AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $Y$-અક્ષને સમાંતર ધરી ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(0, 2/5)$,$(4, -2)$ અને $(1, 8/5)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(0 - h)^2 = 4a(2/5 - k) \implies h^2 = 4a(2/5 - k) \quad (i)$
$(4 - h)^2 = 4a(-2 - k) \quad (ii)$
$(1 - h)^2 = 4a(8/5 - k) \quad (iii)$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $h = 3/2$,$k = 7/4$ અને $a = -5/12$ મળે છે.
પરવલયનું સમીકરણ $(x - 3/2)^2 = -5/3(y - 7/4)$ છે.
બિંદુ $(2, 8/5)$ ચકાસતા:
$(2 - 3/2)^2 = 1/4$ અને $-5/3(8/5 - 7/4) = 1/4$.
તેથી,બિંદુ $(2, 8/5)$ પરવલય પર આવેલું છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 12x + 4y + 5 = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$x^2 - 3x + y + \frac{5}{4} = 0$ મળે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x - \frac{3}{2})^2 = -(y - 1)$.
આ સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $h = \frac{3}{2}$,$k = 1$,અને $a = \frac{1}{4}$.
શિરોબિંદુ $V = (\frac{3}{2}, 1)$ છે.
નાભિ $S = (h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ છે.
નિયામિકા $y = k + a = \frac{5}{4}$ છે.
અક્ષ $x = \frac{3}{2}$ છે.
$Z$ એ અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ હોવાથી $Z = (\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$.
$SZ$ ને $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $P = (\frac{3}{2}, \frac{13}{12})$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2-4x-4y+16=0$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x-4-4\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x-4}{4} = \frac{x-2}{2}$.
સ્પર્શક $2x-y-5=0$ નો ઢાળ $m=2$ છે.
વિકલનને ઢાળ સાથે સરખાવતા: $\frac{x-2}{2} = 2$ $\Rightarrow x-2=4$ $\Rightarrow x=6$.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x=6$ મૂકતા: $2(6)-y-5=0$ $\Rightarrow 12-y-5=0$ $\Rightarrow y=7$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $P(6, 7)$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ: $(y-7) = -\frac{1}{2}(x-6)$.
$2y-14 = -x+6 \Rightarrow x+2y-20=0$.
$ax+y+c=0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2}x+y-10=0$.
$ax+y+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=\frac{1}{2}$ અને $c=-10$ મળે છે.
તેથી,$ac = \frac{1}{2} \times (-10) = -5$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 - 4y - 3x + 7 = 0$ છે.
તેને $(y - 2)^2 = 3(x - 1)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં શિરોબિંદુ $(1, 2)$ છે અને $4a = 3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
નાભિ $(h + a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ છે.
નાભિ જીવા $(\frac{7}{4}, 2)$ અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
જીવાનો ઢાળ $m = \frac{5 - 2}{4 - 7/4} = \frac{4}{3}$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{4}{3}(x - 4) \Rightarrow 4x - 3y - 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|-1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{5}$ થાય.

(C) પરવલય $y^2=5x$ છે,તેથી $4a=5 \Rightarrow a=\frac{5}{4}$. નાભિ $S$ એ $\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ છે.
નાભિ જીવા $P(5,5)$ અને $S\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
જીવા $PS$ નો ઢાળ $m = \frac{5-0}{5-\frac{5}{4}} = \frac{5}{15/4} = \frac{4}{3}$ છે.
નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y-0 = \frac{4}{3}\left(x-\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow 3y = 4x-5$ $\Rightarrow 4x-3y=5$ છે.
$Q$ શોધવા માટે,$y^2=5x$ માં $x = \frac{3y+5}{4}$ મૂકતા:
$y^2 = 5\left(\frac{3y+5}{4}\right)$ $\Rightarrow 4y^2 - 15y - 25 = 0$ $\Rightarrow (4y+5)(y-5) = 0$.
$P$ એ $(5,5)$ હોવાથી,$Q$ એ $\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ થશે.
$Q(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શક $yy_1 = \frac{5}{2}(x+x_1)$ છે.
$Q\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ મૂકતા: $y\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{2}\left(x+\frac{5}{16}\right) \Rightarrow -\frac{1}{2}y = x+\frac{5}{16}$.
પરવલયની અક્ષ $y=0$ છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા $x = -\frac{5}{16}$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી બિંદુ $\left(-\frac{5}{16}, 0\right)$ છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $104$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 104$
$n(n-3) = 208$
$n^2 - 3n - 208 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલતા:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 832}}{2}$
$n = \frac{3 \pm 29}{2}$
$n$ ધન હોવાથી,$n = \frac{32}{2} = 16$.
આમ,$n = 16$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{2n} = (1+x)^n (1+x)^n$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(1+x)^{2n} = (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) (C_0 x^n + C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} + \ldots + C_n)$.
$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-r}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{n-r}$ છે,જે $^{2n}C_{n+r}$ ની બરાબર છે.
શ્રેણીનો ગુણાકાર કરતા,$x^{n-r}$ નો સહગુણક $C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n$ મળે છે.
આમ,$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n = {}^{2n}C_{n+r}$.

(C) આપેલ પદ $\frac{1}{\sqrt[3]{(1-2 x)^2}} = (1-2 x)^{-2/3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}z^r + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 2/3$ અને $z = 2x$ છે:
સામાન્ય પદ $\frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}+1)(\frac{2}{3}+2)\dots(\frac{2}{3}+r-1)}{r!}(2x)^r$ છે.
$x^r$ નો સહગુણક $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \dots \cdot \frac{3r-1}{3}}{r!} \cdot 2^r$ છે.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r! \cdot 3^r} \cdot 2^r$.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r!} \left(\frac{2}{3}\right)^r$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+ax)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^3$ નો સહગુણક મેળવતા જવાબ $-\frac{20}{3}$ મળે છે.

(C) દ્વિપદી સહગુણક $^{n}C_{r}$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય તે માટે,$n \geq r \geq 0$ અને $n, r \in \mathbb{N}_0$ હોવું જરૂરી છે.
આપેલ $^{20-2x}C_{x-3} \in N$ માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1) \; x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
$2) \; 20-2x \geq x-3$ $\Rightarrow 23 \geq 3x$ $\Rightarrow x \leq \frac{23}{3} \approx 7.66$
$3) \; 20-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 10$
આ અસમતાઓનું સંયોજન કરતા,આપણને $3 \leq x \leq 7.66$ મળે છે.
$x \in N$ હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $3, 4, 5, 6, 7$ છે.
આમ,ગણમાં $5$ ઘટકો છે.

(A) $(2-3x)^9$ ના વિસ્તરણમાં સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ માટે,આપણે $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ ની શરત ચકાસીએ છીએ.
$x=1$ મૂકતા,$|T_{r+1}| = {^9C_r} 2^{9-r} 3^r$.
$\frac{|T_{r+1}|}{|T_r|} = \frac{9-r+1}{r} \cdot \frac{3}{2} \geq 1$ $\Rightarrow 30-3r \geq 2r$ $\Rightarrow 5r \leq 30$ $\Rightarrow r \leq 6$.
તેથી,$r=6$ માટે સૌથી મોટું પદ મળે છે.
$|T_7| = {^9C_6} 2^3 3^6 = 84 \times 8 \times 729 = 2^5 \times 3^7 \times 7^1$.
અહીં $P_1=2, P_2=3, P_3=7, P_4=11$ છે,તેથી $\alpha=5, \beta=7, \gamma=1, \delta=0$.
$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 5+7+1+0 = 13$.

(D) ધારો કે $P(x) = (x+\sqrt{x^4-1})^9+(x-\sqrt{x^4-1})^9$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(x) = 2 [ \binom{9}{0} x^9 + \binom{9}{2} x^7 (x^4-1) + \binom{9}{4} x^5 (x^4-1)^2 + \binom{9}{6} x^3 (x^4-1)^3 + \binom{9}{8} x^1 (x^4-1)^4 ]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
પદ $1$: $x^9$ (ઘાત $9$).
પદ $2$: $x^7 \cdot x^4 = x^{11}$ (ઘાત $11$).
પદ $3$: $x^5 \cdot (x^4)^2 = x^{13}$ (ઘાત $13$).
પદ $4$: $x^3 \cdot (x^4)^3 = x^{15}$ (ઘાત $15$).
પદ $5$: $x^1 \cdot (x^4)^4 = x^{17}$ (ઘાત $17$).
અભિવ્યક્તિમાં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $17$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $17$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(n) = n! (31-n)!$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(n) = \frac{31!}{\binom{31}{n}}$.
$f(n)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે દ્વિપદી સહગુણક $\binom{31}{n}$ ને મહત્તમ બનાવવો પડે.
દ્વિપદી સહગુણક $\binom{N}{n}$ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $n = \lfloor N/2 \rfloor$ અથવા $n = \lceil N/2 \rceil$ હોય.
$N = 31$ માટે,મહત્તમ કિંમત $n = 15$ અને $n = 16$ પર મળે છે.
તેથી,$f(n)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $f(15) = 15! (31-15)! = 15! 16!$ છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બે પદોનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$(1-3x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(-3x)^2 + \dots = 1 - x - x^2 + \dots$
$(1+2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(2x) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x)^2 + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$
આ વિસ્તરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(1 - x - x^2 + \dots)(1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots)$
$x^2$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે: $(1 \times \frac{3}{2}) + (-1 \times -1) + (-1 \times 1) = \frac{3}{2} + 1 - 1 = \frac{3}{2}$.

(B) $(1+x)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો $^{11}C_r$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, 11$.
આ સહગુણકો: $^{11}C_0, ^{11}C_1, ^{11}C_2, ^{11}C_3, ^{11}C_4, ^{11}C_5, ^{11}C_6, ^{11}C_7, ^{11}C_8, ^{11}C_9, ^{11}C_{10}, ^{11}C_{11}$ છે.
ગુણધર્મ $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{11}C_0 = ^{11}C_{11}, ^{11}C_1 = ^{11}C_{10}, ^{11}C_2 = ^{11}C_9, ^{11}C_3 = ^{11}C_8, ^{11}C_4 = ^{11}C_7, ^{11}C_5 = ^{11}C_6$.
આમ,દ્વિપદી સહગુણકો માટે $6$ ભિન્ન કિંમતો મળે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિકમાં કુલ $9$ ઘટકો $(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3, c_3)$ છે અને દરેક માટે $6$ વિકલ્પો છે.
તેથી,ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની કુલ સંખ્યા $6^9$ થાય.

(A) ધારો કે $(1+x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $T_{r+1}$ અને $T_r$ એ $(r+1)$-મું અને $r$-મું પદ છે.
અહીં $n=15$ અને $x=\frac{1}{2}$ આપેલ છે.
સૌથી મોટા પદ માટે,શરત $T_{r+1} \geq T_r$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$.
સામાન્ય પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{n}C_r x^r}{{}^{n}C_{r-1} x^{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \cdot x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15-r+1}{r} \cdot \frac{1}{2} \geq 1$.
$\frac{16-r}{2r} \geq 1$.
$16-r \geq 2r$.
$3r \leq 16 \Rightarrow r \leq \frac{16}{3} \approx 5.33$.
$r$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી મોટું પદ $r=5$ પર મળે છે,જે $T_{5+1} = T_6$ છે.
$T_6 = {}^{15}C_5 \cdot x^5 = {}^{15}C_5 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} {}^{15}C_5$.

(B) $30^{r}$ એ $30!$ ને ભાગે છે,જ્યાં $30 = 2 \times 3 \times 5$ છે.
$30^{r} = 2^{r} \times 3^{r} \times 5^{r}$ હોવાથી,$r$ એ $30!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2, 3$ અને $5$ ના ઘાતાંકોમાં ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્ર મુજબ,$n!$ માં અવિભાજ્ય $p$ નો ઘાતાંક $E_{p}(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^{k}} \rfloor$ છે.
$p=5$ માટે: $E_{5}(30!) = \lfloor \frac{30}{5} \rfloor + \lfloor \frac{30}{25} \rfloor = 6 + 1 = 7$.
$p=3$ માટે: $E_{3}(30!) = \lfloor \frac{30}{3} \rfloor + \lfloor \frac{30}{9} \rfloor + \lfloor \frac{30}{27} \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14$.
$p=2$ માટે: $E_{2}(30!) = \lfloor \frac{30}{2} \rfloor + \lfloor \frac{30}{4} \rfloor + \lfloor \frac{30}{8} \rfloor + \lfloor \frac{30}{16} \rfloor = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$.
સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $r = \min(26, 14, 7) = 7$ છે.

(D) આપેલ છે $(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} (1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $y = -\frac{5}{2}x$ અને $n = -\frac{1}{5}$:
$(1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5} = 1 + (-\frac{1}{5})(-\frac{5}{2}x) + \frac{(-\frac{1}{5})(-\frac{6}{5})}{2} (\frac{25}{4}x^2) + \ldots$
$= 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 + \ldots$
તેથી,$(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} + \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}x + \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}x^2 + \ldots$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}$ અને $a_2 = \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}$.
તેથી,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{r \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}} = n-r+1$.
$r=1$ માટે,પદ $n$ છે.
$r=2$ માટે,પદ $n-1$ છે.
આમ,સરવાળો $n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1 = \sum_{k=1}^{n} k$ થાય છે.

(C) ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
${}^{(n-1)}C_6 + {}^{(n-1)}C_7 = {}^{n}C_7$
આપેલ અસમતા: ${}^{n}C_7 < {}^{n}C_8$
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{}^{n}C_8}{{}^{n}C_7} > 1$
$\frac{n-8+1}{8} > 1$
$\frac{n-7}{8} > 1$
$n-7 > 8$
$n > 15$
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $16$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r \times { }^n C_r = n \times 2^{n-1}$.
અહીં,$n = 5$.
તેથી,$\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r = 5 \sum_{r=0}^{5} r \times { }^5 C_r + 3 \sum_{r=0}^{5} { }^5 C_r$.
કિંમતો મૂકતા:
$= 5 \times (5 \times 2^{5-1}) + 3 \times 2^5$
$= 5 \times (5 \times 2^4) + 3 \times (2 \times 2^4)$
$= 25 \times 2^4 + 6 \times 2^4$
$= (25 + 6) \times 2^4 = 31 \times 2^4$.
આપેલ છે કે $k \times 2^4 = 31 \times 2^4$,તેથી $k = 31$.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$a=3$,$b=\sqrt{8}$,અને $n=5$ છે.
$(3+\sqrt{8})^5+(3-\sqrt{8})^5 = 2 \left[ \binom{5}{0} 3^5 + \binom{5}{2} 3^3 (\sqrt{8})^2 + \binom{5}{4} 3^1 (\sqrt{8})^4 \right]$.
$= 2 \left[ 1 \cdot 243 + 10 \cdot 27 \cdot 8 + 5 \cdot 3 \cdot 64 \right]$.
$= 2 \left[ 243 + 2160 + 960 \right]$.
$= 2 \times 3363 = 6726$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{{ }^n C_r}{r+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^n { }^{n+1} C_{r+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}$.
ધારો કે $k = r+1$,તો $S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} { }^{n+1} C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^m = \sum_{k=0}^m { }^m C_k x^k$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n+1} { }^{n+1} C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k = (1 + \frac{1}{2})^{n+1} - { }^{n+1} C_0 (\frac{1}{2})^0 = (\frac{3}{2})^{n+1} - 1$.
તેથી,$S = \frac{1}{n+1} [(\frac{3}{2})^{n+1} - 1] = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}$.

(A) ધારો કે $(1-x+x^2)^{2n} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{4n} x^{4n}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $1^{2n} = 1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{4n} \dots (i)$ મળે છે.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને $(1 - (-1) + (-1)^2)^{2n} = 3^{2n} = a_0 - a_1 + a_2 - \dots + a_{4n} \dots (ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$1 + 3^{2n} = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{4n})$ મળે છે.
$x$ ની બેકી ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો $a_0 + a_2 + \dots + a_{4n} = 3281$ આપેલ છે.
તેથી,$1 + 3^{2n} = 2 \times 3281 = 6562$.
$3^{2n} = 6561$.
કારણ કે $3^8 = 6561$,તેથી $2n = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.

(A) આપેલ છે કે $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2) = n \cdot \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n-r) \right] \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n+r) \right]$.
$n = 2024$ માટે,આપણને મળે છે:
$N(2024) = 2024 \cdot [(2023)(2022) \dots (1)] \cdot [(2025)(2026) \dots (4047)]$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$N(2024) = (4047)(4046) \dots (2025)(2024)(2023) \dots (1) = (4047)!$.
આપણે ${}^{N}C_{N-1}$ શોધવાનું છે જ્યાં $N = N(2024) = (4047)!$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે ${}^{N}C_{N-1} = {}^{N}C_{1} = N$.
તેથી,${}^{N}C_{N-1} = (4047)!$.

(B) કોઈપણ ઘાતાંક $n$ માટે $(1-x)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = \frac{3}{2}$ માટે,$x^3$ વાળું પદ $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3$ છે.
આની ગણતરી કરતા: $\frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} \times (-x^3) = \frac{-\frac{3}{8}}{6} \times (-x^3) = \frac{3}{48}x^3 = \frac{1}{16}x^3$.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $\frac{1}{16}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ છે.
$x_1+x_2+...+x_r=n$ સમીકરણના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો માટેનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n=10$ અને $r=4$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$^{10+4-1}C_{4-1} = ^{13}C_3$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$.

(A) આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $A = \frac{2}{5}$ અને $B = \frac{3}{5}$ મળે છે.
આમ,$\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{2}{5(x+3)} + \frac{3}{5(x-2)} = \frac{2}{15(1 + x/3)} - \frac{3}{10(1 - x/2)}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^{-1} = 1 - u + u^2 - u^3 + \dots$ અને $(1-u)^{-1} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$= \frac{2}{15} \left(1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27} + \dots \right) - \frac{3}{10} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots \right)$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{2}{15} \times (-\frac{1}{27}) - \frac{3}{10} \times \frac{1}{8} = -\frac{2}{405} - \frac{3}{80} = -\frac{32 + 243}{6480} = -\frac{275}{6480} = -\frac{55}{1296}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x^n \approx 0$ જ્યાં $n \ge 2$.
ધારો કે $y = \frac{(1+\frac{3}{4}x)^{-4} \sqrt{3+x}}{\sqrt{(3-x)^3}}$.
$y = \frac{(1+\frac{3}{4}x)^{-4} \sqrt{3}(1+\frac{x}{3})^{1/2}}{3^{3/2}(1-\frac{x}{3})^{3/2}}$.
$y = \frac{1}{3} (1+\frac{3}{4}x)^{-4} (1+\frac{x}{3})^{1/2} (1-\frac{x}{3})^{-3/2}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n \approx 1+nz$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 4 \cdot \frac{3}{4}x) (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3}) (1 - (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{x}{6}) (1 + \frac{x}{2})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{x}{6} + \frac{x}{2}) = \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{4x}{6}) = \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{2x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 + \frac{2x}{3} - 3x - 2x^2) \approx \frac{1}{3} (1 - \frac{7x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} - \frac{7x}{9}$.

(D) $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{1}{4}$ અને $z = 3x$:
વિસ્તરણ $(1-3x)^{-1/4} = 1 + (\frac{1}{4})(3x) + \frac{(\frac{1}{4})(\frac{1}{4}+1)}{2!}(3x)^2 + \dots$
$x^2$ વાળું પદ $\frac{(\frac{1}{4})(\frac{5}{4})}{2} \times (9x^2)$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $= \frac{5}{16 \times 2} \times 9 = \frac{45}{32}$

(D) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $SP + S^{\prime}P = 2a$. આપેલ છે કે $SP + S^{\prime}P = 2$,તેથી $2a = 2$,એટલે કે $a = 1$.
નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ વચ્ચેનું અંતર $SS^{\prime} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
$SS^{\prime} = 2ae$ હોવાથી,$2ae = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર એ નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
મુખ્ય અક્ષ એ $S$ અને $S^{\prime}$ માંથી પસાર થતી રેખા પર છે. મુખ્ય અક્ષની દિશામાં કેન્દ્રથી $a=1$ અંતરે અંત્યબિંદુઓ આવેલા છે.
કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ હોવાથી,$x_1$ અને $x_2$ એ કેન્દ્રના $x$-યામની આસપાસ સમાન અંતરે હશે.
તેથી,$x_1 + x_2 = 2 \times (\text{કેન્દ્રનો } x\text{-યામ}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
અહીં,$a^2=25$ અને $b^2=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
નાભિ $F(3,0)$ અને બિંદુ $A(0,3)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $x + y - 3 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ નીચે મુજબ છે:
$e' = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e'$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી:
$e = \frac{1}{e'} = \sqrt{2}$
અતિવલય માટે $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$,તેથી:
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2} \implies 1 + \frac{b^2}{a^2} = 2 \implies b^2 = a^2$
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે.
બિંદુ $(5, 4)$ અતિવલય પર હોવાથી:
$\frac{25}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9 \implies a = 3$
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(A) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુનું તેની બે નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $SP_1 + SP_2 = 2a$,જ્યાં $SP_1 = \frac{7}{2}$ અને $SP_2 = \frac{13}{2}$.
$2a = \frac{7}{2} + \frac{13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \Rightarrow a = 5$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5e, 0)$ પર છે.
ધારો કે $S = (5e, 0)$ અને $P = \left(\frac{5}{2}, 2\sqrt{3}\right)$.
અંતર $SP = \frac{7}{2}$.
$SP^2 = \left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2$.
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + 12 = \frac{49}{4}$.
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} - 12 = \frac{1}{4}$.
$5e - \frac{5}{2} = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $5e = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow e = \frac{3}{5}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $3/5$ છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. યામ $A(a, 0)$,$B(0, b)$,અને $B^{\prime}(0, -b)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle BAB^{\prime} = 60^{\circ}$,તેથી રેખા $AB$ મુખ્ય અક્ષ $AA^{\prime}$ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\triangle OAB$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{OB}{OA} = \frac{b}{a}$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sqrt{3}b$.
કેન્દ્ર $O$ થી નાભિ $S$ નું અંતર $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3b^2 - b^2} = \sqrt{2}b$ છે.
ધારો કે $\angle SBS^{\prime} = 2\theta$,જ્યાં $\theta = \angle OBS$. $\triangle OBS$ માં,$\tan \theta = \frac{OS}{OB} = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}b}{b} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\angle SBS^{\prime} = 2\theta = 2 \tan^{-1}(\sqrt{2})$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ છે.
અહીં,$a^2=4, b^2=3$,તેથી $a=2, b=\sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
$L$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$L$ ના યામ $(ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1, \frac{3}{2})$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$x_1 = 1, y_1 = \frac{3}{2}, a^2 = 4, b^2 = 3$ મૂકતા:
$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3 \Rightarrow 4x - 2y = 1$.
અભિલંબ મુખ્ય અક્ષ ($x$-અક્ષ) ને $P$ માં મળે છે,$y=0$ લેતા: $4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. તેથી,$P = (\frac{1}{4}, 0)$.
અભિલંબ ગૌણ અક્ષ ($y$-અક્ષ) ને $Q$ માં મળે છે,$x=0$ લેતા: $-2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$. તેથી,$Q = (0, -\frac{1}{2})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{1}{4} - 0)^2 + (0 - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + 8 - a = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $2(x-2)^2 + a(y-1)^2 = 2a$.
$2a$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2)^2}{a} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$.
મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$2 > a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$a = 2(1 - e^2) = 2(1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{4/3} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$ મળે.
$m=1$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 2) \pm \sqrt{A^2m^2 + B^2}$ છે.
અહીં $A^2 = 4/3$ અને $B^2 = 2$ લેતા,$y - 1 = x - 2 \pm \sqrt{\frac{4}{3} + 2} = x - 2 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$.
તેથી,$x - y - 1 \pm \sqrt{\frac{10}{3}} = 0$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે,તેથી અભિલંબ $\frac{4x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 1$ થાય.
આ અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{4y_1}{3x_1}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક છે.
રેખા $y = mx + c$ એ $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = A^2 m^2 - B^2$ છે.
અભિલંબને $y = \frac{4y_1}{3x_1} x - \frac{y_1}{3}$ તરીકે લખતા,$m = \frac{4y_1}{3x_1}$ અને $c = -\frac{y_1}{3}$ મળે.
શરતમાં કિંમત મૂકતા: $(-\frac{y_1}{3})^2 = 4(\frac{4y_1}{3x_1})^2 - 3$.
$(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1$,તેથી $x_1^2 = \frac{4(3 - y_1^2)}{3}$.
આ કિંમત મૂકતા $m^2 = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખા $2 x+3 y=k \Rightarrow \frac{2 x+3 y}{k}=1 \dots (i)$
વળી આપેલ છે,$3 x^2-x y+3 y^2+2 x-3 y-4=0$
હવે $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$3 x^2-x y+3 y^2+(2 x-3 y)\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)-4\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)^2=0$
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(3 x^2-x y+3 y^2) + k(4 x^2+6 x y-6 x y-9 y^2) - 4(4 x^2+9 y^2+12 x y) = 0$
$x^2(3 k^2+4 k-16) + x y(-k^2-48) + y^2(3 k^2-9 k-36) = 0$
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(3 k^2+4 k-16) + (3 k^2-9 k-36) = 0$
$6 k^2-5 k-52 = 0$

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $x^2 + y^2 = 20$,તેથી $a^2 + b^2 = 20$ $(i)$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = a$ $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $a^2 + a - 20 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a + 5)(a - 4) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે.
તેથી $b^2 = 4$.
ઉપવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c$ છે,જ્યાં $c^2 = a^2 - b^2$.
$c^2 = 16 - 4 = 12$,તેથી $c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
આમ,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ થાય.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = a \implies 2b^2 = a^2 \dots (i)$.
ડાયરેક્ટર વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $a^2 + b^2 = 3$.
$a^2 = 2b^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2b^2 + b^2 = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1$.
તેથી $a^2 = 2$,એટલે કે $a = \sqrt{2}$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\frac{1}{e} = \sqrt{2}$.
તેથી,લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{e}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x = \frac{a}{2} (t + \frac{1}{t}) \dots (i)$
$y = \frac{a}{2} (t - \frac{1}{t}) \dots (ii)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$x^2 - y^2 = \frac{a^2}{4} (t + \frac{1}{t})^2 - \frac{a^2}{4} (t - \frac{1}{t})^2$
$= \frac{a^2}{4} [(t^2 + \frac{1}{t^2} + 2) - (t^2 + \frac{1}{t^2} - 2)]$
$= \frac{a^2}{4} [t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 - t^2 - \frac{1}{t^2} + 2]$
$= \frac{a^2}{4} (4) = a^2$
તેથી,કાર્તેઝિયન સ્વરૂપ $x^2 - y^2 = a^2$ છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 6y^2 = 30$ છે,જેને $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 6$ અને $b^2 = 5$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. તે $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3 = 2m + c$,એટલે કે $c = 3 - 2m$.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(3 - 2m)^2 = 6m^2 - 5$ મળે.
$9 - 12m + 4m^2 = 6m^2 - 5$.
$2m^2 + 12m - 14 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $m^2 + 6m - 7 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(m + 7)(m - 1) = 0$ મળે,તેથી ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -7$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-7)}{1 + (1)(-7)} \right| = \left| \frac{8}{1 - 7} \right| = \left| \frac{8}{-6} \right| = \frac{4}{3}$.

(D) અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $2a = 6$,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
બિંદુ $(\sqrt{13}, k)$ એ નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ હોવાથી,$ae = \sqrt{13}$ મળે.
સંબંધ $c^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = ae = \sqrt{13}$,આપણને $13 = a^2 + b^2$ મળે છે.
$a = 3$ મૂકતા,$13 = 9 + b^2$,તેથી $b^2 = 4$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુનો $y$-યામ $k = \pm \frac{b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$k = \pm \frac{4}{3}$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખતા:
$4(x-1)^2 - (y+1)^2 = 16$
$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1$.
અહીં $h=1, k=-1, a=2, b=4$ છે.
પ્રાચલ યામ $x = 1 + 2 \sec \theta$ અને $y = -1 + 4 \tan \theta$ છે.
બિંદુ $P(\frac{\pi}{4})$ માટે:
$x_P = 1 + 2\sqrt{2}, y_P = 3$.
બિંદુ $Q(\frac{3\pi}{4})$ માટે:
$x_Q = 1 - 2\sqrt{2}, y_Q = -5$.
અંતર $PQ = \sqrt{(1+2\sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2})^2 + (3 - (-5))^2}$
$PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (8)^2} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.

(A) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $S(x, y) = \frac{x^2}{a^2} - y^2 - 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને બિંદુ $(1,1)$ એક જ પ્રદેશમાં હોવાથી,$S(0,0)$ અને $S(1,1)$ ની કિંમત સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
$S(0,0) = \frac{0^2}{a^2} - 0^2 - 1 = -1$.
$S(0,0) < 0$ હોવાથી,$S(1,1) < 0$ થવું જોઈએ.
$S(1,1) = \frac{1^2}{a^2} - 1^2 - 1 = \frac{1}{a^2} - 2$.
$\frac{1}{a^2} - 2 < 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{a^2} < 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 > \frac{1}{2}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a > \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$a$ નો વિસ્તાર $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty\right)$ છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ આપેલ છે,જ્યાં $a=3$ અને $b=4$ છે.
પ્રચલિત યામ $x=3 \sec \theta$ અને $y=4 \tan \theta$ છે.
દરેક બિંદુ માટે યામ:
$P_1\left(\frac{\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, 4)$
$P_2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, -4)$
$P_3\left(\frac{5\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, 4)$
$P_4\left(\frac{7\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, -4)$
આ બિંદુઓ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, -4)$ અને $(3\sqrt{2}, -4)$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ છે.
અહીં $b^2 > a^2$ $(9 > 4)$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ મળે.
ધારો કે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \frac{1}{e} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ છે.
અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H$ અને $e_C$ માટેનો સંબંધ $\frac{1}{e_H^2} + \frac{1}{e_C^2} = 1$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\frac{5}{9} + \frac{1}{e_C^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{e_C^2} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$e_C = \frac{3}{2}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}-\vec{b} = (1-2)\hat{i} + (2-(-3))\hat{j} + (-3-(-5))\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1+25+4} = \sqrt{30}$.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો. વિકલ્પ $B$ માટે,$|\vec{b}|-|\vec{a}| = \sqrt{38} - \sqrt{14} \approx 6.16 - 3.74 = 2.42$.
કારણ કે $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{30} \approx 5.47$,તેથી $5.47 > 2.42$.
આમ,$|\vec{a}-\vec{b}| > |\vec{b}|-|\vec{a}|$ સાચું છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{OB} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $C$ ને $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) - (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$\overrightarrow{OC} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) + t(3\hat{j}-4\hat{k}) = \hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $BC = 10$,તેથી $|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}| = 10$.
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (\hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) = (3t-3)\hat{j} + (4-4t)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = (3t-3)^2 + (4-4t)^2 = 10^2 = 100$.
$9(t-1)^2 + 16(1-t)^2 = 100 \Rightarrow 25(t-1)^2 = 100 \Rightarrow (t-1)^2 = 4$.
$t-1 = \pm 2$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = -1$.
$t=3$ માટે,$\overrightarrow{OC} = \hat{i} + (3(3)-1)\hat{j} + (2-4(3))\hat{k} = \hat{i} + 8\hat{j} - 10\hat{k}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = t \vec{b}$ જ્યાં $t < 0$ એક અદિશ છે.
ત્યારબાદ $t$ ઋણ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશાના સદિશો (unlike vectors) છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $|\vec{a}| = |t \vec{b}| = |t| |\vec{b}|$.
$t < 0$ હોવાથી,$|t|$ કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
જો $|t| > 1$ હોય,તો $|\vec{a}| > |\vec{b}|$.
જો $|t| = 1$ હોય,તો $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
જો $0 < |t| < 1$ હોય,તો $|\vec{a}| < |\vec{b}|$.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિરુદ્ધ દિશાના સદિશો છે અને તેમના માનાંક વચ્ચેનો સંબંધ $|t|$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે,જે $|\vec{a}| \geq |\vec{b}|$ અથવા $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ હોઈ શકે છે.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો સદિશ $\vec{c} = \lambda \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.
ધારો કે $x = \frac{1}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{30}}$ અને $y = \frac{1}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{59}}$.
તેથી $\vec{c} = \lambda (x \vec{a} + y \vec{b}) = \lambda (x(2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}) + y(3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}))$.
ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા,આપણને $\vec{c} = \lambda ((2x + 3y) \hat{i} + (7y - x) \hat{j} + (5x - y) \hat{k})$ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ એ દ્વિભાજક પરનો સદિશ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 5$ અને $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 4 \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(4 \sqrt{3})^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(0 + 0 + |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \theta)$.
$48 = 4 + 9 + 25 + 2(5)(2) \cos \theta$.
$48 = 38 + 20 \cos \theta$.
$10 = 20 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $\vec{A}_1 = \hat{i} + 2\hat{j}$ અને $\vec{A}_2 = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ એ સમતલ $\pi_1$ ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સદિશો છે. સમતલ $\pi_1$ નો લંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{A}_1 \times \vec{A}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n}_1 = (\hat{i} + 2\hat{j}) \times (3\hat{j} - 2\hat{k}) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{B}_1 = \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{B}_2 = 3\hat{k} - 2\hat{i}$ એ સમતલ $\pi_2$ ને વ્યાખ્યાયિત કરતા સદિશો છે. સમતલ $\pi_2$ નો લંબ સદિશ $\vec{n}_2$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{B}_1 \times \vec{B}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n}_2 = (\hat{j} + 2\hat{k}) \times (3\hat{k} - 2\hat{i}) = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલો $\pi_1$ અને $\pi_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના લંબ સદિશો $\vec{n}_1$ અને $\vec{n}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-4)(3) + (2)(4) + (3)(2) = -12 + 8 + 6 = 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \sqrt{29}} = \frac{2}{29}$.
નોંધ: વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,અહીં $-\frac{14}{29}$ જવાબ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે,જે લંબ સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટના સીધા મૂલ્ય પર આધારિત છે.

(D) $\vec{a}$ અને $(\vec{b} \times \vec{c})$ બંનેને લંબ સદિશ સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ત્રિગુણક સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (5 \hat{i} + 4 \hat{k}) = (2)(5) + (3)(0) + (0)(4) = 10$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2)(0) + (3)(3) + (0)(4) = 9$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 10(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 9(5 \hat{i} + 4 \hat{k})$
$= 30 \hat{j} + 40 \hat{k} - 45 \hat{i} - 36 \hat{k}$
$= -45 \hat{i} + 30 \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) સદિશોના માન $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ અને $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ છે.
$\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{a} = \frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ અને $\hat{b} = \frac{1}{7}(-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજક સદિશ $\lambda(\hat{a} + \hat{b}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3} + \frac{-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}}{7} \right)$ દ્વારા મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા: $\lambda \left( \frac{7\hat{i} + 14\hat{j} - 14\hat{k} - 6\hat{i} - 9\hat{j} + 18\hat{k}}{21} \right) = \frac{\lambda}{21}(\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{42}$,તેથી $\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{1^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{42}$.
$\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{42} = \sqrt{42} \implies |\lambda| = 21$.
$\lambda = 21$ લેતા,આપણને $\overrightarrow{OC} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આપેલ છે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ અને $\cos \theta = \frac{4}{21}$.
સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ મુજબ,$4 = 7 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{4}{21}$.
$4 = |\vec{b}| \cdot \frac{4}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = 3$.
વિકલ્પ $(d)$ ચકાસતા: $\vec{a} + \vec{b} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$.
$A_1$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિકર્ણો ધરાવતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $A_1 = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-6)) - \hat{j}(-3 - 3) + \hat{k}(-2 - 2) = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ છે.
તેથી,$A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{52}$.
$A_2$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $A_2 = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{52}$ છે.
અંતે,$A_1 \cdot A_2 = (\frac{1}{2} \sqrt{52}) \cdot (\sqrt{52}) = \frac{52}{2} = 26$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ અને $\vec{b}=\lambda \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{195}}{2}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 195$ ...$(i)$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-\lambda) - \hat{j}(-9-\lambda^2) + \hat{k}(3+\lambda) = (3-\lambda)\hat{i} + (9+\lambda^2)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3-\lambda)^2 + (9+\lambda^2)^2 + (3+\lambda)^2 = 195$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(9 + \lambda^2 - 6\lambda) + (81 + \lambda^4 + 18\lambda^2) + (9 + \lambda^2 + 6\lambda) = 195$.
$\lambda^4 + 20\lambda^2 + 99 = 195 \Rightarrow \lambda^4 + 20\lambda^2 - 96 = 0$.
ધારો કે $t = \lambda^2$,તો $t^2 + 20t - 96 = 0 \Rightarrow (t+24)(t-4) = 0$.
કારણ કે $\lambda$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $\lambda^2 = 4$ (કારણ કે $\lambda^2 = -24$ શક્ય નથી).
આમ,$\lambda = \pm 2$. તેથી $\lambda$ ના ભિન્ન મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -5 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 25\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$.
$\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,$\vec{r}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે.
વળી,$\vec{r}$ એ $\vec{d} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{r}$ એ $\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 25 & -5 & 13 \\ 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{r} = \lambda(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k})$.
$|\vec{r}| = \sqrt{94}$ આપેલ હોવાથી,$|\lambda| \sqrt{121 + 100 + 625} = \sqrt{846} = 3\sqrt{94} = \sqrt{94}$.
તેથી,$|\lambda| = \frac{1}{3}$.
હવે,$|\vec{r} \cdot \vec{b}| = |\lambda| |(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})| = \frac{1}{3} |33 - 20 + 125| = \frac{1}{3} |138| = 46$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ છીએ જે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ને સમાવતા સમતલમાં આવેલા છે.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\hat{i} - \hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-6)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = 8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 4 + 25} = \sqrt{93}$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{93}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$,તેથી $\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c})$.
આ કિંમતને પદાવલિ $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}$ માં મૂકતા:
$= -(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times (-(\vec{b}+\vec{c}))$
$= -(\vec{b} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{b})+\vec{b} \times \vec{c}-(\vec{c} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{c})$
કારણ કે $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$ અને $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,અને $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$:
$= -(\vec{0} - \vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} - (-(\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{0})$
$= \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$.
હવે,$\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+1) - \hat{j}(-3-1) + \hat{k}(-3+2) = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$.
તેથી,$3(\vec{b} \times \vec{c}) = 3(3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}) = 9\hat{i}+12\hat{j}-3\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{9^2+12^2+(-3)^2} = \sqrt{81+144+9} = \sqrt{234}$ થાય.

(B) ધારો કે $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + t(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (2 + 6t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (-2 - 3t)\hat{k}$.
માન $|\vec{c}|$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$|\vec{c}|^2$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $f(t) = |\vec{c}|^2 = (2 + 6t)^2 + (-1 + 2t)^2 + (-2 - 3t)^2$.
$f(t) = (4 + 24t + 36t^2) + (1 - 4t + 4t^2) + (4 + 12t + 9t^2) = 49t^2 + 32t + 9$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$f'(t) = 98t + 32 = 0$.
$t = -\frac{32}{98} = -\frac{16}{49}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,જો પ્રશ્નનો હેતુ પ્રક્ષેપ અથવા ચોક્કસ અદિશ ગુણાકારને ન્યૂનતમ કરવાનો હોય,તો સામાન્ય રીતે $t = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$ મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$ અને $|\vec{b}|^2 = 49$ ગણતા,$t = -\frac{16}{49}$ મળે છે. જો સદિશ $\vec{b}$ માં ભૂલ હોય અને તે $4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ હોય,તો $t = -\frac{1}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-15) - \hat{j}(-8+9) + \hat{k}(10-3) = -11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}$
ત્યારબાદ,$\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 5 & -4 \\ 6 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(25-16) - \hat{j}(-15+24) + \hat{k}(12-30) = 9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}$
છેલ્લે,ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ ની ગણતરી કરો:
$(-11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}) = (-11)(9) + (-1)(-9) + (7)(-18) = -99 + 9 - 126 = -216$

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરો:
$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} = 2(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) - 3(7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (4-21) \hat{i} + (-10+15) \hat{j} + (16-9) \hat{k} = -17 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરો:
$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 4(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) + (7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (8+7) \hat{i} + (-20-5) \hat{j} + (32+3) \hat{k} = 15 \hat{i} - 25 \hat{j} + 35 \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ શોધો:
$(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -17 & 5 & 7 \\ 15 & -25 & 35 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 35 - 7 \times (-25)) - \hat{j}((-17) \times 35 - 7 \times 15) + \hat{k}((-17) \times (-25) - 5 \times 15)$
$= \hat{i}(175 + 175) - \hat{j}(-595 - 105) + \hat{k}(425 - 75)$
$= 350 \hat{i} + 700 \hat{j} + 350 \hat{k}$.
આને $x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x=350, y=700, z=350$ મળે છે.
તેથી,$x+y+z = 350+700+350 = 1400$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1$ મળે.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.
$1 + 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,જે સૂચવે છે કે $2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
હવે,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 3$.
આમ,$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ મળે,તેથી $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતે,$2|\vec{a} + \vec{b}| \cos \frac{\theta}{2} = 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર (cross product) ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = -\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}$
$\vec{c} \times \vec{a} = -5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b} = -3\hat{i}+3\hat{j}$
આપેલ સમીકરણ $\vec{d} = x(\vec{b} \times \vec{c}) - \frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a}) + z(\vec{a} \times \vec{b})$ માં કિંમતો મૂકતા:
$-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k} = x(-\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}) - \frac{7}{9}(-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + z(-3\hat{i}+3\hat{j})$
બંને બાજુ $\hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-3 = -3x - \frac{7}{3}$
$3x = \frac{7}{3} - 3 = -\frac{2}{3}$
$x = -\frac{2}{9}$
(નોંધ: વિકલ્પો મુજબ,જો $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$ હોય,તો $x = \frac{2}{9}$ મળે છે.)

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને તેમના મધ્યબિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$,$\vec{B} = 4\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{D} = -\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}$.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે:
$M = \frac{\vec{B}+\vec{D}}{2} = \frac{(4-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (4-3)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
કારણ કે $M$ એ $AC$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} = M$.
$\vec{A}+\vec{C} = 2M = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{C} = (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}) = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$.
વિકર્ણ $AC$ ના ત્રિભાગ બિંદુઓ $T_1$ અને $T_2$ તેને અનુક્રમે $1:2$ અને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$T_1$ માટે ($1:2$ ગુણોત્તર):
$\vec{T_1} = \frac{1(\vec{C}) + 2(\vec{A})}{1+2} = \frac{1(\hat{i}+\hat{k}) + 2(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$.
$T_2$ માટે ($2:1$ ગુણોત્તર):
$\vec{T_2} = \frac{2(\vec{C}) + 1(\vec{A})}{2+1} = \frac{2(\hat{i}+\hat{k}) + 1(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{4\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}}{3}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સ્થાન સદિશ $\frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$ છે.

(B) $AB$ ના દિકગુણોત્તર $a_1 = 6-1 = 5$,$b_1 = 11-(-1) = 12$,$c_1 = 2-2 = 0$ છે.
$AB$ નું માન $\sqrt{5^2+12^2+0^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
તેથી,$AB$ ની દિકકોસાઇન $l_1 = \frac{5}{13}$,$m_1 = \frac{12}{13}$,$n_1 = 0$ છે.
$AC$ ના દિકગુણોત્તર $a_2 = 1-1 = 0$,$b_2 = 2-(-1) = 3$,$c_2 = 6-2 = 4$ છે.
$AC$ નું માન $\sqrt{0^2+3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ છે.
તેથી,$AC$ ની દિકકોસાઇન $l_2 = 0$,$m_2 = \frac{3}{5}$,$n_2 = \frac{4}{5}$ છે.
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ નું મૂલ્ય એ રેખાઓ $AB$ અને $AC$ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન છે.
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2| = |(\frac{5}{13} \times 0) + (\frac{12}{13} \times \frac{3}{5}) + (0 \times \frac{4}{5})| = |0 + \frac{36}{65} + 0| = \frac{36}{65}$.

(B) આપેલ છે કે $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ એ બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન છે.
તે દિક્કોસાઇન હોવાથી,$l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = 1$ અને $l_2^2 + m_2^2 + n_2^2 = 1$ થાય.
ધારો કે બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\cos \theta = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 + (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ છે.
લેગ્રાન્જની નિત્યસમ (Lagrange's Identity) મુજબ,$(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 = (l_1^2 + m_1^2 + n_1^2)(l_2^2 + m_2^2 + n_2^2) - (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(1)(1) - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ મળે છે.
આમ,કુલ પદાવલિ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ થાય છે.

(B) ધારો કે રેખા $L$ એ ધન $X$,$Y$,અને $Z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$,અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
દિશા કોસાઇન વચ્ચેનો સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
પ્રશ્નમાં $Z$-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો પૂછવામાં આવ્યો હોવાથી,આપણે $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ લઈશું.
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |(-5)\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 25+1+16 = 42$
$BC^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}|^2 = 1+16+25 = 42$
$AC^2 = |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |(-4)\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}|^2 = 16+25+1 = 42$
અહીં $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 42$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $H$ એ મધ્યકેન્દ્ર $G$ સાથે સંપાતી હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{(3-2-1)\hat{i} + (-2-1+3)\hat{j} + (-1+3-2)\hat{k}}{3} = \vec{0}$.
તેથી,$H = (0,0,0)$.
હવે,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = (\vec{a}-\vec{h}) + (\vec{b}-\vec{h}) + (\vec{c}-\hat{h}) = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} - 3\vec{h}$.
$\vec{h} = \vec{0}$ અને $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$ હોવાથી,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \vec{0}$ મળે છે.

(B) બિંદુઓ $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{5-3} = \frac{y-1}{1-b} = \frac{z-a}{a-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા $(0, 17/2, -13/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{0-5}{2} = \lambda \implies \lambda = -5/2$.
હવે,$y$-યામના ભાગને સરખાવતા:
$\frac{17/2 - 1}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15/2}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15}{1-b} = -5 \implies 1-b = -3 \implies b = 4$.
હવે,$z$-યામના ભાગને સરખાવતા:
$\frac{-13/2 - a}{a-1} = -5/2 \implies -13 - 2a = -5(a-1) \implies -13 - 2a = -5a + 5 \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
તેથી,$a+b = 6+4 = 10$.

(D) ધારો કે $D(h, k, l)$ એ $BC$ પરના લંબ $AD$ નો લંબપાદ છે. રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ છે.
બિંદુ $C(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{8} = \frac{z-1}{-3} = \lambda$ છે.
$BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(2\lambda+2, 8\lambda-3, -3\lambda+1)$ છે.
સદિશ $\vec{AD} = (2\lambda+2-1, 8\lambda-3-8, -3\lambda+1-4) = (2\lambda+1, 8\lambda-11, -3\lambda-3)$ છે.
કારણ કે $AD \perp BC$,તેથી $\vec{AD}$ અને $BC$ ના દિક સદિશ $(2, 8, -3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda+1) + 8(8\lambda-11) - 3(-3\lambda-3) = 0$
$4\lambda + 2 + 64\lambda - 88 + 9\lambda + 9 = 0$
$77\lambda - 77 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$D$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$h = 2(1)+2 = 4$
$k = 8(1)-3 = 5$
$l = -3(1)+1 = -2$
આમ,$D$ ના યામ $(4, 5, -2)$ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(3,-1,11)$,$B(0,2,3)$ અને $C(4,8,11)$ છે.
પ્રથમ,$B(0,2,3)$ અને $C(4,8,11)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ મેળવો.
રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-0, 8-2, 11-3) = (4, 6, 8)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{4} = \frac{y-2}{6} = \frac{z-3}{8} = r$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(4r, 6r+2, 8r+3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$AP$ એ $BC$ ને લંબ હોવાથી,$AP$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$AP$ ના દિકગુણોત્તરો $(4r-3, 6r+2-(-1), 8r+3-11) = (4r-3, 6r+3, 8r-8)$ છે.
$AP \perp BC$ હોવાથી,$4(4r-3) + 6(6r+3) + 8(8r-8) = 0$.
$16r - 12 + 36r + 18 + 64r - 64 = 0$.
$116r - 58 = 0 \Rightarrow r = \frac{58}{116} = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $P = (4(\frac{1}{2}), 6(\frac{1}{2})+2, 8(\frac{1}{2})+3) = (2, 3+2, 4+3) = (2, 5, 7)$ મળે છે.
આમ,લંબપાદના યામ $(2, 5, 7)$ છે.

(A) બિંદુઓ $P(2, -3, 4)$ અને $Q(8, 0, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{8-2} = \frac{y+3}{0+3} = \frac{z-4}{10-4} = \lambda$
$\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6} = \lambda$
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(6\lambda + 2, 3\lambda - 3, 6\lambda + 4)$ થાય.
બિંદુ $R(4, y, z)$ આ રેખા પર હોવાથી,$x$-યામને સરખાવતા:
$6\lambda + 2 = 4 \Rightarrow 6\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
હવે,$y$ અને $z$ ની કિંમત મેળવતા:
$y = 3(\frac{1}{3}) - 3 = 1 - 3 = -2$
$z = 6(\frac{1}{3}) + 4 = 2 + 4 = 6$
તેથી,$R$ ના યામ $(4, -2, 6)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $R(4, -2, 6)$ નું અંતર:
$d = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$,$B = \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$,$C = 2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$,અને $D = \vec{a}-2\vec{b}+4\vec{c}$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા $\vec{r} = A + \lambda_1(B-A) = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_1(-2\vec{b}+2\vec{c}) = \vec{a} + (1-2\lambda_1)\vec{b} + (1+2\lambda_1)\vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$C$ અને $D$ માંથી પસાર થતી રેખા $\vec{r} = C + \lambda_2(D-C) = (2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_2(-\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}) = (2-\lambda_2)\vec{a} + (-1-\lambda_2)\vec{b} + (1+3\lambda_2)\vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,આપણે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવીએ:
$1 = 2-\lambda_2 \implies \lambda_2 = 1$.
$1-2\lambda_1 = -1-\lambda_2 = -1-1 = -2 \implies 2\lambda_1 = 3 \implies \lambda_1 = \frac{3}{2}$.
$\vec{c}$ નો સહગુણક તપાસતા: $1+2\lambda_1 = 1+2(\frac{3}{2}) = 4$ અને $1+3\lambda_2 = 1+3(1) = 4$. જે સમાન છે.
$\lambda_1 = \frac{3}{2}$ ને પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = \vec{a} + (1-2(\frac{3}{2}))\vec{b} + (1+2(\frac{3}{2}))\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{c}$.

(B) રેખા ત્રણેય યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ થાય.
તેથી,દિશા કોસાઇન $l = m = n = \cos \theta$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \theta = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
અંતે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

(C) આપેલ સમતલ $2x-y+2z+3=0$ $(1)$ છે.
બીજું સમતલ $4x-2y+4z+\lambda=0$ છે,જેને $2x-y+2z+\frac{\lambda}{2}=0$ $(2)$ તરીકે લખી શકાય.
$(1)$ અને $(2)$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{1}{3}$ છે.
$\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow |\frac{\lambda}{2}-3| = 1$.
આથી $\frac{\lambda}{2}-3 = 1$ અથવા $\frac{\lambda}{2}-3 = -1$.
તેથી,$\lambda = 8$ અથવા $\lambda = 4$.
ત્રીજું સમતલ $2x-y+2z+\mu=0$ $(3)$ છે.
$(1)$ અને $(3)$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\mu-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{2}{3}$ છે.
$\frac{|\mu-3|}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow |\mu-3| = 2$.
આથી $\mu-3 = 2$ અથવા $\mu-3 = -2$.
તેથી,$\mu = 5$ અથવા $\mu = 1$.
$\lambda+\mu$ ની મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,આપણે $\lambda=8$ અને $\mu=5$ લઈએ છીએ.
આમ,$\lambda+\mu = 8+5 = 13$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $-7 = (\sqrt{14})(\sqrt{14}) \cos \theta = 14 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|} = \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{|-\frac{1}{2}|} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(-a^2, 1, 1)$,$B(1, -a^2, 1)$,$C(1, 1, -a^2)$,અને $D(-1, -1, 1)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ શૂન્ય થાય,અથવા તેમના દ્વારા બનતા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય.
સદિશો $\vec{AB} = (1+a^2, -a^2-1, 0)$,$\vec{AC} = (1+a^2, 0, -a^2-1)$,અને $\vec{AD} = (-1+a^2, -2, 0)$ લો.
એક સમતલીય હોવાની શરત $\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = 0$ છે.
$\begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) & 0 \\ 1+a^2 & 0 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા: $(1+a^2) \begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$.
$(1+a^2) [-2(1+a^2) + (1+a^2)(a^2-1)] = 0$.
$(1+a^2)^2 (a^2 - 3) = 0$.
$a$ વાસ્તવિક હોવાથી,$1+a^2 \neq 0$,તેથી $a^2 - 3 = 0$,જે $a = \pm \sqrt{3}$ આપે છે.
આમ,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

(B) આ પ્રશ્ન એવા બિંદુ વિશે પૂછે છે જે ત્રણ આપેલા બિંદુઓ: $A = (\sqrt{2}, 1, 4)$,$B = (0, -1, 0)$,અને $C = (0, 0, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ પર આવેલું હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે બિંદુઓનો ઉપયોગ સમતલ નક્કી કરવા માટે થાય છે,તે બિંદુઓ સમતલ પર જ આવેલા હોય છે.
અહીં બિંદુ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ એ સ્પષ્ટપણે આપેલું છે કે સમતલ તેમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે બિંદુ સમતલ પર જ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ એ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લંબઘનના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(0,b,0)$,$C(0,0,c)$,$F(a,b,0)$,$D(a,0,c)$,$E(0,b,c)$,અને $G(a,b,c)$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,$d_1$ એ $XY$-સમતલને સમાંતર સમતલ ($z=c$ પર) પરનો વિકર્ણ $CG$ છે,જે $C(0,0,c)$ અને $G(a,b,c)$ ને જોડે છે. તેથી,સદિશ $\vec{d}_1 = \vec{G} - \vec{C} = (a-0)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (c-c)\hat{k} = a\hat{i} + b\hat{j}$.
$d_2$ એ સમતલ $\pi_2$ ($y=b$ પર $ZX$-સમતલને સમાંતર) પરનો વિકર્ણ $GB$ છે,જે $G(a,b,c)$ અને $B(0,b,0)$ ને જોડે છે. તેથી,સદિશ $\vec{d}_2 = \vec{B} - \vec{G} = (0-a)\hat{i} + (b-b)\hat{j} + (0-c)\hat{k} = -a\hat{i} - c\hat{k}$.
જોકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સદિશોની દિશાને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે $\vec{d}_1 = a\hat{i} + b\hat{j}$ અને $\vec{d}_2 = a\hat{i} + c\hat{k}$ લઈએ છીએ.
$\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{|\vec{d}_1| |\vec{d}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (a\hat{i} + b\hat{j}) \cdot (a\hat{i} + c\hat{k}) = a^2$.
$|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + b^2}$ અને $|\vec{d}_2| = \sqrt{a^2 + c^2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$.

(B) સમતલ $x-2y+2z-5=0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x-2y+2z+k=0$ સ્વરૂપનું હોય.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી આ સમતલનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$ છે.
આપેલ છે કે અંતર $d = 1$,તેથી $1 = \frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}}$,જેનું સાદું રૂપ $1 = \frac{|k|}{\sqrt{9}}$ થાય.
આમ,$1 = \frac{|k|}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 3$,તેથી $k = \pm 3$.
તેથી,શક્ય સમીકરણો $x-2y+2z+3=0$ અથવા $x-2y+2z-3=0$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x-2y+2z-3=0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) બિંદુ $\overrightarrow{p}$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\overrightarrow{q}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\overrightarrow{q} \cdot (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{p} = 4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{q} = 9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})) = 0$.
$(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot ((x-4)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-1)\hat{k}) = 0$.
$9(x-4) - 2(y+1) + 6(z-1) = 0$.
$9x - 36 - 2y - 2 + 6z - 6 = 0$.
$9x - 2y + 6z - 44 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-44|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{44}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{44}{\sqrt{121}} = \frac{44}{11} = 4$.

(D) બિંદુ $(1,2,2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1)+b(y-2)+c(z-2)=0$ છે ...$(i)$
આ સમતલ,સમતલો $x-y+2z=3$ અને $2x-2y+z+12=0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(-2+2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ મળે.
આથી $a=3, b=3, c=0$ લેતા.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(x-1) + 3(y-2) + 0(z-2) = 0$
$3(x-1 + y-2) = 0$
$x+y-3=0$.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P(1,2,3)$ આપેલ છે.
કારણ કે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ અને લંબપાદ $(1,2,3)$ ને જોડતી રેખા સમતલને લંબ છે,તેથી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતા અભિલંબવાળા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $(1, 2, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(C) ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે. કારણ કે અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી દિશા કોસાઇન સમાન છે,એટલે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$. આનો અર્થ એ છે કે $a = b = c$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x + y + z = d$ સ્વરૂપનું છે.
સમતલ $(-1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-1 + 2 + 3 = d
\Rightarrow d = 4$.
$d$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x + y + z = 4$
$x + y + z - 4 = 0$.

(C) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = q_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = q_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = q_1 + \lambda q_2$ છે.
આપેલ સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ અને $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ છે.
જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot [(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})] = 5 + 7\lambda$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\vec{r} \cdot [(1+3\lambda)\hat{i} + (-2+\lambda)\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}] = 5 + 7\lambda$ મળે.
સમતલ બિંદુ $\vec{r} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામો મૂકીએ:
$2(1+3\lambda) - 3(-2+\lambda) + 1(3-2\lambda) = 5 + 7\lambda$.
$2 + 6\lambda + 6 - 3\lambda + 3 - 2\lambda = 5 + 7\lambda$.
$11 + \lambda = 5 + 7\lambda$.
$6 = 6\lambda$,જે $\lambda = 1$ આપે છે.
$\lambda = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot [(1+3(1))\hat{i} + (-2+1)\hat{j} + (3-2(1))\hat{k}] = 5 + 7(1)$.
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 12$.

(D) આપેલ સમતલો $2x + 3y + 4z + 7 = 0$ અને $4x + ky + 8z + 1 = 0$ સમાંતર હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર છે.
તેથી,$\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{4}{8}$.
$\frac{2}{4} = \frac{3}{k}$ પરથી,આપણને $k = 6$ મળે છે.
હવે,આપણે બિંદુ $(k, k, k) = (6, 6, 6)$ માંથી પસાર થતા અને $(k-1, k, k+1) = (5, 6, 7)$ અભિલંબના દિકગુણોત્તર ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$5(x - 6) + 6(y - 6) + 7(z - 6) = 0$.
$5x - 30 + 6y - 36 + 7z - 42 = 0$.
$5x + 6y + 7z = 108$.

(D) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓના યામ $A(a_1-d, a_1, a_1+d)$,$B(a_2-d, a_2, a_2+d)$,$C(a_3-d, a_3, a_3+d)$,અને $D(a_4-d, a_4, a_4+d)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ શિરોબિંદુઓના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$G = \left(\frac{\sum a_i - 4d}{4}, \frac{\sum a_i}{4}, \frac{\sum a_i + 4d}{4}\right) = (2, 3, k)$.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1) \frac{\sum a_i - 4d}{4} = 2 \implies \sum a_i - 4d = 8$
$2) \frac{\sum a_i}{4} = 3 \implies \sum a_i = 12$
$3) \frac{\sum a_i + 4d}{4} = k \implies \sum a_i + 4d = 4k$
પ્રથમ સમીકરણમાં $\sum a_i = 12$ મૂકતા: $12 - 4d = 8 \implies 4d = 4 \implies d = 1$.
ત્રીજા સમીકરણમાં $\sum a_i = 12$ અને $d = 1$ મૂકતા: $12 + 4(1) = 4k \implies 16 = 4k \implies k = 4$.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(2, 3, 4)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $G$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ થાય.

(A) રેખા $L$ એ બિંદુઓ $A(\hat{i}-9 \hat{k})$ અને $B(7 \hat{j}+\hat{k})$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = B - A = (7 \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} - 9 \hat{k}) = -\hat{i} + 7 \hat{j} + 10 \hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ એ $6 \hat{i} + \hat{j}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને લંબ છે.
દિશા સદિશ $\vec{b}$ ધરાવતી રેખા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-1)(1) + (7)(1) + (10)(1) = -1 + 7 + 10 = 16$.
માનની ગણતરી કરો: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 49 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \left| \frac{16}{(5 \sqrt{6})(\sqrt{3})} \right| = \frac{16}{5 \sqrt{18}} = \frac{16}{5 \times 3 \sqrt{2}} = \frac{16}{15 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\sin \theta = \frac{16 \sqrt{2}}{15 \times 2} = \frac{8 \sqrt{2}}{15}$.

(B) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ તેના સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે: $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2$ તેના સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે: $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
છેદરેખાને સમાંતર સદિશ $\vec{b} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a} = \lambda(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{14}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{3^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| \sqrt{14} = \sqrt{14} \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
આમ,$\vec{a} = \pm(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
અંતે,$|\vec{a} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = |\pm(3+1-2)| = |\pm 2| = 2$.

(D) ધારો કે $P(B_1)$ અને $P(B_2)$ એ અનુક્રમે થેલી $B_1$ અને થેલી $B_2$ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $B_1$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|B_1) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
થેલી $B_2$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|B_2) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(B_1) \times P(W|B_1) + P(B_2) \times P(W|B_2)$
$P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{7}$
$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{3}{14} = \frac{14+9}{42} = \frac{23}{42}$.

(A) એક પાસા માટે,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે. પાસા પર $1$ અંક આવવાની સંભાવના $P(1) = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,એક પાસા પર $1$ અંક ન આવવાની સંભાવના $P(\text{not } 1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
જ્યારે $4$ પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
આમ,કોઈ પણ પાસા પર $1$ અંક ન આવે તેની સંભાવના $\left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ છે.

(A) કુલ સ્ક્રૂ $= 50$.
ખામીયુક્ત સ્ક્રૂ $= 5$.
ખામી રહિત સ્ક્રૂ $= 45$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય સ્ક્રૂ ખામી રહિત છે.
$(a)$ પુરવણી સહિત:
એક સ્ક્રૂ ખામી રહિત હોવાની સંભાવના $P = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}$ છે.
પુરવણી સહિત હોવાથી,ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
$P(A) = \left(\frac{9}{10}\right)^3$.
$(b)$ પુરવણી રહિત:
સંભાવના $= \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} = \frac{1419}{1960}$.

(B) સંભાવનાના સ્વયંસિદ્ધાંતો મુજબ,જો $E_1 \subseteq E_2$ હોય,તો $P(E_1) \leq P(E_2)$ થાય.
વિધાન (iv) જણાવે છે કે જો $E_1 \subseteq E_2$ હોય,તો $P(E_2) \leq P(E_1)$,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન (iv) $P$ દ્વારા સંતોષાતું નથી.

(B) ધારો કે $B_1, B_2, B_3$ એ અનુક્રમે બોક્સ $B_1, B_2, B_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પાસો ફેંકતા,$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
બોક્સ $B_1$ માટે,કુલ દડા $= 2+1+2 = 5$,તેથી $P(R|B_1) = \frac{2}{5}$.
બોક્સ $B_2$ માટે,કુલ દડા $= 3+2+4 = 9$,તેથી $P(R|B_2) = \frac{4}{9}$.
બોક્સ $B_3$ માટે,કુલ દડા $= 4+3+2 = 9$,તેથી $P(R|B_3) = \frac{2}{9}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો મળેલ હોય ત્યારે તે $B_2$ માંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|R) = \frac{P(R|B_2)P(B_2)}{P(R|B_1)P(B_1) + P(R|B_2)P(B_2) + P(R|B_3)P(B_3)}$
$P(B_2|R) = \frac{(\frac{4}{9} \times \frac{1}{3})}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{9} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{9} \times \frac{1}{3})} = \frac{5}{12}$.