રેખા x+y+2=0 એ વર્તુળ x^2+y^2+4x-4y-4=0 ને બે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) રેખા $x+y+2=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ છે. પદોને ગોઠવતા,$x^2+

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(B) રેખા $x+y+2=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ છે. પદોને ગોઠવતા,$x^2+y^2+(4+\lambda)x+(\lambda-4)y+(2\lambda-4)=0$ મળે. આને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 4+\lambda$,$2f = \lambda-4$,અને $c = 2\lambda-4$ મળે. વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(-\frac{4+\lambda}{2}, -\frac{\lambda-4}{2}\right)$ છે. કેન્દ્ર $(-g, -f)$ નું રેખા $x+y+2=0$ થી અંતર $\sqrt{2}$ આપેલું છે. અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\left|\frac{-g-f+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \sqrt{2}$ મળે. આથી $|-g-f+2| = 2$,એટલે કે $-g-f+2 = 2$ અથવા $-g-f+2 = -2$. કિસ્સો $1$: $g+f = 0$. $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 0 \Rightarrow \lambda = 0$. જો $\lambda=0$ હોય,તો તે મૂળ વર્તુળ જ રહે,પરંતુ પ્રશ્નમાં $S$ અલગ વર્તુળ છે. કિસ્સો $2$: $g+f = 4$. $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 4 \Rightarrow \lambda = 4$. $\lambda=4$ માટે,$g = 4$,$f = 0$,અને $c = 4$ મળે. આમ,$g+f+c = 4+0+4 = 8$.

Similar Questions

ત્રણ વર્તુળો $x^2 + y^2 = a^2$,$(x - c)^2 + y^2 = a^2$ અને $x^2 + (y - b)^2 = a^2$ નું મૂલાક્ષ કેન્દ્ર (Radical Center) શોધો.

જો $x-4=0$ એ બે લંબવર્તી વર્તુળોની રેડિકલ ધરી હોય,જેમાંથી એક $x^2+y^2=36$ છે,તો બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર શું છે?

$x^2+y^2-8x-6y+21=0$ અને $x^2+y^2-2x-15=0$ વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને વર્તુળો $x^2 + y^2 = a^2$ અને $x^2 + y^2 + 2ax = 2a^2$ સાથે સહ-અક્ષીય (co-axial) હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module