यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है,तो sum_{r=1}^n r | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n(1+x)

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$n(n+1)$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n(1+x)^{n-1} = C_1 + 2C_2 x + 3C_3 x^2 + \ldots + nC_n x^{n-1}$। दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर: $nx(1+x)^{n-1} = C_1 x + 2C_2 x^2 + 3C_3 x^3 + \ldots + nC_n x^n$। पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n[(1+x)^{n-1} + x(n-1)(1+x)^{n-2}] = C_1 + 2^2 C_2 x + 3^2 C_3 x^2 + \ldots + n^2 C_n x^{n-1}$। $x=1$ रखने पर: $\sum_{r=1}^n r^2 C_r = n[2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}] = n[2 \cdot 2^{n-2} + (n-1)2^{n-2}] = n(n+1)2^{n-2}$। अतः,लुप्त पद $n(n+1)$ है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $\sum_{r=1}^n r^2 \cdot C_r = (\ldots \ldots \ldots) 2^{n-2}$

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