AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $P(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot (2^2)^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot 2^{4n+2} + 3^{3n+1} = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n=1$ के लिए,$P(1) = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n=2$ के लिए,$P(2) = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$209$ और $4235$ का महत्तम समापवर्तक ($H$.$C$.$F$.) $11$ है।
अतः,$P(n)$,$11$ से विभाज्य है।

(D) हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+2 x^2+9 = (x^4+6 x^2+9) - 4 x^2 = (x^2+3)^2 - (2 x)^2 = (x^2-2 x+3)(x^2+2 x+3)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{x^2+3}{(x^2-2 x+3)(x^2+2 x+3)} = \frac{Ax+B}{x^2-2 x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+2 x+3}$.
हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x^2+3}{x^4+2 x^2+9} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2-2 x+3} + \frac{1}{x^2+2 x+3} \right) = \frac{0x + 1/2}{x^2-2 x+3} + \frac{0x + 1/2}{x^2+2 x+3}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$A=0, B=1/2, a=-2, b=3, C=0, D=1/2, c=2$.
$aA+bB+cC+D$ में मान रखने पर:
$(-2)(0) + (3)(1/2) + (2)(0) + 1/2 = 0 + 3/2 + 0 + 1/2 = 4/2 = 2$.

(D) प्रथम आंशिक भिन्न के लिए: $\frac{1}{(3x+1)(x-2)} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x-2}$.
आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा,$1 = A(x-2) + B(3x+1)$.
$x=2$ रखने पर,$1 = B(6+1) \Rightarrow B = \frac{1}{7}$.
$x=-\frac{1}{3}$ रखने पर,$1 = A(-\frac{1}{3}-2)$ $\Rightarrow 1 = A(-\frac{7}{3})$ $\Rightarrow A = -\frac{3}{7}$.
अतः,$A+3B = -\frac{3}{7} + 3(\frac{1}{7}) = 0$.
दूसरे आंशिक भिन्न के लिए: $\frac{x+1}{(3x+1)(x-2)} = \frac{C}{3x+1} + \frac{D}{x-2}$.
$x+1 = C(x-2) + D(3x+1)$.
$x=2$ रखने पर,$3 = D(7) \Rightarrow D = \frac{3}{7}$.
$x=-\frac{1}{3}$ रखने पर,$\frac{2}{3} = C(-\frac{7}{3}) \Rightarrow C = -\frac{2}{7}$.
अब,$A:C = (-\frac{3}{7}) : (-\frac{2}{7}) = 3:2$ और $B:D = (\frac{1}{7}) : (\frac{3}{7}) = 1:3$.
इसलिए,$A+3B=0, A:C=3:2, B:D=1:3$.

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^2-35x+c=0$ के मूल $2t$ और $3t$ हैं।
मूलों का योग $= 2t + 3t = -(-35)/1 = 35$.
$5t = 35 \Rightarrow t = 7$.
मूलों का गुणनफल $= (2t)(3t) = c/1 = c$.
$6t^2 = c$.
चूंकि $t = 7$,इसलिए $c = 6(7^2) = 6 \times 49$.
दिया गया है कि $c = 6K$,अतः $6K = 6 \times 49$.
इसलिए,$K = 49$.

(D) माना $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4-x^3-8 x^2+2 x+12=0$ के मूल हैं। दिया है $\alpha+\beta=0$.
हम बहुपद को $(x^2+a)(x^2-x+b) = x^4-x^3+(a+b)x^2-ax+ab$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$-a=2 \implies a=-2$.
$ab=12 \implies -2b=12 \implies b=-6$.
अतः,$x^4-x^3-8x^2+2x+12 = (x^2-2)(x^2-x-6) = (x^2-2)(x-3)(x+2)$.
मूल $\pm\sqrt{2}, 3, -2$ हैं।
$\alpha+\beta=0$ होने के कारण,$\alpha=\sqrt{2}, \beta=-\sqrt{2}$ है।
अन्य मूल $\gamma=3, \delta=-2$ हैं (दिया है $\gamma > \delta$)।
इसलिए,$3\gamma+2\delta = 3(3)+2(-2) = 9-4 = 5$.

(A) दिया गया समीकरण $(3 + \alpha) x^2 + (6 + 2 \alpha) x + (5 + 2 \alpha) = 0$ है।
मूलों के सम्मिश्र होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2 \alpha + 6)^2 - 4 (\alpha + 3) (2 \alpha + 5) < 0$.
$4(\alpha + 3)^2 - 4(\alpha + 3)(2 \alpha + 5) < 0$.
$4$ से भाग देने पर: $(\alpha + 3)(\alpha + 3 - 2 \alpha - 5) < 0$.
$(\alpha + 3)(-\alpha - 2) < 0 \Rightarrow (\alpha + 3)(\alpha + 2) > 0$.
इसका अर्थ है $\alpha < -3$ या $\alpha > -2$।
$\alpha > L$ या $\alpha < M$ से तुलना करने पर,हमें $L = -2$ और $M = -3$ प्राप्त होता है।
प्रतिबंध $L y^2 + M y + r < 0$ का रूप $-2 y^2 - 3 y + r < 0$ हो जाता है।
सभी $y \in R$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$y^2$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए (जो $-2 < 0$ है) और $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (-3)^2 - 4(-2)(r) < 0$.
$9 + 8 r < 0$ $\Rightarrow 8 r < -9$ $\Rightarrow r < -\frac{9}{8} = -1.125$.
$r$ से अधिक न होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $[r] = [-1.125] = -2$ है।

(A) माना $t = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. तब समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ बन जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $2t^2 - 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $t = 2$ या $t = \frac{1}{2}$ मिलता है।
यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = 2$ है,तो $\frac{1-y}{y} = 4$ $\Rightarrow 1-y = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{1}{5}$।
यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = \frac{1}{2}$ है,तो $\frac{1-y}{y} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4-4y = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$।
अतः,$\alpha = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{4}{5}$ (चूंकि $\beta > \alpha$)।
तब $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha \beta = \frac{4}{25}$।
समीकरण $(\alpha+\beta) x^4 - 25 \alpha \beta x^2 + (\gamma + \beta - \alpha) = 0$ का रूप $x^4 - 4x^2 + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$ हो जाता है।
माना $u = x^2$. तब $u^2 - 4u + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$।
वास्तविक मूलों के लिए,$u$ का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। विविक्तकर $D = 16 - 4(\gamma + \frac{3}{5}) \ge 0$ $\Rightarrow 4 - \gamma - \frac{3}{5} \ge 0$ $\Rightarrow \gamma \le \frac{17}{5} = 3.4$।
साथ ही,कम से कम एक गैर-ऋणात्मक मूल $u$ के लिए,मूलों का योग $4 > 0$ और गुणनफल $\gamma + \frac{3}{5} \ge 0 \Rightarrow \gamma \ge -0.6$ होना चाहिए।
अतः,$\gamma \in [-0.6, 3.4]$। विकल्पों में से,$\frac{1}{2} = 0.5$ इस सीमा में है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ है।
गुणांकों का योग $= a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि $\beta = 1$ है।
मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$\alpha \times \beta = \frac{\text{अचर पद}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ है।
इसलिए,$\alpha \times 1 = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ है।
अतः मूल $1$ और $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ हैं।

(D) चूंकि द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया एक मूल $x_1 = 3+i$ है,अतः दूसरा मूल $x_2 = 3-i$ होगा।
द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूलों का योग $-a$ होता है।
इसलिए,$(3+i) + (3-i) = -a$.
$6 = -a$.
$a = -6$.

(B) मूलों को $-1$ द्वारा स्थानांतरित करने के लिए,हम $x$ को $(x+1)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
मूल समीकरण $f(x) = x^4+5x^3+6x^2+7x+9=0$ में $x$ के स्थान पर $(x+1)$ रखने पर:
$f(x+1) = (x+1)^4 + 5(x+1)^3 + 6(x+1)^2 + 7(x+1) + 9 = 0$
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$
$5(x+1)^3 = 5x^3 + 15x^2 + 15x + 5$
$6(x+1)^2 = 6x^2 + 12x + 6$
$7(x+1) = 7x + 7$
सभी पदों को जोड़ने पर:
$x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 38x + 28 = 0$

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 3ax + a^2 - 2a - 4 = 0$ है।
मूलों के परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (-3a)^2 - 4(1)(a^2 - 2a - 4) = 9a^2 - 4a^2 + 8a + 16 = 5a^2 + 8a + 16$.
चूंकि $5a^2 + 8a + 16$ '$a$' में एक द्विघात व्यंजक है जिसका विविक्तकर $D_a = 8^2 - 4(5)(16) = 64 - 320 = -256 < 0$ है,इसलिए $5a^2 + 8a + 16$ हमेशा धनात्मक रहता है।
हालाँकि,मूलों के परिमेय होने के लिए $D$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
चूंकि $5a^2 + 8a + 16$ सभी परिमेय '$a$' के लिए पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं लेकिन आवश्यक रूप से परिमेय नहीं हैं।

(C) दी गई असमिका $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है।
चूंकि $x^2+x+1 > 0$ है,हम असमिका को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं।
भाग $1$: $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} \Rightarrow 3 x^2+(a+1) x+3 > 0$.
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$(a+1)^2 - 36 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+7) < 0$ $\Rightarrow a \in (-7, 5) \dots (i)$.
भाग $2$: $\frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3 \Rightarrow x^2-(a-3) x+1 > 0$.
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$(a-3)^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a-1) < 0$ $\Rightarrow a \in (1, 5) \dots (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,$a \in (1, 5)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y$ समीकरणों $x^2+5ax+6=0$ और $x^2+3ax+2=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$y^2+5ay+6=0$ और $y^2+3ay+2=0$ होगा।
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(y^2+5ay+6) - (y^2+3ay+2) = 0$
$2ay + 4 = 0$
$2ay = -4$
$ay = -2$
$ay = -2$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 + 3(-2) + 2 = 0$
$y^2 - 6 + 2 = 0$
$y^2 - 4 = 0$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$.

(B) सबसे पहले,द्विघात समीकरण $2x^2+3x-2=0$ का गुणनखंड करें:
$2x^2+4x-x-2=0$ $\Rightarrow 2x(x+2)-1(x+2)=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x+2)=0$.
अतः,मूल $x=-2$ और $x=\frac{1}{2}$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x=-2$ उभयनिष्ठ मूल है,तो इसे $3x^2+ax-2=0$ में प्रतिस्थापित करें:
$3(-2)^2+a(-2)-2=0$ $\Rightarrow 12-2a-2=0$ $\Rightarrow 10=2a$ $\Rightarrow a=5$.
स्थिति $2$: यदि $x=\frac{1}{2}$ उभयनिष्ठ मूल है,तो इसे $3x^2+ax-2=0$ में प्रतिस्थापित करें:
$3(\frac{1}{2})^2+a(\frac{1}{2})-2=0$ $\Rightarrow \frac{3}{4}+\frac{a}{2}-2=0$ $\Rightarrow \frac{a}{2} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a=2.5$.
$a$ के सभी संभावित मानों का योग $5+2.5=7.5$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$,$x^2-5x+\lambda=0$ और $x^2-8x-2\lambda=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।
दोनों समीकरणों में $\alpha$ रखने पर:
$\alpha^2-5\alpha+\lambda=0$ ... $(i)$
$\alpha^2-8\alpha-2\lambda=0$ ... (ii)
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$3\alpha+3\lambda=0 \Rightarrow \alpha=-\lambda$.
चूंकि $\alpha$,$x^2-5x+\lambda=0$ का मूल है,$\alpha=-\lambda$ रखने पर:
$(-\lambda)^2-5(-\lambda)+\lambda=0$
$\lambda^2+6\lambda=0$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda=-6$.
अतः,$\alpha = 6$.
$x^2-5x-6=0$ के लिए,मूल $\alpha=6$ और $\beta=-1$ हैं।
$x^2-8x+12=0$ के लिए,मूल $\alpha=6$ और $\gamma=2$ हैं।
अंत में,$\alpha+\beta+\gamma+\lambda = 6 - 1 + 2 - 6 = 1$.

(B) दी गई असमानता: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} < 2$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} - 2 < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 2(2 x^2+x-6)}{2 x^2+x-6} < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 4 x^2-2 x+12}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
$\Rightarrow \frac{3 x^2-7 x-6}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
अंश का गुणनखंड करने पर: $3 x^2-7 x-6 = 3 x^2-9 x+2 x-6 = 3 x(x-3)+2(x-3) = (3 x+2)(x-3)$
अतः,असमानता हो जाती है: $\frac{(3 x+2)(x-3)}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, 3$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करके,हम अंतरालों की जाँच करते हैं:
$x > 3$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$\frac{3}{2} < x < 3$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$-\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$-2 < x < -\frac{2}{3}$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$x < -2$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
चूंकि हमें व्यंजक $0$ से कम चाहिए,इसलिए हल $x \in \left(-2, -\frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, 3 \right)$ है।

(C) द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$a > 0$ और विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1 > 0$,जो सदैव सत्य है।
विविक्तकर $D = \{-(3k + 1)\}^2 - 4(1)(4k^2 + 3k - 3) < 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(9k^2 + 6k + 1) - (16k^2 + 12k - 12) < 0$ प्राप्त होता है।
$-7k^2 - 6k + 13 < 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $7k^2 + 6k - 13 > 0$।
गुणनखंड करने पर: $(7k + 13)(k - 1) > 0$।
मूल $k = -\frac{13}{7}$ और $k = 1$ हैं।
व्यंजक के धनात्मक होने के लिए,$k$ को अंतराल $[-\frac{13}{7}, 1]$ के बाहर होना चाहिए।
अतः,हल समुच्चय $k \in (-\infty, -\frac{13}{7}) \cup (1, \infty)$ है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2+3(a+3)x-9a=0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
$D = [3(a+3)]^2 - 4(1)(-9a) = 0$
$9(a^2+6a+9) + 36a = 0$
$9a^2 + 90a + 81 = 0 \Rightarrow a^2 + 10a + 9 = 0$
$(a+9)(a+1) = 0 \Rightarrow a = -9, -1$.
$a = -9$ के लिए,$x^2 - 18x + 81 = 0 \Rightarrow x = 9$. अतः $\alpha = 9$.
$a = -1$ के लिए,$x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3$. अतः $\beta = -3$.
व्यंजक $f(x) = x^2 + 9x + 3$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(x) = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{69}{4}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{69}{4}$ है।

(D) माना $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
$(11-y) x^2+(12-4 y) x+(6-2 y)=0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$.
$(12-4 y)^2-4(11-y)(6-2 y) \geq 0$.
$(y-3)(y+5) \geq 0$.
अतः,$y \leq -5$ या $y \geq 3$.
दिया गया है कि $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin (-5, 3]$,इसलिए $a = -5$ और $b = 3$.
हमें $x$ का मान ज्ञात करना है जिसके लिए $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} = 3 - (-5) + 3 = 11$.
$11 x^2+12 x+6 = 11(x^2+4 x+2)$.
$12 x+6 = 44 x+22$.
$32 x = -16$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(B) माना $y = \frac{x+a}{2 x^2-3 x+1}$,जहाँ $y \in \mathbb{R}$ है।
यदि $y$ सभी वास्तविक मान लेता है,तो समीकरण $2 y x^2 - (3 y + 1) x + (y - a) = 0$ के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए $x$ के वास्तविक मूल होने चाहिए।
$y \neq 0$ के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (3 y + 1)^2 - 4(2 y)(y - a) \geq 0$
$y^2 + (8 a + 6) y + 1 \geq 0$
इस द्विघात समीकरण के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए अऋणात्मक होने के लिए,इसका विविक्तकर $0$ से कम या बराबर होना चाहिए।
$(8 a + 6)^2 - 4 \leq 0$
$(2 a + 1)(a + 1) \leq 0$
अतः,$-1 \leq a \leq -\frac{1}{2}$।
हालाँकि,यदि $y=0$ है,तो $x=-a$। हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $a \neq -1/2$ और $a \neq -1$।
इसलिए,$-1 < a < -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^2 - 6ax + (9a^2 - 2a + 2) = 0$.
माना $f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2$.
दोनों मूलों के $3$ से अधिक होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1)$ विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (-6a)^2 - 4(1)(9a^2 - 2a + 2) = 8a - 8$.
$8a - 8 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1$.
$2)$ शीर्ष की स्थिति: $-\frac{b}{2a} > 3$:
$-\frac{-6a}{2(1)} > 3$ $\Rightarrow 3a > 3$ $\Rightarrow a > 1$.
$3)$ $f(3) > 0$:
$f(3) = 9a^2 - 20a + 11 > 0$
$(9a - 11)(a - 1) > 0$.
चूंकि $a > 1$,शर्त $(9a - 11)(a - 1) > 0$ का अर्थ है $a > \frac{11}{9}$।
सभी शर्तों को संयोजित करने पर,हमें $a > \frac{11}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$ है और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -c$ है।
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-13x^2+Kx-27=0$ है।
माना मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों का गुणनफल लेने पर,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -\frac{-27}{1} = 27$.
अतः,$a^3 = 27$,जिससे $a = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a=3$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $3^3 - 13(3^2) + K(3) - 27 = 0$.
$27 - 117 + 3K - 27 = 0$.
$3K - 117 = 0$.
$3K = 117$.
$K = 39$.

(C) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया है कि $\alpha + \beta = \gamma$.
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = -p$.
$\alpha + \beta = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\gamma = -p$ प्राप्त होता है,अतः $\gamma = -\frac{p}{2}$.
चूंकि $\gamma$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $(-\frac{p}{2})^3 + p(-\frac{p}{2})^2 + q(-\frac{p}{2}) - 5 = 0$.
$-\frac{p^3}{8} + \frac{p^3}{4} - \frac{pq}{2} - 5 = 0$.
$8$ से गुणा करने पर,हमें $-p^3 + 2p^3 - 4pq - 40 = 0$ प्राप्त होता है।
$p^3 - 4pq = 40$.
$p(p^2 - 4q) = 40$.

(B) दिया गया है $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$।
मानों में पैटर्न देखें: $x = 0, 1, 2, 3, 4$ के लिए $P(x) = x^2 + 1$ है।
माना $Q(x) = P(x) - (x^2 + 1)$।
चूँकि $P(x)$ $5$ घात का बहुपद है,$Q(x)$ $0, 1, 2, 3, 4$ मूलों वाला $5$ घात का बहुपद है।
अतः,$Q(x) = k(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ जहाँ $k = 1$ है।
इस प्रकार,$P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 1$।
$P(5)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 5$ प्रतिस्थापित करें:
$P(5) = 5(4)(3)(2)(1) + 25 + 1 = 120 + 26 = 146$।

(B) दिया गया समीकरण $x^4-x^3-6x^2+4x+8=0$ है।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ एक मूल है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(x^3+x^2-4x-4)=0$ प्राप्त होता है।
त्रिघात बहुपद $x^3+x^2-4x-4$ में पुनः $x=2$ रखने पर,$8+4-8-4=0$ प्राप्त होता है,अतः $x=2$ पुनः एक मूल है।
$(x^3+x^2-4x-4)$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)(x^2+3x+2)=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $(x^2+3x+2) = (x+1)(x+2)$।
अतः,मूल $x=2, 2, -1, -2$ हैं।
दो समान मूल $2, 2$ हैं।
अन्य दो मूल $\alpha = -1$ और $\beta = -2$ हैं।
इसलिए,$\alpha^2+\beta^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$।

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल समांतर श्रेणी में $\alpha-r, \alpha, \alpha+r$ हैं।
मूलों का योग $= \alpha-r+\alpha+\alpha+r = 3\alpha$ है।
दिए गए समीकरण $x^3-b x^2+c x-d=0$ से,मूलों का योग $b$ है।
अतः,$3\alpha = b \Rightarrow \alpha = \frac{b}{3}$।
चूंकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,यह $x^3-b x^2+c x-d=0$ को संतुष्ट करेगा।
$x = \frac{b}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{b}{3})^3 - b(\frac{b}{3})^2 + c(\frac{b}{3}) - d = 0$
$\frac{b^3}{27} - \frac{b^3}{9} + \frac{bc}{3} - d = 0$
पूरे समीकरण को $27$ से गुणा करने पर:
$b^3 - 3b^3 + 9bc - 27d = 0$
$-2b^3 + 9bc - 27d = 0$
$9bc = 2b^3 + 27d$।

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^2 = 6\alpha + 2$ और $\beta^2 = 6\beta + 2$ है।
$\alpha^8$ से गुणा करने पर,$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$,जिसका अर्थ है $\alpha^{10} - 2\alpha^8 = 6\alpha^9$।
इसी प्रकार,$\beta$ के लिए,$\beta^{10} - 2\beta^8 = 6\beta^9$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8) = 6(\alpha^9 - \beta^9)$।
परिभाषा के अनुसार,$a_n = \alpha^n - \beta^n$,अतः $a_{10} - 2a_8 = 6a_9$।
इसलिए,$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^5-5x^3+5x^2-1=0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक मूल है।
बहुपद का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x^4+x^3-4x^2+x+1)=0$.
आगे गुणनखंड करने पर: $(x-1)^2(x^3+2x^2-2x-1)=0$.
$(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$.
मूल $x=1$ (त्रि-मूल) और $x=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
दो भिन्न ऋणात्मक मूल $\alpha = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ और $\beta = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ हैं।
हमें $\sqrt{-\alpha}$ और $\sqrt{-\beta}$ मूलों वाला समीकरण चाहिए।
माना $y = \sqrt{-\alpha} \Rightarrow y^2 = -\alpha$.
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+3x+1=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -3$ और $\alpha\beta = 1$ है।
नए मूल $y_1 = \sqrt{-\alpha}$ और $y_2 = \sqrt{-\beta}$ हैं।
समीकरण $(y^2+\alpha)(y^2+\beta) = 0$ होगा।
$y^4 + (\alpha+\beta)y^2 + \alpha\beta = 0$.
मान रखने पर: $y^4 - 3y^2 + 1 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $x^9-x^5+x^4-1=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(x^5+1)(x^4-1) = 0$.
$x^4-1=0$ के लिए मूल $x=1, -1, i, -i$ हैं।
$x^5+1=0$ के लिए मूल $x=-1, e^{\pm i\pi/5}, e^{\pm 3i\pi/5}$ हैं।
वास्तविक मूलों की संख्या $n=3$ (पुनरावृत्ति के साथ),$m=2$,$k=1$.
अतः,$m \cdot n \cdot k = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

(B) भागफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 3x^5-4x^4+5x^3-3x^2+6x-8$ को $t(x) = x^2+x-3$ से विभाजित करते हैं।
विभाजन प्रक्रिया करने पर,हमें भागफल $3x^3-7x^2+21x-45$ और शेषफल $114x-143$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $3x^3-7x^2+21x-45$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x - 1 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है,अतः $\alpha_1 = 1$ है।
बहुपद को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें अपचयित समीकरण प्राप्त होता है: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $x + \frac{1}{x} = a$ है। तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^2 - 2) - 4a + 5 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 - 4a + 3 = 0$ में सरल हो जाता है।
$a$ के लिए हल करने पर,हमें $(a - 3)(a - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$ या $a = 3$ है।
$a = 1$ के लिए,$x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$ है। मूल $\alpha_2, \alpha_3$ हैं। चूँकि $x^2 - x + 1 = 0$ है,इसलिए $\frac{1}{x^2} = x - 1$ है। अतः $\frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} = (\alpha_2 + \alpha_3) - 2 = 1 - 2 = -1$ है।
$a = 3$ के लिए,$x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$ है। मूल $\alpha_4, \alpha_5$ हैं। चूँकि $x^2 - 3x + 1 = 0$ है,इसलिए $\frac{1}{x^2} = 3x - 1$ है। अतः $\frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = 3(\alpha_4 + \alpha_5) - 2 = 3(3) - 2 = 7$ है।
अंत में,$\frac{1}{\alpha_1^2} + \frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} + \frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = \frac{1}{1^2} + (-1) + 7 = 1 - 1 + 7 = 7$ है।

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $12x^3-20x^2+x+3=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{3}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{12}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{4}$
हमें $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ मूलों वाला समीकरण चाहिए।
मूलों का योग: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \frac{376}{144}$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{121}{144}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \frac{9}{144}$.
अभीष्ट समीकरण $x^3 - (\sum \alpha^2)x^2 + (\sum \alpha^2\beta^2)x - (\alpha^2\beta^2\gamma^2) = 0$ है।
मान रखने पर: $144x^3 - 376x^2 + 121x - 9 = 0$.

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+3x^2-10x-24=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma = -3$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -10$,और $\alpha\beta\gamma = 24$।
माना $S = \alpha+\beta+\gamma = -3$। नए समीकरण के मूल $\alpha(S-\alpha), \beta(S-\beta), \gamma(S-\gamma)$ हैं।
$q$ दो-दो मूलों के गुणनफल का योग है:
$q = (\alpha S - \alpha^2)(\beta S - \beta^2) + (\beta S - \beta^2)(\gamma S - \gamma^2) + (\gamma S - \gamma^2)(\alpha S - \alpha^2)$।
मान रखने पर:
$q = (-3)^2(-10) - (-3)((-3)(-10) - 3(24)) + ((-10)^2 - 2(24)(-3))$।
$q = -90 + 3(30 - 72) + (100 + 144) = 28$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
हमें $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$.
मान रखने पर:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(A) दिया गया है $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^k = -i$.
सबसे पहले,आधार को सरल करने पर: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
अतः,समीकरण $(-i)^k = -i$ हो जाता है।
$(-i)^k = -i$ के लिए,$k$ को $k \equiv 1 \pmod 4$ को संतुष्ट करना चाहिए।
न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $m = 1$ है।
अधिकतम ऋणात्मक पूर्णांक $n = 1 - 4 = -3$ है।
अतः,$m - n = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$.

(B) माना $z = 8i = 8(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 8e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$ जहाँ $k = 0, 1, 2$ है।
घनमूल लेने पर,$z^{\frac{1}{3}} = 2e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}$।
$k=0$ के लिए: $2e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + i$।
$k=1$ के लिए: $2e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} + i$।
$k=2$ के लिए: $2e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i$।
अतः,मान $\pm \sqrt{3} + i, -2i$ हैं।

(C) माना $\sqrt{-5-12 i} = x+y i$,जहाँ $x > 0$.
$-5-12 i = (x+y i)^2 = x^2-y^2+2 x y i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x^2-y^2 = -5$ और $2 x y = -12$.
$x^2+y^2 = \sqrt{(-5)^2+(-12)^2} = 13$.
समीकरणों को जोड़ने पर $2 x^2 = 8$,अतः $x = 2$ ($x > 0$ के कारण)।
तब $y = -3$. अतः,$\sqrt{-5-12 i} = 2-3 i$.
इसी प्रकार,$\sqrt{5+12 i} = 3+2 i$ और $\sqrt{-8-6 i} = -1+3 i$.
अब,$a+b i = \frac{(2-3 i)+(3+2 i)}{-1+3 i} = \frac{5-i}{-1+3 i}$.
संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{5-i}{-1+3 i} \times \frac{-1-3 i}{-1-3 i} = \frac{-8-14 i}{10} = -0.8-1.4 i$.
अतः $a = -0.8$ और $b = -1.4$.
$2 a+b = 2(-0.8)+(-1.4) = -3$.

(A) माना $Z = x + iy$.
तब $Z - 2 = (x - 2) + iy$.
एक सम्मिश्र संख्या $w = a + ib$ का आयाम (argument) $\theta = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ होता है।
दिया गया है कि $\arg(Z - 2) = \frac{\pi}{2}$,इसका अर्थ है कि वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ और $y > 0$.
अतः,$Z$ का बिंदुपथ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है जहाँ $y > 0$।

(D) माना $Z = \frac{(1-i)^3}{(2-i)(3-2i)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(1-i)^3 = -2 - 2i$.
हर का विस्तार करने पर: $(2-i)(3-2i) = 4 - 7i$.
अतः,$Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i}$.
हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर: $Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i} \times \frac{4 + 7i}{4 + 7i} = \frac{6 - 22i}{65}$.
इस प्रकार,$Z = \frac{6}{65} - \frac{22}{65}i$.
काल्पनिक भाग $-\frac{22}{65}$ है।

(A) माना $\sqrt{7+24 i} = x+iy$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$7+24 i = (x^2-y^2) + 2xyi$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x^2-y^2 = 7$ और $2xy = 24$,जिसका अर्थ है $xy = 12$ या $y = \frac{12}{x}$।
$y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $x^2 - (\frac{12}{x})^2 = 7 \Rightarrow x^4 - 7x^2 - 144 = 0$।
$u = x^2$ लेने पर,$u^2 - 7u - 144 = 0$ प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर $(u-16)(u+9) = 0$ मिलता है।
चूंकि $x$ वास्तविक है,$x^2 = 16$,इसलिए $x = \pm 4$।
यदि $x = 4$ है,तो $y = 3$। यदि $x = -4$ है,तो $y = -3$।
अतः,वर्गमूल $\pm(4+3i)$ है।

(D) दिया गया है,$|Z-1| \leq 2$ और $|\omega^2 Z-1-\omega|=a$।
चूँकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $-1-\omega = \omega^2$ होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $|\omega^2 Z + \omega^2| = a$।
चूँकि $|\omega^2| = 1$,यह $|Z+1| = a$ में सरल हो जाता है।
इसे $|(Z-1)+2| = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|Z-1+2| \leq |Z-1| + |2|$।
$|Z-1| \leq 2$ दिया गया है,इसलिए $a = |Z+1| \leq |Z-1| + 2 \leq 2 + 2 = 4$।
साथ ही,मापांक $a$ सदैव ऋणेतर होता है,इसलिए $a \geq 0$।
अतः,$a$ के संभावित मानों का समुच्चय $0 \leq a \leq 4$ है।

(D) दिया गया समीकरण $z^3+\bar{z}=0$ है,जहाँ $z=x+iy$ एक सम्मिश्र संख्या है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|z^3| = |-\bar{z}|$.
चूँकि $|z^3| = |z|^3$ और $|-\bar{z}| = |z|$,इसलिए $|z|^3 = |z|$ प्राप्त होता है।
इससे $|z|(|z|^2-1) = 0$ मिलता है।
स्थिति $1$: $|z|=0$,जो हल $z=0$ देता है।
स्थिति $2$: $|z|^2=1$,जिसका अर्थ है $z\bar{z}=1$,अतः $\bar{z}=\frac{1}{z}$।
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ को मूल समीकरण में रखने पर: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,जो $z^4+1=0$ में परिवर्तित हो जाता है।
समीकरण $z^4 = -1$ के $4$ भिन्न मूल होते हैं।
स्थिति $1$ से प्राप्त हल $z=0$ को जोड़ने पर,कुल भिन्न हलों की संख्या $1 + 4 = 5$ है।

(A) माना $z = x + iy$ है। शर्त के अनुसार $\frac{z-2i}{z-2}$ शुद्ध काल्पनिक है,जिसका अर्थ है कि इसका वास्तविक भाग $0$ है।
हल करने पर: $(z-2i)(\bar{z}-2) + (\bar{z}+2i)(z-2) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ में बदल जाता है।
इसे $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
यह पूरा वृत्त प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

(C) माना $z = \frac{3-2 i \sin \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
हर के संयुग्मी $(1-2 i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3-2 i \sin \theta)(1-2 i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta - 8 i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
शुद्ध काल्पनिक संख्या के लिए वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
अतः,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) सबसे पहले,सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें:
$(4-3i)(2+3i) = 8 + 12i - 6i - 9i^2 = 8 + 6i + 9 = 17 + 6i$.
फिर,$(1+4i)$ से गुणा करें:
$(17+6i)(1+4i) = 17 + 68i + 6i + 24i^2 = 17 + 74i - 24 = -7 + 74i$.
एक सम्मिश्र संख्या $z = a + bi$ का सम्मिश्र संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
अतः,$-7 + 74i$ का सम्मिश्र संयुग्मी $-7 - 74i$ है।

(B) माना $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i)}{(1-i)(-i)}$
अंश: $(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i) = -\sqrt{3} - i - 3i - i^2 \sqrt{3} = -\sqrt{3} - 4i + \sqrt{3} = -4i$
हर: $(1-i)(-i) = -i + i^2 = -i - 1 = -(1+i)$
अतः,$z = \frac{-4i}{-(1+i)} = \frac{4i}{1+i}$
अंश और हर को संयुग्मी $(1-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{4i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4i - 4i^2}{1 - i^2} = \frac{4i + 4}{1 + 1} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i$
चूंकि $z = 2+2i$ प्रथम चतुर्थांश ($I^{st}$ quadrant) में स्थित है,इसलिए कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया गया है $z=x+iy$ और $x^2+y^2=1$, हम लिख सकते हैं $z=e^{i\phi}$ जहाँ $\phi = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
$z_1 = ze^{i\theta} = e^{i\phi}e^{i\theta} = e^{i(\phi+\theta)}$.
तब $z_1^{2n} = e^{i2n(\phi+\theta)}$.
व्यंजक $\frac{z_1^{2n}-1}{z_1^{2n}+1} = \frac{e^{i2n(\phi+\theta)}-1}{e^{i2n(\phi+\theta)}+1}$ पर विचार करें।
अंश और हर को $e^{-in(\phi+\theta)}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{e^{in(\phi+\theta)} - e^{-in(\phi+\theta)}}{e^{in(\phi+\theta)} + e^{-in(\phi+\theta)}} = \frac{2i \sin(n(\phi+\theta))}{2 \cos(n(\phi+\theta))}$.
$= i \tan(n(\phi+\theta)) = i \tan(n(\theta+\tan^{-1}(\frac{y}{x})))$.

(D) दिया गया है $Z = \cos \theta + i \sin \theta$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$Z^{2n} = \cos(2n\theta) + i \sin(2n\theta)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 + Z^{2n}}{1 - Z^{2n}} = \frac{1 + \cos(2n\theta) + i \sin(2n\theta)}{1 - \cos(2n\theta) - i \sin(2n\theta)}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 + \cos(2A) = 2 \cos^2 A$ और $1 - \cos(2A) = 2 \sin^2 A$,तथा $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos^2(n\theta) + 2i \sin(n\theta) \cos(n\theta)}{2 \sin^2(n\theta) - 2i \sin(n\theta) \cos(n\theta)} = \frac{2 \cos(n\theta) [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]}{2i \sin(n\theta) [-i \sin(n\theta) + \cos(n\theta)]}$.
$= \frac{\cos(n\theta)}{i \sin(n\theta)} = -i \cot(n\theta)$.

(A) दिया गया है कि $(r, \theta) = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$.
अतः,$x = e^{i\alpha}$,$y = e^{i\beta}$,और $z = e^{i\gamma}$.
दिया है $x + y + z = 0$,हम जानते हैं कि सम्मिश्र संख्याओं के लिए,यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
$xyz$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} = 3$.
घातांकीय रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{e^{2i\alpha}}{e^{i\beta}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\beta}}{e^{i\alpha}e^{i\gamma}} + \frac{e^{2i\gamma}}{e^{i\alpha}e^{i\beta}} = 3$.
$e^{i(2\alpha - \beta - \gamma)} + e^{i(2\beta - \alpha - \gamma)} + e^{i(2\gamma - \alpha - \beta)} = 3$.
दोनों पक्षों का वास्तविक भाग लेने पर:
$\cos(2\alpha - \beta - \gamma) + \cos(2\beta - \alpha - \gamma) + \cos(2\gamma - \alpha - \beta) = 3$.

(C) दिया गया है $x+y=20$। हम $f(x, y) = x^3 y$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
$\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, y$ पदों के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + y}{4} \geq \sqrt[4]{\left(\frac{x}{3}\right)^3 y}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$\frac{20}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}} \Rightarrow 5 \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$5^4 \geq \frac{x^3 y}{27} \Rightarrow x^3 y \leq 27 \times 625 = 16875$.
अतः,$k = 16875$।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\frac{x}{3} = y$ हो।
चूंकि $x+y=20$,हमारे पास $3y+y=20$ $\Rightarrow 4y=20$ $\Rightarrow y=5=\beta$ और $x=15=\alpha$ है।
अब,$\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} = \frac{27 \times 625}{15^2 \times 5^2} = 3$।
चूंकि $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{15}{5} = 3$,सही विकल्प $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

(C) चूंकि $A$ एक सिंगुलर आव्यूह है,इसका सारणिक शून्य है: $\left| \begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & k & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{smallmatrix} \right| = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(5k - 2) - 3(5 - 8) + 4(1 - 4k) = 0$.
$10k - 4 + 9 + 4 - 16k = 0$.
$-6k + 9 = 0$ $\Rightarrow 6k = 9$ $\Rightarrow k = \frac{3}{2}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण के मूल $\alpha = k = \frac{3}{2}$ और $\beta = \frac{1}{k} = \frac{2}{3}$ हैं।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ है।
$x^2 - (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})x + (\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}) = 0$.
$x^2 - (\frac{9+4}{6})x + 1 = 0$.
$x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$.
$6$ से गुणा करने पर,$6x^2 - 13x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $a^2 x^4 + b^2 y^4 = c^6$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a^2 x^4 + b^2 y^4}{2} \geq \sqrt{(a^2 x^4)(b^2 y^4)}$
मान रखने पर:
$\frac{c^6}{2} \geq ab x^2 y^2$
$x^2 y^2 \leq \frac{c^6}{2ab}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$xy \leq \frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $\frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$ है।

(D) माना $f(x) = \cot x$ है।
दिया गया है $1^{\prime} = 0.0175$ रेडियन,इसलिए $2^{\prime} = 0.035$ रेडियन।
अवकलन $f^{\prime}(x) = -\operatorname{cosec}^2 x$ है।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx \cot(45^{\circ}) + (0.035) \times (-\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}))$.
चूंकि $\cot(45^{\circ}) = 1$ और $\operatorname{cosec}(45^{\circ}) = \sqrt{2}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^2(45^{\circ}) = 2$।
$f(45^{\circ} + 2^{\prime}) \approx 1 - 0.035 \times 2 = 1 - 0.07 = 0.93$।

(D) दिया गया है: $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर:
$\cos(\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x) = \cos(\frac{\pi}{3})$
सूत्र $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$(2x)(3x) - \sqrt{1-(2x)^2} \sqrt{1-(3x)^2} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{1-4x^2} \sqrt{1-9x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
अतः $4x^2 = 4 \times \frac{3}{28} = \frac{3}{7} = \frac{a}{b}$
इस प्रकार,$a = 3$ और $b = 7$ है।
$a + b = 3 + 7 = 10$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin \left(2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)=\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)$
सूत्र $\sin(2 \tan^{-1} \theta) = \frac{2\theta}{1+\theta^2}$ और $\cos(2 \tan^{-1} x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$\frac{24}{25} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
$24(1+x^2) = 25(1-x^2)$
$24 + 24x^2 = 25 - 25x^2$
$49x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{49}$
$x = \frac{1}{7}$

(C) $\triangle PQR$ में,$L, M, N$ क्रमशः $PQ, QR, RP$ के मध्य बिंदु हैं।
मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\overrightarrow{LM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR}$,$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PQ}$,और $\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR}$ है।
साथ ही,$\overrightarrow{QM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{NL}$,$\overrightarrow{LN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{ML}$,$\overrightarrow{RN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{RP} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{ML}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{QM} + \overrightarrow{LN} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{RN} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
$= \overrightarrow{NL} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
चूंकि $\overrightarrow{QL} = -\overrightarrow{LQ} = -\overrightarrow{MN}$,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\vec{0}$ है।

(B) $(0,3)$ और $(5,-2)$ से गुजरने वाली रेखा का ढाल $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ है।
रेखा का समीकरण $y - 3 = -1(x - 0)$ है,जो $x + y - 3 = 0$ या $y = -x + 3$ के रूप में सरल होता है।
यदि रेखा वक्र $y = \frac{c}{x+1}$ की स्पर्शरेखा है,तो वक्र का अवकलज रेखा के ढाल के बराबर होना चाहिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2} = -1$.
इससे $c = (x+1)^2$ प्राप्त होता है।
रेखा के समीकरण में $y = \frac{c}{x+1}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{c}{x+1} = -x + 3$.
चूँकि $c = (x+1)^2$,इसलिए $\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x + 3$,जो $x + 1 = -x + 3$ हो जाता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = 2$,अतः $x = 1$.
$x = 1$ को $c = (x+1)^2$ में रखने पर,$c = (1+1)^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना रेखा $A(0, 2, 4)$ और $B(3, 0, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(3-0, 0-2, 1-4) = (3, -2, -3)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-4}{-3} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $C$,$(3k, -2k+2, -3k+4)$ है।
चूंकि $PC$,$AB$ पर लंबवत है,$PC$ के दिक अनुपात $(3k+1, -2k+1, -3k+4)$ हैं।
$PC$ और $AB$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3k+1) + (-2)(-2k+1) + (-3)(-3k+4) = 0$
$9k + 3 + 4k - 2 + 9k - 12 = 0$
$22k - 11 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$C$ के निर्देशांक $(\frac{3}{2}, 1, \frac{5}{2})$ हैं।
लंबवत दूरी $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-1))^2 + (1-1)^2 + (\frac{5}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 0^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ $\dots(i)$ है।
वक्र पर कोई भी बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ के रूप में लिया जा सकता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ है,जो सरल होकर $x \sin \theta + y \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ हो जाता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से स्पर्शरेखा की लंबवत दूरी $p_1 = \left| \frac{-\frac{a}{2} \sin 2\theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} \right| = \frac{a}{2} \sin 2\theta$ है,इसलिए $2p_1 = a \sin 2\theta$ $\dots(ii)$।
अभिलंब की ढाल $\cot \theta$ है। अभिलंब का समीकरण $y - a \sin^3 \theta = \cot \theta (x - a \cos^3 \theta)$ है,जो सरल होकर $x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$ हो जाता है।
मूल बिंदु से अभिलंब की लंबवत दूरी $p_2 = \left| \frac{-a \cos 2\theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} \right| = a \cos 2\theta$ $\dots(iii)$ है।
$(ii)$ और $(iii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर,$(2p_1)^2 + p_2^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta = a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$4p_1^2 + p_2^2 = a^2$। इसे $k_1 p_1^2 + k_2 p_2^2 = a^2$ से तुलना करने पर,$k_1 = 4$ और $k_2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$k_1 + k_2 = 4 + 1 = 5$।

(A) रेखा $AB$ का समीकरण: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-2} = \lambda$.
रेखा $CD$ का समीकरण: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+5}{8} = \frac{z-3}{-1} = \mu$.
दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $\lambda = -0.2$ और $\mu = 0.6$ प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (0.8, -0.2, 2.4)$ है।
$a+b+c = 0.8 - 0.2 + 2.4 = 3$.

(B) माना $x = \sinh^{-1}(\sqrt{8})$ और $y = \cosh^{-1}(5)$ है।
तब $\sinh x = \sqrt{8}$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 8} = 3$ है।
अतः $e^x = \cosh x + \sinh x = 3 + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}$ है।
$y = \cosh^{-1}(5)$ के लिए,$\cosh y = 5$ और $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः $e^y = \cosh y + \sinh y = 5 + 2\sqrt{6}$ है।
हमें $\cosh(x + y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $e^{-x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$ और $e^{-y} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 5 - 2\sqrt{6}$ है।
$e^x e^y = (3 + 2\sqrt{2})(5 + 2\sqrt{6}) = 15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$ है।
$e^{-x} e^{-y} = (3 - 2\sqrt{2})(5 - 2\sqrt{6}) = 15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}$ है।
$\cosh(x + y) = \frac{(15 + 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) + (15 - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3})}{2} = \frac{30 + 16\sqrt{3}}{2} = 15 + 8\sqrt{3}$ है।

(A) माना $x = \cos \theta$. जैसे $x \rightarrow 1$,वैसे $\theta \rightarrow 0$.
इस मान को सीमा में रखने पर:
$\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos \theta}-1}{\theta^2}$
अंश और हर को $(\sqrt{\cos \theta}+1)$ से गुणा करने पर:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \theta - 1}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
सर्वसमिका $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{-2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
$= \lim _{\theta}$ ${\rightarrow 0} -2 \cdot \left(\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2} \cdot 2}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos \theta}+1}$
$= -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+1} = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2} \right) \right]^{\frac{1}{n}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}\right)^2 \right)$.
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\log y = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x^2)$ और $dv = dx$ लें:
$\log y = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.
$\log y = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx$.
$\log y = \log 2 - 2 [x - \tan^{-1} x]_0^1$.
$\log y = \log 2 - 2 (1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
अतः,$y = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2} - 2}$.
$ae^b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$ और $b = \frac{\pi}{2} - 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a + b = 2 + \frac{\pi}{2} - 2 = \frac{\pi}{2}$.

(B) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
यह $1^{\infty}$ का अनिर्धारित रूप है।
सूत्र $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)[f(x)-1]}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1+x}{1-x} - 1 \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1+x - (1-x)}{1-x} \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{2x}{1-x} \right)}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{1-x}}$
$= e^{\frac{2}{1-0}} = e^2$.
अतः,$f(0) = e^2$।

(D) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
विकल्प $(A)$: $\left|\begin{array}{ccc}a+1 & b+1 & c+1 \\ a^2+1 & b^2+1 & c^2+1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = \Delta + 0 = \Delta$.
विकल्प $(B)$: $C_1 \rightarrow C_1-C_2$ और $C_2 \rightarrow C_2-C_3$ लागू करने पर,हमें $\left|\begin{array}{ccc}a-b & b-c & c \\ a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ प्राप्त होता है। $R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें $(a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b) = (a-b)(b-c)(b+c-a-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$ प्राप्त होता है,जो $\Delta$ का मान है।
विकल्प $(C)$: $\left|\begin{array}{ccc}a(a+1) & b(b+1) & c(c+1) \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$. $R_2$ को $R_1$ में जोड़ने पर,हमें $\left|\begin{array}{ccc}(a+1)^2 & (b+1)^2 & (c+1)^2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right|$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $\Delta$ होता है।
विकल्प $(D)$: सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$ का मान $\Delta$ के बराबर नहीं है।

(A) मैट्रिक्स के सिंगुलर होने के लिए,इसका सारणिक (determinant) $0$ के बराबर होना चाहिए।
दूसरे स्तंभ के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & 0 & 1 \\ 1 & x+3 & 2 \\ 2 & 0 & 2x-1 \end{vmatrix} = (x+3) \begin{vmatrix} x-2 & 1 \\ 2 & 2x-1 \end{vmatrix} = 0$
$(x+3) [(x-2)(2x-1) - 2] = 0$
$(x+3) [2x^2 - x - 4x + 2 - 2] = 0$
$(x+3) [2x^2 - 5x] = 0$
$x(x+3)(2x-5) = 0$
मूल $x = -3, 0, \frac{5}{2}$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha < \beta < \gamma$,इसलिए $\alpha = -3$,$\beta = 0$,और $\gamma = \frac{5}{2}$ है।
अब,$2\alpha + 3\beta + 4\gamma$ की गणना करें:
$2(-3) + 3(0) + 4(\frac{5}{2}) = -6 + 0 + 10 = 4$.

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 2x+1 & x-1 & 1 \\ x+2 & -1 & 1\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 1-x^2 & -3 & 0 \\ -x^2-x+2 & -x-3 & 0\end{array}\right|=0$
तीसरे स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$1 \cdot [(1-x^2)(-x-3) - (-3)(-x^2-x+2)] = 0$
$(1-x^2)(-x-3) + 3(-x^2-x+2) = 0$
$-x-3+x^3+3x^2-3x^2-3x+6 = 0$
$x^3-4x+3 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x^2+x-3) = 0$
मूल $x=1$ और $x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
धनात्मक मूल $x=1$ और $x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}$ हैं।
धनात्मक मूलों का योग $= 1 + \frac{\sqrt{13}-1}{2} = \frac{2+\sqrt{13}-1}{2} = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$.

(D) दिया गया है $3 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$। चूँकि $A A^{T} = I$,इसलिए $(3 A)(3 A)^{T} = 9 I$ होगा।
$(3 A)(3 A)^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$।
आव्यूहों का गुणा करने पर,$(1, 3)$ अवयव $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$ है।
$(2, 3)$ अवयव $2(a) + 1(2) - 2(b) = 2a + 2 - 2b = 0$ है।
$2a - 2b = -2$ से,$a - b = -1$,अर्थात $a = b - 1$ प्राप्त होता है।
$a + 2b = -4$ में मान रखने पर,$(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$।
अतः $a = -1 - 1 = -2$।
इस प्रकार,$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{-2}{-1} + \frac{-1}{-2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = BA$ है,हम दोनों पक्षों पर आव्यूह गुणन करते हैं।
$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2u & b+2v & c+2w \\ 2x+3a & 2y+3b & 2z+3c \\ 4x+3u & 4y+3v & 4z+3w \end{bmatrix}$.
इसी प्रकार $BA = \begin{bmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y+4z & x+3y & 2x+3z \\ 2b+4c & a+3b & 2a+3c \\ 2v+4w & u+3v & 2u+3w \end{bmatrix}$.
$AB$ और $BA$ के तत्वों की तुलना करके,हम दिए गए विकल्पों की जांच करते हैं।
विकल्प $D$ की जांच करने पर: $B = \begin{bmatrix} 9 & -3 & -6 \\ -6 & -8 & 4 \\ -12 & 4 & -2 \end{bmatrix}$.
इन मानों को आव्यूह गुणन में रखने पर यह सिद्ध होता है कि इस आव्यूह के लिए $AB = BA$ की शर्त सत्य है।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = K$ है।
सबसे पहले,आव्यूह $(A - A^T)$ पर विचार करें।
चूंकि $(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)$,इसलिए आव्यूह $(A - A^T)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम क्रम $n$ के किसी भी विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है। चूंकि $n = 3$ एक विषम संख्या है,इसलिए $|A - A^T| = 0$ होगा।
अब,आव्यूह $(AA^T)$ पर विचार करें।
सारणिक के गुणधर्म $|XY| = |X||Y|$ और $|A^T| = |A|$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = K \cdot K = K^2$।
अतः,सारणिकों का योग $|AA^T| + |A - A^T| = K^2 + 0 = K^2$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $4 \times 4$ आव्यूह है,इसलिए $n = 4$ है।
सहखंडज आव्यूह $P = \operatorname{adj}(A)$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,इसलिए $|P| = |A|^{4-1} = |A|^3$ है।
दिया गया है $|P| = |\frac{A}{2}|$। चूंकि $A$ एक $4 \times 4$ आव्यूह है,इसलिए $|\frac{A}{2}| = \frac{1}{2^4} |A| = \frac{1}{16} |A|$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $|A|^3 = \frac{1}{16} |A|$।
इसका अर्थ है $|A|^3 - \frac{1}{16} |A| = 0$,इसलिए $|A|(|A|^2 - \frac{1}{16}) = 0$।
चूंकि $|A| \neq 0$ ($A^{-1}$ का अस्तित्व है),इसलिए $|A|^2 = \frac{1}{16}$,जिससे $|A| = \pm \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\pm 1/4} = \pm 4$।

(C) किसी भी वर्ग आव्यूह $B$ जिसकी कोटि $n$ है,के लिए सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) का गुणधर्म $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{n-1}$ होता है।
दिए गए कारण $(R)$ में,यह कहा गया है कि $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^n$,जो गलत है क्योंकि घातांक $n-1$ होना चाहिए।
कथन $(A)$ के लिए,दिया गया है कि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $(n=3)$ है और $|B|=6$,इसलिए $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{3-1} = |B|^2 = 6^2 = 36$ होगा।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है।

(A) दिया गया है कि $P$ और $Q$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं,इसलिए $|PQ| = |P||Q| = 1$.
चूंकि $|P| = 9$,हमें $|Q| = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
हमें $|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))|$ का मान ज्ञात करना है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\text{adj}(A)| = |A|^2$ होगा।
अतः,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P \cdot \text{adj}(3Q)|^2 = |P|^2 \cdot |\text{adj}(3Q)|^2$.
चूंकि $|\text{adj}(3Q)| = |3Q|^{3-1} = |3Q|^2 = (3^3 |Q|)^2 = (27 |Q|)^2$.
$|Q| = \frac{1}{9}$ रखने पर,हमें $|\text{adj}(3Q)| = (27 \times \frac{1}{9})^2 = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अब,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P|^2 \cdot (9)^2 = 9^2 \cdot 9^2 = 9^4$.

(A) हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$,जहाँ $C_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का सहखंड (cofactor) है।
दिया गया है $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -3 & 9 & 5 \\ 1 & -3 & 5 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$C_{11} = 7 \Rightarrow \begin{vmatrix} 2 & b \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \Rightarrow 6 - b = 7 \Rightarrow b = -1$.
$C_{13} = 1 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ c & 1 \end{vmatrix} = 1 \Rightarrow 1 - 2c = 1 \Rightarrow c = 0$.
$C_{33} = 5 \Rightarrow \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \Rightarrow 2a - 1 = 5 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = (3)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 9 + 1 + 0 = 10$.

(B) दिया गया समीकरण $ABCDE = I$ है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}(ABCDE) = A^{-1}I \Rightarrow BCDE = A^{-1}$.
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $B^{-1}$ से गुणा करने पर: $B^{-1}(BCDE) = B^{-1}A^{-1} \Rightarrow CDE = B^{-1}A^{-1}$.
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $E^{-1}$ से गुणा करने पर: $(CDE)E^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1} \Rightarrow CD = B^{-1}A^{-1}E^{-1}$.
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $D^{-1}$ से गुणा करने पर: $(CD)D^{-1} = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1} \Rightarrow C = B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर: $C^{-1} = (B^{-1}A^{-1}E^{-1}D^{-1})^{-1}$.
गुणधर्म $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $C^{-1} = (D^{-1})^{-1}(E^{-1})^{-1}(A^{-1})^{-1}(B^{-1})^{-1} = DEAB$.

(C) दिया गया है कि $n \geq 2$ और $a_{ij} = i + j$ है।
स्थिति-$1$: मान लीजिए $n = 2$ है।
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = (2)(4) - (3)(3) = 8 - 9 = -1 \neq 0$ है।
चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $A$ की कोटि $2$ है।
स्थिति-$2$: मान लीजिए $n = 3$ है।
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समान हैं,इसलिए कोटि $2$ है।
किसी भी $n > 2$ के लिए,पंक्तियाँ $R_i$ इस प्रकार हैं: $R_i = (i+1, i+2, \dots, i+n)$।
ध्यान दें कि $R_3 - R_2 = R_2 - R_1 = (1, 1, \dots, 1)$ है।
अतः,$R_3 - 2R_2 + R_1 = 0$,जिसका अर्थ है कि $n \geq 3$ के लिए पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
इसलिए,सभी $n \geq 2$ के लिए $A$ की कोटि $2$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ का केवल तुच्छ हल $(x = 0, y = 0, z = 0)$ तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$ हो।
एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है और इसकी कोटि (rank) पूर्ण होती है।
चूंकि आव्यूह $A$ का क्रम $3 \times 3$ है और $|A| \neq 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ की कोटि $3$ है।

(C) मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ को ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक का विस्तार करते हैं: $\left|\begin{array}{ccc} 1-x & -2 & 1 \\ -2 & 4-x & -2 \\ 1 & -2 & 1-x \end{array}\right|=0$.
पहली पंक्ति के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$(1-x)[(4-x)(1-x) - 4] - (-2)[-2(1-x) - (-2)] + 1[4 - (4-x)] = 0$.
$(1-x)[4 - 4x - x + x^2 - 4] + 2[-2 + 2x + 2] + 1[4 - 4 + x] = 0$.
$(1-x)[x^2 - 5x] + 2[2x] + x = 0$.
$x^2 - 5x - x^3 + 5x^2 + 4x + x = 0$.
$-x^3 + 6x^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^3 - 6x^2 = 0$.
इसे त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, b=-6, c=0, d=0$ प्राप्त होता है।
त्रिघात समीकरण के लिए,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{0}{1} = 0$।

(D) दिया गया सारणिक: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|$
स्तंभ संक्रियाएँ $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a^2-b^2 & b^2 & c^2-b^2 \\ a^3-b^3 & b^3 & c^3-b^3\end{array}\right|$
$C_1$ से $(a-b)$ और $C_3$ से $(c-b)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c+b \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2+bc+b^2\end{array}\right|$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & c-a \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & c^2-a^2+bc-ab\end{array}\right|$
चूंकि $c^2-a^2+bc-ab = (c-a)(c+a) + b(c-a) = (c-a)(a+b+c)$,अतः $C_3$ से $(c-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ a+b & b^2 & 1 \\ a^2+ab+b^2 & b^3 & a+b+c\end{array}\right|$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a-b)(c-b)(c-a) \cdot (-1) \cdot [(a+b)(a+b+c) - (a^2+ab+b^2)]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a) [a^2+ab+ac+ab+b^2+bc - a^2-ab-b^2]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & a & b \\ 2(a+b+c) & b+c+2a & b \\ 2(a+b+c) & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
$C_1$ से $2(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & b+c+2a & b \\ 1 & a & c+a+2b \end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & a+b+c & 0 \\ 0 & 0 & a+b+c \end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2(a+b+c) \cdot (1) \cdot [(a+b+c)(a+b+c) - 0] = 2(a+b+c)^3$.

(A) माना $B = A - A^{T}$ है।
$B$ का परिवर्त आव्यूह $B^{T} = (A - A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}) = -B$ है।
चूँकि $B^{T} = -B$,इसलिए आव्यूह $B = A - A^{T}$ एक विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह के लिए,यदि आव्यूह की कोटि $n$ विषम है,तो उसका सारणिक शून्य होता है।
यहाँ आव्यूह की कोटि $n = 3$ है,जो कि एक विषम संख्या है।
अतः,$\det(A - A^{T}) = 0$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$ सूत्र का उपयोग करके $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं।
$A$ का ट्रेस $\text{tr}(A) = 1 + (-5) = -4$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (1)(-5) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1$ है।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - (-4)A + (-1)I = 0$ है,जो $A^2 + 4A - I = 0$ या $A^2 + 4A = I$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2A^2 + 8A = 2I$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $\alpha A^2 + \beta A = 2I$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 8$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix}$.
अब,$5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix}$.
और $6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^2 - 5A + 6I$ की गणना करें:
$A^2 - 5A + 6I = \begin{bmatrix} 7 & 4 & 10 \\ 13 & 7 & 19 \\ 19 & 10 & 28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & 5 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 0 \\ 3 & 8 & 4 \\ 4 & 0 & 14 \end{bmatrix}$.

(C) दिया गया है,$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 11 & 1 & 5\end{array}\right|$ और $X=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ 2 \\ \beta\end{array}\right]$.
क्रेमर के नियम के अनुसार,$x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$.
सबसे पहले,$\Delta = 1(-5-2) - 1(10+2) + 1(2-1) = -7 - 12 + 1 = -18$ की गणना करें।
इसके बाद,$\Delta_1 = 5(-5-2) - 1(20-22) + 1(4+11) = 5(-7) - 1(-2) + 15 = -35 + 2 + 15 = -18$ की गणना करें।
अतः,$\alpha = x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-18}{-18} = 1$.
अब,निकाय $AX=B$ का उपयोग करते हुए जहाँ $X = [\alpha, 2, \beta]^T = [1, 2, \beta]^T$:
$1(1) + 1(2) + 1(\beta) = 5 \Rightarrow 3 + \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2$.
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a\end{array}\right|$
$D = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6)$
$D = 3a - 25 - 2a + 20 - 3$
$D = a - 8$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,हम $D = 0$ रखते हैं,जिससे $a = 8$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 8$ पर संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 12\end{array}\right]$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3\end{array}\right]$
चूंकि अंतिम पंक्ति $0 = -3$ दर्शाती है,जो एक विरोधाभास है,इसलिए $a = 8$ होने पर निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+y-z=6$ $(1)$
$3x+2y-z=5$ $(2)$
$2x-y-2z=-3$ $(3)$
ऑगमेंटेड मैट्रिक्स (augmented matrix) विधि का उपयोग करते हुए:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 3 & 2 & -1 & | & 5 \\ 2 & -1 & -2 & | & -3 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं (row operations) को लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & -3 & 0 & | & -15 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & 0 & -6 & | & 24 \end{bmatrix}$
तीसरी पंक्ति से: $-6z = 24 \Rightarrow z = -4 = \gamma$.
दूसरी पंक्ति से: $-y + 2z = -13 \Rightarrow -y + 2(-4) = -13 \Rightarrow -y - 8 = -13 \Rightarrow y = 5 = \beta$.
पहली पंक्ति से: $x + y - z = 6 \Rightarrow x + 5 - (-4) = 6 \Rightarrow x + 9 = 6 \Rightarrow x = -3 = \alpha$.
अतः,$\alpha + \beta = -3 + 5 = 2$.

(B) गुणांक आव्यूह $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right|$ है।
सारणिक का मान: $1(15-12) - 2(12-9) + 3(16-15) = 1(3) - 2(3) + 3(1) = 3 - 6 + 3 = 0$.
चूंकि $D=0$,निकाय के संगत होने के लिए क्रेमर नियम के अनुसार $D_3 = 0$ होना चाहिए।
$D_3 = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & \lambda\end{array}\right| = 0$.
$1(5\lambda - 20) - 2(4\lambda - 15) + 4(16 - 15) = 0$.
$5\lambda - 20 - 8\lambda + 30 + 4 = 0$.
$-3\lambda + 14 = 0 \Rightarrow 3\lambda = 14$.
दिया गया है $3\lambda = n + 100$,अतः $3\lambda = 14$ प्रतिस्थापित करने पर:
$14 = n + 100 \Rightarrow n = 14 - 100 = -86$.

(B) रैखिक समीकरणों के निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ है।
अद्वितीय हल के लिए शर्त $|A| \neq 0$ है।
$|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) \neq 0$.
$|A| = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 \neq 0$.
$|A| = a - 8 \neq 0$.
अतः,$a \neq 8$.
चूंकि $b$ का मान गुणांक आव्यूह के सारणिक को प्रभावित नहीं करता है,इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(b \in R)$।
इस प्रकार,शर्त $a \neq 8$ और $b \in R$ है।

(B) माना निकाय $AX = B$ के रूप में है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & -2 \\ 2 & 7 & 7 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(21 - (-14)) - 2(21 - (-4)) + 1(21 - 6)$
$|A| = 1(35) - 2(25) + 1(15) = 35 - 50 + 15 = 0$.
चूँकि $|A| = 0$ है,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,हम सहखंडज आव्यूह $adj(A)$ की जाँच करते हैं और $adj(A)B$ की गणना करते हैं:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix}$।
$adj(A)B = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -105 + 7 + 28 \\ 75 - 5 - 20 \\ -45 + 3 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -70 \\ 50 \\ -30 \end{bmatrix} \neq 0$।
चूँकि $adj(A)B \neq 0$ है,इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिया गया सारणिक: $\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} > 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) > 0$
$abc - a - c + 1 + 1 - b > 0$
$abc + 2 > a + b + c$ . . . . . . $(i)$
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार:
$\frac{a + b + c}{3} \geq (abc)^{1/3} \Rightarrow a + b + c \geq 3(abc)^{1/3}$ . . . . . . $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$abc + 2 > 3(abc)^{1/3}$
माना $x = (abc)^{1/3}$,तो $x^3 + 2 > 3x$
$x^3 - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)^2(x + 2) > 0$
चूंकि $(x - 1)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,असमिका को सत्य होने के लिए $x + 2 > 0$ होना चाहिए
$x > -2 \Rightarrow (abc)^{1/3} > -2$
दोनों पक्षों का घन करने पर: $abc > -8$

(C) हम $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y$ के सूत्र का उपयोग करते हैं। चूंकि $x \times y = 2 \times 3 = 6 > 1$,इसलिए सूत्र है: $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
मान रखने पर: $\tan ^{-1} 2 + \tan ^{-1} 3 = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2+3}{1-(2 \times 3)} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{1-6} \right) = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right)$.
$= \pi + \tan ^{-1}(-1)$.
चूंकि $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) दिया गया है $\theta = \sec^{-1}(\cosh u)$,इसलिए $\sec \theta = \cosh u$ है।
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन की परिभाषा के अनुसार,$u = \cosh^{-1}(\sec \theta) = \log_e(\sec \theta + \sqrt{\sec^2 \theta - 1})$ है।
चूंकि $\sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta$,हमें $u = \log_e(\sec \theta + \tan \theta)$ प्राप्त होता है।
इसे साइन और कोसाइन के रूप में लिखने पर: $u = \log_e\left(\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \log_e\left(\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 + \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$ और $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ होता है।
अतः,$\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$।
इस प्रकार,$u = \log_e(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}))$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8} = k$.
$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$\cos^4(\frac{\pi}{2} + \theta) = \sin^4 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos^4 \frac{5 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = \sin^4 \frac{\pi}{8}$ और $\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{3 \pi}{8}) = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$k = (\cos^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{\pi}{8}) + (\cos^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin^4 \frac{3 \pi}{8})$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए,$k = [(\cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8}] + [(\cos^2 \frac{3 \pi}{8} + \sin^2 \frac{3 \pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cos^2 \frac{3 \pi}{8}]$.
चूंकि $\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \sin^2(2 \theta)$,इसलिए $k = [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3 \pi}{4}]$.
$k = 2 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अब,$\sin^{-1}(\sqrt{\frac{k}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{k}{3}) = \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3/2}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{3/2}{3}) = \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2})$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) हम सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{1-1/25} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ की गणना करें।
फिर,$4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = 2 \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left( \frac{2(5/12)}{1-(5/12)^2} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{1-25/144} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{119/144} \right) = \tan ^{-1} \frac{120}{119}$।
अब,$-\tan ^{-1} \frac{1}{70} + \tan ^{-1} \frac{1}{99} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/99 - 1/70}{1 + (1/99)(1/70)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(70-99)/6930}{(6930+1)/6930} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{-29}{6931} \right) = -\tan ^{-1} \frac{1}{239}$।
अंत में,$\tan ^{-1} \frac{120}{119} - \tan ^{-1} \frac{1}{239} = \tan ^{-1} \left( \frac{120/119 - 1/239}{1 + (120/119)(1/239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{(28680-119)/(119 \times 239)}{(28441+120)/(119 \times 239)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{4}$
सर्वसमिका $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$
$\frac{3x}{1-2x^2} = 1$
$3x = 1 - 2x^2$
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए ताकि $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ हो सके,इसलिए हम ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = \frac{\sqrt{17}-3}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ जहाँ $|x| > 1$ है।
अतः,$2 \coth^{-1}(4) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log \left(\frac{4+1}{4-1}\right) = \log \left(\frac{5}{3}\right)$।
हम यह भी जानते हैं कि $\text{sech}^{-1}(x) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ जहाँ $0 < x \leq 1$ है।
$x = \frac{3}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\text{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{1 - (9/25)}}{3/5}\right) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{16/25}}{3/5}\right) = \log \left(\frac{1 + 4/5}{3/5}\right) = \log \left(\frac{9/5}{3/5}\right) = \log 3$।
इसलिए,$2 \coth^{-1}(4) + \text{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log \left(\frac{5}{3}\right) + \log 3 = \log \left(\frac{5}{3} \times 3\right) = \log 5$।

(A) दिया गया है कि $\alpha = \sin^{-1} x + \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} \right)$,जहाँ $0 < x < \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $x = \sin \theta$ है। चूँकि $0 < x < \frac{1}{2}$ है,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ है।
अतः $\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$ होगा।
इन मानों को $\alpha$ के समीकरण में रखने पर:
$\alpha = \sin^{-1}(\sin \theta) + \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$.
सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{6} \cos \theta = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $-\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{6} < 0$ है,जिसका अर्थ है $0 < \frac{\pi}{6} - \theta < \frac{\pi}{6}$।
अतः,$\cos^{-1} \left( \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right) \right) = \cos^{-1} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) \right) = \frac{\pi}{6} - \theta$ होगा।
इसलिए,$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6} - \theta = \frac{\pi}{6}$।
अंत में,$\tan \alpha + \cot \alpha = \tan \frac{\pi}{6} + \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$।

(A) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
हम सामान्य पद को $\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)} \right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{50} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 50) = \tan^{-1} 51 - \tan^{-1} 1$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan^{-1} \left( \frac{51-1}{1+51 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{50}{52} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right)$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\cot \left( \tan^{-1} \left( \frac{25}{26} \right) \right) = \cot \left( \cot^{-1} \left( \frac{26}{25} \right) \right) = \frac{26}{25}$।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\log_{0.5}(2x - 3)}} + \sqrt{4 - 9x^2}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1. \log_{0.5}(2x - 3) > 0$ $\Rightarrow 2x - 3 < 1$ $\Rightarrow x < 2$.
$2. 2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$.
$3. 4 - 9x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq \frac{4}{9}$ $\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
इन शर्तों को संयोजित करने पर: $(x < 2) \cap (x > \frac{3}{2}) \cap (-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3})$.
चूंकि $x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो $x > \frac{3}{2}$ और $x \leq \frac{2}{3}$ दोनों को संतुष्ट करे,इसलिए प्रांत एक रिक्त समुच्चय है।