AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=64$ है,जिसे $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम चतुर्थांश में आयत के शीर्ष $P$ को $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$ मानिए।
आयत के चारों शीर्ष $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, -4\sin\theta)$ और $(8\cos\theta, -4\sin\theta)$ हैं।
आयत की भुजाओं की लंबाई $L = 2(8\cos\theta) = 16\cos\theta$ और $W = 2(4\sin\theta) = 8\sin\theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = L \times W = (16\cos\theta)(8\sin\theta) = 128\sin\theta\cos\theta = 64\sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin(2\theta) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2\theta = \frac{\pi}{2}$ या $\theta = \frac{\pi}{4}$।
भुजाओं के व्यंजकों में $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$L = 16\cos(\frac{\pi}{4}) = 16(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 8\sqrt{2}$।
$W = 8\sin(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}$।
अतः,भुजाओं की लंबाई $8\sqrt{2}$ और $4\sqrt{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + y^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $x = m^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $9(m^2)^2 + y^2 = 9$ प्राप्त होता है।
यह $9m^4 + y^2 = 9$ में सरल हो जाता है,जिससे $y^2 = 9 - 9m^4 = 9(1 - m^4)$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,$y^2 > 0$ होना चाहिए।
अतः,$9(1 - m^4) > 0$,जिसका अर्थ है $1 - m^4 > 0$ या $m^4 < 1$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,हमें $|m| < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 32$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,प्रमुख अक्ष $y$-अक्ष पर है।
$m = -\frac{4}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
मान रखने पर: $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(\frac{16}{9}) + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$।
यह $4x + 3y = \pm 24$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा $4x + 3y = 24$ के लिए:
$x$-अंतःखंड ($y=0$ रखने पर) $Q(6,0)$ है।
$y$-अंतःखंड ($x=0$ रखने पर) $P(0,8)$ है।
अतः,बिंदु $P(0,8)$ और $Q(6,0)$ हैं।

(C) रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
यहाँ,$a^2=4$,$b^2=1$,और $m=4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c^2 = 4(4)^2 + 1 = 4(16) + 1 = 64 + 1 = 65$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \pm \sqrt{65}$।
'$c$' के $2$ संभावित मान हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+16y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=1$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$ होता है।
मान रखने पर,$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(\sqrt{3})^2+1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(3)+1} = \sqrt{3}x \pm \sqrt{49} = \sqrt{3}x \pm 7$.
अतः,समीकरण $\sqrt{3}x-y+7=0$ या $\sqrt{3}x-y-7=0$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\sqrt{3}x-y+7=0$ सही विकल्प है।

(B) वक्र का दिया गया समीकरण $x^2+4y^2=4$ है। $4$ से विभाजित करने पर,हमें दीर्घवृत्त का मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$।
यहाँ,$a^2=4$ और $b^2=1$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है।
$y=2x+c$ की तुलना $y=mx+c$ से करने पर,हमें $m=2$ प्राप्त होता है।
मान $a^2=4$,$b^2=1$,और $m=2$ को शर्त में रखने पर:
$c^2 = (4)(2)^2 + 1$
$c^2 = 4(4) + 1$
$c^2 = 16 + 1 = 17$.

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1$ पर एक बिंदु $P(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ है। बिंदु $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 36$ है। बिंदु $(2 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ रखने पर,हमें मिलता है: $\frac{4x}{2 \cos \theta} - \frac{36y}{6 \sin \theta} = 4 - 36$। सरल करने पर,$2x \sec \theta - 6y \operatorname{cosec} \theta + 32 = 0$ प्राप्त होता है। इसे $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,$\frac{a}{2 \sec \theta} = \frac{b}{-6 \operatorname{cosec} \theta} = \frac{c}{32}$ मिलता है। इससे $\cos \theta = \frac{c}{16a}$ और $\sin \theta = -\frac{3c}{16b}$ प्राप्त होता है। $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{c^2}{256a^2} + \frac{9c^2}{256b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{a^2} + \frac{9}{b^2} = \frac{256}{c^2}$ में सरल हो जाता है।

(B) माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है।
माना $A$,$X$-अक्ष पर है और $B$,$Y$-अक्ष पर है।
माना $\theta$ वह कोण है जो रेखाखंड $AB$,$X$-अक्ष के साथ बनाता है।
आकृति की ज्यामिति से,$\triangle PMA$ में,हमारे पास $\sin \theta = \frac{k}{b}$ है,जिसका अर्थ है $k = b \sin \theta$।
$\triangle BNP$ में,हमारे पास $\cos \theta = \frac{h}{a}$ है,जिसका अर्थ है $h = a \cos \theta$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{k}{b})^2 + (\frac{h}{a})^2 = 1$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। $F_1$ से गुजरने वाले नाभिलंब के सिरे $A(-ae, b^2/a)$ और $A'(-ae, -b^2/a)$ हैं।
नाभिलंब द्वारा दूसरी नाभि $F_2$ पर बनाया गया कोण $60^{\circ}$ है।
नाभि $F_2$,नाभिलंब के मध्य बिंदु $B(-ae, 0)$ और एक सिरे $A(-ae, b^2/a)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$F_2$ पर कोण $30^{\circ}$ है।
$\triangle ABF_2$ में,$AB = \frac{b^2}{a}$ और $BF_2 = 2ae$ है।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BF_2} = \frac{b^2}{2a^2e}$ है।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b^2}{2a^2e}$ और $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{e^2 - 1}{2e}$ प्राप्त होता है।
इससे $2e = \sqrt{3}(e^2 - 1)$,या $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $e = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$।
चूँकि $e > 1$,इसलिए $e = \sqrt{3}$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण $(x-3)^2+(y+1)^2=(4x+3y)^2$ है।
इसे $\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} = 5 \left| \frac{4x+3y}{5} \right|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $SP = ePM$ के रूप में है,जहाँ $S(3, -1)$ नाभि है,$e = 5$ उत्केंद्रता है और $4x+3y=0$ नियता है।
अनुप्रस्थ अक्ष वह रेखा है जो नाभि $(3, -1)$ से गुजरती है और नियता $4x+3y=0$ के लंबवत है।
नियता की ढाल $m_1 = -4/3$ है।
चूँकि अनुप्रस्थ अक्ष नियता के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = 3/4$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण $y - (-1) = \frac{3}{4}(x - 3)$ है।
$4(y+1) = 3(x-3) \implies 4y+4 = 3x-9 \implies 3x-4y = 13$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $7x^2 - 49y^2 = 343$ है।
दोनों पक्षों को $343$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{7x^2}{343} - \frac{49y^2}{343} = \frac{343}{343}$
$\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{7} = 1$।
इसे अतिपरवलय के मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 49$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 7$।
अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm a, 0)$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,शीर्ष $(\pm 7, 0)$ हैं।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है,नाभि $(S) = (1, 2)$,उत्केंद्रता $(e) = \sqrt{3}$ और नियता $2x + y - 1 = 0$ है।
शांकव की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$,जहाँ $P(x, y)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है।
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3 \cdot \frac{(2x + y - 1)^2}{2^2 + 1^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = \frac{3}{5}(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y)$
$5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5) = 3(4x^2 + y^2 + 4xy - 4x - 2y + 1)$
$5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 12x^2 + 3y^2 + 12xy - 12x - 6y + 3$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$7x^2 - 2y^2 + 12xy - 2x + 14y - 22 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$2y^2 - 12xy - 7x^2 + 2x - 14y + 22 = 0$.

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए।
शीर्ष $A^{\prime}$ के निर्देशांक $(-a, 0)$ हैं।
नाभि $S$ $(ae, 0)$ है और नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L$ और $L^{\prime}$ $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
भुजा $LL^{\prime}$ की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है।
चूंकि $\triangle A^{\prime}LL^{\prime}$ समबाहु है,$A^{\prime}$ से $LL^{\prime}$ पर लंब की लंबाई $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा की लंबाई} = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$ है।
$A^{\prime}(-a, 0)$ से रेखा $x = ae$ की दूरी $a(e+1)$ है।
अतः,$a(e+1) = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$।
$b^2 = a^2(e^2-1)$ का उपयोग करने पर,$a(e+1) = \sqrt{3}a(e-1)(e+1)$ प्राप्त होता है।
$a(e+1)$ से विभाजित करने पर,$1 = \sqrt{3}(e-1)$ मिलता है,जिसका अर्थ है $e = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$।

(B) दिया गया वक्र $x=a \cosh(t)$ और $y=b \sinh(t)$ है,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ को दर्शाता है।
बिंदु $t$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{b \cosh(t)}{a \sinh(t)}$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $-\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)}$ होगी।
बिंदु $(a \cosh(t), b \sinh(t))$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - b \sinh(t) = -\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)} (x - a \cosh(t))$।
सरल करने पर:
$ax \operatorname{sech}(t) + by \operatorname{cosech}(t) = a^2+b^2$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है,जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ होता है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 2$ है।
इन मानों को नियामक वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 4 - 2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ पर स्थित है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) अतिपरवलय $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y-4=0$ के अनंतस्पर्शी का समीकरण $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+\lambda=0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है,इसलिए इसका सारणिक शून्य होना चाहिए:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
यहाँ $a=2, b=2, c=\lambda, h=\frac{5}{2}, g=-\frac{11}{2}, f=-\frac{7}{2}$ है।
मान रखने पर:
$4\lambda + \frac{385}{4} - \frac{49}{2} - \frac{121}{2} - \frac{25\lambda}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर:
$16\lambda + 385 - 98 - 242 - 25\lambda = 0$.
$-9\lambda + 45 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
अतः,समीकरण $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+5=0$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = x^n$ की सीमा जब $x, a$ की ओर अग्रसर होता है,तो वह $x = a$ पर फलन के मान के बराबर होती है।
चूंकि $f(x) = x^n, x > 0$ के लिए सतत है,इसलिए:
$\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$

(D) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{(n+1) !-n !}$
सबसे पहले,हर (denominator) में से $n!$ को कॉमन लेकर सरल करें:
$(n+1)! - n! = n!(n+1) - n!(1) = n!(n+1-1) = n!(n)$
अब,इस मान को वापस व्यंजक में रखें:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n!(n)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$
जैसे-जैसे $n \rightarrow \infty$,$\frac{1}{n}$ का मान $0$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,सीमा $0$ है।

(D) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^n - 3^n}{x - 3} = 108$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$a = 3$ है,इसलिए $n \cdot 3^{n-1} = 108$.
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$n \cdot 3^n = 108 \times 3 = 324$.
हम $324$ को $4 \times 81 = 4 \times 3^4$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n \cdot 3^n = 4 \times 3^4$ की तुलना करने पर,हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$n$ का मान $4$ है।

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7}-1}{x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप में है।
हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके एल-हॉस्पिटल नियम लागू कर सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}\left(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7}-1\right)}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\frac{5}{7}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7 - 1} \cdot \frac{d}{dx}\left(1+\frac{x}{2}\right)}{1}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{5}{7}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 7} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{5}{7} \cdot (1+0)^{-2 / 7} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{5}{14}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सीमा $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,$x = 2$ पर वाम हस्त सीमा $(LHL)$ और दक्षिण हस्त सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (4x - 5) = 4(2) - 5 = 3$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (x - k) = 2 - k$.
$LHL$ और $RHL$ को बराबर करने पर:
$3 = 2 - k$
$k = 2 - 3$
$k = -1$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{\sin x}$ दी गई है।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{a^x-1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$.
मानक सीमाओं $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log _e a$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\log _e a}{1} = \log _e a$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ है।
यह $0 \times \infty$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
हम सीमा को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\cot \left(\frac{\pi x}{2}\right)}$।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'Hospital नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(1-x)}{\frac{d}{dx}(\cot \left(\frac{\pi x}{2}\right))}$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-1}{-\csc^2 \left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}}$
$L = \frac{1}{\frac{\pi}{2} \csc^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)}$
चूंकि $\csc \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$L = \frac{1}{\frac{\pi}{2} \cdot 1^2} = \frac{2}{\pi}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{n-\sqrt{n^2-4 n}\right\}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम संयुग्मी व्यंजक से गुणा और भाग करते हैं:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-\sqrt{n^2-4 n})(n+\sqrt{n^2-4 n})}{n+\sqrt{n^2-4 n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2-(n^2-4 n)}{n+\sqrt{n^2-4 n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n}{n+\sqrt{n^2-4 n}}$
अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{n}}}$
जैसे $n \rightarrow \infty$,$\frac{4}{n} \rightarrow 0$,इसलिए व्यंजक हो जाता है:
$= \frac{4}{1+\sqrt{1-0}} = \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$.

(C) माना $x = \pi + h$. जैसे $x \rightarrow \pi$,$h \rightarrow 0$.
व्यंजक $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\sin (\frac{\pi+h}{2})}{\cos (\frac{\pi+h}{2}) (\cos (\frac{\pi+h}{4})-\sin (\frac{\pi+h}{4}))}$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$\sin (\frac{\pi}{2} + \frac{h}{2}) = \cos (\frac{h}{2})$ और $\cos (\frac{\pi}{2} + \frac{h}{2}) = -\sin (\frac{h}{2})$.
व्यंजक का सरलीकरण $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos (h/2)}{-\sin (h/2) (\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}) - \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}))}$ होता है।
चूंकि $\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}) - \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{h}{4}) = -\sqrt{2} \sin (h/4)$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 (h/4)}{-\sin (h/2) \cdot (-\sqrt{2} \sin (h/4))} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin (h/4)}{\sqrt{2} \sin (h/2)}$.
$\sin (h/2) = 2 \sin (h/4) \cos (h/4)$ का उपयोग करते हुए,हमें $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin (h/4)}{\sqrt{2} \cdot 2 \sin (h/4) \cos (h/4)} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2} \cos (h/4)} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x^m)}{(\sin x)^n}$ दी गई है जहाँ $n < m$ है।
अंश को $x^m$ से और हर को $x^n$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin (x^m)}{x^m} \cdot x^m \right) / \left( \frac{\sin x}{x} \cdot x \right)^n$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin (x^m)}{x^m} \right) \cdot \left( \frac{x}{\sin x} \right)^n \cdot x^{m-n}$
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x^m)}{x^m} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$L = 1 \cdot (1)^n \cdot \lim _{x \rightarrow 0} x^{m-n}$
चूँकि $n < m$,इसलिए $m - n > 0$ है।
अतः,$L = 0^{m-n} = 0$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) हम जानते हैं कि $x \rightarrow 0$ होने पर यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}$
$= 2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \right)^2$
$= 2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{2 \cdot \frac{x}{2}} \right)^2$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \right)^2$
चूंकि $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (1)^2 = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{p}{x}\right)^{q x}=e^9$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{p}{x}\right)^{q x} = \left[ \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{p}{x}\right)^{x} \right]^{q} = (e^p)^q = e^{pq}$.
इसे दिए गए व्यंजक $e^9$ के साथ तुलना करने पर,हमें $pq = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p, q \in \mathbb{N}$ (प्राकृत संख्याएँ) हैं,इसलिए संभावित जोड़े $(p, q)$ हैं: $(1, 9), (3, 3), (9, 1)$।
इन मामलों में,$p+q$ का मान $1+9=10$ या $3+3=6$ हो सकता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $6$ है।

(B) हम जानते हैं कि मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0}(1+ax)^{\frac{1}{ax}} = e$ है,जहाँ $a \neq 0$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}}$ है।
हम घातांक को $\frac{2}{x} = 6 \times \frac{1}{3x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}} = \lim _{x \rightarrow 0} \left((1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right)^6$ प्राप्त होता है।
मानक सीमा गुण का उपयोग करने पर,यह अभिव्यक्ति $e^6$ के बराबर होती है।

(A) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}$.
दी गई अभिव्यक्ति: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{2}{x})^{3x}$.
यहाँ,$a = 2$ और $b = 3$ है।
सूत्र लागू करने पर: $e^{2 \times 3} = e^6$.

(B) माना व्यंजक $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8}{\sin ^8 x} \left\{1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)+\cos \left(\frac{x^2}{2}\right) \cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\right\}$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)+\cos \left(\frac{x^2}{2}\right) \cos \left(\frac{x^2}{4}\right) = \left(1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)\right) \left(1-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\right)$.
सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2 \sin ^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{32 \sin ^2 \left(\frac{x^2}{4}\right) \sin ^2 \left(\frac{x^2}{8}\right)}{\sin ^8 x}$.
सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = 32 \cdot \frac{1}{16 \cdot 64} = \frac{32}{1024} = \frac{1}{32}$.

(C) कुल आवृत्ति $120$ दी गई है। अतः,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120$.
$f_1 + f_2 + 68 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (समीकरण $1$).
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $10, 30, 50, 70, 90$ हैं।
माध्य $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 50$ है।
$\frac{17(10) + f_1(30) + 32(50) + f_2(70) + 19(90)}{120} = 50$.
$170 + 30f_1 + 1600 + 70f_2 + 1710 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 + 3480 = 6000$.
$30f_1 + 70f_2 = 2520 \implies 3f_1 + 7f_2 = 252$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ से,$f_1 = 52 - f_2$. समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$.
$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$.
$4f_2 = 96 \implies f_2 = 24$.
अतः $f_1 = 52 - 24 = 28$.

(B) $n$ प्रेक्षणों के माध्य का सूत्र $\text{Mean} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
यहाँ प्रेक्षण $8, 6, 7, 5, x, 4$ हैं और माध्य $7$ है।
प्रेक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
$\frac{8 + 6 + 7 + 5 + x + 4}{6} = 7$
$\frac{30 + x}{6} = 7$
$30 + x = 42$
$x = 42 - 30$
$x = 12$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या क्रमशः $m$ और $n$ है। दी गई जानकारी के अनुसार:
लड़कों के कुल अंक $= 40m$
लड़कियों के कुल अंक $= 45n$
लड़कों और लड़कियों के संयुक्त कुल अंक $= 42(m + n)$
कुल अंकों को बराबर करने पर:
$40m + 45n = 42(m + n)$
$40m + 45n = 42m + 42n$
$3n = 2m$
$\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$
कक्षा में लड़कों का प्रतिशत है:
$\frac{m}{m + n} \times 100 = \frac{3}{3 + 2} \times 100$
$= \frac{3}{5} \times 100 = 60 \%$
अतः,लड़कों का प्रतिशत $60 \%$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(C) डेटा का माध्य और माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं।
वे सभी डेटा सेट के लिए समान हों यह आवश्यक नहीं है।
हालाँकि,वे कुछ सममित वितरणों या विशिष्ट डेटा सेट के लिए समान हो सकते हैं।
इसलिए,वे कभी-कभी समान होते हैं।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A, B) दी गई संख्याएँ $2, 3, 2x, 11$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+2x+11}{4} = 4 + \frac{x}{2}$ है।
मानक विचलन $\sigma = 3.5 = \frac{7}{2}$ है,इसलिए $\sigma^2 = \frac{49}{4}$।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$\frac{49}{4} = \frac{4 + 9 + 4x^2 + 121}{4} - (4 + \frac{x}{2})^2$।
सरल करने पर $3x^2 - 16x + 21 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{7}{3}$ या $x = 3$।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{1+2+\ldots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ है।
दिया गया है कि $n$ एक सम संख्या है,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |i - \frac{n+1}{2}|$.
चूंकि $n$ सम है,योग दो समान भागों में विभाजित हो जाता है:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \left[ \sum_{i=1}^{n/2} (\frac{n+1}{2} - i) + \sum_{i=n/2+1}^{n} (i - \frac{n+1}{2}) \right]$.
इस योग की गणना करने पर,हमें $M.D.(\bar{x}) = \frac{n^2-1}{4n}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $\bar{x} = 50$,$n = 100$,और $\sigma = 5$.
हम जानते हैं कि $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n}$,इसलिए $\Sigma x_i = n \cdot \bar{x} = 100 \cdot 50 = 5000$.
मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$.
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2525$.
$\Sigma x_i^2 = 252500$.

(C) आंकड़ों का परिसर अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर होता है।
दिए गए आंकड़े: $15, 14, k, 25, 30, 35$.
परिसर $= 23$.
स्थिति $1$: यदि $35$ अधिकतम मान है,तो न्यूनतम मान $35 - 23 = 12$ होना चाहिए।
यदि $k = 12$ है,तो आंकड़े $12, 14, 15, 25, 30, 35$ हो जाते हैं। परिसर $35 - 12 = 23$ है। यह एक मान्य स्थिति है।
स्थिति $2$: यदि $k$ अधिकतम मान है,तो $k - 14 = 23$,जिससे $k = 37$ प्राप्त होता है।
चूंकि हम $k$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात कर रहे हैं,$12$ और $37$ की तुलना करने पर,न्यूनतम धनात्मक मान $12$ है।

(B) दिए गए अवलोकन $20, 28, 40, 12, 30, 15, 50$ हैं।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम डेटा सेट में अधिकतम और न्यूनतम मानों की पहचान करते हैं।
अधिकतम मान $= 50$।
न्यूनतम मान $= 12$।
परिसर $= \text{अधिकतम मान} - \text{न्यूनतम मान}$।
परिसर $= 50 - 12 = 38$।

(D) विचरण गुणांक $(CV)$ माध्य के चारों ओर डेटा श्रृंखला के डेटा बिंदुओं के फैलाव का एक सांख्यिकीय माप है।
इसे मानक विचलन $\sigma$ और माध्य $\bar{x}$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।
सूत्र इस प्रकार है:
$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$
जहाँ $\bar{x} \neq 0$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} = 15$,इसलिए $\sum x_i = 75$ है।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 9$ है।
$\Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{5} - 225 = 9$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5(234) = 1170$ है।
अब,दो नए प्रेक्षण $-5$ और $13$ जोड़े गए हैं। प्रेक्षणों का नया योग $75 - 5 + 13 = 83$ है।
वर्गों का नया योग $1170 + (-5)^2 + (13)^2 = 1170 + 25 + 169 = 1364$ है।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{83}{7}$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2 + 25 + 169}{7} - (\bar{x}')^2 = \frac{1364}{7} - (\frac{83}{7})^2$ है।
$\sigma'^2 = \frac{1364 \times 7 - 6889}{49} = \frac{9548 - 6889}{49} = \frac{2659}{49}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दी गई श्रेणी $2n+1$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$।
श्रेणी का माध्य $m$ मध्य पद है: $m = a + nd$।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{2n+1} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - m|$ द्वारा दिया जाता है।
पदों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(k-n)d|$।
यह योग $\frac{d}{2n+1} [| -n | + | -(n-1) | + \ldots + | 0 | + \ldots + | n |]$ है।
कोष्ठक के अंदर का योग $2 \times (1 + 2 + \ldots + n) = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ है।
अतः,माध्य विचलन $\frac{n(n+1)d}{2n+1}$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना कि पाँच अवलोकन $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं।
दिया गया है कि माध्य $9$ है,इसलिए $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 9$,जिसका अर्थ है $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 45$।
चूंकि मानक विचलन $0$ है,इसलिए सभी अवलोकन माध्य के बराबर होने चाहिए। अतः,$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 9$।
अब,एक अवलोकन $x_5$ को $y$ में बदल दिया जाता है ताकि नया माध्य $10$ हो जाए।
इसलिए,$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+y}{5} = 10$,जिसका अर्थ है $x_1+x_2+x_3+x_4+y = 50$।
$x_1+x_2+x_3+x_4 = 36$ रखने पर (क्योंकि $x_1=x_2=x_3=x_4=9$),हमें $36+y = 50$ मिलता है,इसलिए $y = 14$।
अवलोकनों का नया समूह ${9, 9, 9, 9, 14}$ है।
नया माध्य $10$ है।
नया मानक विचलन $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{(9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (9-10)^2 + (14-10)^2}{5}}$।
$= \sqrt{\frac{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+1+1+1+16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$।

(A) दिया गया है कि प्रेक्षणों की संख्या $n = 60$,$\Sigma x_i = 960$,और $\Sigma x_i^2 = 18000$ है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - \left(\frac{\Sigma x_i}{n}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.

(D) दिया है: $n_1 = 20, \bar{x}_1 = 25, \sigma_1^2 = 9$ और $n_2 = 30, \bar{x}_2 = 10, \sigma_2^2 = 16$.
संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{20 \times 25 + 30 \times 10}{20 + 30} = \frac{500 + 300}{50} = \frac{800}{50} = 16$.
माना $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 25 - 16 = 9$ और $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 10 - 16 = -6$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
$\sigma^2 = \frac{20(9 + 9^2) + 30(16 + (-6)^2)}{20 + 30} = \frac{20(9 + 81) + 30(16 + 36)}{50} = \frac{20(90) + 30(52)}{50} = \frac{1800 + 1560}{50} = \frac{3360}{50} = 67.2$.

(B) त्रिभुज $ABC$ में,दिया गया है कि $\frac{\tan A}{2} = \frac{\tan B}{3} = \frac{\tan C}{4} = k$.
अतः,$\tan A = 2k$,$\tan B = 3k$,और $\tan C = 4k$.
किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
मान रखने पर,$2k + 3k + 4k = (2k)(3k)(4k)$,अर्थात $9k = 24k^3$.
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $k^2 = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
हमें $\sec^2 A + \sec^2 B + \sec^2 C = 3 + \tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$3 + (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 3 + k^2(4 + 9 + 16) = 3 + 29k^2$.
$k^2 = \frac{3}{8}$ रखने पर,$3 + 29 \times \frac{3}{8} = 3 + \frac{87}{8} = \frac{24 + 87}{8} = \frac{111}{8}$.

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,कोण $A, B, C$ $AP$ में हैं,इसलिए $2B = A + C$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $3B = 180^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,हमें $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$.
यह सरल होकर $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है,इसलिए $C = 45^{\circ}$.
अंत में,$\angle A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$.

(C) दिया गया है $A+B+C=0$,इसलिए $A+B = -C$.
दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर,$\sin(A+B) = \sin(-C) = -\sin(C)$.
अब,व्यंजक $\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C)$ पर विचार करें:
$\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin(C) \cos(C)$
चूंकि $A+B = -C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos(-C) = \cos(C)$.
$\sin(A+B) = -\sin(C)$ और $\cos(C) = \cos(A+B)$ रखने पर:
$= 2(-\sin(C)) \cos(A-B) + 2 \sin(C) \cos(A+B)$
$= -2 \sin(C) [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
सर्वसमिका $\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin(x) \sin(y)$ का उपयोग करने पर:
$= -2 \sin(C) [2 \sin(A) \sin(B)]$
$= -4 \sin(A) \sin(B) \sin(C)$.

(C) एक $\triangle ABC$ में,यह दिया गया है कि $a=1$,$b=\sqrt{3}$ और $\angle C=\frac{\pi}{6}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - c^2}{2(1)(\sqrt{3})}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3 - c^2}{2\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 - c^2}{2\sqrt{3}}$
दोनों पक्षों को $2\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$3 = 4 - c^2$
$c^2 = 4 - 3 = 1$
चूंकि $c$ भुजा की लंबाई दर्शाता है,इसलिए $c = 1$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।