AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए चौथे चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, -\alpha)$ है,जहाँ $\alpha > 0$ है।
चूँकि यह बिंदु दोनों रेखाओं $4ax + 2ay + c = 0$ और $5bx + 2by + d = 0$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
पहली रेखा के लिए: $4a(\alpha) + 2a(-\alpha) + c = 0$ $\Rightarrow 2a\alpha + c = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{c}{2a}$।
दूसरी रेखा के लिए: $5b(\alpha) + 2b(-\alpha) + d = 0$ $\Rightarrow 3b\alpha + d = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{d}{3b}$।
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$-\frac{c}{2a} = -\frac{d}{3b}$।
वज्र-गुणन करने पर $3bc = 2ad$ प्राप्त होता है,जिसे $3bc - 2ad = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p = 4$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
रेखा $x + y = 0$ की ढाल $-1$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $135^o$ का कोण बनाती है।
मूल बिंदु से रेखा $L$ पर लंब $x + y = 0$ के साथ $60^o$ का कोण बनाता है। अतः,$\alpha = 135^o \pm 60^o$.
स्थिति $1$: $\alpha = 135^o - 60^o = 75^o$.
$\cos 75^o = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt 2}$ और $\sin 75^o = \frac{\sqrt 3 + 1}{2\sqrt 2}$.
समीकरण $(\sqrt 3 - 1)x + (\sqrt 3 + 1)y = 8\sqrt 2$ प्राप्त होता है।

(D) हम $\log a + \log b = \log (ab)$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
$\log (\cosh 3 + \sinh 3) + \log (\cosh 3 - \sinh 3) = \log ((\cosh 3 + \sinh 3)(\cosh 3 - \sinh 3))$
$= \log (\cosh^2 3 - \sinh^2 3)$
चूंकि हाइपरबोलिक फलनों के लिए सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \log (1)$
$= 0$

(A) दी गई असमिका: $16(2^x) > 16^{-1/x}$ \\
चूंकि $16 = 2^4$,हम लिख सकते हैं: $2^4 \cdot 2^x > (2^4)^{-1/x}$ \\
$2^{x+4} > 2^{-4/x}$ \\
आधार $2 > 1$ है,इसलिए घातांकों के लिए असमिका सत्य है: $x + 4 > -4/x$ \\
$x + 4 + 4/x > 0$ \\
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x} > 0$ \\
$\frac{(x+2)^2}{x} > 0$ \\
चूंकि $x \neq -2$ के लिए $(x+2)^2 > 0$ है,इसलिए असमिका तब सत्य है जब $x > 0$ हो। \\
अतः,हल समुच्चय $\{x \in R: x > 0\}$ है.

(A) दी गई असमिका: $4+11x-3x^2 > 0$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$3x^2 - 11x - 4 < 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 12x + x - 4 < 0$
$3x(x - 4) + 1(x - 4) < 0$
$(3x + 1)(x - 4) < 0$
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ गुणनफल ऋणात्मक है,हम मूल ज्ञात करते हैं: $x = -\frac{1}{3}$ और $x = 4$।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x < -\frac{1}{3}$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$-\frac{1}{3} < x < 4$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$x > 4$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
अतः,हल समुच्चय $x \in \left(-\frac{1}{3}, 4\right)$ है।

(B) दिया गया है $\frac{17x-2}{12x^2-x-20}=\frac{A}{ax+5}+\frac{B}{3x+b} \dots (i)$
हर का गुणनखंड करने पर: $12x^2-x-20 = (4x+5)(3x-4)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{17x-2}{(4x+5)(3x-4)} = \frac{P}{4x+5} + \frac{Q}{3x-4}$.
$17x-2 = P(3x-4) + Q(4x+5) = x(3P+4Q) + (-4P+5Q)$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $3P+4Q = 17$ और $-4P+5Q = -2$.
इन्हें हल करने पर: $P=3, Q=2$.
अतः,$\frac{17x-2}{12x^2-x-20} = \frac{3}{4x+5} + \frac{2}{3x-4}$.
$\frac{A}{ax+5} + \frac{B}{3x+b}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=3, a=4, B=2, b=-4$ प्राप्त होता है।
अतः $a \cdot A + b \cdot B = (4)(3) + (-4)(2) = 12 - 8 = 4$.

(A) बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{6 x^3+7 x^2-14 x+11}{6 x^3+x^2-10 x+3} = 1 + \frac{6 x^2-4 x+8}{6 x^3+x^2-10 x+3}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $6 x^3+x^2-10 x+3 = (x-1)(3 x-1)(2 x+3)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{6 x^2-4 x+8}{(x-1)(3 x-1)(2 x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{3 x-1} + \frac{C}{2 x+3}$.
स्थिरांकों को हल करने पर: $A=1, B=-3, C=2$.
अतः,व्यंजक $1 + \frac{1}{x-1} - \frac{3}{3 x-1} + \frac{2}{2 x+3}$ है।
$a+\frac{b}{x+p}+\frac{c}{q x+3}+\frac{d}{3 x+p}$ के साथ तुलना करने पर,$a=1, b=1, p=-1, c=2, q=2, d=-3$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\frac{a+b}{p+q} = \frac{1+1}{-1+2} = \frac{2}{1} = 2$.

(A) दिया गया है कि $\alpha+\beta=a$ और $\alpha\beta=b$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2-2b$ है।
साथ ही,$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) = a(a^2-2b-b) = a(a^2-3b) = a^3-3ab$ है।
मूल $p$ और $q$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,मूल $p = a^2-2b$ और $q = a^3-3ab$ हैं।
अचर पद $C$ मूलों का गुणनफल है: $C = pq = (a^2-2b)(a^3-3ab)$।
इसका विस्तार करने पर: $C = a^2(a^3) - a^2(3ab) - 2b(a^3) + 2b(3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2$।

(C) माना कि त्रिघात समीकरण $ax^3+bx^2+cx+1=0$ के मूल $-1, -1, \alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का गुणनफल $\alpha \times (-1) \times (-1) = -\frac{1}{a}$ है,जिसका अर्थ है $\alpha = -\frac{1}{a}$।
मूलों का योग $(-1) + (-1) + \alpha = -\frac{b}{a}$ है।
$\alpha = -\frac{1}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-2 - \frac{1}{a} = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
$-a$ से गुणा करने पर,$2a + 1 = b$ प्राप्त होता है,अतः $b = 2a + 1$।
चूंकि $-1$ एक मूल है,$a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + 1 = 0$,जो सरल होकर $-a + b - c + 1 = 0$ हो जाता है।
$b = 2a + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-a + (2a + 1) - c + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a + 2 - c = 0$ हो जाता है,अतः $c = a + 2$।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2x^2-4x+3=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -(\frac{-4}{2}) = 2$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{3}{2}$.
$\alpha^2+\beta^2$ की गणना:
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2)^2 - 2(\frac{3}{2}) = 4-3 = 1$.
$\alpha^4+\beta^4$ की गणना:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 = \alpha^4+\beta^4+2\alpha^2\beta^2$.
$1^2 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{3}{2})^2$.
$1 = \alpha^4+\beta^4 + 2(\frac{9}{4}) = \alpha^4+\beta^4 + \frac{9}{2}$.
$\alpha^4+\beta^4 = 1 - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2(\alpha^4+\beta^4)+3(\alpha^2+\beta^2)}{\alpha+\beta} = \frac{2(-\frac{7}{2}) + 3(1)}{2} = \frac{-7+3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

(C) दिया है: $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
नए मूल $S_1 = \alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $S_2 = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$ हैं।
अभीष्ट समीकरण $(x-S_1)(x-S_2) = 0$ है।
$(x - (-\frac{b}{a}))(x - (-\frac{b}{c})) = 0$.
$(x + \frac{b}{a})(x + \frac{b}{c}) = 0$.
$ac$ से गुणा करने पर: $(ax+b)(cx+b) = 0$.
$acx^2 + abx + bcx + b^2 = 0$.
$acx^2 + (ab+bc)x + b^2 = 0$.

(D) दिया है: $\frac{x^4-6 x^3+9 x^2+5 x-20}{x^2-x-2}=f(x)+\frac{a}{x+p}+\frac{b}{x+q}$ ... $(i)$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{x^4-6 x^3+9 x^2+5 x-20}{x^2-x-2} = (x^2-5x+6) + \frac{x-8}{x^2-x-2}$
चूँकि $x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$,आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{x-8}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2}$
तुलना करने पर,$f(x) = x^2-5x+6$,$a=3$,$b=-2$ प्राप्त होता है।
अतः $2(a+b) = 2(3-2) = 2$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(4) = 16-20+6 = 2$।
अतः $2(a+b) = f(4)$।

(B) दिया गया समीकरण $y^2+y+1=0$ है।
चूंकि $a$ और $b$ मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार $a+b = -1$ और $ab = 1$ है।
हमें $a^4+b^4+a^{-1}b^{-1} = a^4+b^4+\frac{1}{ab}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ प्राप्त करें।
फिर,$a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (-1)^2 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a^4+b^4+\frac{1}{ab} = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$।

(C) दिया गया है कि $x^2+x-6$,$P(x) = 2x^3+x^2+ax+b$ का एक गुणनखंड है।
भाजक का गुणनखंड करने पर: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$।
अतः,$P(-3) = 0$ और $P(2) = 0$।
$x = -3$ के लिए: $2(-3)^3 + (-3)^2 + a(-3) + b = 0$ $\Rightarrow -54 + 9 - 3a + b = 0$ $\Rightarrow -3a + b = 45$ ... $(i)$।
$x = 2$ के लिए: $2(2)^3 + (2)^2 + a(2) + b = 0$ $\Rightarrow 16 + 4 + 2a + b = 0$ $\Rightarrow 2a + b = -20$ ... $(ii)$।
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $-5a = 65 \Rightarrow a = -13$।
$a = -13$ को $(ii)$ में रखने पर: $b = 6$।
अंततः,$6a + 13b = 6(-13) + 13(6) = -78 + 78 = 0$।

(D) दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^2+ax+b=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$c+d = -a$ और $cd = b$ है।
अब,समीकरण $x^2+(4c+a)x+(b+2ac+4c^2)=0$ पर विचार करें।
$a = -(c+d)$ और $b = cd$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x^2+(4c-(c+d))x+(cd+2c(-(c+d))+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(cd-2c^2-2cd+4c^2)=0$
$x^2+(3c-d)x+(2c^2-cd)=0$
$x^2+(3c-d)x+c(2c-d)=0$
इसे गुणनखंडित करने पर $(x+c)(x+2c-d)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = -c$ और $x = d-2c$ हैं।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$d-2c$ एक मूल है।

(D) दिया गया समीकरण: $2^{6x} - 3(2^{3x+2}) + 32 = 0$
चूंकि $2^{3x+2} = 2^{3x} \times 2^2 = 4 \times 2^{3x}$,समीकरण बन जाता है:
$(2^{3x})^2 - 3(4 \times 2^{3x}) + 32 = 0$
$(2^{3x})^2 - 12(2^{3x}) + 32 = 0$
माना $y = 2^{3x}$। तो समीकरण $y^2 - 12y + 32 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(y - 4)(y - 8) = 0$।
अतः,$y = 4$ या $y = 8$।
स्थिति $1$: $2^{3x} = 4 = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$।
स्थिति $2$: $2^{3x} = 8 = 2^3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$।
दिया है $\beta < 1$,इसलिए $\beta = \frac{2}{3}$ और $\alpha = 1$।
अतः,$2\alpha + 3\beta = 2(1) + 3(\frac{2}{3}) = 2 + 2 = 4$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
मान लीजिए कि नए समीकरण $x^3+(2b-a^2)x^2+(b^2-2ac)x-c^2=0$ के मूल $\alpha', \beta', \gamma'$ हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\alpha'+\beta'+\gamma' = -(2b-a^2) = a^2-2b = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2$.
$\alpha'\beta'+\beta'\gamma'+\gamma'\alpha' = b^2-2ac = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta\gamma) = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$.
$\alpha'\beta'\gamma' = c^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \alpha^2\beta^2\gamma^2$.
अतः,मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।

(D) दिया गया है $x = \frac{4 + 5i}{2}$ $\Rightarrow 2x = 4 + 5i$ $\Rightarrow 2x - 4 = 5i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2x - 4)^2 = (5i)^2$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 16 = -25$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 41 = 0$.
अब,बहुपद $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ को $4x^2 - 16x + 41$ से विभाजित करने पर:
$4x^3 - 4x^2 - 7x + 127 = x(4x^2 - 16x + 41) + 12x^2 - 48x + 127$
$= x(0) + 3(4x^2 - 16x) + 127$
$= 3(-41) + 127$
$= -123 + 127 = 4$.

(A) माना समीकरण $x^3-6x^2+3x+10=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि एक मूल अन्य दो का औसत है,अतः $\beta = \frac{\alpha+\gamma}{2} \Rightarrow \alpha+\gamma = 2\beta$।
मूलों के योग से,$\alpha+\beta+\gamma = 6$।
$\alpha+\gamma = 2\beta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\beta+\beta = 6$ $\Rightarrow 3\beta = 6$ $\Rightarrow \beta = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\beta=2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(2)^3 - 6(2)^2 + 3(2) + 10 = 8 - 24 + 6 + 10 = 0$।
अब,बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर: $(x-2)(x^2-4x-5) = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-5)(x+1) = 0$।
मूल $2, 5, -1$ हैं।
मूलों की चौथी घातों का योग $2^4 + 5^4 + (-1)^4 = 16 + 625 + 1 = 642$ है।

(A) द्विपद विस्तार $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \left[ \binom{n}{1} x^{n-1} y + \binom{n}{3} x^{n-3} y^3 + \binom{n}{5} x^{n-5} y^5 \right]$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ $x=3, y=\sqrt{2}, n=6$.
$(3+\sqrt{2})^6 - (3-\sqrt{2})^6 = 2 \left[ \binom{6}{1} (3)^5 (\sqrt{2}) + \binom{6}{3} (3)^3 (\sqrt{2})^3 + \binom{6}{5} (3)^1 (\sqrt{2})^5 \right]$.
$= 2 \left[ 6 \cdot 243 \cdot \sqrt{2} + 20 \cdot 27 \cdot 2\sqrt{2} + 6 \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \right]$.
$= 2 \left[ 1458\sqrt{2} + 1080\sqrt{2} + 72\sqrt{2} \right]$.
$= 2 \left[ 2610\sqrt{2} \right] = 5220\sqrt{2}$.
$a+b\sqrt{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=0$ और $b=5220$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 0 + 5220 = 5220$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $cx^2+bx+a=0$ है।
माना मूल $\alpha = \operatorname{cosec} \theta$ और $\beta = \cot \theta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{c}$ और $\alpha \beta = \frac{a}{c}$.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 - \beta^2 = 1$.
इसे $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,इसलिए $\alpha - \beta = \pm \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$.
मान रखने पर:
$1 = \left(-\frac{b}{c}\right) \left(\pm \sqrt{\frac{b^2}{c^2} - \frac{4a}{c}}\right)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 = \frac{b^2}{c^2} \left(\frac{b^2 - 4ac}{c^2}\right)$.
$1 = \frac{b^2(b^2 - 4ac)}{c^4}$.
अतः,$b^2(b^2 - 4ac) = c^4$.

(B) माना $6x^3-11x^2+6x-1=0$ के मूल $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हैं। चूंकि वे हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
दिए गए समीकरण में $x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ पर विचार करें।
$x=1$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $1, 2, 3$ हैं।
चूंकि $2-1 = 1$ और $3-2 = 1$,इसलिए मूल समांतर श्रेणी में हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{k}{kx+3}+\frac{3}{3x-k}=\frac{12x+5}{(kx+3)(3x-k)}$
दोनों पक्षों को $(kx+3)(3x-k)$ से गुणा करने पर:
$k(3x-k) + 3(kx+3) = 12x+5$
$3kx - k^2 + 3kx + 9 = 12x + 5$
$6kx - k^2 + 9 = 12x + 5$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6k = 12 \Rightarrow k = 2$
$k=2$ को द्विघात समीकरण $kx^2-7x+3=0$ में रखने पर:
$2x^2-7x+3=0$
$2x^2-6x-x+3=0$
$2x(x-3)-1(x-3)=0$
$(2x-1)(x-3)=0$
अतः,मूल $x = \frac{1}{2}$ और $x = 3$ हैं।
चूंकि $\frac{1}{2}$ और $3$ दोनों परिमेय संख्याएँ हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^4+7x^3+18x^2+20x+8=0$ है।
हम छोटे पूर्णांक मूलों का परीक्षण करके बहुपद का गुणनखंड कर सकते हैं।
$x = -2$ के लिए: $(-2)^4 + 7(-2)^3 + 18(-2)^2 + 20(-2) + 8 = 16 - 56 + 72 - 40 + 8 = 0$।
अतः,$(x+2)$ एक गुणनखंड है।
$x^4+7x^3+18x^2+20x+8$ को $(x+2)$ से विभाजित करने पर $x^3+5x^2+8x+4$ प्राप्त होता है।
$x^3+5x^2+8x+4$ के लिए पुनः $x = -2$ का परीक्षण करने पर: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$।
अतः,$(x+2)$ पुनः एक गुणनखंड है।
$x^3+5x^2+8x+4$ को $(x+2)$ से विभाजित करने पर $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समीकरण $(x+2)^3(x+1) = 0$ है।
पुनरावृत्त मूल $-2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $2x^3 + 5x^2 - 4x - 12 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2x^3 + 4x^2 + x^2 + 2x - 6x - 12 = 0$
$2x^2(x + 2) + x(x + 2) - 6(x + 2) = 0$
$(2x^2 + x - 6)(x + 2) = 0$
$(2x - 3)(x + 2)(x + 2) = 0$
मूल $x = -2, -2, \frac{3}{2}$ हैं।
भिन्न मूल $-2$ और $\frac{3}{2}$ हैं।
इन मूलों वाला द्विघात समीकरण:
$(x + 2)(x - \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
$2x^2 + x - 6 = 0$
अचर पद $-6$ है।

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-3x^2+2x-1=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = -(-3)/1 = 3$ है।
नए समीकरण $x^3-x-1=0$ के मूल $(\alpha-K), (\beta-K), (\gamma-K)$ हैं।
समीकरण $x^3+0x^2-x-1=0$ के लिए,मूलों का योग $0$ है।
अतः,$(\alpha-K)+(\beta-K)+(\gamma-K) = 0$.
$(\alpha+\beta+\gamma) - 3K = 0$.
मूलों का योग प्रतिस्थापित करने पर: $3 - 3K = 0$.
$3K = 3$,जिससे $K = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = y = \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+7}$.
$y(x^2-4x+7) = x^2-2x+3$
$(y-1)x^2 + (2-4y)x + (7y-3) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(2-4y)^2 - 4(y-1)(7y-3) \geq 0$
$-3y^2 + 6y - 2 \geq 0$
$3y^2 - 6y + 2 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
अतः,न्यूनतम मान $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+2x+5}{x^2+4x+10}$.
चूंकि $x^2+4x+10 = (x+2)^2+6 > 0$,हम लिख सकते हैं:
$y(x^2+4x+10) = x^2+2x+5$
$(y-1)x^2 + (4y-2)x + (10y-5) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (4y-2)^2 - 4(y-1)(10y-5) \geq 0$
$4(2y-1)^2 - 4(y-1)(5)(2y-1) \geq 0$
$4(2y-1) [ (2y-1) - 5(y-1) ] \geq 0$
$4(2y-1)(4-3y) \geq 0$
$(2y-1)(3y-4) \leq 0$.
अतः,$\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{4}{3}$.
न्यूनतम मान $\frac{1}{2}$ है.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 + 4kx + 3 = 0$ है।
मूलों के वास्तविक न होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac < 0$
$(4k)^2 - 4(3)(3) < 0$
$16k^2 - 36 < 0$
$16k^2 < 36$
$k^2 < 9/4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|k| < 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$-3/2 < k < 3/2$।
इस प्रकार,$k$ अंतराल $(-3/2, 3/2)$ में स्थित है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $16x^2-10x+1=0$
गुणनखंड करने पर: $16x^2-8x-2x+1=0$
$\Rightarrow 8x(2x-1)-1(2x-1)=0$
$\Rightarrow (8x-1)(2x-1)=0$
मूल $x_1 = \frac{1}{8}$ और $x_2 = \frac{1}{2}$ हैं।
मूलों की चतुर्थ घात का योग:
$(\frac{1}{8})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4096} + \frac{1}{16}$
$= \frac{1 + 256}{4096} = \frac{257}{4096}$

(C) द्विघात समीकरण $x^2+2(k+2)x+6k+7=0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = b^2 - 4ac = 0$।
$ax^2+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$b=2(k+2)$,और $c=6k+7$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[2(k+2)]^2 - 4(1)(6k+7) = 0$
$4(k^2+4k+4) - 24k - 28 = 0$
$4k^2 + 16k + 16 - 24k - 28 = 0$
$4k^2 - 8k - 12 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$k^2 - 2k - 3 = 0$
$(k-3)(k+1) = 0$
अतः,$k_1 = 3$ और $k_2 = -1$।
इसलिए,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$।

(D) दिया गया है कि $(3+2 \sqrt{2}) \cdot (3-2 \sqrt{2}) = 9-8 = 1$.
अतः,$(3-2 \sqrt{2}) = \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$.
माना $y = (3+2 \sqrt{2})^{x^2-4}$.
समीकरण $y + \frac{1}{y} = 6$ हो जाता है,जो $y^2 - 6y + 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $y$ के लिए हल करने पर,$y = 3 \pm 2 \sqrt{2}$.
स्थिति $1$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3+2 \sqrt{2}$ $\Rightarrow x^2-4 = 1$ $\Rightarrow x^2 = 5$.
स्थिति $2$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3-2 \sqrt{2} = (3+2 \sqrt{2})^{-1}$ $\Rightarrow x^2-4 = -1$ $\Rightarrow x^2 = 3$.
यदि $x^2 = 5$ है,तो $x^4+x^2+5 = (5)^2 + 5 + 5 = 35$.
यदि $x^2 = 3$ है,तो $x^4+x^2+5 = (3)^2 + 3 + 5 = 17$.
दिए गए विकल्पों में $35$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $35$ है।

(D) माना समीकरण $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल $\alpha, \alpha, \alpha, \beta$ हैं।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$3\alpha + \beta = -a$
$3\alpha^2 + 3\alpha\beta = b$
$\alpha^3 + 3\alpha^2\beta = -c$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = \frac{6c-ab}{3a^2-8b}$

(B) दिया गया समीकरण $f(x) = ax^3 + ax^2 + bx + c = 0$ है।
चूंकि $x = -1$ एक दो बार पुनरावृत्त मूल है,इसलिए $f(-1) = 0$ और $f'(-1) = 0$ होगा।
सबसे पहले,$f(-1) = a(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -a + a - b + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = b$।
अगला,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3ax^2 + 2ax + b$।
$f'(-1) = 0$ रखने पर: $3a(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3a - 2a + b = a + b = 0$।
इससे $a = -b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $a:b:c = (-b):b:b = -1:1:1$।

(B) माना समीकरण $ax^3+bx+c=0$ के मूल $2\alpha, \alpha, \beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $2\alpha + \alpha + \beta = 0$ है (क्योंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है),इसलिए $\beta = -3\alpha$।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $(2\alpha)(\alpha) + (\alpha)(\beta) + (2\alpha)(\beta) = \frac{b}{a}$ है।
$\beta = -3\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $2\alpha^2 + \alpha(-3\alpha) + 2\alpha(-3\alpha) = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha^2 - 6\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow -7\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha^2 = -\frac{b}{7a}$।
मूलों का गुणनफल $(2\alpha)(\alpha)(\beta) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2(-3\alpha) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow -6\alpha^3 = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow \alpha^3 = \frac{c}{6a}$।
गुणनफल समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha^3)^2 = (\frac{c}{6a})^2 \Rightarrow \alpha^6 = \frac{c^2}{36a^2}$।
योग समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर: $(\alpha^2)^3 = (-\frac{b}{7a})^3 \Rightarrow \alpha^6 = -\frac{b^3}{343a^3}$।
$\alpha^6$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{c^2}{36a^2} = -\frac{b^3}{343a^3}$ $\Rightarrow 343ac^2 = -36b^3$ $\Rightarrow 36b^3 + 343ac^2 = 0$।

(C) माना $y = \sqrt{x^2-1}$. व्यंजक $(x+y)^8 + (x-y)^8$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^8 + (x-y)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k$.
$y^2 = x^2-1$ प्रतिस्थापित करने पर,पद इस प्रकार हैं:
$2 [ \binom{8}{0} x^8 + \binom{8}{2} x^6(x^2-1) + \binom{8}{4} x^4(x^2-1)^2 + \binom{8}{6} x^2(x^2-1)^3 + \binom{8}{8} (x^2-1)^4 ]$.
$x$ की उच्चतम घात $x^8$ है।
$x^8$ का गुणांक $2 [ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} ]$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$.
अतः,योग $2 \times 2^{8-1} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{3x^3-x^2-2x+17}{x^4+x^2-12}$ है।
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+x^2-12 = (x^2-3)(x^2+4)$.
माना $\frac{3x^3-x^2-2x+17}{(x^2-3)(x^2+4)} = \frac{x+2}{x^2-3} + \frac{Ax+B}{x^2+4}$.
दोनों पक्षों से $\frac{x+2}{x^2-3}$ घटाने पर:
$\frac{Ax+B}{x^2+4} = \frac{3x^3-x^2-2x+17 - (x+2)(x^2+4)}{(x^2-3)(x^2+4)}$.
अंश की गणना: $3x^3-x^2-2x+17 - (x^3+2x^2+4x+8) = 2x^3-3x^2-6x+9$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(2x-3) - 3(2x-3) = (x^2-3)(2x-3)$.
अतः,$\frac{Ax+B}{x^2+4} = \frac{(x^2-3)(2x-3)}{(x^2-3)(x^2+4)} = \frac{2x-3}{x^2+4}$.
इसलिए,दूसरा आंशिक भिन्न $\frac{2x-3}{x^2+4}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-ax^2+bx-c=0$ $(i)$.
माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $(i)$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma=a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b$
$\alpha\beta\gamma=c$
दिया गया है कि मूलों के घनों का योग शून्य है: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0$.
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$.
मान रखने पर: $0-3c = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$.
$-3c = a(a^2-3b)$.
$-3c = a^3-3ab$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^3+3c = 3ab$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+0x^2+2x+5=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -5$
हमें $\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,इसलिए $\beta+\gamma = -\alpha$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2} = \sum \frac{-\alpha}{\alpha^2} = \sum -\frac{1}{\alpha} = -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{2}{-5}\right) = \frac{2}{5}$

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
हमें $\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{\beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2 + \alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2} = \frac{(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)}{(\alpha\beta\gamma)^2}$.
मान रखने पर:
$= \frac{b^2 - 2(c)(a)}{c^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$,$x^3+3x+2=0$ के मूल हैं।
न्यूटन के योग सूत्र के अनुसार,मान लीजिए $S_n = \alpha_1^n + \alpha_2^n + \alpha_3^n$.
समीकरण $x^3 + 0x^2 + 3x + 2 = 0$ है।
$n=1$ के लिए: $S_1 + 0 = 0 \Rightarrow S_1 = 0$.
$n=2$ के लिए: $S_2 + 0(S_1) + 3(2) = 0 \Rightarrow S_2 = -6$.
$n=3$ के लिए: $S_3 + 0(S_2) + 3(S_1) + 2(3) = 0 \Rightarrow S_3 = -6$.
$n=4$ के लिए: $S_4 + 0(S_3) + 3(S_2) + 2(S_1) = 0$ $\Rightarrow S_4 + 3(-6) + 2(0) = 0$ $\Rightarrow S_4 = 18$.
$n=5$ के लिए: $S_5 + 0(S_4) + 3(S_3) + 2(S_2) = 0 \Rightarrow S_5 + 3(-6) + 2(-6) = 0$.
$S_5 - 18 - 12 = 0 \Rightarrow S_5 = 30$.

(C) माना $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3} i$ है। चूंकि गुणांक पूर्णांक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\bar{\alpha} = \sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी एक मूल होगा। इसके अतिरिक्त,चूंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,इसलिए $-\sqrt{2}+\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी मूल होंगे।
बहुपद इस प्रकार है:
$(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3} i)) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$((x-\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x-\sqrt{2})+\sqrt{3} i) \times ((x+\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x+\sqrt{2})+\sqrt{3} i) = 0$
$((x-\sqrt{2})^2 + 3)((x+\sqrt{2})^2 + 3) = 0$
$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 5)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 5) = 0$
$(x^2+5)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = 0$
$x^4 + 10x^2 + 25 - 8x^2 = 0$
$x^4 + 2x^2 + 25 = 0$

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+3x^2+4x+5=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -5$
माना $A=1+4\alpha, B=1+4\beta, C=1+4\gamma$।
मूलों का योग: $A+B+C = 3+4(\alpha+\beta+\gamma) = 3+4(-3) = -9$।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $AB+BC+CA = 3+8(\alpha+\beta+\gamma) + 16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3+8(-3)+16(4) = 43$।
मूलों का गुणनफल: $ABC = 1+4(\alpha+\beta+\gamma)+16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+64(\alpha\beta\gamma) = 1-12+64-320 = -267$।
अपेक्षित त्रिघात समीकरण $x^3 - (A+B+C)x^2 + (AB+BC+CA)x - ABC = 0$ है।
मान रखने पर: $x^3+9x^2+43x+267=0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $z = (1+i \sqrt{3})^{3/4}$.
हम जानते हैं कि एक सम्मिश्र संख्या $w = z^n$ के लिए,जहाँ $n = p/q$ है,$q$ मानों का गुणनफल $(-1)^{q-1} (z^p)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = |1+i\sqrt{3}| = 2$ है।
अतः,$r^3 = 2^3 = 8$ होगा।
गणना करने पर,चार मानों का गुणनफल $8$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए मूल $z_1 = 2 - 3i$,$z_2 = i$ और $z_3 = \bar{z}_1 = 2 + 3i$ हैं।
त्रिघात समीकरण $(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(z - i)(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = 0$.
अंतिम दो कारकों का गुणनफल: $(z - (2 - 3i))(z - (2 + 3i)) = z^2 - 4z + 13$.
अब,$(z - i)$ से गुणा करने पर: $(z - i)(z^2 - 4z + 13) = z^3 + (-4 - i)z^2 + (13 + 4i)z - 13i = 0$.
$z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,$b = -4 - i$,$c = 13 + 4i$,और $d = -13i$ प्राप्त होता है।
अतः,$b + c + d = 9 - 10i$.

(A) दिया गया है $z = (1-i)^3(x+i)$.
सबसे पहले,$(1-i)^3$ का विस्तार करें:
$(1-i)^3 = 1^3 - 3(1)^2(i) + 3(1)(i)^2 - i^3 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.
अब,इसे $z$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$z = (-2 - 2i)(x + i) = -2x - 2i - 2ix - 2i^2 = -2x - 2i - 2ix + 2 = (2 - 2x) - i(2 + 2x)$.
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$2 - 2x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$.
$z$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$-(2 + 2x_2) = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
अतः,$x_1 x_2 = 1 \times (-1) = -1$.

(A) दिया गया है: $z_1 = 2 + 5i$,$z_2 = -1 + 4i$,$z_3 = i$.
सबसे पहले,अंश की गणना करें: $z_1 - z_3 = (2 + 5i) - i = 2 + 4i$.
इसके बाद,हर की गणना करें: $z_3 - z_2 = i - (-1 + 4i) = i + 1 - 4i = 1 - 3i$.
अब,भिन्न पर विचार करें: $\frac{z_1 - z_3}{z_3 - z_2} = \frac{2 + 4i}{1 - 3i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 3i)$ से गुणा करें:
$\frac{(2 + 4i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{2 + 6i + 4i + 12i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{2 + 10i - 12}{1 + 9} = \frac{-10 + 10i}{10} = -1 + i$.
अंत में,मापांक ज्ञात करें: $\left| -1 + i \right| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(D) मान लीजिए $z=x+iy$, तब $z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i(2xy)$.
$C_1$ के लिए, $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2=4$ $(i)$.
$C_2$ के लिए, $\operatorname{Im}(z^2)=2xy=4 \Rightarrow xy=2$ $(ii)$.
$(ii)$ से, $y=\frac{2}{x}$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 4 \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 4$.
मान लीजिए $t=x^2$ $(t > 0)$: $t - \frac{4}{t} = 4 \Rightarrow t^2 - 4t - 4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $t=x^2 > 0$, इसलिए $t = 2+2\sqrt{2}$ होगा।
अतः, $x^2 = 2+2\sqrt{2}$, जो $x$ के दो वास्तविक मान देता है $(x = \pm \sqrt{2+2\sqrt{2}})$.
प्रत्येक $x$ के लिए, $y = \frac{2}{x}$ का एक अद्वितीय वास्तविक मान प्राप्त होता है।
इसलिए, $2$ उभयनिष्ठ बिंदु हैं।

(C) दिया गया है $f(x, y) = (x+y)(x \omega + y \omega^2)(x \omega^2 + y \omega)$.
हम जानते हैं कि $(x \omega + y \omega^2)(x \omega^2 + y \omega) = x^2 \omega^3 + xy \omega^2 + xy \omega^4 + y^2 \omega^3 = x^2 + xy(\omega^2 + \omega) + y^2 = x^2 - xy + y^2$ (चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$).
अतः,$f(x, y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
$x = 2$ और $y = 3$ रखने पर:
$f(2, 3) = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.

(C) माना $z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $A$ है।
अतः $z \cdot A = 1$,जिससे $A = \frac{1}{z}$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $z$ के संयुग्मी $\bar{z}$ से गुणा करने पर:
$A = \frac{1 \cdot \bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
चूंकि $z \cdot \bar{z} = |z|^2$,इसलिए गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ है।
अतः विकल्प $C$ सही है।

(D) एक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि इसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $ad - bc = 0$,जिसका अर्थ है $ad = bc$.
चूंकि $a, b, c, d \in \{-1, 1\}$,$ad$ के संभावित मान $1$ और $-1$ हैं।
$ad = 1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं और $ad = -1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं।
इसी प्रकार,$bc = 1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं और $bc = -1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं।
$ad = bc$ के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $ad = 1$ और $bc = 1$। तरीकों की संख्या $2 \times 2 = 4$ है।
स्थिति $2$: $ad = -1$ और $bc = -1$। तरीकों की संख्या $2 \times 2 = 4$ है।
अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों की कुल संख्या $= 4 + 4 = 8$ है।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $56x + 4y + 9z = 2016$ है।
$2016$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{56x}{2016} + \frac{4y}{2016} + \frac{9z}{2016} = 1$
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$
जिन बिंदुओं पर समतल अक्षों से मिलता है,उनके निर्देशांक $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ और $C(0, 0, 224)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रक $= \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(C) माना $P = (x, y, z)$ है। दिया गया है $A = (2, 3, 4)$ और $B = (-2, 3, 4)$।
$PA + PB = 4$। चूँकि दूरी $AB = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-3)^2 + (4-4)^2} = 4$ है,इसलिए $PA + PB = AB$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
रेखाखंड $AB$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$y=3$ और $z=4$ होता है।
अतः,बिंदुपथ $(y-3)^2 + (z-4)^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $y^2+z^2-6y-8z+25=0$ है।

(A) दिया गया मूल समीकरण: $2x^2 + 3y^2 - z^2 - 8x + 18y + 2z + 9 = 0$ है। \\ अक्षों को बिंदु $(h, k, l) = (2, -3, 1)$ पर स्थानांतरित किया गया है। \\ रूपांतरण समीकरण $x = X + 2$,$y = Y - 3$,और $z = Z + 1$ हैं। \\ इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: \\ $2(X + 2)^2 + 3(Y - 3)^2 - (Z + 1)^2 - 8(X + 2) + 18(Y - 3) + 2(Z + 1) + 9 = 0$ \\ पदों का विस्तार करने पर: \\ $2(X^2 + 4X + 4) + 3(Y^2 - 6Y + 9) - (Z^2 + 2Z + 1) - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ $2X^2 + 8X + 8 + 3Y^2 - 18Y + 27 - Z^2 - 2Z - 1 - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ समान पदों को संयोजित करने पर: \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 + (8X - 8X) + (-18Y + 18Y) + (-2Z + 2Z) + (8 + 27 - 1 - 16 - 54 + 2 + 9) = 0$ \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 - 25 = 0$ \\ अतः,रूपांतरित समीकरण $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 = 25$ है।

(A) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरता है,इसलिए $\beta=f(\alpha)$ है।
इसे रेखा के समीकरण $p\alpha+m\beta+n=0$ में रखने पर,बिंदु $(\alpha, \beta)$ रेखा पर स्थित है।
वक्र $y=f(x)$ की $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $f^{\prime}(\alpha)$ है।
रेखा $px+my+n=0$ की ढाल $-\frac{p}{m}$ है (यह मानते हुए कि $m \neq 0$)।
रेखा के स्पर्शरेखा होने के लिए,ढाल समान होनी चाहिए: $f^{\prime}(\alpha) = -\frac{p}{m}$,जिसका अर्थ है $mf^{\prime}(\alpha) = -p$,या $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$.
अतः,जब $p+mf^{\prime}(\alpha) = 0$ होता है,तो रेखा $(\alpha, \beta)$ पर वक्र की स्पर्शरेखा होती है।

(A) दिया गया वक्र $y=\frac{1+3x^2}{3+x^2}$ है।
$y=1$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$\frac{1+3x^2}{3+x^2} = 1$ $\Rightarrow 1+3x^2 = 3+x^2$ $\Rightarrow 2x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(-1, 1)$ हैं।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{16x}{(3+x^2)^2}$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 1$। अभिलंब की ढाल $m_1 = -1$ होगी।
$(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y+x = 2$ है।
$x=-1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -1$। अभिलंब की ढाल $m_2 = 1$ होगी।
$(-1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-x = 2$ है।
$y+x=2$ और $y-x=2$ को हल करने पर,$x=0$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha, \beta) = (0, 2)$।
इसलिए,$3\alpha+2\beta = 3(0) + 2(2) = 4$।

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 3, 4)$ और $B(-2, 3, 4)$ हैं।
दूरी $AB = 4$ है।
चूँकि $PA + PB = 4$ और $AB = 4$ है,इसलिए बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
अतः,$y = 3$ और $z = 4$ होगा।
इससे $(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y^2 + z^2 - 6y - 8z + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y=x^2+5$ है।
बिंदु $A(-2,9)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$y' = 2x$.
$x = -2$ पर,ढाल $m = 2(-2) = -4$.
चूंकि $A$ पर स्पर्श रेखा जीवा $BC$ के समानांतर है,इसलिए जीवा $BC$ की ढाल भी $-4$ होगी।
मान लीजिए $C$ के निर्देशांक $(x', y')$ हैं,जहाँ $y' = x'^2 + 5$.
जीवा $BC$ की ढाल $\frac{y' - 6}{x' - 1} = -4$.
$y' - 6 = -4(x' - 1)$ $\Rightarrow y' - 6 = -4x' + 4$ $\Rightarrow y' = -4x' + 10$.
$y' = x'^2 + 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x'^2 + 5 = -4x' + 10 \Rightarrow x'^2 + 4x' - 5 = 0$.
$(x' + 5)(x' - 1) = 0$.
अतः,$x' = -5$ या $x' = 1$.
यदि $x' = 1$ है,तो $C$ बिंदु $(1, 6)$ है,जो कि बिंदु $B$ है।
यदि $x' = -5$ है,तो $y' = (-5)^2 + 5 = 30$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(-5, 30)$ हैं।

(C) विकल्प $C$ के लिए,$f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{|x-1|+2(x-1)^2}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}$
$x > 1$ के लिए,$|x-1| = x-1$,इसलिए $f(x) = \frac{x-1}{(x-1)+2(x-1)^2} = \frac{1}{1+2(x-1)} = \frac{1}{2x-1}$.
$x < 1$ के लिए,$|x-1| = -(x-1)$,इसलिए $f(x) = \frac{x-1}{-(x-1)+2(x-1)^2} = \frac{1}{-1+2(x-1)} = \frac{1}{2x-3}$.
अब,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2x-1} = \frac{1}{2(1)-1} = 1$.
और $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2x-3} = \frac{1}{2(1)-3} = -1$.
चूंकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)$,इसलिए $x=1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है।

(C) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 6+x & 36+x^2 \\ 0 & x-3 & 3x^2-27 \\ 0 & 2x-4 & 8x^2-32 \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot [(x-3)(8x^2-32) - (2x-4)(3x^2-27)]$
$f(x) = (8x^3 - 32x - 24x^2 + 96) - (6x^3 - 54x - 12x^2 + 108)$
$f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = 2(x-1)(x-2)(x-3)$.
अब,$f(-x) = 2(-x-1)(-x-2)(-x-3) = -2(x+1)(x+2)(x+3)$.
सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{f(-x)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)(x-2)(x-3)}{-2(x+1)(x+2)(x+3)}$.
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2(1-1)(1-2)(1-3)}{-2(1+1)(1+2)(1+3)} = \frac{0}{-48} = 0$.

(D) $f(x)$ के $x = -1$ पर दाईं ओर से सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = f(-1)$ होना चाहिए।
सीमा $\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\cos^{-1} x}}{\sqrt{x+1}}$ पर $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1} x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x} \sqrt{1+x}}$
$= \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}(-1)} \sqrt{1-(-1)}} = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.
दिया है $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$,अतः तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $2\pi = \lambda \pi$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 2$।

(B) हमें सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ का मूल्यांकन करना है।
दिया गया है $f(0) = 0$,व्यंजक $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right) - 0}{x}$ बन जाता है।
$x$ को रद्द करके व्यंजक को सरल करने पर (चूंकि $x \rightarrow 0$ के रूप में $x \neq 0$):
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right)$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$x^2 \rightarrow 0^+$,इसलिए $\log x^2 \rightarrow -\infty$.
फलन $\sin(\log x^2)$ जैसे $x \rightarrow 0$ होता है,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
इसलिए,सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(\log x^2)$ का अस्तित्व नहीं है।
परिणामस्वरूप,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।

(A) दिया गया सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} e^{-k/n}$ है।
यह $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n(b-a)} \frac{1}{n} f(a + k/n)$ के रूप में एक रीमान योग है।
यहाँ,$f(x) = e^{-x}$,$a=0$,और $b=2$ है।
अतः,समाकलन $\int_0^2 e^{-x} dx$ है।
समाकलन का मान: $\int_0^2 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^2$.
$= -e^{-2} - (-e^0) = 1 - e^{-2}$.

(C) माना $m = \frac{1}{n}$। जैसे $n \rightarrow \infty$,वैसे $m \rightarrow 0$।
$f(x) = \lim _{m \rightarrow 0} \frac{1}{m^2} \left(x^m - x^{\frac{m}{m+1}}\right)$
$f(x) = \lim _{m \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{m}{m+1}}}{m^2} \left(x^{m - \frac{m}{m+1}} - 1\right) = \lim _{m \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{m}{m+1}}}{m^2} \left(x^{\frac{m^2}{m+1}} - 1\right)$
$f(x) = \lim _{m \rightarrow 0} x^{\frac{m}{m+1}} \cdot \left(\frac{x^{\frac{m^2}{m+1}} - 1}{\frac{m^2}{m+1}}\right) \cdot \frac{1}{m+1}$
मानक सीमा $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{a^t - 1}{t} = \log a$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = x^0 \cdot \log x \cdot \frac{1}{0+1} = \log x$
अब,$\int x f(x) d x = \int x \log x d x$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$।
माना $u = \log x$ और $v = x$।
$\int x \log x d x = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} d x$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} d x = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$।

(C) फलन $f(x) = |x-3| + |x+5|$ उन बिंदुओं को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक शून्य होते हैं,जो $x = 3$ और $x = -5$ हैं।
अतः,समुच्चय $A = \mathbb{R} \setminus \{-5, 3\}$ है।
हमें ऐसी वास्तविक संख्याएँ $x$ ज्ञात करनी हैं जो $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ और $x \notin A$ हों।
$x \notin A$ का अर्थ है $x \in \{-5, 3\}$।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x = -5$ अंतराल $(-\infty, -3)$ में स्थित है।
$x = 3$ अंतराल $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ में स्थित नहीं है।
अतः,केवल $-5$ ही वह संख्या है जो दी गई शर्त को पूरा करती है।
इसलिए,ऐसी वास्तविक संख्याओं की संख्या $1$ है।

(B) यह एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसे $A = [a_{ij}]$ द्वारा दर्शाया गया है।
हम प्रत्येक अवयव $a_{ij} = \frac{1}{3}|i - 5j|$ की गणना करते हैं:
$a_{11} = \frac{1}{3}|1 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-4| = \frac{4}{3}$
$a_{12} = \frac{1}{3}|1 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-9| = 3$
$a_{13} = \frac{1}{3}|1 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-14| = \frac{14}{3}$
$a_{21} = \frac{1}{3}|2 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-3| = 1$
$a_{22} = \frac{1}{3}|2 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-8| = \frac{8}{3}$
$a_{23} = \frac{1}{3}|2 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-13| = \frac{13}{3}$
$a_{31} = \frac{1}{3}|3 - 5(1)| = \frac{1}{3}|-2| = \frac{2}{3}$
$a_{32} = \frac{1}{3}|3 - 5(2)| = \frac{1}{3}|-7| = \frac{7}{3}$
$a_{33} = \frac{1}{3}|3 - 5(3)| = \frac{1}{3}|-12| = 4$
अतः,आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3} & 3 & \frac{14}{3} \\ 1 & \frac{8}{3} & \frac{13}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & 4\end{array}\right]$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$ होगा।
$A$ और $A^T$ के अवयवों की तुलना करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & y \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & x & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें $y = 1$ और $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,जांचें कि क्या इन मानों के लिए $A$ अव्युत्क्रमणीय है,अर्थात $|A| = 0$ है।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4 - 1) - 2(4 - 1) + 1(2 - 2) = 1(3) - 2(3) + 0 = 3 - 6 = -3$.
चूंकि $|A| = -3 \neq 0$,इसलिए $(x, y)$ के ऐसे कोई मान नहीं हैं जो दोनों शर्तों को एक साथ पूरा करते हों।
अतः,ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या $0$ है।

(C) $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $\operatorname{adj}(A) \cdot A = \operatorname{det}(A) \cdot I_n$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A) \cdot A) = \operatorname{det}(\operatorname{det}(A) \cdot I_n)$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n \cdot \operatorname{det}(I_n)$ है।
चूंकि $\operatorname{det}(I_n) = 1$,यह समीकरण $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n$ में सरल हो जाता है।
$n=3$ कोटि के आव्यूह के लिए,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^3$ होता है।
दोनों पक्षों को $\operatorname{det}(A)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $\operatorname{det}(A) \neq 0$),हमें $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $2A + 3B - 5C = 0$ है।
$C$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $5C = 2A + 3B$ प्राप्त होता है।
आव्यूह $A$ और $B$ का मान रखने पर:
$5C = 2\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -3\end{array}\right] + 3\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 3\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4 & 2 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 4 & -6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cccc}6 & 3 & 0 & 9 \\ 3 & -3 & 6 & 9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}4+6 & 2+3 & 6+0 & -2+9 \\ 2+3 & -4-3 & 4+6 & -6+9\end{array}\right]$
$5C = \left[\begin{array}{cccc}10 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & -7 & 10 & 3\end{array}\right]$
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $C = \left[\begin{array}{cccc}10/5 & 5/5 & 6/5 & 7/5 \\ 5/5 & -7/5 & 10/5 & 3/5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 6/5 & 7/5 \\ 1 & -7/5 & 2 & 3/5\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $X^T B^T = A^T$। दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर,$(X^T B^T)^T = (A^T)^T$,जिसका अर्थ है $BX = A$।
सबसे पहले,$B$ का सारणिक ज्ञात करें: $|B| = 3(0 - (-8)) - 5(0 - 48) - 7(0 - (-6)) = 3(8) - 5(-48) - 7(6) = 24 + 240 - 42 = 222$।
$B$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$X = B^{-1}A = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix}$।
$X = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 0 - 42 + 264 \\ 0 - 252 - 192 \\ 0 - 198 - 24 \end{bmatrix} = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 222 \\ -444 \\ -222 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$।
इसलिए,$D = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$।
अंत में,$D^T A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix} = (1)(0) + (-2)(-6) + (-1)(8) = 0 + 12 - 8 = 4$।

(C) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix}$
अब,इस परिणाम का तीसरे आव्यूह के साथ गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
इससे अदिश समीकरण प्राप्त होता है: $x(2x+4) + 4(x-2) + 4(-1) = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $2x^2 + 4x + 4x - 8 - 4 = 0$
सरल करने पर: $2x^2 + 8x - 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + 4x - 6 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
आव्यूहों का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = x \cos \theta - y \sin \theta$ $(i)$
$\beta = x \sin \theta + y \cos \theta$ $(ii)$
$\gamma = z$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (x \cos \theta - y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta + y \cos \theta)^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
$\alpha^2 + \beta^2 = x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = x^2 + y^2$
अब,व्यंजक $\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma}$ पर विचार करें।
$x^2+y^2 = \alpha^2+\beta^2$ और $z = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2+y^2+z^2}{\gamma} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\gamma}$
चूँकि $\gamma = z$,इसलिए यह $\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{z}$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $[x \ y \ z] A^{T} = B^{T}$। दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $([x \ y \ z] A^{T})^{T} = (B^{T})^{T}$।
इसका अर्थ है $A [x \ y \ z]^{T} = B$।
आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$।
इससे रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + 5y + 3z = -1$ ...$(i)$
$2x + 4y = -2 \implies x + 2y = -1 \implies x = -1 - 2y$ ...(ii)
$3x - y - 5z = 4$ ...(iii)
समीकरण $(i)$ में $x = -1 - 2y$ रखने पर:
$(-1 - 2y) + 5y + 3z = -1 \implies 3y + 3z = 0 \implies y = -z$।
समीकरण (iii) में $x = -1 - 2y$ और $y = -z$ रखने पर:
$3(-1 - 2(-z)) - (-z) - 5z = 4$
$3(-1 + 2z) + z - 5z = 4$
$-3 + 6z - 4z = 4 \implies 2z = 7 \implies z = 3.5$।
अतः $y = -3.5$ और $x = -1 - 2(-3.5) = -1 + 7 = 6$।
इस प्रकार,$x + y + z = 6 - 3.5 + 3.5 = 6$।

(B) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix}$ हैं।
दोनों आव्यूह $A$ और $B$ की कोटि $2 \times 3$ है।
इसलिए,$A^T$ और $B^T$ की कोटि $3 \times 2$ है।
अब,$A^T B B^T A$ की कोटि की जाँच करते हैं:
$A^T B B^T A$ की कोटि = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
इसी प्रकार,$B^T A A^T B$ की कोटि = $(3 \times 2) \times (2 \times 3) \times (3 \times 2) \times (2 \times 3) = 3 \times 3$.
चूँकि दोनों व्यंजकों $A^T B B^T A$ और $B^T A A^T B$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए उनकी कोटि समान है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसके विकर्ण अवयव शून्य हैं,अर्थात $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.
मान लीजिए $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$ और $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3) = 3I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
आव्यूह का ट्रेस (Trace) उसके विकर्ण अवयवों का योग होता है।
किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,एक विकर्ण आव्यूह $D$ और $A$ का गुणनफल $(DA)$ एक ऐसा आव्यूह देता है जिसके विकर्ण अवयव $d_{ii} \times a_{ii}$ होते हैं। चूँकि $a_{ii} = 0$,इसलिए $DA$ के विकर्ण अवयव $0$ होते हैं।
अतः,$\operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,$\operatorname{diag}(D_1 A) = (0, 0, 0)$,और $\operatorname{diag}(D_2 A) = (0, 0, 0)$।
अब,ट्रेस के अंदर के व्यंजक पर विचार करें: $M = D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A$।
$M$ के विकर्ण अवयव $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) + \operatorname{diag}(D_1 A) + \operatorname{diag}(D_2 A) + \operatorname{diag}(D_1 D_2 A)$ हैं।
चूँकि $\operatorname{diag}(D_1 A) = \operatorname{diag}(D_2 A) = \operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,इसलिए $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) = (3a, 3b, 3c)$।
अतः,$\operatorname{Tr}(M) = 3a + 3b + 3c$।
हमें $\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2)$ की गणना करनी है।
$\operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (a+3) + (b+3) + (c+3) = a + b + c + 9$।
अंत में,$\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (3a + 3b + 3c) - (a + b + c + 9) = 2a + 2b + 2c - 9$।

(B) दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$।
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को अद्वितीय रूप से $A = P + Q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
हम जानते हैं कि किसी भी सममित आव्यूह $P$ के लिए $P^T = P$,और किसी भी विषम-सममित आव्यूह $Q$ के लिए $Q^T = -Q$ होता है।
इसलिए,$P^T - Q^T = P - (-Q) = P + Q = A$।
अतः,$P^T - Q^T = A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$M^{-1} = \frac{\operatorname{Adj}(M)}{\operatorname{det}(M)}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Adj}(M) = \operatorname{det}(M) \cdot M^{-1}$.
दिया गया व्यंजक $((\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)) B^{-1} A^{-1}$ है।
चूंकि $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$,हम व्यंजक को $\operatorname{det}(AB) \cdot (B^{-1} A^{-1})$ के रूप में लिख सकते हैं।
आव्यूह व्युत्क्रम के गुण का उपयोग करते हुए,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
इसलिए,व्यंजक $\operatorname{det}(AB) \cdot (AB)^{-1}$ हो जाता है।
एडजॉइंट आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,यह $\operatorname{Adj}(AB)$ के बराबर है।

(A) सबसे पहले,हम $S$ का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात करते हैं। सारणिक $|S| = 0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0) = 1 + 1 = 2$ है।
$S$ का सहखंडज (adjugate) $\text{adj}(S) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$S^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
इसके बाद,हम $SA$ की गणना करते हैं: $SA = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b+c & c-a & b-a \\ c-b & c+a & a-b \\ b-c & a-c & a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S$ है।
इसलिए,$SAS^{-1} = (SA)S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} I = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$।

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ है।
अवयव $3, 7, 6$ तीसरे स्तंभ $(C_3)$ में हैं।
अवयव $3$ $(A_{13})$ का सहखंड $a$: $a = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (16 - (-2)) = 18$.
अवयव $7$ $(A_{23})$ का सहखंड $b$: $b = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -(4 - 4) = 0$.
अवयव $6$ $(A_{33})$ का सहखंड $c$: $c = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 8) = -9$.
हमें $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix}$ की गणना करनी है।
यह $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 18 & 0 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 8 \end{bmatrix}$ के बराबर है।
$= (18 \times 4) + (0 \times 11) + (-9 \times 8) = 72 + 0 - 72 = 0$.

(D) दिया गया है $BAC = I$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें $(BAC)^{-1} = I^{-1} = I$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $C^{-1}A^{-1}B^{-1} = I$ है।
बाएँ पक्ष में $C$ और दाएँ पक्ष में $B$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1} = CB$ प्राप्त होता है।
अब,गुणनफल $CB$ की गणना करें:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (-1)(2)+(0)(1)+(1)(-1) & (-1)(6)+(0)(0)+(1)(1) & (-1)(4)+(0)(1)+(1)(-1) \\ (1)(2)+(1)(1)+(3)(-1) & (1)(6)+(1)(0)+(3)(1) & (1)(4)+(1)(1)+(3)(-1) \\ (2)(2)+(0)(1)+(2)(-1) & (2)(6)+(0)(0)+(2)(1) & (2)(4)+(0)(1)+(2)(-1) \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (-\cot \theta)(-\cot \theta) - (\operatorname{cosec} \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = \cot^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta = -1$ की गणना करें।
अब,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = -1 \begin{bmatrix} -\cot \theta & -\operatorname{cosec} \theta \\ -\operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
$A^{-1} = A$ के लिए:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $\cot \theta = -\cot \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cot \theta = 0$,इसलिए $\cot \theta = 0$। यह $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ पर होता है।
$A^{-1} + A = O$ के लिए:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \operatorname{cosec} \theta \\ 2 \operatorname{cosec} \theta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
इसका अर्थ है $2 \operatorname{cosec} \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\operatorname{cosec} \theta = 0$। चूँकि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,यह किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए कभी शून्य नहीं हो सकता। अतः,ऐसी $\theta_2$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda(1-\lambda) - 1] = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda + \lambda^2 - 1] = 0$
$-\lambda + \lambda^2 - 1 + \lambda^2 - \lambda^3 + \lambda = 0$
$\lambda^3 - 2\lambda^2 + 1 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - 2A^2 + I = 0$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^3 A^{-1} - 2A^2 A^{-1} + I A^{-1} = 0$
$A^2 - 2A + A^{-1} = 0$
$A^{-1} = 2A - A^2$.

(D) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम संभव नहीं होता यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $\det(A) = 0$।
आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$\det(A) = 1(x - 1) - 1(1 - x) + x(1 - x^2) = 0$
$x - 1 - 1 + x + x - x^3 = 0$
$-x^3 + 3x - 2 = 0$
$x^3 - 3x + 2 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$
$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$
$(x - 1)^2(x + 2) = 0$
$x$ के मान $1$ और $-2$ प्राप्त होते हैं।
$x$ के भिन्न मान $1$ और $-2$ हैं।
इन भिन्न मानों का योग $1 + (-2) = -1$ है।

(C) आव्यूह $P$ की कोटि $m \times n$ है।
आव्यूह $P$ की रैंक,जिसे $\rho$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसके आयामों के न्यूनतम मान से अधिक नहीं हो सकती है।
इसलिए,$\rho \leq \min(m, n)$ ...$(i)$
परिभाषा के अनुसार,एक आव्यूह की रैंक सबसे बड़े व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह की कोटि होती है।
चूंकि $k$ कोटि का एक व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह विद्यमान है,इसलिए रैंक $\rho$ कम से कम $k$ होनी चाहिए।
इसलिए,$\rho \geq k$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k \leq \rho \leq \min(m, n)$.

(A) किसी आव्यूह की कोटि (rank) सबसे बड़े व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह की कोटि के रूप में परिभाषित होती है।
चूंकि $k$ कोटि के सभी उप-आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) हैं,इसलिए कोटि $\rho$ का मान $k$ से कम होना चाहिए,अर्थात $\rho < k$ ... $(i)$।
चूंकि $r$ कोटि का कम से कम एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह मौजूद है,इसलिए कोटि $\rho$ का मान कम से कम $r$ होना चाहिए,अर्थात $r \leq \rho$ ... (ii)।
असमानताओं $(i)$ और (ii) को मिलाने पर,हमें $r \leq \rho < k$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हुए:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow -\frac{1}{3}R_2$ और $R_3 \rightarrow -\frac{1}{2}R_3$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $2$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8 \end{array}\right]$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$ करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
$R_3$ और $R_4$ को आपस में बदलने पर:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $3$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $3$ है।

(A) दिए गए आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$,और $C=\left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$ हैं।
आव्यूहों के वर्गों की गणना करने पर:
$A^2 = \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & (-i)^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$B^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$C^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
वर्गों का योग:
$A^2+B^2+C^2 = (-I) + (-I) + (-I) = -3I = \left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right]$.
अब,$3 A^2 B^2 C^2$ की गणना करने पर:
$3 A^2 B^2 C^2 = 3(-I)(-I)(-I) = 3(-I)^3 = 3(-I) = -3I$.
चूंकि $A^2+B^2+C^2 = -3I$ और $3 A^2 B^2 C^2 = -3I$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A^2+B^2+C^2 = 3 A^2 B^2 C^2$।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} 3x^2+x+3 & 2x^2-x+4 & 7x^2+8x+5 \\ 5x^2+3x+2 & 4x^2-2x-1 & 7x^2+5x+8 \\ 3x^2+2x+5 & 4x^2-x-2 & 3x^2+8x+7 \end{bmatrix} = Px^2+Qx+R$.
आव्यूह $R$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए व्यंजक में $x=0$ रखते हैं:
$R = \begin{bmatrix} 3(0)^2+0+3 & 2(0)^2-0+4 & 7(0)^2+8(0)+5 \\ 5(0)^2+3(0)+2 & 4(0)^2-2(0)-1 & 7(0)^2+5(0)+8 \\ 3(0)^2+2(0)+5 & 4(0)^2-0-2 & 3(0)^2+8(0)+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & -1 & 8 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix}$.
अब,हम $R$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det R = 3((-1)(7) - (8)(-2)) - 4((2)(7) - (8)(5)) + 5((2)(-2) - (-1)(5))$
$\det R = 3(-7 + 16) - 4(14 - 40) + 5(-4 + 5)$
$\det R = 3(9) - 4(-26) + 5(1)$
$\det R = 27 + 104 + 5 = 136$.

(A) समीकरणों के निकाय को मैट्रिक्स रूप $AX=B$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
ऑगमेंटेड मैट्रिक्स है: $\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 3 & -1 & 2 & : & 1 \\ 2 & -2 & 3 & : & 2\end{array}\right]$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-3R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-2R_1$ को लागू करने पर:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & -6 & 5 & : & -4\end{array}\right]$
$R_3 \rightarrow 7R_3-6R_2$ लागू करने पर:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & 0 & 5 & : & 20\end{array}\right]$
चूंकि $\operatorname{Rank}(A:B)=\operatorname{Rank}(A)=3$,निकाय का एक अद्वितीय हल है।
रो-एशेलोन रूप से:
$5z=20 \Rightarrow z=4$
$-7y+5(4)=-8 \Rightarrow -7y=-28 \Rightarrow y=4$
$x+2(4)-4=3 \Rightarrow x+4=3 \Rightarrow x=-1$
अतः,$\alpha=-1, \beta=4, \gamma=4$.
इसलिए $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (-1)^2 + 4^2 + 4^2 = 1 + 16 + 16 = 33$.

(B) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right]$।
अभिलक्षणिक समीकरण $|A-\lambda I|=0$ द्वारा दिया जाता है।
$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1 & 3 \\ 5 & 2-\lambda & 6 \\ -2 & -1 & -3-\lambda\end{array}\right|=0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1-\lambda)[(2-\lambda)(-3-\lambda) - (-6)] - 1[5(-3-\lambda) - (-12)] + 3[5(-1) - (-2)(2-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)[\lambda^2+\lambda-6+6] - 1[-15-5\lambda+12] + 3[-5+4-2\lambda] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2+\lambda) - 1(-5\lambda-3) + 3(-2\lambda-1) = 0$
$\lambda^2+\lambda-\lambda^3-\lambda^2 + 5\lambda+3 - 6\lambda-3 = 0$
$-\lambda^3 = 0 \Rightarrow \lambda^3 = 0$.
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^3 = 0$.
चूंकि $A^3 = 0$,इसलिए $A^4 = A^3 \cdot A = 0$ और $A^5 = A^3 \cdot A^2 = 0$.
अतः,$A+A^3+A^4+A^5+3I = A + 0 + 0 + 0 + 3I = A + 3I$.
$A+3I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 6 \\ -2 & -1 & 0\end{array}\right]$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - x$ और $g(x) = \sin^2 x$।
सबसे पहले,$g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ की गणना करें:
$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
अब,इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$f\left(g\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{1}{4} = \frac{1}{64} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 16}{64} = -\frac{15}{64}$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$. प्रांत $a^2 - x^2 \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है,अतः $x \in [-|a|, |a|]$ ($x=0$ को छोड़कर)।
$x \in (0, |a|]$ के लिए,$f(x) = \frac{a}{b} + \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1}$।
माना $g(x) = \frac{a^2}{x^2} - 1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $|a|$ तक बढ़ता है,$g(x)$,$\infty$ से $0$ तक घटता है।
अतः,$f(x)$ अपने प्रांत के अंतरालों पर एकदिष्ट फलन है।
चूंकि फलन अपने प्रांत पर एकदिष्ट है,इसलिए यह एकैकी है।
परिसर के लिए,जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to |a|$,$f(x) = \frac{a^2}{b|a|} = \frac{|a|}{b}$।
चूंकि फलन अपने सह-प्रांत में सभी वास्तविक मानों को कवर करता है,इसलिए यह आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(A) दिया गया है: $f(x) = \frac{2x+1}{3}$ ...$(i)$
साथ ही,$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$।
फलन की परिभाषा में $\alpha$ रखने पर:
$\frac{2\alpha+1}{3} = \frac{1}{\alpha}$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha = 3$
$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2\alpha^2 + 3\alpha - 2\alpha - 3 = 0$
$\Rightarrow \alpha(2\alpha + 3) - 1(2\alpha + 3) = 0$
$\Rightarrow (\alpha - 1)(2\alpha + 3) = 0$
अतः,$\alpha$ के संभावित मान $\alpha = 1$ और $\alpha = -\frac{3}{2}$ हैं।
$\alpha$ के सभी संभावित मानों का योग $1 + (-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $2^x+2^y=2$ है।
चूँकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $2^y > 0$ होता है,इसलिए $2-2^x > 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $2^x < 2$।
दोनों पक्षों का आधार $2$ पर लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें $x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $x \in (-\infty, 1)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 3x-1, & x > 1 \\ x^2+1, & x \leq 1 \end{cases}$ है।
$1$. प्रांत $A$ सभी संभावित $x$ मानों का समुच्चय है। चूंकि फलन $x > 1$ और $x \leq 1$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $A = (-\infty, 1] \cup (1, \infty) = (-\infty, \infty) = R$.
$2$. परिसर $B$ ज्ञात करने के लिए,हम फलन के दो भागों का विश्लेषण करते हैं:
$x > 1$ के लिए,$f(x) = 3x - 1$. जैसे $x \to 1^+$,$f(x) \to 2$. अतः,$f(x) \in (2, \infty)$.
$x \leq 1$ के लिए,$f(x) = x^2 + 1$. न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $f(0) = 1$. जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$. अतः,$f(x) \in [1, \infty)$.
$3$. परिसर $B$ इन अंतरालों का संघ है: $B = (2, \infty) \cup [1, \infty) = [1, \infty)$.
$4$. अंत में,$A - B = R - [1, \infty) = (-\infty, 1)$.

(C) दिया गया है: $f(x) = x^3 - x$ और $g(x) = \sin(2x)$.
हमें $f(g(x)) > 0$ को हल करना है।
$f(g(x)) = (\sin 2x)^3 - \sin 2x > 0$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $\sin 2x (\sin^2 2x - 1) > 0$.
चूंकि $\sin^2 2x - 1 = -\cos^2 2x$,इसलिए: $-\sin 2x \cos^2 2x > 0$.
इसका अर्थ है $\sin 2x \cos^2 2x < 0$.
इसके लिए,$\sin 2x < 0$ और $\cos 2x \neq 0$ होना चाहिए।
अंतराल $x \in (0, 2\pi)$ में,$2x \in (0, 4\pi)$.
$\sin 2x < 0$ तब होता है जब $2x \in (\pi, 2\pi) \cup (3\pi, 4\pi)$,जिसका अर्थ है $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
साथ ही,$\cos 2x \neq 0$ का अर्थ है $2x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,इसलिए $x \neq \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
इन बिंदुओं को अंतराल से बाहर करने पर,हमें $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi)$ हल समुच्चय का एक हिस्सा है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ है।
फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$9 - x^2 \geq 0$
$x^2 \leq 9$
$-3 \leq x \leq 3$
चूंकि $x^2$ का मान $0$ से $9$ के बीच है,इसलिए $9 - x^2$ का मान $9 - 9 = 0$ से $9 - 0 = 9$ के बीच होगा।
अतः,$\sqrt{9 - x^2}$ का मान $\sqrt{0}$ से $\sqrt{9}$ अर्थात $0$ से $3$ के बीच होगा।
इस प्रकार,फलन का परिसर $[0, 3]$ है।

(C) $x > 3$ के लिए,$f(x) = 4x - 1$। चूँकि $x > 3$,$4x > 12$,इसलिए $4x - 1 > 11$। अतः,इस भाग का परिसर $(11, \infty)$ है।
$-2 \leq x \leq 3$ के लिए,$f(x) = x^2 - 2$। न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,$f(0) = -2$। अधिकतम मान $x = 3$ पर प्राप्त होता है,$f(3) = 7$। अतः,इस भाग का परिसर $[-2, 7]$ है।
$x < -2$ के लिए,$f(x) = 3x + 4$। चूँकि $x < -2$,$3x < -6$,इसलिए $3x + 4 < -2$। अतः,इस भाग का परिसर $(-\infty, -2)$ है।
इन अंतरालों को मिलाने पर: $(-\infty, -2) \cup [-2, 7] \cup (11, \infty) = (-\infty, 7] \cup (11, \infty)$।
इसे $R - (7, 11]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया है $f(a) = \log \left| \frac{1-a}{1+a} \right|$.
हमें $f\left( \frac{2a}{1+a^2} \right) > 0$ को हल करना है।
$x = \frac{2a}{1+a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\log \left| \frac{1 - \frac{2a}{1+a^2}}{1 + \frac{2a}{1+a^2}} \right| > 0$.
इसका अर्थ है $\left| \frac{1+a^2-2a}{1+a^2+2a} \right| > 1$,जो सरल होकर $\left| \frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} \right| > 1$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} > 1 \Rightarrow (1-a)^2 > (1+a)^2$.
$1 - 2a + a^2 > 1 + 2a + a^2$.
$-2a > 2a \Rightarrow 4a < 0 \Rightarrow a < 0$.
इसके अतिरिक्त,हमें डोमेन की शर्तों $a \neq \pm 1$ और $\frac{2a}{1+a^2} \neq \pm 1$ को संतुष्ट करना होगा।
$a < 0$ के लिए,$a \neq -1$ की शर्त को हटाना होगा।
अतः,हल $a \in (-\infty, 0) - \{-1\}$ है।