AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हमें $5^{99} \pmod{13}$ ज्ञात करना है।
फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार,चूंकि $13$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 13) = 1$ है,इसलिए $5^{13-1} \equiv 1 \pmod{13}$,जिसका अर्थ है $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$।
हम $99 = 12 \times 8 + 3$ लिख सकते हैं।
अतः,$5^{99} = 5^{12 \times 8 + 3} = (5^{12})^8 \times 5^3$।
सर्वांगसमता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5^{99} \equiv (1)^8 \times 5^3 \pmod{13}$ प्राप्त होता है।
$5^3 = 125$।
अब,$125$ को $13$ से विभाजित करने पर: $125 = 13 \times 9 + 8$।
इस प्रकार,$125 \equiv 8 \pmod{13}$।
शेषफल $8$ है।

(A) माना $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
$2432$ को $64$ से विभाजित करने पर $38$ प्राप्त होता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$49^n = (1 + 48)^n = 1 + 48n + \frac{n(n-1)}{2}(48^2) + \dots = 1 + 48n + 1152n(n-1) + \dots$
अतः,$f(n) = 64n + 1152n(n-1) + \dots$
चूंकि सभी पद $64$ से विभाज्य हैं,इसलिए सही उत्तर $64$ है।

(A) दी गई असमानता: $\frac{x-1}{3x+4} - \frac{x-3}{3x-2} < 0$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x-1)(3x-2) - (x-3)(3x+4)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
अंश का विस्तार करने पर:
$\frac{(3x^2 - 2x - 3x + 2) - (3x^2 + 4x - 9x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
अंश को सरल करने पर:
$\frac{(3x^2 - 5x + 2) - (3x^2 - 5x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
$\frac{14}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
चूंकि अंश $14$ धनात्मक है,व्यंजक केवल तभी ऋणात्मक होगा जब हर ऋणात्मक हो:
$(3x+4)(3x-2) < 0$
हर के शून्य $x = -\frac{4}{3}$ और $x = \frac{2}{3}$ हैं।
वेवी कर्व विधि के अनुसार,$(3x+4)(3x-2)$ दोनों शून्यों के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,$x \in \left(-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

(D) दिया गया व्यंजक $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ है। चूंकि अंश की घात हर से बड़ी है,इसलिए बहुपद विभाजन करें।
$(x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
$x^4$ को $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ से भाग देने पर $x+6$ प्राप्त होता है और शेषफल $25x^2 - 60x + 36$ है।
अतः,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+6 + \frac{25x^2 - 60x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{25x^2 - 60x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} + \frac{D}{x-3}$.
$x=1$ के लिए: $B = \frac{1}{2}$.
$x=2$ के लिए: $C = -16$.
$x=3$ के लिए: $D = 40.5$.
तुलना करने पर $A=1, E=6, B=0.5, C=-16, D=40.5$.
योग $A+B+C+D+E = 1 + 0.5 - 16 + 40.5 + 6 = 32$.

(C) दिया गया है कि,$\frac{5x^2+2}{x(x^2+1)} = \frac{A_1}{x} + \frac{A_2x+A_3}{x^2+1}$
दोनों पक्षों को $x(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x^2+2 = A_1(x^2+1) + (A_2x+A_3)x$
$5x^2+2 = A_1x^2 + A_1 + A_2x^2 + A_3x$
$5x^2+2 = (A_1+A_2)x^2 + A_3x + A_1$
दोनों पक्षों में $x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
अचर पद: $A_1 = 2$
$x$ का गुणांक: $A_3 = 0$
$x^2$ का गुणांक: $A_1 + A_2 = 5$ $\Rightarrow 2 + A_2 = 5$ $\Rightarrow A_2 = 3$
अतः,$(A_1, A_2, A_3) = (2, 3, 0)$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2-3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-1)(x-2)}+\frac{C}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर:
$x^2-3x+1 = A(x-1)(x-2) + B(x-3) + C$
$x^2-3x+1 = A(x^2-3x+2) + Bx - 3B + C$
$x^2-3x+1 = Ax^2 + (B-3A)x + (2A-3B+C)$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A = 1$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $B-3A = -3$.
$A=1$ रखने पर: $B-3(1) = -3 \implies B = 0$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = 1+i\sqrt{3}$ और $\beta = 1-i\sqrt{3}$ है।
ध्रुवीय रूप में बदलने पर, $\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अतः $\alpha^n + \beta^n = (2e^{i\pi/3})^n + (2e^{-i\pi/3})^n = 2^n(e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$ है।
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$ का उपयोग करने पर, $\alpha^n + \beta^n = 2^n(2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $k \cos \frac{n\pi}{3}$ के साथ तुलना करने पर, $k = 2^{n+1}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t = x + \frac{1}{x}$. तब $t^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$,अर्थात $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
समीकरण में मान रखने पर: $2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$.
$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2t - 5)(t - 1) = 0$.
अतः,$t = 1$ या $t = \frac{5}{2}$.
स्थिति $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x - 2) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = 2$.
चूंकि प्रश्न में पूर्णांक हलों की संख्या पूछी गई है,हम $x = 2$ (जो एक पूर्णांक है) और $x = \frac{1}{2}$ (जो पूर्णांक नहीं है) की जांच करते हैं।
अतः,केवल $1$ पूर्णांक हल है,जो $x = 2$ है।

(C) माना मूल $\alpha, \alpha r, \alpha r^2, \alpha r^3$ हैं जहाँ $r > 1$ है।
प्रथम समीकरण $x^2-3x+a=0$ से,$\alpha + \alpha r = 3$ और $\alpha(\alpha r) = a$ प्राप्त होता है।
द्वितीय समीकरण $x^2-12x+b=0$ से,$\alpha r^2 + \alpha r^3 = 12$ और $(\alpha r^2)(\alpha r^3) = b$ प्राप्त होता है।
$\alpha(1+r) = 3$ और $\alpha r^2(1+r) = 12$ को विभाजित करने पर: $\frac{\alpha r^2(1+r)}{\alpha(1+r)} = \frac{12}{3}$,जिससे $r^2 = 4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r > 1$ है,इसलिए $r = 2$ है।
$r=2$ को $\alpha(1+r) = 3$ में रखने पर,$\alpha(3) = 3$,अतः $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
मूल $1, 2, 4, 8$ हैं।
अतः,$a = \alpha(\alpha r) = 1 \times 2 = 2$ और $b = (\alpha r^2)(\alpha r^3) = 4 \times 8 = 32$ है।
इसलिए,$a+b = 2+32 = 34$।

(A) दिया गया है कि $x_1, x_2, x_3, x_4$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}, \frac{1}{x_4}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना ये पद $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ हैं।
$A x^2 - 4 x + 1 = 0$ से,$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_3} = 4$ और $\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_3} = A$ है।
$AP$ के पदों को रखने पर: $(a-3d) + (a+d) = 4 \implies a-d=2$।
साथ ही,$(a-3d)(a+d) = A$।
$B x^2 - 6 x + 1 = 0$ से,$\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_4} = 6$ और $\frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_4} = B$ है।
$AP$ के पदों को रखने पर: $(a-d) + (a+3d) = 6 \implies a+d=3$।
समीकरणों को हल करने पर $a=2.5$ और $d=0.5$ प्राप्त होता है।
अतः $A = (2.5-1.5)(3) = 3$ और $B = (2)(4) = 8$।
अंततः,$\frac{B+A}{B-A} = \frac{8+3}{8-3} = \frac{11}{5}$।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
समीकरण $ax^2-bx(x-1)+c(x-1)^2=0$ को $(x-1)^2$ से विभाजित करने पर:
$a(\frac{x}{x-1})^2 - b(\frac{x}{x-1}) + c = 0$.
माना $y = \frac{x}{x-1}$,तो $ay^2 - by + c = 0$.
इस समीकरण के मूल $y = \alpha$ और $y = \beta$ होंगे।
अतः,$\frac{x}{x-1} = \alpha \implies x = \frac{\alpha}{\alpha-1}$ और $\frac{x}{x-1} = \beta \implies x = \frac{\beta}{\beta-1}$।

(B) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया है,गुणोत्तर माध्य ($G$.$M$.) $= \sqrt{ab} = 2$,अतः $ab = 4$ (समीकरण $i$)।
हरात्मक माध्य ($H$.$M$.) $= \frac{2ab}{a+b} = -\frac{8}{5}$।
$H$.$M$. के सूत्र में $ab = 4$ रखने पर:
$\frac{2(4)}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies \frac{8}{a+b} = -\frac{8}{5} \implies a+b = -5$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $2a$ और $2b$ हैं।
मूलों का योग $= 2a + 2b = 2(a+b) = 2(-5) = -10$।
मूलों का गुणनफल $= (2a)(2b) = 4ab = 4(4) = 16$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x^2 - (-10)x + 16 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + 10x + 16 = 0$ हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ समीकरण $x^2+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ और $\tan \alpha \tan \beta = q$ है।
माना $E = \sin^2(\alpha+\beta) + p\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\beta) + q\cos^2(\alpha+\beta)$ है।
व्यंजक को $\cos^2(\alpha+\beta)$ से विभाजित करने पर,$E = \cos^2(\alpha+\beta) [\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q]$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1-q} = \frac{p}{q-1}$ है।
इस मान को कोष्ठक के अंदर रखने पर: $\tan^2(\alpha+\beta) + p\tan(\alpha+\beta) + q = \frac{p^2}{(q-1)^2} + p(\frac{p}{q-1}) + q = \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos^2(\alpha+\beta) = \frac{1}{1+\tan^2(\alpha+\beta)} = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2}$ है।
अतः,$E = \frac{(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2} \times \frac{q((q-1)^2 + p^2)}{(q-1)^2} = q$।

(B) माना त्रिघात समीकरण $x^3-7x^2+0x+36=0$ के मूल $\alpha, 2\alpha,$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + 2\alpha + \beta = 7 \implies 3\alpha + \beta = 7 \implies \beta = 7 - 3\alpha$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha(2\alpha) + 2\alpha\beta + \beta\alpha = 0 \implies 2\alpha^2 + 3\alpha\beta = 0$.
चूंकि $\alpha \neq 0$,$\alpha$ से विभाजित करने पर: $2\alpha + 3\beta = 0$.
$\beta = 7 - 3\alpha$ को समीकरण में रखने पर: $2\alpha + 3(7 - 3\alpha) = 0$.
$2\alpha + 21 - 9\alpha = 0 \implies -7\alpha = -21 \implies \alpha = 3$.
अतः मूल $\alpha = 3$ और $2\alpha = 6$ हैं।
इन दो मूलों का योग $3 + 6 = 9$ है।

(A) माना $f(x) = x^2 - 3x + k$ है। समीकरण $f(x) = 0$ का अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम एक मूल होने के लिए,हम निम्नलिखित शर्तों पर विचार करते हैं:
$1$. अंत बिंदुओं पर मानों का गुणनफल शून्य या उससे कम होना चाहिए: $f(0) \cdot f(1) \le 0$.
$f(0) = 0^2 - 3(0) + k = k$.
$f(1) = 1^2 - 3(1) + k = k - 2$.
अतः,$k(k - 2) \le 0$,जिसका अर्थ है $0 \le k \le 2$.
$2$. परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = 3/2$ अंतराल $[0, 1]$ में स्थित नहीं है।
$3$. चूंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है,यदि शीर्ष अंतराल के बाहर है,तो $[0, 1]$ में मूल होने का एकमात्र तरीका यह है कि अंत बिंदुओं पर फलन का चिह्न बदल जाए।
इसलिए,$k$ के लिए आवश्यक सीमा $0 \le k \le 2$ है।

(B) द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ हैं।
यहाँ,$a = 1$,जो $> 0$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ है।
$D = [-2(4k - 1)]^2 - 4(1)(15k^2 - 2k - 7) < 0$ है।
$4(16k^2 - 8k + 1) - 4(15k^2 - 2k - 7) < 0$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $16k^2 - 8k + 1 - 15k^2 + 2k + 7 < 0$ प्राप्त होता है।
$k^2 - 6k + 8 < 0$ है।
$(k - 2)(k - 4) < 0$ है।
यह असमिका $2 < k < 4$ के लिए सत्य है।
इस अंतराल में $k$ का एकमात्र पूर्णांक मान $k = 3$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^2 + 2kx + k < 0$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
चूंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक है,परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
अंतराल $[1, 2]$ पर $f(x)$ के ऋणात्मक होने के लिए,$[1, 2]$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान $0$ से कम होना चाहिए।
चूंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है,अधिकतम मान अंत बिंदुओं $x=1$ या $x=2$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = 1 + 3k < 0 \implies k < -1/3$.
$f(2) = 4 + 5k < 0 \implies k < -4/5$.
दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए $k < -4/5$ होना चाहिए।
अतः,$k$ का अंतराल $(-\infty, -4/5)$ है।

(A) दी गई असमिका $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2+x+1 > 0$ है,हम $-3 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3$ लिख सकते हैं।
स्थिति $1$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3 \implies 2x^2+(3-k)x+2 > 0$.
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_1 < 0$: $(3-k)^2 - 16 < 0 \implies -1 < k < 7$.
स्थिति $2$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > -3 \implies 4x^2+(k+3)x+4 > 0$.
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_2 < 0$: $(k+3)^2 - 64 < 0 \implies -11 < k < 5$.
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $-1 < k < 5$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^3+x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{Cx+D}{x^2+3}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+2)(x^2+3)$ से गुणा करने पर: $x^3+x^2+1 = (Ax+B)(x^2+3) + (Cx+D)(x^2+2)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^3+x^2+1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (3A+2C)x + (3B+2D)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 1$,$B+D = 1$,$3A+2C = 0$,$3B+2D = 1$.
हल करने पर,$A=-2, B=-1, C=3, D=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C+D = -2 - 1 + 3 + 2 = 2$.

(A) माना $y = \frac{x^2+x+1}{2x^2-x+1}$.
तब $y(2x^2-x+1) = x^2+x+1$.
$(2y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x \in R$,विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(2y-1)(y-1) \ge 0$.
$-7y^2+14y-3 \ge 0$.
$7y^2-14y+3 \le 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{7 \pm 2\sqrt{7}}{7}$.
अतः,अधिकतम मान $\frac{7+2\sqrt{7}}{7}$ है।

(B) असमिका $x^2 - 4x - 21 \leq 0$ को हल करने के लिए,हम पहले द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 21 = 0$ के मूल ज्ञात करते हैं।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = -4, c = -21$ है:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}$
अतः,$x_1 = \frac{14}{2} = 7$ और $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ प्राप्त होते हैं।
असमिका को $(x - 7)(x + 3) \leq 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणनफल के शून्य या उससे कम होने के लिए,$x$ को दोनों मूलों के बीच स्थित होना चाहिए।
अतः,$x \in [-3, 7]$।

(D) दी गई असमिका: $\frac{8x^2+16x-51}{(2x-3)(x+4)} > 3$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $\frac{8x^2+16x-51 - 3(2x^2+5x-12)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
अंश को सरल करने पर: $8x^2+16x-51 - 6x^2-15x+36 = 2x^2+x-15$
अंश का गुणनखंड करने पर: $2x^2+6x-5x-15 = 2x(x+3)-5(x+3) = (2x-5)(x+3)$
अतः,असमिका इस प्रकार है: $\frac{(2x-5)(x+3)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -4, -3, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $(-\infty, -4) \cup (-3, \frac{3}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ अंतरालों में धनात्मक है।

(D) द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ (जहाँ $a > 0$) का न्यूनतम मान $\frac{4ac - b^2}{4a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$i) x^2 + 4x + 6$: यहाँ $a=1, b=4, c=6$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(6) - (4)^2}{4(1)} = \frac{24 - 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$. अतः,$i \rightarrow b$.
$ii) x^2 - 2x + 5$: यहाँ $a=1, b=-2, c=5$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(5) - (-2)^2}{4(1)} = \frac{20 - 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$. अतः,$ii \rightarrow c$.
$iii) x^2 + 6x + 18$: यहाँ $a=1, b=6, c=18$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(18) - (6)^2}{4(1)} = \frac{72 - 36}{4} = \frac{36}{4} = 9$. अतः,$iii \rightarrow d$.
$iv) x^2 - 4x + 5$: यहाँ $a=1, b=-4, c=5$. न्यूनतम मान = $\frac{4(1)(5) - (-4)^2}{4(1)} = \frac{20 - 16}{4} = \frac{4}{4} = 1$. अतः,$iv \rightarrow a$.
इस प्रकार,सही मिलान $i$ $\rightarrow b, ii$ $\rightarrow c, iii$ $\rightarrow d, iv$ $\rightarrow a$ है।

(A) माना $3^x = y$ है। चूँकि $x \in R^{+}$,इसलिए $y > 1$ है।
दी गई असमिका $y + \frac{3}{y} - 4 < 0$ है।
$y$ से गुणा करने पर ($y > 0$ होने के कारण),हमें $y^2 - 4y + 3 < 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(y - 1)(y - 3) < 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $1 < y < 3$ है।
$y = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$1 < 3^x < 3$ प्राप्त होता है।
सभी पक्षों में $\log_3$ लेने पर,$\log_3(1) < x < \log_3(3)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0 < x < 1$ हो जाता है।
अतः,हल समुच्चय $(0, 1)$ है।

(C) माना $f(x) = x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12$.
मूल ज्ञात करने के लिए,हम छोटी पूर्णांक मानों का परीक्षण करते हैं।
$f(1) = 1-3-5+27-32+12 = 0$,अतः $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$f'(x) = 5x^4-12x^3-15x^2+54x-32$.
$f'(1) = 5-12-15+54-32 = 0$,अतः $(x-1)^2$ एक गुणनखंड है।
$f''(x) = 20x^3-36x^2-30x+54$.
$f''(1) = 20-36-30+54 = 8 \neq 0$. इस प्रकार,$x=1$ एक $2$ की बहुलता (multiplicity) वाला मूल है।
$f(x)$ को $(x-1)^2 = x^2-2x+1$ से विभाजित करने पर,हमें $x^3-x^2-6x+12$ प्राप्त होता है।
$f'(x)$ में $x=2$ रखने पर $f'(2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x=2$ समीकरण $f(x)$ और $f'(x)$ का मूल है,जिसका अर्थ है कि $(x-2)^2$ एक गुणनखंड है।
$f(x)$ को $(x-1)^2(x-2)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+3)$ प्राप्त होता है।
मूल $1, 1, 2, 2, -3$ हैं।
गैर-पुनरावृत्त मूल $-3$ है।
$-3$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $3$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^5-5x^4+9x^3-9x^2+5x-1=0$ है।
इसे $(x-1)(x^4-4x^3+5x^2-4x+1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$(x^2+1/x^2) - 4(x+1/x) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
$t = x+1/x$ रखने पर,$t^2-4t+3=0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $t=3$ या $t=1$ हैं।
$t=3$ के लिए,$x^2-3x+1=0$ के मूल $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
उनका अंतर $\sqrt{5}$ है।

(C) दिया गया है कि $k \sqrt{-1} = ki$ समीकरण $x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80=0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $-ki$ भी एक मूल होना चाहिए।
अतः,$(x-ki)(x+ki) = x^2+k^2$ बहुपद का एक गुणनखंड है।
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80$ को $x^2+k^2$ से विभाजित करने पर:
$x^4+6 x^3-16 x^2+24 x-80 = (x^2+k^2)(x^2+6x-(16+k^2)) + (24-6k^2)x + (k^2(16+k^2)-80)$.
$x^2+k^2$ को गुणनखंड होने के लिए,शेषफल शून्य होना चाहिए।
$x$ के गुणांक को शून्य रखने पर: $24-6k^2 = 0 \implies 6k^2 = 24 \implies k^2 = 4$.
अचर पद की जाँच करने पर: $k^2(16+k^2)-80 = 4(16+4)-80 = 4(20)-80 = 0$.
अतः,$k^2 = 4$ सही मान है।

(C) माना समीकरण के मूल $a/r^2, a/r, a, ar, ar^2$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $a^5 = S$ है।
मूलों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{a/r^2} + \frac{1}{a/r} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = \frac{r^2+r+1+1/r+1/r^2}{a} = 10$ है।
साथ ही,मूलों का योग $a/r^2 + a/r + a + ar + ar^2 = 40$ है।
$a$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2) = 40$ प्राप्त होता है।
मूलों के योग को व्युत्क्रमों के योग से विभाजित करने पर: $\frac{a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)}{(1/a)(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)} = \frac{40}{10} = 4$।
यह $a^2 = 4$ में सरल होता है,इसलिए $a = 2$ या $a = -2$ है।
चूंकि $a^5 = S$,हमारे पास $S = 2^5 = 32$ या $S = (-2)^5 = -32$ है।
अतः,$|S| = 32$।

(D) दिया गया समीकरण $x^3-7x^2+14x-8=0$ है। मान लीजिए मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
मूलों का योग: $\frac{a}{r} + a + ar = 7$. $a=2$ रखने पर:
$\frac{2}{r} + 2 + 2r = 7$ $\Rightarrow \frac{2}{r} + 2r = 5$ $\Rightarrow 2 + 2r^2 = 5r$ $\Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $2r^2 - 4r - r + 2 = 0$ $\Rightarrow 2r(r-2) - 1(r-2) = 0$ $\Rightarrow (2r-1)(r-2) = 0$.
अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r=2$ है,तो मूल $\frac{2}{2}, 2, 2(2)$ अर्थात $1, 2, 4$ हैं।
यदि $r=\frac{1}{2}$ है,तो मूल $\frac{2}{1/2}, 2, 2(1/2)$ अर्थात $4, 2, 1$ हैं।
दोनों स्थितियों में मूल $1, 2, 4$ हैं।
सबसे बड़ा मूल $4$ है और सबसे छोटा मूल $1$ है।
अंतर $4 - 1 = 3$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$,$x^7=1$ का एक अवास्तविक मूल है,अतः $\alpha^7=1$ और $\alpha \neq 1$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$\alpha(1+\alpha)(1+\alpha^2+\alpha^4) = \alpha(1+\alpha^2+\alpha^4+\alpha+\alpha^3+\alpha^5)$
$= \alpha + \alpha^3 + \alpha^5 + \alpha^2 + \alpha^4 + \alpha^6$
$= \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$= \frac{\alpha(1-\alpha^6)}{1-\alpha} = \frac{\alpha-\alpha^7}{1-\alpha}$
चूंकि $\alpha^7=1$,इसलिए:
$= \frac{\alpha-1}{1-\alpha} = -1$.

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = -r$ $(iii)$
हम जानते हैं कि $(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = |(1+i\alpha)(1+i\beta)(1+i\gamma)|^2$.
माना $f(x) = x^3+px^2+qx+r = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
तब $f(i) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) = i^3+pi^2+qi+r = -i-p+qi+r = (r-p) + i(q-1)$.
साथ ही $f(-i) = (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = -i^3+pi^2-qi+r = i-p-qi+r = (r-p) - i(q-1)$.
अतः,$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) \times (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = f(i) \times f(-i)$.
$= ((r-p) + i(q-1))((r-p) - i(q-1)) = (r-p)^2 + (q-1)^2$.

(A) माना कि त्रिघात समीकरण $x^3+3px^2+3qx-8=0$ के मूल $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं क्योंकि वे समांतर श्रेणी में हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $(a-d) + a + (a+d) = -3p \implies 3a = -3p \implies a = -p$.
चूँकि $a$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(-p)^3 + 3p(-p)^2 + 3q(-p) - 8 = 0$.
$-p^3 + 3p^3 - 3pq - 8 = 0$.
$2p^3 - 3pq = 8$.

(B) सम्मिश्र संख्या को सरल बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $1+i$ से गुणा करते हैं:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
चूँकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
वास्तविक भाग $-\frac{1}{2}$ (ऋणात्मक) है और काल्पनिक भाग $\frac{3}{2}$ (धनात्मक) है।
ऋणात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होती है।

(D) दिया गया है $(x+iy)^{\frac{1}{3}} = 5+3i$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $x+iy = (5+3i)^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करने पर:
$x+iy = 5^3 + 3(5^2)(3i) + 3(5)(3i)^2 + (3i)^3$.
$x+iy = 125 + 225i + 135(-1) + 27(-i)$.
$x+iy = -10 + 198i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = -10$ और $y = 198$.
अब,$3x+5y = 3(-10) + 5(198) = -30 + 990 = 960$.

(D) माना $\omega = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ है।
तब दिया गया व्यंजक $z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5$ है।
$z = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$।
सर्वसमिका $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर, हमें $z = 2\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है, इसलिए $z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$।
चूंकि $z = -\sqrt{3} + 0i$ है, इसलिए काल्पनिक भाग $\operatorname{Im}(z) = 0$ है।

(D) माना $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
$z$ को शुद्ध काल्पनिक बनाने के लिए,$z$ का वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $1+2i \sin \theta$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)} = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
चूंकि $i^2 = -1$,$z = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta + 7i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग $\frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$ है।
वास्तविक भाग को $0$ रखने पर: $2 - 6 \sin^2 \theta = 0 \implies 6 \sin^2 \theta = 2 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $Z^2+pZ+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1+z_2 = -p$ और $z_1z_2 = q$ है।
चूंकि $OA=OB$,इसलिए $|z_1| = |z_2|$ है।
मान लीजिए $z_1 = re^{i\theta_1}$ और $z_2 = re^{i\theta_2}$ है।
$\angle AOB = \alpha$ दिया गया है,इसलिए $|\theta_1 - \theta_2| = \alpha$ है।
अतः $z_1/z_2 = e^{i(\theta_1-\theta_2)} = e^{\pm i\alpha}$ है।
$z_1+z_2 = -p$ से,$p^2 = (z_1+z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$ है।
साथ ही $p^2 - 4q = (z_1-z_2)^2$ है।
अतः $p^2 = 4q + (z_1-z_2)^2 = 4q + z_2^2(z_1/z_2 - 1)^2$ है।
$z_1/z_2 = e^{i\alpha}$ का उपयोग करने पर,$p^2 = 4q + z_2^2(e^{i\alpha}-1)^2 = 4q + z_2^2 e^{i\alpha}(e^{i\alpha/2} - e^{-i\alpha/2})^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z_1z_2 = q$,इसलिए $z_2^2 e^{i\alpha} = z_1z_2 = q$ है।
अतः $p^2 = 4q + q(2i \sin(\alpha/2))^2 = 4q - 4q \sin^2(\alpha/2) = 4q \cos^2(\alpha/2)$ है।

(A) आर्गंड समतल में रेखा का समीकरण $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ द्वारा दिया गया है।
बिंदु $z_0$ से रेखा $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|a \bar{z_0} + \bar{a} z_0 + b|}{2|a|}$ है।
यहाँ $z_0 = c$ रखने पर,हमें दूरी $d = \frac{|a \bar{c} + \bar{a} c + b|}{2|a|}$ प्राप्त होती है।

(B) प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करें:
$1$. $\frac{5+2i}{2-5i} = \frac{(5+2i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{10 + 25i + 4i + 10i^2}{4 + 25} = \frac{10 + 29i - 10}{29} = \frac{29i}{29} = i$
$2$. $\frac{3-4i}{4+3i} = \frac{(3-4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{12 - 9i - 16i + 12i^2}{16 + 9} = \frac{12 - 25i - 12}{25} = \frac{-25i}{25} = -i$
$3$. $\frac{1}{i} = \frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{-1} = -i$
$z$ के व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$z = (i) - (-i) - (-i) = i + i + i = 3i$
सम्मिश्र संख्या $z = 0 + 3i$ है।
अतः,$z$ का वास्तविक भाग $0$ है।

(B) माना $z = x + iy$ है। तब $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 4$,जिससे $x^2 + y^2 = 16$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के शीर्ष $A = z$,$B = iz$ और $C = z + iz$ हैं।
चूँकि $z$ और $iz$ के बीच का कोण $90^\circ$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है।
दोनों भुजाओं की लंबाई $|z| = 4$ और $|iz| = 4$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई।

(B) कथन $I$ के लिए: $\sqrt{-a} \times \sqrt{-b} = (i\sqrt{a}) \times (i\sqrt{b}) = i^2 \sqrt{ab} = -\sqrt{ab}$. अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$ के लिए: मान लीजिए $z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$ है। हर के संयुग्मी $(1+i\sqrt{3})$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+i\sqrt{3})^2}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 3 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
यह सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है। इसका कोणांक $\pi - \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है। अतः,कथन $II$ सत्य है।

(C) हमें $|z| \geq 5$ दिया गया है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z + w| \geq ||z| - |w||$ होता है।
अतः,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq ||z| - \frac{2}{|z|}||$।
माना $f(t) = t - \frac{2}{t}$ जहाँ $t = |z| \geq 5$ है।
चूँकि $f(t)$,$t > 0$ के लिए एक वर्धमान फलन है,इसलिए न्यूनतम मान $t = 5$ पर प्राप्त होगा।
अतः,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq 5 - \frac{2}{5} = \frac{23}{5}$।
न्यूनतम मान $\frac{23}{5}$ है।

(B) दी गई शर्त $Z_1 \bar{Z}_2 + \bar{Z}_1 Z_2 = 0$ है।
$Z_2 \bar{Z}_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{Z_1}{Z_2} + \frac{\bar{Z}_1}{\bar{Z}_2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $2 \text{Re}(\frac{Z_1}{Z_2}) = 0$,जो दर्शाता है कि $\frac{Z_1}{Z_2}$ विशुद्ध काल्पनिक है।
अतः,$\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस प्रकार,$\sin \theta = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$।

(C) दिया गया है $z_1 = -\sqrt{3} + i$ और $z_2 = -\sqrt{3} - i$।
हम जानते हैं कि भागफल का कोणांक $\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$z_1 = -\sqrt{3} + i$ के लिए,बिंदु दूसरे चतुर्थांश में है। $\text{arg}(z_1) = \pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।
$z_2 = -\sqrt{3} - i$ के लिए,बिंदु तीसरे चतुर्थांश में है। $\text{arg}(z_2) = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6}$।
अतः,$\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \frac{5\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$।
चूंकि मुख्य कोणांक $(-\pi, \pi]$ अंतराल में होना चाहिए,इसलिए $2\pi$ घटाने पर: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$।
अतः,मुख्य कोणांक $-\frac{\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $z^4+z^2+1=0$ है।
$z^2$ से भाग देने पर ($z \neq 0$ होने के कारण),हमें $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$।
साथ ही,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,इसलिए $z+\frac{1}{z} = \pm 1$।
$z^3+\frac{1}{z^3}$ के लिए,हम सर्वसमिका $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ का उपयोग करते हैं।
यदि $z+\frac{1}{z} = 1$ है,तो $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$।
व्यंजक $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ हो जाता है।
यदि $z+\frac{1}{z} = -1$ है,तो $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$।
व्यंजक $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ हो जाता है।
समीकरण $z^4+z^2+1=0$ के मूल $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ हैं। इनके लिए,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$। अतः,मान $8$ है।

(B) एक सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ के लिए,ध्रुवीय रूप $r \operatorname{cis} \theta$ है,जहाँ $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $\theta = \operatorname{arg}(z)$ है।
$(i) z = \sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$ ($d$ से मेल खाता है)।
$(ii) z = \sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{\pi}{6})$ ($a$ से मेल खाता है)।
$(iii) z = -\sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{5\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{5\pi}{6})$ ($b$ से मेल खाता है)।
$(iv) z = -\sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{5\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{5\pi}{6})$ ($c$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $(i)-d, (ii)-a, (iii)-b, (iv)-c$ है।

(C) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right] = -i \sum_{n=1}^{20} \left[ \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) + i \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right]$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक $-i \sum_{n=1}^{20} e^{i(2n\pi/21)}$ बन जाता है।
मान लीजिए $\omega = e^{i(2\pi/21)}$ है। तो योग $-i \sum_{n=1}^{20} \omega^n$ है।
यह $20$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ पहला पद $\omega$ है और सार्व अनुपात $\omega$ है।
योग $\omega \frac{1-\omega^{20}}{1-\omega}$ है।
चूंकि $\omega^{21} = e^{i(2\pi)} = 1$,इसलिए $\omega^{20} = \omega^{-1} = \frac{1}{\omega}$ है।
अतः,योग $-i \left( \frac{\omega - \omega^{21}}{1-\omega} \right) = -i \left( \frac{\omega - 1}{1-\omega} \right) = -i (-1) = i$ है।

(A) माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n p_k x^k$ के विस्तार में $x = 1, \omega, \omega^2$ रखने पर:
$S_0 = (1+1)^n = 2^n = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \ldots$
$S_1 = (1+\omega)^n = p_0 + p_1 \omega + p_2 \omega^2 + p_3 + \ldots$
$S_2 = (1+\omega^2)^n = p_0 + p_1 \omega^2 + p_2 \omega + p_3 + \ldots$
$p_0 + p_3 + p_6 + \ldots = \frac{1}{3} [S_0 + S_1 + S_2] = \frac{1}{3} [2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n]$.
चूँकि $(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 2 \cos \frac{n \pi}{3}$,इसलिए उत्तर $\frac{1}{3} [2^n + 2 \cos \frac{n \pi}{3}]$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $\frac{1}{\omega} = \omega^2$,$\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
$k=1$ के लिए,$(\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=2$ के लिए,$(\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=3$ के लिए,$(\omega^3 + \frac{1}{\omega^3})^2 = (1 + 1)^2 = 4$.
$k=4$ के लिए,$(\omega^4 + \frac{1}{\omega^4})^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=5$ के लिए,$(\omega^5 + \frac{1}{\omega^5})^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=6$ के लिए,$(\omega^6 + \frac{1}{\omega^6})^2 = (1 + 1)^2 = 4$.
इन मानों का योग: $1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

(C) दिया गया समीकरण $Z^2 + Z|Z| + |Z|^2 = 0$ है।
चूँकि $Z \neq 0$,$|Z|^2$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{Z}{|Z|}\right)^2 + \left(\frac{Z}{|Z|}\right) + 1 = 0$.
माना $u = \frac{Z}{|Z|}$ है,जहाँ $|u| = 1$ है।
समीकरण $u^2 + u + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल $u = \omega$ और $u = \omega^2$ हैं।
अतः,$\frac{Z}{|Z|} = \omega$ या $\frac{Z}{|Z|} = \omega^2$ है।
इस प्रकार,$Z = |Z|\omega$ या $Z = |Z|\omega^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $|Z| > 0$ है।

(D) दिया गया है $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \pi / 3}$.
यहाँ $\alpha^3 = e^{i \pi} = -1$ और $\alpha^6 = 1$ है।
सारणिक $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1(1 - \alpha^3) - \alpha(\alpha^2 - \alpha^2) + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 1(1 - (-1)) - 0 + \alpha^2(\alpha^4 - \alpha) = 2 + \alpha^6 - \alpha^3 = 2 + 1 - (-1) = 4$.

(B) माना $\theta = 2 \tan^{-1} x$. तब $\cot \theta = \cot(2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - x^2}{2x}$.
दिया गया समीकरण $\sin(2 \cos^{-1}(\cot \theta)) = 0$ है।
इसका अर्थ है $2 \cos^{-1}(\cot \theta) = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$\cos^{-1}(\cot \theta) = \frac{n\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
$\cos^{-1}$ के परिसर के लिए,$0 \le \cos^{-1}(\cot \theta) \le \pi$,इसलिए $n = 0, 1, 2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: $n=0 \implies \cot \theta = 1 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = -1 \pm \sqrt{2}$.
स्थिति $2$: $n=1 \implies \cot \theta = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
स्थिति $3$: $n=2 \implies \cot \theta = -1 \implies x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$.
इस प्रकार,कुल $6$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 6$ और $p = 1/2$ है।
एक प्रयास में $5$ चित आने की प्रायिकता $P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = 6/64 = 3/32$ है।
यहाँ $N = 320$ प्रयास हैं,इसलिए माध्य $\lambda = Np' = 320 \times (3/32) = 30$ है।
पॉइसन वितरण के अनुसार,$P(Y=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{30^2 \times e^{-30}}{2}$।

(D) माना $L = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{\operatorname{Cos}^{-1} x}}{\sqrt{2(1-x)}}$.
$t = \operatorname{Cos}^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \cos t$. जब $x \rightarrow 1^{-}$,तब $t \rightarrow 0^{+}$.
चूंकि $1 - x = 1 - \cos t = 2 \sin^2(t/2)$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{2(2 \sin^2(t/2))}} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2 \sin(t/2)}$.
छोटे $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin(t/2) \approx t/2$.
$L = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{2(t/2)} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{t}}{t} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{t}} = \infty$.

(D) $a, b, 8, 5, 10$ का माध्य $6$ दिया गया है:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6 \implies a+b+23 = 30 \implies a+b = 7$.
प्रसरण $6.80$ है:
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - (6)^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2 = 25$.
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ से,$49 = 25 + 2ab \implies ab = 12$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{a} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{b} = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{ab-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{7}{12-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{7}{11}$.

(D) दिया गया है कि $P^2 = P$ है। इसका अर्थ है कि $P$ एक वर्गसम (idempotent) आव्यूह है।
हमें $(P+I)^4$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूहों के लिए द्विपद विस्तार प्रमेय का उपयोग करते हुए,क्योंकि $P$ और $I$ क्रमविनिमेय हैं $(PI = IP = P)$:
$(P+I)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^k I^{n-k}$.
$n=4$ के लिए:
$(P+I)^4 = \binom{4}{0} P^0 I^4 + \binom{4}{1} P^1 I^3 + \binom{4}{2} P^2 I^2 + \binom{4}{3} P^3 I^1 + \binom{4}{4} P^4 I^0$.
चूंकि $I^n = I$ और सभी $k \ge 1$ के लिए $P^k = P$ (क्योंकि $P^2=P, P^3=P^2 \cdot P = P \cdot P = P$,आदि):
$(P+I)^4 = I + 4P + 6P + 4P + P$.
$(P+I)^4 = I + (4+6+4+1)P$.
$(P+I)^4 = I + 15P$.

(D) माना $S_A = A - A^T$ है। चूंकि $S_A^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -S_A$,इसलिए $S_A$ क्रम $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है।
इसी प्रकार,माना $S_B = B - B^T$ है। चूंकि $S_B^T = (B - B^T)^T = B^T - B = -(B - B^T) = -S_B$,इसलिए $S_B$ क्रम $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है।
माना $M = S_A + S_B$ है। तब $M^T = (S_A + S_B)^T = S_A^T + S_B^T = -S_A - S_B = -(S_A + S_B) = -M$ है।
अतः,$M$ क्रम $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह का सारणिक,यदि उसका क्रम $n$ विषम हो,तो हमेशा $0$ होता है,क्योंकि विषम $n$ के लिए $|M| = |M^T| = |-M| = (-1)^n |M| = -|M|$,जिसका अर्थ है $2|M| = 0$,इसलिए $|M| = 0$ है।
चूंकि $n = 3$ एक विषम संख्या है,इसलिए $|M| = |(A-A^T)+(B-B^T)| = 0$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
घूर्णन आव्यूह (rotation matrix) के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
यहाँ,$n = 2017$ और $\theta = \frac{2\pi}{19}$ है।
अतः,$n\theta = 2017 \times \frac{2\pi}{19} = \frac{4034\pi}{19}$.
$4034$ को $19$ से विभाजित करने पर: $4034 = 19 \times 212 + 6$.
इस प्रकार,$n\theta = (212 \times 19 + 6) \times \frac{2\pi}{19} = 212(2\pi) + \frac{12\pi}{19} = 424\pi + \frac{12\pi}{19}$.
$A^{19} = \begin{bmatrix} \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) \\ -\sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(2\pi) & \sin(2\pi) \\ -\sin(2\pi) & \cos(2\pi) \end{bmatrix} = I$.
अतः,$A^{2017} = A^{19 \times 106 + 3} = (A^{19})^{106} \times A^3 = I^{106} \times A^3 = A^3$.

(C) दिया गया आव्यूह $A$,$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ के रूप का एक घूर्णन आव्यूह है,जहाँ $\theta = \frac{2 \pi}{33}$ है।
घूर्णन आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = R(n \theta) = \begin{bmatrix} \cos(n \theta) & \sin(n \theta) \\ -\sin(n \theta) & \cos(n \theta) \end{bmatrix}$ होता है।
हमें $A^{2017}$ ज्ञात करना है,इसलिए $n = 2017$ है।
कोण $n \theta = 2017 \times \frac{2 \pi}{33} = \frac{4034 \pi}{33}$ हो जाता है।
$4034$ को $33$ से विभाजित करने पर: $4034 = 33 \times 122 + 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{4034 \pi}{33} = 122 \pi + \frac{8 \pi}{33}$ है।
चूँकि $\cos(122 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(122 \pi + \alpha) = \sin \alpha$ होता है,इसलिए $A^{2017} = \begin{bmatrix} \cos \frac{8 \pi}{33} & \sin \frac{8 \pi}{33} \\ -\sin \frac{8 \pi}{33} & \cos \frac{8 \pi}{33} \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A^4 = R(4 \times \frac{2 \pi}{33}) = R(\frac{8 \pi}{33})$ है।
अतः,$A^{2017} = A^4$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix}$.
शर्त $A A^T = 9 I = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$ है।
$A A^T$ का गुणनफल ज्ञात करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $1$: $1(1) + 2(2) + 2(2) = 1 + 4 + 4 = 9$.
पंक्ति $2 \times$ स्तंभ $2$: $2(2) + 1(1) + (-2)(-2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
पंक्ति $3 \times$ स्तंभ $3$: $a(a) + 2(2) + b(b) = a^2 + 4 + b^2$.
चूँकि $A A^T = 9 I$,विकर्ण अवयव $9$ होने चाहिए। अतः,$a^2 + 4 + b^2 = 9$,जिसका अर्थ है $a^2 + b^2 = 5$.
अन्य अवयवों की जाँच करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $2$: $1(2) + 2(1) + 2(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $3$: $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$.
पंक्ति $2 \times$ स्तंभ $3$: $2(a) + 1(2) + (-2)(b) = 2a + 2 - 2b = 0 \implies a - b = -1$.
$a + 2b = -4$ और $a - b = -1$ से,घटाने पर $3b = -3 \implies b = -1$. अतः $a = -2$.
जाँच: $a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(A) किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को एक सममित आव्यूह $P$ और एक विषम-सममित आव्यूह $Q$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ और $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,$A - A^T = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(B) सबसे पहले,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(3 \times 8 - 4 \times 6) - 2(2 \times 8 - 4 \times 5) + 3(2 \times 6 - 3 \times 5) = 1(24 - 24) - 2(16 - 20) + 3(12 - 15) = 0 - 2(-4) + 3(-3) = 8 - 9 = -1$.
इसके बाद,आव्यूह $B$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|B| = 3(3 \times 9 - 8 \times 2) - 2(2 \times 9 - 8 \times 7) + 5(2 \times 2 - 3 \times 7) = 3(27 - 16) - 2(18 - 56) + 5(4 - 21) = 3(11) - 2(-38) + 5(-17) = 33 + 76 - 85 = 24$.
गुणधर्म $|AB| = |A| \times |B|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|AB| = (-1) \times 24 = -24$ प्राप्त होता है।
$n \times n$ कोटि के आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
$|\operatorname{Adj}(AB)| = (-24)^2 = 576$.
चूंकि $576 = 24^2$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2+5x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)(x+2)} + \frac{c}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)(x+2)(x+3)$ से गुणा करने पर:
$x^2+5x+1 = a(x+2)(x+3) + b(x+3) + c$.
$x = -1$ के लिए: $(-1)^2 + 5(-1) + 1 = a(1)(2) + b(2) + c \implies -3 = 2a+2b+c$.
$x = -2$ के लिए: $(-2)^2 + 5(-2) + 1 = b+c \implies -5 = b+c$.
$x = -3$ के लिए: $(-3)^2 + 5(-3) + 1 = c \implies c = -5$.
$b+c = -5$ से,$b-5 = -5 \implies b = 0$.
$2a+2b+c = -3$ से,$2a+0-5 = -3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.
आव्यूह $M = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ -5 & 1\end{array}\right]$ है।
व्युत्क्रम $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M)$.
$\det(M) = 1$.
$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$M^{-1} = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = D$ के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ की कोटि (rank),संवर्धित आव्यूह $[A|D]$ की कोटि से कम होनी चाहिए।
$\therefore \text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$.
चूंकि किसी आव्यूह की कोटि हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती है,और $\text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$ है,इसलिए अनुपात $\frac{\text{Rank}(A)}{\text{Rank}([A|D])}$ का मान $1$ से कम होगा।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $D(x)$ है। हमें $D(x) = xA + B$ दिया गया है।
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $D(x)$ का अवकलन करते हैं और $x=0$ पर मान ज्ञात करते हैं।
$D'(0) = A$.
सारणिक के अवकलन के गुण का उपयोग करते हुए,$D'(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का बारी-बारी से अवकलन किया जाता है।
माना $R_1, R_2, R_3$ सारणिक की पंक्तियाँ हैं।
$D'(x) = \begin{vmatrix} 2x+1 & 1 & 1 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ x^2+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 2x^2+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$D'(0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
पहला सारणिक $0$ है क्योंकि पंक्तियाँ समानुपाती हैं।
$A = 0 + [0(0 - (-3)) - 1(-3 - 9) - 2(-3 - 0)] + [0(0 - (-6)) - 1(-2 - (-6)) - 2(-2 - 0)]$.
$A = [0 + 12 + 6] + [0 - 4 + 4] = 18 + 0 = 18$.
अतः,$|A| = 18$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4\end{array}\right|$ है।
$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \\ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}\right|$.
$R_2$ से $(b-a)$ और $R_3$ से $(c-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc(b-a)(c-a) \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b+a & b^2+ab+a^2 \\ 0 & c+a & c^2+ac+a^2\end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = abc(b-a)(c-a) [(c+a)(b^2+ab+a^2) - (b+a)(c^2+ac+a^2)]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $(cb^2+abc+a^2c+ab^2+a^2b+a^3) - (bc^2+abc+a^2b+ac^2+a^2c+a^3) = cb^2+ab^2-bc^2-ac^2 = b^2c-bc^2+ab^2-ac^2 = bc(b-c) + a(b-c)(b+c) = (b-c)(bc+ab+ac)$.
अतः,$\Delta = abc(b-a)(c-a)(b-c)(ab+bc+ca) = abc(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
$k(a-b)(b-c)(c-a)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = abc(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,इसके सहखंडज (adjoint) आव्यूह का सारणिक इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{det} A)^{n-1}$।
दिया गया है कि $A$ कोटि $n = 3$ का एक आव्यूह है और इसका सारणिक $\operatorname{det} A = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-1}$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^2$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 36$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$1) 3x + 4y - 5z = -6$
$2) 2x + 3y - 4z = -7$
$3) 4x - 2y + z = 9$
समीकरण $(3)$ से,$z = 9 - 4x + 2y$ प्राप्त होता है।
$z$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3x + 4y - 5(9 - 4x + 2y) = -6$
$3x + 4y - 45 + 20x - 10y = -6$
$23x - 6y = 39$ $(4)$
$z$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2x + 3y - 4(9 - 4x + 2y) = -7$
$2x + 3y - 36 + 16x - 8y = -7$
$18x - 5y = 29$ $(5)$
समीकरण $(4)$ को $5$ से और $(5)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$115x - 30y = 195$
$108x - 30y = 174$
इन समीकरणों को घटाने पर: $7x = 21 \implies x = 3$.
$x = 3$ का मान $(4)$ में रखने पर:
$23(3) - 6y = 39 \implies 69 - 6y = 39 \implies 6y = 30 \implies y = 5$.
$x = 3, y = 5$ का मान $(3)$ में रखने पर:
$z = 9 - 4(3) + 2(5) = 9 - 12 + 10 = 7$.
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (3, 5, 7)$.
$\alpha + 3\beta - 2\gamma = 3 + 3(5) - 2(7) = 3 + 15 - 14 = 4$.

(B) दी गई समीकरणों की प्रणाली है:
$x+y+z=5$
$x+2y+az=9$
$x+2y+z=b$
हम इसे मैट्रिक्स रूप $AX=B$ में लिख सकते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
प्रणाली के असंगत होने के लिए,सारणिक $|A|$ का मान $0$ होना चाहिए और प्रणाली का कोई हल नहीं होना चाहिए।
$|A| = 1(2-2a) - 1(1-a) + 1(2-2) = 2-2a-1+a = 1-a$.
$|A|=0$ रखने पर,हमें $1-a=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=1$ है।
अब,$a=1$ को समीकरणों में रखने पर:
$x+y+z=5$
$x+2y+z=9$
$x+2y+z=b$
दूसरे और तीसरे समीकरण की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यदि $b \neq 9$ है,तो प्रणाली दो समानांतर समतलों को दर्शाती है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है (असंगत)।
अतः,प्रणाली $a=1$ और $b \neq 9$ होने पर असंगत है।

(D) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX=B$ का एक अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो, अर्थात $|A| \neq 0$।
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|A| = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1$
$|A| = \lambda - 5$
अद्वितीय हल के लिए, हमें $|A| \neq 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $\lambda - 5 \neq 0$, या $\lambda \neq 5$।
$\mu$ का मान अद्वितीय हल के अस्तित्व को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए $\mu$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(\mu \in R)$।
अतः, अद्वितीय हल के लिए शर्त $\lambda \neq 5$ और $\mu \in R$ है।

(C) समीकरणों की दी गई प्रणाली है:
$(a-1)x - y - z = 0$
$-x + (b-1)y - z = 0$
$-x - y + (c-1)z = 0$
एक शून्येतर हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a-1 & -1 & -1 \\ -1 & b-1 & -1 \\ -1 & -1 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(a-1)((b-1)(c-1) - 1) + 1(-(c-1) - 1) - 1(1 + (b-1)) = 0$
$(a-1)(bc - b - c + 1 - 1) + (-c + 1 - 1) - (1 + b - 1) = 0$
$(a-1)(bc - b - c) - c - b = 0$
$abc - ab - ac - bc + b + c - c - b = 0$
$abc - ab - ac - bc = 0$
अतः,$ab + bc + ca = abc$.

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+2y+\lambda z=\mu$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की रैंक चरों की संख्या $(3)$ से कम होनी चाहिए।
संवर्धित आव्यूह लिखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & \lambda & | & \mu \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएं लागू करने पर:
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & \lambda-1 & | & \mu-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & | & \mu-10 \end{bmatrix}$
अनंत हलों के लिए,अंतिम पंक्ति को शून्य पंक्ति होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\lambda-3=0$ और $\mu-10=0$.
अतः,$\lambda=3$ और $\mu=10$.

(A) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समीकरण: $2 \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\operatorname{Cos}^{-1} x + (\operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Sin}^{-1} x) = \frac{11 \pi}{6}$।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\operatorname{Cos}^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi}{6}$।
$\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{11 \pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11 \pi - 3 \pi}{6} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4 \pi}{3}$।
हालाँकि,$\operatorname{Cos}^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि $\frac{4 \pi}{3} > \pi$,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया है $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$.
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2\operatorname{Tan}^{-1}(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ होती है,जहाँ $|x| < 1$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = 2\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.
अवकलज में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{2}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,$\cot \left(\cos ^{-1} x\right)=\sec \left\{\tan ^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right\}$.
चूंकि $\cos ^{-1} x = \cot ^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $\tan ^{-1} \theta = \sec ^{-1} \left(\sqrt{1+\theta^2}\right)$,इसलिए:
$\cot \left(\cot ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \sec \left\{\sec ^{-1} \sqrt{1+\left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)^2}\right\}$
$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1+\frac{a^2}{b^2-a^2}} = \sqrt{\frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$
$x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2)$
$x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2 - x^2 b^2$
$2 x^2 b^2 - x^2 a^2 = b^2$
$x^2(2 b^2 - a^2) = b^2$
$x^2 = \frac{b^2}{2 b^2 - a^2}$
$x = \frac{b}{\sqrt{2 b^2 - a^2}}$.

(A) हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
चरण $1$: $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मान ज्ञात करें।
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-1/2}}{1/\sqrt{2}}\right) = \ln\left(\frac{1+1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}+1)$.
चरण $2$: $\operatorname{cosech}^{-1}(-1)$ का मान ज्ञात करें।
$\operatorname{cosech}^{-1}(-1) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+(-1)^2}}{-1}\right) = \ln\left(\frac{1+\sqrt{2}}{-1}\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right) = \ln((\sqrt{2}+1)^{-1}) = -\ln(\sqrt{2}+1)$.
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें।
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\operatorname{cosech}^{-1}(-1) = \ln(\sqrt{2}+1) - \ln(\sqrt{2}+1) = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{Sin}^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x) = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
$2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2} = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $\sin(2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2$.
$-\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 3x - 2$.
$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \operatorname{Sin}^{-1} x$,हमें $\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 1 - 2x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$-(1 - 2x^2) = 3x - 2$.
$2x^2 - 1 = 3x - 2 \implies 2x^2 - 3x + 1 = 0$.
$(2x - 1)(x - 1) = 0$.
इस प्रकार,$x = 1$ या $x = \frac{1}{2}$.
$x = 1$ की जाँच करने पर: $\operatorname{Sin}^{-1}(1) - \operatorname{Cos}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. दायाँ पक्ष: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(1) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$. अतः $x = 1$ एक हल है।
$x = \frac{1}{2}$ की जाँच करने पर: $\operatorname{Sin}^{-1}(\frac{1}{2}) - \operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. दायाँ पक्ष: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(\frac{1}{2}) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. अतः $x = \frac{1}{2}$ एक हल है।
दिया गया है कि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 1$ और $\beta = \frac{1}{2}$.
तब $3\alpha + 4\beta = 3(1) + 4(\frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5$.

(C) दिया गया है $S_a(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a)$ और $S_b(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
$S_a(x) = S_b(x)$ रखने पर,हमें मिलता है $\operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(a) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + \operatorname{Sec}^{-1}(b)$.
सर्वसमिका $\operatorname{Sec}^{-1}(y) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ का उपयोग करने पर,$\cos^{-1}\left(\frac{a}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$.
यदि $x = ab$ है,तो $\cos^{-1}\left(\frac{a}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)$.
यह समीकरण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{b}{ab}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)$ में बदल जाता है,जो कि सत्य है।
अतः,$x = ab$ सही उत्तर है।

(A) फलन $f(x) = \frac{\sin([x]\pi) + \tan([x]\pi)}{1 + [x]^2 + [x]^4}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए परिभाषित है।
अतः,फलन का प्रांत $R$ है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$[x] = n$,जहाँ $n \in Z$ है।
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \frac{\sin(n\pi) + \tan(n\pi)}{1 + n^2 + n^4}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$\sin(n\pi) = 0$ और $\tan(n\pi) = 0$ होता है।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{0 + 0}{1 + n^2 + n^4} = 0$ होता है।
चूंकि फलन का मान हमेशा $0$ है,इसलिए फलन का परिसर एकल समुच्चय $\{0\}$ है।
अतः,प्रांत $R$ है और परिसर $\{0\}$ है।

(A) दिया गया फलन $f: A \rightarrow R$ है जहाँ $A = \{-4, -2, -1, 0, 3, 5\}$ और $f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{यदि } x > 3 \\ x^2 + 1 & \text{यदि } -3 \leq x \leq 3 \\ 2x - 3 & \text{यदि } x < -3 \end{cases}$ है।
हम $A$ के प्रत्येक अवयव के लिए $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x = -4$ $(x < -3)$ के लिए: $f(-4) = 2(-4) - 3 = -11$.
$x = -2$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$.
$x = -1$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$.
$x = 0$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(0) = 0^2 + 1 = 1$.
$x = 3$ $(-3 \leq x \leq 3)$ के लिए: $f(3) = 3^2 + 1 = 10$.
$x = 5$ $(x > 3)$ के लिए: $f(5) = 3(5) - 1 = 14$.
अतः,$f$ का परिसर $\{-11, 5, 2, 1, 10, 14\}$ है।

(A) दिया गया है,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$.
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2(1 + \cos^2 \theta)$.
हम जानते हैं कि $0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$,इसलिए $1 \leq 1 + \cos^2 \theta \leq 2$.
$2$ से गुणा करने पर,$2 \leq 2(1 + \cos^2 \theta) \leq 4$.
अतः,$\Delta \in [2, 4]$.

(A) दिए गए फलनों के परिसर इस प्रकार हैं:
$1$. $f(x) = |x|$ के लिए,आउटपुट हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है। अतः,$A-I$ या $A-III$।
$2$. $f(x) = x^2$ के लिए,आउटपुट हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है। अतः,$B-I$ या $B-III$।
$3$. $f(x) = x^3$ के लिए,फलन सभी वास्तविक मानों को कवर करता है,इसलिए परिसर $\mathbb{R}$ है। अतः,$C-II$।
$4$. $f(x) = \text{sgn}(x)$ के लिए,सिग्नल फलन $x < 0$ के लिए $-1$,$x = 0$ के लिए $0$,और $x > 0$ के लिए $1$ देता है। इसलिए,परिसर $\{-1, 0, 1\}$ है। अतः,$D-IV$।

(C) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए,$\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया व्यंजक $f(x) = \operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} x$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{Sin}^{-1} x$ और $\operatorname{Cos}^{-1} x$ का प्रांत (domain) $[-1, 1]$ है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
सीमा बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$x = -1$ के लिए,$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
चूंकि $\operatorname{Tan}^{-1} x$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ है।

(B) एकैकी की जाँच के लिए: मान लीजिए $x_1, x_2 \in [0, \infty)$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{x}{1+x}$ है।
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$.
$x \in [0, \infty)$ के लिए,हमें $y \in [0, 1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,इसलिए $y = 2$ जैसे मानों के लिए प्रांत में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{4x_1-3}{x_1-1} = \frac{4x_2-3}{x_2-1}$
$(4x_1-3)(x_2-1) = (4x_2-3)(x_1-1)$
$4x_1x_2 - 4x_1 - 3x_2 + 3 = 4x_1x_2 - 4x_2 - 3x_1 + 3$
$-4x_1 - 3x_2 = -4x_2 - 3x_1$
$x_1 = x_2$.
अतः,फलन एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: मान लीजिए $y = \frac{4x-3}{x-1}$.
$y(x-1) = 4x-3$
$yx - y = 4x - 3$
$yx - 4x = y - 3$
$x(y-4) = y-3$
$x = \frac{y-3}{y-4}$.
प्रत्येक $y \in R-\{4\}$ के लिए,एक $x = \frac{y-3}{y-4} \in R-\{1\}$ का अस्तित्व है।
अतः,फलन आच्छादक है।
इसलिए,फलन एकैकी और आच्छादक है।

(D) दिया गया फलन $\sigma: N \rightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{यदि } n \text{ सम है} \\ -\frac{n-1}{2} & \text{यदि } n \text{ विषम है} \end{cases}$
स्थिति-$I$: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k) = \frac{2k}{2} = k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $1, 2, 3, \dots$ (सभी धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है।
स्थिति-$II$: यदि $n$ विषम है,तो $n = 2k-1$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k-1) = -\frac{(2k-1)-1}{2} = -\frac{2k-2}{2} = -(k-1) = 1-k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $0, -1, -2, \dots$ (सभी गैर-धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$\sigma$ का परिसर ${0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots} = Z$ है।
चूँकि प्रत्येक अलग $n \in N$ के लिए $Z$ में एक अलग पूर्णांक प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) है।
चूँकि $\sigma$ का परिसर उसके सह-प्रांत $Z$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) है।
अतः,$\sigma$ एकैकी और आच्छादक फलन है।

(B) दिया गया है कि $g \circ f: A \rightarrow C$ एकैकी है।
परिभाषा के अनुसार,यदि $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ है,तो सभी $x_1, x_2 \in A$ के लिए $x_1 = x_2$ होता है।
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ होगा।
चूंकि $g \circ f$ एकैकी है,यह दर्शाता है कि $x_1 = x_2$ है।
अतः,$f$ का एकैकी होना अनिवार्य है।
हालाँकि,$g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $A = \{1\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{4\}$,$f(1) = 2$,$g(2) = 4$,$g(3) = 4$ है,तो $g \circ f(1) = 4$ एकैकी है,लेकिन $g$ एकैकी नहीं है।
इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है।

(C) एक फलन बाइजेक्शन होता है यदि वह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों हो।
प्रांत और सह-प्रांत $A = [-1, 1]$ के लिए:
$A) f(x) = x|x|$ एक बाइजेक्शन है क्योंकि यह निरंतर वर्धमान है और $[-1, 1]$ को $[-1, 1]$ पर मैप करता है।
$B) f(x) = x^3$ एक बाइजेक्शन है क्योंकि यह निरंतर वर्धमान है और $[-1, 1]$ को $[-1, 1]$ पर मैप करता है।
$C) f(x) = x^2$ एक बाइजेक्शन नहीं है। यह एकैकी नहीं है क्योंकि $f(1) = f(-1) = 1$ है। यह आच्छादक भी नहीं है क्योंकि इसका परिसर $[0, 1]$ है,जो सह-प्रांत $[-1, 1]$ के बराबर नहीं है।
$D) f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ एक बाइजेक्शन है क्योंकि यह निरंतर वर्धमान है और $[-1, 1]$ को $[-1, 1]$ पर मैप करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया फलन $f:(5,10) \rightarrow (7,12)$ है,जो $f(x) = x + 2\left[\frac{x}{5}\right]$ द्वारा परिभाषित है।
$x \in (5, 10)$ के लिए,$\frac{x}{5}$ का मान $(1, 2)$ अंतराल में स्थित है।
इसलिए,महत्तम पूर्णांक फलन $\left[\frac{x}{5}\right] = 1$ होगा,सभी $x \in (5, 10)$ के लिए।
फलन की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x + 2(1) = x + 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x) = x + 2$ एक रैखिक फलन है,यह निरंतर वर्धमान है और इसलिए एकैकी (injective) है।
यह आच्छादक (surjective) है या नहीं,यह जांचने के लिए हम परिसर ज्ञात करते हैं: जैसे-जैसे $x$,$5$ से $10$ तक बदलता है,$f(x)$,$5+2=7$ से $10+2=12$ तक बदलता है। अतः,परिसर $(7, 12)$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है।
चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक (bijective) है,इसलिए $f^{-1}(x)$ का अस्तित्व है।
मान लीजिए $y = x + 2$,तो $x = y - 2$ होगा।
अतः,$f^{-1}(x) = x - 2$।

(A) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
हमें $f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f^2(x) = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ की गणना करें।
इसके बाद,$f^4(x) = (f^2(x))^2 = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})^2 = (x^2)^2 + 2^2 + (\frac{1}{x^2})^2 + 2(x^2)(2) + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + 2(2)(\frac{1}{x^2}) = x^4 + 4 + \frac{1}{x^4} + 4x^2 + 2 + \frac{4}{x^2} = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ की गणना करें।
अब,$f(x^4) = x^4 + \frac{1}{x^4}$ की गणना करें।
साथ ही,$4f^2(x) = 4(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) = 4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x) = (x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}) - (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2})$.
$= x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4} - x^4 - \frac{1}{x^4} - 4x^2 - 8 - \frac{4}{x^2}$.
$= 6 - 8 = -2$.

(B) दिया गया समीकरण $x - f(x) = 19[\frac{x}{19}] - 90[\frac{f(x)}{90}]$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x - 19[\frac{x}{19}] = f(x) - 90[\frac{f(x)}{90}]$ प्राप्त होता है।
यह $x \pmod{19} = f(x) \pmod{90}$ के बराबर है।
मान लीजिए $x = 1990$. तो $1990 = 19 \times 104 + 14$,इसलिए $1990 \equiv 14 \pmod{19}$.
अतः,$f(1990) \equiv 14 \pmod{90}$.
इसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $k$ के लिए $f(1990) = 90k + 14$.
हमें दिया गया है कि $1990 < f(1990) < 2100$.
$f(1990) = 90k + 14$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1990 < 90k + 14 < 2100$ प्राप्त होता है।
$1976 < 90k < 2086$.
$90$ से विभाजित करने पर,हमें $21.95 < k < 23.17$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k = 22$ या $k = 23$.
यदि $k = 22$ है,तो $f(1990) = 90(22) + 14 = 1980 + 14 = 1994$.
यदि $k = 23$ है,तो $f(1990) = 90(23) + 14 = 2070 + 14 = 2084$.
दोनों मान $1990 < f(1990) < 2100$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$f(1990)$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।

(B) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k$ होना चाहिए।
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे $x \to \frac{\pi}{2}$,वैसे $h \to 0$.
तब $\pi - 2x = \pi - 2(\frac{\pi}{2} + h) = -2h$.
साथ ही,$\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + h) = \cos h$.
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{(-2h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{4h^2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos h = 2 \sin^2(\frac{h}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{h}{2})}{4h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(h/2)}{h} \right)^2 = \lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(h/2)}{2(h/2)} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
अतः,$k = \frac{1}{8}$.

(B) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ का मान ज्ञात करना होगा।
$x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2}$ दिया गया है।
सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(\theta)}{x^2} = \frac{\theta^2}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left[ \frac{1 - \cos(bx)}{x^2} - \frac{1 - \cos(ax)}{x^2} \right]$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left[ \frac{2 \sin^2(bx/2)}{x^2} - \frac{2 \sin^2(ax/2)}{x^2} \right]$
$= 2 \left( \frac{b}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{b^2 - a^2}{2}$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \frac{b^2 - a^2}{2}$ और $f(0) = \frac{b^2 - a^2}{2}$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(B) मान लीजिए $x = n + f$,जहाँ $n = [x]$ एक पूर्णांक है और $0 \leq f < 1$ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
तब $f(x) = n + \sqrt{f}$ होगा।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$x \to n^+$ पर सीमा पर विचार करें। यहाँ $x = n + h$ जहाँ $h \to 0^+$,इसलिए $[x] = n$ और $x - [x] = h$ है। अतः,$\lim_{x \to n^+} f(x) = n + \sqrt{0} = n$ होगा।
$x \to n^-$ पर सीमा के लिए,$x = n - h$ लें जहाँ $h \to 0^+$। तब $[x] = n - 1$ और $x - [x] = 1 - h$ होगा। अतः,$\lim_{x \to n^-} f(x) = (n - 1) + \sqrt{1 - 0} = n - 1 + 1 = n$ होगा।
चूँकि $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^-} f(x) = f(n) = n$ है,फलन सभी पूर्णांकों $n \in Z$ पर संतत है।
चूँकि फलन सभी पूर्णांकों पर संतत है और किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच भी संतत है,इसलिए फलन $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए संतत है।

(A) $f$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = \frac{1}{2}$।
अब,सीमा की गणना करें: $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos ax}{x \sin x}$।
सर्वसमिका $1-\cos ax = 2 \sin^{2}(\frac{ax}{2})$ का उपयोग करते हुए,सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2}(\frac{ax}{2})}{x \sin x}$ हो जाती है।
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करें:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{\sin^{2}(ax/2)}{x^{2}}}{\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (\frac{a}{2})^{2} \cdot (\frac{\sin(ax/2)}{ax/2})^{2}}{\frac{\sin x}{x}}$।
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{2 \cdot (a^{2}/4)}{1} = \frac{a^{2}}{2}$ है।
इसे $f(0)$ के बराबर रखने पर,हमें $\frac{a^{2}}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^{2} = 1$।

(C) फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} x-1, & x \leq 1 \\ 2-x^2, & 1 < x \leq 3 \\ x-10, & 3 < x < 5 \\ 2x, & x \geq 5 \end{cases}$
$f(x)$ अंतरालों $(-\infty, 1), (1, 3), (3, 5)$ और $(5, \infty)$ में सतत है। हम संक्रमण बिंदुओं $x=1, 3$ और $5$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$(i)$ $x=1$ पर:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1-1 = 0$
$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = 2-(1)^2 = 1$
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$,इसलिए $f$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है।
(ii) $x=3$ पर:
$\lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = 2-(3)^2 = 2-9 = -7$
$f(3) = 2-(3)^2 = -7$
$\lim_{x \rightarrow 3^+} f(x) = 3-10 = -7$
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \rightarrow 3^+} f(x)$,इसलिए $f$ बिंदु $x=3$ पर सतत है।
(iii) $x=5$ पर:
$\lim_{x \rightarrow 5^-} f(x) = 5-10 = -5$
$\lim_{x \rightarrow 5^+} f(x) = 2(5) = 10$
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 5^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 5^+} f(x)$,इसलिए $f$ बिंदु $x=5$ पर असंतत है।
अतः,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $\{1, 5\}$ है।

(B) फलन $f(x) = [x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$,$x$ के सभी पूर्णांक मानों पर असांतत्य (discontinuous) होता है।
फलन का प्रांत (domain) $(-7, 7)$ दिया गया है।
अंतराल $(-7, 7)$ में स्थित पूर्णांक $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
इन पूर्णांकों की गणना करने पर,हमें कुल $13$ मान प्राप्त होते हैं।
अतः,फलन $f(x) = [x]$ के अंतराल $(-7, 7)$ में $13$ असांतत्य बिंदु हैं।

(D) फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ मापांक (absolute value) के अंदर का मान शून्य हो,या जहाँ फलन स्वयं असंतत हो।
$1$. मापांक फलन $|x - 0.5|$ और $|x - 1|$ क्रमशः $x = 0.5$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं हैं।
$2$. फलन $\tan x$,$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है)। अंतराल $(0, 2)$ में,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ आता है,जो इस अंतराल के भीतर है।
$3$. इन सबको मिलाने पर,फलन $f(x)$ बिंदुओं $x = 0.5, x = 1$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (1, 3)$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
किसी भी $x \in [1, 3]$ के लिए,$f^{\prime}$ पर माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,$x$ और $c$ के बीच एक बिंदु $d$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(x) - f^{\prime}(c) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ हो।
चूंकि $f^{\prime}(c) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ प्राप्त होता है।
$|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ दिया गया है,इसलिए $|f^{\prime}(x)| = |f^{\prime \prime}(d)| \cdot |x - c| \leq 2 \cdot |x - c|$ है।
चूंकि $x, c \in [1, 3]$,इसलिए $|x - c|$ का अधिकतम मान $3 - 1 = 2$ है।
अतः,$|f^{\prime}(x)| \leq 2 \cdot 2 = 4$,जो दर्शाता है कि $-4 \leq f^{\prime}(x) \leq 4$। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $y = e^{3x} \sin 4x$ है।
गुणनफल नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{3x} \frac{d}{dx}(\sin 4x) + \sin 4x \frac{d}{dx}(e^{3x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{3x} (4 \cos 4x) + \sin 4x (3 e^{3x})$
$\frac{dy}{dx} = e^{3x} (3 \sin 4x + 4 \cos 4x)$
$3 \sin 4x + 4 \cos 4x$ को सरल करने के लिए,हम $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 5 e^{3x} \left( \frac{3}{5} \sin 4x + \frac{4}{5} \cos 4x \right)$
माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,इसलिए $\tan \alpha = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \tan^{-1} \frac{4}{3}$।
अतः $\frac{dy}{dx} = 5 e^{3x} (\cos \alpha \sin 4x + \sin \alpha \cos 4x)$
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5 e^{3x} \sin(4x + \alpha) = 5 e^{3x} \sin \left(4x + \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)$।