समतलों $x-y=0, 2x+y+z=0$ और $2x-z=0, x+y-3z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का कोण है ($^{\circ}$ में)

मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा $l$,रेखाओं $l_{1}: \overrightarrow{r}=(3+t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(4+2t)\hat{k}$ और $l_{2}: \overrightarrow{r}=(3+2s)\hat{i}+(3+2s)\hat{j}+(2+s)\hat{k}$ के लंबवत है। यदि $l$ और $l_{1}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर $l_{2}$ पर स्थित प्रथम अष्टांश (first octant) में बिंदु के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं,तो $18(a+b+c)$ का मान ........ है।

एक सीधी रेखा $\vec{r} = (1 + t)\hat{i} + 3t\hat{j} + (1 - t)\hat{k}$ द्वारा दी गई है जहाँ $t \in R$ है। यदि यह रेखा समतल $x + y + cz = d$ में स्थित है,तो $(c + d)$ का मान है

समतलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y + 4z = 5$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $x - y + z = 0$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(2,1,5)$ अंतरिक्ष में एक बिंदु है और $Q$ रेखा $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})+\mu(-3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k})$ पर एक बिंदु है। तो $\mu$ का वह मान जिसके लिए सदिश $\vec{PQ}$ समतल $3x-y+4z=1$ के समांतर है,क्या होगा?

$(1, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ सदिश के समानांतर रेखा,रेखा $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ को $A$ पर और समतल $2 x - y + 2 z + 7 = 0$ को $B$ पर मिलती है। तो $AB = $