AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$,અને $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
આ કિંમતોને $r_1+r_2+r_3-r$ માં મૂકતા:
$= 4R [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}) + \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{A+B}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{A+B}{2})]$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}] = 4R(1) = 4R$.

(C) ધારો કે $n(M)$ એ ગણિતમાં નિપુણ સભ્યોની સંખ્યા છે અને $n(S)$ એ આંકડાશાસ્ત્રમાં નિપુણ સભ્યોની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $n(M \cup S) = 25$,$n(M) = 19$,અને $n(S) = 16$.
સૂત્ર $n(M \cup S) = n(M) + n(S) - n(M \cap S)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25 = 19 + 16 - n(M \cap S)$
$25 = 35 - n(M \cap S)$
$n(M \cap S) = 35 - 25 = 10$.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ બંનેમાં નિપુણ હોય તેની સંભાવના $P(M \cap S) = \frac{n(M \cap S)}{n(M \cup S)} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ છે.

(C) જ્યારે માત્ર ઘટના $A$ બને,ત્યારે તેને $(A \cap B^c)$ તરીકે લખી શકાય.
જ્યારે માત્ર ઘટના $B$ બને,ત્યારે તેને $(A^c \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,'ઘટના $A$ અને $B$ પૈકી બરાબર એક જ ઘટના બને' તેને $(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $4a = 5b$ પરથી,આપણે $a = \frac{5}{4}b$ લખી શકીએ.
$a$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $b$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$b \in \{1, 2, 3, \dots, 30\}$ હોવાથી,$b$ ની શક્ય કિંમતો $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$ છે.
દરેક $b$ માટે,આપણે $a = \frac{5}{4}b$ શોધીએ:
જો $b = 4, a = 5$.
જો $b = 8, a = 10$.
જો $b = 12, a = 15$.
જો $b = 16, a = 20$.
જો $b = 20, a = 25$.
જો $b = 24, a = 30$.
જો $b = 28, a = 35$ (જે ગણ $\{1, 2, \dots, 30\}$ માં નથી).
આમ,માન્ય ક્રમયુક્ત જોડો $(a, b)$ એ $(5, 4), (10, 8), (15, 12), (20, 16), (25, 20), (30, 24)$ છે.
આવી જોડોની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(C) આપેલ છે $S = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 6 \leq 0 \text{ અને } x^2 - 3x > 0\}$ ...$(i)$
પ્રથમ,અસમતા $x^2 - 7x + 6 \leq 0$ ઉકેલો:
$(x - 6)(x - 1) \leq 0$
આથી $x \in [1, 6]$.
ત્યારબાદ,અસમતા $x^2 - 3x > 0$ ઉકેલો:
$x(x - 3) > 0$
આથી $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
હવે,આ બે અંતરાલોનો છેદગણ મેળવો:
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [1, 6] \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))\}$
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in (3, 6] \cap \mathbb{Z}\}$
$S = \{4, 5, 6\}$.
આમ,ગણ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) કારણ કે $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ હંમેશા ટીમમાં સામેલ કરવાના છે,તેથી આપણે પહેલેથી જ $2$ સભ્યો પસંદ કરી લીધા છે.
પસંદ કરવાના બાકી રહેલા સભ્યો $= 5 - 2 = 3$.
પસંદગી માટે ઉપલબ્ધ બાકી રહેલા વિદ્યાર્થીઓ $= 12 - 2 = 10$.
તેથી,$10$ ઉપલબ્ધ વિદ્યાર્થીઓમાંથી બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

(A) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ છે,જ્યાં પ્રારંભિક કિંમતો $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ છે.
આપણે ક્રમશઃ કિંમતોની ગણતરી કરીએ:
$f(3)=f(1)+f(0)=1+0=1$
$f(4)=f(2)+f(1)=2+1=3$
$f(5)=f(3)+f(2)=1+2=3$
$f(6)=f(4)+f(3)=3+1=4$
$f(7)=f(5)+f(4)=3+3=6$
$f(8)=f(6)+f(5)=4+3=7$
$f(9)=f(7)+f(6)=6+4=10$
$f(10)=f(8)+f(7)=7+6=13$

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ અને $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
અંશ અને છેદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
અંશ: $\cos^2 x + \sin^4 x = \cos^2 x + \sin^2 x \cdot \sin^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x(1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
છેદ: $\sin^2 x + \cos^4 x = \sin^2 x + \cos^2 x \cdot \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x(1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \sin^2 x$.
આમ,$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \cos^2 x \sin^2 x} = 1$.
કારણ કે $f(x) = 1$ તમામ $x \in R$ માટે છે,તેથી $f(2023) = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x^2-7 x+2}{x^4+3 x^2+4}=\frac{A x+B}{x^2+a x+2}+\frac{C x+D}{x^2+b x+2}$ ...$(i)$
છેદના અવયવ પાડતા: $x^4+3 x^2+4 = (x^2+2)^2 - x^2 = (x^2+x+2)(x^2-x+2)$.
તેથી,$\frac{x^2-7 x+2}{(x^2+x+2)(x^2-x+2)} = \frac{Px+Q}{x^2+x+2} + \frac{Rx+S}{x^2-x+2}$.
અંશને સરખાવતા: $x^2-7x+2 = (Px+Q)(x^2-x+2) + (Rx+S)(x^2+x+2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2-7x+2 = x^3(P+R) + x^2(-P+Q+R+S) + x(2P-Q+2R+S) + (2Q+2S)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$P+R=0$
$-P+Q+R+S=1$
$2P-Q+2R+S=-7$
$2Q+2S=2 \Rightarrow Q+S=1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $P=0, Q=4, R=0, S=-3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x^2-7x+2}{x^4+3x^2+4} = \frac{4}{x^2+x+2} + \frac{-3}{x^2-x+2}$.
સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-1$ (કારણ કે $a>b$),$A=0, B=4, C=0, D=-3$ મળે છે.
તેથી $B+D = 4-3 = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા: $2a+b = 2(1) + (-1) = 1$.
તેથી,$B+D = 2a+b$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2 x^2+5 x+6}{(x+2)^3}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^2}+\frac{c}{(x+2)^3}$
બંને બાજુ $(x+2)^3$ વડે ગુણતા:
$2 x^2+5 x+6 = a(x+2)^2 + b(x+2) + c$
ધારો કે $x+2 = t$,તેથી $x = t-2$. આ કિંમત મૂકતા:
$2(t-2)^2 + 5(t-2) + 6 = a t^2 + b t + c$
$2(t^2 - 4t + 4) + 5t - 10 + 6 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 8t + 8 + 5t - 4 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 3t + 4 = a t^2 + b t + c$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a = 2, b = -3, c = 4$
હવે,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ ની ગણતરી કરતા:
$a \cdot b = 2 \cdot (-3) = -6$
$b \cdot c = (-3) \cdot 4 = -12$
$c \cdot a = 4 \cdot 2 = 8$
સરવાળો $= -6 - 12 + 8 = -10$

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{-x^2+6x+1}{(x-1)^2(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx-3}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+2)$ વડે ગુણતા:
$-x^2+6x+1 = A(x-1)(x^2+2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા: $-1+6+1 = B(1+2) \Rightarrow 6 = 3B \Rightarrow B=2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $-x^2+6x+1 = A(x^3-x^2+2x-2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \Rightarrow C = -A$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-1 = -A + B + (-2C - 3) = -A + 2 - 2C - 3 = -A - 2C - 1$.
આમ,$A + 2C = 0$. કારણ કે $C = -A$,તેથી $A - 2A = 0 \Rightarrow -A = 0 \Rightarrow A = 0$.
તેથી,$C = -A = 0$.
અંતે,$A+B+C = 0 + 2 + 0 = 2$.

(B) આ પ્રદેશ $x=4$,$y=-4$ અને $y=x$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x=4$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $B(4, 4)$ છે.
$2$. $y=-4$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $A(-4, -4)$ છે.
$3$. $x=4$ અને $y=-4$ નું છેદબિંદુ $C(4, -4)$ છે.
આ પ્રદેશ એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(-4, -4)$,$B(4, 4)$ અને $C(4, -4)$ છે.
પાયા $AC$ ની લંબાઈ $(-4, -4)$ અને $(4, -4)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4 - (-4)| = 8$ એકમ છે.
વેધ $BC$ ની લંબાઈ $(4, -4)$ અને $(4, 4)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4 - (-4)| = 8$ એકમ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y, z) = (3, -7, 5)$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુને $(h, k, l) = (-1, -1, -1)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
નવા યામ $(x', y', z')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x - h$
$y' = y - k$
$z' = z - l$
કિંમતો મૂકતા:
$x' = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$
$y' = -7 - (-1) = -7 + 1 = -6$
$z' = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$
તેથી,નવા યામ $(4, -6, 6)$ છે.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ છે.
$AB$ ના મધ્યબિંદુ માટે: $\frac{x_1+x_2}{2}=l, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0 \Rightarrow x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$ ... $(i)$
$BC$ ના મધ્યબિંદુ માટે: $\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=m, \frac{z_2+z_3}{2}=0 \Rightarrow x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$ ... (ii)
$CA$ ના મધ્યબિંદુ માટે: $\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=n \Rightarrow x_3+x_1=0, y_3+y_1=0, z_3+z_1=2n$ ... (iii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણો $(i)$,(ii) અને (iii) ને ઉકેલતા આપણને મળે છે: $x_1=l, y_1=m, z_1=-n$,$x_2=l, y_2=-m, z_2=n$,$x_3=-l, y_3=m, z_3=n$.
આમ,$A(l, m, -n), B(l, -m, n), C(-l, m, n)$.
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 4m^2 + 4n^2$.
$BC^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = 4l^2 + 4m^2$.
$CA^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = 4l^2 + 4n^2$.
$AB^2+BC^2+CA^2 = 8(l^2+m^2+n^2)$.
તેથી,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(2, 3, 4)$ અને $(3, -4, 7)$ છે અને ગુણોત્તર $m:n = 2:4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2(3) - 4(2)}{2 - 4} = \frac{6 - 8}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$y = \frac{2(-4) - 4(3)}{2 - 4} = \frac{-8 - 12}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10$
$z = \frac{2(7) - 4(4)}{2 - 4} = \frac{14 - 16}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
આમ,બિંદુના યામ $(1, 10, 1)$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
બાજુ $a$ વાળા ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $d = a\sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બે બિંદુઓ $(1, -2, 3)$ અને $(2, -3, 5)$ વચ્ચેનું અંતર એ વિકર્ણની લંબાઈ $d$ છે.
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
કારણ કે $d = a\sqrt{2}$,તેથી $a\sqrt{2} = \sqrt{6}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left(\frac{\alpha+7}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{3+\beta}{2}\right) = \left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ ના દિક ગુણોત્તર $D$ અને $A$ ના યામોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$\left(\frac{\alpha+7}{2} - 2, 4 - 3, \frac{3+\beta}{2} - 5\right) = \left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$.
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,તેના દિક કોસાઇન સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેના દિક ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ અને $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $\alpha+3 = 2 \Rightarrow \alpha = -1$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા: $\beta-7 = 2 \Rightarrow \beta = 9$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{9}{-1} = -9$.

(A) ધારો કે $S$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. દરેક ઘટક $x \in S$ માટે ચાર શક્યતાઓ છે:
$1. x \in A$ અને $x \in B$
$2. x \in A$ અને $x \notin B$
$3. x \notin A$ અને $x \in B$
$4. x \notin A$ અને $x \notin B$
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $4^n$ છે.
શરત $A \cap B = \phi$ અને $A \cup B = S$ મુજબ,દરેક ઘટક કાં તો $A$ માં હોય અથવા $B$ માં,પણ બંનેમાં નહીં.
આથી દરેક ઘટક માટે $2$ વિકલ્પો છે.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^n$ છે.
સંભાવના $= \frac{2^n}{4^n} = \frac{1}{2^n}$.

(A) ત્રણ વાર સિક્કો ઉછાળતા નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો મળે છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
ઘટના $A$ (ત્રણ છાપ મેળવવી) = $\{HHH\}$,તેથી $P(A) = \frac{1}{8}$.
ઘટના $B$ (પ્રથમ ઉછાળ પર છાપ મેળવવી) = $\{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,તેથી $P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
છેદગણ $A \cap B = \{HHH\}$,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવા માટે,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ હોવું જોઈએ.
અહીં $P(A) \times P(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
$P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{16}$ હોવાથી,આ ઘટનાઓ પરસ્પરાવલંબી છે.

(C) $8$ કાર્ડમાંથી બદલી સાથે બે કાર્ડ પસંદ કરતી વખતે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $8 \times 8 = 64$ છે.
ધારો કે પસંદ કરેલી બે સંખ્યાઓ $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
આપણે $xy$ નો ગુણાકાર પૂર્ણ વર્ગ હોય તે જરૂરી છે.
જે જોડીઓ $(x, y)$ નો ગુણાકાર પૂર્ણ વર્ગ છે તે છે:
$(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 8), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 2), (8, 8)$.
આવા $12$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ છે.

(D) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 30$.
$1$ થી $30$ ની વચ્ચે $3$ ના ગુણકો: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ (કુલ $10$).
$1$ થી $30$ ની વચ્ચે $5$ ના ગુણકો: $5, 10, 15, 20, 25, 30$ (કુલ $6$).
$3$ અને $5$ બંનેના ગુણકો (એટલે કે $15$ ના ગુણકો): $15, 30$ (કુલ $2$).
સાપેક્ષ પરિણામોની સંખ્યા $= 10 + 6 - 2 = 14$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$.

(A) સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
જો બધા જ ઉછાળમાં સમાન પરિણામ મળે તો છોકરો જીતે છે,જે ઘટનાઓ $\{HHH, TTT\}$ છે.
જીતવાના પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
હારવાના પરિણામોની સંખ્યા $8 - 2 = 6$ છે. આ પરિણામો $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ છે.
છોકરો રમત હારી જાય તેની સંભાવના $P(\text{Lose}) = \frac{\text{હારવાના પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ છે.

(B) કુલ સિક્કા = $12 + 7 + 4 = 23$. $3$ સિક્કા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = ${}^{23}C_3$. \\ સિક્કાના મૂલ્યનો સરવાળો એક રૂપિયાનો પૂર્ણાંક ગુણક ન હોય જો પસંદ કરેલા $50$ પૈસાના સિક્કાની સંખ્યા એકી હોય. \\ $50$ પૈસાના સિક્કાની સંખ્યા એકી હોય તેવી શક્યતાઓ: \\ $(i)$ $1$ પચાસ પૈસાનો સિક્કો અને $2$ અન્ય સિક્કા: ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2$. \\ $(ii)$ $3$ પચાસ પૈસાના સિક્કા: ${}^{4}C_3$. \\ કુલ સાનુકૂળ રીતો = ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2 + {}^{4}C_3$. \\ આમ,સંભાવના $\frac{4({}^{12}C_1 \times {}^{7}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{7}C_2) + {}^{4}C_3}{{}^{23}C_3}$ છે.

(C) ગોળાકાર ટેબલ પર $20$ વ્યક્તિઓને બેસાડવાની કુલ રીતો $(20-1)! = 19!$ છે.
વ્યક્તિ $A$ ને એક સ્થાન પર સ્થિર કરો.
વ્યક્તિ $B$ માટે $19$ બાકીની બેઠકો છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે બરાબર $6$ વ્યક્તિઓ હોય તે માટે,$B$ એ $A$ ની સાપેક્ષમાં ચોક્કસ સ્થાન પર બેસવું જોઈએ.
$A$ થી ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $6$ બેઠકો ગણતા,$7$મી બેઠક પર $B$ બેસે છે.
$A$ થી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $6$ બેઠકો ગણતા,$7$મી બેઠક પર પણ $B$ બેસે છે.
આમ,$19$ શક્ય બેઠકોમાંથી $B$ માટે $2$ સાનુકૂળ સ્થાનો છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{2}{19}$ છે.

(A) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાના દિવસ બરાબર છે.
$52$ અઠવાડિયા હોવાથી,તેમાં ચોક્કસપણે $52$ રવિવાર હોય છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,વધારાનો દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
વધારાના દિવસ માટે શક્ય પરિણામોનો સમૂહ $\{ \text{સોમવાર}, \text{મંગળવાર}, \text{બુધવાર}, \text{ગુરુવાર}, \text{શુક્રવાર}, \text{શનિવાર}, \text{રવિવાર} \}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (દિવસ રવિવાર હોય) $= 1$.
તેથી,સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{7}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,સંભાવનાનો સરવાળાનો નિયમ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.65 = P(A) + P(B) - 0.15$
$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$
આપણે $P(\overline{A}) + P(\overline{B})$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમ $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(\overline{A}) + P(\overline{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B))$
$= 2 - (P(A) + P(B))$
$= 2 - 0.8 = 1.2$

(A) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
નિદર્શાવકાશ $n(S) = 52$.
ધારો કે $A$ એ એક્કો ખેંચવાની ઘટના છે અને $B$ એ ફુલ્લી (spade) ખેંચવાની ઘટના છે.
એક્કાની સંખ્યા $n(A) = 4$.
ફુલ્લીના પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 13$.
એક્કો અને ફુલ્લી બંને હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 1$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ઘટનાઓના યોગગણની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$.
$A$ કે $B$ પૈકી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ છે.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.6 = 0.4$.

(A) આપેલ છે કે,$P(A)=0.4, P(B)=0.3$ અને $P(A \cap B)=0.2$.
આપણે $A$ કે $B$ પૈકી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cup B)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.2 = 0.5$.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.5 = 0.5$.

(C) $A =$ ઘટના કે $A$ સત્ય બોલે છે.
$B =$ ઘટના કે $B$ સત્ય બોલે છે.
$P(A) = 4/5 \implies P(A^c) = 1/5$.
$P(B) = 3/4 \implies P(B^c) = 1/4$.
$A$ અને $B$ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે છે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો જૂઠું બોલે.
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \cdot P(B^c) + P(A^c) \cdot P(B)$.
$= (4/5 \times 1/4) + (1/5 \times 3/4)$.
$= 4/20 + 3/20 = 7/20$.

(C) જેহেতু $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. તેથી,$xy = \frac{1}{6}$.
બંનેમાંથી એક પણ ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x + y - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y = \frac{5}{6}$.
$y = \frac{5}{6} - x$ ને $xy = \frac{1}{6}$ માં મૂકતા,આપણને $x(\frac{5}{6} - x) = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $6x^2 - 5x + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(2x - 1)(3x - 1) = 0$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.
તેથી,$A$ ઉદ્ભવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ છે.

(B) $n$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $X_1, X_2, \ldots, X_n$ માંથી એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(X_1' \cap X_2' \cap \ldots \cap X_n')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આ $P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n')$ બરાબર થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X_r) = \frac{1}{r+1}$,તેથી પૂરક ઘટનાની સંભાવના $P(X_r') = 1 - P(X_r) = 1 - \frac{1}{r+1} = \frac{r}{r+1}$ થાય.
આમ,જરૂરી સંભાવના:
$P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n') = \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n}{n+1}$
$= \frac{1}{n+1}$.

(A) ધારો કે ઘોડા $A$,$B$ અને $C$ ના જીતવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $a$,$b$ અને $c$ છે.
તેમાંથી કોઈ એક જીતશે જ,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $a + b + c = 1$ થાય ... $(i)$
આપેલ છે કે $a = 2b$ અને $b = 2c$.
$b = 2c$ ને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a = 2(2c) = 4c$ મળે છે.
હવે,$a = 4c$ અને $b = 2c$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4c + 2c + c = 1$
$7c = 1$
$c = \frac{1}{7}$
હવે,$b$ અને $a$ શોધો:
$b = 2c = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$
$a = 2b = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$
તેથી,ઘોડા $A$,$B$ અને $C$ ના જીતવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}$ છે.

(B) $100$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{100} C_2$ છે.
તમે અને તમારા મિત્ર બંને પ્રથમ વિભાગમાં ($40$ ની સંખ્યા) હોય તેવી રીતોની સંખ્યા ${ }^{40} C_2$ છે.
તમે અને તમારા મિત્ર બંને બીજા વિભાગમાં ($60$ ની સંખ્યા) હોય તેવી રીતોની સંખ્યા ${ }^{60} C_2$ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,સાનુકૂળ રીતોની કુલ સંખ્યા ${ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{{ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2}{{ }^{100} C_2}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$.
અવયવ પાડતા $(k+7)(k-1)=0$ મળે. $k>0$ હોવાથી,$k=1$.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ બને છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x-y=0$ અને $x+y=0$.
ત્રીજી રેખા $x+2y+1=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ ત્રણ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$) $x-y=0$ અને $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$.
$2$) $x-y=0$ અને $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$.
$3$) $x+y=0$ અને $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્રથી મળે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$.

(D) રેખાયુગ્મ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ ને રેખા $x+y=k$ નો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા,આપણે $\frac{x+y}{k}=1$ લઈએ છીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{k})-4y(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
રેખાઓ $OA$ અને $OB$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2})x^2 + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2})y^2 + (\dots)xy = 0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}) + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}) = 0$.
$2 - \frac{6}{k} + \frac{4}{k^2} = 0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$2k^2 - 6k + 4 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
આમ,$k=1$ અથવા $k=2$.
$k>1$ આપેલ હોવાથી,$k=2$ મળે છે.