AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) वृत्त $x^2+y^2-3x-4y-1=0$ का केंद्र $C(\frac{3}{2}, 2)$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त बिंदु $C(\frac{3}{2}, 2)$ से होकर गुजरता है और इसका केंद्र $(5, 2)$ है,इसलिए त्रिज्या $r$ इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(5 - \frac{3}{2})^2 + (2 - 2)^2} = \frac{7}{2}$.
अतः,वृत्त का समीकरण $(x-5)^2 + (y-2)^2 = (\frac{7}{2})^2$ होगा।
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = \frac{49}{4}$
$x^2 + y^2 - 10x - 4y + 29 = \frac{49}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 116 = 49$
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 67 = 0$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $(x+1)(x+2)+(y-1)(y+3)=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $x^2+3x+2+y^2+2y-3=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2+y^2+3x+2y-1=0$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$2g=3 \implies g=\frac{3}{2}$,$2f=2 \implies f=1$,और $c=-1$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (1)^2 - (-1)} = \sqrt{\frac{9}{4}+1+1} = \sqrt{\frac{17}{4}}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (\frac{17}{4}) = \frac{17 \pi}{4}$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ दिया गया है।
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी।
$r = |k| = |2| = 2$.
$h=1$,$k=2$,और $r=2$ को मानक समीकरण में रखने पर:
$(x-1)^2+(y-2)^2=2^2$
$(x-1)^2+(y-2)^2=4$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 x^2 + 2 y^2 - 3 x + 2 y - 1 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} x + y - \frac{1}{2} = 0$
सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर:
$2g = -\frac{3}{2} \Rightarrow g = -\frac{3}{4}$
$2f = 1 \Rightarrow f = \frac{1}{2}$
$c = -\frac{1}{2}$
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$r = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})}$
$r = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$
$r = \sqrt{\frac{9 + 4 + 8}{16}} = \sqrt{\frac{21}{16}}$
$r = \frac{\sqrt{21}}{4} \text{ इकाई.}$

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-2x-6y-15=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=-3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 3)$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है।
माना व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक $(a, b)$ हैं।
एक सिरा $(4, 1)$ दिया गया है,मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$1 = \frac{4+a}{2}$ $\Rightarrow 2 = 4+a$ $\Rightarrow a = -2$.
$3 = \frac{1+b}{2}$ $\Rightarrow 6 = 1+b$ $\Rightarrow b = 5$.
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(-2, 5)$ हैं।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।
चूंकि वृत्त अक्षों पर अंतःखंड काटता है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(5,0)$ और $(0,6)$ हैं।
समीकरण में $(5,0)$ रखने पर: $5^2+0^2+2g(5)+2f(0)=0 \implies 25+10g=0 \implies g = -2.5$.
समीकरण में $(0,6)$ रखने पर: $0^2+6^2+2g(0)+2f(6)=0 \implies 36+12f=0 \implies f = -3$.
$g$ और $f$ के मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+2(-2.5)x+2(-3)y=0$.
यह $x^2+y^2-5x-6y=0$ में सरल हो जाता है।

(C) माना वृत्त पर बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि यह $x^2+y^2=4$ पर स्थित है,इसलिए $h^2+k^2=4$ है।
रेखा $4x+3y-12=0$ से $(h, k)$ की दूरी $\frac{|4h+3k-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{4}{5}$ है।
इससे $|4h+3k-12|=4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4h+3k=16$ या $4h+3k=8$।
स्थिति $1$: $4h+3k=16$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $4h+3k=8$ के लिए $25h^2-64h+28=0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $h=2$ या $h=\frac{14}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2,0)$ और $(\frac{14}{25}, \frac{48}{25})$ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x-10y+25=0$ है।
दिया गया बिंदु $P$ $(1, -2)$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
यहाँ,$g = -5$,$f = -5$,$c = 25$,$x_1 = 1$,और $y_1 = -2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x(1) + y(-2) - 5(x+1) - 5(y-2) + 25 = 0$
$x - 2y - 5x - 5 - 5y + 10 + 25 = 0$
$-4x - 7y + 30 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $4x + 7y - 30 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ प्राप्त होता है।
वृत्त के अस्तित्व के लिए,$34-p > 0$,अतः $p < 34$।
केंद्र $(3,5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{34-p}$ है।
चूंकि बिंदु $(1,4)$ वृत्त के अंदर स्थित है,इसलिए $1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p < 29$ $(i)$।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(3,5)$ से अक्षों की दूरी त्रिज्या $r$ से अधिक होनी चाहिए।
$y$-अक्ष से दूरी $|3| = 3$ है,अतः $r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ (ii)।
$x$-अक्ष से दूरी $|5| = 5$ है,अतः $r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ (iii)।
$(i)$,(ii) और (iii) को मिलाने पर,हमें $25 < p < 29$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $C(2, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $K(10, 7)$ और केंद्र $C(2, 1)$ के बीच की दूरी $CK = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त से बिंदु $K$ की अधिकतम दूरी $CK + r = 10 + 5 = 15 \text{ इकाई}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ प्राप्त होता है।
वृत्त के अस्तित्व के लिए,त्रिज्या का वर्ग धनात्मक होना चाहिए: $34-p > 0 \Rightarrow p < 34$ ... $(i)$।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करता है,इसलिए केंद्र $(3,5)$ से अक्षों की दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{34-p}$ से अधिक होनी चाहिए।
$x$-अक्ष के लिए,दूरी $|y_c| = 5$ है। अतः,$r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ ... $(ii)$।
$y$-अक्ष के लिए,दूरी $|x_c| = 3$ है। अतः,$r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ ... $(iii)$।
चूंकि बिंदु $(1,4)$ वृत्त के अंदर स्थित है,इसे वृत्त के समीकरण में रखने पर मान ऋणात्मक होना चाहिए: $1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p-29 < 0$ $\Rightarrow p < 29$ ... $(iv)$।
असमिकाओं $(i), (ii), (iii),$ और $(iv)$ को संयोजित करने पर,हमें $25 < p < 29$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-93=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-1)^2+(y+2)^2 = 98$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ है।
निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले अंतर्निहित वर्ग के शीर्ष $(h \pm r\cos(\pi/4), k \pm r\sin(\pi/4))$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूँकि $\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,शीर्ष $(1 \pm 7, -2 \pm 7)$ होंगे।
संभावित शीर्ष $(8, 5), (8, -9), (-6, 5)$ और $(-6, -9)$ हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$(8, 5)$ एक वैध शीर्ष है।

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
दिए गए बिंदु $(1, a)$ और $(b, 2)$ तथा वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
निर्देशांकों को शर्त में रखने पर,हमें $(1)(b) + (a)(2) = 25$ प्राप्त होता है।
यह $b + 2a = 25$ में सरल हो जाता है।
हमें $4a + 2b$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $2a + b = 25$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(2a + b) = 2(25)$ प्राप्त होता है,जो $4a + 2b = 50$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
केंद्र: $(3, 2)$ और त्रिज्या: $r = 5$.
चूँकि रेखाएँ $x$-अक्ष के समानांतर हैं,उनका समीकरण $y = k$ के रूप में होगा।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $y = k$ की दूरी त्रिज्या $5$ के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$|k - 2| = 5$.
इससे $k = 7$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के समीकरण $y = 7$ और $y = -3$ हैं।
रेखाओं का युग्म: $(y - 7)(y + 3) = 0$.
इसे हल करने पर $y^2 - 4y - 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+2y-28=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-3)^2+(y+1)^2 = 28+9+1 = 38$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{38}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ,$R = r = \sqrt{38}$ है।
इसलिए,क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{38})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 38 = \frac{3\sqrt{3} \times 19}{2} = \frac{57\sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+8y-5=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=4, c=-5$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C = (-g, -f) = (3, -4)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+4^2-(-5)} = \sqrt{9+16+5} = \sqrt{30}$ है।
रेखा का समीकरण $2x-y-5=0$ है।
केंद्र $(3, -4)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \frac{|2(3)-(-4)-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6+4-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= 2\sqrt{(\sqrt{30})^2-(\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{30-5} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रेखा $y=mx+1$ और वृत्त $x^2+y^2=1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण $y-mx=1$ का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
$1 = y-mx$ को $x^2+y^2=1^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2=(y-mx)^2$
$x^2+y^2=y^2-2mxy+m^2x^2$
$(1-m^2)x^2+2mxy=0$
यदि ये रेखाएं लंबवत हैं,तो $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
यहाँ,$x^2$ का गुणांक $(1-m^2)$ है और $y^2$ का गुणांक $0$ है।
इसलिए,$(1-m^2)+0=0$
$1-m^2=0$
$m^2=1$
$m=\pm 1$

(B) माना $M(a, b)$ से गुजरने वाली रेखा का झुकाव कोण $\theta$ है।
रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = a + r \cos \theta$ और $y = b + r \sin \theta$ हैं,जहाँ $r$ बिंदु $M$ से दूरी है।
इन्हें वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = k^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a + r \cos \theta)^2 + (b + r \sin \theta)^2 = k^2$
$a^2 + 2ar \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta + b^2 + 2br \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta = k^2$
$r^2 + 2r(a \cos \theta + b \sin \theta) + (a^2 + b^2 - k^2) = 0$
यह $r$ में एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $r_1$ और $r_2$ दूरियों $MC$ और $MD$ को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $r_1 \cdot r_2$ द्विघात समीकरण के अचर पद के बराबर होता है।
अतः,$MC \times MD = a^2 + b^2 - k^2$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x - 3y - 4 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2x + 2yy' - 1 - 3y' = 0$
$y'(2y - 3) = 1 - 2x$
$y' = \frac{1 - 2x}{2y - 3}$
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T$ है:
$m_T = \frac{1 - 2(1)}{2(1) - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - 1 = -1(x - 1)$
$y - 1 = -x + 1$
$x + y - 2 = 0$.

(A) दिए गए वृत्त $C_1 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_1=0$ और $C_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c_2=0$ हैं।
चूंकि दोनों वृत्तों का केंद्र $(-g, -f)$ समान है,इसलिए वे संकेंद्रित हैं।
मान लीजिए $A$,$C_1$ पर एक बिंदु है और $T$,$C_2$ पर स्पर्श बिंदु है। $O$ सामान्य केंद्र है।
$C_1$ की त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c_1}$ और $C_2$ की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c_2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTA$ में,स्पर्श रेखा की लंबाई $AT$ इस प्रकार है:
$AT = \sqrt{OA^2 - OT^2} = \sqrt{r_1^2 - r_2^2}$
$AT = \sqrt{(g^2+f^2-c_1) - (g^2+f^2-c_2)} = \sqrt{c_2-c_1}$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 10$ है,इसलिए इसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
चूंकि रेखा $3x + y + k = 0$ वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
केंद्र $(0, 0)$ से $3x + y + k = 0$ की लंबवत दूरी $\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right|$ है।
इसे त्रिज्या के बराबर रखने पर: $\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$।
$\Rightarrow |k| = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$।
अतः,$k = \pm 10$।

(C) माना बिंदु $(4, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - (-2) = m(x - 4)$ है,जिसे $mx - y - (4m + 2) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{10} = \frac{|m(0) - 1(0) - (4m + 2)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$।
$\sqrt{10} = \frac{|4m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $10(m^2 + 1) = (4m + 2)^2$।
$10m^2 + 10 = 16m^2 + 16m + 4$।
$6m^2 + 16m - 6 = 0$,जिसे सरल करने पर $3m^2 + 8m - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$(3m - 1)(m + 3) = 0$,अतः $m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$।
$m = \frac{1}{3}$ के लिए,रेखा $y + 2 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y + 6 = x - 4 \implies x - 3y = 10$ है।
$m = -3$ के लिए,रेखा $y + 2 = -3(x - 4) \implies y + 2 = -3x + 12 \implies 3x + y = 10$ है।
अतः,समीकरण $3x + y = 10$ और $x - 3y = 10$ हैं।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=16$ है,जिसका केंद्र $C(0,0)$ है।
वृत्त का कोई भी अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
इसलिए,बिंदु $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ पर अभिलंब वह रेखा है जो $C(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ से गुजरती है।
रेखा $CP$ की ढाल $m = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0}{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0} = 1$ है।
$(0,0)$ से गुजरने वाली और $m=1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = 1(x - 0)$ है,जो $x - y = 0$ के रूप में सरल होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दो समांतर रेखाओं $y=mx+k_1$ और $y=mx+k_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+m^2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि ये रेखाएँ $r=2$ त्रिज्या वाले वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी वृत्त के व्यास के बराबर यानी $2r = 2 \times 2 = 4$ होनी चाहिए।
यहाँ,$m = \sqrt{3}$,इसलिए $m^2 = 3$ है।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+3}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{4}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{2} = 4$
$|k_1-k_2| = 8$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) मूलबिंदु $(0, 0)$ और बिंदु $(4, -4)$ को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु $P = (\frac{0+4}{2}, \frac{0-4}{2}) = (2, -2)$ है।
वृत्त का समीकरण $2x^2 + 2y^2 - y = 0$ है। $2$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ होती है।
$x_1 = 2, y_1 = -2, g = 0, f = -\frac{1}{4}, c = 0$ रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2}(-2)} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ इकाई।}$

(C) माना बिंदु $P = (6, 8)$ है और वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 - 4 = 0$ है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 4}$ द्वारा दी जाती है।
निर्देशांक $(6, 8)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{लंबाई} = \sqrt{6^2 + 8^2 - 4} = \sqrt{36 + 64 - 4} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96}$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6}$ को सरल करने पर।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) माना बिंदु $P = (f, g)$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।
वृत्त $S: x^2+y^2-6=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1 = \sqrt{f^2+g^2-6}$ है।
वृत्त $S': x^2+y^2+3x+3y=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2 = \sqrt{f^2+g^2+3f+3g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$L_1 = 2L_2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$L_1^2 = 4L_2^2$ प्राप्त होता है।
$f^2+g^2-6 = 4(f^2+g^2+3f+3g)$.
$f^2+g^2-6 = 4f^2+4g^2+12f+12g$.
$3f^2+3g^2+12f+12g+6 = 0$.
$3$ से विभाजित करने पर,$f^2+g^2+4f+4g+2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^2+g^2+4f+4g+2$ का मान $0$ है।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2+y^2=r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1) = (-3, 4)$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(-3) + y(4) = 25$
$-3x + 4y = 25$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x - 4y + 25 = 0$.

(A) मान लीजिए व्यास $PR = 2r$ है। चूँकि $PQ$ और $RS$ क्रमशः $P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं,$PQ \perp PR$ और $RS \perp PR$ है।
मान लीजिए $\angle PRQ = \theta$ है। $\triangle PQR$ में,$\tan \theta = \frac{PQ}{PR}$,अतः $PR = PQ \cot \theta$ है।
चूँकि $X$ वृत्त पर स्थित है और $PR$ व्यास है,$\angle PXR = 90^{\circ}$ है।
$\triangle PXR$ में,$\angle XPR = 90^{\circ} - \theta$ और $\angle XRP = \theta$ है।
$\triangle PXS$ में,$\angle XPS = 90^{\circ} - \theta$ और $\angle XSP = \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{RS}{PR}$,जिससे $PR = RS \tan \theta$ प्राप्त होता है।
$PR$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$PQ \cot \theta = RS \tan \theta$
$\tan^2 \theta = \frac{PQ}{RS} \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{\frac{PQ}{RS}}$।
इस मान को $PR = RS \tan \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$PR = RS \cdot \sqrt{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{PQ \cdot RS}$।
चूँकि $PR = 2r$ है,इसलिए $2r = \sqrt{PQ \cdot RS}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ है।
मानक रूप में: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 16$।
अतः,केंद्र $C(2,1)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(4,5)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $AP = \sqrt{4^2+5^2-4(4)-2(5)-11} = \sqrt{4} = 2$ है।
निर्मित चतुर्भुज $PACB$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\triangle PAC$ और $\triangle PBC$ से बना है।
$\triangle PAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times AP = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$।
चतुर्भुज $PACB$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 4 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 5 = 0$ और $L_2: 6x - 8y - 9 = 0$ हैं।
$L_2$ को $3x - 4y - \frac{9}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|5 - (-9/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{9.5}{5} = \frac{19}{10}$ है।
चूँकि व्यास $2r = d$ है,इसलिए $2r = \frac{19}{10}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{19}{20}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(-1)^2+2^2-(-11)} = 4$ है।
बिंदु $(1,3)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_T = \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11} = 3$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\theta$ है।
$\tan\theta = \frac{r}{L_T} = \frac{4}{3}$ है।
$\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{2(4/3)}{1+(4/3)^2} = \frac{24}{25}$ है।
अतः,$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है और बिंदु $A(x_1, y_1)$ है।
तब स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ है,जो सरल होकर $(x_1 + g)x + (y_1 + f)y + (gx_1 + fy_1 + c) = 0$ बनता है।
माना एक अन्य बिंदु $B(x_2, y_2)$ है जिससे जीवा गुजरती है,अतः $x_1x_2 + gx_2 + y_1y_2 + fy_2 + gx_1 + fy_1 + c = 0$ ... $(i)$।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - (x_1 + x_2)x - (y_1 + y_2)y + x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ... $(ii)$ बनता है।
दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
हमारे वृत्तों के लिए,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = 2g(-\frac{x_1 + x_2}{2}) + 2f(-\frac{y_1 + y_2}{2}) = -gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2$।
समीकरण $(i)$ से,$-gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + c$।
अतः,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$,जो दर्शाता है कि वृत्त लंबकोणीय रूप से काटते हैं।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) वृत्त $S=0$ के लिए $(x_1, y_1)$ मध्य-बिंदु वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2+y^2-9=0$ और $(x_1, y_1) = (1, 2)$ है।
$T = x(1) + y(2) - 9 = x+2y-9$.
$S_1 = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1+4-9 = -4$.
$T=S_1$ को बराबर करने पर,हमें $x+2y-9 = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+2y-5=0$।

(A) माना $S_1 \equiv x^2+y^2+8x+8y-m=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-2x+4y+n=0$ है।
दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2+8x+8y-m) - (x^2+y^2-2x+4y+n) = 0$.
$10x + 4y - (m+n) = 0$.
चूंकि वृत्त $S_1$ की परिधि वृत्त $S_2$ द्वारा समद्विभाजित होती है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा को वृत्त $S_1$ के केंद्र से गुजरना चाहिए।
$S_1$ का केंद्र $(-4, -4)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में $(-4, -4)$ रखने पर:
$10(-4) + 4(-4) = m+n$.
$-40 - 16 = m+n$.
$m+n = -56$.

(D) दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2$ को शर्त को पूरा करना चाहिए: $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$।
पहले वृत्त $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-g, -f) = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-4)^2+(1)^2-8} = \sqrt{16+1-8} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्रों $C_1(1, 3)$ और $C_2(4, -1)$ के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $|r - 3| < 5 < r + 3$।
$5 < r + 3$ से,हमें $r > 2$ प्राप्त होता है।
$|r - 3| < 5$ से,हमें $-5 < r - 3 < 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-2 < r < 8$। चूंकि $r$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $0 < r < 8$।
$r > 2$ और $0 < r < 8$ को संयोजित करने पर,हमें $2 < r < 8$ प्राप्त होता है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूँकि यह $S_1: x^2+y^2+4x+3=0$ और $S_2: x^2+y^2-12x+35=0$ के लंबकोणीय है,वृत्त का केंद्र $(h, k)$ $S_1$ और $S_2$ की मूलाक्ष (radical axis) पर स्थित होना चाहिए।
मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $(4x+3) - (-12x+35) = 0$ देता है,अतः $16x - 32 = 0$,या $x = 2$ है।
इस प्रकार,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(2, k)$ है।
चूँकि वृत्त $S_1$ के लंबकोणीय है,त्रिज्या $r$ समीकरण $r^2 = S_1(2, k) = 2^2 + k^2 + 4(2) + 3 = 4 + k^2 + 8 + 3 = k^2 + 15$ को संतुष्ट करती है।
त्रिज्या तब न्यूनतम होती है जब $k = 0$ हो,जिससे $r^2 = 15$ प्राप्त होता है,अतः $r = \sqrt{15}$ है।
अतः,न्यूनतम त्रिज्या $\sqrt{15}$ है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-2y-7=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+2y+k=0$ हैं।
चूंकि वे लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ,$g_1=-1, f_1=-1, c_1=-7$ और $g_2=2, f_2=1, c_2=k$.
$2(-1)(2) + 2(-1)(1) = -7 + k$ $\Rightarrow -4 - 2 = -7 + k$ $\Rightarrow k = 1$.
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2-2x-2y-7) - (x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$ $\Rightarrow -6x - 4y - 8 = 0$ $\Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$.
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C = (1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+1^2-(-7)} = \sqrt{9} = 3$.
केंद्र $C(1, 1)$ से जीवा $3x+2y+4=0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|3(1)+2(1)+4|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{3^2 - (\frac{9}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117-81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ इकाई है।

(A) दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-6x-8y+12=0$ के लिए,$g_1=-3, f_1=-4, c_1=12$ है।
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=3, c_2=k$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = 12 + k$
$2(6) + 2(-12) = 12 + k$
$12 - 24 = 12 + k$
$-12 = 12 + k$
$k = -24$.

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है।
मानक रूप में लिखने पर: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$।
केंद्र $C_1(1,2)$ और त्रिज्या $r_1=5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h,k)$ और त्रिज्या $r_2=5$ है।
चूंकि वृत्त $P(5,5)$ पर स्पर्श करते हैं,बिंदु $P$ रेखाखंड $C_1C_2$ पर स्थित है।
$r_1=r_2=5$ होने के कारण,$P$,$C_1C_2$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1+h}{2}=5 \Rightarrow h=9$ और $\frac{2+k}{2}=5 \Rightarrow k=8$।
अतः,केंद्र $C_2(9,8)$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $(x-9)^2+(y-8)^2=5^2$ होगा।
विस्तार करने पर: $x^2-18x+81+y^2-16y+64=25$।
सरल करने पर: $x^2+y^2-18x-16y+120=0$।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+4y+3=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2, f=2, c=3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (2, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+4-3} = \sqrt{5}$ है।
रेखा का समीकरण $x-3y-13=0$ है।
केंद्र $(2, -2)$ से रेखा $x-3y-13=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|(1)(2) - 3(-2) - 13|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{|2+6-13|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{2.5} = \sqrt{10}$ है।

(D) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। \\ दिए गए वृत्त हैं: \\ $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ \\ $S_2: x^2+y^2-5x-6y+4=0$ \\ $S_1$ में से $S_2$ को घटाने पर: \\ $(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2-5x-6y+4) = 0$ \\ $(2x - (-5x)) + (3y - (-6y)) + (1 - 4) = 0$ \\ $7x + 9y - 3 = 0$ \\ अतः,उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $7x+9y-3=0$ है।

(C) वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2+y^2-2x-8-\lambda(2y)=0$ है।
यह $S+\lambda L=0$ के रूप में है,जहाँ $S=x^2+y^2-2x-8=0$ और $L=2y=0$ है।
निश्चित बिंदु $A$ और $B$,वृत्त $S=0$ और रेखा $L=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
$x^2+y^2-2x-8=0$ में $y=0$ रखने पर,हमें $x^2-2x-8=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-4)(x+2)=0$,जिससे $x=4$ और $x=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $A(4, 0)$ और $B(-2, 0)$ हैं।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $|4 - (-2)| = |6| = 6$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$-2x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow x+y=3$ ... $(i)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$4x - 2y - 1 = 0$ ... (ii)
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करें:
समीकरण $(i)$ से,$y = 3 - x$. इसे (ii) में रखने पर:
$4x - 2(3 - x) - 1 = 0$
$6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6}$
$x = \frac{7}{6}$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 3 - \frac{7}{6} = \frac{11}{6}$
अतः,रेडिकल केंद्र $\left(\frac{7}{6}, \frac{11}{6}\right)$ है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+\alpha_1(x-y)+c=0$ और $x^2+y^2+\alpha_2(x-y)+c=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (-\frac{\alpha_1}{2}, \frac{\alpha_1}{2})$ और $C_2 = (-\frac{\alpha_2}{2}, \frac{\alpha_2}{2})$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{\frac{\alpha_1^2}{2} - c}$ और $r_2 = \sqrt{\frac{\alpha_2^2}{2} - c}$ हैं।
एक वृत्त के दूसरे के भीतर स्थित होने के लिए शर्त $d(C_1, C_2) < |r_1 - r_2|$ है।
इस शर्त को हल करने पर हमें $c > 0$ प्राप्त होता है।

(D) सीमित बिंदुओं $A(1, 2)$ और $B(-2, 1)$ वाले वृत्तों के सह-अक्षीय निकाय की मूल अक्ष,रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक होती है।
रेखाखंड $AB$ की ढाल: $m_{AB} = \frac{1 - 2}{-2 - 1} = \frac{1}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -3$ होगी।
$AB$ का मध्य-बिंदु $M = \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है।
मूल अक्ष का समीकरण: $y - \frac{3}{2} = -3(x + \frac{1}{2})$
$y - \frac{3}{2} = -3x - \frac{3}{2}$
$3x + y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) किन्हीं दो वृत्तों की मूलाक्ष उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है।
माना दो वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ हैं।
मूलाक्ष का समीकरण $2(g_1-g_2)x + 2(f_1-f_2)y + (c_1-c_2) = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{g_1-g_2}{f_1-f_2}$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{f_1-f_2}{g_1-g_2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$ है,इसलिए मूलाक्ष केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x, y)$ की नाभि से दूरी और नियता से लंबवत दूरी समान होती है।
दी गई नाभि $S(1, 0)$ और नियता $x+2y-1=0$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(x+2y-1)^2}{5} = (x-1)^2 + y^2$
$(x+2y-1)^2 = 5(x^2-2x+1+y^2)$
$x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y = 5x^2 - 10x + 5 + 5y^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $169\{(x-1)^2+(y-3)^2\}=(5x-12y+17)^2$ है।
$169$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-1)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{5x-12y+17}{13}\right)^2$.
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S$ नाभि $(1, 3)$ है और $PM$ बिंदु $P(x, y)$ से नियता $5x-12y+17=0$ की लंबवत दूरी है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $2a$ है।
$2a = \left|\frac{5(1)-12(3)+17}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}\right| = \left|\frac{5-36+17}{13}\right| = \left|\frac{-14}{13}\right| = \frac{14}{13}$.
नाभिलंब की लंबाई $4a$ है।
चूँकि $2a = \frac{14}{13}$,इसलिए $4a = 2 \times \frac{14}{13} = \frac{28}{13}$.

(A) नियता $x = -5$ है और शीर्ष $V(-3, 0)$ है।
चूंकि नियता शीर्ष के बाईं ओर है,परवलय दाईं ओर खुलता है।
शीर्ष से नियता की दूरी $a = |-3 - (-5)| = 2$ है।
परवलय का मानक समीकरण $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ है।
मान रखने पर,$(y-0)^2 = 4(2)(x - (-3))$
$y^2 = 8(x+3)$

(C) दिया गया है कि $p \times q = r$ और $q \times p = r$ है।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल (cross product) एंटी-कम्यूटेटिव होता है,इसलिए $q \times p = -(p \times q)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = -r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2r = 0$,इसलिए $r = 0$ है।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि $r \neq 0$ है।
चूँकि $p \times q = q \times p = r$ की स्थिति $r \neq 0$ के साथ विरोधाभास पैदा करती है,इसलिए प्रश्न में दी गई शर्तें गणितीय रूप से असंगत हैं।
यदि प्रश्न का उद्देश्य सदिश गुणनफल के गुणों को दर्शाना है जहाँ $p \times q = r$,तो $r$,$p$ और $q$ दोनों के लंबवत होता है।
हालाँकि,दिए गए समीकरणों के तार्किक अर्थ के आधार पर,$r \neq 0$ की शर्त के तहत कथन $(i)$ और (ii) दोनों एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकते हैं।

(A) दो सदिश $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$।
दिया गया है $a = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ और $b = 2 \hat{i} - \hat{j} + \beta \hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$
$\frac{\alpha}{2} = -3$ से,हमें $\alpha = -6$ प्राप्त होता है।
$\frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$ से,$-3\beta = -6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 2$।
अतः,$\alpha = -6$ और $\beta = 2$ अभीष्ट मान हैं।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,दिए गए दिशाओं वाले त्रिभुज $ABC$ के लिए:
$(i)$ त्रिभुज नियम द्वारा,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{AC} = -\vec{CA}$,इसलिए $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$। अतः,$(i)$ सत्य है।
(ii) त्रिभुज नियम से,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$,जिसका अर्थ है $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$। अतः,(ii) सत्य है।
(iii) हमारे पास $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ है। साथ ही,$\vec{CB} = -\vec{BC}$,इसलिए $\vec{BC} = -\vec{CB}$।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AC}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\vec{AB} - \vec{CB} - \vec{AC} = 0$,या $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0$ प्राप्त होता है। अतः,(iii) सत्य है।
(iv) $(i)$ से,$\vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{CA} = \vec{AC}$।
तब $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC} \neq \vec{0}$। अतः,(iv) असत्य है।
इसलिए,सही क्रम $(i)$ सत्य,(ii) सत्य,(iii) सत्य,(iv) असत्य है।

(D) समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
वैकल्पिक रूप से,पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,यह मान रखने पर:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(D) किसी भी सदिश $z \in R^3$ को रैखिक संयोजन $z = au + bv + cw$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,सदिशों के समूह ${u, v, w}$ को संपूर्ण सदिश समष्टि $R^3$ को विस्तृत (span) करना चाहिए।
चूंकि $R^3$ एक $3$-आयामी समष्टि है,$R^3$ को विस्तृत करने वाले किसी भी $3$ सदिशों के समूह को रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए।
यदि सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं,तो वे एक समतल में या एक रेखा पर स्थित होंगे,और इस प्रकार वे $R^3$ के प्रत्येक सदिश का प्रतिनिधित्व नहीं कर पाएंगे।
इसलिए,शर्त यह है कि $u, v$ और $w$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए।
चूंकि यह विकल्प मूल सूची में नहीं दिया गया था,इसलिए विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया समीकरण: $\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{QO} + \vec{OR}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{PQ}$ होता है।
साथ ही,$\vec{QO} + \vec{OR} = \vec{QR}$ होता है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{PQ} = \vec{QR}$।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{PQ}$ सदिश $\vec{QR}$ के बराबर है।
चूंकि उनकी दिशा समान है और उनके परिमाण (magnitude) भी बराबर हैं $(|\vec{PQ}| = |\vec{QR}|)$,इसलिए बिंदु $Q$ रेखाखंड $PR$ का मध्य-बिंदु होना चाहिए।

(B) मान लीजिए $O$ सम षट्भुज $ABCDEF$ का केंद्र है। एक सम षट्भुज में,विकर्ण $AD$,$BE$ और $CF$ केंद्र $O$ से गुजरते हैं और षट्भुज की भुजा की लंबाई के दोगुने होते हैं। विशेष रूप से,$AD = 2BC$,$EB = 2FA$,और $FC = 2AB$।
सदिश योग का उपयोग करते हुए: मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$। तो $\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$,$\vec{DE} = -\vec{a}$,$\vec{EF} = -\vec{b}$,$\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$।
$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{b}$।
$\vec{EB} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} - (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$।
$\vec{FC} = \vec{FA} + \vec{AB} + \vec{BC} = (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a}$।
योग $= \vec{AD} + \vec{EB} + \vec{FC} = 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{a} = 4\vec{a} = 4\vec{AB}$।
दिया गया है कि $(3\lambda - 8)\vec{AB} = 4\vec{AB}$,इसलिए $3\lambda - 8 = 4$,जिससे $3\lambda = 12$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = 4$।

(C) दो सदिशों $u$ और $v$ को समांतर कहा जाता है यदि उनकी दिशाएँ समान या विपरीत हों।
गणितीय रूप से,यह स्थिति इस कथन के बराबर है कि एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज है,अर्थात $u = k v$,जहाँ $k$ कोई शून्येतर अदिश $k \in \mathbb{R}$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही कथन है।

(B) दिया गया है $|u+v|=|u-v|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|u+v|^2 = |u-v|^2$
$(u+v) \cdot (u+v) = (u-v) \cdot (u-v)$
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = |u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v)$
$2(u \cdot v) = -2(u \cdot v)$
$4(u \cdot v) = 0$
$u \cdot v = 0$
चूंकि दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए सदिश $u$ और $v$ लंबवत हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
साथ ही,$a+b$ भी एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर:
$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1$
$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$
$2 + 2(a \cdot b) = 1$
$2(a \cdot b) = -1$
$a \cdot b = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $a$ और $b$ के बीच का कोण है:
$(1)(1) \cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 120^{\circ}$ है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ में,केंद्र $O$ को मूल बिंदु मान लेते हैं। शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ हैं।
नियमित षट्भुज होने के कारण,$\vec{AB} + \vec{AF} = \vec{AO}$ होता है।
इसी प्रकार,$\vec{CD} + \vec{EF} = \vec{CO}$ होता है।
अतः,$\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{CD} + \vec{EF} = \vec{AO} + \vec{CO}$।
षट्भुज के गुणों का उपयोग करते हुए,यह योग $\vec{BC} + \vec{DE}$ के बराबर प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $p$,$a$ और $b$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश इकाई सदिश है। चूँकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,सदिश $a+b$,$a$ और $b$ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।
अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $p = \lambda(a+b)$।
चूँकि $p$ एक इकाई सदिश है,$|p| = 1$।
$|p|^2 = \lambda^2 |a+b|^2 = 1$।
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 4 \cos^2 (\theta / 2)$।
अतः,$\lambda^2 (4 \cos^2 (\theta / 2)) = 1$।
$\lambda = \frac{1}{2 \cos (\theta / 2)}$।
इसलिए,$p = \frac{a+b}{2 \cos (\theta / 2)}$।

(A) दिया गया है कि $|u+v|^2 = 2(|u|^2+|v|^2)$ है।
बाएँ पक्ष को $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ गुणधर्म का उपयोग करके विस्तारित करने पर:
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = 2|u|^2 + 2|v|^2$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v) = 0$
यह व्यंजक सदिशों के अंतर के वर्ग के बराबर है:
$|u - v|^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|u - v| = 0$
अतः,$u - v = 0$,जिसका अर्थ है कि $u = v$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $a, b, c$ हैं।
हमारे पास सदिश $AB = b - a$ और $AC = c - a$ हैं।
व्यंजक $\frac{(a-c) \times (b-a)}{(b-a) \cdot (c-a)}$ है।
ध्यान दें कि $a - c = -(c - a) = -AC$ है।
अतः,अंश $(-AC) \times (AB) = AC \times AB$ है।
हर $(AB) \cdot (AC) = |AB| |AC| \cos A$ है।
सदिश गुणनफल $AC \times AB$ का परिमाण $|AC| |AB| \sin A$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $\frac{|AC| |AB| \sin A}{|AB| |AC| \cos A} = \tan A$ हो जाता है।

(C) विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ की गणना करते हैं:
$\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-1) - (1)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((2)(3) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1)$
$= -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$
अब,हम इस सदिश का परिमाण (magnitude) ज्ञात करते हैं:
$|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{62} = \frac{\sqrt{62}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) एक सदिश $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ हो,अर्थात $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $a, b, c \in W$,जहाँ $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है।
चूँकि $a^2, b^2, c^2 \ge 0$,इसलिए उनके योग का $1$ होने का एकमात्र तरीका यह है कि एक चर $1$ हो और बाकी $0$ हों।
संभावित त्रिक $(a, b, c)$ हैं: $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,और $(0, 0, 1)$।
अतः,ऐसे कुल $3$ इकाई सदिश हैं।

(B) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
माना $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}}$.
$\vec{a}$ और $\hat{u}$ का अदिश गुणनफल $1$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \hat{u} = 1$.
$\frac{(\lambda + 2)(1) + (6)(1) + (-2)(1)}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 2 + 6 - 2}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 6}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\lambda + 6 = \sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda + 6)^2 = (\lambda + 2)^2 + 40$.
$\lambda^2 + 12\lambda + 36 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 + 40$.
$12\lambda + 36 = 4\lambda + 44$.
$8\lambda = 8$.
$\lambda = 1$.

(C) माना $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{t}$ क्रमशः शीर्षों $P, Q, R, S, T$ के स्थिति सदिश हैं।
दिए गए सदिशों का योग $\vec{V} = \overline{PQ} + \overline{PT} + \overline{QR} + \overline{SR} + \overline{TS} + \overline{PS}$ है।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{p}) + (\vec{t} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) + (\vec{s} - \vec{r}) + (\vec{s} - \vec{t}) + (\vec{s} - \vec{p})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{q}) + (\vec{t} - \vec{t}) + (\vec{r} - \vec{r}) + (\vec{s} + \vec{s} + \vec{s}) - (\vec{p} + \vec{p} + \vec{p})$.
$\vec{V} = 3\vec{s} - 3\vec{p} = 3(\vec{s} - \vec{p})$.
चूंकि $\vec{s} - \vec{p} = \overline{PS}$,इसलिए $\vec{V} = 3\overline{PS}$ होगा।

(A) स्थिति सदिश $A, B$ और $C$ वाले तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर हों,अर्थात किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AB} = k \vec{BC}$ हो।
विकल्प $A$ के लिए,मान लीजिए $A = u-2v+3w$,$B = 2u+3v-4w$,और $C = u-7v+10w$ है।
यहाँ,$2A - B = 2(u-2v+3w) - (2u+3v-4w) = 2u-4v+6w - 2u-3v+4w = -7v+10w$ है।
इस प्रकार,$C = 2A - B$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $C - A = A - B$,अर्थात $\vec{AC} = \vec{BA}$,जो दर्शाता है कि बिंदु संरेख हैं।

(D) मान लीजिए मूल बिंदु $A$ पर है। तब $\vec{A} = 0$,$\vec{B} = u$,और $\vec{C} = v$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ का स्थिति सदिश $\vec{D} = \frac{u+v}{2}$ है।
$\triangle ABD$ में,मान लीजिए $M$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। शीर्ष $B$ से होकर जाने वाली माध्यिका $BM$ है।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{0 + \frac{u+v}{2}}{2} = \frac{u+v}{4}$ है।
सदिश $\overrightarrow{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{u+v}{4} - u = \frac{u+v-4u}{4} = \frac{v-3u}{4}$ है।
माध्यिका की लंबाई $|\overrightarrow{BM}| = |\frac{v-3u}{4}| = \frac{|v-3u|}{4}$ होगी।

(C) दिया गया सदिश $v = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश $v$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|v| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
$v$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \frac{v}{|v|} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।
$v$ की दिशा में $\sqrt{7}$ परिमाण वाला सदिश $\sqrt{7} \times \hat{v}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$= \sqrt{7} \times \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{2}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक नियमित पंचभुज का आंतरिक कोण $\theta = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n=5$ है।
अतः,$\theta = \frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5} = \frac{3 \times 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$।
सदिश $\vec{v} = (\sin \theta) \hat{i} + (\cos \theta) \hat{j} + (\tan \theta) \hat{k}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \tan^2 \theta}$ है।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $|\vec{v}| = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$।
$\theta = 108^{\circ}$ रखने पर,हमें $|\sec 108^{\circ}|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sec 108^{\circ} = \sec(180^{\circ} - 72^{\circ}) = -\sec 72^{\circ} = -\operatorname{cosec} 18^{\circ}$,इसलिए परिमाण $|-\operatorname{cosec} 18^{\circ}| = |\operatorname{cosec} 18^{\circ}|$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $|a| = 2$,$|b| = 3$,और $\theta = \frac{\pi}{6}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|a \times b| = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi}{6})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $|a \times b| = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$।
अतः,$|a \times b|^2 = (3)^2 = 9$।

(B) सदिश त्रिक गुणन का सूत्र इस प्रकार है:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
इस सूत्र की तुलना कथन (ii) से करने पर,प्रश्न में दिया गया कथन (ii) $a \times (b \times c) = (a \cdot b) c - (a \cdot c) b$ है,जो सही सूत्र का ऋणात्मक है। अतः,कथन (ii) गलत है।
अब,कथन $(i)$ पर विचार करें: $(a \times b) \times c$. गुणधर्म $u \times v = -(v \times u)$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times b) \times c = -c \times (a \times b)$
सदिश त्रिक गुणन का सूत्र लागू करने पर: $-[ (c \cdot b) a - (c \cdot a) b ] = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a$.
इस प्रकार,कथन $(i)$ सही है। अतः,$(i)$ सही है और (ii) गलत है।

(B) दिया गया है कि $B = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $C = 5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{BC} = C - B = (5-3)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
चूंकि $\max \{AB, BC, AC\} = BC$,इसलिए $BC$ समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ का कर्ण है,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ है।
हमें $\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ का मान ज्ञात करना है।
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ होने के कारण,व्यंजक $\vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ हो जाता है।
$\triangle ABC$ में प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करने पर,$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos B = |\vec{BA}|^2$ और $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| |\vec{CB}| \cos C = |\vec{CA}|^2$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2$ हो जाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$|\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$ है।
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29$ है।

(D) दिया गया है,$a+b+c=0$.
इसका तात्पर्य है $a+b=-c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(a+b)^2 = (-c)^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
दिए गए परिमाणों $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2|a||b| \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$.

(C) दिया गया है,$r \times b = c \times b$.
इसका तात्पर्य है कि $(r - c) \times b = 0$.
इसका अर्थ है कि $(r - c), b$ के समानांतर है,इसलिए हम किसी अदिश $\lambda$ के लिए $(r - c) = \lambda b$ लिख सकते हैं।
अतः,$r = c + \lambda b$ ...$(i)$.
हमें यह भी दिया गया है कि $r \cdot a = 0$.
$(i)$ से $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(c + \lambda b) \cdot a = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर $c \cdot a + \lambda (b \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$ प्राप्त होता है ...(ii).
$\lambda$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $r = c - \left( \frac{c \cdot a}{b \cdot a} \right) b$ प्राप्त होता है।

(D) दो शून्येतर सदिशों $u$ और $v$ का सदिश गुणनफल $u \times v = |u||v| \sin \theta \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है और $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $u$ और $v$ दोनों के लंबवत है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|u \times v| = |u||v| |\sin \theta|$ प्राप्त होता है।
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए निरपेक्ष मान $|\sin \theta|$ का मान $0 \leq |\sin \theta| \leq 1$ होता है।
अतः,$|u \times v| = |u||v| |\sin \theta| \leq |u||v|$।
इस प्रकार,सदिश गुणनफल का परिमाण हमेशा व्यक्तिगत सदिशों के परिमाणों के गुणनफल से कम या उसके बराबर होता है।

(A) दिया गया है कि,$|u|=3$,$|v|=5$,और $|w|=7$ है।
चूंकि $u+v+w=0$ है,हम $u+v=-w$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|u+v|^2 = |-w|^2$ प्राप्त होता है।
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| \cos \theta = |w|^2$,जहाँ $\theta$ सदिश $u$ और $v$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$
$34 + 30 \cos \theta = 49$
$30 \cos \theta = 49 - 34$
$30 \cos \theta = 15$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।

(C) दो सदिशों $p$ और $q$ के बीच का कोण $\alpha$ के लिए $\sin(\alpha) = \frac{|p \times q|}{|p||q|}$ होता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $p \times q$ की गणना करें:
$p \times q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 1) - \hat{j}(3 + 2) + \hat{k}(-3 - 8) = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$.
अब,उनके परिमाण ज्ञात करें:
$|p \times q| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-11)^2} = \sqrt{9 + 25 + 121} = \sqrt{155}$.
$|p| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.
$|q| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
अतः,$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{26} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{156}} = \sqrt{\frac{155}{156}}$.

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $a$ और $b$ हैं। रेखाखंड $AB$ के मध्य बिंदु $M$ का स्थिति सदिश $\frac{a+b}{2}$ है।
लंब समद्विभाजक $M$ से होकर गुजरता है और सदिश $\vec{AB} = b - a$ (या $a - b$) के लंबवत है।
मान लीजिए कि $P$ लंब समद्विभाजक पर कोई बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $r$ है। तो सदिश $\vec{MP} = r - \frac{a+b}{2}$ को सदिश $\vec{AB} = a - b$ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\left(r - \frac{a+b}{2}\right) \cdot (a - b) = 0$
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2r - (a + b)) \cdot (a - b) = 0$
अतः,समीकरण $(2r - a - b) \cdot (a - b) = 0$ है।

(C) दिए गए सदिश $a = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $b = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$2a + b$ की गणना करें:
$2a + b = 2(2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (4\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
इसके बाद,$a + 2b$ की गणना करें:
$a + 2b = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + 2(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (6\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
मान लीजिए $u = 2a + b = 7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ और $v = a + 2b = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$u$ और $v$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$ द्वारा दिया जाता है।
$u \cdot v = (7)(8) + (1)(-1) + (-4)(1) = 56 - 1 - 4 = 51$.
$|u| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$.
$|v| = \sqrt{8^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1 + 1} = \sqrt{66}$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{51}{\sqrt{66} \sqrt{66}} = \frac{51}{66}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{51}{66}\right)$.

(B) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
तब $\vec{b}+\vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$.
माना $\hat{u}$ सदिश $(\vec{b}+\vec{c})$ की दिशा में इकाई सदिश है,अतः $\hat{u} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+36+4}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \hat{u}| = \sqrt{2}$ है।
$\vec{a} \times \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2+\lambda & 6 & -2 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [\hat{i}(-2-6) - \hat{j}(-2-(2+\lambda)) + \hat{k}(6-(2+\lambda))]$.
$= \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [-8 \hat{i} + (4+\lambda) \hat{j} + (4-\lambda) \hat{k}]$.
परिमाण लेने पर: $|\vec{a} \times \hat{u}| = \frac{\sqrt{(-8)^2 + (4+\lambda)^2 + (4-\lambda)^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{64 + 16 + 8\lambda + \lambda^2 + 16 - 8\lambda + \lambda^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2} \implies \frac{\sqrt{2\lambda^2 + 96}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2\lambda^2 + 96}{\lambda^2+4 \lambda+44} = 2 \implies 2\lambda^2 + 96 = 2\lambda^2 + 8\lambda + 88$.
$8\lambda = 8 \implies \lambda = 1$. अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) मान लीजिए सदिश $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
अदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u||v|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $u \cdot v = (-2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = -2 - 4 + 2 = -4$।
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें: $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ और $|v| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = -\frac{4}{9}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$।
नोट: दिए गए विकल्पों में $\cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ होने के कारण,विकल्प $A$ को सही माना गया है।

(C) सदिशों $P$ और $Q$ द्वारा निरूपित भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q|$.
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $P \times Q$ की गणना करते हैं:
$P \times Q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 3 - (-1) \times 2) - \hat{j}(3 \times 3 - (-1) \times 1) + \hat{k}(3 \times 2 - 5 \times 1)$
$= \hat{i}(15 + 2) - \hat{j}(9 + 1) + \hat{k}(6 - 5)$
$= 17 \hat{i} - 10 \hat{j} + \hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|P \times Q| = \sqrt{17^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{289 + 100 + 1} = \sqrt{390}$.
अंत में,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q| = \frac{\sqrt{390}}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जहाँ $a \times b = c$ और $b \times c = a$ है।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$,$b \cdot c = 0$,और $c \cdot a = 0$ है।
साथ ही,सदिश गुणन का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin(90^\circ) = |a||b| = |c|$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$|b \times c| = |b||c| = |a|$ है।
पहले समीकरण में $|a| = |b||c|$ रखने पर: $|b||c| \cdot |b| = |c|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ एक सदिश है,इसलिए $|c| \neq 0$,अतः $|c|$ से विभाजित करने पर $|b|^2 = 1$ मिलता है।
चूंकि सदिश का परिमाण $|b|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|b| = 1$ होगा।

(B) दिया गया है: $p \times q = p \times r$ और $p \cdot q = p \cdot r$
$p \times q = p \times r$ से,हमें प्राप्त होता है:
$p \times q - p \times r = 0$
$p \times (q - r) = 0$
यह दर्शाता है कि $p$,$(q - r)$ के समांतर है या $(q - r) = 0$ है।
$p \cdot q = p \cdot r$ से,हमें प्राप्त होता है:
$p \cdot q - p \cdot r = 0$
$p \cdot (q - r) = 0$
यह दर्शाता है कि $p$,$(q - r)$ के लंबवत है या $(q - r) = 0$ है।
चूंकि $p$ एक ही गैर-शून्य सदिश $(q - r)$ के समांतर और लंबवत दोनों नहीं हो सकता है,इसलिए $(q - r) = 0$ होना चाहिए।
अतः,$q = r$ ($p \neq 0$ मानते हुए)।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\vec{a}$ को सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{a} = k(\vec{b} \times \vec{c})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,हमारे पास $1 = |k| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\pi / 3)$ है।
मान रखने पर,$1 = |k| (1)(1)(\sqrt{3} / 2)$,जिससे $|k| = 2 / \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\vec{a} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{b} \times \vec{c})$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$।
दिया गया समीकरण $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3} \vec{c}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\sqrt{3} \vec{c}|^2$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3|\vec{c}|^2$।
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3(1)^2$।
$2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहां $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$।
$\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) दिया गया है कि बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j}$ और $\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ का स्थिति सदिश जो रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,वह है:
$\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$
मान रखने पर:
$\vec{p} = \frac{2(-3\hat{i} + 5\hat{j}) + 1(\hat{i} - 2\hat{j})}{2+1}$
$\vec{p} = \frac{-6\hat{i} + 10\hat{j} + \hat{i} - 2\hat{j}}{3}$
$\vec{p} = \frac{-5\hat{i} + 8\hat{j}}{3}$

(D) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं।
चूंकि यह रेखा $\langle 1, -2, -2 \rangle$ और $\langle 0, 2, 1 \rangle$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$1(a) - 2(b) - 2(c) = 0$ (समीकरण $1$)
$0(a) + 2(b) + 1(c) = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,हमें $c = -2b$ प्राप्त होता है।
$c = -2b$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a - 2b - 2(-2b) = 0$
$a - 2b + 4b = 0$
$a + 2b = 0 \implies a = -2b$।
यदि $b = -1$ लें,तो $a = 2$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः दिक्-अनुपात $\langle 2, -1, 2 \rangle$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः दिक्कोज्याएँ $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ होंगी।

(A) $X, Y$ और $Z$-अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाने वाली रेखा की दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}$ और $\gamma = 45^{\circ}$।
मानों की गणना करने पर:
$\cos \alpha = \cos 90^{\circ} = 0$
$\cos \beta = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \gamma = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,दिक्-कोज्याएँ $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(D) दो लंबवत रेखाओं के लिए जिनकी दिक्-कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके लंबवत होने की शर्त $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ है।
कथन $4$ में योग $1$ होने का दावा किया गया है,जो गलत है।
अतः,कथन $4$ असत्य है।

(B) एक सदिश $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ की दिक्-कोसाइन $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया गया है $\vec{a} = -2 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{-2}{\sqrt{30}}, \frac{1}{\sqrt{30}}, \frac{-5}{\sqrt{30}}$ हैं।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(B) सदिश $v$ का सदिश $u$ पर घटक ज्ञात करने का सूत्र $\frac{v \cdot u}{|u|}$ है।
दिया गया है कि $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $v \cdot u = (1)(-2) + (-2)(2) + (2)(1) = -2 - 4 + 2 = -4$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$u$ का परिमाण $|u| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ ज्ञात करें।
अतः,$u$ पर $v$ का घटक $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{-4}{3}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ उसके दिक्-अनुपातों $(a, b, c)$ के समानुपाती होते हैं।
दिए गए दिक्-कोसाइन $\langle -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11} \rangle$ हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-अनुपात,दिक्-कोसाइन के समानुपाती संख्याओं का कोई भी सेट हो सकते हैं।
यदि हम दिक्-कोसाइन को स्थिरांक $k = 11$ से गुणा करते हैं,तो हमें दिक्-अनुपात $\langle -9, 6, -2 \rangle$ प्राप्त होते हैं।
अतः,दिक्-अनुपात $\langle -9, 6, -2 \rangle$ हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी दिक्-कोज्याएँ समानुपाती हों।
दिया गया है कि दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,अतः समांतरता के लिए शर्त है:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) माना कि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = |(\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4})|$
$\cos \theta = |-\frac{3}{4} + \frac{1}{16} + \frac{3}{16}|$
$\cos \theta = |-\frac{12}{16} + \frac{4}{16}| = |-\frac{8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$.
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।

(B) दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ दी गई हैं।
चूंकि ये दिक्कोज्याएँ हैं,इसलिए हमारे पास गुणधर्म $a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 = 1$ और $a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 = 1$ है।
दो रेखाओं जिनकी दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \theta = |a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ प्राप्त होता है।
चूंकि हर (denominator) $\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} = 1$ है,इसलिए व्यंजक $|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ में सरल हो जाता है।

(D) मान लीजिए कि रेखा धनात्मक $x$,$y$,और $z$-अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ है।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ (चूंकि कोण धनात्मक अक्ष के साथ है,इसलिए $\cos \gamma > 0$ है)।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{3}$।