AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) वर्गमूल परिभाषित होने के लिए,$x^2+6x+5 \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(x+5)(x+1) \ge 0$,अतः $x \in (-\infty, -5] \cup [-1, \infty)$.
असमिका $\sqrt{x^2+6x+5} > (8-x)$ के लिए,$8-x < 0$ या ($8-x \ge 0$ और $x^2+6x+5 > (8-x)^2$) होना आवश्यक है।
स्थिति $1$: $8-x < 0 \implies x > 8$. चूँकि $x > 8$,$x \in [-1, \infty)$ को संतुष्ट करता है,यह एक मान्य हल है।
स्थिति $2$: $8-x \ge 0 \implies x \le 8$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+6x+5 > 64-16x+x^2$.
$22x > 59 \implies x > \frac{59}{22}$.
$x > \frac{59}{22}$ और $x \le 8$ को मिलाने पर,हमें $x \in (\frac{59}{22}, 8]$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ और $2$ को मिलाने पर: $x \in (\frac{59}{22}, 8] \cup (8, \infty) = (\frac{59}{22}, \infty)$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2-4x+5=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमें $\alpha+\beta=4$ और $\alpha\beta=5$ प्राप्त होता है।
माना नए मूल $S_1 = \alpha^2+\beta$ और $S_2 = \alpha+\beta^2$ हैं।
नए मूलों का योग:
$S_1+S_2 = (\alpha^2+\beta)+(\alpha+\beta^2) = (\alpha^2+\beta^2)+(\alpha+\beta)$
$= ((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)+(\alpha+\beta)$
$= (4^2-2(5))+4 = (16-10)+4 = 6+4 = 10$.
नए मूलों का गुणनफल:
$S_1 \times S_2 = (\alpha^2+\beta)(\alpha+\beta^2) = \alpha^3+\alpha^2\beta^2+\alpha\beta+\beta^3$
$= (\alpha^3+\beta^3)+(\alpha\beta)^2+\alpha\beta$
$= ((\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta))+(\alpha\beta)^2+\alpha\beta$
$= (4^3-3(5)(4))+(5)^2+5$
$= (64-60)+25+5 = 4+30 = 34$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2-(S_1+S_2)x+(S_1 \times S_2) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2-10x+34=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $(p^2+p-3)(p^2+p-2)-12=0$ है।
मान लीजिए $y = p^2+p-2$ है।
तब समीकरण $(y-1)y - 12 = 0$ हो जाता है।
$y^2 - y - 12 = 0$.
$(y-4)(y+3) = 0$.
अतः,$y = 4$ या $y = -3$ है।
स्थिति $1$: $p^2+p-2 = 4 \Rightarrow p^2+p-6 = 0$.
$(p+3)(p-2) = 0$,इसलिए $p = -3, 2$ (ये वास्तविक मूल हैं)।
स्थिति $2$: $p^2+p-2 = -3 \Rightarrow p^2+p+1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ है।
अतः,मूल अवास्तविक हैं।
$p^2+p+1=0$ के मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$.
$x=1$ समीकरण का एक मूल है।
$(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $(x-1)(x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1)=0$ प्राप्त होता है।
$x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1=0$ के लिए,$x^2$ से भाग देने पर:
$x^2-4 x+5-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0
$ $\Rightarrow (x^2+\frac{1}{x^2})-4(x+\frac{1}{x})+5=0
$ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2-4(x+\frac{1}{x})+5=0
$ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-4(x+\frac{1}{x})+3=0$.
माना $y = x+\frac{1}{x}$,तब $y^2-4y+3=0
$ $\Rightarrow (y-1)(y-3)=0
$ $\Rightarrow y=1, 3$.
स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$ (मूल सम्मिश्र हैं)।
स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x^2-3x+1=0$ (मूल अपरिमेय हैं)।
अतः,$\alpha+\beta=3$ और $\alpha \beta=1$.
$(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ में मान रखने पर:
$3x^2+2x-1=0
$ $\Rightarrow (3x-1)(x+1)=0
$ $\Rightarrow x=-1, \frac{1}{3}$.

(C) द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$
$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$
$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$(ab+bc+ca)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2 \geq 3\lambda$
चूँकि $a, b, c$ एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं,$a+b > c$,$b+c > a$,और $c+a > b$।
असमिका $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$ ज्ञात है।
अतः,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} < 2$।
इस मान को असमिका में रखने पर:
$3\lambda \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2 < 2 + 2 = 4$
$3\lambda < 4 \Rightarrow \lambda < \frac{4}{3}$.

(A) $xy+l(x+y)+m=0$ से,$x(y+l) = -(ly+m)$,अतः $x = -\frac{ly+m}{y+l}$. इसे $x^2+\alpha x+\beta=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(-\frac{ly+m}{y+l}\right)^2 + \alpha\left(-\frac{ly+m}{y+l}\right) + \beta = 0$
$(ly+m)^2 - \alpha(ly+m)(y+l) + \beta(y+l)^2 = 0$
$(l^2y^2 + m^2 + 2lmy) - \alpha(ly^2 + l^2y + my + ml) + \beta(y^2 + 2ly + l^2) = 0$
$(l^2 - \alpha l + \beta)y^2 + (2lm - \alpha l^2 - \alpha m + 2\beta l)y + (m^2 - \alpha ml + \beta l^2) = 0$
चूँकि इस समीकरण के मूल $x^2 + \alpha x + \beta = 0$ के समान हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{l^2 - \alpha l + \beta}{1} = \frac{2lm - \alpha l^2 - \alpha m + 2\beta l}{\alpha} = \frac{m^2 - \alpha ml + \beta l^2}{\beta}$
पहले और तीसरे पद की तुलना करने पर: $\beta(l^2 - \alpha l + \beta) = m^2 - \alpha ml + \beta l^2$
$\beta l^2 - \beta \alpha l + \beta^2 = m^2 - \alpha ml + \beta l^2$
$\beta^2 - \beta \alpha l - m^2 + \alpha ml = 0$
$\beta^2 - \beta m + \beta m - \beta \alpha l - m^2 + \alpha ml = 0$
$\beta(\beta - m) + (m - \alpha l)(\beta - m) = 0$
$(\beta - m)(\beta + m - \alpha l) = 0$
अतः,$\beta = m$ या $\beta = \alpha l - m$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3-2x^2+4x-1=0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,और $\alpha\beta\gamma=1$ है।
चूंकि $\alpha\beta\gamma=1$,इसलिए $\beta\gamma=\frac{1}{\alpha}$,$\alpha\gamma=\frac{1}{\beta}$,और $\alpha\beta=\frac{1}{\gamma}$ है।
नए समीकरण के मूल $\beta\gamma+\frac{1}{\alpha} = \frac{2}{\alpha}$,$\alpha\gamma+\frac{1}{\beta} = \frac{2}{\beta}$,और $\alpha\beta+\frac{1}{\gamma} = \frac{2}{\gamma}$ हैं।
माना $y = \frac{2}{x}$,तो $x = \frac{2}{y}$। मूल समीकरण में यह मान रखने पर: $(\frac{2}{y})^3 - 2(\frac{2}{y})^2 + 4(\frac{2}{y}) - 1 = 0$।
$\frac{8}{y^3} - \frac{8}{y^2} + \frac{8}{y} - 1 = 0$।
$-y^3$ से गुणा करने पर,हमें $y^3 - 8y^2 + 8y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3-8x^2+8x-8=0$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$,$\left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ में ऋणात्मक है और $\left(-\frac{5}{3}, 3\right)$ में धनात्मक है,इसलिए हम $f(x) = -k_1(x + \frac{5}{3})(x - 3)$ लिख सकते हैं,जहाँ $k_1 > 0$ है। इसे $f(x) = k_1(x + \frac{5}{3})(3 - x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $g(x)$,$\left(3, \frac{9}{2}\right)$ में ऋणात्मक है और शेष भागों में धनात्मक है,इसलिए हम $g(x) = k_2(x - 3)(x - \frac{9}{2})$ लिख सकते हैं,जहाँ $k_2 > 0$ है।
अब,गुणनफल $P(x) = f(x)g(x) = k_1 k_2 (x + \frac{5}{3})(3 - x)(x - 3)(x - \frac{9}{2})$ पर विचार करें।
चूँकि $(3 - x) = -(x - 3)$,इसलिए $P(x) = -k_1 k_2 (x + \frac{5}{3})(x - 3)^2 (x - \frac{9}{2})$ है।
मान लीजिए $K = k_1 k_2 > 0$ है। तो $P(x) = -K (x + \frac{5}{3})(x - 3)^2 (x - \frac{9}{2})$ है।
मूल $x = -\frac{5}{3}, 3, \frac{9}{2}$ हैं। ध्यान दें कि $x = 3$ एक $2$ की बहुलता वाला मूल है,इसलिए $x = 3$ पर चिह्न नहीं बदलता है।
$x > \frac{9}{2}$ के लिए,$P(x)$ ऋणात्मक है। $3 < x < \frac{9}{2}$ के लिए,$P(x)$ धनात्मक है। $x < 3$ (और $x > -\frac{5}{3}$) के लिए,$P(x)$ धनात्मक है।
इस प्रकार,$[0, 5]$ अंतराल में,$P(x)$,$[0, 3) \cup (3, \frac{9}{2})$ में धनात्मक है और $(\frac{9}{2}, 5]$ में ऋणात्मक है। सही विकल्प $B$ है।

(A) यह दिया गया है कि $ax^2 + bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ है।
चूंकि $ax^2 + bx + c$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ का मान सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए समान चिह्न का होना चाहिए।
$4a + 2b + c > 0$ दिया गया है,इसलिए $f(2) > 0$,जिसका अर्थ है कि $a > 0$ और सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) > 0$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $f(0) = c > 0$ और $f(1) = a + b + c > 0$ है।
हमें $f(2) = 4a + 2b + c > 0$ दिया गया है।
अब,$f(x) = ax^2 + bx + c$ पर विचार करें। चूंकि $a > 0$,सभी $x$ के लिए $f(x) > 0$ है।
विशेष रूप से,$f(1) = a + b + c > 0 \implies a + c > -b$।
साथ ही,$f(0) = c > 0$ है।
व्यंजक $(c+a)(c+b)$ पर विचार करें।
$a > 0$ और $f(x) > 0$ होने के कारण,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $(c+a)(c+b) > ab$ है।

(D) माना $y = \frac{x^2+4x+1}{x^2+x+1}$.
तब $y(x^2+x+1) = x^2+4x+1$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y-4)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y-4-2y+2)(y-4+2y-2) \ge 0$.
$(-y-2)(3y-6) \ge 0$.
$(y+2)(3y-6) \le 0$.
$(y+2)(y-2) \le 0$.
अतः,$-2 \le y \le 2$.
न्यूनतम मान $-2$ है और अधिकतम मान $2$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $2 + (-2) = 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $|x^2+2x-8| = 2-x$ है।
स्थिति $1$: $x^2+2x-8 \ge 0$.
$(x+4)(x-2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
अतः $x^2+2x-8 = 2-x \implies x^2+3x-10 = 0 \implies (x+5)(x-2) = 0$.
अतः $x = -5$ और $x = 2$। दोनों शर्त को संतुष्ट करते हैं।
स्थिति $2$: $x^2+2x-8 < 0$.
$(x+4)(x-2) < 0 \implies x \in (-4, 2)$.
अतः $-(x^2+2x-8) = 2-x \implies -x^2-2x+8 = 2-x \implies x^2+x-6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0$.
अतः $x = -3$ और $x = 2$।
चूंकि $x=2$ अंतराल $(-4, 2)$ में नहीं है,इसलिए हम केवल $x = -3$ लेंगे।
भिन्न वास्तविक हल $\{-5, 2, -3\}$ हैं।
अतः,$3$ भिन्न वास्तविक हल हैं।

(A) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = 2c^2 - b^2$ है।
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका अधिकतम मान $x = -c$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-c) = c^2 + b^2$ है।
दिया गया है कि $f(x)$ का न्यूनतम मान $g(x)$ के अधिकतम मान से अधिक है:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$
$c^2 > 2b^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|c| > \sqrt{2}|b|$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास हल करने के लिए दो असमिकाएं हैं:
$5x - 1 < (x + 1)^2$ और $(x + 1)^2 < 7x - 3$.
पहली असमिका के लिए:
$5x - 1 < x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)(x - 2) > 0$
इसका अर्थ है $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
दूसरी असमिका के लिए:
$(x + 1)^2 < 7x - 3$
$x^2 + 2x + 1 < 7x - 3$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
$(x - 1)(x - 4) < 0$
इसका अर्थ है $x \in (1, 4)$.
दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) \cap (1, 4) = (2, 4)$.
अंतराल $(2, 4)$ में केवल एक पूर्णांक $x = 3$ है।
अतः,$x$ का केवल $1$ पूर्णांक मान संभव है।

(A) फलन $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = (-b)^2 + 2b(-b) + 2c^2 = b^2 - 2b^2 + 2c^2 = 2c^2 - b^2$ है।
फलन $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका अधिकतम मान $x = -c$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-c) = -(-c)^2 - 2c(-c) + b^2 = -c^2 + 2c^2 + b^2 = c^2 + b^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$f(x)$ का न्यूनतम मान $g(x)$ के अधिकतम मान से अधिक है:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$
$2c^2 - c^2 > b^2 + b^2$
$c^2 > 2b^2$.

(A) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ समीकरण $x^3+qx+r=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$a+b+c=0$
$ab+bc+ca=q$
$abc=-r$
चूंकि $a+b+c=0$,इसलिए $(a+b+c)^2=0$।
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$
$a^2+b^2+c^2+2(q)=0$
$a^2+b^2+c^2=-2q$
अब,व्यंजक $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ पर विचार करें:
$= a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca$
$= 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$
$= 2(-2q) - 2(q)$
$= -4q - 2q$
$= -6q$

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\alpha, -\alpha,$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + (-\alpha) + \beta = 2p \Rightarrow \beta = 2p$.
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha(-\alpha) + (-\alpha)\beta + \alpha\beta = 3q$.
$-\alpha^2 - \alpha\beta + \alpha\beta = 3q \Rightarrow -\alpha^2 = 3q$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha(-\alpha)\beta = 4r$.
$-\alpha^2 \beta = 4r$.
$\beta = 2p$ और $-\alpha^2 = 3q$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$(3q)(2p) = 4r$.
$6pq = 4r$.
$r = \frac{6pq}{4} = \frac{3pq}{2}$.

(C) दिया गया है $f(x) = (x-a)(x-b) - \frac{a+b}{2} = x^2 - (a+b)x + ab - \frac{a+b}{2}$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं। अवकलज $f'(x) = 2x - (a+b)$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{a+b}{2}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2} - a\right)\left(\frac{a+b}{2} - b\right) - \frac{a+b}{2}$ है।
$f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{b-a}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} = -\frac{(a-b)^2}{4} - \frac{a+b}{2} = -\frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2a + 2b}{4}$।
हम इसे $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2 - 4ab + 2(a+b)}{4} = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $f(x)=0$ के मूल अ-ऋणात्मक हैं,मान लीजिए मूल $x_1, x_2 \geq 0$ हैं। अतः $x_1+x_2 = a+b \geq 0$ और $x_1x_2 = ab - \frac{a+b}{2} \geq 0$।
$x_1x_2 \geq 0$ से,हमें $ab \geq \frac{a+b}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4ab \geq 2(a+b)$,इसलिए $4ab - 2(a+b) \geq 0$।
अतः,न्यूनतम मान $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4} \geq -\frac{(a+b)^2}{4}$ है।

(B) दिए गए मूल $z_1 = \sqrt{3} + \sqrt{27} = 4\sqrt{3}$ और $z_2 = \sqrt{2} + 5i$ हैं।
परिमेय गुणांकों के लिए,अपरिमेय मूल संयुग्मी जोड़ों में होते हैं।
$z_1 = 4\sqrt{3}$ के लिए,न्यूनतम बहुपद $x^2 - 48 = 0$ है,जिसके मूल $4\sqrt{3}$ और $-4\sqrt{3}$ हैं।
$z_2 = \sqrt{2} + 5i$ के लिए,न्यूनतम बहुपद $x^4 + 46x^2 + 729 = 0$ है,जिसके मूल $\pm\sqrt{2} \pm 5i$ हैं।
अतः,कुल घात $2 + 4 = 6$ होगी।

(C) हमारे पास है,$\frac{x^3}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{x^3}{2x^3-5x^2+4x-1}$.
भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^3}{2x^3-5x^2+4x-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{5x^2-4x+1}{(2x-1)(x-1)^2} \right) \dots (i)$.
माना $\frac{5x^2-4x+1}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{(x-1)^2}$.
$5x^2-4x+1 = B(x-1)^2 + C(x-1)(2x-1) + D(2x-1)$.
$x=1$ रखने पर,$D=2$ प्राप्त होता है.
$x=1/2$ रखने पर,$B=1$ प्राप्त होता है.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $5 = B + 2C$ $\Rightarrow 5 = 1 + 2C$ $\Rightarrow C=2$.
इन मानों को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{x^3}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{1}{2} + \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$.
तुलना करने पर $A=1/2, B=1/2, C=1, D=1$.
अतः,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(1/2) - 3(1/2) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 4 + 5 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+0x^2+4x+1=0$ है।
चूंकि $a, b,$ और $c$ मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = 0$
$ab+bc+ca = 4$
$abc = -1$
$a+b+c=0$ से,हमें $a+b = -c$,$b+c = -a$,और $c+a = -b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} = \frac{1}{-c} + \frac{1}{-a} + \frac{1}{-b}$
$= -(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$
$= -(\frac{bc+ac+ab}{abc})$
$= -(\frac{4}{-1}) = 4$.

(A) माना समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \text{ और } \gamma$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$ है।
दिया गया है कि दो मूलों का योग शून्य है,अतः $\beta+\gamma=0$ लें।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha = -p$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,यह $x^3+p x^2+q x+r=0$ को संतुष्ट करेगा।
$x = -p$ रखने पर:
$(-p)^3 + p(-p)^2 + q(-p) + r = 0$
$-p^3 + p^3 - p q + r = 0$
$-p q + r = 0$
$r = p q$.

(D) दिया है: $z_1=1-2 i, z_2=1+i, z_3=3+4 i$.
हमें $\left(\frac{1}{z_1}+\frac{3}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}$ का मान ज्ञात करना है।
पहले,कोष्ठक के अंदर के पद की गणना करें:
$\frac{1}{1-2 i}+\frac{3}{1+i} = \frac{(1+i)+3(1-2 i)}{(1-2 i)(1+i)} = \frac{4-5 i}{3-i}$.
अब,$\frac{z_3}{z_2}$ से गुणा करें:
$\left(\frac{4-5 i}{3-i}\right) \left(\frac{3+4 i}{1+i}\right) = \frac{32+i}{4+2 i}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{32+i}{4+2 i} \times \frac{4-2 i}{4-2 i} = \frac{130-60 i}{20} = \frac{13}{2}-3 i$.

(D) हमारे पास है,$\frac{z-1}{z+i} = \frac{x+iy-1}{x+i(y+1)}$.
हर के संयुग्मी $x-i(y+1)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y+1)} \times \frac{x-i(y+1)}{x-i(y+1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y+1) + ixy + y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}$.
वास्तविक भाग $\frac{x(x-1)+y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}$ है।
दिया गया है कि वास्तविक भाग $1$ है,इसलिए:
$\frac{x^2-x+y^2+y}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$x^2-x+y^2+y = x^2+y^2+2y+1$.
$-x+y = 2y+1$.
$x+y+1 = 0$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$(2016, -2017)$ के लिए,$2016 + (-2017) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2016, -2017)$ बिंदुपथ पर स्थित है।

(B) दिया गया है $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$ है।
समीकरण $z^2 = (i \bar{z})^2$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $z^2 = i^2 (\bar{z})^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $z^2 = -(\bar{z})^2$,जिसका अर्थ है $z^2 + (\bar{z})^2 = 0$ है।
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + iy)^2 + (x - iy)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x^2 - y^2 + 2ixy) + (x^2 - y^2 - 2ixy) = 0$ है।
$2(x^2 - y^2) = 0$ है।
$x^2 - y^2 = 0$ है।
$x^2 = y^2$,जिसका अर्थ है $y = \pm x$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\alpha_1 + \alpha_2 z + \alpha_3 z^2 + \ldots + \alpha_n z^{n-1} + z^n = 0$ है।
चूँकि $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$,इसलिए $z^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$ है।
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $\alpha_1 + \alpha_2 e^{i \theta} + \alpha_3 e^{i 2 \theta} + \ldots + \alpha_n e^{i (n-1) \theta} + e^{i n \theta} = 0$।
पूरे समीकरण को $e^{-i n \theta}$ से गुणा करने पर:
$\alpha_1 e^{-i n \theta} + \alpha_2 e^{-i (n-1) \theta} + \ldots + \alpha_n e^{-i \theta} + 1 = 0$।
इस समीकरण का वास्तविक भाग लेने पर:
$\alpha_1 \cos (-n \theta) + \alpha_2 \cos (-(n-1) \theta) + \ldots + \alpha_n \cos (-\theta) + 1 = 0$।
चूँकि $\cos (-x) = \cos x$,यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\alpha_1 \cos n \theta + \alpha_2 \cos (n-1) \theta + \ldots + \alpha_n \cos \theta + 1 = 0$।
अतः,$\alpha_1 \cos n \theta + \alpha_2 \cos (n-1) \theta + \ldots + \alpha_n \cos \theta = -1$।

(A) दिया गया है,$13 e^{i \tan ^{-1} \frac{5}{12}} = a + i b$.
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$13 [\cos(\tan ^{-1} \frac{5}{12}) + i \sin(\tan ^{-1} \frac{5}{12})] = a + i b$.
माना $\theta = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$,तो $\tan \theta = \frac{5}{12}$.
एक समकोण त्रिभुज में जिसकी सम्मुख भुजा $5$ और आसन्न भुजा $12$ है,कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{12}{13}$ और $\sin \theta = \frac{5}{13}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$13 [\frac{12}{13} + i \frac{5}{13}] = a + i b$.
$12 + 5i = a + i b$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$a = 12$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (12, 5)$ है।

(D) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z+1}{z+i} = \frac{(x+1) + iy}{x + i(y+1)}$.
इसे शुद्ध वास्तविक बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं: $\frac{(x+1) + iy}{x + i(y+1)} \times \frac{x - i(y+1)}{x - i(y+1)}$.
हर $x^2 + (y+1)^2$ हो जाता है,जो वास्तविक है।
अंश $(x+1)x + y(y+1) + i[xy - (x+1)(y+1)]$ है।
व्यंजक के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$xy - (x+1)(y+1) = 0$.
$xy - (xy + x + y + 1) = 0$.
$-x - y - 1 = 0 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.
चूंकि $z \neq -i$,इसलिए बिंदु $(0, -1)$ को वर्जित किया जाना चाहिए।
अतः,बिंदुपथ $x+y+1=0, (x, y) \neq (0, -1)$ है।

(B) दिया गया सम्मिश्र समीकरण:
$i z^3+4 z^2-z+4 i=0$
पदों को समूहित करने पर:
$z^2(i z + 4) + i(i z + 4) = 0$
$(i z + 4)(z^2 + i) = 0$
इससे $z = 4i$ या $z^2 = -i$ प्राप्त होता है।
$z^2 = -i$ के लिए,$z = \pm(\frac{1-i}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होता है।
यहाँ $|4i| = 4$ और $|z| = 1$ है।
अतः,न्यूनतम मापांक वाला मूल $\frac{1-i}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दिया है,$u+iv = \frac{3i}{(x+2)+iy}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{u+iv} = \frac{(x+2)+iy}{3i}$.
बाईं ओर के अंश और हर को संयुग्मी $(u-iv)$ से गुणा करने पर:
$\frac{u-iv}{u^2+v^2} = \frac{(x+2)+iy}{3i}$.
दोनों पक्षों को $3i$ से गुणा करने पर:
$(x+2)+iy = \frac{3i(u-iv)}{u^2+v^2} = \frac{3ui - 3vi^2}{u^2+v^2} = \frac{3v + 3ui}{u^2+v^2}$.
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$y = \frac{3u}{u^2+v^2}$.

(C) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x + i(y-1)}{(x-1) + iy}$ है।
इसे शुद्ध काल्पनिक बनाने के लिए,हम हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं: $\frac{(x + i(y-1))((x-1) - iy)}{(x-1)^2 + y^2}$।
वास्तविक भाग $\frac{x(x-1) + y(y-1)}{(x-1)^2 + y^2} = 0$ है।
इसका अर्थ है $x^2 - x + y^2 - y = 0$,अर्थात $x^2 + y^2 - x - y = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह केंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{2}}$ वाले वृत्त को दर्शाता है।
चूंकि $z = 1$ (अर्थात $(1, 0)$) पर व्यंजक अपरिभाषित है और $z = i$ (अर्थात $(0, 1)$) पर अंश शून्य हो जाता है,इसलिए इन बिंदुओं को बाहर रखा जाना चाहिए।

(A) दिया गया है कि,$\alpha = \frac{a+ib}{1-c}$.
दोनों पक्षों का मापांक वर्ग लेने पर,$|\alpha|^2 = \frac{a^2+b^2}{(1-c)^2} \quad \dots(i)$.
दिया गया है $a^2+b^2+c^2=c$,अतः $a^2+b^2 = c-c^2 = c(1-c) \quad \dots(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$|\alpha|^2 = \frac{c(1-c)}{(1-c)^2} = \frac{c}{1-c}$.
इससे $1+|\alpha|^2 = 1 + \frac{c}{1-c} = \frac{1-c+c}{1-c} = \frac{1}{1-c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$.
$(ii)$ से,$a^2+b^2 = c(1-c) = (1-(1-c))(1-c) = (1-c) - (1-c)^2$.
$1-c = \frac{1}{1+|\alpha|^2}$ रखने पर,$a^2+b^2 = \frac{1}{1+|\alpha|^2} - \left(\frac{1}{1+|\alpha|^2}\right)^2 = \frac{1+|\alpha|^2-1}{(1+|\alpha|^2)^2} = \frac{|\alpha|^2}{(1+|\alpha|^2)^2}$.

(A) दिया गया है $z = \frac{1}{1 - \cos \theta + i \sin \theta}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{1}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}$
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2})}$
चूंकि $\sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2} = i (\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}) = i e^{-i \theta/2}$,इसलिए:
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cdot i e^{-i \theta/2}} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{i} e^{i \theta/2}$
चूंकि $\frac{1}{i} = -i = e^{-i \pi/2}$,इसलिए:
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} e^{-i \pi/2} e^{i \theta/2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{\theta}{2} e^{i (\theta/2 - \pi/2)}$
अतः,मापांक $\frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{\theta}{2}$ है और कोणांक $-(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ है।

(B) माना $z = \sin \frac{\pi}{5} + i(1 - \cos \frac{\pi}{5})$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = 2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} + i(2 \sin^2 \frac{\pi}{10})$
$z = 2 \sin \frac{\pi}{10} (\cos \frac{\pi}{10} + i \sin \frac{\pi}{10})$
चूंकि $2 \sin \frac{\pi}{10} > 0$,यह सम्मिश्र संख्या ध्रुवीय रूप $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ में है,जहाँ $r = 2 \sin \frac{\pi}{10}$ और $\theta = \frac{\pi}{10}$ है।
अतः,दी गई सम्मिश्र संख्या का आयाम $\frac{\pi}{10}$ है।

(C) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
$z^{101} = e^{i(101\pi/6)} = e^{i(16\pi + 5\pi/6)} = e^{i5\pi/6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$.
साथ ही,$i^{103} = i^{100} \cdot i^3 = -i$.
अतः,$z^{101} + i^{103} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} = -z$.
इसलिए,$\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.
$z^{105} = (e^{i\pi/6})^{105} = e^{i(17\pi + \pi/2)} = -i$.
अतः,$-z^{105} = -(-i) = i$.
चूंकि $z^3 = e^{i(3\pi/6)} = i$,इसलिए उत्तर $z^3$ है।

(C) माना $z = 1+\sin \theta+i \cos \theta$ है। इसे $z = 1+\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) + i\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिकाओं $1+\cos(2A) = 2\cos^2(A)$ और $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}$:
$z = 2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + 2i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$
$z = 2\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})]$
अतः $z^n = 2^n \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [\cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2}) + i\sin(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})]$
इसी प्रकार,संयुग्मी पद $\bar{z}^n = 2^n \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [\cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2}) - i\sin(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})]$
इन दोनों पदों को जोड़ने पर:
$z^n + \bar{z}^n = 2^n \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) [2\cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})]$
$= 2^{n+1} \cos^n(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{n\pi}{4}-\frac{n\theta}{2})$.

(A) माना $z = x + iy$, जहाँ $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ है।
तब $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा।
अतः, $|e^{z^2}| = |e^{x^2 - y^2} \cdot e^{i(2xy)}| = e^{x^2 - y^2} \cdot |e^{i(2xy)}|$।
चूँकि $|e^{i(2xy)}| = 1$, इसलिए $|e^{z^2}| = e^{x^2 - y^2}$ होगा।
$e^{x^2 - y^2}$ को अधिकतम करने के लिए, हमें घातांक $f(x, y) = x^2 - y^2$ को $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ की शर्तों के तहत अधिकतम करना होगा।
$x^2 - y^2$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $x$ अधिकतम $(x=1)$ हो और $y$ न्यूनतम $(y=0)$ हो।
अतः, अधिकतम मान $e^{1^2 - 0^2} = e^1 = e$ है।

(C) दिया है,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{101} = \cos \left(\frac{101\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{101\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\frac{101\pi}{6} = 17\pi - \frac{\pi}{6}$,इसलिए $z^{101} = \cos \left(17\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(17\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.
साथ ही,$i^{103} = i^{100} \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$.
अतः,$z^{101} + i^{103} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} - i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3} + i}{2}\right) = -z$.
इसलिए,$\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.
$z^{105} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)^{105} = \cos \frac{105\pi}{6} + i \sin \frac{105\pi}{6} = \cos \frac{35\pi}{2} + i \sin \frac{35\pi}{2}$.
चूंकि $\frac{35\pi}{2} = 18\pi - \frac{\pi}{2}$,इसलिए $z^{105} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$.
अंत में,$-z^{105} = -(-i) = i$.

(B) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^6-x^5+1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^6(x^5-1) - 1(x^5-1) = 0$
$(x^6-1)(x^5-1) = 0$
इसका अर्थ है $x^6=1$ या $x^5=1$।
मूल $x = \operatorname{cis}(\frac{2k\pi}{6})$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ या $x = \operatorname{cis}(\frac{2r\pi}{5})$ जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$k=1$ के लिए,$x = \operatorname{cis}(\frac{2\pi}{6}) = \operatorname{cis}(\frac{\pi}{3})$।
अतः,$\operatorname{cis}(\frac{\pi}{3})$ एक सम्मिश्र मूल है।

(D) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
हमें व्यंजक $\frac{1}{1+2 \omega}+\frac{1}{2+\omega}-\frac{1}{1+\omega}$ का मान ज्ञात करना है।
पहले दो पदों को सरल करने पर:
$\frac{1}{1+2 \omega}+\frac{1}{2+\omega} = \frac{2+\omega+1+2 \omega}{(1+2 \omega)(2+\omega)} = \frac{3+3 \omega}{2+5 \omega+2 \omega^2}$.
चूंकि $1+\omega = -\omega^2$,अंश $-3 \omega^2$ होगा।
साथ ही,$2+5 \omega+2 \omega^2 = 2(1+\omega^2)+5 \omega = 2(-\omega)+5 \omega = 3 \omega$ है।
अतः,पहले दो पदों का योग $\frac{3(1+\omega)}{3 \omega} = \frac{1+\omega}{\omega} = \frac{-\omega^2}{\omega} = -\omega$ है।
अब,तीसरा पद घटाने पर:
$-\frac{1}{1+\omega} = -\frac{1}{-\omega^2} = \frac{1}{\omega^2} = \omega$ है।
इस प्रकार,कुल योग $-\omega + \omega = 0$ है।

(B) माना दिया गया व्यंजक $E = \left[\frac{51+73 \omega+87 \omega^2}{73+87 \omega+51 \omega^2}+\frac{51+73 \omega+87 \omega^2}{87+51 \omega+73 \omega^2}\right]^{15}$ है।
माना $A = 51+73 \omega+87 \omega^2$,$B = 73+87 \omega+51 \omega^2$,और $C = 87+51 \omega+73 \omega^2$ है।
ध्यान दें कि $B = \omega^2 A$ और $C = \omega A$ है।
अतः,व्यंजक $\left[\frac{A}{\omega^2 A} + \frac{A}{\omega A}\right]^{15} = \left[\frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{\omega}\right]^{15}$ हो जाता है।
चूंकि $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ और $\frac{1}{\omega} = \omega^2$,हमें $(\omega + \omega^2)^{15}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ है।
अतः,$(-1)^{15} = -1$।

(B) माना $S = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} + \frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$.
ध्यान दें कि $c+a \omega+b \omega^2 = \omega^2(c \omega + a \omega^2 + b) = \omega^2(b+c \omega+a \omega^2)$.
अतः,व्यंजक $\frac{a+b \omega+c \omega^2}{\omega^2(b+c \omega+a \omega^2)} + \frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ हो जाता है।
$\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2} (\frac{1}{\omega^2} + 1) = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2} (\omega + 1)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$.
$a=1, b=0, c=0$ जैसे विशिष्ट मानों के लिए गणना करने पर $\frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्तर $-1$ है।

(B) दिया गया है $a = \cos \left(\frac{8 \pi}{11}\right) + i \sin \left(\frac{8 \pi}{11}\right) = e^{i \frac{8 \pi}{11}}$.
चूँकि $a^{11} = e^{i 8 \pi} = 1$,$a$ इकाई का $11$वाँ मूल है।
इकाई के सभी $11$वें मूलों का योग $1 + a + a^2 + \dots + a^{10} = 0$ होता है।
अतः,$a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7 + a^8 + a^9 + a^{10} = -1$.
चूँकि $a^{11} = 1$,हमारे पास $a^{10} = \bar{a}$,$a^9 = \bar{a^2}$,$a^8 = \bar{a^3}$,$a^7 = \bar{a^4}$,और $a^6 = \bar{a^5}$ है।
इन मानों को योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a + \bar{a}) + (a^2 + \bar{a^2}) + (a^3 + \bar{a^3}) + (a^4 + \bar{a^4}) + (a^5 + \bar{a^5}) = -1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$ का उपयोग करते हुए,$2 \operatorname{Re}(a) + 2 \operatorname{Re}(a^2) + 2 \operatorname{Re}(a^3) + 2 \operatorname{Re}(a^4) + 2 \operatorname{Re}(a^5) = -1$ होता है।
इसलिए,$2 \operatorname{Re}(a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5) = -1$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{Re}(a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5) = -\frac{1}{2}$।

(C) माना $z=x+iy$. दिया गया है $|z|^2+1=|z^2-1|$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2+y^2+1 = |(x+iy)^2-1| = |x^2-y^2-1+2ixy|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x^2+y^2+1)^2 = (x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2$.
$(x^2+y^2+1)^2 - (x^2-y^2-1)^2 = 4x^2y^2$.
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$[(x^2+y^2+1) + (x^2-y^2-1)] \times [(x^2+y^2+1) - (x^2-y^2-1)] = 4x^2y^2$.
$(2x^2)(2y^2+2) = 4x^2y^2$.
$4x^2y^2 + 4x^2 = 4x^2y^2$.
$4x^2 = 0 \implies x=0$.
बिंदुपथ $x=0$ काल्पनिक अक्ष को दर्शाता है।

(A) माना $Z = x + iy$.
तब $\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x+1) - iy$ से गुणा करने पर:
$\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + 2iy}{(x+1)^2 + y^2}$.
दिया है $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
चूँकि $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$,इसलिए $1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
यह $x^2 + y^2 - 1 = 2y$ में सरल होता है,अर्थात $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$।

(C) दिए गए बिंदु $A(3-i)$ और $B(2+i)$ हैं।
आर्गंड समतल में,ये निर्देशांक $A(3, -1)$ और $B(2, 1)$ के अनुरूप हैं।
दिया गया समीकरण $|z-3+i|=|z-2-i|$ है।
इसे $|z-(3-i)|=|z-(2+i)|$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $P$ सम्मिश्र संख्या $z$ को दर्शाने वाला बिंदु है। तो यह समीकरण उन बिंदुओं $P$ के समूह को दर्शाता है जिनके लिए $P$ की $A$ से दूरी,$P$ की $B$ से दूरी के बराबर है,अर्थात $PA = PB$ है।
दो निश्चित बिंदुओं $A$ और $B$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक होता है।

(B) $6$ पुरुषों को एक पंक्ति में $6!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है। अब,उनके द्वारा बनाई गई $7$ रिक्तियों में $6$ महिलाओं को $7_{P_6}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\therefore x = 6! \times 7_{P_6} = 6! \times 7!$
$6$ पुरुषों को एक वृत्त में $(6-1)! = 5!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है। अब,उनके द्वारा बनाई गई $6$ रिक्तियों में $6$ महिलाओं को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\therefore y = 5! \times 6!$
अब,$x: y = (6! \times 7!) : (5! \times 6!) = 7! : 5!$
$\Rightarrow x: y = (7 \times 6 \times 5!) : 5! = 42: 1$

(B) $0, 3, 5, 4$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के चार अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,अंतिम अंक $0$ या $4$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: अंतिम अंक $0$ है। शेष $3$ स्थानों को $3, 5, 4$ द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है। संख्याएँ $3540, 5340, 3450, 4350, 5430, 4530$ हैं। उनका योग $26640$ है।
स्थिति $2$: अंतिम अंक $4$ है। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। संभावित संख्याएँ $3054, 3504, 5034, 5304$ हैं। उनका योग $16896$ है।
कुल योग $= 26640 + 16896 = 43536$.

(C) $SARANAM$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, A, S, R, N, M$। भिन्न अक्षर $\{A, S, R, N, M\}$ हैं।
$5$-अक्षरों वाले शब्द बनाने के लिए स्थितियाँ:
$(i)$ सभी $5$ अक्षर भिन्न हों ($S, A, R, N, M$ का उपयोग करके):
शब्दों की संख्या $= 5! = 120$।
(ii) $2$ अक्षर समान $(A)$ और $3$ अक्षर भिन्न हों:
शेष $4$ अक्षरों $\{S, R, N, M\}$ में से $3$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_3$। व्यवस्था $= \frac{5!}{2!} = 60$।
कुल शब्द $= ^4C_3 \times 60 = 4 \times 60 = 240$।
(iii) $3$ अक्षर समान $(A)$ और $2$ अक्षर भिन्न हों:
शेष $4$ अक्षरों $\{S, R, N, M\}$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_2$। व्यवस्था $= \frac{5!}{3!} = 20$।
कुल शब्द $= ^4C_2 \times 20 = 6 \times 20 = 120$।
कुल शब्दों की संख्या $= 120 + 240 + 120 = 480$।

(A) अंक $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं। इन्हें घटते क्रम में व्यवस्थित करने पर: $6, 5, 4, 3, 2$।
कुल संभावित क्रमचय = $5! = 120$।
हमें घटते क्रम में $89$ वीं संख्या ज्ञात करनी है।
$6$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$ (स्थान $1$ से $24$)।
$5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$ (स्थान $25$ से $48$)।
$4$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$ (स्थान $49$ से $72$)।
$36$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $3! = 6$ (स्थान $73$ से $78$)।
$35$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $3! = 6$ (स्थान $79$ से $84$)।
$346$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $2! = 2$ (स्थान $85$ से $86$)।
$345$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $2! = 2$ (स्थान $87$ से $88$)।
$89$ वीं संख्या $34265$ है और $90$ वीं संख्या $34256$ है।
अतः,$89$ वीं संख्या $34265$ है।

(D) $20001$ से $59999$ तक की संख्याओं पर विचार करें। इस सीमा में कुल $39999$ पूर्णांक हैं।
$10$ क्रमिक पूर्णांकों के प्रत्येक समूह में,ठीक $5$ संख्याओं के अंकों का योग सम होता है।
$39990$ संख्याओं के लिए,आधी संख्याओं का योग सम होगा,यानी $19995$।
शेष $9$ संख्याओं ($59991$ से $59999$) के लिए,पहले चार अंकों का योग $32$ (सम) है,इसलिए यदि अंतिम अंक सम $(2, 4, 6, 8)$ है तो कुल योग सम होगा।
अतः,कुल संख्या $= 19995 + 4 = 19999$।

(B) द्विघात समीकरण $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (2)^2 - 4(4^{\sec^2 \alpha})(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 0$
$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \leq 1$
चूंकि $\sec^2 \alpha \geq 1$,इसलिए $4^{\sec^2 \alpha} \geq 4$ और $\beta^2 - \beta + \frac{1}{2} = (\beta - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}$।
अतः,$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 4 \times \frac{1}{4} = 1$।
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$4^{\sec^2 \alpha} = 4$ और $\beta = \frac{1}{2}$ होना चाहिए,जिससे $\cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos^2 \alpha + \cos^{-1} \beta = 1 + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{\pi}{3}$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ x+y+z=3$
$(2) \ 2x+2y-z=3$
$(3) \ x+y-z=1$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(x+y+z) - (x+y-z) = 3 - 1$
$2z = 2 \implies z = 1$
$z=1$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x+y+1 = 3 \implies x+y = 2$
चूंकि $(x_0, y_0, z_0)$ एक हल है,इसलिए $x_0+y_0 = 2$ और $z_0 = 1$ है।
अब,$2x_0+2y_0+z_0$ का मान ज्ञात करने पर:
$2x_0+2y_0+z_0 = 2(x_0+y_0) + z_0$
$= 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 1+\frac{2x}{k}, & 0 \leq x < 1 \\ kx, & 1 \leq x < 2 \end{cases}$ है,जहाँ $k>0$ है।
हमें दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$ है।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1+\frac{2x}{k}) = 1+\frac{2}{k}$।
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना:
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (kx) = k$।
दोनों सीमाओं को बराबर करने पर:
$1+\frac{2}{k} = k$
$k$ से गुणा करने पर:
$k+2 = k^2$
$k^2 - k - 2 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(k-2)(k+1) = 0$।
चूँकि $k>0$,इसलिए $k=2$ है।
अतः,$k^2 = 2^2 = 4$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 1 + 2x^k, & 0 \le x < 1 \\ kx, & 1 \le x < 2 \end{cases}$ है।
$x = 1$ पर सीमा (limit) के अस्तित्व के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ होना चाहिए।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना: $\lim_{x \to 1^-} (1 + 2x^k) = 1 + 2(1)^k = 1 + 2 = 3$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना: $\lim_{x \to 1^+} (kx) = k(1) = k$.
दोनों सीमाओं को बराबर करने पर: $3 = k$.
चूंकि $k = 3$ है,इसलिए $k^2$ का मान $3^2 = 9$ होगा।

(D) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r \sqrt{r}}{n^{5/2}}$ है।
इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^{3/2}}{n^{5/2}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \left( \frac{r}{n} \right)^{3/2} \cdot \frac{1}{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n f\left( \frac{r}{n} \right) \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x) dx$ है।
यहाँ,$f(x) = x^{3/2}$ है।
अतः,सीमा $\int_0^1 x^{3/2} dx = \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_0^1 = \frac{2}{5} (1 - 0) = \frac{2}{5}$ है।

(C) माना $A = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^{n} \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log A = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$,हमें प्राप्त होता है:
$\log A = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x^2)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{2x}{1+x^2} dx$ और $v = x$.
$\int_0^1 \log(1+x^2) dx = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.
$= [1 \cdot \log(2) - 0] - 2 \int_0^1 \left(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\right) dx$.
$= \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$= \log 2 - 2 [x - \tan^{-1}(x)]_0^1$.
$= \log 2 - 2 [(1 - \tan^{-1}(1)) - (0 - 0)]$.
$= \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2} = \log 2 + \frac{\pi-4}{2}$.
अतः $A = e^{\log 2 + \frac{\pi-4}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$ है।
चूंकि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,$a+b+c \neq 0$।
अतः,$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$,जिसका अर्थ है $a=b=c$।
चूंकि $a=b=c$,त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $A=B=C=60^\circ$।
तब $\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A = \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ$।
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2 - 0) + 4(-2 - 0) = 3(1) + 3(2) + 4(-2) = 3 + 6 - 8 = 1$.
चूंकि $|A| = 1 \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अगला,हम सहखंडज आव्यूह (adjoint) ज्ञात करने के लिए सहखंड आव्यूह (cofactor matrix) का परिवर्त (transpose) निकालते हैं।
सहखंड आव्यूह $C$ है:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$
अतः,$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$।
चूंकि $|A| = 1$,इसलिए $A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{|A|} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$।
अब,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A^{-1} = A^3$ है।

(A) आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह के गैर-व्युत्क्रमणीय होने के लिए,इसका सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए: $\det(M) \neq 0$.
सारणिक की गणना करने पर: $\det(M) = 1(1 - \omega c) - a(\omega - \omega^2 c) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - \omega c - a\omega + a\omega^2 c = 1 - \omega(a + c) + a\omega^2 c$.
दिया गया है कि $a, c \in \{\omega, \omega^2\}$,हम संयोजनों की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $a = \omega, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega) + \omega(\omega^2)(\omega) = 1 - 2\omega^2 + \omega^4 = 1 - 2\omega^2 + \omega = 1 - 2\omega^2 + (-1 - \omega^2) = -3\omega^2 \neq 0$.
$2$. यदि $a = \omega^2, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega^2) + \omega^2(\omega^2)(\omega^2) = 1 - 2\omega^3 + \omega^6 = 1 - 2(1) + 1 = 0$.
$3$. यदि $a = \omega, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega + \omega^2) + \omega(\omega^2)(\omega^2) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$4$. यदि $a = \omega^2, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega^2 + \omega) + \omega^2(\omega^2)(\omega) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
चूँकि $b$ का मान $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है जब $\det(M) \neq 0$ हो,और केवल $(a, c) = (\omega, \omega)$ की स्थिति में ही सारणिक शून्य नहीं होता है,इसलिए $b$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।
अतः,$S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

(B) दिए गए समीकरण $A^2 X = cAX$ को $(A^2 - cA)X = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $A(A - cI)X = 0$। चूंकि $X$ एक शून्येतर आव्यूह है,इसका तात्पर्य यह है कि $c$ को आव्यूह $A$ का आइगेन मान (eigenvalue) होना चाहिए।
$A$ के आइगेन मान ज्ञात करने के लिए,हम अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ को हल करते हैं:
$\begin{vmatrix} 5-\lambda & -3 & 0 \\ -3 & 5-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(2-\lambda) [(5-\lambda)^2 - (-3)^2] = 0$
$(2-\lambda) (\lambda^2 - 10\lambda + 16) = 0$
$(2-\lambda) (\lambda - 8)(\lambda - 2) = 0$
अतः,आइगेन मान $\lambda = 2, 2, 8$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $c$ का मान $A$ का आइगेन मान है,इसलिए $c$ के भिन्न मान $2$ और $8$ हैं।
अतः,$c$ के कुल $2$ भिन्न मान हैं।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें: $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
इसका अर्थ है कि $A^2 + I = 0$,या $A^2 = -I$.
इससे,$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A$.
साथ ही,$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
अब,प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
विकल्प $A$: $A^3 - I = -A - I$ और $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. अतः,$A^3 - I = A(A - I)$ सही है।
विकल्प $B$: $A^3 + I = -A + I$ और $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. अतः,$A^3 + I = A(A^3 - I)$ सही है।
विकल्प $C$: $A^4 - I = I - I = 0$ और $A^2 + I = -I + I = 0$. अतः,$A^4 - I = A^2 + I$ सही है।
विकल्प $D$: $A^2 + I = -I + I = 0$ और $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. चूँकि $0 \neq -2A$,इसलिए यह विकल्प गलत है।

(D) दिया है,$A = \begin{bmatrix} k/2 & 0 & 0 \\ 0 & l/3 & 0 \\ 0 & 0 & m/4 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A A^{-1} = I$,हमारे पास है:
$\begin{bmatrix} k/2 & 0 & 0 \\ 0 & l/3 & 0 \\ 0 & 0 & m/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} k/4 & 0 & 0 \\ 0 & l/9 & 0 \\ 0 & 0 & m/16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत तत्वों की तुलना करने पर:
$k/4 = 1 \implies k = 4$.
$l/9 = 1 \implies l = 9$.
$m/16 = 1 \implies m = 16$.
अतः,$k+l+m = 4 + 9 + 16 = 29$.

(A) $n=3$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n=3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ प्राप्त होता है।
यदि $|A|=0$,तो $|\operatorname{Adj} A| = 0^2 = 0$ होता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए,हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A \cdot A^{-1}| = |I|$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करते हुए,$|A| \cdot |A^{-1}| = 1$ मिलता है।
चूँकि $|A| \neq 0$,हम $|A|$ से विभाजित कर सकते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $II$ सत्य है।
इसलिए,कथन $I$ और $II$ दोनों सही हैं।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$\operatorname{Adj}(A) = |A| A^{-1}$ होता है।
दिया गया है कि $P$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं,इसलिए उनका गुणनफल $QP$ भी एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
अतः,$\operatorname{Adj}(QP) = |QP| (QP)^{-1}$ होगा।
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए,$|QP| = |Q||P| = |P||Q|$ होता है।
व्युत्क्रम आव्यूह के गुण के अनुसार,$(QP)^{-1} = P^{-1} Q^{-1}$ होता है।
इस प्रकार,$\operatorname{Adj}(QP) = |P||Q| P^{-1} Q^{-1}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि $\operatorname{Adj}(Q) = |Q| Q^{-1}$ और $\operatorname{Adj}(P) = |P| P^{-1}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\operatorname{Adj}(Q) \operatorname{Adj}(P) = (|Q| Q^{-1}) (|P| P^{-1}) = |Q||P| Q^{-1} P^{-1}$ मिलता है।
सामान्यतः $\operatorname{Adj}(QP) = \operatorname{Adj}(P) \operatorname{Adj}(Q)$ सही सर्वसमिका है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $A^2+A+2I=0$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$A(A+I) = -2I$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$|A(A+I)| = |-2I|$.
चूंकि $A$ कोटि $3$ का है,$|kI| = k^3|I| = k^3$.
$|A||A+I| = (-2)^3 |I| = -8(1) = -8$.
चूंकि $|A||A+I| = -8$,इसका अर्थ है कि $|A| \neq 0$ और $|A+I| \neq 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,$A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
साथ ही,विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ एक विषम-सममित आव्यूह नहीं हो सकता।

(C) किसी आव्यूह का व्युत्क्रम तब मौजूद नहीं होता जब उसका सारणिक (determinant) $0$ हो।
माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & t \\ 4 & 7 - t & -6 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = 1[5(-6) - t(7 - t)] - 3[2(-6) - 4t] + 2[2(7 - t) - 4(5)] = 0$
$|A| = 1[-30 - 7t + t^2] - 3[-12 - 4t] + 2[14 - 2t - 20] = 0$
$|A| = t^2 - 7t - 30 + 36 + 12t + 28 - 4t - 40 = 0$
$|A| = t^2 + t - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t + 3)(t - 2) = 0$
अतः,$t = -3$ या $t = 2$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करें:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -4 & 13 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & -4 & 13 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $3$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $3$ है।

(A) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+2y+z=1$
$x+3y+4z=k$
$x+5y+10z=k^2$
निकाय के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(30-20) - 2(10-4) + 1(5-3) = 10 - 12 + 2 = 0$.
चूंकि $D=0$ है,निकाय के संगत होने के लिए $D_1 = 0$ होना आवश्यक है।
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ k & 3 & 4 \\ k^2 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(30-20) - 2(10k-4k^2) + 1(5k-3k^2) = 0$.
$10 - 20k + 8k^2 + 5k - 3k^2 = 0$.
$5k^2 - 15k + 10 = 0$.
$5$ से विभाजित करने पर,$k^2 - 3k + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k$ के वास्तविक मान $k=1$ और $k=2$ हैं। मान लीजिए $A=1$ और $B=2$.
इसलिए,$A+B = 1+2 = 3$.

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}125 & 5 & 25 \\ 343 & 7 & 49 \\ 729 & 9 & 81\end{array}\right|$.
$R_1$ से $5$,$R_2$ से $7$ और $R_3$ से $9$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5 \cdot 7 \cdot 9) \left|\begin{array}{lll}25 & 1 & 5 \\ 49 & 1 & 7 \\ 81 & 1 & 9\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = 315 \left|\begin{array}{lll}25 & 1 & 5 \\ 24 & 0 & 2 \\ 56 & 0 & 4\end{array}\right|$.
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 315 \cdot (-1) \cdot \left|\begin{array}{ll}24 & 2 \\ 56 & 4\end{array}\right|$.
$\Delta = -315 \cdot (24 \cdot 4 - 56 \cdot 2) = -315 \cdot (96 - 112) = -315 \cdot (-16) = 5040$.
चूंकि $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$,अतः उत्तर $7!$ है।

(D) दिए गए समीकरण निकाय:
$x - 2y + 3z = 5$
$2x - 2y + z = 0$
$-x + 2y - 3z = 6$
माना $\Delta$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 1((-2)(-3) - (1)(2)) - (-2)((2)(-3) - (1)(-1)) + 3((2)(2) - (-2)(-1))$
$= 1(6 - 2) + 2(-6 + 1) + 3(4 - 2)$
$= 1(4) + 2(-5) + 3(2) = 4 - 10 + 6 = 0$
चूंकि $\Delta = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर $\Delta_1$ की गणना करें:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 5((-2)(-3) - (1)(2)) - (-2)((0)(-3) - (1)(6)) + 3((0)(2) - (-2)(6))$
$= 5(6 - 2) + 2(0 - 6) + 3(0 + 12)$
$= 5(4) + 2(-6) + 3(12) = 20 - 12 + 36 = 44$
चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$,इसलिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x+y+z=3$ ... $(i)$
$2x+2y-z=3$ ... $(ii)$
$x+y-z=1$ ... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+y+z) + (x+y-z) = 3+1$
$2x+2y = 4$
$x+y = 2$
$x+y=2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2+z = 3$
$z = 1$
अब,हल $(x_0, y_0, z_0)$ के लिए $2x_0+2y_0+z_0$ का मान ज्ञात करना है:
$2x_0+2y_0+z_0 = 2(x_0+y_0) + z_0$
चूँकि $x_0+y_0=2$ और $z_0=1$:
$= 2(2) + 1$
$= 4+1 = 5$

(B) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$x - ay - az = 0$
$-bx + y - bz = 0$
$-cx - cy + z = 0$
अतुच्छ हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -a & -a \\ -b & 1 & -b \\ -c & -c & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - bc) + a(-b - bc) - a(bc + c) = 0$
$1 - bc - ab - abc - abc - ac = 0$
$1 - (ab + bc + ca) - 2abc = 0$
समीकरण $x = a(y+z)$ से,हमें प्राप्त होता है $x = a(x+y+z) - ax$,इसलिए $x(1+a) = a(x+y+z)$.
अतः,$\frac{x}{x+y+z} = \frac{a}{a+1}$.
इसी प्रकार,$\frac{y}{x+y+z} = \frac{b}{b+1}$ और $\frac{z}{x+y+z} = \frac{c}{c+1}$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\frac{x+y+z}{x+y+z} = \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1}$.
चूँकि हल अतुच्छ है,$x+y+z \neq 0$,इसलिए:
$1 = \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1}$.

(D) गैर-तुच्छ हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta = 0$।
$\left|\begin{array}{ccc} \sin 3 \theta & -1 & 1 \\ \cos 2 \theta & 4 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\sin 3 \theta (28 - 21) - (-1) (7 \cos 2 \theta - 6) + 1 (7 \cos 2 \theta - 8) = 0$
$7 \sin 3 \theta + 7 \cos 2 \theta - 6 + 7 \cos 2 \theta - 8 = 0$
$7 \sin 3 \theta + 14 \cos 2 \theta - 14 = 0$
$7$ से विभाजित करने पर:
$\sin 3 \theta + 2 \cos 2 \theta - 2 = 0$
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ और $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta) + 2(1 - 2 \sin^2 \theta) - 2 = 0$
$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta + 2 - 4 \sin^2 \theta - 2 = 0$
$-\sin \theta (4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta - 3) = 0$
$-\sin \theta (2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 3) = 0$
चूंकि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए $2 \sin \theta + 3 \neq 0$,इसलिए:
$\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = n \pi$
$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$
अतः,$\theta$ के मानों का समुच्चय $\theta = n \pi$ या $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ है।

(B) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है:
$D = \begin{vmatrix} k & k+1 & k-1 \\ k-1 & k+2 & k \\ k+1 & k & k+2 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = k((k+2)(k+2) - k^2) - (k+1)((k-1)(k+2) - k(k+1)) + (k-1)(k(k-1) - (k+2)(k+1)) = 0$.
$D = k(4k+4) - (k+1)(-2) + (k-1)(-4k-2) = 0$.
$4k^2+4k + 2k+2 - 4k^2-2k+4k+2 = 0$.
$8k + 4 = 0 \implies 8k = -4 \implies k = -\frac{1}{2}$.
अतः,$k$ का संभावित मान $-\frac{1}{2}$ है,इसलिए सभी संभावित मानों का योग $-\frac{1}{2}$ है।

(B) माना $f(y) = y^2-4y+6 = (y-2)^2+2$ है। चूँकि $(y-2)^2 \geq 0$,इसलिए सभी $y \in R$ के लिए $f(y) \geq 2$ है।
कथन $I$ के लिए: सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ केवल तभी सत्य है जब $x \in [-1, 1]$ हो। यहाँ,$f(y) \geq 2$ है,इसलिए $f(y)$ कभी भी $[-1, 1]$ में नहीं हो सकता। अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$ के लिए: सर्वसमिका $\sec^{-1}(x) + \operatorname{cosec}^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ केवल तभी सत्य है जब $|x| \geq 1$ हो। चूँकि $f(y) \geq 2$ है,इसलिए सभी $y \in R$ के लिए $|f(y)| \geq 1$ की शर्त संतुष्ट होती है। अतः,कथन $II$ सत्य है।

(D) हम गुणों $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1} x$,$\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1} x$ और $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $E = \tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
गुणों का उपयोग करने पर:
$E = \tan ^{-1} 2 + (\pi - \cot ^{-1} 3) + \tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} \frac{1}{2}$
चूंकि $\cot ^{-1} 3 = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$,इसलिए:
$E = \pi + (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{1}{2}) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} \frac{1}{3})$
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करने पर:
$E = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3 - 1/3}{1 + 3(1/3)} \right)$
$E = \pi + \tan ^{-1} \left( \frac{3/2}{2} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{8/3}{2} \right)$
$E = \pi + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$
चूंकि $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \cot ^{-1} \frac{3}{4}$,इसलिए:
$E = \pi + (\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \cot ^{-1} \frac{3}{4})$
$\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$

(A) दिया गया है: $\cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{y}{3} \right) = \theta$
सर्वसमिका $\cos^{-1} A + \cos^{-1} B = \cos^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^{-1} \left\{ \left( \frac{x}{2} \right) \left( \frac{y}{3} \right) - \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{9}} \right\} = \theta$
$\Rightarrow \frac{xy}{6} - \sqrt{\frac{4-x^2}{4}} \sqrt{\frac{9-y^2}{9}} = \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{xy}{6} - \frac{\sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2}}{6} = \cos \theta$
$\Rightarrow xy - \sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2} = 6 \cos \theta$
$\Rightarrow xy - 6 \cos \theta = \sqrt{4-x^2} \sqrt{9-y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy - 6 \cos \theta)^2 = (4-x^2)(9-y^2)$
$x^2 y^2 - 12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 4y^2 - 9x^2 + x^2 y^2$
दोनों पक्षों से $x^2 y^2$ को हटाने पर:
$-12xy \cos \theta + 36 \cos^2 \theta = 36 - 9x^2 - 4y^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36 - 36 \cos^2 \theta$
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36(1 - \cos^2 \theta)$
$9x^2 + 4y^2 - 12xy \cos \theta = 36 \sin^2 \theta$

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{k^2+k+1}$ है।
हम तर्क को $\frac{1}{1+k(k+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$T_k = \operatorname{Tan}^{-1} (k+1) - \operatorname{Tan}^{-1} k$।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1} (k+1) - \operatorname{Tan}^{-1} k) = \operatorname{Tan}^{-1} (n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} (1)$।
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{n}{n+2}$।
अतः,$\theta = \frac{n}{n+2}$।

(D) फलन $f(x) = \log \{ax^3 + (a+b)x^2 + (b+c)x + c\}$ है।
लघुगणक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$ax^3 + ax^2 + bx^2 + bx + cx + c = (ax^2 + bx + c)(x+1)$.
चूंकि $b^2 = 4ac$,द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$f(x) = \log \{a(x + \frac{b}{2a})^2(x+1)\}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$a(x + \frac{b}{2a})^2(x+1) > 0$.
चूंकि $a > 0$,पद $a(x + \frac{b}{2a})^2 \geq 0$ है। यह $x = -\frac{b}{2a}$ पर $0$ होता है।
इसलिए,हमें $x+1 > 0$ और $x \neq -\frac{b}{2a}$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $x > -1$ और $x \neq -\frac{b}{2a}$।
प्रांत $D = (-1, \infty) - \{-\frac{b}{2a}\}$ है।
यह $R - (\{-\frac{b}{2a}\} \cup (-\infty, -1])$ के बराबर है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}$ को परिभाषित होने के लिए,$\frac{4-x^2}{[x]+2} \geq 0$ और $[x]+2 \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\frac{x^2-4}{[x]+2} \leq 0$ और $[x] \neq -2$.
स्थिति $1$: $x^2-4 \geq 0$ और $[x]+2 < 0$.
$x^2 \geq 4 \Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$[x] < -2 \Rightarrow x < -2$.
सर्वनिष्ठ: $x \in (-\infty, -2)$.
स्थिति $2$: $x^2-4 \leq 0$ और $[x]+2 > 0$.
$x^2 \leq 4 \Rightarrow x \in [-2, 2]$.
$[x] > -2 \Rightarrow x \geq -1$.
सर्वनिष्ठ: $x \in [-1, 2]$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ के वास्तविक मान फलन के रूप में परिभाषित होने के लिए,आधार को $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए धनात्मक होना चाहिए।
हमें $1 + \frac{1}{x} > 0$ की आवश्यकता है।
यह $\frac{x + 1}{x} > 0$ में सरल हो जाता है।
क्रांतिक बिंदुओं $x = -1$ और $x = 0$ के लिए साइन स्कीम (वेवी कर्व विधि) का उपयोग करने पर:
$x < -1$ के लिए,$\frac{x+1}{x} > 0$ है।
$-1 < x < 0$ के लिए,$\frac{x+1}{x} < 0$ है।
$x > 0$ के लिए,$\frac{x+1}{x} > 0$ है।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{2x - 1} + 5 \cos^{-1}\left(\frac{2x - 1}{3}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों पदों का परिभाषित होना आवश्यक है।
$\sqrt{2x - 1}$ के परिभाषित होने के लिए,$2x - 1 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq \frac{1}{2}$।
$\cos^{-1}\left(\frac{2x - 1}{3}\right)$ के परिभाषित होने के लिए,तर्क $-1 \leq \frac{2x - 1}{3} \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$3$ से गुणा करने पर,$-3 \leq 2x - 1 \leq 3$ प्राप्त होता है।
$1$ जोड़ने पर,$-2 \leq 2x \leq 4$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$-1 \leq x \leq 2$ प्राप्त होता है।
प्रांत $x \geq \frac{1}{2}$ और $-1 \leq x \leq 2$ का प्रतिच्छेदन (intersection) है।
अतः,प्रांत $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ को $x = [x] + \{x\}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक भाग है और $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग है,जिसमें $0 \leq \{x\} < 1$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x = 2[x] + 2\{x\}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का महत्तम पूर्णांक लेने पर,$[2x] = [2[x] + 2\{x\}] = 2[x] + [2\{x\}]$ प्राप्त होता है।
अब,फलन $f(x) = [2x] - 2[x] = (2[x] + [2\{x\}]) - 2[x] = [2\{x\}]$ है।
चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $0 \leq 2\{x\} < 2$ होता है।
अतः,$\{x\}$ के अंतराल के आधार पर $[2\{x\}]$ के मान इस प्रकार हैं:
यदि $0 \leq \{x\} < \frac{1}{2}$,तो $0 \leq 2\{x\} < 1$,इसलिए $[2\{x\}] = 0$।
यदि $\frac{1}{2} \leq \{x\} < 1$,तो $1 \leq 2\{x\} < 2$,इसलिए $[2\{x\}] = 1$।
इस प्रकार,$f$ का परिसर $\{0, 1\}$ है।

(A) माना $f(x) = y$ है। चूँकि $f: R \rightarrow [-1, 1]$ आच्छादक है,$y$ का मान $[-1, 1]$ के सभी मानों को ग्रहण करता है।
दिया गया है $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{y}{2} \sqrt{4 - y^2}$।
माना $y = 2 \sin \theta$ है। चूँकि $y \in [-1, 1]$,$\sin \theta \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$,इसलिए $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$।
तब $\frac{y}{2} \sqrt{4 - y^2} = \sin \theta \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = \sin \theta \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$।
अतः,$\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \sin(2 \theta)$।
चूँकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$,इसलिए $2 \theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$।
अतः,$g(x) - \frac{\pi}{3} = 2 \theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$।
$g(x) \in \left[-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right] = \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$।
चूँकि $g$ आच्छादक है,सह-प्रांत $A = \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x^2+2x+2}$ है।
सबसे पहले,हर (denominator) का विश्लेषण करें: $x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $(x+1)^2 \ge 0$ है,इसलिए $(x+1)^2+1 \ge 1$ होगा।
अतः,हर का परिसर $[1, \infty)$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $0 < \frac{1}{(x+1)^2+1} \le 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $A$ को परिसर $(0, 1]$ के बराबर होना चाहिए।

(A) माना $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+7}$.
$y(x^2+2x+7) = x^2+2x+1$
$yx^2 + 2yx + 7y = x^2 + 2x + 1$
$(y-1)x^2 + 2(y-1)x + (7y-1) = 0$.
यदि $y=1$ है,तो $0x^2 + 0x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,$y \neq 1$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए:
$D = [2(y-1)]^2 - 4(y-1)(7y-1) \geq 0$
$4(y-1)^2 - 4(y-1)(7y-1) \geq 0$
$(y-1)[(y-1) - (7y-1)] \geq 0$
$(y-1)(-6y) \geq 0$
$6y(y-1) \leq 0$
इससे $y \in [0, 1]$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \neq 1$,इसलिए परिसर $[0, 1)$ है।

(C) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण करें। मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4$. $f(-x)$ की जाँच करने पर,हमें $f(x)$ प्राप्त होता है,अतः $A$ एक सम फलन है $(II)$.
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण करें। $x > 0$ के लिए,यह फलन न तो विषम है और न ही सम $(I)$।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण करें। $3 < x < 5$ के लिए,$|x-2| = x-2$,$|x-3| = x-3$,$|x-5| = 5-x$. अतः $f(x) = x$,जो कि तत्समक फलन है $(IV)$।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण करें। यह फलन न तो विषम है और न ही सम $(I)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है,$g(x)=x^2+x-2$ और $\frac{1}{2}(g \circ f)(x)=2 x^2-5 x+2$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $g(f(x))=4 x^2-10 x+4$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(f(x))^2+(f(x))-2=4 x^2-10 x+4$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $f(x)$ एक रैखिक बहुपद $f(x)=ax+b$ है,तो $(ax+b)^2+(ax+b)-2=4 x^2-10 x+4$।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $a^2 x^2+(2ab+a)x+(b^2+b-2)=4 x^2-10 x+4$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) a^2=4 \Rightarrow a=2$ या $a=-2$।
$2) 2ab+a=-10$।
$3) b^2+b-2=4 \Rightarrow b^2+b-6=0 \Rightarrow (b+3)(b-2)=0 \Rightarrow b=-3$ या $b=2$।
यदि $a=2$ है,तो $2(2)b+2=-10 \Rightarrow 4b=-12 \Rightarrow b=-3$। अतः $f(x)=2x-3$।
यदि $a=-2$ है,तो $2(-2)b-2=-10 \Rightarrow -4b=-8 \Rightarrow b=2$। अतः $f(x)=-2x+2$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$f(x)=2x-3$ सही विकल्प है।

(C) माना $g(x) = f(f(x))$.
दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1+x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$0 \leq x \leq 2$ के लिए,$f(x) = 1+x$. चूँकि $0 \leq x \leq 2$,इसलिए $1 \leq 1+x \leq 3$.
यदि $1 \leq 1+x \leq 2$ (अर्थात $0 \leq x \leq 1$),तो $f(f(x)) = f(1+x) = 1+(1+x) = 2+x$.
यदि $2 < 1+x \leq 3$ (अर्थात $1 < x \leq 2$),तो $f(f(x)) = f(1+x) = 3-(1+x) = 2-x$.
$2 < x \leq 3$ के लिए,$f(x) = 3-x$. चूँकि $2 < x \leq 3$,इसलिए $0 \leq 3-x < 1$.
अतः,$f(f(x)) = f(3-x) = 1+(3-x) = 4-x$.
इसलिए,$g(x) = \begin{cases} 2+x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \\ 4-x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (2+x) = 3$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 1$. चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए यह $x=1$ पर असतत है.
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (4-x) = 2$. चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए यह $x=2$ पर असतत है.
अतः,$f(f(x))$ $x=1$ और $x=2$ पर असतत है।

(B) दिया गया है: $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$.
साथ ही,$g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है।
सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $f$ एकैकी (injection) है:
मान लीजिए $x_1, x_2 \in A$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$.
तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जिसका अर्थ है $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$.
चूंकि $g \circ f$ एक बाइजेक्शन है,यह एकैकी है,इसलिए $x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एक एकैकी फलन है।
अब,हम सिद्ध करते हैं कि $g$ आच्छादक (surjection) है:
मान लीजिए $z \in C$. चूंकि $g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है,यह आच्छादक है।
इसलिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$.
इसका अर्थ है $g(f(x)) = z$.
चूंकि $f(x) \in B$,मान लीजिए $y = f(x)$. तो किसी $y \in B$ के लिए $g(y) = z$.
अतः,$g$ एक आच्छादक फलन है।
इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है।

(C) माना $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n$ है।
दिया गया फलन समीकरण $f(x) \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ है।
यह समीकरण $f(x) = 1 \pm x^n$ द्वारा संतुष्ट होता है।
दिया गया है कि $f(4) = 257$,इसलिए $1 \pm 4^n = 257$ है।
इसका अर्थ है कि $4^n = 256$,अतः $n = 4$ है।
इस प्रकार,$f(x) = 1 + x^4$ है।
अंत में,$f(3) = 1 + 3^4 = 1 + 81 = 82$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$,जहाँ $a = f^{\prime}(1)$,$b = f^{\prime \prime}(2)$,और $c = -f^{\prime \prime \prime}(3)$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2ax + b$,$f^{\prime \prime}(x) = 6x + 2a$,$f^{\prime \prime \prime}(x) = 6$.
अब,स्थिरांकों के लिए हल करें:
$f^{\prime \prime \prime}(3) = 6$,इसलिए $c = -6$.
$f^{\prime \prime}(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a$. चूँकि $b = f^{\prime \prime}(2)$,इसलिए $b = 12 + 2a$.
$f^{\prime}(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b$. चूँकि $a = f^{\prime}(1)$,इसलिए $a = 3 + 2a + b$.
$b = 12 + 2a$ को $a$ के समीकरण में रखने पर: $a = 3 + 2a + (12 + 2a) \Rightarrow a = 15 + 4a \Rightarrow -3a = 15 \Rightarrow a = -5$.
अतः $b = 12 + 2(-5) = 2$.
इस प्रकार,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 6$.
$x=0$ पर,$y = f(0) = -6$. बिंदु $(0, -6)$ है।
ढाल $m = f^{\prime}(0) = 3(0)^2 - 10(0) + 2 = 2$.
$(0, -6)$ पर स्पर्शरेखा $y - (-6) = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x - 6$. $X$-अंतःखंड $3$ है।
$(0, -6)$ पर अभिलंब $y - (-6) = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - 6$. $X$-अंतःखंड $-12$ है।
त्रिभुज बिंदुओं $(0, -6)$,$(3, 0)$,और $(-12, 0)$ द्वारा बनता है।
आधार की लंबाई $= 3 - (-12) = 15$. ऊँचाई $= |-6| = 6$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 15 \times 6 = 45$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए,यह कॉची का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि $f(x) = cx$ किसी स्थिरांक $c$ के लिए।
चूंकि $f(1) = 7$,हमें $c(1) = 7$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 7$।
अतः,$f(x) = 7x$।
अब,हमें $\sum_{r=1}^{n} f(r) = 14112$ दिया गया है।
$f(r) = 7r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=1}^{n} 7r = 14112$ प्राप्त होता है।
$7 \sum_{r=1}^{n} r = 14112$।
$7 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 14112$।
$\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{14112}{7} = 2016$।
$n(n + 1) = 4032$।
चूंकि $63 \times 64 = 4032$,इसलिए $n = 63$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(\frac{\pi}{4}) = k$ है,इसलिए हम सीमा (limit) का मान ज्ञात करते हैं:
$k = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4 x}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है। अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करने पर:
$k = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sqrt{2} \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi-4 x)}$
$k = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \cos x}{-4}$
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$k = \frac{-\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4})}{-4} = \frac{-\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.

(C) असांतत्य के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम संक्रमण बिंदुओं $x = 0, 1, 2, 3$ पर सीमाओं की जाँच करते हैं।
$x = 0$ पर: $f(0) = 3-2(0)^2 = 3$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 3$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2(0)+3 = 3$. फलन सतत है।
$x = 1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1)+3 = 5$. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2(1)^2-3(1) = -1$. चूँकि $5 \neq -1$,इसलिए $x = 1$ असांतत्य का बिंदु है।
$x = 2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2)^2-3(2) = 8-6 = 2$. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2)-3 = 1$. चूँकि $2 \neq 1$,इसलिए $x = 2$ असांतत्य का बिंदु है।
$x = 3$ पर: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2(3)-3 = 3$. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = |3| = 3$. फलन सतत है।
अतः,असांतत्य के बिंदु $a = 2$ और $b = 1$ हैं ($a > b$ दिया गया है)।
इसलिए,$3a - b = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} [x], & \text{यदि } x < 2 \\ [x]-1, & \text{यदि } x \geq 2 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$f(2) = [2] - 1 = 2 - 1 = 1$.
$x = 2$ पर बायाँ सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{h \to 0} [2-h] = 1$.
$x = 2$ पर दायाँ सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{h \to 0} ([2+h] - 1) = 2 - 1 = 1$.
चूँकि $LHL = RHL = f(2)$,इसलिए फलन $x = 2$ पर सतत है।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$f(x) = [x]$। महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ किसी भी अंतराल $[n, n+1)$ पर सतत होता है जहाँ $n \in \mathbb{Z}$। अतः,$f(x)$ अंतराल $[1, 2)$ पर सतत है।
$x \in [2, 3)$ के लिए,$f(x) = [x] - 1$। इसी प्रकार,यह $[2, 3)$ पर सतत है।
चूँकि फलन $x = 2$ पर भी सतत है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[1, 3)$ में सतत है।

(C) चूंकि $f(x)$ $R$ पर सतत है,इसलिए इसे $x=0$ और $x=2$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\cos(0) = 3(0) + \alpha \implies 1 = \alpha$.
$x=2$ पर,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$.
$3(2) + \alpha = \beta(2) + 3$.
$\alpha = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $6 + 1 = 2\beta + 3 \implies 7 = 2\beta + 3 \implies 2\beta = 4 \implies \beta = 2$.
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = (1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(B) $f(x)$ को $x=0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = a$।
अब,सीमा की गणना करें: $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{4}{x}}$।
यह $1^{\infty}$ के रूप में है,जिसे $\lim_{x \to 0} (1+f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to 0} f(x)g(x)}$ सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
यहाँ,$f(x) = 3x$ और $g(x) = \frac{4}{x}$ है।
अतः,$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{4}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} (3x \cdot \frac{4}{x})} = e^{\lim_{x \to 0} 12} = e^{12}$।
चूंकि फलन संतत है,इसलिए $a = e^{12}$ होगा।
अतः,$\log a = \log(e^{12}) = 12 \log e = 12$ (प्राकृतिक लघुगणक मानते हुए)।

(A) दिया गया है: $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(a + 1)x + \sin x}{x}, & x < 0 \\ b, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x + x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}}, & x > 0 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ $R$ पर सतत है,इसलिए यह $x = 0$ पर भी सतत होगा।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = b$.
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ के लिए:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(a + 1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(a + 1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a + 1) + 1 = a + 2$.
अतः,$a + 2 = b$ . . . $(i)$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ के लिए:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x + x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1 + x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$.
संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1)}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 + x - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$b = \frac{1}{2}$.
समीकरण $(i)$ में $b$ का मान रखने पर: $a + 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$.
अंत में,$a + b = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है।
$x=4$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(4+0)=f(4) \cdot f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(4)=f(4) \cdot f(0)$। चूंकि $f(x)$ अवकलनीय है,$f(x)$ शून्य नहीं है,इसलिए $f(0)=1$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$।
$f(x+h)=f(x) \cdot f(h)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0)=1$,यह $f^{\prime}(x) = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(x) \cdot f^{\prime}(0)$ बन जाता है।
दिया गया है कि $f^{\prime}(4)=24$ और $f^{\prime}(0)=3$,इसलिए $f^{\prime}(4) = f(4) \cdot f^{\prime}(0)$ में मान रखने पर:
$24 = f(4) \cdot 3$।
अतः,$f(4) = \frac{24}{3} = 8$।