AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई रेखाओं का समीकरण: $f(x, y) = 3x^2 - 11xy + 10y^2 - 7x + 13y + 4 = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ को हल करते हैं।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 11y - 7 = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -11x + 20y + 13 = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{-143 + 140} = \frac{-y}{78 - 77} = \frac{1}{120 - 121}$
$\frac{x}{-3} = \frac{-y}{1} = \frac{1}{-1}$
$x = 3$ और $y = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।

(A) बिंदुओं $A(3,4)$ और $B(-1,2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक $AB$ के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है और $AB$ पर लंब होता है।
सबसे पहले,$AB$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें:
$M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (1, 3)$.
अब,रेखाखंड $AB$ की ढाल ज्ञात करें:
$m_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{1}{2}$.
लंब समद्विभाजक की ढाल $(m_{\perp})$ $m_{AB}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_{\perp} = -2$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - 3 = -2(x - 1)$
$y - 3 = -2x + 2$
$2x + y - 5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना तीसरा शीर्ष $C = (h, k)$ है।
दिए गए शीर्ष $A = (2, -3)$ और $B = (-2, 1)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ है।
चूंकि केंद्रक $G$ रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$ होगा।
समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,$2h + 3(k - 2) = 3$ प्राप्त होता है।
$2h + 3k - 6 = 3$,अतः $2h + 3k = 9$ है।
इस प्रकार,शीर्ष $C$ का बिंदुपथ $2x + 3y = 9$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2+y^2}$ है।
$A(-2, -3)$ से दूरी $\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{OP}{AP} = \frac{5}{7}$ है,इसलिए $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}} = \frac{5}{7}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x^2+y^2}{(x+2)^2+(y+3)^2} = \frac{25}{49}$।
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+4x+4+y^2+6y+9)$।
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+y^2+4x+6y+13)$।
$49(x^2+y^2) - 25(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$।
$24(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) बिंदु $P(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
इन दूरियों के वर्गों का योग $x^2 + y^2$ है।
रेखा $x-y-1=0$ से बिंदु $P(x, y)$ की दूरी $d = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अक्षों से दूरियों के वर्गों का योग रेखा से दूरी के वर्ग के बराबर है:
$x^2 + y^2 = \left( \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}} \right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x-y-1)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y - 1 = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{(x+2)^2+y^2}=4$.
मान लीजिए $P = (x, y)$,$A = (2, 0)$,और $B = (-2, 0)$ है।
यह समीकरण बिंदु $P$ से बिंदुओं $A$ और $B$ तक की दूरियों का योग दर्शाता है,जो $PA + PB = 4$ है।
बिंदु $A(2, 0)$ और $B(-2, 0)$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूंकि $PA + PB = AB$,बिंदु $P$ को $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
शर्त $-2 < x < 2$ और $y=0$ दी गई है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर $x = -2$ और $x = 2$ के बीच का रेखाखंड दर्शाता है।
अतः,समीकरण एक रेखाखंड दर्शाता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(B) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ बिंदु पथ पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है।
अतः,$|x| + |y| = 1$।
यह समीकरण एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। $A(1, 1)$ और $B(-2, 3)$ दिए गए हैं।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= 9 \text{ वर्ग इकाई}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(1 - 3) + 1(3 - y) + (-2)(y - 1)| = 9$.
$|-2x - 3y + 5| = 18$.
अतः,$-2x - 3y + 5 = 18$ या $-2x - 3y + 5 = -18$.
स्थिति $1$: $2x + 3y + 13 = 0$.
स्थिति $2$: $2x + 3y - 23 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $2x + 3y + 13 = 0$ और $2x + 3y - 23 = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{k_1}{k_2} = \lambda$ (मान लीजिए)।
इसका अर्थ है कि $a_1 = \lambda a_2$,$b_1 = \lambda b_2$,और $k_1 = \lambda k_2$ है।
अतः,समीकरण $p = 0$ को $\lambda a_2 x + \lambda b_2 y + \lambda k_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो सरल होकर $\lambda(a_2 x + b_2 y + k_2) = 0$ यानी $\lambda q = 0$ हो जाता है।
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसका अर्थ है कि $p = 0$ और $q = 0$ एक ही सीधी रेखा को दर्शाते हैं।
वक्र का समीकरण $p + c q = 0$ है।
$p = \lambda q$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda q + c q = 0$ प्राप्त होता है,जो $(\lambda + c) q = 0$ है।
यह किसी भी स्थिरांक $c$ (जहाँ $\lambda + c \neq 0$) के लिए $q = 0$ (या $p = 0$) के समान ही सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2)$,$B(-2, 5)$ और $P(x, y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
मान रखने पर: $8 = \frac{1}{2} |1(5 - y) + (-2)(y - 2) + x(2 - 5)|$.
$16 = |5 - y - 2y + 4 - 3x| = |9 - 3y - 3x|$.
$16 = |9 - 3(x + y)|$.
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $9 - 3(x + y) = 16 \implies 3x + 3y + 7 = 0$.
स्थिति $2$: $9 - 3(x + y) = -16 \implies 3x + 3y - 25 = 0$.
अतः,बिंदु-पथ $3x + 3y + 7 = 0$ और $3x + 3y - 25 = 0$ है।

(B) $x$ और $y$ में द्वितीय घात का समघातीय समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $h^2 \geq ab$ हो,तो यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है।

(A) $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ रेखाओं का युग्म मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इन रेखाओं द्वारा रेखा $a x+b y+c=0$ के साथ समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए,रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $60^\circ$ या $\frac{\pi}{3}$ रेडियन होना चाहिए।
$A x^2+2 H x y+B y^2=0$ रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$।
$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$।
$3(A^2+2 A B+B^2) = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+6 A B+3 B^2 = 4 H^2-4 A B$।
$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$।
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $3 A^2+9 A B+A B+3 B^2 = 4 H^2$।
$3 A(A+3 B)+B(A+3 B) = 4 H^2$।
$(A+3 B)(3 A+B) = 4 H^2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) यह दिया गया है कि रेखाओं $2x^2 - xy + by^2 = 0$ में से एक रेखा बिंदु $(-4, -2)$ से होकर गुजरती है।
समीकरण में बिंदु $(-4, -2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-4)^2 - (-4)(-2) + b(-2)^2 = 0$
$2(16) - (8) + b(4) = 0$
$32 - 8 + 4b = 0$
$24 + 4b = 0$
$4b = -24$
$b = -6$
अतः,$b^2 = (-6)^2 = 36$.
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2-7xy+12y^2=0$ है। इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$2h=-7$,और $b=12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - 1 \cdot 12}}{1+12} \right| = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 12}}{13} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{13} \right| = \frac{2 \cdot (1/2)}{13} = \frac{1}{13}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{1}{13}$,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $1$ और आसन्न भुजा $13$ है। कर्ण $\sqrt{1^2+13^2} = \sqrt{170}$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{170}}$।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = 5 \Rightarrow h = \frac{5}{2}$,और $b = 3$ प्राप्त होता है।
सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times \frac{1}{2}}{5} \right| = \frac{1}{5}$।
चूंकि कोण $\tan^{-1}(k)$ है,इसलिए $\tan \theta = k$ होगा।
अतः,$k = \pm \frac{1}{5}$।

(D) रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ होता है।
प्रथम युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-p$ है।
कोण समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ अर्थात $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि यह समद्विभाजक युग्म दूसरे युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ के समान है,इसलिए गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{p} = -2 q$ प्राप्त होता है।
अतः,$p q = -1$।

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 5\left(\frac{y}{x}\right) + 6 = 0$.
माना $m = \frac{y}{x}$,तो $m^2 - 5m + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(m - 3)(m - 2) = 0$.
अतः,रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1 = \tan \alpha = 3$ और $m_2 = \tan \beta = 2$ हैं।
दो कोणों के अंतर के लिए टेंजेंट का सूत्र उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$.
मान रखने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{3 - 2}{1 + (3)(2)} = \frac{1}{1 + 6} = \frac{1}{7}$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित सरल रेखाओं के युग्म के लंबवत होने की शर्त यह है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a + b = 0$।
विकल्प $A$ के लिए: $2 x^2 = y(x + 2 y)$
$\Rightarrow 2 x^2 - xy - 2 y^2 = 0$
यहाँ,$a = 2$ और $b = -2$ है।
गुणांकों का योग: $a + b = 2 + (-2) = 0$।
चूंकि शर्त $a + b = 0$ संतुष्ट होती है,इसलिए ये रेखाएं लंबवत हैं।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
जब रेखाएँ लंबवत होती हैं,तो $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
चूँकि $\tan 90^{\circ}$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए।
अतः,$a + b = 0$।

(A) $ax^2+2hxy+by^2=0$ समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का न्यून कोण $(\theta)$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$
यदि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,तो $\theta = 90^\circ$ होगा।
चूँकि $\tan 90^\circ$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए।
अतः,$a+b=0$।

(C) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$2h=4 \Rightarrow h=2$,और $b=1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(B) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के लिए,यदि रेखाएं लंबवत हैं तो $A + B = 0$ होता है।
यहाँ,$A = 3d$ और $B = d^2 - 2$ है।
अतः,$3d + d^2 - 2 = 0$ या $d^2 + 3d - 2 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$d = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$।
इस प्रकार,$d$ के $2$ संभावित मान प्राप्त होते हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं के युग्म $x^2-2pxy-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, h=-p, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ है,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ या $x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि यह समद्विभाजकों का युग्म रेखाओं के युग्म $x^2-2qxy-y^2=0$ के समान है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{2}{p} = -2q$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $pq = -1$,या $pq+1=0$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) मान लीजिए कि दो निश्चित रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा $L$ जो $L_1$ और $L_2$ पर समान रूप से झुकी हुई है,उसे $L_1$ और $L_2$ द्वारा निर्मित कोण का समद्विभाजक होना चाहिए।
ऐसे दो कोण समद्विभाजक (आंतरिक और बाह्य) होते हैं,जो हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
चूंकि कथन $-I$ में वर्णित दो रेखाएँ ये दो कोण समद्विभाजक हैं,इसलिए उन्हें लंबवत होना चाहिए।
अतः,कथन $-I$ सत्य है,कथन $-II$ सत्य है,और कथन $-II$,कथन $-I$ की सही व्याख्या है।

(C) रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a+b=0$।
दिया गया है $l+(-2)=0$,जिससे $l=2$ प्राप्त होता है।
अब समीकरण $2x^2+3xy-2y^2-5x+5y+k=0$ बन जाता है।
इसके रेखाओं का युग्म होने के लिए,शर्त $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ संतुष्ट होनी चाहिए।
यहाँ $a=2, b=-2, c=k, h=\frac{3}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=\frac{5}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2)(-2)(k) + 2(\frac{5}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2}) - 2(\frac{5}{2})^2 - (-2)(-\frac{5}{2})^2 - k(\frac{3}{2})^2 = 0$।
$-4k - \frac{75}{4} - \frac{50}{4} + \frac{50}{4} - \frac{9k}{4} = 0$।
$-4k - \frac{9k}{4} - \frac{75}{4} = 0$।
$-\frac{25k}{4} = \frac{75}{4}$।
$k = -3$।

(B) सरल रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, b=-1, h=-p$ है।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ है।
यह $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $-p(x^2-y^2)=2xy$,या $p x^2+2 x y-p y^2=0$ है।
$p$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि यह युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$-2 q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-p q = 1$,जिससे $p q = -1$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण: $x^2+4xy-y^2=0$ है।
इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$b=-1$,और $h=2$ प्राप्त होता है।
द्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{2} \Rightarrow x^2-xy-y^2=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y=mx$ एक द्विभाजक है,इसलिए $x^2-x(mx)-(mx)^2=0$ होगा।
अतः $m^2+m-1=0$।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
इसलिए,$2m = -1 \pm \sqrt{5}$।

(D) दिया गया समीकरण $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ है।
हम द्विघात भाग को $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = 3x - y$,तो समीकरण $t^2 + 6t + 8 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t + 4)(t + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो समांतर रेखाएँ $3x - y + 4 = 0$ और $3x - y + 2 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,और $c_2 = 2$ है।
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + 2 \sqrt{2} xy + 2y^2 + 4x + 4 \sqrt{2}y + 1 = 0$ है।
इसे $(x + \sqrt{2}y)^2 + 4(x + \sqrt{2}y) + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = x + \sqrt{2}y$,तो समीकरण $t^2 + 4t + 1 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $t = -2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,दो समांतर रेखाएं $x + \sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ और $x + \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ $A = 1$,$B = \sqrt{2}$,$C_1 = 2 - \sqrt{3}$,और $C_2 = 2 + \sqrt{3}$ है।
$d = \frac{|(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|-2 \sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2$ इकाई।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ है।
इसे $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = 3x - y$. तब समीकरण $t^2 + 6t + 8 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(t + 4)(t + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = -4$ या $t = -2$.
इससे दो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $3x - y + 4 = 0$ और $3x - y + 2 = 0$.
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,और $c_2 = 2$.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2(\sec^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2xy \tan \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$,$h = -\tan \theta$,और $b = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}$ और $m_1 m_2 = \frac{\sec^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}$ है।
ढालों के अंतर का वर्ग $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ होता है।
गणना करने पर,$(m_1 - m_2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2-4xy-y^2+6x+2y+k=0$ के साथ तुलना करने पर:
$a=1, h=-2, b=-1, g=3, f=1, c=k$।
रेखा युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ है।
मान रखने पर:
$(1)(-1)(k) + 2(1)(3)(-2) - 1(1)^2 - (-1)(3)^2 - k(-2)^2 = 0$
$-k - 12 - 1 + 9 - 4k = 0$
$-5k - 4 = 0$
$5k = -4$
$k = -\frac{4}{5}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) रेखाओं का पहला युग्म $xy+x+y+1=0$ द्वारा दिया गया है। इसका गुणनखंड करने पर,हमें $x(y+1)+1(y+1)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x+1)(y+1)=0$। अतः,रेखाएँ $x=-1$ और $y=-1$ हैं।
रेखाओं का दूसरा युग्म $xy+3x+3y+9=0$ द्वारा दिया गया है। इसका गुणनखंड करने पर,हमें $x(y+3)+3(y+3)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x+3)(y+3)=0$। अतः,रेखाएँ $x=-3$ और $y=-3$ हैं।
चतुर्भुज बनाने वाली चार रेखाएँ $x=-1, x=-3, y=-1$ और $y=-3$ हैं।
ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x=-1$ और $x=-3$ के बीच की दूरी $|-1 - (-3)| = 2$ है।
क्षैतिज रेखाओं $y=-1$ और $y=-3$ के बीच की दूरी $|-1 - (-3)| = 2$ है।
चूंकि विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच की दूरी क्षैतिज रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए चतुर्भुज एक वर्ग है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $m_1 = \frac{2}{3}$ तथा $m_2 = -\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखाओं के समीकरण $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ हैं।
ढाल का मान रखने पर,हमें $y = \frac{2}{3}x \Rightarrow 2x - 3y = 0$ और $y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 2x + 3y = 0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण इन दो रैखिक समीकरणों का गुणनफल है:
$(2x - 3y)(2x + 3y) = 0$.
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$(2x)^2 - (3y)^2 = 0$.
अतः,$4x^2 - 9y^2 = 0$.

(D) रेखाओं के युग्म $f(x, y) = x^2+xy+2y^2-3x+2y+4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $f(x, y)$ का $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करके ज्ञात किया जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 = 0 \quad \dots (i)$
$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y + 2 = 0 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ से,$y = 3 - 2x$.
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 4(3 - 2x) + 2 = 0$
$x + 12 - 8x + 2 = 0$
$-7x + 14 = 0 \implies x = 2$
$x = 2$ को $y = 3 - 2x$ में रखने पर:
$y = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं के युग्म को दर्शाता है।
समीकरण $x-y=4$ तीसरी रेखा को दर्शाता है।
इन तीन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज की भुजाओं के ढाल और कोणों की जांच करने पर,यह $60^\circ$ का कोण बनाती हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(C) माना रेखाओं की ढाल क्रमशः $m$ और $3m$ है,जो समीकरण $ax^2+4xy+y^2=0$ द्वारा निरूपित हैं।
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $A=a$,$2H=4 \Rightarrow H=2$,और $B=1$ प्राप्त होता है।
ढालों का योग $m+3m = -\frac{2H}{B} = -\frac{4}{1} = -4$ है।
$4m = -4 \Rightarrow m = -1$.
ढालों का गुणनफल $m(3m) = \frac{A}{B} = \frac{a}{1} = a$ है।
$3m^2 = a$.
$m = -1$ रखने पर,हमें $3(-1)^2 = a \Rightarrow a = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $4x^2 + 2\lambda xy - 7y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = 2\lambda$,और $b = -7$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b} = \frac{-2\lambda}{-7} = \frac{2\lambda}{7}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि ढालों का योग उनके गुणनफल के बराबर है:
$\frac{2\lambda}{7} = -\frac{4}{7}$.
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,हमें $2\lambda = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = -2$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समघात द्विघात समीकरण है।
$4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 4$,$2h = -24$ (अर्थात $h = -12$),और $b = 11$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के लिए विविक्तकर $h^2 - ab = (-12)^2 - (4)(11) = 144 - 44 = 100$ है।
चूँकि $h^2 - ab > 0$ है,इसलिए यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली दो भिन्न वास्तविक रेखाओं को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना कि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि परिधि $10 \pi$ है।
$2 \pi r = 10 \pi$
$\Rightarrow r = 5$
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ और $2f=-6 \Rightarrow f=-3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 3)$ है।
माना व्यास का दूसरा सिरा $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{h+3}{2} = 2$ $\Rightarrow h+3 = 4$ $\Rightarrow h = 1$
$\frac{k+4}{2} = 3$ $\Rightarrow k+4 = 6$ $\Rightarrow k = 2$
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(1, 2)$ है।

(D) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (5, 4)$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है।
अतः,$r = |5| = 5$.
वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 5^2$.
विस्तार करने पर,$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 25$.
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 41 = 25$.
अतः,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+6x+2ky+25=0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=3$,$f=k$,और $c=25$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-3, -k)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+k^2-25} = \sqrt{k^2-16}$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या केंद्र के $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $r = |-g| = |-3| = 3$।
त्रिज्या के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\sqrt{k^2-16} = 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2-16 = 9$।
$k^2 = 25$,जिससे $k = \pm 5$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और $x$ तथा $y$ अक्षों पर क्रमशः $a$ और $b$ अंतःखंड बनाता है।
अतः,वृत्त $(a,0)$ और $(0,b)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है।
चूंकि निर्देशांक अक्षों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $(a,0)$ और $(0,b)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x_1, y_1) = (a,0)$ और $(x_2, y_2) = (0,b)$ रखने पर:
$(x-a)(x-0) + (y-0)(y-b) = 0$
$x(x-a) + y(y-b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - by = 0$
$x^2 + y^2 - ax - by = 0$

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-8y=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-3$,$f=-4$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ सूत्र $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2-0} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ इकाई}$।
वृत्त का व्यास $d = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ इकाई}$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2=9$ और रेखा $x+y=1$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $(x^2+y^2-9) + \lambda(x+y-1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यह $x^2+y^2+\lambda x+\lambda y - (\lambda+9) = 0$ में सरल हो जाता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ है।
सबसे छोटे वृत्त के लिए,रेखा $x+y=1$ को वृत्त का व्यास होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 1$,जिससे $-\lambda = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = -1$।
$\lambda = -1$ को परिवार के समीकरण में रखने पर,हमें $(x^2+y^2-9) - (x+y-1) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा $y-x=0$ पर $(m, n)$ का प्रतिबिंब बिंदु $(n, m)$ है।
माना वृत्त का केंद्र $(n, m)$ और त्रिज्या $r$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-n)^2 + (y-m)^2 = r^2$ ... $(i)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी,अतः $r = |m|$.
इस प्रकार,$r^2 = m^2$.
समीकरण $(i)$ में $r^2$ का मान रखने पर:
$(x-n)^2 + (y-m)^2 = m^2$
$x^2 - 2nx + n^2 + y^2 - 2my + m^2 = m^2$
$x^2 + y^2 - 2nx - 2my + n^2 = 0$.

(D) केंद्र $C = (2,3)$.
त्रिज्या $r$,केंद्र $(2,3)$ से रेखा $3x-4y+1=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(2)-4(3)+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+1|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|-5|}{5} = 1$.
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$ है।
$(x-2)^2+(y-3)^2 = 1^2$.
$x^2-4x+4+y^2-6y+9 = 1$.
$x^2+y^2-4x-6y+12 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) वृत्त के अभिलंब हमेशा उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। दिए गए अभिलंबों $(x-1)(y-2)=0$ से,वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
चूँकि $3x+4y=6$ वृत्त की एक स्पर्शरेखा है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र $(1, 2)$ से रेखा $3x+4y-6=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{5} = 1$.
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 1$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1^2$,जो सरल होकर $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
जब $x = 0$ तब $\theta = 0$,और जब $x = 1$ तब $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः $I = 8 \int_0^{\pi/4} \frac{\log(1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$.
गुणधर्म $\int_0^a f(\theta) d\theta = \int_0^a f(a-\theta) d\theta$ का उपयोग करने पर:
$I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d\theta$.
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$,इसलिए:
$I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+\tan \theta}) d\theta$.
$I = 8 \int_0^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+\tan \theta)) d\theta = 8 \int_0^{\pi/4} \log 2 d\theta - I$.
$2I = 8 \log 2 [\theta]_0^{\pi/4} = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) = 2\pi \log 2$.
अतः,$I = \pi \log 2$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} e^{\sin x} \cos x \, dx$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापन लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\cos x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
अब,समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$ है,तो $t = \sin(0) = 0$.
जब $x = \frac{\pi}{2}$ है,तो $t = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^1 e^t \, dt$.
$e^t$ का समाकलन $e^t$ होता है।
$I = [e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi/4} (\tan^2 x - \tan^4 x) dx$.
हम समाकल्य का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$\tan^2 x - \tan^4 x = \tan^2 x (1 - \tan^2 x)$.
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi/4} (\sec^2 x - 1)(1 - (\sec^2 x - 1)) dx = \int_0^{\pi/4} (\sec^2 x - 1)(2 - \sec^2 x) dx$.
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$I = \int_0^{\pi/4} (2\sec^2 x - \sec^4 x - 2 + \sec^2 x) dx = \int_0^{\pi/4} (3\sec^2 x - \sec^4 x - 2) dx$.
$\sec^4 x = \sec^2 x (1 + \tan^2 x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi/4} (3\sec^2 x - \sec^2 x(1 + \tan^2 x) - 2) dx = \int_0^{\pi/4} (2\sec^2 x - \sec^2 x \tan^2 x - 2) dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = [2\tan x - \frac{\tan^3 x}{3} - 2x]_0^{\pi/4}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = (2(1) - \frac{1^3}{3} - 2(\frac{\pi}{4})) - (0) = 2 - \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{2}$.

(D) $(i)$ मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos x d x$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \pi / 2, t = 1$.
$I_1 = \int_0^1 t^m d t = \left[ \frac{t^{m+1}}{m+1} \right]_0^1 = \frac{1}{m+1} (1^{m+1} - 0^{m+1}) = \frac{1}{m+1}$.
अतः,कथन $(i)$ सत्य है।
(ii) मान लीजिए $I_2 = \int_0^{\pi / 2} \sin x \cos ^n x d x$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x d x = d t$,अर्थात $\sin x d x = -d t$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0, t = 1$ और जब $x = \pi / 2, t = 0$.
$I_2 = \int_1^0 t^n (-d t) = \int_0^1 t^n d t = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} (1^{n+1} - 0^{n+1}) = \frac{1}{n+1}$.
अतः,कथन (ii) सत्य है।
इसलिए,$(i)$ और (ii) दोनों सत्य हैं।

(C) दिया गया है,$I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$.
$I_2$ के लिए,मान लीजिए $\tan^{-1} x = t$,तब $x = \tan t$ और $dx = \sec^2 t dt$.
जब $x = 0$ तब $t = 0$ और जब $x = 1$ तब $t = \pi / 4$.
इन मानों को $I_2$ में रखने पर:
$I_2 = \int_0^{\pi / 4} \frac{t}{\tan t} \sec^2 t dt = \int_0^{\pi / 4} \frac{t \cos t}{\sin t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} dt = \int_0^{\pi / 4} \frac{t}{\sin t \cos t} dt$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$I_2 = \int_0^{\pi / 4} \frac{2t}{\sin 2t} dt$.
मान लीजिए $2t = u$,तब $2dt = du$ या $dt = du / 2$.
जब $t = 0$ तब $u = 0$ और जब $t = \pi / 4$ तब $u = \pi / 2$.
$I_2 = \int_0^{\pi / 2} \frac{u}{\sin u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{u}{\sin u} du = \frac{1}{2} I_1$.
अतः,$I_1 / I_2 = 2 / 1$,यानी $I_1 : I_2 = 2 : 1$.

(C) माना $I = \int \frac{(1+x) e^x}{\cot \left(x e^x\right)} d x$ है।
$t = x e^x$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{\cot t} = \int \tan t dt$ प्राप्त होता है।
$\tan t$ का समाकलन $\log |\sec t| + c$ होता है।
अतः,$I = \log |\sec(x e^x)| + c$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) सबसे पहले,$A$ का मान ज्ञात करें: $A = \int_{1}^{\sin \theta} \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} [\ln(1+t^2)]_{1}^{\sin \theta} = \frac{1}{2} \ln(1+\sin^2 \theta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2})$.
इसके बाद,$B$ का मान ज्ञात करें: $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.
अतः,$B = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_{1}^{\operatorname{cosec} \theta}$.
चूंकि $\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{\sqrt{1+\operatorname{cosec}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta + 1}}$,इसलिए $B = \ln(\frac{1}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 \theta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2}) = -A$.
इस प्रकार,$A+B = 0$,जिसका अर्थ है कि $e^{A+B} = e^0 = 1$.
सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \\ 1 & (-A)^2 & -1 \\ 1 & A^2+(-A)^2 & -1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & -A \\ 1 & A^2 & -1 \\ 1 & 2A^2 & -1 \end{array} \right|$ बन जाता है।
चूंकि पहला और तीसरा स्तंभ आनुपातिक हैं (तीसरा स्तंभ पहले स्तंभ का $-1$ गुना है),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) माना $f(x) = x^2 \sin x$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = x^2 (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x) = x^2 \sin x$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = 0$।

(A) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$ है।
हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के लिए,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
यहाँ,$f(x) = x^3 \sin^4(x)$ है।
$f(-x)$ की गणना करने पर:
$f(-x) = (-x)^3 \sin^4(-x) = -x^3 (\sin(x))^4 = -x^3 \sin^4(x) = -f(x)$।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 0$।

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2 x}}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{4 \sin x \cos x}} = \int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{2 \cos ^4 x \sqrt{\tan x}}$.
$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x (1 + \tan^2 x)}{\sqrt{\tan x}} d x$.
माना $\tan x = t^2$,तब $\sec^2 x d x = 2t dt$.
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{4}, t = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(1 + t^4) \cdot 2t dt}{t} = \int_0^1 (1 + t^4) dt$.
$I = [t + \frac{t^5}{5}]_0^1 = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.

(C) हम जानते हैं कि निरपेक्ष मान फलन $|x|$ इस प्रकार परिभाषित है:
$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}$
इसलिए,समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित किया जा सकता है:
$I = \int_{-1}^2 |x| \, dx = \int_{-1}^0 (-x) \, dx + \int_0^2 (x) \, dx$
प्रथम भाग का मूल्यांकन:
$\int_{-1}^0 (-x) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^0 = 0 - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$
द्वितीय भाग का मूल्यांकन:
$\int_0^2 (x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - 0 = \frac{4}{2} = 2$
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$

(A) माना $I = \int_0^{b-c} f(x+c) dx$.
$x+c = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ है,तो $t = c$ है।
जब $x = b-c$ है,तो $t = b$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_c^b f(t) dt$.
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $\int_c^b f(t) dt = \int_c^b f(x) dx$ लिख सकते हैं।
अतः,$\int_0^{b-c} f(x+c) dx = 1 \cdot \int_c^b f(x) dx$.
दिए गए व्यंजक $\int_0^{b-c} f(x+c) dx = k \int_c^b f(x) dx$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\tan ^{2020} x} d x$.
चूंकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,हम लिख सकते हैं $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2020} x}{\cos ^{2020} x+\sin ^{2020} x} d x$ $(i)$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^{2020} x}{\sin ^{2020} x+\cos ^{2020} x} d x$ (ii).
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर,हमें मिलता है $2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2020} x + \sin ^{2020} x}{\cos ^{2020} x + \sin ^{2020} x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x$.
अतः,$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $I = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है.

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (2 \sin |x| + \cos |x|) dx$.
चूँकि $f(x) = 2 \sin |x| + \cos |x|$ एक सम फलन (even function) है क्योंकि $f(-x) = 2 \sin |-x| + \cos |-x| = 2 \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,इसलिए हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} (2 \sin x + \cos x) dx$.
पदों का समाकलन करने पर,हमें $I = 2 [-2 \cos x + \sin x]_{0}^{\pi / 2}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं का मान रखने पर,$I = 2 [(-2 \cos(\pi / 2) + \sin(\pi / 2)) - (-2 \cos(0) + \sin(0))]$.
$I = 2 [(-2 \times 0 + 1) - (-2 \times 1 + 0)]$.
$I = 2 [1 - (-2)] = 2 [1 + 2] = 2 \times 3 = 6$.

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos(2 \pi - x)}{1 + \cos(2 \pi - x)} d x$
चूंकि $\cos(2 \pi - x) = \cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos x}{1 + \cos x} d x$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{2 \pi} \frac{2 \pi \cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$
$I = \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{\pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$
$I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{1 + \cos x}) d x = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2 \cos^2(x/2)}) d x$
$I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2} \sec^2(x/2)) d x$
$I = 2 \pi [x - \tan(x/2)]_0^{\pi}$
सीमाओं पर मान रखने पर: $I = 2 \pi [(\pi - \tan(\pi/2)) - (0 - \tan(0))]$। चूंकि $\tan(\pi/2)$ अपरिभाषित है,इसलिए समाकलन का मान अनंत है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x$ है।
हम समाकल्य को $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ $(i)$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$ (ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \left( \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) d x = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} 1 d x$।
$2I = [x]_{\pi / 6}^{\pi / 3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$।
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$।

(A) हम निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$.
इस गुणधर्म को समाकलन $I = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ पर लागू करने पर,हम $x$ को $(\frac{\pi}{2} - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ और $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx$.
यह दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$,अतः $I = \frac{\pi}{32}$.

(D) माना $I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -a$ और $b = a$ है,हमें $f(x) \rightarrow f(-a + a - x) = f(-x)$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - (-x)}{a + (-x)}} dx = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-a}^{a} \left( \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} + \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} \right) dx$।
$2I = \int_{-a}^{a} \frac{(a - x) + (a + x)}{\sqrt{(a + x)(a - x)}} dx = \int_{-a}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$।
चूंकि फलन सम है,$2I = 2 \int_{0}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$।
$I = 2a \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$।
$I = 2a [\sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{0}^{a}$।
$I = 2a (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) = 2a (\frac{\pi}{2} - 0) = a \pi$।

(C) माना कि $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (\pi/2-x)+3 \cos (\pi/2-x)}{\sin (\pi/2-x)+\cos (\pi/2-x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \cos (x)+3 \sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(2 \sin x + 3 \cos x) + (2 \cos x + 3 \sin x)}{\sin x + \cos x} d x$.
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{5 \sin x + 5 \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 5 d x$.
$2I = [5x]_0^{\pi / 2} = 5(\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{5\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{5\pi}{4}$.

(A) हमें दिया गया व्यंजक है: $I = \int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = (\int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx) - \int_a^{2a} f(x) dx$.
व्यंजक को सरल करने पर,$\int_a^{2a} f(x) dx$ पद कट जाता है।
अतः,$I = \int_0^a f(x) dx$.

(D) हमें समाकलन समीकरण $\int_{\sqrt{2}}^x \frac{dt}{|t| \sqrt{t^2-1}} = \frac{\pi}{12}$ दिया गया है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{|t| \sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1}(t) + C$ को याद करें।
समाकलन की सीमाओं को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[ \sec^{-1}(t) \right]_{\sqrt{2}}^x = \frac{\pi}{12}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^{-1}(x) - \sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$,समीकरण $\sec^{-1}(x) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$ बन जाता है।
दोनों पक्षों में $\frac{\pi}{4}$ जोड़ने पर,$\sec^{-1}(x) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi + 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$।

(D) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$.
चूंकि $x$,$t$ से स्वतंत्र है,हम इसे $x \int_0^{x^2} f(t) dt = x^5 - x^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है $\int_0^{x^2} f(t) dt = x^4 - x^2$.
लेबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2)$.
$f(x^2) \cdot (2x) = 4x^3 - 2x$.
$f(x^2) = \frac{4x^3 - 2x}{2x} = 2x^2 - 1$.
$f(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = 1$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $x = 1$.
$f(x^2)$ के व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
अतः,$f(1)$ का मान $1$ है।

(B) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \sin^{n-1}(x)$ और $dv = \sin(x) dx$।
तब $du = (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos(x) dx$ और $v = -\cos(x)$।
$I_n = [-\sin^{n-1}(x) \cos(x)]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos^2(x) dx$।
चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$ और $\sin(0) = 0$ है,इसलिए सीमा पद $0$ हो जाएगा।
$I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) (1 - \sin^2(x)) dx$।
$I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) dx - (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$।
$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$।
$I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$।
$n I_n = (n-1) I_{n-2}$।
$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$।
इसकी तुलना $I_n = k I_{n-2}$ से करने पर,हमें $k = \frac{n-1}{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $I = \int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt$.
चूंकि $t \in [0, \pi / 4]$ के लिए $\sin t - \cos t \le 0$ और $t \in [\pi / 4, \pi / 2]$ के लिए $\sin t - \cos t \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi / 4} (\cos t - \sin t) \, dt + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} (\sin t - \cos t) \, dt$.
प्रथम भाग का मान: $[\sin t + \cos t]_0^{\pi / 4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
द्वितीय भाग का मान: $[-\cos t - \sin t]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = (0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिए गए वक्र $x^2 = 2 - y$ (जो $y = 2 - x^2$ है) और $x^2 = y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$2 - x^2 = x^2$ रखें।
$2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
$A = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = 4 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$.
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया व्यापक हल $y=(c_1+c_2) \sin (x+c_3)+c_4 e^{x+c_5}$ है।
हम अचरों को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
माना $A = c_1+c_2$ और $B = c_4 e^{c_5}$ है।
तब समीकरण $y = A \sin (x+c_3) + B e^x$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (x+c_3) = \sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3$ का उपयोग करने पर:
$y = A (\sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3) + B e^x$
$y = (A \cos c_3) \sin x + (A \sin c_3) \cos x + B e^x$ प्राप्त होता है।
माना $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = A \sin c_3$,और $K_3 = B$ है।
अतः,$y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$ है।
यहाँ $3$ आवश्यक स्वेच्छ अचर $(K_1, K_2, K_3)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद आवश्यक स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=y^3$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
घात और कोटि का गुणनफल $2 \times 2 = 4$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y = x(\frac{dy}{dx})^3 + \frac{d^2y}{dx^2}$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $1$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $1$ है।
कोटि और घात का योग $2 + 1 = 3$ है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y_3^{2/3} + 2 + 3y_2 + y_1 = 0$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले उच्चतम कोटि के अवकलज के भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y_3^{2/3} = -(2 + 3y_2 + y_1)$ प्राप्त होता है।
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $(y_3^{2/3})^3 = (-(2 + 3y_2 + y_1))^3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y_3^2 = -(2 + 3y_2 + y_1)^3$ हो जाता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y_3$ (तृतीय अवकलज) है और समीकरण को परिमेय बनाने के बाद इसकी घात $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के कुल का समीकरण $y = mx$ है,जहाँ $m$ एक स्वेच्छ अचर है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$
अब,$m = \frac{y}{x}$ का मान अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x \frac{dy}{dx}$

(A) दिया गया संबंध: $y = a \log x + b$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d}{dx}(a \log x + b) = \frac{a}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x y_1 = a$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x y_1) = \frac{d}{dx}(a)$
$x y_2 + y_1(1) = 0$
$x y_2 + y_1 = 0$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = a$ प्राप्त होता है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $y = ax + b$ प्राप्त होता है,जहाँ $b$ एक अन्य स्वेच्छ अचर है।
यह समीकरण $y = ax + b$ एक सरल रेखा के समीकरण का सामान्य रूप है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sec y$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos y \, dy = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos y \, dy = \int dx$.
यह देता है: $\sin y = x + c$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $\sin(0) = 0 + c$,जिसका अर्थ है $c = 0$.
$c = 0$ को सामान्य हल में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sin y = x$,या $x = \sin y$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y(1+x)}{-x(1+y)}$.
चर $x$ और $y$ को अलग करने पर:
$\frac{1+y}{y} dy = -\frac{1+x}{x} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(\frac{1}{y} + 1) dy = -(\frac{1}{x} + 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = -\int (\frac{1}{x} + 1) dx$.
$\log|y| + y = -(\log|x| + x) + C$.
$\log|y| + y = -\log|x| - x + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x + y + \log|x| + \log|y| = C$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$x + y + \log|xy| = C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\} y dx = \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\} x dy$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\}}{x \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\}} = \frac{(y/x) \cos (y/x) + (y/x)^2 \sin (y/x)}{(y/x) \sin (y/x) - \cos (y/x)}$.
माना $v = y/x$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v}{v \sin v - \cos v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v(v \sin v - \cos v)}{v \sin v - \cos v} = \frac{v \cos v + v^2 \sin v - v^2 \sin v + v \cos v}{v \sin v - \cos v} = \frac{2v \cos v}{v \sin v - \cos v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \sin v - \cos v}{v \cos v} dv = 2 \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\tan v - \frac{1}{v}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-\ln |\cos v| - \ln |v| = 2 \ln |x| + C$.
$-\ln |v \cos v| = \ln |x^2| + C$.
$-\ln |(y/x) \cos (y/x)| = \ln |x^2| + C$.
$\ln |(y/x) \cos (y/x)| + \ln |x^2| = -C$.
$\ln |xy \cos (y/x)| = -C$.
$xy \cos (y/x) = \pm e^{-C}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x+y = t$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 1 = \sec(t) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 1 + \sec(t) = \frac{1+\cos(t)}{\cos(t)}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos(t)}{1+\cos(t)} dt = \int dx$.
सर्वसमिका $1+\cos(t) = 2\cos^2(t/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\int \frac{\cos(t)}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(t) = 2\cos^2(t/2) - 1$,समाकलन $\int \frac{2\cos^2(t/2)-1}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ हो जाता है।
इसका सरल रूप $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(t/2)) dt = \int dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t - \tan(t/2) = x + C$.
$t = x+y$ रखने पर: $(x+y) - \tan((x+y)/2) = x + C \Rightarrow y - \tan((x+y)/2) = C$.
चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 - \tan(0/2) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,हल $y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = v x$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = v(\log v + 1)$
$v + x \frac{d v}{d x} = v \log v + v$
$x \frac{d v}{d x} = v \log v$
चरों को अलग करने पर: $\frac{d v}{v \log v} = \frac{d x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} d v = \int \frac{1}{x} d x$.
माना $\log v = t$,तब $\frac{1}{v} d v = d t$.
$\int \frac{1}{t} d t = \int \frac{1}{x} d x \implies \log t = \log x + \log c$.
$\log(\log v) = \log(c x) \implies \log v = c x$.
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = c x \implies \frac{y}{x} = e^{c x} \implies y = x e^{c x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|cx|$
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$
या $x^2 = C[y + \sqrt{x^2 + y^2}]$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर: $e^y dy = (e^{2x} - e^x e^y) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^y \frac{dy}{dx} + e^x e^y = e^{2x}$
मान लीजिए $z = e^y$,तब $\frac{dz}{dx} = e^y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dz}{dx} + e^x z = e^{2x}$.
यह $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x$ और $Q(x) = e^{2x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x dx} = e^{e^x}$.
हल $z \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$z \cdot e^{e^x} = \int e^{2x} \cdot e^{e^x} dx + c$.
मान लीजिए $u = e^x$,तब $du = e^x dx$.
$z \cdot e^{e^x} = \int u \cdot e^u du + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$.
$z = e^y$ और $u = e^x$ वापस रखने पर: $e^y e^{e^x} = e^x e^{e^x} - e^{e^x} + c$.

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x$.
इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के साथ तुलना करने पर,$P = \frac{3}{x}$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है।
$IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$.
अतः,समाकलन गुणक $x^3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + g'(x)y = g(x)g'(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g'(x)$ और $Q(x) = g(x)g'(x)$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int g'(x) dx} = e^{g(x)}$ है।
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y e^{g(x)} = \int g(x)g'(x) e^{g(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = t$,तो $g'(x) dx = dt$ होगा।
अतः,$y e^{g(x)} = \int t e^t dt + C$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y e^{g(x)} - e^{g(x)}(g(x) - 1) = C$।
$e^{g(x)}(y - g(x) + 1) = C$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log(e^{g(x)}) + \log|y - g(x) + 1| = \log(C)$।
$g(x) + \log|y - g(x) + 1| = C'$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\tan(y) dx + \sec^2(y) \tan(x) dy = 0$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\sec^2(y) \tan(x) dy = -\tan(y) dx$
$\frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\frac{1}{\tan(x)} dx$
$\frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\cot(x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2(y)}{\tan(y)} dy = -\int \cot(x) dx$
माना $u = \tan(y)$,तब $du = \sec^2(y) dy$।
$\int \frac{1}{u} du = -\ln|\sin(x)| + C$
$\ln|\tan(y)| = -\ln|\sin(x)| + C$
$\ln|\tan(y)| + \ln|\sin(x)| = C$
$\ln|\sin(x) \tan(y)| = C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $\sin(x) \tan(y) = e^C = c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण है:
$\frac{dy}{dx} + \csc^2 (x) \cdot y = \csc^2 (x) \cdot \cot x . . . . . . . . . . (1)$
इसे रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ से तुलना करने पर:
$P = \csc^2 x$
$Q = \csc^2 x \cdot \cot x$
अब,समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P \ dx} = e^{\int \csc^2 x \ dx} = e^{- \cot x}$
व्यापक हल इस प्रकार है:
$y \cdot IF = \int Q \cdot IF \ dx + C$
$y \cdot e^{- \cot x} = \int \csc^2 x \cdot \cot x \cdot e^{- \cot x} \ dx + C$
माना $t = \cot x$,तब $dt = - \csc^2 x \ dx$,जिसका अर्थ है $\csc^2 x \ dx = - dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$y \cdot e^{- \cot x} = \int t \cdot e^{- t} (- dt) = - \int t e^{- t} \ dt$
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $\int u \ dv = uv - \int v \ du$,जहाँ $u = t$ और $dv = e^{- t} \ dt$:
$- \int t e^{- t} \ dt = - [t (- e^{- t}) - \int (- e^{- t}) \ dt] = - [- t e^{- t} - e^{- t}] + C = t e^{- t} + e^{- t} + C$
$t = \cot x$ वापस रखने पर:
$y \cdot e^{- \cot x} = e^{- \cot x} (\cot x + 1) + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$.
माना $x-y = u$. तब $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{du}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{du}{dx} = \frac{u+3}{2u+5}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{u+3}{2u+5} = \frac{2u+5-u-3}{2u+5} = \frac{u+2}{2u+5}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2u+5}{u+2} du = \int dx$.
विभाजन करने पर: $\int (2 + \frac{1}{u+2}) du = x + C$.
समाकलन करने पर: $2u + \log|u+2| = x + C$.
$u = x-y$ वापस रखने पर: $2(x-y) + \log|x-y+2| + C = x$.
इसे दिए गए रूप $x = 2(x-y) + \log(t) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $t = x-y+2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = ax + by$ है।
दोनों पक्षों में चरघातांकी लेने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = e^{ax + by} = e^{ax} \cdot e^{by}$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-by} dy = e^{ax} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-by} dy = \int e^{ax} dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $-\frac{1}{b} e^{-by} = \frac{1}{a} e^{ax} + C_1$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,$-a e^{-by} = b e^{ax} + ab C_1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$b e^{ax} + a e^{-by} = c$ प्राप्त होता है,जहाँ $c = -ab C_1$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{\tan^{-1} y - x}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ प्राप्त होता है,जो $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तो $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
समाकलन $\int t e^t dt + c$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \tan^{-1} y$ वापस रखने पर,$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y}(\tan^{-1} y - 1) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r \text{ cm}$ है और इसका क्षेत्रफल $A \text{ cm}^2$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $r = 5 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm s}^{-1}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (5) (0.1) = 10 \pi (0.1) = \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$.
अतः,क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ है।

(B) दी गई जानकारी के अनुसार,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करने पर,हमें $2y \, dy = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int 2y \, dy = \int dx$,जिससे $y^2 = x + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(3, 4)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 3$ और $y = 4$ प्रतिस्थापित करते हैं: $4^2 = 3 + c$,जिसका अर्थ है $16 = 3 + c$,इसलिए $c = 13$।
अतः,वक्र का समीकरण $y^2 = x + 13$ है।
यह समीकरण $y^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(B) माना वर्ग की भुजा $x$ है।
दिया गया है कि भुजा में प्रतिशत परिवर्तन $6 \%$ है,इसलिए $\frac{dx}{x} \times 100 = 6 \%$.
वर्ग का क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dA = 2x \, dx$.
दोनों पक्षों को $A = x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = \frac{2x \, dx}{x^2} = 2 \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times \left( \frac{dx}{x} \times 100 \right)$.
दी गई मान रखने पर,हमें $\text{क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन} = 2 \times 6 \% = 12 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में लगभग $12 \%$ की वृद्धि होती है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) हम जानते हैं कि $|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
साथ ही,$(||u|-|v||)^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
समानता $|u-v| = ||u|-|v||$ के सत्य होने के लिए,उनके वर्ग बराबर होने चाहिए:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
यह सरल होकर $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|$ हो जाता है।
चूंकि $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos \theta$,इसलिए $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$.
अतः,$u$ और $v$ को एक ही दिशा में होना चाहिए।