AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,एक त्रिभुज को उसकी तीन भुजाओं द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दिया गया है कि भुजा की लंबाई $a = 2$ और उसका सम्मुख कोण $A = \frac{\pi}{3}$ है।
ज्या नियम (sine law) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त त्रिज्या है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{\sin(\frac{\pi}{3})} = 2R$
$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
$\frac{4}{\sqrt{3}} = 2R$
$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$
अतः,त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(C) दिया है: त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई $a = 15$,$b = 20$,और $c = 25$ इकाई है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ है।
चूंकि $a^2 + b^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = 25$ इकाई है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ इकाई।

(D) अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21 \text{ cm}$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84 \text{ cm}^2$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8} \text{ cm}$।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
दिया गया है कि $\angle C = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
इसका अर्थ है $ab = a^2+b^2-c^2$,या $a^2+b^2 = ab+c^2$ है।
अब,दिए गए व्यंजक में $a^2+b^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{c(a+b)+(a^2+b^2)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ca+cb+ab+c^2}{bc+ab+c^2+ac}$ प्राप्त होता है।
चूँकि अंश और हर समान हैं,इसलिए इसका मान $1$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $\Sigma(q+r) \cos P = (q+r) \cos P + (r+p) \cos Q + (p+q) \cos R$.
इसका विस्तार करने पर:
$(q \cos P + r \cos P) + (r \cos Q + p \cos Q) + (p \cos R + q \cos R)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(q \cos P + p \cos Q) + (r \cos P + p \cos R) + (r \cos Q + q \cos R)$
प्रोजेक्शन लॉ (प्रक्षेप नियम) के अनुसार,हम जानते हैं कि $r = q \cos P + p \cos Q$,$q = r \cos P + p \cos R$,और $p = r \cos Q + q \cos R$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$r + q + p = p + q + r$
चूंकि अर्ध-परिमाप $s = \frac{p+q+r}{2}$ है,इसलिए $p+q+r = 2s$ होगा।
अतः,$\Sigma(q+r) \cos P = 2s$.

(A) $\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
दिया है $\angle C = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
इसका अर्थ है $ab = a^2+b^2-c^2$,या $c^2 = a^2+b^2-ab$.
अब,व्यंजक $E = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} = \frac{a(c+a) + b(b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ac+a^2+b^2+bc}{bc+ab+c^2+ac}$.
अंश में $a^2+b^2 = c^2+ab$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{ac + (c^2+ab) + bc}{bc+ab+c^2+ac} = \frac{ac+c^2+ab+bc}{ac+ab+c^2+bc} = 1$.

(A) त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $(r)$ का सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिया है,परिमाप $P = 36 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}$.
दिया है,अंतःत्रिज्या $r = 8 \text{ cm}$.
अतः,क्षेत्रफल $\Delta = r \times s = 8 \times 18 = 144 \text{ cm}^2$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6$,$b = 5$ और $c = 9$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ प्राप्त होता है।
$\Delta = \sqrt{10(10-6)(10-5)(10-9)} = \sqrt{10 \times 4 \times 5 \times 1} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$r = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2}$।

(A) $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle B = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 60^{\circ}) = 45^{\circ}$।
चूंकि $\triangle BAD$ और $\triangle BCD$ का शीर्ष $B$ से आधार $AC$ पर लंब समान है,इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात के बराबर है: $\frac{\text{Area}(\triangle BAD)}{\text{Area}(\triangle BCD)} = \frac{AD}{CD} = \sqrt{3}$।
माना $\angle ABD = \alpha$,तो $\angle DBC = 45^{\circ} - \alpha$।
$\triangle BAD$ और $\triangle BCD$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{AD}{\sin \alpha} = \frac{BD}{\sin 75^{\circ}}$ और $\frac{CD}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \frac{BD}{\sin 60^{\circ}}$।
इन समीकरणों को विभाजित करने पर $\frac{AD}{CD} = \frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$।
इस समीकरण को हल करने पर $\cot \alpha = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 30^{\circ}$।

(C) $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजा $BC$ परिवृत्त का व्यास है।
व्यास के अंतिम बिंदु $B(2, -4)$ और $C(1, 5)$ दिए गए हैं,इसलिए वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 2)(x - 1) + (y - (-4))(y - 5) = 0$
$(x^2 - x - 2x + 2) + (y^2 - 5y + 4y - 20) = 0$
$x^2 + y^2 - 3x - y - 18 = 0$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया है $A = 30^{\circ} + C$ और $R = (\sqrt{3} + 1)r$।
हम जानते हैं कि $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$।
$r = \frac{R}{\sqrt{3} + 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$,अतः $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{8}$।
$A + B + C = 180^{\circ}$ का उपयोग करते हुए,$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 2C) = 150^{\circ} - 2C$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखकर कोणों को हल करने पर,हमें $\angle A = 75^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तीनों कोण न्यूनकोण हैं,इसलिए $ABC$ एक न्यूनकोण त्रिभुज है।

(C) मान लीजिए कि भुजाएँ $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या $r_1, r_2, r_3$ $H$.$P$. में हैं,हम जाँचते हैं कि क्या $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ $A$.$P$. में हैं।
$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$ है।
चूँकि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,$s-a, s-b, s-c$ भी $A$.$P$. में हैं क्योंकि $s-a + s-c = 2s - (a+c) = 2s - 2b = 2(s-b)$ है।
अतः,$\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ $A$.$P$. में हैं,जिसका अर्थ है कि $r_1, r_2, r_3$ $H$.$P$. में हैं।

(A) तीन वास्तविक संख्याओं $a, b, c$ के साथ बना एक समुच्चय जिसमें अवयवों का क्रम निश्चित या पूर्व-निर्धारित होता है,उसे क्रमित त्रिक (ordered triad) कहा जाता है,जिसे $(a, b, c)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) समीकरणों की प्रणाली के सुसंगत होने के लिए,तीनों रेखाओं को एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए या संगामी होना चाहिए।
सबसे पहले,पहले दो समीकरणों को हल करें:
$2x + y = 5$ $(1)$
$x - 2y = -1$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$4x + 2y = 10$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5x = 9 \implies x = \frac{9}{5}$
$x$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$2(\frac{9}{5}) + y = 5 \implies y = 5 - \frac{18}{5} = \frac{7}{5}$
चूंकि प्रणाली सुसंगत है,बिंदु $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ को तीसरे समीकरण $2x - 14y - a = 0$ को संतुष्ट करना चाहिए:
$2(\frac{9}{5}) - 14(\frac{7}{5}) - a = 0$
$\frac{18}{5} - \frac{98}{5} = a$
$a = -\frac{80}{5} = -16$

(C) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (inverse hyperbolic tangent) और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय स्पर्शज्या (inverse trigonometric tangent) फलन के बीच संबंध है: $\tanh^{-1}(z) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(iz)$।
$\tanh^{-1}(iy)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $z = iy$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(i(iy))$
चूंकि $i^2 = -1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(-y)$
गुणधर्म $\tan^{-1}(-y) = -\tan^{-1}(y)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} (-\tan^{-1}(y)) = -\frac{1}{i} \tan^{-1}(y)$
चूंकि $\frac{1}{i} = -i$,इसलिए $-\frac{1}{i} = i$ होता है।
अतः,$\tanh^{-1}(iy) = i \tan^{-1}(y)$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \sin x - \cos x$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = -\sin x - \cos x$
$f(-x) = -(\sin x + \cos x)$
चूंकि $f(-x) \neq f(x)$ और $f(-x) \neq -f(x)$,इसलिए यह फलन न तो सम है और न ही विषम है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) एक फलन $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$ आवर्ती होता है यदि $f_1(x)$ और $f_2(x)$ दोनों आवर्ती हों और उनके आवर्तकालों का अनुपात एक परिमेय संख्या हो।
यहाँ,$f_1(x) = \cos(ax)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{|a|}$ है और $f_2(x) = \sin(x)$ का आवर्तकाल $T_2 = 2\pi$ है।
$f(x)$ के आवर्ती होने के लिए,अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/|a|}{2\pi} = \frac{1}{|a|}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
यदि $\frac{1}{|a|}$ एक परिमेय संख्या है,तो $|a|$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,$a$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) एक उचित भिन्न को एक परिमेय व्यंजक $\frac{f(x)}{g(x)}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ अंश $f(x)$ की घात हर $g(x)$ की घात से कम होती है।
इस भिन्न को आंशिक भिन्नों में वियोजित करने के लिए,हमें हर $g(x)$ का रैखिक या अपरिमेय द्विघात गुणनखंडों में गुणनखंडन करना होता है।
आंशिक भिन्न वियोजन का रूप पूरी तरह से $g(x)$ के गुणनखंडों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
इसलिए,यह अपचयन केवल $g(x)$ के गुणनखंडन पर निर्भर करता है।

(D) दिया गया है,$R=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1}$ और $f=R-[R]=\{R\}$.
यदि $I$,$R$ का पूर्णांक भाग है,तो $R=I+f=(5 \sqrt{5}+11)^{2 n+1} \dots (i)$,जहाँ $0 < f < 1$.
$f_1=(5 \sqrt{5}-11)^{2 n+1}$ लें। चूँकि $5 \sqrt{5} = \sqrt{125} \approx 11.18$,इसलिए $0 < 5 \sqrt{5}-11 < 1$,अतः $0 < f_1 < 1$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $R$ और $f_1$ का विस्तार करने पर:
$R = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (11)^k$
$f_1 = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (-11)^k$
$R$ और $f_1$ को जोड़ने पर:
$R+f_1 = 2 \sum_{k \text{ even}} \binom{2n+1}{k} (5 \sqrt{5})^{2n+1-k} (11)^k = \text{सम पूर्णांक } (2K)$.
चूँकि $R = I+f$,हमारे पास $I+f+f_1 = 2K$ है,जिसका अर्थ है $f+f_1 = 2K-I = \text{पूर्णांक}$.
चूँकि $0 < f < 1$ और $0 < f_1 < 1$,इसलिए $0 < f+f_1 < 2$,अतः $f+f_1=1$,जिसका अर्थ है $f_1 = 1-f$.
यहाँ $(5 \sqrt{5})^2 - 11^2 = 125 - 121 = 4$.
अतः $R \cdot f_1 = (125-121)^{2n+1} = 4^{2n+1}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $4^{2n+1}$ है।

(D) माना $x = (2+\sqrt{3})^5$ और $y = (2-\sqrt{3})^5$ है। चूँकि $0 < 2-\sqrt{3} < 1$,इसलिए $0 < y < 1$ है।
व्यंजक $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ पर विचार करें।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर,अपरिमेय पद कट जाते हैं और $S$ एक सम पूर्णांक प्राप्त होता है।
$S = 2 \times [^5C_0 \cdot 2^5 + ^5C_2 \cdot 2^3 \cdot 3 + ^5C_4 \cdot 2^1 \cdot 3^2] = 2 \times [32 + 80 \times 3 + 10 \times 18] = 2 \times [32 + 240 + 180] = 2 \times 452 = 904$.
चूँकि $S = x + y = 904$ और $0 < y < 1$ है,इसलिए $x = 904 - y$ प्राप्त होता है।
अतः,$[x] = 904 - 1 = 903$ है।
अब,$903$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$903 = 3 \times 301 = 3 \times 7 \times 43$ है।
$903 = 3^1 \times 7^1 \times 43^1$ के धनात्मक पूर्णांक भाजकों की संख्या $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$ है।

(C) दिया गया समीकरण $3^{x^2-x} = 25 - 4^{x^2-x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 25$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $25 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2$ होता है।
अतः,समीकरण $4^{x^2-x} + 3^{x^2-x} = 4^2 + 3^2$ बन जाता है।
घातों की तुलना करने पर,हमें $x^2 - x = 2$ प्राप्त होता है।
यह द्विघात समीकरण $x^2 - x - 2 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हल $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि बहुपद $f(x) = x^2-6x+12$,$\mathbb{Q}$ पर खंडनीय है या नहीं,हम द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करके इसके मूल ज्ञात करते हैं।
यहाँ,$a=1, b=-6, c=12$ है।
विविक्तकर (discriminant) $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12$ है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं: $x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} = 3 \pm i\sqrt{3}$।
चूंकि मूल $\mathbb{Q}$ में नहीं हैं,इसलिए बहुपद को $\mathbb{Q}$ पर रैखिक कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह $\mathbb{Q}$ पर अखंडनीय है।

(A) रेखा का समीकरण $ax + (3 - a)y + 7 = 0$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि रेखा $Ax + By + C = 0$ की ढाल $m = -\frac{A}{B}$ होती है।
यहाँ,$A = a$ और $B = (3 - a)$ है।
ढाल $m = 7$ दी गई है,इसलिए:
$-\frac{a}{3 - a} = 7$
$\frac{a}{a - 3} = 7$
$a = 7(a - 3)$
$a = 7a - 21$
$6a = 21$
$a = \frac{21}{6} = 3.5$।
'$a$' का पूर्णांक भाग,जिसे $[a]$ के रूप में दर्शाया जाता है,$a$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है।
$[3.5] = 3$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया वक्र $x=3 \cos \theta$ और $y=2 \sin \theta$ है।
यह एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ को दर्शाता है।
एक स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के लंबवत तब होती है जब स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित हो,जो तब होता है जब $\frac{dx}{d\theta} = 0$ और $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$ हो।
अवकलन करने पर: $\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta$।
$\frac{dx}{d\theta} = 0$ रखने पर,$-3 \sin \theta = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$ या $\theta = \pi$।
$\theta = 0$ के लिए,$x = 3 \cos(0) = 3$ और $y = 2 \sin(0) = 0$।
$\theta = \pi$ के लिए,$x = 3 \cos(\pi) = -3$ और $y = 2 \sin(\pi) = 0$।
अतः,बिंदु $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(3, 0)$ सही बिंदु है।

(B) दिया गया है,$x=35 \sec \theta$ और $y=35 \tan \theta$।
बिंदु $P = (35 \sec \theta, 35 \tan \theta)$।
$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 35 \sec \theta \tan \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 35 \sec^2 \theta$
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{35 \sec^2 \theta}{35 \sec \theta \tan \theta} = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$।
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है:
$y - 35 \tan \theta = \frac{1}{\sin \theta} (x - 35 \sec \theta)$
$y \sin \theta - 35 \tan \theta \sin \theta = x - 35 \sec \theta$
$y \sin \theta - 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = x - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(\sin^2 \theta - 1)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(-\cos^2 \theta)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x - 35 \cos \theta$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$,$f=0$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 0)$ है।
वृत्त का कोई भी अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
अभिलंब रेखा $x+2y-3=0$ के समांतर है।
रेखा $x+2y-3=0$ की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि अभिलंब इस रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल भी $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(1, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)$।
$2y = -x + 1$,जिसे सरल करने पर $x + 2y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sqrt[3]{x^2+64}-\sqrt[3]{x^2+27}$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $4(1+\frac{x^2}{64})^{1/3} - 3(1+\frac{x^2}{27})^{1/3}$
द्विपद प्रसार $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करते हुए:
$= 4[1 + \frac{1}{3}(\frac{x^2}{64})] - 3[1 + \frac{1}{3}(\frac{x^2}{27})] + \dots$
$= 4[1 + \frac{x^2}{192}] - 3[1 + \frac{x^2}{81}] + \dots$
$= 4 + \frac{4x^2}{192} - 3 - \frac{3x^2}{81} + \dots$
$= 1 + \frac{x^2}{48} - \frac{x^2}{27} + \dots$
$= 1 + x^2(\frac{9-16}{432}) = 1 - \frac{7}{432}x^2$
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
हमें $\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$.
विएटा के सूत्रों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = 12y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ हैं,जो $(6, 3)$ और $(-6, 3)$ हैं।
त्रिभुज $(0, 0)$,$(6, 3)$ और $(-6, 3)$ शीर्षों द्वारा बनता है।
त्रिभुज का आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 12$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई शीर्ष से नाभिलंब तक की दूरी है,जो $a = 3$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ वर्ग इकाई है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,मान लीजिए भुजाएँ $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 5$ हैं और तीसरी भुजा $p$ है।
स्थिति $1$: यदि $p$ कर्ण है,तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$p^2 = a^2 + b^2$.
$p^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 5^2 = 8 + 25 = 33$.
अतः,$p = \sqrt{33}$.
स्थिति $2$: यदि $5$ कर्ण है,तो $p^2 + a^2 = 5^2$.
$p^2 + 8 = 25 \Rightarrow p^2 = 17$.
अतः,$p = \sqrt{17}$.
चूंकि $\sqrt{17}$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए विकल्प $(c)$ सही है।

(A) बिंदुओं $u(1, -2)$ और $v(-3, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है: $\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-2)}{5 - (-2)} \Rightarrow \frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 2}{7} \Rightarrow 7x - 7 = -4y - 8 \Rightarrow 7x + 4y + 1 = 0$।
बिंदु $P(-\frac{1}{7}, 0)$ के लिए: $7(-\frac{1}{7}) + 4(0) + 1 = -1 + 0 + 1 = 0$। अतः,$P$ रेखा पर स्थित है।
बिंदु $Q(0, -\frac{1}{4})$ के लिए: $7(0) + 4(-\frac{1}{4}) + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$। अतः,$Q$ रेखा पर स्थित है।
बिंदु $R(-2, 3)$ के लिए: $7(-2) + 4(3) + 1 = -14 + 12 + 1 = -1 \neq 0$। अतः,$R$ रेखा पर स्थित नहीं है।
इसलिए,केवल बिंदु $P$ और $Q$ रेखा पर स्थित हैं।

(B) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$,और $C(3, -4, -4)$ हैं।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3 - (-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4 - (-3))^2 + (-4 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$CA = \sqrt{(2-3)^2 + (-1 - (-4))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
अब,पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करते हैं:
$BC^2 + CA^2 = 6 + 35 = 41 = AB^2$.
चूँकि $AB^2 = BC^2 + CA^2$,इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(C) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार दिया जाता है:
$x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$,$z = \frac{z_1+z_2+z_3}{3}$
चूंकि मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ केंद्रक है,इसलिए:
$0 = \frac{2a - 4 + 8}{3} \Rightarrow 2a + 4 = 0 \Rightarrow a = -2$
$0 = \frac{2 + 3b + 14}{3} \Rightarrow 3b + 16 = 0 \Rightarrow b = -\frac{16}{3}$
$0 = \frac{6 - 10 + 2c}{3} \Rightarrow 2c - 4 = 0 \Rightarrow c = 2$
अतः,$a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(5, -4, 5)$,$B(-3, -3, 2)$ और $C(-1, -6, 8)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(-3-5)^2 + (-3-(-4))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
$BC = \sqrt{(-1-(-3))^2 + (-6-(-3))^2 + (8-2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$CA = \sqrt{(5-(-1))^2 + (-4-(-6))^2 + (5-8)^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
चूंकि $BC = CA = 7$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
अतः,ये बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(D) माना $A = (3, -2, 2)$ और $B = (6, -17, -4)$ हैं। माना $P = (2, 3, 4)$ रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left(\frac{6m + 3n}{m+n}, \frac{-17m - 2n}{m+n}, \frac{-4m + 2n}{m+n}\right) = (2, 3, 4)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{6m + 3n}{m+n} = 2 \implies 6m + 3n = 2m + 2n \implies 4m = -n \implies \frac{m}{n} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$P$,$AB$ को $1:4$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$P$ का $A$ और $B$ के सापेक्ष हार्मोनिक संयुग्मी,रेखाखंड $AB$ को $1:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करेगा।
अंतः विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$Q = \left(\frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $R$,रेखाखंड $PQ$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए ($x$-निर्देशांक के लिए):
$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$-5 = \frac{\lambda(-9) + 1(-3)}{\lambda + 1}$
$-5(\lambda + 1) = -9\lambda - 3$
$-5\lambda - 5 = -9\lambda - 3$
$-5\lambda + 9\lambda = 5 - 3$
$4\lambda = 2$
$\lambda = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $\lambda : 1$ का मान $\frac{1}{2} : 1$ है,जो $1 : 2$ के बराबर है।

(A) गेंदों की कुल संख्या = $3 + 5 + 8 = 16$।
नीली गेंदों की संख्या = $5$।
नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता,$P(B) = \frac{5}{16}$।
नीली गेंद न प्राप्त करने की प्रायिकता,$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P(A) = 0.9$ और $P(B) = 0.8$,इसलिए $P(A \cup B) = 1.7 - P(A \cap B)$।
चूंकि $P(A \cap B) \geq 0.7$,इसलिए $P(A \cup B) \leq 1.7 - 0.7 = 1.0$।
किसी भी प्रायिकता के लिए $P(A \cup B) \leq 1$ होना आवश्यक है,इसलिए यह स्थिति हमेशा सत्य है।

(B) मशीनों की कुल संख्या $= 4 + 6 = 10$ है।
पहली चुनी गई मशीन के अच्छी होने की प्रायिकता $= \frac{6}{10}$ है।
चूंकि चयन बिना प्रतिस्थापन (without replacement) के किया जाता है,इसलिए शेष अच्छी मशीनों की संख्या $5$ है और शेष कुल मशीनों की संख्या $9$ है।
दूसरी मशीन के अच्छी होने की प्रायिकता $= \frac{5}{9}$ है।
दोनों मशीनों के अच्छी होने की प्रायिकता $= \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ है।

(C) माना $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1000$ है।
माना $A$,$S$ में पूर्ण घन संख्याओं का समुच्चय है। चूँकि $10^3 = 1000$,$A = \{1^3, 2^3, \ldots, 10^3\}$,इसलिए $n(A) = 10$ है।
माना $B$,विषम संख्या में भाजक रखने वाली प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। एक संख्या के भाजकों की संख्या विषम तभी होती है जब वह एक पूर्ण वर्ग हो। $1000$ तक की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $31^2 = 961$ है। अतः,$B = \{1^2, 2^2, \ldots, 31^2\}$,इसलिए $n(B) = 31$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे संख्याएँ हैं जो पूर्ण घन और पूर्ण वर्ग दोनों हैं,अर्थात पूर्ण छठी घात। ये संख्याएँ $1^6 = 1$,$2^6 = 64$,और $3^6 = 729$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 3$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 10 + 31 - 3 = 38$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ है।

(D) $64$ वर्गों में से $3$ वर्ग चुनने के कुल तरीके $^{64}C_3$ हैं।
एक रंग के $2$ वर्ग और दूसरे रंग का $1$ वर्ग चुनने के कुल तरीके $(2 \text{ सफेद, } 1 \text{ काला})$ या $(1 \text{ सफेद, } 2 \text{ काला})$ हैं।
यह $^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1 + ^{32}C_1 \cdot ^{32}C_2 = 2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1$ के बराबर है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2 \cdot ^{32}C_2 \cdot ^{32}C_1}{^{64}C_3} = \frac{2 \cdot \frac{32 \times 31}{2} \times 32}{\frac{64 \times 63 \times 62}{6}} = \frac{16}{21}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) तीन निष्पक्ष पासे फेंकने पर अलग-अलग फलक आने के कुल परिणामों की संख्या $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
तीन अलग-अलग फलकों का योग $8$ होने के लिए संयोजन $(1, 2, 5)$ और $(1, 3, 4)$ हैं।
ऐसे $2$ संयोजन हैं।
प्रत्येक संयोजन को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $2 \times 6 = 12$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{12}{120} = \frac{1}{10}$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) एक साधारण वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365 = 52 \times 7 + 1$.
इसका अर्थ है कि एक साधारण वर्ष में $52$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है।
इस अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S = \{\text{सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार, रविवार}\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 7$ है।
वर्ष में $53$ सोमवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का सोमवार होना आवश्यक है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{7}$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) कुल पेन की संख्या $= 10$.
लाल पेन की संख्या $= 4$.
नीले पेन की संख्या $= 6$.
$10$ में से $3$ पेन चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
$6$ में से $3$ नीले पेन चुनने के तरीके ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{{}^{6}C_3}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) कुल गेंदों की संख्या = $5 + x$ है।
$(5 + x)$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{5+x}C_2 = \frac{(5+x)(4+x)}{2}$ हैं।
$5$ नीली गेंदों में से $2$ नीली गेंदें चुनने के तरीके = $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ हैं।
$2$ नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P = \frac{^5C_2}{^{5+x}C_2} = \frac{20}{(5+x)(4+x)}$ है।
दिया गया है $P = \frac{5}{14}$,इसलिए $\frac{20}{(5+x)(4+x)} = \frac{5}{14}$ है।
$\Rightarrow (5+x)(4+x) = 56$ है।
$\Rightarrow x^2 + 9x - 36 = 0$ है।
$\Rightarrow (x+12)(x-3) = 0$ है।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 3$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $6$ आता है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो वह घटना है कि किसी भी पासे पर $6$ नहीं आता है।
यदि किसी भी पासे पर $6$ नहीं आता है,तो प्रत्येक पासा $1$ से $5$ तक की कोई भी संख्या दिखा सकता है।
अतः,$E'$ के लिए परिणामों की संख्या $5 \times 5 = 25$ है।
$E'$ की प्रायिकता $P(E') = \frac{25}{36}$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ है।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग प्रमेय इस प्रकार है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण से करने पर:
$P(A \cup B) = a P(A \cap B) + b P(A) + c P(B)$
हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = -1, b = 1, c = 1$
अब,इन मानों को $3a + 2b + 5c$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-1) + 2(1) + 5(1) = -3 + 2 + 5 = 4$
अतः,मान $4$ है।

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ परीक्षा में अनुत्तीर्ण होता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ परीक्षा में अनुत्तीर्ण होता है।
हमें $P(A) = 0.2$ और $P(B) = 0.3$ दिया गया है।
$A$ या $B$ में से किसी के भी अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता दोनों घटनाओं का संघ $P(A \cup B)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cap B) \geq 0$ है,इसलिए $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) \leq 0.2 + 0.3$.
$P(A \cup B) \leq 0.5$.
अतः,$A$ या $B$ में से किसी के भी अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $\leq 0.5$ है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) दी गई जानकारी के अनुसार:
$P(A \text{ fails}) = 0.2$
$P(A \cap B \text{ fail}) = 0.15$
$A$ के अकेले विफल होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हमें $A$ की कुल विफलता में से $A$ और $B$ दोनों के विफल होने की प्रायिकता को घटाना होगा।
$P(A \text{ fails alone}) = P(A \text{ fails}) - P(A \cap B \text{ fail})$
$P(A \text{ fails alone}) = 0.2 - 0.15 = 0.05$
अतः, सही विकल्प $D$ है।