समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $4x+3y+2z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले और मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण है

$x-2y+4z+4=0$ और $x+y+z-8=0$ समीकरणों द्वारा दी गई रेखा,समतल $x-y+2z+1=0$ को किस बिंदु पर काटती है?

समतलों $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 2$ की प्रतिच्छेदन रेखा किस सदिश के समांतर है?

मान लीजिए कि रेखा $x+10=\frac{8-y}{2}=z$ को समाहित करने वाले समतल $P$ का समीकरण $ax+by+3z=2(a+b)$ है और बिंदु $(1,27,7)$ से समतल $P$ की दूरी $c$ है। तो $a^2+b^2+c^2$ का मान $.............$ है।

यदि रेखा $x = y = z$,समीकरणों $x \sin A + y \sin B + z \sin C - 18 = 0$ और $x \sin 2A + y \sin 2B + z \sin 2C - 9 = 0$ द्वारा परिभाषित रेखा को प्रतिच्छेद करती है,जहाँ $A, B, C$ एक त्रिभुज $ABC$ के कोण हैं,तो $80 \left( \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \right)$ का मान $..........$ है।

मान लीजिए $A$ एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $\bar{i}-3 \bar{j}$ है और $\bar{r}=(\bar{i}-3 \bar{j})+t(\bar{j}-2 \bar{k})$ एक रेखा है। यदि $P$ इस रेखा पर एक बिंदु है और समतल $\bar{r} \cdot(2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k})=0$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $P$ से गुजरने वाले और $AP$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए: