6})}}$.
गणना करने पर: $f = \frac{1}{2 \pi} \times \frac{\pi}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{8} = 1250 \ Hz = 1.25 \ kHz$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) पर न्यूनतम होती है, जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात समान होते हैं $(X_L = X_C)$.
अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है。
दिया गया है: $L = \frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \text{ H}$, $C = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F}$。
मान रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \times 0.1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2.5}{\pi^2} \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-10}}} = \frac{\pi}{5 \times 10^{-5}} = \frac{\pi}{5} \times 10^5 \text{ rad/s}$。
चूंकि $\omega = 2\pi f$, इसलिए $2\pi f = \frac{\pi}{5} \times 10^5$。
$f = \frac{10^5}{10} = 10^4 \text{ Hz} = 10 \text{ kHz}$。

(C) दिया गया वोल्टेज $V(t) = 100 \sin(100 \pi t) \ V$ है। शिखर वोल्टेज $V_0 = 100 \ V$ है।
रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = 50 \ \Omega$ और प्रतिरोध $R = 25 \ \Omega$ है।
परिपथ में रूट मीन स्क्वायर धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100/\sqrt{2}}{50} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ A$ है।
$AC$ परिपथ में औसत व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = (\sqrt{2})^2 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ W$ प्राप्त होता है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
दिया गया है: $R = 40 \ \Omega$,$X_C = 20 \ \Omega$,$X_L = 50 \ \Omega$,और $V = 100 \ V$.
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$Z = \sqrt{1600 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
परिपथ में धारा $i$ का मान $i = \frac{V}{Z}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$i = \frac{100 \ V}{50 \ \Omega} = 2 \ A$.

(B) माइक्रोवेव ओवन में,माइक्रोवेव की आवृत्ति को पानी के अणुओं की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) के बराबर चुना जाता है।
जब विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति पानी के अणुओं की प्राकृतिक अनुनादी आवृत्ति से मेल खाती है,तो अणु डाइइलेक्ट्रिक हीटिंग की प्रक्रिया के माध्यम से ऊर्जा को कुशलतापूर्वक अवशोषित करते हैं।
यह अनुनाद पानी के अणुओं को तेजी से घूमने और कंपन करने का कारण बनता है,जिससे गर्मी उत्पन्न होती है और भोजन पक जाता है।

(C) $P$ शक्ति वाले बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही, विद्युत चुंबकीय तरंग की तीव्रता और rms विद्युत क्षेत्र $E_{rms}$ के बीच संबंध $I = \epsilon_0 c E_{rms}^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\epsilon_0 c E_{rms}^2 = \frac{P}{4 \pi r^2}$.
$E_{rms}$ के लिए सूत्र बनाने पर: $E_{rms} = \sqrt{\frac{P}{4 \pi r^2 \epsilon_0 c}}$.
यहाँ $P = 1080 \,W$, $r = 3 \,m$, $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \,F/m$, और $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ है।
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{4 \times 3.14159 \times 3^2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_{rms} = \sqrt{\frac{1080}{12.566 \times 9 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 3}} = \sqrt{\frac{1080}{300.5}} \approx \sqrt{3594} \approx 59.95 \,Vm^{-1} \approx 60 \,Vm^{-1}$.

(A) दिया गया है,वोल्टेज $V = V_0 \sin \omega t$,जहाँ $V_0 = 10 \ V$ और प्रेरकत्व $L = 10 \ H$ है।
एक शुद्ध प्रेरक के लिए,प्रेरित $EMF$ $E = -L \frac{di}{dt}$ होता है।
किरचॉफ के लूप नियम के अनुसार,$V + E = 0$,इसलिए $V = L \frac{di}{dt}$।
धारा $i$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{di}{dt} = \frac{V}{L} = \frac{V_0 \sin \omega t}{L}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन (integration) करने पर:
$i = \int \frac{V_0}{L} \sin \omega t \ dt = \frac{V_0}{L} \left( -\frac{\cos \omega t}{\omega} \right) = -\frac{V_0}{\omega L} \cos \omega t$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $-\cos \theta = \sin \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$i = \frac{V_0}{\omega L} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$।
$V_0 = 10$ और $L = 10$ का मान रखने पर:
$i = \frac{10}{\omega \times 10} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\omega} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$।

(A) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi_{LR} = \frac{R}{Z_{LR}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $X_L = R$ दिया गया है,इसलिए $\cos \phi_{LR} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi_{LCR} = \frac{R}{Z_{LCR}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $X_L = R$ और $X_C = 2R$ दिया गया है,इसलिए $\cos \phi_{LCR} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (-R)^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$LR$ परिपथ और $LCR$ परिपथ के शक्ति गुणांक का अनुपात $\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 1:1$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$ अनुनाद आवृत्ति और परिपथ की बैंडविड्थ का अनुपात होता है।
गणितीय रूप से,यह सूत्र $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega_0$ अनुनाद कोणीय आवृत्ति है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए,अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होती है।
इस मान को $Q$ के सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{R} \cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot L$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L^2}{LC}}$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
$Q = \sqrt{\frac{L}{CR^2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) इलेक्ट्रिक पावर मीटर में मौजूद चमकदार धातु की डिस्क भंवर धाराओं (eddy currents) के कारण घूमती है।
जब कॉइल्स में प्रवाहित धारा द्वारा उत्पन्न परिवर्तित चुंबकीय क्षेत्र धातु की डिस्क से होकर गुजरता है,तो यह डिस्क के भीतर भंवर धाराएं प्रेरित करता है।
ये भंवर धाराएं चुंबकीय क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया करके एक टॉर्क उत्पन्न करती हैं,जिससे डिस्क घूमने लगती है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल रेखाओं को इलेक्ट्रॉन संक्रमण के अंतिम ऊर्जा स्तर $n_f$ के आधार पर श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है।
लायमन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $n_f = 1$ में संक्रमण करता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n_f = 1$ में होने वाले संक्रमण उच्च ऊर्जा वाले फोटॉन उत्पन्न करते हैं जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी क्षेत्र में आते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$2 \rightarrow 1$ संक्रमण लायमन श्रेणी का हिस्सा है और इसलिए यह पराबैंगनी क्षेत्र में फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(B) लाइमैन श्रेणी के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है। रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H$ ...$(1)$
बामर श्रेणी के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है। रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R_H}{4}$ ...$(2)$
समीकरणों को घटाने पर: $\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = R_H - \frac{R_H}{4} = \frac{3R_H}{4}$.
अतः,$R_H = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = \frac{4(\lambda_2 - \lambda_1)}{3 \lambda_1 \lambda_2}$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की पहली उत्तेजित अवस्था $n_1 = 2$ के अनुरूप होती है।
दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन $n_2 = n$ कक्षा से $n_1 = 2$ कक्षा में कूदता है,इसलिए रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right]$
$n$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{\lambda} = \frac{R}{4} - \frac{R}{n^2}$
$\frac{R}{n^2} = \frac{R}{4} - \frac{1}{\lambda} = \frac{R \lambda - 4}{4 \lambda}$
व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{n^2}{R} = \frac{4 \lambda}{R \lambda - 4}$
$n^2 = \frac{4 \lambda R}{R \lambda - 4}$
$n = \sqrt{\frac{4 \lambda R}{R \lambda - 4}}$

(C) पर्याप्त दूरी पर,विद्युत स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है। इसलिए,$U_1 = 0$ है।
स्थिति $(1)$ पर,गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{P^2}{2m}$ है।
निकटतम पहुँच की दूरी $(2)$ पर,गतिज ऊर्जा $K_2 = 0$ है।
$d_c$ दूरी पर विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_\alpha q_n}{d_c}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$U_1 + K_1 = U_2 + K_2$
$0 + \frac{P^2}{2m} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_\alpha q_n}{d_c} + 0$
इससे,हम देख सकते हैं कि निकटतम पहुँच की दूरी $d_c \propto \frac{1}{P^2}$ है।
इसलिए,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_1^2}{P_2^2}$ है।
दिया गया है कि $d_1 = d$,$P_1 = P$,और $P_2 = 1.5 P = \frac{3}{2} P$:
$d_2 = d \times \frac{P^2}{(1.5 P)^2} = d \times \frac{P^2}{2.25 P^2} = d \times \frac{1}{2.25} = d \times \frac{4}{9} = \frac{4d}{9}$।

(D) निकटतम पहुँच की दूरी पर,अल्फा कण की संपूर्ण गतिज ऊर्जा स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K.E. = U$
$K \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ का मान रखने पर:
$r = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times Z \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{K \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$r = \frac{18 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \times Z}{K \times 10^6}$
$r = \frac{28.8 \times 10^{-10}}{K \times 10^6} Z$
$r = 28.8 \times 10^{-16} \frac{Z}{K} \text{ m}$

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
दिया गया है $A = 125$।
मान रखने पर:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (125)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (5^3)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times 5$
$R = 6 \times 10^{-15} \ m$.

(D) अभिकेंद्र त्वरण '$a$' का सूत्र $a = \frac{v^2}{r}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग '$v$',$\frac{1}{n}$ के समानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$।
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या '$r$',$n^2$ के समानुपाती होती है $(r \propto n^2)$।
इन संबंधों को अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{v^2}{r} \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$।
अतः,$a \propto \frac{1}{n^4}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार दी जाती है: $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$.
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ इस प्रकार दी जाती है: $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K.E. + P.E.$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$E = \frac{P.E.}{2}$.
अतः,$P.E. = 2E$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = \frac{-13.6 \text{ eV}}{n^2}$ है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए,ऊर्जा $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ है।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए,ऊर्जा $E_2 = \frac{-13.6 \text{ eV}}{2^2} = -3.4 \text{ eV}$ है।
न्यूनतम उत्तेजन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
$\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$.

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। छोटी बूंदों की संख्या $n = 8$ है।
चूंकि बूंदों के संयोजन के दौरान आयतन संरक्षित रहता है, इसलिए:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$R = 2r$
गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 \times \text{त्रिज्या}$ द्वारा दी जाती है।
माना $C'$ छोटी बूंद की धारिता है और $C$ बड़ी बूंद की धारिता है।
$C' = 4 \pi \epsilon_0 r$
$C = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r)$
बड़ी बूंद की धारिता का छोटी बूंद की धारिता से अनुपात है:
$\frac{C}{C'} = \frac{4 \pi \epsilon_0 (2r)}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2}{1} = 2: 1$.

(C) जब संधारित्र को $x$ गहराई तक तेल में डुबोया जाता है, तो इसकी धारिता $C$ हवा वाले भाग और तेल वाले भाग की धारिताओं के योग के बराबर होती है:
$C = \frac{\epsilon_0 (A - Ax)}{d} + \frac{K \epsilon_0 Ax}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d} [1 + (K - 1)x/L]$
यहाँ भुजा $L = 1 \,m$ है, इसलिए $A = L^2 = 1 \,m^2$। गहराई $x$ समय $t$ के साथ $x = vt$ के अनुसार बढ़ती है, जहाँ $v = 0.001 \,m/s$ है।
$C(t) = \frac{\epsilon_0}{d} [1 + (K - 1)vt]$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dC}{dt} = \frac{\epsilon_0}{d} (K - 1) v$
मान रखने पर: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$, $d = 0.01 \,m$, $K = 11$, $v = 0.001 \,m/s$:
$\frac{dC}{dt} = \frac{8.85 \times 10^{-12}}{0.01} \times (11 - 1) \times 0.001 = 8.85 \times 10^{-12} \times 10 \times 0.1 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/s$
बैटरी से ली गई धारा $I = V \frac{dC}{dt}$:
$I = 500 \times 8.85 \times 10^{-12} = 4.425 \times 10^{-9} \,A$.

(B) दिया गया है: माइका की मोटाई $d_1 = 1 \times 10^{-3} \,m$, फाइबर की मोटाई $d_2 = 0.5 \times 10^{-3} \,m$। परावैद्युतांक $K_1 = 8$ (माइका) और $K_2 = 2.5$ (फाइबर)। फाइबर का ब्रेकडाउन विद्युत क्षेत्र $E_2 = 6.4 \times 10^6 \,V/m$ है।
चूंकि शीटें श्रेणीक्रम में हैं, विद्युत विस्थापन क्षेत्र $D = \epsilon_0 K E$ प्लेटों के बीच समान रहता है, इसलिए $K_1 E_1 = K_2 E_2$।
अतः, $E_1 = E_2 (K_2 / K_1) = (6.4 \times 10^6) \times (2.5 / 8) = 2.0 \times 10^6 \,V/m$।
अधिकतम वोल्टेज $V_{max} = E_1 d_1 + E_2 d_2$ द्वारा दिया जाता है।
$V_{max} = (2.0 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-3}) + (6.4 \times 10^6 \times 0.5 \times 10^{-3})$।
$V_{max} = 2000 + 3200 = 5200 \,V$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = 0.025 \mu F$ है।
जब $t = d/3$ मोटाई की धातु की प्लेट डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/3} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र $100 \ V$ के स्रोत से जुड़ा रहता है,इसलिए विभवांतर $V = 100 \ V$ स्थिर रहता है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ है।
धातु की प्लेट के साथ संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} C) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$ है।
प्लेट को हटाने के लिए बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_i - U_f$ है।
$W = \frac{1}{2} C V^2 - \frac{3}{4} C V^2 = -\frac{1}{4} C V^2$।
बाहरी बल द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $|W| = \frac{1}{4} C V^2$ है।
$|W| = \frac{1}{4} \times (0.025 \times 10^{-6} \ F) \times (100 \ V)^2 = 62.5 \mu J$।

(D) स्थिति $1$: बैटरी हटा दी जाती है। आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$Q = Q_0 = C_0 V_0$
नई दूरी $d' = 2d$ है। नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_0}{2}$ होगी।
संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0/2)} = C_0 V_0^2$ होगी।
स्थिति $2$: बैटरी जुड़ी रहती है। विभव $V$ स्थिर रहता है।
$V = V_0$
नई धारिता $C' = \frac{C_0}{2}$ होगी।
संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{C_0}{2}) \times V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ होगी।
अनुपात: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{4} C_0 V_0^2}{C_0 V_0^2} = 0.25$।

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति: संधारित्र $C$ और $2C$ बैटरी $E$ के साथ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ है।
$2$. प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ है।
$3$. संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$ है।
$4$. अंतिम स्थिति: संधारित्रों को अलग करके विपरीत ध्रुवता के साथ फिर से जोड़ा जाता है। एक साथ जुड़ी प्लेटों पर कुल आवेश $q - q = 0$ है। चूंकि कुल आवेश शून्य है,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम आवेश $0$ है।
$5$. संचित अंतिम ऊर्जा: $U_f = 0$ है।
$6$. नष्ट हुई ऊर्जा: $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3} - 0 = \frac{CE^2}{3}$ है।
$7$. अतः,$2C$ पर आवेश $0$ है और नष्ट हुई ऊर्जा $\frac{CE^2}{3}$ है।

(C) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है और बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
प्रारंभ में,जब स्विच $S$ बंद होता है,तो दोनों संधारित्र बैटरी $V$ के साथ समानांतर में जुड़े होते हैं।
प्रारंभ में संचित कुल स्थिरवैद्युत ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} CV^2 + \frac{1}{2} CV^2 = CV^2$ है।
अब,स्विच $S$ को खोल दिया जाता है। संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए इसका विभवांतर $V$ बना रहता है। संधारित्र $B$ अलग हो जाता है,इसलिए इसका आवेश $Q = CV$ स्थिर रहता है।
दोनों संधारित्रों में $K = 3$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डालने के बाद:
संधारित्र $A$ के लिए,नई धारिता $C' = KC = 3C$ है। संचित ऊर्जा $U_A = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ है।
संधारित्र $B$ के लिए,नई धारिता $C' = KC = 3C$ है। चूंकि आवेश $Q = CV$ स्थिर है,इसलिए संचित ऊर्जा $U_B = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{CV^2}{6}$ है।
परावैद्युत डालने के बाद कुल ऊर्जा $U_2 = U_A + U_B = \frac{3}{2} CV^2 + \frac{1}{6} CV^2 = \left( \frac{9+1}{6} \right) CV^2 = \frac{10}{6} CV^2 = \frac{5}{3} CV^2$ है।
पहले और बाद की कुल स्थिरवैद्युत ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{\frac{5}{3} CV^2} = \frac{3}{5}$ है।

(B) दिया गया है: $C_1 = 4 \mu F$,$C_2 = 6 \mu F$,और $V = 500 \ V$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ इस प्रकार है:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4 \mu F$.
श्रेणीक्रम संयोजन में संचित कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{\text{eq}} V = 2.4 \mu F \times 500 \ V = 1200 \mu C$.
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q = 1200 \mu C$.
$4 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{1200 \mu C}{4 \mu F} = 300 \ V$.

(D) दिया गया परिपथ एक अनंत लैडर नेटवर्क है। परिपथ की समरूपता के कारण,ऊर्ध्वाधर $1 \mu F$ संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर शून्य है। अतः,इन संधारित्रों को परिपथ से हटाया जा सकता है।
ऊर्ध्वाधर संधारित्रों को हटाने के बाद,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में $1 \mu F, 3 \mu F, 9 \mu F, 27 \mu F, \dots$ मान वाले संधारित्रों की एक अनंत श्रृंखला है जो एक गुणोत्तर श्रेणी में है।
मान लीजिए कि एक शाखा की तुल्य धारिता $C'$ है। एक शाखा के लिए तुल्य धारिता का व्युत्क्रम व्यक्तिगत संधारित्रों के व्युत्क्रमों के योग द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \mu F^{-1}$.
इसलिए,$C' = \frac{2}{3} \mu F$.
चूंकि $A$ और $B$ के बीच समानांतर में ऐसी दो शाखाएं जुड़ी हुई हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ है:
$C_{AB} = C' + C' = 2 \times \frac{2}{3} \mu F = \frac{4}{3} \mu F$.

(D) मान लीजिए कि प्लेटों के प्रत्येक जोड़े की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
व्यवस्था के आधार पर,इस प्रणाली को श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों ($C_1$ और $C_2$) के रूप में मॉडल किया जा सकता है जो फिर तीसरे संधारित्र $(C_3)$ के साथ समानांतर क्रम में हैं।
यहाँ,$C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
$C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ है।
अब,$C_{12}$ और $C_3$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल धारिता $C_T$ होगी:
$C_T = C_{12} + C_3 = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C_T = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2 d}$.

(A) ऑप्टिकल फाइबर संचार के लिए प्रकाश तरंगों का उपयोग करते हैं,जिनकी आवृत्ति बहुत अधिक ($THz$ की सीमा में) होती है। इस उच्च वाहक आवृत्ति के कारण,सिग्नल ट्रांसमिशन के लिए उपलब्ध बैंडविड्थ अत्यंत विशाल होती है,जो आमतौर पर $100 GHz$ से अधिक होती है। यह पारंपरिक तांबे के तारों की तुलना में बहुत बड़ी मात्रा में डेटा के ट्रांसमिशन की अनुमति देता है।

(B) एक डिजिटल सिग्नल डेटा को असतत मानों के अनुक्रम के रूप में दर्शाता है,आमतौर पर $0$ और $1$,जो बाइनरी कोड सिस्टम के अनुरूप होते हैं। एनालॉग सिग्नल के विपरीत जो निरंतर होते हैं (जैसे साइन या कोसाइन वेव),डिजिटल सिग्नल असतत होते हैं और बाइनरी लॉजिक पर निर्भर करते हैं।

(C) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $m$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के पीक वोल्टेज $(A_m)$ और वाहक तरंग के पीक वोल्टेज $(A_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $m = \frac{A_m}{A_c}$.
दिया गया है, $A_c = 15 \,V$ और $m = 60 \% = 0.60$.
मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $A_m = m \times A_c$.
$A_m = 0.60 \times 15 \,V = 9 \,V$.
अतः, मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का पीक वोल्टेज $9 \,V$ है।

(A) दी गई आयाम मॉडुलित तरंग $C_m = 10[1+0.6 \sin(40 \times 10^3 t)] \sin(4 \times 10^6 t) \text{ V}$ है।
इसे मानक समीकरण $C_m = A_c[1 + \mu \sin(\omega_m t)] \sin(\omega_c t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega_m = 40 \times 10^3 \text{ rad/s}$ और $\omega_c = 4 \times 10^6 \text{ rad/s}$।
आवृत्तियाँ $f_m = \frac{\omega_m}{2\pi}$ और $f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}$ हैं।
ऊपरी साइडबैंड आवृत्ति $f_{USB} = f_c + f_m$ है और निचली साइडबैंड आवृत्ति $f_{LSB} = f_c - f_m$ है।
अनुपात $\frac{f_c + f_m}{f_c - f_m} = \frac{\omega_c + \omega_m}{\omega_c - \omega_m}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{4 \times 10^6 + 40 \times 10^3}{4 \times 10^6 - 40 \times 10^3} = \frac{4000 \times 10^3 + 40 \times 10^3}{4000 \times 10^3 - 40 \times 10^3} = \frac{4040}{3960} = \frac{101}{99}$।

(D) रिसीवर के अंत में वाहक तरंग से सूचना प्राप्त करने की प्रक्रिया को डिमोड्यूलेशन कहा जाता है।
मॉड्यूलेशन वाहक तरंग पर सूचना को अध्यारोपित करने की प्रक्रिया है।
प्रवर्धन (Amplification) सिग्नल की शक्ति को बढ़ाने की प्रक्रिया है।
क्षीणन (Attenuation) संचरण के दौरान सिग्नल की शक्ति में होने वाली कमी है।

(A) एंटीना की ऊँचाई $H_r$ की गणना मंजिलों की संख्या और प्रत्येक मंजिल की ऊँचाई के गुणनफल द्वारा की जाती है:
$H_r = 20 \times 2 \,m = 40 \,m$.
रेडियो क्षितिज दूरी $d_m$ का सूत्र है:
$d_m = \sqrt{2 H_r R}$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
मान रखने पर:
$d_m = \sqrt{2 \times 40 \times 6.4 \times 10^6} \,m$.
$d_m = \sqrt{512 \times 10^6} \,m = \sqrt{512} \times 10^3 \,m$.
$d_m \approx 22.627 \times 10^3 \,m = 22.6 \,km$.

(C) दिया गया है,$V_{\max} = 12 \,V$ और $V_{\min} = 3 \,V$।
मॉडुलन सूचकांक $\mu$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\mu = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{12 - 3}{12 + 3} = \frac{9}{15} = 0.6$
अतः,मॉडुलन सूचकांक $0.6$ है।

(A) दिया गया है:
संदेश सिग्नल की आवृत्ति,$f_m = 14 kHz$
वाहक सिग्नल की आवृत्ति,$f_c = 900 kHz$
एम्प्लिट्यूड मॉड्युलेशन में साइडबैंड्स की आवृत्तियाँ इस प्रकार दी जाती हैं:
अपर साइडबैंड $(USB)$ = $f_c + f_m = 900 kHz + 14 kHz = 914 kHz$
लोअर साइडबैंड $(LSB)$ = $f_c - f_m = 900 kHz - 14 kHz = 886 kHz$
अतः,साइडबैंड आवृत्तियाँ $914 kHz$ और $886 kHz$ हैं।

(C) आयनमंडल पृथ्वी के वायुमंडल का ऊपरी हिस्सा है,जिसमें मुक्त इलेक्ट्रॉनों और आयनों की सांद्रता बहुत अधिक होती है।
जब एक विद्युतचुंबकीय तरंग आयनमंडल से होकर गुजरती है,तो तरंग का फेज वेग (phase velocity) निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ से अधिक हो जाता है।
अपवर्तनांक $(n)$ को निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में तरंग के फेज वेग $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $n = c/v$।
चूंकि आयनमंडल में $v > c$ होता है,इसलिए अपवर्तनांक $n$ का मान $1$ से कम होता है।

(A) $1$. $10 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = (10 \times 10) / (10 + 10) = 5 \Omega$ है।
$2$. यह $5 \Omega$,$3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए $R_2 = 5 + 3 = 8 \Omega$ है।
$3$. यह $8 \Omega$ की शाखा $8 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए $R_3 = (8 \times 8) / (8 + 8) = 4 \Omega$ है।
$4$. $6 \Omega$ और $6 \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए $R_4 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3 \Omega$ है।
$5$. बाहरी परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_3 + R_4 = 4 + 3 = 7 \Omega$ है।
$6$. $5 \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V = I \times R = 0.5 \text{ A} \times 5 \Omega = 2.5 \text{ V}$ है। यह बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज है।
$7$. बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I_{total} = V / R_{eq} = 2.5 / 7 \approx 0.357 \text{ A}$ है।
$8$. $E = V + I_{total} \times r$ सूत्र का उपयोग करने पर,$E = 2.5 + (0.357 \times 2) = 2.5 + 0.714 = 3.214 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
$9$. परिपथ का पुनर्मूल्यांकन करने पर,$5 \Omega$ का प्रतिरोध शेष नेटवर्क के साथ समांतर में है। कुल धारा $I = 0.5 + 0.357 = 0.857 \text{ A}$ है। अतः $E = 2.5 + 0.857 \times 2 = 2.5 + 1.714 = 4.214 \text{ V}$। सबसे निकटतम विकल्प $4 \text{ V}$ है।

(D) दिए गए परिपथ में,संधारित्र शाखा और प्रेरक शाखा $10 \ V$ स्रोत के समानांतर जुड़ी हुई हैं।
संधारित्र शाखा के लिए,समय $t$ पर संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 10(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $R = 4 \ \Omega$ और $C = 0.5 \ F$ है,इसलिए $RC = 4 \times 0.5 = 2 \ s$। अतः,$V_C = 10(1 - e^{-t/2})$।
बिंदु $a$ पर विभव $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज है। चूंकि संधारित्र और प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,धारा $I_C = \frac{10}{4} e^{-t/2} = 2.5 e^{-t/2}$ है। बिंदु $a$ पर वोल्टेज $V_a = 10 - V_C = 10 e^{-t/2}$ है।
प्रेरक शाखा के लिए,समय $t$ पर धारा $I_L = \frac{10}{2}(1 - e^{-Rt/L}) = 5(1 - e^{-2t/4}) = 5(1 - e^{-t/2})$ है।
बिंदु $b$ पर विभव प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज है,$V_b = 10 - I_L R_L = 10 - 5(1 - e^{-t/2}) \times 2 = 10 - 10 + 10 e^{-t/2} = 10 e^{-t/2}$।
विभव की तुलना करने पर,$V_a = 10 e^{-t/2}$ और $V_b = 10 e^{-t/2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सभी समय $t$ पर $(V_a - V_b) = 10 e^{-t/2} - 10 e^{-t/2} = 0$ है।

(D) मान लीजिए $E$ सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है।
जब प्रतिरोध $R_1$ जोड़ा जाता है,तो धारा $I_1 = \frac{E}{R_1 + r}$ होती है।
जब प्रतिरोध $R_2$ जोड़ा जाता है,तो धारा $I_2 = \frac{E}{R_2 + r}$ होती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर: $I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$।
पदों का विस्तार करने पर: $I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$।
$r$ के लिए हल करने पर: $I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$।
$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$।
अतः,$r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2}$।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ पर विभव क्रमशः $V_A$ और $V_B$ हैं। मान लीजिए $V_A - V_B = V$ है।
नोड $A$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर,नोड से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होता है:
$\frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} + \frac{V_A - V_B - E_2}{0} + \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = 0$.
चूंकि $E_2$ वाली शाखा में कोई प्रतिरोध नहीं है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_A - V_B = E_2 = 2 \text{ V}$ है।
अब,ऊपरी शाखा में धारा $(I_1)$ की गणना करें:
$I_1 = \frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
निचली शाखा में धारा $(I_3)$ की गणना करें:
$I_3 = \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
नोड $A$ पर किरचॉफ का नियम लागू करने पर:
$I_{E_2} + I_1 + I_3 = 0
\Rightarrow I_{E_2} + 0 + 0 = 0
\Rightarrow I_{E_2} = 0$.
अतः,$E_2$ से प्रवाहित होने वाली धारा शून्य है।

(C) दिया गया है: अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 0.3 \, m^2$, इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n = 2 \times 10^{25} \, m^{-3}$, आवेश $q = (3t^2 + 5t + 2) \, C$, और समय $t = 2 \, s$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत धारा $i = \frac{dq}{dt}$ होती है।
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \, s$ पर, $i = 6(2) + 5 = 17 \, A$.
अपवाह वेग का सूत्र $V_d = \frac{i}{neA}$ है।
मान रखने पर: $V_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$V_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \, m/s = 1.77 \times 10^{-5} \, m/s$.

(B) अनुगमन वेग $v_{d}$ का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{neA}$ है।
चूंकि $I = \frac{V}{R}$ और $R = \frac{\rho \ell}{A}$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v_{d} = \frac{V}{neAR} = \frac{V}{neA (\frac{\rho \ell}{A})} = \frac{V}{ne \rho \ell}$.
यहाँ,$V$ विभवांतर है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\rho$ प्रतिरोधकता है और $\ell$ तार की लंबाई है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $v_{d} \propto \frac{1}{\ell}$.
यदि लंबाई $\ell$ को दोगुना कर दिया जाए $(\ell' = 2\ell)$,तो नया अनुगमन वेग $v_{d}'$ होगा:
$v_{d}' = \frac{V}{ne \rho (2\ell)} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{ne \rho \ell} \right) = \frac{V_{d}}{2}$.
ध्यान दें कि जब विभवांतर $V$ स्थिर रखा जाता है,तो अनुगमन वेग के व्यंजक में अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ कट जाता है।

(A) कथन $(A)$ सत्य है: बाहरी विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,मुक्त इलेक्ट्रॉन तापीय ऊर्जा के कारण सभी दिशाओं में यादृच्छिक रूप से गति करते हैं। दो क्रमिक टक्करों के बीच,इलेक्ट्रॉन पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए यह एक स्थिर वेग से सीधी रेखा में गति करता है।
कथन $(B)$ सत्य है: जब विद्युत क्षेत्र $E$ लागू किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन $F = -eE$ बल का अनुभव करते हैं। यह बल एक स्थिर औसत त्वरण $a = -eE/m$ उत्पन्न करता है। अपवाह वेग को $v_d = a\tau$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\tau$ औसत विश्रांति काल (relaxation time) है। दिए गए चालक और तापमान के लिए $a$ और $\tau$ स्थिर होते हैं,इसलिए अपवाह वेग $v_d$ समय से स्वतंत्र होता है।

(D) चूंकि गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है, इसलिए इसमें कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, परिपथ एक एकल लूप में सरल हो जाता है जिसमें $12 \, V$ की बैटरी, $500 \, \Omega$ का प्रतिरोधक और $100 \, \Omega$ का प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
मान लीजिए कि इस लूप में धारा $i$ है। इस लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$12 - i(500 + 100) = 0$
$600i = 12$
$i = \frac{12}{600} = 0.02 \, A$
वोल्टेज '$V$' का मान $100 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर के बराबर है क्योंकि गैल्वेनोमीटर शाखा में कोई धारा नहीं है।
$V = i \times 100$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \, V$

(A) बल्ब की रेटिंग $V_b = 1.5 \text{ V}$ और $P = 0.45 \text{ W}$ है।
बल्ब का प्रतिरोध $R_b = \frac{V_b^2}{P} = \frac{(1.5)^2}{0.45} = \frac{2.25}{0.45} = 5 \Omega$ है।
बल्ब के अधिकतम तीव्रता के साथ चमकने के लिए,इसे अपने रेटेड वोल्टेज $1.5 \text{ V}$ पर कार्य करना चाहिए।
बल्ब से होकर बहने वाली धारा $i_1 = \frac{P}{V_b} = \frac{0.45}{1.5} = 0.3 \text{ A}$ है।
$3 \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_{3\Omega} = 6 \text{ V} - 1.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V}$ है।
परिपथ में कुल धारा $i = \frac{V_{3\Omega}}{3 \Omega} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \text{ A}$ है।
प्रतिरोध $R$ से होकर बहने वाली धारा $i - i_1 = 1.5 \text{ A} - 0.3 \text{ A} = 1.2 \text{ A}$ है।
चूंकि प्रतिरोध $R$ बल्ब के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए $R$ पर वोल्टेज $1.5 \text{ V}$ है।
अतः,$R = \frac{1.5 \text{ V}}{1.2 \text{ A}} = 1.25 \Omega$।

(D) बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $(V_{BA} = V_B - V_A)$ ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ में $B$ से $A$ की ओर चलते हैं।
बिंदु $B$ से शुरू करके,हम धारा $I = 2 \text{ A}$ की दिशा में चलते हैं।
सबसे पहले,हम $6 \text{ V}$ की बैटरी से गुजरते हैं। चूंकि हम धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जा रहे हैं,इसलिए $6 \text{ V}$ का विभव पतन होता है।
इसके बाद,हम $2 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोध से धारा की दिशा में चलते हैं। प्रतिरोध में विभव पतन $V_R = I \times R = 2 \text{ A} \times 2 \text{ } \Omega = 4 \text{ V}$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार:
$V_B - 6 \text{ V} - I \times R = V_A$
$V_B - 6 \text{ V} - 4 \text{ V} = V_A$
$V_B - V_A = 10 \text{ V}$.
यदि बैटरी की ध्रुवता विपरीत हो,तो $V_B - V_A = -6 + 4 = -2 \text{ V}$ होगा। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-2 \text{ V}$ है।