AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે $S = \frac{x^2}{k-7} + \frac{y^2}{11-k} = 1$.
$k=9$ માટે: $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1$,જે $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
$k=10$ માટે: $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$,જે $a^2=3, b^2=1$ વાળું ઉપવલય છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. વિધાન $B$ સાચું છે.
$k=12$ માટે: $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{1} = 1$,જે $a^2=5, b^2=1$ વાળું અતિવલય છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$. વિધાન $C$ સાચું છે.
$k=13$ માટે: $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{2} = 1$,જે $a^2=6, b^2=2$ વાળું અતિવલય છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$. વિધાન $D$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે $P(x, y)$ એ અતિવલય $H$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. નાભિ $S(1, 2)$ છે અને નિયામિકા $x+y+1=0$ છે.
શંકુછેદની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{PS}{PM} = e$,જ્યાં $e = \sqrt{3}$ એ ઉત્કેન્દ્રિયતા છે અને $PM$ એ $P$ થી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
તેથી,$PS^2 = e^2 PM^2$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 \left( \frac{x+y+1}{\sqrt{1^2+1^2}} \right)^2$.
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 3 \left( \frac{(x+y+1)^2}{2} \right)$.
$2(x^2+y^2-2x-4y+5) = 3(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y)$.
$2x^2+2y^2-4x-8y+10 = 3x^2+3y^2+6xy+6x+6y+3$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2+6xy+y^2+10x+14y-7=0$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2(x-1) - (y-2) \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1)}{y-2}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x=2$ આપેલ છે,જે શિરોલંબ રેખા છે.
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ,એટલે કે છેદ $y-2 = 0$,તેથી $y=2$.
બિંદુ $(h, k)$ એ સ્પર્શક $x=2$ પર હોવાથી,$h=2$ મળે.
બિંદુ $(h, k)$ એ અતિવલય પર હોવાથી,$y=k=2$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા $\frac{(x-1)^2}{1} - 0 = 1$ મળે,તેથી $(x-1)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે $x-1 = \pm 1$.
આમ $x=2$ અથવા $x=0$. $h=2$ હોવાથી,$k=2$ મળે.
તેથી,$h+k = 2+2 = 4$.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5 x^2-7 y^2-35=0$ ... $(i)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$10 x-14 y \cdot y^{\prime}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y^{\prime}=\frac{5 x}{7 y}$.
બિંદુ $P(h, k)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5 h}{7 k}$ છે.
સ્પર્શક રેખા $\sqrt{2} x-y+\lambda=0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\frac{5 h}{7 k} = \sqrt{2} \Rightarrow h = \frac{7 \sqrt{2} k}{5}$.
બિંદુ $P(h, k)$ અતિવલય પર હોવાથી,$5 h^2-7 k^2-35=0$.
$h^2 = \frac{49 \times 2 k^2}{25} = \frac{98 k^2}{25}$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 \left(\frac{98 k^2}{25}\right) - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2}{5} - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2 - 35 k^2}{5} = 35$ $\Rightarrow 63 k^2 = 175$ $\Rightarrow k^2 = \frac{175}{63} = \frac{25}{9}$.
$P$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$k$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $k = -\frac{5}{3}$.
ત્યારબાદ $h^2 = \frac{98}{25} \times \frac{25}{9} = \frac{98}{9}$.
અંતે,$3 h^2 - 2 k = 3 \left(\frac{98}{9}\right) - 2 \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{98}{3} + \frac{10}{3} = \frac{108}{3} = 36$.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = 16$ $(i)$.
અતિવલયના કેન્દ્ર $(0,0)$ થી તેના નાભિલંબનું લંબઅંતર $ae$ છે.
આપેલ છે કે $ae = \sqrt{34}$,તેથી $c^2 = a^2 + b^2 = 34$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $(a^2 - b^2) + (a^2 + b^2) = 16 + 34$ $\Rightarrow 2a^2 = 50$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
$a^2 = 25$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $25 + b^2 = 34$ $\Rightarrow b^2 = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
તેથી,$a + b = 5 + 3 = 8$.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુ છે જેનો બિંદુપથ શોધવાનો છે.
બિંદુ $(5, 0)$ થી અંતર $\sqrt{13}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{(h-5)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(h-5)^2 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 - 10h + 25 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 + k^2 - 10h + 12 = 0$.
વળી,રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ થી અંતર $2$ છે:
$\frac{|2h - 3k + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2 \Rightarrow |2h - 3k + 4| = 2\sqrt{13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2h - 3k + 4)^2 = 52$.
વિસ્તરણ કરતા: $4h^2 + 9k^2 + 16 - 12hk + 16h - 24k = 52$.
$4h^2 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$.
પ્રથમ શરત પરથી $h^2 = 10h - k^2 - 12$ મૂકતા:
$4(10h - k^2 - 12) + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$.
$40h - 4k^2 - 48 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$.
$5k^2 - 12hk + 56h - 24k - 84 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $12xy - 5y^2 - 56x + 24y + 84 = 0$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{4}=1$ છે.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{5}{13}$,તેથી $\tan \theta = \frac{12}{5}$.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{2ab}{a^2 - b^2} \right|$ છે.
અહીં $b^2 = 4$,તેથી $b = 2$.
તેથી,$\frac{12}{5} = \left| \frac{4a}{a^2 - 4} \right|$.
ઉકેલતા,$3a^2 - 5a - 12 = 0$ અથવા $3a^2 + 5a - 12 = 0$.
આમ,$a^2 = \frac{16}{9}$ અથવા $9$ મળે છે.

(D) સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ છે.
તેને $(x-1)^2+(y-2)^2 = 2$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
સહાયક વર્તુળની ત્રિજ્યા $a = \sqrt{2}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો કાટખૂણે હોવાથી,તે લંબ અતિવલય છે,તેથી $e = \sqrt{2}$ અને $a = b = \sqrt{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{(y-2)^2}{2} = 1$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2-2x+4y-5 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-2 y^2-8 x+8 y+4=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) + 4 - 16 + 8 = 0$
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 4$.
અનંતસ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ મેળવવા માટે અચળ પદને શૂન્ય લેતા:
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) = 0$
$x^2-8 x+16 - 2 y^2+8 y-8 = 0$
$x^2-2 y^2-8 x+8 y+8 = 0$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{3}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$2(x^2-6x+9) - 3(y^2-4y+4) = 6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y = 0$ થાય છે.
અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ અતિવલયના સમીકરણથી માત્ર એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + \lambda = 0$ છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડ દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a=2, b=-3, h=0, g=-6, f=6, c=\lambda$ છે.
શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-6\lambda - 72 + 108 = 0$ મળે છે,તેથી $\lambda = 6$.
આમ,અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + 6 = 0$ છે.

(A) અતિવલયના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $x+y+1=0$ અને $x-y+4=0$ છે.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા અતિવલયનું કેન્દ્ર $(-2.5, 1.5)$ મળે છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+1)(x-y+4) = k$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
બિંદુ $(1,1)$ સમીકરણમાં મૂકતા,$k = (1+1+1)(1-1+4) = 12$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x+2.5)^2 - (y-1.5)^2 = 12$ થાય.
અહીં $a^2 = 12$ અને $b^2 = 12$ હોવાથી,$a = 2\sqrt{3}$ અને $b = 2\sqrt{3}$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} + a x^{5/4}}{x-1} = -2$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x=1$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $1+a=0$,જે $a=-1$ આપે છે.
$a=-1$ સાથે લક્ષ ચકાસતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} - x^{5/4}}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4}(1 - x^2)}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} x^{-3/4} \frac{(1-x)(1+x)}{-(1-x)} = -2$.
આમ,$a=-1$.
હવે,$(x^{-3/4} - x^{5/4})^4$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો = $\sum_{k=0}^{4} {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-x^{5/4})^k$.
સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-1)^k (x^{5/4})^k = {^4C_k} (-1)^k x^{-3 + \frac{3k}{4} + \frac{5k}{4}} = {^4C_k} (-1)^k x^{2k-3}$ છે.
આપણે $x^1$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $2k-3 = 1$ લેતા,જે $2k=4$ આપે છે,તેથી $k=2$.
સહગુણક ${^4C_2} (-1)^2 = 6 \times 1 = 6$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1-x+\sqrt{9x^2+10x+1}}{2x}$.
$\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $x = -1-h$,જ્યાં $h \rightarrow 0^{+}$ જ્યારે $x \rightarrow -1^{-}$.
$x = -1-h$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(-1-h) = \frac{1-(-1-h) + \sqrt{9(-1-h)^2 + 10(-1-h) + 1}}{2(-1-h)}$
$= \frac{2+h + \sqrt{9h^2 + 8h}}{-2(1+h)}$
$h \rightarrow 0^{+}$ લેતા:
$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2+h + \sqrt{9h^2 + 8h}}{-2(1+h)} = \frac{2}{-2} = -1$.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow -9} \frac{(2.5)^{81-x^2}-(0.4)^{x+9}}{x+9}$.
$\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L$'Hopital નો નિયમ વાપરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow -9} \frac{(2.5)^{81-x^2} \cdot \ln(2.5) \cdot (-2x) - (0.4)^{x+9} \cdot \ln(0.4)}{1}$
$x = -9$ મૂકતા:
$L = 18 \ln(2.5) - \ln(0.4) = 19 \ln(2.5)$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) વિધાન $(A)$: આપણે જાણીએ છીએ કે $[x] = x - \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે અને $0 \leq \{x\} < 1$.
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x - \{x\}}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1 - \frac{\{x\}}{x})$.
કારણ કે $0 \leq \{x\} < 1$,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\{x\}}{x} = 0$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = 1 - 0 = 1$. આમ,$A$ સાચું છે.
કારણ $(R)$: આપેલ છે $f(x) = x - 1$ અને $h(x) = x$.
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{x}) = 1$.
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x} = 1$.
બંને લક્ષ $1$ છે,તેથી $R$ સાચું છે. જોકે,$R$ એ સમજાવતું નથી કે શા માટે $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = 1$.

(D) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી કારણ કે ડાબી બાજુનું લક્ષ $-\infty$ છે અને જમણી બાજુનું લક્ષ $+\infty$ છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
જેમ $x$ એ $0$ ની નજીક જાય છે (મૂલ્યમાં ઘટે છે),તેમ $\frac{1}{x}$ નું મૂલ્ય વધે છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(C) આપેલ લક્ષની અભિવ્યક્તિ: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1+\sqrt{1+4 \log _2 x}}{2+\left(2 x+\sin ^2 x+2 \cos x\right)(2 x-4)}=m$
અહીં $x=2$ આગળ છેદ શૂન્ય નથી,તેથી સીધી કિંમત મૂકતા:
$m = \frac{1+\sqrt{1+4 \log _2 2}}{2+\left(2(2)+\sin ^2 2+2 \cos 2\right)(2(2)-4)}$
$m = \frac{1+\sqrt{1+4(1)}}{2+(4+\sin ^2 2+2 \cos 2)(0)}$
$m = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
હવે,$m(m-1)$ ની કિંમત શોધતા:
$m(m-1) = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)$
$m(m-1) = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$m(m-1) = \frac{(\sqrt{5})^2 - (1)^2}{4} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{1-x}{x}}$.
ધારો કે $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. તો $f(x) = t + \frac{1}{t}$.
આપણને આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow m} (t + \frac{1}{t}) = 5/2$.
આથી $t + \frac{1}{t} = 5/2$,જેનું સાદું રૂપ $2t^2 - 5t + 2 = 0$ થાય છે.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(2t - 1)(t - 2) = 0$,તેથી $t = 1/2$ અથવા $t = 2$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 1/2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 1/4$ $\Rightarrow 4m = 1 - m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 4$ $\Rightarrow m = 4 - 4m$ $\Rightarrow 5m = 4$ $\Rightarrow m = 4/5$.
આમ,$m$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{1/5, 4/5\}$ છે.

(C) આપણે નીચેની મર્યાદા (limit) ની ગણતરી કરવાની છે: $\lim _{x \rightarrow 1} \left( \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right) \right)$.
પ્રથમ,આંતરિક મર્યાદા ધ્યાનમાં લો: $L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right)$.
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $u = x/y$ છે:
$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( (1 + \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y^2} + \dots) - 1 \right)$
$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y^2} + \dots \right)$
$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} \left( x + \frac{x^2}{2y} + \dots \right) = x$.
હવે,બાહ્ય મર્યાદાની ગણતરી કરો: $\lim _{x \rightarrow 1} (x) = 1$.

(D) કુલ વેતન બિલ કામદારોની સંખ્યા અને સરેરાશ દૈનિક વેતનના ગુણાકાર તરીકે ગણવામાં આવે છે.
મિલ $A$ માટે:
કુલ વેતન બિલ $= 500 \times 186 = 93000$.
મિલ $B$ માટે:
કુલ વેતન બિલ $= 600 \times 175 = 105000$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$105000 > 93000$.
તેથી,મિલ $B$ નું વેતન બિલ મિલ $A$ કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ છે.
આપેલ છે કે,વિચરણ $\sigma^2 = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 2$ અને $\sigma^2 = 5$.
તેથી,નવું વિચરણ $\sigma'^2 = (2)^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$.

(A) ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 4.4$ હોવાથી,$\frac{1+2+6+x+y}{5} = 4.4$ $\Rightarrow 9+x+y = 22$ $\Rightarrow x+y = 13 \dots (i)$.
વિચરણ $\sigma^2 = 8.24$ હોવાથી,$\frac{1}{5}(1^2+2^2+6^2+x^2+y^2) - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41+x^2+y^2}{5} = 27.6 \Rightarrow x^2+y^2 = 97 \dots (ii)$.
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ નો ઉપયોગ કરતા,$169 = 97+2xy \Rightarrow xy = 36$.
સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ ઉકેલતા,$(t-9)(t-4) = 0$ મળે.
તેથી,બાકીના બે અવલોકનો $9$ અને $4$ છે.

(D) પદાવલિ $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ એ મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
જો આ સરવાળો લગભગ શૂન્ય હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે દરેક વ્યક્તિગત અવલોકન $x_i$ એ મધ્યક $\bar{x}$ ની ખૂબ નજીક હોવું જોઈએ.
પરિણામે,વિચરણ,જે આ સરવાળાના પ્રમાણમાં છે,તે ખૂબ નાનું છે,જે સૂચવે છે કે મધ્યકની આસપાસ ડેટા પોઈન્ટ્સના પ્રસારનું પ્રમાણ ઓછું છે.

(A) આપેલ માહિતી માટે મધ્યક અને મધ્યસ્થ અલગ અલગ કિંમતો ધરાવી શકે છે. તેથી,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન અને મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન હંમેશા સમાન હોતા નથી.

(A) ડેટા સેટની વિચલનશીલતા તેના વિચરણ અથવા પ્રમાણિત વિચલન દ્વારા માપવામાં આવે છે.
બંને વિભાગો માટે સરેરાશ ગુણ સમાન હોવાથી,આપણે તેમના વિચરણની તુલના કરીએ છીએ.
વિભાગ $A$ નું વિચરણ $= 64$.
વિભાગ $B$ નું વિચરણ $= 81$.
$81 > 64$ હોવાથી,વિભાગ $B$ નું વિચરણ વિભાગ $A$ ના વિચરણ કરતા વધારે છે.
તેથી,વિભાગ $B$ ની વિચલનશીલતા $>$ વિભાગ $A$ ની વિચલનશીલતા.

(A) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક શોધો. $\text{Mean} = \frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
પગલું $2$: મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$\text{Mean Deviation} = \frac{|6-10| + |7-10| + |10-10| + |12-10| + |13-10| + |4-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$
$= \frac{4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$.

(D) આપેલ છે કે મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $n\bar{x}^2$ છે.
વિચલનોના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = n\bar{x}^2$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) = n\bar{x}^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sum x_i^2 - 2\bar{x}\sum x_i + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$ મળે.
કારણ કે $\sum x_i = n\bar{x}$,તેથી કિંમત મૂકતા: $\sum x_i^2 - 2\bar{x}(n\bar{x}) + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$.
$\sum x_i^2 - 2n\bar{x}^2 + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$.
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$.
તેથી,$\sum_{i=1}^n x_i^2 = 2n\bar{x}^2$.

(B) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_n$ છે. વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દરેક અવલોકનમાં $k$ નો વધારો કે ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $y_i = x_i \pm k$ થાય છે.
નવો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum (x_i \pm k) = \bar{x} \pm k$ થાય છે.
નવું વિચરણ $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i \pm k) - (\bar{x} \pm k))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ થાય છે.
આમ,વિચરણ બદલાતું નથી.

(A) આપેલ છે $\angle B=60^{\circ}$ અને $\angle A=75^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 75^{\circ}) = 45^{\circ}$.
ધારો કે $\angle BAD = \theta$ અને $\angle CAD = \phi$.
$\triangle ABD$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{AD}{\sin 60^{\circ}} = \frac{BD}{\sin \theta} \implies \frac{AD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta}$ ... $(i)$
$\triangle ADC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}} = \frac{CD}{\sin \phi} \implies \frac{AD}{CD} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \phi}$ ... (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{CD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta} \times \frac{\sin \phi}{\sin 45^{\circ}}$
આપેલ છે $\frac{BD}{CD} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{CD}{BD} = \frac{3}{2}$.
$\frac{3}{2} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta}$
$\frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે: $a^2 \sin^2 \frac{C}{2} + c^2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{b^2}{2}$
અર્ધ-ખૂણાના સૂત્રો $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ અને $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2 \left( \frac{(s-a)(s-b)}{ab} \right) + c^2 \left( \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \right) = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{a(s-a)(s-b)}{b} + \frac{c(s-b)(s-c)}{b} = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{s-b}{b} [a(s-a) + c(s-c)] = \frac{b^2}{2}$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$s-b = \frac{a+c-b}{2}$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા $a+c = 2b$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,એટલે કે $a+c : b = 2 : 1$.

(D) ધારો કે $s-a = 2k$,$s-b = 3k$,અને $s-c = 4k$. આ બધાનો સરવાળો કરતા $3s - (a+b+c) = 9k$ મળે. $a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = 9k$,એટલે કે $s = 9k$.
તેથી $a = s - 2k = 7k$,$b = s - 3k = 6k$,અને $c = s - 4k = 5k$.
$\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ અને $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+b^2-c^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{(6k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{(7k)^2 + (6k)^2 - (5k)^2} = \frac{36k^2 + 25k^2 - 49k^2}{49k^2 + 36k^2 - 25k^2} = \frac{12k^2}{60k^2} = \frac{1}{5}$.
આમ,$\cot A : \cot C = 1 : 5$.

(D) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$ છે.
$\sin A = ak$,$\sin B = bk$,અને $\sin C = ck$ ને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ak + bk)(ak - bk) = ck(bk + ck)$
$k^2(a^2 - b^2) = k^2(bc + c^2)$
$a^2 - b^2 = bc + c^2$
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$ મૂકતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - (b^2 + c^2 + bc)}{2bc} = \frac{-bc}{2bc} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos A = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$A = 120^{\circ}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
તેથી,$a = 2R \sin A$,$c = 2R \sin C$.
પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{c}{a} \sin 2A + \frac{a}{c} \sin 2C = \frac{\sin C}{\sin A} (2 \sin A \cos A) + \frac{\sin A}{\sin C} (2 \sin C \cos C)$
$= 2 \sin C \cos A + 2 \sin A \cos C$
$= 2 \sin(A + C)$.
$A + C = 180^{\circ} - B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ હોવાથી,
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વેધની લંબાઈ $P_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$P_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $P_3 = \frac{2\Delta}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$
સાઇનના નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$
નિત્યસમ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$
$\Delta = \frac{abc}{4R}$ હોવાથી,$\frac{1}{2\Delta} = \frac{2R}{abc}$ મળે:
$= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2 \cdot \frac{abc}{4R}} = \frac{8R^2 \sin A \sin B \sin C}{abc}$
$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,$\sin C = \frac{c}{2R}$ મૂકતા:
$= \frac{8R^2 (\frac{a}{2R}) (\frac{b}{2R}) (\frac{c}{2R})}{abc} = \frac{8R^2 \cdot \frac{abc}{8R^3}}{abc} = \frac{1}{R}$

(C) આપેલ છે કે $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A)}{2} = \frac{3b}{2}$.
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$.
$\triangle ABC$ માં પ્રક્ષેપ નિયમ મુજબ,$a \cos C + c \cos A = b$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a + c + b = 3b$.
$a + c = 2b$.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,એટલે કે $a+c : b = 2 : 1$.

(A) આપેલ છે કે $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s(s-a)}{\Delta} : \frac{s(s-b)}{\Delta} : \frac{s(s-c)}{\Delta} = 3 : 7 : 9$.
$\frac{\Delta}{s}$ વડે ગુણતા,$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ મળે.
ધારો કે $s-a = 3k$,$s-b = 7k$,અને $s-c = 9k$.
સરવાળો કરતા,$3s - (a+b+c) = 19k$. $a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = s = 19k$.
હવે,$a = s - 3k = 19k - 3k = 16k$.
$b = s - 7k = 19k - 7k = 12k$.
$c = s - 9k = 19k - 9k = 10k$.
આમ,$a : b : c = 16k : 12k : 10k = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$.

(C) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = 2 \frac{\Delta}{s-b} = 3 \frac{\Delta}{s-c} = k$ (ધારો).
તેથી,$s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,અને $s-c = \frac{3}{k}$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(s-a) + (s-c) = \frac{1}{k} + \frac{3}{k} = \frac{4}{k}$.
કારણ કે $s-b = \frac{2}{k}$,તેથી $\frac{4}{k} = 2(s-b)$.
આમ,$2s - a - c = 2s - 2b$,જેનું સાદું રૂપ $a+c = 2b$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos A + \cos C = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ હોવાથી,$\cos \left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin \frac{B}{2}$.
તેથી,$2 \sin \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
$\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \sin \frac{B}{2} = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
આને ઉકેલતા $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$ પરથી $2s = 3b$ મળે છે.
પરિમિતિ $a+b+c = 2s = 3b$ હોવાથી,$\frac{a+b+c}{a+c} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3: 2$.

(D) $\triangle ABC$ માં,$\angle A=90^{\circ}$. બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\angle A=90^{\circ}$ હોવાથી,$a^2 = b^2 + c^2$ અને $\Delta = \frac{1}{2}bc$ થાય.
વળી,$s = \frac{a+b+c}{2}$,તેથી $s-a = \frac{b+c-a}{2}$,$s-b = \frac{a+c-b}{2}$,અને $s-c = \frac{a+b-c}{2}$.
સાચું તારણ $(r_2-r_1)(r_3-r_1) = 2r_1^2$ મળે છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$,$\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$,અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}\right) \tan \frac{C}{2} = \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$
$= \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} + \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$
$= \frac{s-b}{s} + \frac{s-a}{s}$
$= \frac{2s - a - b}{s}$
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $2s - a - b = c$ અને $s = \frac{a+b+c}{2}$.
$= \frac{c}{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)} = \frac{2c}{a+b+c}$.

(C) કારણ કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, $2B = A + C$.
$A + B + C = \pi$ હોવાથી, $3B = \pi$, તેથી $B = \frac{\pi}{3}$.
નેપિયરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$.
$a:c = 1:2$ આપેલ છે, તેથી $a = k$ અને $c = 2k$ લો.
$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{2k-k}{2k+k} \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ, $\frac{C-A}{2} = \frac{\pi}{6}$, જે સૂચવે છે કે $C-A = \frac{\pi}{3}$.
$A+C = \frac{2\pi}{3}$ અને $C-A = \frac{\pi}{3}$ ઉકેલતા $C = \frac{\pi}{2}$ અને $A = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$(4\sqrt{3})^2 = a^2 + (2a)^2 - 2(a)(2a) \cos \frac{\pi}{3}$.
$48 = a^2 + 4a^2 - 4a^2(\frac{1}{2}) = 3a^2$.
$a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$.
તેથી $c = 2a = 8$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ sq. cm}$.

(B) આપેલ છે: $a=5, b=12, c=13$.
કારણ કે $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^\circ$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$.
આપણે $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમ અને સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $4\Delta$ મળે છે.
તેથી,$4 \times 30 = 120$.

(A) આપેલ છે: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
$a = (s-b) + (s-c)$,$b = (s-a) + (s-c)$,અને $c = (s-a) + (s-b)$ હોવાથી,$(a-b) = (s-b) - (s-a)$ અને $(b-c) = (s-c) - (s-b)$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$((s-b)-(s-a))(s-c) = ((s-c)-(s-b))(s-a)$
$(s-b)(s-c) - (s-a)(s-c) = (s-c)(s-a) - (s-b)(s-a)$
પદોને ગોઠવતા:
$2(s-a)(s-c) = (s-b)(s-c) + (s-b)(s-a)$
બંને બાજુ $(s-a)(s-b)(s-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{s-b} = \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c}$
બંને બાજુ $\Delta$ (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) વડે ગુણતા:
$\frac{2\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c}$
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ હોવાથી:
$2r_2 = r_1 + r_3$
આમ,$r_1, r_2, r_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$.
પદાવલિ $\frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c}$ ને $\sum \frac{a}{s-a}$ તરીકે લખી શકાય.
$\sum \frac{a}{s-a} = \sum \frac{a+s-s}{s-a} = \sum (\frac{s}{s-a} - 1) = s \sum \frac{1}{s-a} - 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum \frac{1}{s-a} = \frac{1}{r}$.
તેથી,$\frac{s}{r} - 3$ એ સાચું સ્વરૂપ છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $\frac{4R}{r}-2$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$.
સૂત્રો $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ અને $r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = 2s - (a+c)$
$2b = a+c$.
આ સૂચવે છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
હવે,$r_2 : r = \frac{r_2}{r} = \frac{\Delta / (s-b)}{\Delta / s} = \frac{s}{s-b}$.
કારણ કે $2b = a+c$,તેથી $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$.
આમ,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b/2}{3b/2 - b} = \frac{3b/2}{b/2} = 3$.
તેથી,$r_2 : r = 3 : 1$.

(A) રેખા $x-2y-4=0$ એ યામ અક્ષોને $A(4, 0)$ અને $B(0, -2)$ માં છેદે છે.
ત્રિકોણ યામ અક્ષો સાથે બનતો હોવાથી,તે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કર્ણ એ $AB$ છે,તેથી પરિવૃત $S$ નું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $C = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0-2}{2}\right) = (2, -1)$.
ત્રિજ્યા $r$ એ $C(2, -1)$ થી $O(0, 0)$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $r = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
$P(-2, -4)$ થી કેન્દ્ર $C(2, -1)$ સુધીનું અંતર $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
વર્તુળની બહારના બિંદુ $P$ થી વર્તુળ પરના બિંદુ $Q$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $PQ = PC - r$ છે.
તેથી,$PQ = 5 - \sqrt{5}$.

(D) આપેલ છે કે $\angle C=90^{\circ}$,તેથી $c^2=a^2+b^2$.
સૂત્રો $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{r_1-r_3}{r_1}\right)\left(\frac{r_2-r_3}{r_2}\right) = \left(1 - \frac{r_3}{r_1}\right)\left(1 - \frac{r_3}{r_2}\right) = \left(1 - \frac{s-a}{s-c}\right)\left(1 - \frac{s-b}{s-c}\right)$
$= \left(\frac{s-c-s+a}{s-c}\right)\left(\frac{s-c-s+b}{s-c}\right) = \left(\frac{a-c}{s-c}\right)\left(\frac{b-c}{s-c}\right)$
$= \frac{ab - ac - bc + c^2}{(s-c)^2} = \frac{ab - ac - bc + a^2 + b^2}{(\frac{a+b-c}{2})^2}$
$= \frac{4(a^2+b^2+ab-ac-bc)}{(a+b-c)^2} = \frac{4(a^2+b^2+ab-ac-bc)}{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac}$
કારણ કે $c^2 = a^2+b^2$,છેદ $2(a^2+b^2) + 2ab - 2bc - 2ac = 2(a^2+b^2+ab-bc-ac)$ બને છે.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $2$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} = \frac{\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}}{a} + \frac{\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}}{b}$
$= \frac{\Delta}{a} \left( \frac{s - (s-a)}{s(s-a)} \right) + \frac{\Delta}{b} \left( \frac{s - (s-b)}{s(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s} \left( \frac{c}{(s-a)(s-b)} \right) = \frac{c}{r_3}$.

(C) આપેલ છે,$\triangle ABC$ માં,$r=1$,$R=4$,અને $\Delta=8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$1 = \frac{8}{s} \implies s = 8$.
કારણ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$,તેથી $a+b+c = 2s = 16$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $abc = 4R\Delta$.
$abc = 4 \times 4 \times 8 = 128$.
હવે,આપણે $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c+a+b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{16}{128} = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$ અને $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{4}[b^2(2 \sin C \cos C) + c^2(2 \sin B \cos B)] = \frac{1}{2}[b^2 \sin C \cos C + c^2 \sin B \cos B]$.
પ્રક્ષેપ સૂત્ર $a = b \cos C + c \cos B$ અને $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}[b^2 \cos C \frac{2\Delta}{ab} + c^2 \cos B \frac{2\Delta}{ac}] = \frac{\Delta}{a}[b \cos C + c \cos B] = \frac{\Delta}{a}(a) = \Delta$.
હવે,$rr_1 \cot \frac{A}{2}$ પદ તપાસતા:
$r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,અને $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$.
તેથી,$rr_1 \cot \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} = \Delta$.
આમ,$\frac{1}{4}[b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B] = rr_1 \cot \frac{A}{2}$.

(B) ધારો કે $p$ એ જહાજ ડૂબી જવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{9}$.
ધારો કે $q$ એ જહાજ સુરક્ષિત રીતે પહોંચવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
આપણે $6$ જહાજોમાંથી બરાબર $3$ જહાજો ડૂબી જાય તેની સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=k) = {}^n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=6$,$k=3$,$p=\frac{1}{9}$,અને $q=\frac{8}{9}$:
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^3$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{1}{9^3} \cdot \frac{8^3}{9^3}$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{8^3}{9^6}$

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 10$.
લાલ દડાની સંખ્યા $= 6$.
પુરવણી વગર એક પછી એક $3$ દડા કાઢવામાં આવે છે.
પ્રથમ લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(R_1) = \frac{6}{10}$ છે.
બીજો લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(R_2|R_1) = \frac{5}{9}$ છે.
ત્રીજો લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(R_3|R_1 \cap R_2) = \frac{4}{8}$ છે.
માગેલ સંભાવના $P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ છે.

(A) $100$ રક્ત નમૂનાઓમાંથી સામાન્ય નમૂના પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ છે.
તેથી,$q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 10$.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે સામાન્ય નમૂના હોવાની સંભાવના $P(X \geq 2)$ શોધવાની છે.
$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{10} = (\frac{3}{4})^{10}$.
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^9 = 10 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^9 = \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9$.
$P(X < 2) = (\frac{3}{4})^{10} + \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9 = (\frac{3}{4})^9 [\frac{3}{4} + \frac{10}{4}] = (\frac{3}{4})^9 [\frac{13}{4}]$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - \frac{13}{4} (\frac{3}{4})^9$.

(B) બે પાસા ફેંકવા માટે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે.
ઘટના $A$ એ છે કે દરેક પાસા પર સમાન સંખ્યા આવે: $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$. તેથી,$n(A) = 6$ અને $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
ઘટના $B$ એ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $7$ કરતા વધારે હોય: $B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$. તેથી,$n(B) = 15$ અને $P(B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવા પરિણામોનો સમૂહ છે જ્યાં સંખ્યાઓ સમાન હોય અને સરવાળો $7$ કરતા વધારે હોય: $A \cap B = \{(4,4), (5,5), (6,6)\}$. તેથી,$n(A \cap B) = 3$ અને $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
હવે,શરતી સંભાવનાઓની ગણતરી કરો:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5}$.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/12}{1/6} = \frac{1}{2}$.

(A) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ મળે છે.
કુલ $4$ શક્ય પરિણામો છે.
બંને સિક્કા પર છાપ (tail) મળે તે ઘટના $(T, T)$ છે,જેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
એક વખત સિક્કા ઉછાળતા બંને પર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,$50$ વખત સિક્કા ઉછાળતા બંને પર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{3}{4}\right)^{50}$ થાય.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પાસાઓમાંથી કોઈ એક પર $2$ મળે છે.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $6$ છે.
સરવાળો $6$ હોય તેવા શક્ય પરિણામોનો ગણ $E_2 = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$ છે.
આમ,$E_2$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E_2) = 5$ છે.
જ્યારે સરવાળો $6$ હોય ત્યારે પાસાઓમાંથી કોઈ એક પર $2$ મળે તેવા પરિણામો $E_1 \cap E_2 = \{(2, 4), (4, 2)\}$ છે.
આમ,$E_1 \cap E_2$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E_1 \cap E_2) = 2$ છે.
શરતી સંભાવના $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{2}{5}$ થાય.

(A) કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$ થાય.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 0$ હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A)$ મળે.
વળી,$P(B^c) = 1 - P(B)$ થાય.
તેથી,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$ મળે.

(B) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(A | B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$
અહીં $B^c$ એ $B$ ની પૂરક ઘટના છે,તેથી $P(B^c) = 1 - P(B)$.
વળી,$A \cap B^c$ એ એવી ઘટના દર્શાવે છે કે જેમાં $A$ બને છે પણ $B$ બનતી નથી. આને $P(A) - P(A \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A | B^c) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$

(A) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પર $6$ આવે તેવું પરિણામ $(6, 6)$ છે,જે માત્ર $1$ પરિણામ છે.
એક ફેંકમાં બંને પાસા પર $6$ મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{36}$ છે.
એક ફેંકમાં બંને પાસા પર $6$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(E') = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ છે.
કારણ કે પાસાને $24$ વખત સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી $24$ ફેંકમાંથી કોઈપણમાં બંને પાસા પર $6$ ન મેળવવાની સંભાવના એ દરેક ફેંક માટેની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
$\therefore P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
નિરપેક્ષતાની શરત મૂકતા: $P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ ... $(i)$.
હવે,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$ ધ્યાનમાં લો.
જેમ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $A$ અને $B^C$ પણ નિરપેક્ષ છે.
આમ,$P(A \cap B^C) = P(A) \cdot P(B^C)$.
તેથી,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A) \cdot P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $P(A \mid B) = P(A \mid B^C)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(A) = x, P(B) = y, P(C) = z$. $A, B, C$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A^c, B^c, C^c$ પણ સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે કે $P(A \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A)P(B^c)P(C^c) = x(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (i)$
આપેલ છે કે $P(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = P(A^c)P(B)P(C^c) = (1-x)y(1-z) = \frac{1}{8} \dots (ii)$
આપેલ છે કે $P(A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A^c)P(B^c)P(C^c) = (1-x)(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (iii)$
$(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા: $\frac{x(1-y)(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/4}{1/4} \Rightarrow \frac{x}{1-x} = 1 \Rightarrow x = 1-x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા: $\frac{(1-x)y(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/8}{1/4} \Rightarrow \frac{y}{1-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y = 1-y \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$.
$x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{3}(1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow 1-z = \frac{3}{4} \Rightarrow z = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
આમ,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.

(C) ધારો કે નીચેની ઘટનાઓ છે:
$E_1$: વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન કરે છે.
$E_2$: વિદ્યાર્થી જવાબની નકલ કરે છે.
$E_3$: વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે.
$E$: જવાબ સાચો છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = \frac{1}{3}$,$P(E_2) = \frac{1}{6}$.
ઘટનાઓ નિઃશેષ હોવાથી,$P(E_3) = 1 - (P(E_1) + P(E_2)) = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|E_1) = \frac{1}{4}$ (કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે).
$P(E|E_2) = \frac{1}{8}$ (આપેલ છે).
$P(E|E_3) = 1$ (કારણ કે તે જવાબ જાણે છે).
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તેણે જવાબ સાચો આપ્યો હોય તો તેણે જવાબ જાણ્યો હતો તેની સંભાવના:
$P(E_3|E) = \frac{P(E|E_3)P(E_3)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2) + P(E|E_3)P(E_3)}$
$P(E_3|E) = \frac{1 \times \frac{1}{2}}{(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{8} \times \frac{1}{6}) + (1 \times \frac{1}{2})}$
$P(E_3|E) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{48} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{4+1+24}{48}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{29}{48}} = \frac{1}{2} \times \frac{48}{29} = \frac{24}{29}$.

(B) ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે ખેંચવામાં આવેલા બે પત્તાં કાળીના છે. ધારો કે $M_1$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું છે,અને $M_2$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું નથી.
આપણને આપેલ છે કે $52$ પત્તાંની રમતમાં $13$ કાળીના અને $39$ અન્ય પત્તાં છે.
$P(M_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(M_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
જો $M_1$ બને,તો $51$ પત્તાંમાં $12$ કાળીના પત્તાં બાકી રહે. $2$ કાળીના પત્તાં ખેંચવાની સંભાવના $P(S|M_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{66}{1275}$ છે.
જો $M_2$ બને,તો $51$ પત્તાંમાં $13$ કાળીના પત્તાં બાકી રહે. $2$ કાળીના પત્તાં ખેંચવાની સંભાવના $P(S|M_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{78}{1275}$ છે.
બેઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બે કાળીના પત્તાં ખેંચાયા હોય ત્યારે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું ન હોય તેની સંભાવના:
$P(M_2|S) = \frac{P(M_2)P(S|M_2)}{P(M_1)P(S|M_1) + P(M_2)P(S|M_2)}$
$P(M_2|S) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}}{\frac{1}{4} \times \frac{66}{1275} + \frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}} = \frac{3 \times 78}{66 + 3 \times 78} = \frac{234}{66 + 234} = \frac{234}{300} = \frac{39}{50}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામીયુક્ત છે. ધારો કે $M_1, M_2, M_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બલ્બ અનુક્રમે ઉત્પાદકો $M_1, M_2, M_3$ પાસેથી ખરીદવામાં આવ્યો છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(M_1) = 0.25, P(M_2) = 0.45, P(M_3) = 0.30$
$P(E|M_1) = 0.01, P(E|M_2) = 0.01, P(E|M_3) = 0.02$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત બલ્બ $M_3$ માંથી હોવાની સંભાવના:
$P(M_3|E) = \frac{P(M_3) \cdot P(E|M_3)}{P(M_1) \cdot P(E|M_1) + P(M_2) \cdot P(E|M_2) + P(M_3) \cdot P(E|M_3)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.30 \times 0.02}{(0.25 \times 0.01) + (0.45 \times 0.01) + (0.30 \times 0.02)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.006}{0.0025 + 0.0045 + 0.0060} = \frac{0.006}{0.0130} = \frac{6}{13}$

(C) આપેલ છે કે $P(X=x)=k\left(\frac{3}{8}\right)^X$ જ્યાં $x=1, 2, 3, \ldots$ એ સંભાવના વિતરણ વિધેય છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $k \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{3}{8}\right)^x = 1$.
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{8}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{8}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$k \left( \frac{3/8}{1-3/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3/8}{5/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3}{5} \right) = 1$.
આમ,$k = \frac{5}{3}$.

(C) આપેલ મધ્યક $= np = 6$ ...$(i)$
વિચરણ $= npq = 2$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ થાય.
$p$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 6 \Rightarrow n = 9$.
આપણે $P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = {}^9C_0 \times (\frac{2}{3})^0 \times (\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{3^9}$.
$P(X=1) = {}^9C_1 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^8 = 9 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3^8} = \frac{18}{3^9}$.
$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{3^9} + \frac{18}{3^9}] = 1 - \frac{19}{3^9}$.

(B) અસતત યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(x) = 1$.
આપેલ છે કે $P(x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$ જ્યાં $x = 1, 2, 3, \ldots$.
તેથી,$\sum_{x=1}^{\infty} c\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$.
$c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
કૌંસમાં રહેલ પદ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
$c = \frac{1}{2}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $= np$ અને વિચરણ $= npq$,જ્યાં $n=5$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q=1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણ વચ્ચેનો તફાવત $\frac{5}{9}$ છે:
$np - npq = \frac{5}{9}$
$np(1-q) = \frac{5}{9}$
કારણ કે $1-q = p$,તેથી $np^2 = \frac{5}{9}$.
$n=5$ મૂકતા:
$5p^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow p^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$5$ પ્રયત્નોમાં $2$ સફળતા મળવાની સંભાવના દ્વિપદી સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે:
$P(X=2) = {^5C_2} \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{5-2}$
$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = np(1-p)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$np = 2.4$ અને $np(1-p) = 1.44$.
વિચરણના સમીકરણમાં $np$ ની કિંમત મૂકતા:
$2.4(1-p) = 1.44$
$1-p = \frac{1.44}{2.4} = 0.6$
$p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$.
હવે,$p = 0.4$ ની કિંમત $np = 2.4$ માં મૂકતા:
$n(0.4) = 2.4$
$n = \frac{2.4}{0.4} = 6$.
આમ,પ્રાચલો $n = 6$ અને $p = \frac{2}{5}$ છે.

(A) પોઈસન વિતરણ એ દ્વિપદી વિતરણની મર્યાદિત સ્થિતિ છે જ્યારે ચોક્કસ શરતો પૂરી થાય: $n$ ખૂબ મોટું હોય $(n \to \infty)$ અને $p$ ખૂબ નાનું હોય $(p \to 0)$ જેથી $np = \lambda$ અચળ રહે.
વિધાન $(i)$ બર્નુલી પ્રયત્ન માટેની મૂળભૂત જરૂરિયાતનું વર્ણન કરે છે.
વિધાન (ii) પોઈસન અંદાજ માટે જરૂરી શરત છે.
વિધાન (iii) દ્વિપદી અને પોઈસન બંને વિતરણો માટેની જરૂરિયાત છે.
વિધાન (iv) જણાવે છે કે સફળતાની સંભાવના $p$ ખૂબ મોટી છે. આ પોઈસન વિતરણની મૂળભૂત ધારણાથી વિપરીત છે,જે દુર્લભ ઘટનાઓનું મોડેલિંગ કરે છે જ્યાં $p$ નાનું હોય છે. તેથી,(iv) યોગ્ય નથી.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $= np = 2$ અને વિચરણ $= npq = 1$ છે.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $np(1 - p) = 1$ થાય.
$np = 2$ મૂકતા,આપણને $2(1 - p) = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 - p = 1/2$,તેથી $p = 1/2$.
હવે $n(1/2) = 2$,તેથી $n = 4$ મળે.
આપણે $P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ શોધવાનું છે.
$P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = ^4C_0 (1/2)^0 (1/2)^4 = 1 \times 1 \times 1/16 = 1/16$.
$P(X = 1) = ^4C_1 (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \times 1/2 \times 1/8 = 4/16$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$.

(A) ધારો કે $p$ એ વ્યક્તિ ડાબોડી હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.1$.
ધારો કે $q$ એ વ્યક્તિ ડાબોડી ન હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 0.9$.
અહીં $n = 10$ પ્રયત્નો અને $k = 1$ સફળતા માટે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (0.1)^{1} (0.9)^{10-1}$
$P(X = 1) = 10 \times 0.1 \times (0.9)^9$
$P(X = 1) = 1 \times (0.9)^9 = (0.9)^9$

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ કિંમતો ધારણ કરે છે,જ્યાં દરેક માટે સંભાવના $P(X=x_i) = \frac{1}{6}$ છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
$Var(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
આમ,મધ્યક $\frac{7}{2}$ અને વિચરણ $\frac{35}{12}$ છે.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$3C^3 + (4C - 10C^2) + (5C - 1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $(C - 1)$ એક અવયવ છે. બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $(C - 1)(3C^2 - 7C + 2) = 0$ મળે છે.
વધુ અવયવ પાડતા: $(C - 1)(3C - 1)(C - 2) = 0$.
આમ,$C$ ની શક્ય કિંમતો $1, \frac{1}{3}, 2$ છે.
આપણે તપાસવું પડશે કે શું આ કિંમતો $0$ અને $1$ ની વચ્ચે સંભાવના આપે છે:
જો $C = 2$ હોય,તો $P(X=2) = 5(2) - 1 = 9$,જે $1$ કરતા વધારે છે. તેથી $C \neq 2$.
જો $C = 1$ હોય,તો $P(X=1) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,જે $0$ કરતા ઓછી છે. તેથી $C \neq 1$.
જો $C = \frac{1}{3}$ હોય,તો $P(X=0) = 3(\frac{1}{27}) = \frac{1}{9}$,$P(X=1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{2}{9}$,અને $P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$.
બધી સંભાવનાઓ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે અને તેમનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી સાચી કિંમત $C = \frac{1}{3}$ છે.

(C) જ્યારે $8$ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
ધારો કે $X$ એ મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ $n = 8$ અને $p = 0.5$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછી $6$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X \ge 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 6) = \binom{8}{6} (0.5)^8 = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} (0.5)^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.

(D) ધારો કે $n$ એ સિક્કા ઉછાળવાની સંખ્યા છે. $n$ વખત સિક્કા ઉછાળતા $k$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ $P(X=k) = {^nC_k} (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની સંભાવના $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ છે.
$P(X=0) = {^nC_0} (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$.
$P(X=1) = {^nC_1} (\frac{1}{2})^n = \frac{n}{2^n}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - \frac{1+n}{2^n}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $1 - \frac{1+n}{2^n} \ge 0.96$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1+n}{2^n} \le 0.04 = \frac{1}{25}$.
$n$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$n=7$ માટે: $\frac{1+7}{2^7} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} = 0.0625 > 0.04$.
$n=8$ માટે: $\frac{1+8}{2^8} = \frac{9}{256} \approx 0.03515 < 0.04$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $8$ છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) સૂત્ર $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંભાવના વિતરણ:
$P(X=-2) = \frac{1}{6}$
$P(X=-1) = \frac{1}{6}$
$P(X=0) = \frac{1}{3}$
$P(X=1) = \frac{1}{6}$
$P(X=2) = \frac{1}{6}$
મધ્યકની ગણતરી:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$
$E(X) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2}{6} = \frac{0}{6} = 0$
આમ,$X$ નો મધ્યક $0$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{(k+1)c}{2^k}$,તેથી $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \ldots$.
તો $\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
આમ,$\frac{1}{2}S = 2$,જેનો અર્થ છે કે $S = 4$.
કારણ કે $c \cdot S = 1$,આપણને $4c = 1$ મળે છે,તેથી $c = \frac{1}{4}$.
હવે,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
$P(X=0) = \frac{(0+1)c}{2^0} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=1) = \frac{(1+1)c}{2^1} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=2) = \frac{(2+1)c}{2^2} = \frac{3c}{4} = \frac{3}{16}$.
$P(X \geq 3) = 1 - [\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}] = 1 - [\frac{4+4+3}{16}] = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$.

(B) ધારો કે $X$ એ એક દિવસમાં થતા અકસ્માતોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.
આપેલ છે કે $50$ દિવસમાં $10$ અકસ્માતો થયા છે,તેથી પ્રતિ દિવસ સરેરાશ દર $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ છે.
એક દિવસમાં $X$ અકસ્માતો થવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X \geq 3) = 1 - \left[ \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^1}{1!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^2}{2!} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} \left[ 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} [1 + 0.2 + 0.02] = 1 - 1.22 e^{-0.2}$.

(C) પોઈસન વિતરણ $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = 6$.
આપણે $P(1 \leq X \leq 5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાનું છે.
$P(1 \leq X \leq 5) = e^{-6} \left[ \frac{6^1}{1!} + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} \right]$
$= e^{-6} \left[ 6 + 18 + 36 + 54 + 64.8 \right]$
$= e^{-6} [178.8]$
$= 6 \times e^{-6} (29.8)$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$(1)$ પરથી,$2B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1+4 \tan ^2 x} d x$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{dt}{1+t^2}$.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=1$.
તેથી,$I = \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right)$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) dt$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2t) - \tan^{-1}(t) \right]_0^1$.
$I = \frac{1}{3} \left[ (2 \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) - (0 - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{2}{3} \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

(C) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\langle a, b, c \rangle$ એ સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર છે.
બિંદુ મૂકતા,આપણને $a(x + 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ મળે છે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી દિક-કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ થાય.
આમ,દિક-ગુણોત્તર $a, b, c$ ને $1, 1, 1$ તરીકે લઈ શકાય.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$
$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$
$x + y + z - 4 = 0$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
અહીં,ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ પરના લંબપાદના યામ $(1,2,3)$ છે.
આ બિંદુ $(1,2,3)$ સમતલ પર આવેલું છે,તેથી તે $(x_1, y_1, z_1)$ તરીકે લેવાય.
ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ બનશે.
તેથી,$\vec{n} = (1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.