AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया परवलय का समीकरण: $5x^2 = -12y$।
$5$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 = -\frac{12}{5}y$।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,$4a = -\frac{12}{5}$।
$a$ का मान ज्ञात करने पर,$a = -\frac{12}{5 \times 4} = -\frac{3}{5}$।
$x^2 = 4ay$ रूप के परवलय की नाभि $(0, a)$ होती है।
$a$ का मान रखने पर,नाभि $\left(0, -\frac{3}{5}\right)$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $(x+3)^2 = 2(y-5)$ है।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (-3, 5)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$4a = 2$,जिसका अर्थ है $a = 1/2$ है।
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ रूप वाले परवलय की नाभि $(h, k+a)$ होती है।
मान रखने पर,नाभि $(-3, 5 + 1/2) = (-3, 11/2)$ प्राप्त होती है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) परवलय के लिए,अर्ध-नाभिलंब की लंबाई नाभीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है।
माना $l$ अर्ध-नाभिलंब है। तब,$\frac{1}{PS} + \frac{1}{QS} = \frac{2}{l}$.
दिया है $PS = 3$ और $QS = 2$,अतः $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$.
$\frac{2+3}{6} = \frac{2}{l} \implies \frac{5}{6} = \frac{2}{l}$.
$l = \frac{12}{5}$.
नाभिलंब की लंबाई $2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $2 y^2+25 x=0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 y^2 = -25 x$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $y^2 = -\frac{25}{2} x$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना परवलय के मानक रूप $y^2 = -4 a x$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 a = \frac{25}{2}$
$a = \frac{25}{8}$
परवलय $y^2 = -4 a x$ के लिए नियता का समीकरण $x = a$ होता है।
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{25}{8}$ प्राप्त होता है।
इसे $8 x = 25$ या $8 x - 25 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 1$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 1}$ है। चूँकि यह $(3, 2)$ से गुजरती है,$2 = 3m \pm \sqrt{9m^2 - 1}$.
$(2 - 3m)^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 4 - 12m + 9m^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 12m = 5$ $\Rightarrow m = \frac{5}{12}$.
दूसरी स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ है (क्योंकि बिंदु $(3, 2)$ रेखा $x = 3$ पर स्थित है)।
पहली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = \frac{5}{12}(x - 3) \Rightarrow 5x - 12y + 9 = 0$ है।
बिंदु $(3, 2)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{3x}{9} - \frac{2y}{1} = 1 \Rightarrow x - 6y = 3$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(3, 2)$,$(3, 0)$ और $(-5, -4/3)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(0 - (-4/3)) + 3(-4/3 - 2) + (-5)(2 - 0)| = 8$ वर्ग इकाई।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
$a = 3$ रखने पर,हमें $yy_1 = 6(x + x_1)$ प्राप्त होता है,जो $6x - y_1y + 6x_1 = 0$ में सरल हो जाता है।
हमें स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 9 = 0$ दिया गया है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{6}{1} = \frac{-y_1}{-\sqrt{3}} = \frac{6x_1}{9}$।
$\frac{6}{1} = \frac{y_1}{\sqrt{3}}$ से,$y_1 = 6\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{6}{1} = \frac{6x_1}{9}$ से,$x_1 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(9, 6\sqrt{3})$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है,इसलिए $4a=16$,जिससे $a=4$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $3x-4y+5=0$ है,जिसे $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1=\frac{3}{4}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times m_1 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m = -\frac{4}{3}$।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
$a=4$ और $m=-\frac{4}{3}$ रखने पर,हमें $y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{-4/3}$ प्राप्त होता है।
$y=-\frac{4}{3}x-3$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3y=-4x-9$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4x+3y+9=0$ मिलता है।

(D) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ और बिंदु $P(1, 2)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 4$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y}$
बिंदु $P(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = \frac{2}{2} = 1$
चूंकि ढाल $m = \tan \theta$ होता है,इसलिए:
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) परवलय $y^2=4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x+x_1)$ होता है।
यहाँ,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -6)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y(-6) = 2(3)(x+3)$
$-6y = 6(x+3)$
$-y = x+3$
$x+y+3 = 0$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,परवलय $y^2=8x$ है,इसलिए $4a=8$,जिसका अर्थ है $a=2$ है।
ढाल $m=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इन मानों को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{2}{1/\sqrt{3}}$
$y=\frac{x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y=x+6$
$x-\sqrt{3}y+6=0$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए परवलय $y^2=32x$ और $x^2=256y$ हैं।
परवलयों $y^2=4ax$ और $x^2=4by$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $b^{1/3}y + a^{1/3}x + (a^2b^2)^{1/3} = 0$ होता है।
$y^2=32x$ की तुलना $y^2=4ax$ से करने पर,$4a=32 \Rightarrow a=8$ प्राप्त होता है।
$x^2=256y$ की तुलना $x^2=4by$ से करने पर,$4b=256 \Rightarrow b=64$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(64)^{1/3}y + (8)^{1/3}x + (8^2 \times 64^2)^{1/3} = 0$
$4y + 2x + 64 = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
दिए गए परवलय $y^2=4x$ की तुलना $y^2=4ax$ से करने पर,$a=1$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $y=2x+k$ है,अतः ढाल $m=2$ है।
$a=1$ और $m=2$ का मान अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$k = -2(1)(2) - (1)(2)^3$
$k = -4 - 8$
$k = -12$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4(x+4)$ है।
परवलय पर एक बिंदु $P(x, y) = (t^2-4, 2t)$ मान लीजिए।
मूल बिंदु $(0,0)$ से परवलय पर किसी भी बिंदु की दूरी का वर्ग $d^2 = x^2 + y^2 = (t^2-4)^2 + (2t)^2$ है।
$d^2 = t^4 - 8t^2 + 16 + 4t^2 = t^4 - 4t^2 + 16$.
वृत्त $x^2+y^2=k^2$ के परवलय के अंदर स्थित होने के लिए,सभी $t$ के लिए $k^2 \leq d^2$ होना चाहिए।
माना $u = t^2$,जहाँ $u \geq 0$ है। तब $f(u) = u^2 - 4u + 16$ है।
$f(u)$ का न्यूनतम मान $u = 2$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f(2) = 2^2 - 4(2) + 16 = 12$ है।
अतः,$k^2 \leq 12$,जिसका अर्थ है $k \leq 2\sqrt{3}$।
$k$ का अधिकतम मान $2\sqrt{3}$ है।

(C) माना व्यंजक $E = \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^5$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = \left(\frac{x^2 + 2 + 2\sqrt{2}x}{2x}\right)^5 = \frac{(x + \sqrt{2})^{10}}{32x^5}$।
$E$ के विस्तार में अचर पद,$(x + \sqrt{2})^{10}$ के विस्तार में $x^5$ का गुणांक बटा $32$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + \sqrt{2})^{10}$ में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r \cdot x^{10-r} \cdot (\sqrt{2})^r$ है।
$x^5$ के गुणांक के लिए,हम $10-r = 5$ रखते हैं,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
यह पद ${}^{10}C_5 \cdot (\sqrt{2})^5 = 252 \cdot 4\sqrt{2} = 1008\sqrt{2}$ है।
अतः,अचर पद $\frac{1008\sqrt{2}}{32} = \frac{63\sqrt{2}}{2}$ है।
इसकी तुलना $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ से करने पर,हमें $a = 63$ प्राप्त होता है।

(B) छोटे $|x|$ के लिए द्विपद प्रसार $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए:
$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1+\frac{1}{2}x$
$(1-x)^{3/2} \approx 1-\frac{3}{2}x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(1+\frac{1}{2}x) + (1-\frac{3}{2}x)}{(1+x) + (1+\frac{1}{2}x)} = \frac{2-x}{2+\frac{3}{2}x} = \frac{2-x}{\frac{4+3x}{2}} = \frac{2(2-x)}{4+3x}$
$= \frac{4-2x}{4+3x} = (4-2x)(4+3x)^{-1} = (4-2x) \cdot \frac{1}{4}(1+\frac{3}{4}x)^{-1}$
$\approx \frac{1}{4}(4-2x)(1-\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}(4 - 3x - 2x + \frac{6}{4}x^2)$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$\approx \frac{1}{4}(4-5x) = 1-\frac{5x}{4}$

(C) दिया गया विस्तार: $(1-x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$10(1-x+x^2)^9 \cdot (-1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 20a_{20} x^{19}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर:
$10(1-1+1)^9 \cdot (-1+2) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}$।
$10(1)^9 \cdot (1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$।
$a_1$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल व्यंजक का अवकलन करके $x=0$ रखने पर या $(1-x+x^2)^{10}$ में $x$ का गुणांक देखने पर:
$(1-x+x^2)^{10} = 1 + 10(-x+x^2) + \ldots = 1 - 10x + \ldots$।
अतः,$a_1 = -10$ है।
$a_1 = -10$ को समीकरण $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$ में रखने पर:
$-10 + (2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}) = 10$।
इसलिए,$2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 20$।

(C) $\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^{20}$ के विस्तार में $20+1 = 21$ पद हैं।
चूंकि पदों की संख्या विषम है,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{20}{2}+1\right) = 11$-वाँ पद है।
अतः,$m = 11$.
हमें $T_{m+3} = T_{11+3} = T_{14} = T_{13+1}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(a+b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
$T_{13+1}$ के लिए,$n=20$,$r=13$,$a=x^2$,और $b=-\frac{1}{2x}$ है।
$T_{14} = {}^{20}C_{13} (x^2)^7 \left(-\frac{1}{2^{13} x^{13}}\right) = -{}^{20}C_{13} \cdot 2^{-13} x$.
अतः,$T_{m+3}$ का गुणांक $-{}^{20}C_{13} 2^{-13}$ है।

(D) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और पदों की संख्या $n = 1001$ है।
योगफल सूत्र $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(1+x)^{1000} \left(1 - (\frac{x}{1+x})^{1001}\right)}{1 - \frac{x}{1+x}}$
$f(x) = (1+x)^{1001} - x^{1001}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1+x)^{1001} - x^{1001}$ में $x^{50}$ का गुणांक,$(1+x)^{1001}$ में $x^{50}$ का गुणांक है,जो ${}^{1001}C_{50}$ है।

(D) $(\sqrt[5]{3}+\sqrt[3]{2})^{15}$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r 3^{(15-r)/5} 2^{r/3}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$r$ को $5$ और $3$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r$,$15$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 15$,इसलिए $r$ के संभावित मान $0$ और $15$ हैं।
$r=0$ के लिए,$T_1 = 27$ और $r=15$ के लिए,$T_{16} = 32$ प्राप्त होता है।
परिमेय पदों का योग $= 27 + 32 = 59$ है।
अतः,सभी अपरिमेय पदों का योग सभी परिमेय पदों के योग से अधिक है।

(C) दिया गया व्यंजक $(a+1+\frac{1}{a})^n = \frac{(a^2+a+1)^n}{a^n}$ है।
$(a^2+a+1)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $2n+1$ होती है क्योंकि $a$ के घात $a^0$ से $a^{2n}$ तक होते हैं।
दिया गया है कि पदों की संख्या $2029$ है,इसलिए $2n+1 = 2029$ है।
$2n = 2028$.
$n = 1014$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) $(3+\frac{x}{2})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r (3)^{n-r} (\frac{x}{2})^r = {}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$x^r$ का गुणांक ${}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r}$ है।
$r=9$ के लिए,गुणांक ${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9}$ है।
$r=10$ के लिए,गुणांक ${}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं:
${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9} = {}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$.
दोनों पक्षों को ${}^nC_9 \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3^{n-9}}{3^{n-10}} \times \frac{2^{10}}{2^9} = \frac{{}^nC_{10}}{{}^nC_9}$.
$3^1 \times 2^1 = \frac{n-10+1}{10} = \frac{n-9}{10}$.
$6 = \frac{n-9}{10}$ $\Rightarrow n-9 = 60$ $\Rightarrow n = 69$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $(x+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(\frac{2p}{3} + \frac{3q}{2}\right)^9$ के विस्तार के लिए,$6^{th}$ पद $(T_6)$ $T_{5+1}$ है।
यहाँ,$n=9$,$r=5$,$x=\frac{2p}{3}$,और $y=\frac{3q}{2}$ है।
$T_6 = {}^9C_5 \left(\frac{2p}{3}\right)^4 \left(\frac{3q}{2}\right)^5$
$T_6 = 126 \times \frac{16 p^4}{81} \times \frac{243 q^5}{32} = 189 p^4 q^5$
$189 p^4 q^5$ की तुलना $ap^bq^c$ से करने पर,हमें $a=189, b=4, c=5$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+3x)^n \left(1+\frac{1}{3x}\right)^n$
$= (1+3x)^n \left(\frac{3x+1}{3x}\right)^n$
$= \frac{(1+3x)^n (1+3x)^n}{(3x)^n}$
$= \frac{(1+3x)^{2n}}{(3x)^n}$
$(1+3x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{2n}{r} (3x)^r$ है।
अचर पद ज्ञात करने के लिए,हमें वह पद चाहिए जहाँ $x$ की घात $0$ हो।
अभिव्यक्ति $\frac{1}{(3x)^n} \times \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^r = \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^{r-n}$ है।
अचर पद तब प्राप्त होता है जब $r-n = 0$,अर्थात $r = n$।
$r=n$ रखने पर,अचर पद $\binom{2n}{n} (3x)^{n-n} = \binom{2n}{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,अचर पद $\binom{2n}{n}$ है।

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^r$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (-k)^r x^{\frac{10-r}{2} - 2r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0$
$10 - r = 4r$
$5r = 10 \Rightarrow r = 2$
अब,$r=2$ को पद के समीकरण में रखने पर:
$T_3 = \binom{10}{2} (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9$
$k = \pm 3$

(D) $(a + b)^n$ के विस्तार में अंत से $r^{\text{th}}$ पद,प्रारंभ से $(n - r + 2)^{\text{th}}$ पद होता है।
यहाँ,$n = 12$ और $r = 5$ है,इसलिए हमें प्रारंभ से $(12 - 5 + 2) = 9^{\text{th}}$ पद ज्ञात करना है।
सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{12}C_k (\frac{x^3}{2})^{12-k} (-\frac{2}{x^2})^k$ है।
$9^{\text{th}}$ पद के लिए,$k = 8$ है।
$T_9 = {}^{12}C_8 (\frac{x^3}{2})^4 (-\frac{2}{x^2})^8$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot \frac{x^{12}}{2^4} \cdot \frac{2^8}{x^{16}}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 2^4 \cdot x^{12-16}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 16 \cdot x^{-4}$
अतः,$x$ की घात का सूचकांक $-4$ है।

(C) हम जानते हैं कि अनुक्रम $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ निरंतर वर्धमान है और जैसे $n \to \infty$ होता है,यह $e$ की ओर अभिसरित होता है।
यहाँ $n = 100000$ दिया गया है,इसलिए $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < e$।
चूंकि $e \approx 2.71828$,इसलिए $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000}$ का मान $2.71828$ से थोड़ा कम है।
साथ ही,$n=1$ के लिए,$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2$।
चूंकि अनुक्रम वर्धमान है,इसलिए $\left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} > 2$।
अतः,$2 < \left(1 + \frac{1}{100000}\right)^{100000} < 2.71828$।
इसलिए,इस मान से बड़ा न होने वाला महत्तम पूर्णांक $[2.something] = 2$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + (1+x) + (1+x)^2 + \cdots + (1+x)^n$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$,$r = (1+x)$,और पदों की संख्या $n+1$ है:
$S = \frac{1((1+x)^{n+1} - 1)}{(1+x) - 1} = \frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$.
हमें $S$ में $x^{100}$ का गुणांक ज्ञात करना है,जो $\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$ में $x^{100}$ के गुणांक के बराबर है।
यह $(1+x)^{n+1} - 1$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करने के समान है।
$(1+x)^{n+1}$ में $x^{101}$ का गुणांक ${ }^{n+1} C_{101}$ है।
यह दिया गया है कि यह गुणांक ${ }^{201} C_{101}$ है,इसलिए ${ }^{n+1} C_{101} = { }^{201} C_{101}$.
अतः,$n+1 = 201$,जिसका अर्थ है $n = 200$.

(A) $(a-b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} (-b)^r$ द्वारा दिया जाता है।
$5^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=4$: $T_5 = \binom{n}{4} a^{n-4} b^4$.
$6^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=5$: $T_6 = -\binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
दिया गया है कि $T_5 + T_6 = 0$,इसलिए $\binom{n}{4} a^{n-4} b^4 = \binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
दोनों पक्षों को $\binom{n}{4} a^{n-5} b^4$ से विभाजित करने पर,$\frac{a}{b} = \frac{\binom{n}{5}}{\binom{n}{4}} = \frac{n-4}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) शेषफल प्रमेय का उपयोग करने पर,शेषफल $P(2)$ होगा।
दिया गया है $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7$।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 7$
$P(2) = 2(8) - 5(4) + 7$
$P(2) = 16 - 20 + 7$
$P(2) = 3$
अतः,शेषफल $3$ है।

(D) किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,व्यंजक $a^n + b^n$ को द्विपद प्रमेय या बीजगणितीय गुणनखंड का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है।
विशेष रूप से,$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$ होता है।
अतः,जब $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक होता है,तो $a^n + b^n$ हमेशा $(a + b)$ से विभाज्य होता है।

(B) दिया गया है कि $x^4+x^2+1$,$x^2+mx+1$ और $x^2+nx+1$ दोनों से विभाज्य है।
चूंकि बहुपद $4$ घात का है और भाजक $2$ घात के हैं,हम लिख सकते हैं:
$x^4+x^2+1 = (x^2+mx+1)(x^2+nx+1)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$x^4 + (m+n)x^3 + (mn+2)x^2 + (m+n)x + 1$
दोनों पक्षों में $x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$m+n = 0$

(A) माना $f(k) = 3^{3k} - 26k - 1 = 27^k - 26k - 1$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $27^k$ को $(1 + 26)^k$ के रूप में लिख सकते हैं।
$27^k = (1 + 26)^k = \binom{k}{0} + \binom{k}{1}(26) + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + \binom{k}{k}(26)^k$.
$27^k = 1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k$.
इस मान को $f(k)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(k) = (1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k) - 26k - 1$.
$f(k) = \binom{k}{2}(26)^2 + \binom{k}{3}(26)^3 + \dots + (26)^k$.
इस विस्तार के सभी पद $(26)^2 = 676$ से विभाज्य हैं।
अतः,$3^{3k} - 26k - 1$ संख्या $676$ से विभाज्य है।

(D) $(1+x+x^2)^8$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x)^{n_2} (x^2)^{n_3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ और $n_2 + 2n_3 = 5$ है।
हम $(n_1, n_2, n_3)$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल ज्ञात करते हैं:
$1$. यदि $n_3 = 0$,तो $n_2 = 5$,अतः $n_1 = 8 - 5 - 0 = 3$. गुणांक: $\frac{8!}{3! 5! 0!} = 56$.
$2$. यदि $n_3 = 1$,तो $n_2 = 3$,अतः $n_1 = 8 - 3 - 1 = 4$. गुणांक: $\frac{8!}{4! 3! 1!} = 280$.
$3$. यदि $n_3 = 2$,तो $n_2 = 1$,अतः $n_1 = 8 - 1 - 2 = 5$. गुणांक: $\frac{8!}{5! 1! 2!} = 168$.
इन गुणांकों का योग: $56 + 280 + 168 = 504$.
अतः,$x^5$ का गुणांक $504$ है।

(C) दी गई व्यंजक $(1+x)^{101} (1-x+x^2)^{100}$ है।
हम इसे $(1+x) [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(1+x)(1-x+x^2) = 1+x^3$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $(1+x)(1+x^3)^{100}$ बन जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$ प्राप्त होता है।
$(1+x^3)^{100}$ के विस्तार में,$x$ के घात $3k$ के रूप में होते हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
पहले भाग $(1+x^3)^{100}$ के लिए,हमें $x^{50}$ का गुणांक चाहिए। चूँकि $50$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए गुणांक $0$ है।
दूसरे भाग $x(1+x^3)^{100}$ के लिए,हमें $(1+x^3)^{100}$ में $x^{49}$ का गुणांक चाहिए। चूँकि $49$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए गुणांक $0$ है।
अतः,$x^{50}$ का कुल गुणांक $0 + 0 = 0$ है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) दिया गया व्यंजक $(x+y)^{-5} = \frac{1}{x^5} \left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ है,जहाँ $\left|\frac{y}{x}\right| < 1$ है।
द्विपद प्रसार $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $z = \frac{y}{x}$ और $n = 5$ है।
व्यापक पद $\binom{-5}{r} \left(\frac{y}{x}\right)^r$ द्वारा प्राप्त होता है।
हमें $\frac{y^3}{x^8} = \frac{1}{x^5} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^3$ का गुणांक चाहिए।
यह $\left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ के प्रसार में $r = 3$ वाले पद के अनुरूप है।
गुणांक $\binom{-5}{3} = \frac{(-5)(-6)(-7)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{-210}{6} = -35$ है।
अतः,गुणांक $-35$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(D) दिया गया है,${}^n C_7 = {}^n C_6$.
गुणधर्म का उपयोग करने पर: यदि ${}^n C_x = {}^n C_y$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
चूंकि $7 \neq 6$,इसलिए $n = 7 + 6 = 13$ होगा।
अतः,${}^n C_2 = {}^{13} C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया है कि,${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$.
हम जानते हैं कि यदि ${ }^n C_x={ }^n C_y$ हो,तो या तो $x=y$ होगा या $x+y=n$ होगा।
स्थिति $1$: $2k-1 = k+1$
$k = 2$.
स्थिति $2$: $(2k-1) + (k+1) = 12$
$3k = 12$
$k = 4$.
अतः,$k=4$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए सही उत्तर $4$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(1+x)^{n-1} = C_1 + 2C_2 x + 3C_3 x^2 + \ldots + nC_n x^{n-1}$।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$nx(1+x)^{n-1} = C_1 x + 2C_2 x^2 + 3C_3 x^3 + \ldots + nC_n x^n$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n[(1+x)^{n-1} + x(n-1)(1+x)^{n-2}] = C_1 + 2^2 C_2 x + 3^2 C_3 x^2 + \ldots + n^2 C_n x^{n-1}$।
$x=1$ रखने पर:
$\sum_{r=1}^n r^2 C_r = n[2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}] = n[2 \cdot 2^{n-2} + (n-1)2^{n-2}] = n(n+1)2^{n-2}$।
अतः,लुप्त पद $n(n+1)$ है।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग सभी चरों को $1$ रखकर प्राप्त किया जाता है।
व्यंजक $(\alpha x^2 - 2x + 1)^{2019}$ के लिए,गुणांकों का योग $(\alpha(1)^2 - 2(1) + 1)^{2019} = (\alpha - 1)^{2019}$ है।
व्यंजक $(x - \alpha y)^{2019}$ के लिए,गुणांकों का योग $(1 - \alpha(1))^{2019} = (1 - \alpha)^{2019}$ है।
प्रश्न के अनुसार,ये योग बराबर हैं:
$(\alpha - 1)^{2019} = (1 - \alpha)^{2019}$.
चूंकि घात $2019$ एक विषम संख्या है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\alpha - 1 = 1 - \alpha$.
$2\alpha = 2$.
$\alpha = 1$.

(D) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^{n-k} b^k$.
$(102)^4 = (100+2)^4$
$= {^4C_0}(100)^4(2)^0 + {^4C_1}(100)^3(2)^1 + {^4C_2}(100)^2(2)^2 + {^4C_3}(100)^1(2)^3 + {^4C_4}(100)^0(2)^4$
$= 1 \cdot 100000000 + 4 \cdot 1000000 \cdot 2 + 6 \cdot 10000 \cdot 4 + 4 \cdot 100 \cdot 8 + 1 \cdot 1 \cdot 16$
$= 100000000 + 8000000 + 240000 + 3200 + 16$
$= 108243216$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{(1-x)^{1/3}+(1-5x)^2}{(16-x)^{1/4}}$
$= \frac{1}{2} (1-x)^{1/3} (1-\frac{x}{16})^{-1/4} + \frac{1}{2} (1-5x)^2 (1-\frac{x}{16})^{-1/4}$
द्विपद प्रसार $(1+z)^n \approx 1+nz$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3}x)(1+\frac{x}{64}) + \frac{1}{2} (1-10x)(1+\frac{x}{64})$
$= \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}x + \frac{x}{64}) + (1 - 10x + \frac{x}{64}) ]$
$= \frac{1}{2} [ 2 - x(\frac{1}{3} + 10 - \frac{2}{64}) ]$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{1}{3} + 10 - \frac{1}{32})$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{32 + 960 - 3}{96}) = 1 - \frac{989}{192}x$
अतः,$x$ का गुणांक $-\frac{989}{192}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 13 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$2(x - 1)^2 + 3(y - 2)^2 = 1$.
मानक रूप: $\frac{(x - 1)^2}{1/2} + \frac{(y - 2)^2}{1/3} = 1$.
यहाँ $a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1/3$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{1/3}{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
नाभियों की दूरी $ae = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
केंद्र $(1, 2)$ है,अतः नाभियाँ $\left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 2\right)$ होंगी।

(B) मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त के समीकरण का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिए गए शीर्ष $(5,0)$ और $(0,-4)$ हैं,जो अक्षों पर अंतःखंडों को दर्शाते हैं।
$x$-अंतःखंड $\pm a = \pm 5$ है,इसलिए $a^2 = 25$ है।
$y$-अंतःखंड $\pm b = \pm 4$ है,इसलिए $b^2 = 16$ है।
इन मानों को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,नाभि $S = (6, 2)$,केंद्र $C = (1, 2) = (h, k)$,और दीर्घवृत्त बिंदु $P = (4, 6)$ से होकर गुजरता है।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है।
केंद्र $(1, 2)$ रखने पर,हमें $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
चूंकि दीर्घवृत्त $P(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(4-1)^2}{a^2} + \frac{(6-2)^2}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{9}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1$ हो जाता है ... (ii)।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = 6 - 1 = 5$ है,इसलिए $a^2e^2 = 25$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करने पर,$b^2 = a^2 - 25$,या $a^2 = b^2 + 25$ प्राप्त होता है ... (iii)।
$a^2$ का मान (ii) में रखने पर: $\frac{9}{b^2+25} + \frac{16}{b^2} = 1$।
$9b^2 + 16(b^2 + 25) = b^2(b^2 + 25) \implies 25b^2 + 400 = b^4 + 25b^2 \implies b^4 = 400 \implies b^2 = 20$।
(iii) से,$a^2 = 20 + 25 = 45$।
अतः,समीकरण $\frac{(x-1)^2}{45} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1$ है।

(D) दिया है: केंद्र $(0,0)$,उत्केंद्रता $e = 1/2$,और नियता $x = 4$ है।
मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्त के लिए नियता का समीकरण $x = a/e$ होता है,इसलिए $a/e = 4$ है।
$e = 1/2$ रखने पर,$a = 4 \times (1/2) = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$ है।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,$3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
प्रश्न के अनुसार,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$ ... $(i)$।
शीर्ष $(a, 0)$ और निकटतम नाभि $(ae, 0)$ के बीच की दूरी $a - ae = 3/2$ है,जिसका अर्थ है $a(1 - e) = 3/2$ ... $(ii)$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है। इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2a^2(1 - e^2)}{a} = 4$ $\Rightarrow 2a(1 - e^2) = 4$ $\Rightarrow a(1 - e^2) = 2$।
चूंकि $a(1 - e) = 3/2$ है,हम $a(1 - e)(1 + e) = 2$ लिख सकते हैं।
$a(1 - e) = 3/2$ का मान इस समीकरण में रखने पर:
$\frac{3}{2}(1 + e) = 2$ $\Rightarrow 1 + e = \frac{4}{3}$ $\Rightarrow e = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।
अतः,उत्केंद्रता $1/3$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 25y^2 = 100$ है।
दोनों पक्षों को $100$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $P = (-ae, 0)$ और $Q = (ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष का सिरा $R = (0, b)$ है।
चूँकि $\triangle PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $PQ = PR = QR$ है।
$PQ = 2ae$ है।
$PR = \sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।
$PQ^2 = PR^2$ रखने पर,$(2ae)^2 = a^2e^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$4a^2e^2 = a^2e^2 + b^2 \implies 3a^2e^2 = b^2$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$3a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$3e^2 = 1 - e^2 \implies 4e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$e = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
ऊपरी शीर्ष $V(0, b)$ है।
नाभियों को जोड़ने वाला रेखाखंड $SS'$,$V(0, b)$ पर $2\alpha$ का कोण बनाता है।
इसका अर्थ है $\angle SVS' = 2\alpha$,अतः $\angle SVO = \alpha$,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle SVO$ में,$\tan \alpha = \frac{SO}{VO} = \frac{ae}{b}$ है।
अतः,$ae = b \tan \alpha$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2 - a^2e^2$ है।
$ae = b \tan \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^2 = a^2 - (b \tan \alpha)^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = b^2 + b^2 \tan^2 \alpha = b^2(1 + \tan^2 \alpha) = b^2 \sec^2 \alpha$ है।
अतः,$a = b \sec \alpha$ है।
अब,उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{b \tan \alpha}{b \sec \alpha} = \sin \alpha$ है।

(A) रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2+5y^2=15$ है,जिसे $15$ से विभाजित करने पर मानक रूप $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2=5$,$b^2=3$,$m=2$,और $c=k$ है।
इन मानों को शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ में रखने पर:
$k^2 = (5)(2^2) + 3$
$k^2 = 5 \times 4 + 3$
$k^2 = 20 + 3 = 23$
$k = \pm \sqrt{23}$.

(D) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक कोज्या (direction cosines) संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा $X, Y,$ और $Z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
इन मानों को संबंध में रखने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$
चूँकि $\gamma$ का मान $0$ और $\pi$ के बीच है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ का अर्थ है $\gamma = \frac{\pi}{3}$ (या $\cos \gamma = -\frac{1}{2}$ का अर्थ है $\gamma = \frac{2\pi}{3}$)।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(B) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ द्वारा दी जाती हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = (1 - \cos ^2 \alpha) + (1 - \cos ^2 \beta) + (1 - \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$।
अतः,मान $2$ है।

(A) मान लीजिए कि रेखाओं के दिक्कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -\frac{bm + cn}{a}$। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$fmn + gn(-\frac{bm + cn}{a}) + hm(-\frac{bm + cn}{a}) = 0$
$afmn - bgnm - cgn^2 - bhm^2 - chmn = 0$
$bhm^2 + (ch + bg - af)mn + cgn^2 = 0$
$n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $bh(\frac{m}{n})^2 + (ch + bg - af)(\frac{m}{n}) + cg = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = \frac{cg}{bh}$ है।
इसी प्रकार,$m$ को विलुप्त करने पर,हमें $ah(\frac{l}{n})^2 + (ch + af - bg)(\frac{l}{n}) + cf = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{cf}{ah}$।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$।
$n_1 n_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} + \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनफलों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{cf}{ah} + \frac{cg}{bh} + 1 = 0$।
$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया कार्तीय समीकरण $2x - 3 = 3y + 1 = 5 - 6z$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ में लिखने के लिए,हम $x, y, z$ के गुणांकों से विभाजित करते हैं:
$2(x - \frac{3}{2}) = 3(y + \frac{1}{3}) = -6(z - \frac{5}{6})$।
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x - 3/2}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 5/6}{-1}$ प्राप्त होता है।
इस रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a} = 7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 0 \hat{k}$ से गुजरने वाली और $\vec{v}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ होता है।
अतः,$\vec{r} = (7 \hat{i} - 5 \hat{j}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$।

(A) दिया गया है कि समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ $\vec{PQ} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{PS} = \hat{i} - 2\hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS}$ और $\vec{d_2} = \vec{QS} = \vec{PS} - \vec{PQ}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{PR}$ की गणना:
$\vec{PR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{QS}$ की गणना:
$\vec{QS} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
मान लीजिए $\theta$ विकर्णों $\vec{PR}$ और $\vec{QS}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{\vec{PR} \cdot \vec{QS}}{|\vec{PR}| |\vec{QS}|}$.
$\vec{PR} \cdot \vec{QS} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 + 0 = -12$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{QS}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{-12}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{-12}{4\sqrt{30}} = \frac{-3}{\sqrt{30}} = -\sqrt{\frac{9}{30}} = -\sqrt{\frac{3}{10}}$.
अतः,$\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{10}}$।

(D) माना $A = (9, 13, 15)$,$B = (12, 21, 10)$,और $P = (5, 7, 3)$ है। माना $Q(x, y, z)$ रेखा $AB$ पर $P$ से डाले गए लंब का पाद है।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(12 - 9, 21 - 13, 10 - 15) = (3, 8, -5)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x - 9}{3} = \frac{y - 13}{8} = \frac{z - 15}{-5} = \lambda$ है।
रेखा $AB$ पर कोई भी बिंदु $Q = (3\lambda + 9, 8\lambda + 13, -5\lambda + 15)$ के रूप में होगा।
$PQ$ के दिक अनुपात $(3\lambda + 9 - 5, 8\lambda + 13 - 7, -5\lambda + 15 - 3) = (3\lambda + 4, 8\lambda + 6, -5\lambda + 12)$ हैं।
चूंकि $PQ \perp AB$,उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda + 4) + 8(8\lambda + 6) - 5(-5\lambda + 12) = 0$
$9\lambda + 12 + 64\lambda + 48 + 25\lambda - 60 = 0$
$98\lambda = 0 \implies \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,$Q = (9, 13, 15)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब का पाद $(9, 13, 15)$ है,जो विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(D) मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
यह रेखा बिंदु $P(-1, 3, -2)$ से गुजरती है।
दी गई रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ और $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों दी गई रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिक सदिश $\vec{v} = (a, b, c)$,$\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ के समांतर होगा।
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और $(2, -7, 4)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ होगा,जिसे सरल करने पर $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दो रेखाओं के दिक् अनुपात $\vec{a} = (2, -2, 1)$ और $\vec{b} = (1, -2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(-2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$
अंश की गणना:
$|2 + 4 + 2| = 8$
हर की गणना:
$\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
अतः,$\cos \theta = \frac{8}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(A) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से दूरी का सूत्र निम्नलिखित है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ,समतल $2x - y - 2z - 9 = 0$ है और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
मान $A = 2, B = -1, C = -2, D = -9$ और $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \left| \frac{2(0) + (-1)(0) + (-2)(0) - 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-9}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right| = \left| \frac{-9}{\sqrt{9}} \right| = \left| \frac{-9}{3} \right| = 3 \text{ इकाई.}$

(A) दो समतलों $P_1: x+2y+3z-4=0$ और $P_2: 4x+3y+2z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z+1) = 0$ ...$(i)$
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0+1) = 0$
$-4 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$
अब $\lambda = 4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(x+2y+3z-4) + 4(4x+3y+2z+1) = 0$
$x+2y+3z-4 + 16x+12y+8z+4 = 0$
$17x+14y+11z = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना समतलों $x-y=0$ और $2x+y+z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $a_1, b_1, c_1$ हैं। यह रेखा दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत है। अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$ और $\vec{n_2} = (2, 1, 1)$ हैं।
दिश सदिश $\vec{v_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1, 1, -3)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,समतलों $2x-z=0$ और $x+y-3z=0$ के लिए,अभिलंब $\vec{n_3} = (2, 0, -1)$ और $\vec{n_4} = (1, 1, -3)$ हैं।
दिश सदिश $\vec{v_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = (1, 5, 2)$ प्राप्त होता है।
अब,$\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(5) + (-3)(2) = 1 + 5 - 6 = 0$ है।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) माना बिंदु $P(1, 3, 4)$ है और समतल $2x - y + z + 3 = 0$ है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x', y', z')$ का सूत्र $\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 1(3) + 1(4) + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2}$.
$\frac{x' - 1}{2} = \frac{y' - 3}{-1} = \frac{z' - 4}{1} = -2 \frac{2 - 3 + 4 + 3}{4 + 1 + 1} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
निर्देशांक ज्ञात करने पर:
$x' - 1 = 2(-2) \Rightarrow x' = -3$.
$y' - 3 = -1(-2) \Rightarrow y' = 5$.
$z' - 4 = 1(-2) \Rightarrow z' = 2$.
अतः,प्रतिबिंब $(-3, 5, 2)$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
यहाँ दिया गया है कि अंतःखंड $a = 1, b = 2, c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य यानी $4$ से गुणा करने पर:
$4 \times (\frac{x}{1}) + 4 \times (\frac{y}{2}) + 4 \times (\frac{z}{4}) = 4 \times 1$.
यह $4x + 2y + z = 4$ में सरल हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बिंदु $P(x, y, z)$ की $X$-अक्ष से दूरी $\sqrt{y^2+z^2}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की समतल $x+z-1=0$ से दूरी $\frac{|x+z-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,ये दूरियाँ बराबर हैं:
$\sqrt{y^2+z^2} = \frac{|x+z-1|}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^2+z^2 = \frac{(x+z-1)^2}{2}$
$2(y^2+z^2) = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
$2y^2+2z^2 = x^2+z^2+1+2xz-2x-2z$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2-2y^2-z^2+2xz-2x-2z+1=0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए समतलों के समीकरण $x+2y+2z-5=0$ और $3x+3y+2z-8=0$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(3) + (2)(3) + (2)(2) = 3 + 6 + 4 = 13$।
परिमाण की गणना: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}$।
अतः,$\cos \theta = \frac{13}{3\sqrt{22}}$।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{3\sqrt{22}}\right)$।

(A) दिए गए समतल $P_1: 2x - 3y + 6z + 21 = 0$ और $P_2: 2x - 3y + 6z - 14 = 0$ हैं।
चूंकि समतल समानांतर हैं,मध्य-समांतर समतल का अभिलंब सदिश $(2, -3, 6)$ समान रहेगा।
माना मध्य-समांतर समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z + d = 0$ है।
जब $x, y, z$ के गुणांक समान हों,तो मध्य-समतल का अचर पद $d$ दिए गए दो समतलों के अचर पदों का औसत होता है।
यहाँ $d = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{21 + (-14)}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ है।
अतः,समीकरण $2x - 3y + 6z + 3.5 = 0$ है।
भिन्न को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर,हमें $4x - 6y + 12z + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=r$ पर सामान्य बिंदु $P(2r+1, r-1, 1-r)$ है।
चूंकि $P$ समतल $x+2y+3z=4$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r+1) + 2(r-1) + 3(1-r) = 4$
$2r + 1 + 2r - 2 + 3 - 3r = 4$
$r + 2 = 4 \Rightarrow r = 2$.
$r=2$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(5, 1, -1)$ प्राप्त होता है।
वांछित रेखा का दिशा सदिश क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = (2\hat{i}-3\hat{j}) \times (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3-0) - \hat{j}(-2-0) + \hat{k}(4+3) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$.
बिंदु $(5, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $(3, 2, 7)$ दिशा वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{7}$ है।
हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x-5}{-3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{-7}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए कि आवश्यक सदिश $\vec{v} = a(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + b(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ है।
यह $\vec{v} = (2a+b)\hat{i} + (a-b)\hat{j} + (a+b)\hat{k}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\vec{v}$,$3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$3(2a+b) + 2(a-b) + 6(a+b) = 0$.
$6a + 3b + 2a - 2b + 6a + 6b = 0$.
$14a + 7b = 0 \implies b = -2a$.
$\vec{v}$ के व्यंजक में $b = -2a$ रखने पर:
$\vec{v} = (2a - 2a)\hat{i} + (a - (-2a))\hat{j} + (a + (-2a))\hat{k} = 0\hat{i} + 3a\hat{j} - a\hat{k} = a(3\hat{j} - \hat{k})$.
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{a(3\hat{j} - \hat{k})}{|a|\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ है।

(A) एक समतल में किसी भी सदिश $w$ को उसी समतल के दो सदिशों $u$ और $v$ के रैखिक संयोजन $w = au + bv$ के रूप में निरूपित करने के लिए,सदिश $u$ और $v$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए।
दो सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि वे एक-दूसरे के समानांतर न हों।
इसका अर्थ है कि किसी भी अदिश $k$ के लिए न तो $u = k \cdot v$ लिखा जा सकता है और न ही $v = k \cdot u$ लिखा जा सकता है।
इसलिए,शर्त यह है कि $u$ और $v$ में से कोई भी एक दूसरे का अदिश गुणज न हो।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, 4)$ और $B(-3, 5, -4)$ को जोड़ने वाली रेखा को $\lambda : 1$ के अनुपात में बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $M$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$M = \left( \frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{-4\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)$.
चूंकि बिंदु $M$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1} = 0$,जिसका अर्थ है $-3\lambda + 2 = 0$,यानी $\lambda = \frac{2}{3}$.
अब $\lambda = \frac{2}{3}$ का मान $M$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$y = \frac{5(2/3) + 3}{(2/3) + 1} = \frac{10/3 + 9/3}{5/3} = \frac{19}{5}$.
$z = \frac{-4(2/3) + 4}{(2/3) + 1} = \frac{-8/3 + 12/3}{5/3} = \frac{4}{5}$.
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(0, \frac{19}{5}, \frac{4}{5}\right)$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना कि दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}=r_1$
और
$\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}=r_2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$x = r_1 + 1 = 3r_2 - 5$
$y = 2r_1 + 2 = -r_2 + 4$
$z = -3r_1 + 5 = 4r_2 - 3$
पहले दो समीकरणों को हल करने पर:
$r_1 - 3r_2 = -6$
$2r_1 + r_2 = 2$
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $6r_1 + 3r_2 = 6$.
पहले समीकरण में जोड़ने पर: $7r_1 = 0 \implies r_1 = 0$.
अतः $r_2 = 2$.
तीसरे समीकरण में जाँच करने पर: $-3(0) + 5 = 5$ और $4(2) - 3 = 5$.
चूँकि $5 = 5$,रेखाएँ बिंदु $A(1, 2, 5)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$xy$-समतल के समांतर समतल का समीकरण $z = k$ के रूप में होता है।
चूँकि यह बिंदु $(1, 2, 5)$ से गुजरता है,इसलिए $z = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) $P(1, 1, -1)$ और $Q(3, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \sqrt{\lambda}\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{8}}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{1}{3}$।
अदिश गुणन: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(\sqrt{\lambda}) + (-2)(3) + (1)(6) = 2\sqrt{\lambda}$।
परिमाण: $|\vec{v}| = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{\lambda + 45}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{3} = \frac{|2\sqrt{\lambda}|}{3 \sqrt{\lambda + 45}}$।
$\sqrt{\lambda + 45} = 2\sqrt{\lambda}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda + 45 = 4\lambda \implies 3\lambda = 45 \implies \lambda = 15$।

(C) जब एक पासे को तीन बार फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
हमें योग $S$ ऐसा खोजना है कि $S$,$4n+1$ के रूप की अभाज्य संख्या हो।
संभावित योग $3$ से $18$ के बीच हैं।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ हैं।
इनमें से,$4n+1$ के रूप की अभाज्य संख्याएँ $5, 13, 17$ हैं।
योग $5$ प्राप्त करने के तरीके: $(1,1,3)$ के $3$ क्रमचय,$(1,2,2)$ के $3$ क्रमचय। कुल = $6$ तरीके।
योग $13$ प्राप्त करने के तरीके: $(1,6,6)$ के $3$ क्रमचय,$(2,5,6)$ के $6$ क्रमचय,$(3,4,6)$ के $6$ क्रमचय,$(3,5,5)$ के $3$ क्रमचय,$(4,4,5)$ के $3$ क्रमचय। कुल = $21$ तरीके।
योग $17$ प्राप्त करने के तरीके: $(5,6,6)$ के $3$ क्रमचय। कुल = $3$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $6 + 21 + 3 = 30$।
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{30}{216} = \frac{5}{36}$।

(B) यह बेयस प्रमेय की समस्या है।
माना $A$ वह घटना है कि तीनों गेंदें अलग-अलग रंगों की हैं।
माना $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि क्रमशः बक्स $1$,बक्स $2$ और बक्स $3$ चुना गया है।
चूंकि एक बक्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
प्रत्येक बक्स से $3$ अलग-अलग रंगों की गेंदें निकालने की प्रायिकता:
$P(A|E_1) = \frac{{}^1C_1 \times {}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_3} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
$P(A|E_2) = \frac{{}^1C_1 \times {}^1C_1 \times {}^2C_1}{{}^4C_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(A|E_3) = \frac{{}^5C_1 \times {}^4C_1 \times {}^1C_1}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$
बेयस प्रमेय के अनुसार,प्रायिकता कि गेंदें बक्स $2$ से आई हैं:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) + P(E_3) \cdot P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{15}{29}$

(D) जब एक सिक्के को $6$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणाम $2^6 = 64$ होते हैं।
माना $X$ चितों की संख्या है। हमें $P(X > 3)$ ज्ञात करना है,जिसका अर्थ है कि $X$ का मान $4, 5,$ या $6$ हो सकता है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$4$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{6}{4} = 15$.
$5$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{6}{5} = 6$.
$6$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{6}{6} = 1$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 6 + 1 = 22$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना $X$,$P$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या है और $Y$,$Q$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ और $Y$ दोनों द्विपद बंटन $B(n=3, p=0.5)$ का पालन करते हैं।
$3$ सिक्कों को उछालने पर $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=r) = ^{3}C_{r} (0.5)^3$ है।
हमें $P(X=Y) = \sum_{r=0}^{3} P(X=r) \times P(Y=r)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(X=r) = P(Y=r)$,यह $\sum_{r=0}^{3} [P(X=r)]^2$ हो जाता है।
$P(X=0) = \frac{1}{8}$,$P(X=1) = \frac{3}{8}$,$P(X=2) = \frac{3}{8}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$.
$P(X=Y) = (\frac{1}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) $5$ अलग-अलग पुस्तकों को $4$ छात्रों के बीच वितरित करने के कुल तरीके $4^5 = 1024$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक छात्र को कम से कम एक पुस्तक मिले,हमें पुस्तकों को इस तरह वितरित करना होगा कि एक छात्र को $2$ पुस्तकें मिलें और अन्य तीन छात्रों को $1-1$ पुस्तक मिले।
किस छात्र को $2$ पुस्तकें मिलेंगी,यह चुनने के तरीके $\binom{4}{1} = 4$ हैं।
$5$ में से $2$ पुस्तकें चुनने के तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
शेष $3$ पुस्तकों को शेष $3$ छात्रों में वितरित करने के तरीके $3! = 6$ हैं।
कुल अनुकूल तरीके = $4 \times 10 \times 6 = 240$।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{240}{1024} = \frac{15}{64}$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) एक $2 \times 2$ सारणिक में $4$ स्थान होते हैं,प्रत्येक को $0$ या $1$ से भरा जा सकता है। अतः,कुल संभावित सारणिकों की संख्या $2^4 = 16$ है।
माना सारणिक $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ है।
सारणिक अशून्य है यदि $ad - bc \neq 0$,जिसका अर्थ है $ad \neq bc$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,$ad$ और $bc$ के संभावित मान $0$ या $1$ हैं।
शर्त $ad \neq bc$ निम्नलिखित स्थितियों में सत्य है:
$1$. $ad = 1$ और $bc = 0$: इसका अर्थ है $a=1, d=1$ और $(b=0$ या $c=0)$। $(b, c)$ के जोड़े $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ हो सकते हैं। ऐसे $3$ आव्यूह हैं।
$2$. $ad = 0$ और $bc = 1$: इसका अर्थ है $b=1, c=1$ और $(a=0$ या $d=0)$। $(a, d)$ के जोड़े $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ हो सकते हैं। ऐसे $3$ आव्यूह हैं।
अशून्य सारणिक वाले आव्यूहों की कुल संख्या $= 3 + 3 = 6$ है।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(D) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3$ प्रतिस्थापन के साथ निकाली गई तीन पुस्तकों की संख्याएँ हैं। प्रत्येक $X_i \in \{1, 2, \dots, 20\}$।
कुल परिणामों की संख्या $= 20^3$।
हम चाहते हैं कि सबसे बड़ी संख्या $7$ हो। इसका मतलब है कि तीनों संख्याएँ $\le 7$ होनी चाहिए,और कम से कम एक संख्या $7$ होनी चाहिए।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि सबसे बड़ी संख्या $\le 7$ है। तो $P(E) = \left(\frac{7}{20}\right)^3$।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि सबसे बड़ी संख्या $\le 6$ है। तो $P(F) = \left(\frac{6}{20}\right)^3$।
सबसे बड़ी संख्या ठीक $7$ होने की प्रायिकता $P(E) - P(F) = \left(\frac{7}{20}\right)^3 - \left(\frac{6}{20}\right)^3$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) $6$ सिक्कों को उछालने पर कुल संभावित परिणाम $2^6 = 64$ हैं।
हमें कम से कम $4$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=6$ और $p=q=1/2$:
$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/2)^6 = \frac{15}{64}$
$P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = \frac{6}{64}$
$P(X=6) = \binom{6}{6} (1/2)^6 = \frac{1}{64}$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \ge 4) = \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $p$ पर्वतारोही के सुरक्षित वापस लौटने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{9}{10}$.
माना $q$ पर्वतारोही के सुरक्षित वापस न लौटने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{10}$.
हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n = 5$.
हमें कम से कम $4$ पर्वतारोहियों के सुरक्षित वापस लौटने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{9}{10})^4 \cdot (\frac{1}{10})^1 = 5 \cdot \frac{9^4}{10^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{9}{10})^5 = 1 \cdot \frac{9^5}{10^5}$.
$P(X \ge 4) = \frac{5 \cdot 9^4}{10^5} + \frac{9^5}{10^5} = \frac{9^4(5 + 9)}{10^5} = \frac{9^4 \cdot 14}{100000} = \frac{9^4 \cdot 7}{50000}$.

(B) माना $S$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ तीन पासों का योग $8$ है। संभावित संयोजन हैं:
$(1, 1, 6) \rightarrow 3$ क्रमचय
$(1, 2, 5) \rightarrow 6$ क्रमचय
$(1, 3, 4) \rightarrow 6$ क्रमचय
$(2, 2, 4) \rightarrow 3$ क्रमचय
$(2, 3, 3) \rightarrow 3$ क्रमचय
कुल परिणाम $n(S) = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$.
माना $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $4$ आता है। अनुकूल परिणाम $(1, 3, 4)$ और $(2, 2, 4)$ से प्राप्त होते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6 + 3 = 9$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(C) दिया गया है,$P(A) = 0.7$।
उनमें से ठीक एक के चुने जाने की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.6$ है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होगा।
ठीक एक के चुने जाने की प्रायिकता का सूत्र $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0.6$ है।
मान रखने पर: $0.7 + P(B) - 2(0.7)P(B) = 0.6$।
$0.7 + P(B) - 1.4P(B) = 0.6$।
$-0.4P(B) = 0.6 - 0.7$।
$-0.4P(B) = -0.1$।
$P(B) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$।
अतः,$B$ के चुने जाने की प्रायिकता $0.25$ है।

(B) मान लीजिए $B$ वह घटना है कि बिल टारगेट को हिट करता है और $G$ वह घटना है कि जॉर्ज टारगेट को हिट करता है।
दिया गया है $P(B) = 0.7$ और $P(G) = 0.4$।
बिल के चूकने की प्रायिकता $P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$ है।
जॉर्ज के चूकने की प्रायिकता $P(G') = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,ठीक एक गोली टारगेट को लगने की प्रायिकता दो परस्पर अनन्य मामलों का योग है: (बिल हिट करे और जॉर्ज चूक जाए) या (बिल चूक जाए और जॉर्ज हिट करे)।
$P(\text{ठीक एक हिट}) = P(B \cap G') + P(B' \cap G) = P(B)P(G') + P(B')P(G)$
$= (0.7 \times 0.6) + (0.3 \times 0.4) = 0.42 + 0.12 = 0.54$।
हमें वह सशर्त प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह जॉर्ज की गोली थी,यह देखते हुए कि ठीक एक हिट हुआ है।
$P(G \text{ हिट} | \text{ठीक एक हिट}) = \frac{P(B' \cap G)}{P(\text{ठीक एक हिट})} = \frac{0.12}{0.54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि द्विपद वितरण के $3$ परीक्षणों में,$2$ सफलताओं की प्रायिकता $3$ सफलताओं की प्रायिकता की $9$ गुनी है।
माना $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ असफलता की प्रायिकता है,जहाँ $p + q = 1$ है।
$n$ परीक्षणों में $r$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ के लिए:
$P(X = 2) = 9 \times P(X = 3)$
${}^3C_2 p^2 q^1 = 9 \times {}^3C_3 p^3 q^0$
$3 p^2 q = 9 p^3$
चूंकि $p \neq 0$,हम $3p^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$q = 3p$
$q = 1 - p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - p = 3p$
$1 = 4p$
$p = \frac{1}{4}$
अतः,प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पासा $A$ चुना गया है (सिक्के पर चित आता है) और $E_2$ वह घटना है कि पासा $B$ चुना गया है (सिक्के पर पट आता है)।
मान लीजिए $R$ वह घटना है कि सभी $n$ प्रयासों में लाल फलक आता है।
दिया गया है $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_2) = \frac{1}{2}$।
पासे $A$ के लिए,एक प्रयास में लाल फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$P(R \mid E_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^n$।
पासे $B$ के लिए,एक प्रयास में लाल फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है। अतः,$P(R \mid E_2) = \left(\frac{1}{3}\right)^n$।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यह देखते हुए कि $n$ बार लाल रंग आया है,पासा $A$ के उपयोग किए जाने की प्रायिकता है:
$P(E_1 \mid R) = \frac{P(E_1)P(R \mid E_1)}{P(E_1)P(R \mid E_1) + P(E_2)P(R \mid E_2)}$
मान रखने पर:
$\frac{32}{33} = \frac{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n}{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^n} = \frac{2^n}{2^n + 1^n} = \frac{2^n}{2^n + 1}$।
$n$ के लिए हल करने पर:
$32(2^n + 1) = 33(2^n) \implies 32 \cdot 2^n + 32 = 33 \cdot 2^n \implies 2^n = 32$।
चूंकि $32 = 2^5$,हमें $n = 5$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,द्विपद बंटन का माध्य $= 20$।
$\Rightarrow np = 20$ $(i)$।
द्विपद बंटन का मानक विचलन $= 4$।
$\Rightarrow \sqrt{np(1-p)} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $np(1-p) = 16$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ से $np = 20$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$20(1-p) = 16$।
$1-p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$।
$p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
$p$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$n \times \frac{1}{5} = 20$।
$n = 20 \times 5 = 100$।
अतः,परीक्षणों की संख्या $100$ है।

(A) तीन सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
$X$ चितों की संख्या को दर्शाने वाला एक यादृच्छिक चर है।
हमें $P(X = 2)$ ज्ञात करना है,जो कि ठीक दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता है।
ठीक दो चित वाले परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(X = 2) = 3$ है।
इसलिए,$P(X = 2) = \frac{n(X = 2)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.

(B) अपेक्षित मान $E[X^2]$ की गणना $E[X^2] = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
दिया गया प्रायिकता वितरण:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$0.2$	$0.5$	$0.3$

$E[X^2] = (0^2 \times 0.2) + (1^2 \times 0.5) + (2^2 \times 0.3)$
$E[X^2] = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (4 \times 0.3)$
$E[X^2] = 0 + 0.5 + 1.2$
$E[X^2] = 1.7$

(C) मान लीजिए $W$ जीतना (संख्या $> 4$ प्राप्त करना,प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$) है और $L$ हारना (संख्या $\le 4$ प्राप्त करना,प्रायिकता $q = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$) है। खिलाड़ी $W$ मिलने पर या $3$ प्रयासों के बाद खेल छोड़ देता है। संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(i)$ $W$: $5$ रुपये जीतता है। प्रायिकता $P_1 = \frac{1}{3}$.
(ii) $LW$: $1$ रुपया हारता है,फिर $5$ रुपये जीतता है। शुद्ध लाभ $= 4$ रुपये। प्रायिकता $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
(iii) $LLW$: $1$ रुपया हारता है,$1$ रुपया हारता है,फिर $5$ रुपये जीतता है। शुद्ध लाभ $= 3$ रुपये। प्रायिकता $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$.
(iv) $LLL$: $1$ रुपया हारता है,$1$ रुपया हारता है,$1$ रुपया हारता है। शुद्ध लाभ $= -3$ रुपये। प्रायिकता $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.
अपेक्षित मान $E = \sum x_i P_i = 5(\frac{1}{3}) + 4(\frac{2}{9}) + 3(\frac{4}{27}) + (-3)(\frac{8}{27})$.
$E = \frac{5}{3} + \frac{8}{9} + \frac{12}{27} - \frac{24}{27} = \frac{45 + 24 + 12 - 24}{27} = \frac{57}{27} = \frac{19}{9}$.

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
अतः,$\sum_{i=1}^{100} P(X=x_i) = 1$.
दी गई प्रायिकता $P(X=x_i) = K i(i+1)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K \sum_{i=1}^{100} (i^2 + i) = 1$.
$n=100$ के लिए योग सूत्रों $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$K \left[ \frac{100(101)(201)}{6} + \frac{100(101)}{2} \right] = 1$.
$K \left[ \frac{100 \times 101}{2} \left( \frac{201}{3} + 1 \right) \right] = 1$.
$K \left[ 5050 \times (67 + 1) \right] = 1$.
$K \times 5050 \times 68 = 1$.
$K = \frac{1}{5050 \times 68} = \frac{1}{343400}$.
इसलिए,$200 K = \frac{200}{343400} = \frac{2}{3434} = \frac{1}{1717}$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दी गई प्रायिकता वितरण के लिए:
$\sum P(X) = 1$
$K + 2K + K^2 + 2K^2 + 5K^2 + K + K + 2K = 1$
$8K^2 + 7K - 1 = 0$
$(8K - 1)(K + 1) = 0$
चूंकि $K > 0$,इसलिए $K = \frac{1}{8}$ है।
घटनाएँ $E = \{2, 3, 5, 7\}$ और $F = \{1, 2, 3\}$ हैं।
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ है।
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5) + P(7)$
$P(E \cup F) = K + 2K + K^2 + 5K^2 + K = 6K^2 + 4K$
$K = \frac{1}{8}$ रखने पर:
$P(E \cup F) = 6(\frac{1}{64}) + 4(\frac{1}{8}) = \frac{6}{64} + \frac{32}{64} = \frac{38}{64}$.

(A) दुर्घटनाओं की संख्या $\lambda = 3$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण का पालन करती है।
पॉइसन यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots$ है।
हमें आज कोई दुर्घटना न होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X = 0)$ के बराबर है।
सूत्र में $\lambda = 3$ और $x = 0$ रखने पर:
$P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!}$।
चूँकि $3^0 = 1$ और $0! = 1$ होता है,हमें प्राप्त होता है:
$P(X = 0) = \frac{1 \times e^{-3}}{1} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$।
अतः,आज कोई दुर्घटना न होने की प्रायिकता $\frac{1}{e^3}$ है।

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$.
पदों को जोड़ने पर,हमें $0.6 + 4k = 1$ प्राप्त होता है।
$4k = 0.4$,जिसका अर्थ है $k = 0.1$.
$X$ का माध्य,जिसे $E(X)$ द्वारा दर्शाया जाता है,$\sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (-2 \times 0.1) + (-1 \times 0.1) + (0 \times 0.2) + (1 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.1)$.
$E(X) = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3$.
$E(X) = 0.8$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum P(X=x) = 1$.
$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1$
$k$ वाले पदों और अचर पदों को जोड़ने पर:
$(0.1 + 0.2 + 0.3) + (k + 2k + k) = 1$
$0.6 + 4k = 1$
$4k = 1 - 0.6$
$4k = 0.4$
$k = \frac{0.4}{4}$
$k = 0.1$

(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम नहीं होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 1$ है,तो $1^3 + 1 - 2 = 0$ होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $x = 1$ है,तो आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ बन जाता है।
चूंकि पहली और तीसरी पंक्ति (या स्तंभ) समान हैं,इसलिए सारणिक $0$ है।
अतः,$x$ का वास्तविक मान $1$ है।

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$
$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$
$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$
$x_1^2 = x_2^2$
चूँकि $f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,फलन निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
चूँकि $x^2 < 1+x^2$,इसलिए $\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} < 1$.
अतः,फलन का परिसर $(-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया है,$a+b+\sqrt{3} c=0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a+b = -\sqrt{3} c$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(a+b) \cdot (a+b) = (-\sqrt{3} c) \cdot (-\sqrt{3} c)$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने और दाएं पक्ष को सरल करने पर:
$|a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 = 3|c|^2$।
चूंकि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 3(1)^2$,जहां $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 3$।
$2 + 2 \cos \theta = 3$।
$2 \cos \theta = 1$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।